Ma trận Hermite và ma trận unita
Ma trận A = (a ij ) có ma trận chuyển vị A T = (a ji ) và ma trận chuyển vị liên hợp A ∗ = (¯ a ji ) Đối với mọi vectơ x, y ∈ C n, ta có hAx, yi = hx, A ∗ yi Định nghĩa 1.1.1: Ma trận A ∈ M n (C) được gọi là Hermite nếu A ∗ = A.
Từ định nghĩa của ma trận Hermit và ma trận chuyển vị liên hợp, ta rút ra nhận xét sau.
Nhận xét 1.1.2 Ma trậnA là ma trận Hermite khi và chỉ khihAx, yi = hx, Ayi. Định nghĩa 1.1.3 Một ma trận A ∈ M n (C ) được gọi là unita nếu
∈ M 3 (C ) là các ma trận unita.
Nhận xét 1.1.5 NếuAlà ma trận unita thìA khả nghịch, hơn nữa,| det A| = 1.
Ma trận xác định dương và ma trận nửa xác định dương
Một ma trận Hermit A được gọi là nửa xác định dương, ký hiệu A > 0 , nếu hx, Axi> 0, ∀x ∈ C n
Một ma trận Hermit A được gọi là xác định dương, ký hiệu A > 0, nếu hx, Axi > 0, ∀x ∈C n , x 6= 0
Với A và B là các ma trận cùng cấp, ta viết A > B nếu A − B > 0 , ta viết
Ma trận Hermite có tính chất nửa xác định dương được bảo toàn qua phép biến đổi unita Cụ thể, nếu A là một ma trận nửa xác định dương và U là một ma trận unita, thì tính chất này vẫn được giữ nguyên.
A ˜ := U ∗ AU cũng là một ma trận nửa xác định dương (t.ư xác định dương).
Chứng minh Giả sử A là một ma trận nửa xác định dương Khi đó, với mọi x ∈C n , ta có hx, Axi ˜ = hx, U ∗ AU xi = hU x, AU xi = hy, Ayi, với y = U x.
Do A là một ma trận nửa xác định dương nên hy, Ayi> 0
Từ đó, có thể kết luận rằng nếu ma trận A là xác định dương, thì ma trận à cũng sẽ là ma trận nửa xác định dương Tương tự, nếu ma trận hy, Ayi > 0, thì hx, Axĩ cũng sẽ lớn hơn 0 Điều này cho thấy mối liên hệ chặt chẽ giữa tính xác định dương của các ma trận.
Tính chất 1.2.3 Một ma trận Hermite là nửa xác định dương (t.ư xác định dương) khi và chỉ khi các giá trị riêng của nó không âm (t.ư dương).
Nếu λ là giá trị riêng tương ứng với vectơ riêng x₀ của ma trận Hermite nửa xác định dương A, thì có thể chứng minh rằng Ax₀ = λx₀ Từ đó, ta suy ra rằng λ⟨x₀, x₀⟩ = ⟨x₀, Ax₀⟩ > 0 Vì x₀ khác không, nên ⟨x₀, x₀⟩ > 0, dẫn đến λ = ⟨x₀, Ax₀⟩ / ⟨x₀, x₀⟩ > 0 Ngược lại, nếu A là một ma trận Hermit có giá trị riêng không âm, thì tồn tại một ma trận đơn vị U để chuyển A về dạng đường chéo.
U ∗ AU = Λ với Λ = diag(λ 1 , λ 2 , , λ n ); λ i ≥ 0, i = 1, 2, , n, là các giá trị riêng của A.
Với mọi x ∈C n , gọi y ∈C n sao cho x = U y (chọn y = U −1 x) Khi đó hx, Axi = hU y, AU yi = hy, U ∗ AU yi = hy, Λyi = n
Vậy A là một ma trận xác nửa xác định dương. Đối với trường hợp ma trận xác định dương, ta có cách chứng minh hoàn toàn tương tự.
Tính chất 1.2.4 Cho A là một ma trận Hermit nửa xác định dương Khi đó,
A xác định dương khi và chỉ khi A khả nghịch.
Chứng minh Giả sửA xác định dương Khi đó, tồn tại ma trận trực giao U sao cho A = UΛU T , trong đó Λ = diag(λ 1 , λ 2 , , λ n ), với λ i > 0, i = 1, 2, , n Xét ma trận B = U Λ −1 U T , với Λ −1 =diag(λ −1 1 , λ −1 2 , , λ −1 n ) Ta có
Tương tự, BA = I Vậy AB = BA = I, hay ma trận A là khả nghịch.
Ngược lại, giả sử A là một ma trận nửa xác định dương và khả nghịch Vì
A khả nghịch nên tồn tại ma trận A −1 sao cho AA −1 = A −1 A = I, hay A −1 giao hoán với A.
Ma trận A là đối xứng, nghĩa là A = A^T, do đó, ma trận nghịch đảo A^(-1) cũng là ma trận đối xứng Điều này được thể hiện qua công thức I = (AA^(-1))^T = (A^(-1))^T A^T = (A^(-1))^T A, dẫn đến (A^(-1))^T = A^(-1) Ngoài ra, tồn tại ma trận trực giao U sao cho cả A và A^(-1) đều có thể được chuyển đổi về dạng ma trận đường chéo, tức là U^T AU = Λ và U^T A^(-1) U = Ω, với Λ = diag(λ₁, λ₂, , λn) và Ω = diag(à₁, à₂, , àn), trong đó λi > 0 và ài > 0 cho mọi i = 1, 2, , n.
I = AA −1 = (U ΛU T )(UΩU T ) = U ΛΩU T Đẳng thức này tương đương với U T U = I = ΛΩ =diag(λ i à i ) Do đú λ i à i = 1 với mọii = 1, 2, , n Do λ i > 0 và λ i à i = 1 nờnλ i > 0với mọi i = 1, 2, , n Vậy A là một ma trận xác định dương.
Hệ quả 1.2.5 Nếu A là một ma trận xác định dương thì A −1 cũng là một ma trận xác định dương.
Theo tính chất 1.2.4, nếu các giá trị riêng λi > 0 của ma trận A, thì các giá trị riêng của ma trận A−1 sẽ là ai = λ−1i > 0 Điều này chứng minh rằng ma trận A−1 cũng là một ma trận xác định dương.
Giá trị kỳ dị của ma trận
Một số phức λ được gọi là giá trị riêng của ma trận A ∈ M n (C) nếu tồn tại một vectơ v ∈ C n, với v khác 0, sao cho Av = λv Vectơ v trong đẳng thức này được gọi là vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng λ của ma trận A.
Nếu v là một vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng λ của ma trận A ∈ M n (C), thì bất kỳ bội số không bằng 0 của v, tức là αv (với α ∈ C, α ≠ 0), cũng là vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng λ Do đó, trong nhiều trường hợp, chúng ta thường làm việc với các vectơ riêng đã được chuẩn hóa, tức là các vectơ riêng đơn vị tương ứng với mỗi giá trị riêng của ma trận.
Giá trị riêng của một ma trận không thay đổi khi thực hiện phép biến đổi unita Cụ thể, giá trị riêng của ma trận A thuộc M n (C) và ma trận U ∗ AU sẽ giống nhau, trong đó U là một ma trận unita thuộc M n (C).
Vì U ∗ U = I, ta có U ∗ AU − λI = U ∗ (A − λI) dẫn đến det(U ∗ AU − λI) = det(A − λI) Đẳng thức này chứng minh rằng hai ma trận A và U ∗ AU có cùng giá trị riêng Định nghĩa 1.3.1: Cho A ∈ M n (C), gọi λ₁, λ₂, , λₙ > 0 là các giá trị riêng của ma trận A ∗ A Khi đó, s₁ = √λ₁, s₂ = √λ₂, , sₙ = √λₙ được gọi là các giá trị kỳ dị của ma trận A.
Như thếs 1 , s 2 , , s n là các giá trị kỳ dị của ma trậnAkhi và chỉ khis 2 1 , s 2 2 , , s 2 n là các giá trị riêng của ma trận A ∗ A.
Nhận xét 1.3.2 Cho A ∈ M n (C ) Nếu A là một ma trận xác định dương thì các giá trị kỳ dị của A và các giá trị riêng của A là trùng nhau.
Giả sử A là một ma trận xác định dương, sẽ tồn tại một ma trận unita U sao cho U AU∗ = Λ, với Λ = diag(λ1, λ2, , λn); trong đó các giá trị riêng λi (i = 1, 2, , n) đều lớn hơn 0.
Vì A ∗ = A nên AA ∗ = U ∗ ΛU U ∗ ΛU = U ∗ Λ 2 U, suy ra các giá trị riêng của AA ∗ nằm trên đường chéo chính của Λ 2 , tức là bằng λ 2 1 , λ 2 2 , , λ 2 n
Theo Định nghĩa 1.3.1, ta suy ra λ 1 , λ 2 , , λ n là các giá trị kỳ dị ủa A Vì vậy,giá trị riêng và giá trị kỳ dị của A trùng nhau.
Định lý phân tích phổ
Định lý 1.4.1 ([1]) Cho λ 1 > λ 2 > > λ k là các giá trị riêng của ma trận Hermite A ∈ M n (C ) Khi đó A được phân tích dưới dạng
Mọi ma trận A thuộc M n (C) có thể được biểu diễn dưới dạng tổng hợp các phép chiếu trực giao lên không gian vectơ con, sinh bởi các vectơ riêng tương ứng với các giá trị riêng λ j Cụ thể, biểu thức tổng quát được thể hiện là X j=1 λ j P j.
A = Udiag(λ 1 , λ 2 , , λ n )V, trong đó, U và V là các ma trận unita, λ i (i = 1, 2, , n) là các giá trị riêng của
A Đặc biệt, nếu A là một ma trận nửa xác dịnh dương thì tồn tại ma trận unita
Theo Định lý phân tích phổ, giá trị ma trận của một hàm số thực được định nghĩa như sau: Cho hàm số f: I ⊆ R → R và ma trận A ∈ M n (C) với các giá trị riêng λ i của A nằm trong khoảng I, ta có A = k.
P j=1 λ j P j là sự phân tích phổ của
A Khi đó ta định nghĩa f (A) := k
Các loại trung bình số và trung bình ma trận
Trung bình Heron
Định nghĩa 1.5.1 Cho a, b là hai số thực không âm và ν ∈ [0; 1] Trung bình Heron của a và b là đại lượng
Nhận xét 1.5.2 F 0 (a, b) = √ ab là trung bình hình học (hay còn gọi là trung bình nhân) của avà b, F 1 (a, b) = a + b
2 là trung bình số học (hay còn gọi là trung bình cộng) của a và b.
Trung bình Heron của a và b còn được viết dưới dạng
Bất đẳng thức Heron được phát biểu như sau:
Trung bình Heinz
Định nghĩa 1.5.3 Choa, blà hai số thực dương và ν ∈ [0; 1] Trung bình Heinz của a và b là đại lượng
Nhận xét 1.5.4 H 0 (a, b) = H 1 (a, b) là trung bình số học, H 1
2 (a, b) là trung bình hình học của a và b.
Bất đẳng thức Heinz được phát biểu như sau:
Trung bình hình học và trung bình số học của hai ma trận 12
trận Định nghĩa 1.5.5 Cho A, B ∈ M n (C ) là các ma trận xác định dương và ν ∈ [0; 1] Trung bình hình học trọng số ν của A và B, kí hiệu là A# ν B, được định nghĩa bởi
2 thì đại lượng này được gọi tắt là trung bình hình học của hai ma trận A, B và được kí hiệu là A#B.
Chúng ta có công thức A# ν B = B# 1−ν A cho mọi giá trị ν trong khoảng từ 0 đến 1 Khi hai ma trận A và B giao hoán, ta có A# ν B = A ν B 1−ν Định nghĩa 1.5.6 nêu rõ rằng, với A, B thuộc M n (C) là các ma trận xác định dương và ν nằm trong khoảng [0; 1], trung bình số học trọng số ν của A và B, ký hiệu là A∇ ν B, được định nghĩa theo cách cụ thể.
2 thì đại lượng này được gọi tắt là trung bình số học của hai ma trận A, B và được kí hiệu là A∇B.
Chuẩn của ma trận
Định nghĩa 1.6.1 Với mọi ma trậnA ∈ M n (C ) , chuẩn toán tử của Alà số thực không âm được định nghĩa bởi công thức
Chuẩn Hilbert-Schmidt, hay còn gọi là chuẩn l2, chuẩn Frobenius hoặc chuẩn Schur, được định nghĩa trong không gian các ma trận phức M n (C) như sau: ||A|| = sup{||Ax|| : x ∈ C n, ||x|| ≤ 1}, với ||x|| = hx, xi 1/2, ∀x ∈ C n.
A = [a ij ] ∈ M n (C ) được định nghĩa bởi
Trong không gian các ma trận phức M_n(C), một chuẩn |||A||| được gọi là bất biến unita nếu nó thỏa mãn điều kiện |||UAV||| = |||A||| cho mọi ma trận A ∈ M_n(C) và với mọi ma trận unita U, V ∈ M_n(C) Trong đó, Tr ký hiệu cho vết của ma trận, |A| = (A * A)^(1/2) và s_1(A) > s_2(A) > > s_n(A) là các giá trị kỳ dị của ma trận A.
Rõ ràng chuẩn Hilbert-Schmidt là bất biến unita.
Ngoài chuẩn || ã || 2 , người ta cũn xột cỏc chuẩn || ã || 1 , || ã || ∞ của một ma trận, trong đó với A ∈ M n (C ) :
Ví dụ 1.6.4 Xét ma trận A =
Ta tìm các số phức a, b, c, d để B là ma trận nửa xác định dương thỏa mãn B 2 = A ∗ A.
Giải hệ phương trình trên, ta tìm được b = i; c = −i; a = 1; d = 3 là các số phức thỏa mãn.
Phương trình này có hai nghiệm là λ 1 = 2 + √
Do đó các giá trị riêng của ma trận |A| là λ 1 và λ 2 Tức là, các giá trị kỳ dị của
(i) Nếu tính theo các phần tử của ma trận A thì
Nếu tính theo vết của ma trận |A| thì
Nếu tính theo các giá trị kỳ dị của ma trận A thì
(ii) Chuẩn || ã || 1 của ma trận A là
(iii) Chuẩn || ã || ∞ của ma trận A là
Trong các chương sau của luận văn, chúng tôi chủ yếu xét các bất đẳng thức ma trận ứng với chuẩn Hilbert-Schmidt.
Một số cải tiến của các bất đẳng thức Young, Heinz, Heron và các bất đẳng thức ma trận tương ứng
Chương này giới thiệu những cải tiến của các bất đẳng thức Young, Heinz, Heron và các bất đẳng thức ma trận liên quan Ngoài việc tập trung vào các bất đẳng thức với chuẩn Hilbert-Schmidt, chúng tôi cũng sẽ đề cập đến một số bất đẳng thức dạng vết và định thức.
Các khái niệm và kết quả trong chương này được trình bày lại từ các tài liệu
Một số cải tiến của bất đẳng thức Young và dạng ma trận tương ứng
Dạng cải tiến 1
Định lý 2.1.5 ([7]) Với mọi số thực a, b dương và ν ∈ [0; 1], ta có a ν b 1−ν + r √ a − √ b 2
2 thì bất đẳng thức (2.1.7) trở thành đẳng thức.
Vậy trong mọi trường hợp, bất đẳng thức (2.1.7) đều đúng. Đối với ma trận, ta có bất đẳng thức cải tiến tương ứng thông qua mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.1.6 ([7]) Cho A, B ∈ M n (C ) là các ma trận nửa xác định dương. Với mọi 06 ν 6 1 , ta luôn có
Chứng minh Từ bất đẳng thức (2.1.7), ta nhận được νs j (A) + (1 − ν)s j (B)> s ν j (A)s 1−ν j (B) + r s
Vì vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có
Ta có điều phải chứng minh.
Nhận xét 2.1.7 Bất đẳng thức ma trận tương ứng với cải tiến (2.1.7) không đúng đối với chuẩn Hilbert-Schmidt, tức là bất đẳng thức sau không đúng:
2 6 kνAX + (1 − ν)XBk 2 , với mọi A, B, X ∈ M n (C ) sao cho A và B là các ma trận nửa xác định dương và với mọi ν ∈ [0; 1], trong đó, r = min{ν, 1 − ν}.
Một cải tiến của bất đẳng thức Young được F Kittaneh và Y Manasrah chỉ ra trong định lý 2.1.8 Định lý này khẳng định rằng, với A, B ∈ M n (C) là các ma trận nửa xác định dương và mọi giá trị ν trong khoảng [0, 1], ta có công thức sau: det(A ν B 1−ν ) + r n det(A + B − 2A#B) ≤ det(νA + (1 − ν)B), trong đó r = min{ν; 1 − ν}.
Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức (2.1.7), ta thu được νs j (B − 1 2 AB − 1 2 ) + (1 − ν)> s ν j (B − 1 2 AB − 1 2 ) + r s
Nhândet(B 1 2 )vào bên trái và bên phải mỗi vế, ta được điều phải chứng minh.
Khi xột chuẩn bất biến unita ||| ã |||, ta cú bất đẳng thức ma trận cải tiến của bất đẳng thức (2.1.7) thông qua mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.1.9 ([7]) Cho A, B, X ∈ M n (C ) sao cho A và B là các ma trận nửa xác định dương Khi đó, với mọi ν ∈ [0; 1], ta có
6 ν |||AX ||| + (1 − ν) |||XB||| , trong đó, r = min{ν, 1 − ν}.
Chứng minh Sử dụng bất đẳng thức
6 |||AX||| ν |||XB||| 1−ν và bất đẳng thức (2.1.7), ta được
Ta có điều phải chứng minh.
Dạng cải tiến 2
Định lý 2.1.10 ([5]) Với mọi số thực a> 0, b > 0 và ν ∈ [0; 1], ta luôn có
2 Bất đẳng thức (2.1.9) trở thành đẳng thức.
(νa + (1 − ν)b) 2 − (1 − ν) 2 (a − b) 2 = (2ν − 1)a 2 + (2 − 2ν)ab. Áp dụng bất đẳng thức (2.1.1) cho hai số a 2 , ab ta thu được
(νa + (1 − ν)b) 2 − ν 2 (a − b) 2 = 2νab + (1 − 2ν)b 2 Áp dụng bất đẳng thức (2.1.1) cho hai số ab, b 2 ta thu được
Như vậy trong mọi trường hợp, bất đẳng thức (2.1.9) đều đúng. Đối với ma trận, ta có bất đẳng thức cải tiến tương ứng thông qua mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.1.11 ([5]) Cho A, B, X ∈ M n (C ) sao cho A và B là các ma trận nửa xác định dương Khi đó, với mọi ν ∈ [0; 1], ta có
2 + r 2 kAX − XBk 2 2 6 kνAX + (1 − ν)XBk 2 2 , trong đó, r = min{ν, 1 − ν}.
Chứng minh Do A và B là các ma trận nửa xác định dương nên theo Định lý phân tích phổ, tồn tại các ma trận unita U, V ∈ M n (C ) sao cho A = U DU ∗ và
B = V EV ∗ , trong đú D = diag(λ 1 , λ 2 , , λ n ) và E =diag(à 1 , à 2 , , à n ); λ i , à i > 0 với mọi i = 1, 2, , n. Đặt Y = U ∗ XV = [y ij ] ta được X = U Y V ∗ Khi đó νAX + (1 − ν)XB = ν(U DU ∗ )(U Y V ∗ ) + (1 − ν)(U Y V ∗ )(V EV ∗ )
Tương tự, ta cú AX − XB = U [(λ i − à j )y ij ]V ∗
Khi đó, áp dụng bất đẳng thức (2.1.9) và tính bất biến unita của ma trận đối với chuẩn Hilbert-Schmidt, ta có kνAX + (1 − ν)XBk 2 2 = k[(νλ i + (1 − ν)à j )y ij ]k 2 2
Ta có điều phải chứng minh.
Dạng cải tiến 3
Định lý 2.1.12 ([11]) Cho a> 0, b > 0 và ν ∈ (0; 1) Khi đó:
6 νa + (1 − ν)b, (2.1.11) trong đó r = min{ν, 1 − ν} và r 1 = min{2r, 1 − 2r}.
Chứng minh Trước hết, chúng tôi chứng minh bất đẳng thức (2.1.10).
2 thì bất đẳng thức (2.1.10) trở thành đẳng thức.
2 thì r = ν và r 1 = min{2ν, 1 − 2ν} Khi đó, theo bất đẳng thức (2.1.7), ta có νa + (1 − ν)b − ν
Như vậy, bất đẳng thức (2.1.10) đúng.
2 < ν < 1 thì r = 1 − ν và r 1 = min{2 − 2ν, 2ν − 1} Khi đó νa + (1 − ν)b − (1 − ν) √ a − √ b 2
Như vậy, bất đẳng thức (2.1.11) cũng đúng Ta có điều phải chứng minh.
Từ các bất đẳng thức (2.1.10) và (2.1.11), thay a bởi a 2 , b bởi b 2 ta nhận được hai kết quả tương ứng sau.
Hệ quả 2.1.13 Cho a > 0, b > 0 và ν ∈ (0; 1) Đặt r = min{ν, 1 − ν} và r 1 = min{2r, 1 − 2r} Khi đó:
6 (νa + (1 − ν)b) 2 (2.1.13)Dạng ma trận của các cải tiến trên được trình bày trong mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.1.14 ([11]) Cho A, B, X ∈ M n (C ) sao cho A, B là các ma trận nửa xác định dương và ν ∈ (0; 1).
6 kνAX + (1 − ν)XBk 2 2 , trong đó, r = min{ν, 1 − ν} và r 1 = min{2r, 1 − 2r}.
Chứng minh Trước hết chúng tôi chứng minh Mệnh đề 2.1.14 cho trường hợp
Do A và B là các ma trận nửa xác định dương, theo Định lý phân tích phổ, tồn tại các ma trận unita U và V trong M n (C) sao cho A = U DU ∗ và B = V EV ∗, với D = diag(λ 1 , λ 2 , , λ n ) và E = diag(à 1 , à 2 , , à n ), trong đó λ i và à i đều lớn hơn 0 cho mọi i từ 1 đến n Đặt Y = U ∗ XV = [y ij], khi đó ta có thể biểu diễn X dưới dạng X = U Y V ∗.
V ∗ và νAX + (1 − ν)XB = U [(νλ i + 1 − νà j )y ij ]V ∗ Áp dụng bất đẳng thức (2.1.12) và tính bất biến unita của ma trận đối với chuẩn
= kνAX + (1 − ν)XBk 2 2 Hoàn toàn tương tự, áp dụng bất đẳng thức (2.1.13) và tính bất biến unita của ma trận đối với chuẩn Hilbert-Schmidt, với 1
Ta có điều phải chứng minh.
2.2 Một số cải tiến của bất đẳng thức Heinz và dạng ma trận tương ứng
Nhắc lại, với hai số thực không âm a, b và ν ∈ [0; 1], trung bình Heinz của a và b là đại lượng
Suy ra từ các bất đẳng thức (2.1.1) và (2.1.2) rằng
2 (2.2.1) với mọi số thực không âm a, b.
Trong phần này, chúng tôi trình bày một số cải tiến của bất đẳng thức (2.2.1) và trình bày một số dạng ma trận tương ứng.
Dạng cải tiến 1
Định lý 2.2.1 ([7]) Cho a> 0, b > 0 và ν ∈ [0; 1] Khi đó
Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức (2.1.7), bằng cách thay đổi a và b cho nhau, ta được a ν b 1−ν + r √ a − √ b 2
Cộng hai bất đẳng thức trên, vế theo vế, ta được a ν b 1−ν + a 1−ν b ν + 2r
Ta có điều phải chứng minh.
Dạng ma trận của cải tiến trên được thể hiện ở mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.2.2 ([7]) Cho A, B, X ∈ M n (C ) sao cho A, B là các ma trận nửa xác định dương Khi đó với 06 ν 6 1 , ta có
6 kAX + XBk 2 , trong đó r = min{ν, 1 − ν}.
Giả sử A và B là các ma trận nửa xác định dương Theo Định lý phân tích phổ, tồn tại các ma trận unita U và V thuộc M n (C) sao cho
A = U DU ∗ vàB = V EV ∗ , trong đúD =diag(λ 1 , λ 2 , , λ n ), E =diag(à 1 , à 2 , , à n ), λ i , à i > 0 với mọi i = 1, 2, , n.
Khi đó ψ là một hàm lồi liên tục trên đoạn [0; 1] Hơn nữa, ψ khả vi cấp hai trên khoảng (0; 1). Đặt f (ν) = ||AX + XB|| 2 − ||A ν XB 1−ν + A 1−ν XB ν || 2
Ta có f (ν) = f (1 − ν), f(0) = f(1) = 0 và f là một hàm lõm trên đoạn [0; 1], f 1
Khi đó g có thể viết lại dưới dạng g(ν) =
Xét hàm h(ν) = νf 0 (ν) − f(ν), 06 ν 6 1 Ta có h(0) = 0và h 0 (ν) = νf ”(ν)6 0 , tức là h(ν)6 0 Vì thế, νf 0 (ν)6 f (ν) với mọi 06 ν 6 1
2. Lập luận tương tự, ta được f (1 − ν) > (1 − ν)f 0 (ν) với 1
2 6 ν 6 1 Do đó, g là hàm nghịch biến trên khoảng
0; 1 2 và đồng biến trên khoảng 1
1 2 kết hợp với giả thiết g liên tục và đối xứng qua điểm ν = 1
2 suy ra được g đạt cực tiểu tại điểm ν = 1
2 , tức là g(ν)> 2(||AX + XB|| 2 − 2||A 1 2 XB 1 2 ||)
Vì vậy ||AX + XB|| 2 − ||A ν XB 1−ν + A 1−ν XB ν || 2
Để chứng minh mệnh đề cho các ma trận nửa xác định dương A và B, ta xét các ma trận A = A + I và B = B + I, với I là ma trận đơn vị và một số thực dương bất kỳ Khi đó, A và B trở thành các ma trận xác định dương Theo kết quả đã chứng minh, ta có thể rút ra được kết luận cần thiết.
Cho → 0, ta nhận được điều phải chứng minh. Định lý 2.2.3 ([7]) Cho A, B, X ∈ M n (C ) sao cho A, B là các ma trận nửa xác định dương Khi đó với 06 ν 6 1 , ta có
6 |||AX||| + |||XB|||, trong đó r = min{ν, 1 − ν}.
Chứng minh Áp dụng Mệnh đề 2.1.9, ta được
Trong bất đẳng thức trên, thay ν bởi 1 − ν, ta được
Cộng hai bất đẳng thức trên, kết hợp bất đẳng thức tam giác, ta được
Ta có điều phải chứng minh.
Từ Định lý 2.2.3, cho X = I, ta nhận được bất đẳng thức ma trận dạng vết như sau.
Hệ quả 2.2.4 Cho A, B ∈ M n (C ) là các ma trận nửa xác định dương và
6 kA + Bk 1 , trong đó r = min{ν, 1 − ν}.
Dạng cải tiến 2
Định lý 2.2.5 ([7]) Cho a> 0, b > 0 và 06 ν 6 1 Khi đó
Chứng minh Trong bất đẳng thức (2.2.2), bằng cách thay a bởi a 2 , thay b bởi b 2 , ta được
Cộng cả hai vế với 2ab ta được (a ν b 1−ν + a 1−ν b ν ) 2 + 2r(a − b) 2 6 (a + b) 2
Ta có điều phải chứng minh.
Dạng ma trận tương ứng của cải tiến trên được thể hiện ở mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.2.6 ([7]) Cho A, B, X ∈ M n (C ) sao cho A, B là các ma trận nửa xác định dương, với 06 ν 6 1 , ta có
2 + 2rkAX − XB k 2 2 6 kAX + XBk 2 2 , (2.2.4) trong đó r = min{ν, 1 − ν}.
Chứng minh Do A và B là các ma trận nửa xác định dương nên theo Định lý phân tích phổ, tồn tại các ma trận unita U, V ∈ M n (C ) sao cho A = U DU ∗ và
B = V EV ∗ , trong đú D = diag(λ 1 , λ 2 , , λ n ) và E =diag(à 1 , à 2 , , à n ); λ i , à i > 0 với mọi i = 1, 2, , n.
AX − XB = U [(λ i − à j )y ij ]V ∗ và AX + XB = U [(λ i + à j )y ij ]V ∗
Khi đó, áp dụng bất đẳng thức (2.2.3) và tính bất biến unita của ma trận đối với chuẩn Hilbert-Schmidt, ta có
Ta có điều phải chứng minh.
Trong hệ quả sau, chúng tôi trình bày điều kiện cần và đủ để bất đẳng thức (2.2.4) trở thành đẳng thức.
Hệ quả 2.2.7 Cho A, B, X ∈ M n (C ) sao cho A, B là các ma trận nửa xác định dương và 0 < ν < 1 Khi đó
2 = kAX + XBk 2 , (2.2.5) khi và chỉ khi AX = XB.
Chứng minh Nếu AX = XB thì áp dụng Định lý phân tích phổ ta nhận được
A ν XB 1−ν + A 1−ν XB ν = A ν A 1−ν X + XB 1−ν B ν = AX + XB.
2 = kAX + XBk 2 2 Đảo lại, giả sử ||A ν XB 1−ν + A 1−ν XB ν || 2 = ||AX + XB|| 2 Khi đó, kết hợp với bất đẳng thức (2.2.4), ta nhận được kAX − XBk 2 = 0 Vì vậy AX = XB.
Một số cải tiến của bất đẳng thức Heron và dạng ma trận tương ứng
dạng ma trận tương ứng
Nhắc lại, với hai số thực dương a, b và ν ∈ [0; 1], trung bình Heron của a và b là đại lượng
Ta luôn có bất đẳng thức sau:
Bất đẳng thức (2.3.1) được gọi là bất đẳng thức Heron.
Trong phần này, chúng tôi sẽ giới thiệu một số cải tiến của bất đẳng thức 2.3.1 và các dạng ma trận tương ứng Theo Định lý 2.3.1, với các giá trị a > 0, b > 0 và ν thuộc khoảng [0; 1], chúng ta có thể thiết lập các kết quả quan trọng liên quan đến bất đẳng thức này.
Chứng minh Trước hết, chúng tôi chứng minh bất đẳng thức (2.3.2).
Ta có điều phải chứng minh.
Từ các bất đẳng thức (2.3.2) và (2.3.3), bằng cách thay a bởi a 2 và b bởi b 2 , ta nhận được bất đẳng thức sau.
Hệ quả 2.3.2 Cho a> 0, b > 0 và ν ∈ [0; 1] Khi đó
2 ν(1 − ν)(a − b) 2 − (a 1 2 b 1 2 ) 2 Một dạng ma trận của cải tiến trên được trình bày trong mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.3.3 ([10]) Cho A, B, X ∈ M n (C ) sao cho A, B là các ma trận nửa xác định dương Khi đó với 06 ν 6 1 , ta có
2 Chứng minh Do A và B là các ma trận nửa xác định dương nên theo Định lý phân tích phổ, tồn tại các ma trận unita U, V ∈ M n (C ) sao cho A = U DU ∗ và
B = V EV ∗ , trong đú D =diag(λ 1 , λ 2 , , λ n ) và E =diag(à 1 , à 2 , , à n ); λ i , à i > 0 với mọi i = 1, 2, , n.
Khi đó, áp dụng Hệ quả 2.3.2 và tính bất biến unita của ma trận đối với chuẩn Hilbert-Schmidt, ta có
Ta có điều phải chứng minh. Định lý 2.3.4 ([10]) Cho A, B ∈ M n (C ) là các ma trận xác định dương Khi đó, với ν ∈ [0; 1], ta luôn có ν(1 − ν)(A∇B − A#B) + A#B 6 F ν (A, B) (2.3.4) và
F ν (A, B)6 A∇B − ν(1 − ν)(A∇B − A#B), (2.3.5) trong đó F ν (A, B) = νA∇B + (1 − ν)A#B là trung bình Heron của hai ma trận
Chứng minh Trong bất đẳng thức (2.3.2), cho b = 1 và khai triển các số hạng, ta nhận được
Vì toán tử X = A − 1 2 BA − 1 2 có phổ dương nên áp dụng bất đẳng thức (2.3.6) ta nhận được
2 ν(X + I ) + (1 − ν)X 1 2 (2.3.7) Nhân hai vế của bất đẳng thức (2.3.7) với A 1 2 vào bên trái và bên phải, ta được
2 ν(A + B) + (1 − ν)A#B (2.3.8) Bất đẳng thức này tương đương với bất đẳng thức (2.3.4).
Hoàn toàn tương tự, sử dụng bất đẳng thức (2.3.3), ta chứng minh được bất đẳng thức (2.3.5).
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Một số dạng ngược của các bất đẳng thức Young, Heinz và các dạng ma trận tương ứng
Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số dạng ngược của bất đẳng thức Young và Heinz cải tiến, cùng với các dạng ma trận liên quan Nhiều kết quả trong chương này được chứng minh tương tự như các kết quả ở chương 2 và được trích dẫn từ các tài liệu [8] và [11].
Một số dạng ngược của bất đẳng thức Young và các dạng ma trận tương ứng
và các dạng ma trận tương ứng Định lý 3.1.1 ([8]) Cho a> 0, b > 0 và ν ∈ [0; 1] Khi đó νa + (1 − ν)b 6 a ν b 1−ν + R √ a − √ b
2 thì bất đẳng thức (3.1.1) trở thành đẳng thức.
+ a ν b 1−ν Vậy trong mọi trường hợp, bất đẳng thức (3.1.1) đều đúng.
Nhận xét 3.1.2 Từ các bất đẳng thức (2.1.7) và (3.1.1), ta nhận được kết quả sau: a ν b 1−ν + r
, (3.1.2) trong đó, r = min{ν, 1 − ν} và R = max{ν, 1 − ν}. Để tìm hiểu một dạng ma trận tương ứng với bất đẳng thức (3.1.2), trước hết ta xét bổ đề sau.
Bổ đề 3.1.3 ([8]) Cho Q ∈ M n (C ) là một ma trận xác định dương Khi đó, nếu
Chứng minh Giả sử Qđược biểu diễn dưới dạng Q = U DU ∗ , trong đó U là một ma trận unita nào đó và D =diag(λ 1 , λ 2 , , λ n ), với λ j > 0, j = 1, 2, , n.
Từ bất đẳng thức (3.1.2) ta suy ra r
Nhân hai vế với U vào bên trái và U ∗ vào bên phải, ta thu được r
Chúng ta cần chứng minh một điều Áp dụng kết quả từ Bổ đề 3.1.3, ta có thể cải tiến bất đẳng thức (2.1.3) thông qua Định lý 3.1.4 Định lý này chỉ ra rằng, cho B, C ∈ M n (C) với B xác định dương và C khả nghịch, nếu A = C * C và 0 ≤ ν ≤ 1, thì có thể viết r[A + B - 2C * (C *−1 BC −1)^(1/2) C] + C * (C *−1 BC −1)^(1−ν) C.
6 R[A + B − 2C ∗ (C ∗−1 BC −1 ) 1 2 C] + C ∗ (C ∗−1 BC −1 ) 1−ν C, trong đó, r = min{ν; 1 − ν}, R = max{ν; 1 − ν}.
Chứng minh Ta chứng minh bất đẳng thức r[A + B − 2C ∗ (C ∗−1 BC −1 ) 1 2 C] + C ∗ (C ∗−1 BC −1 ) 1−ν C 6 νA + (1 − ν)B, còn bất đẳng thức νA + (1 − ν)B 6 R[A + B − 2C ∗ (C ∗−1 BC −1 ) 1 2 C] + C ∗ (C ∗−1 BC −1 ) 1−ν C được chứng minh tương tự.
Thật vậy, khai triển vế trái của bất đẳng thức (3.1.3), ta được r(I − 2Q 1 2 + Q) + Q 1−ν 6 νI + (1 − ν)Q
Nhân hai vế của bất đẳng thức với C ∗ bên trái và C bên phải, ta có r(C ∗ C − 2C ∗ Q 1 2 C + C ∗ QC) + C ∗ Q 1−ν C 6 νC ∗ C + (1 − ν)C ∗ QC Đặt B = C ∗ QC, ta suy ra Q = C ∗−1 BC −1 Thay Q vào bất đẳng thức, ta nhận được r[A + B − 2C ∗ (C ∗−1 BC −1 ) 1 2 C] + C ∗ (C ∗−1 BC −1 ) 1−ν C 6 νA + (1 − ν)B.
Ta có điều phải chứng minh.
Sử dụng kết quả của Định lý 3.1.4, ta thu được một dạng ma trận tương ứng của các bất đẳng thức (2.1.7) và (3.1.1) như sau.
Hệ quả 3.1.5 ([8]) Cho A, B ∈ M n (C ) là các ma trận xác định dương Nếu
Chứng minh Áp dụng Định lý 3.1.4, đặt C = A 1 2 ta được r[A + B − 2A 1 2 (A − 1 2 BA − 1 2 ) 1 2 A 1 2 ] + A 1 2 (A − 1 2 BA − 1 2 ) 1−ν A 1 2
Vì A 1 2 (A − 1 2 BA − 1 2 ) 1 2 A 1 2 = A#B và A 1 2 (A − 1 2 BA − 1 2 ) 1−ν A 1 2 = A# ν B nên bất đẳng thức trên được viết lại dưới dạng r(A + B − 2A#B) + A# ν B 6 νA + (1 − ν)B
Ta có điều phải chứng minh.
Một dạng ngược khác của bất đẳng thức Young cải tiến được trình bày ở định lý sau. Định lý 3.1.6 ([8]) Cho a> 0, b > 0 và ν ∈ [0; 1] Khi đó
2 thì bất đẳng thức (3.1.5) trở thành đẳng thức.
Vậy trong mọi trường hợp, bất đẳng thức (3.1.5) đều đúng.
Nhận xét 3.1.7 Từ các bất đẳng thức (2.1.9) và (3.1.5) ta nhận được kết quả sau.
(a ν b 1−ν ) 2 + r 2 (a − b) 2 6 (νa + (1 − ν)b) 2 6 (a ν b 1−ν ) 2 + R 2 (a − b) 2 , trong đó, r = min{ν, 1 − ν} và R = max{ν, 1 − ν}.
Một dạng ma trận của bất đẳng thức (3.1.5) được trình bày ở mệnh đề sau.
Mệnh đề 3.1.8 ([8]) Cho A, B, X ∈ M n (C ) sao cho A và B là các ma trận nửa xác định dương Khi đó, với mọi ν ∈ [0; 1], ta có kνAX + (1 − ν)XB k 2 2 6
2 + R 2 kAX − XB k 2 2 , trong đó, R = max{ν, 1 − ν}.
Do A và B là các ma trận nửa xác định dương, theo Định lý phân tích phổ, tồn tại các ma trận unita U và V thuộc M n (C) sao cho A có thể được biểu diễn dưới dạng A = U DU ∗.
B = V EV ∗ , trong đúD =diag(λ 1 , λ 2 , , λ n )vàE =diag(à 1 , à 2 , , à n );λ i , à i > 0 với mọi i = 1, 2, , n.
Nếu Y = U ∗ XV = [y ij ] thì νAX + (1 − ν)XB = U [(νλ i + (1 − ν)à j )y ij ]V ∗ ,
AX − XB = U [(λ i − à j )y ij ]V ∗ và A ν XB 1−ν = U [(λ ν i à 1−ν j )y ij ]V ∗
Khi đó, áp dụng bất đẳng thức (3.1.5) và tính bất biến unita của ma trận đối với chuẩn Hilbert-Schmidt, ta có kνAX + (1 − ν)XBk 2 2 = n
Chúng tôi cần chứng minh một định lý quan trọng liên quan đến bất đẳng thức Young cải tiến Định lý 3.1.9 nêu rõ rằng, với các điều kiện a > 0, b > 0 và ν nằm trong khoảng (0; 1), sẽ có một bất đẳng thức dạng ngược.
; (3.1.7) trong đó r = min{ν, 1 − ν} và r 1 = min{2r, 1 − 2r}.
Chứng minh Trước hết, chúng tôi chứng minh bất đẳng thức (3.1.6).
2 thì bất đẳng thức (3.1.6) trở thành đẳng thức.
2 thì r = ν và r 1 = min{2ν, 1 − 2ν} Khi đó, theo bất đẳng thức (2.1.7), ta có a ν b 1−ν + (1 − ν)
Như vậy, bất đẳng thức (3.1.6) đúng.
2 < ν < 1 thì r = 1 − ν và r 1 = min{2 − 2ν, 2ν − 1} Khi đó, theo bất đẳng thức (2.1.7), ta có a ν b 1−ν + ν √ a − √ b 2
√ 4 ab − √ b 2 Như vậy, bất đẳng thức (3.1.7) cũng đúng Ta có điều phải chứng minh.
Từ các bất đẳng thức (3.1.6) và (3.1.7), thay a bởi a 2 , b bởi b 2 ta nhận được hai kết quả tương ứng sau.
Hệ quả 3.1.10 Cho a > 0, b > 0 và ν ∈ (0; 1) Đặt r = min{ν, 1 − ν} và r 1 = min{2r, 1 − 2r} Khi đó:
Dạng ma trận của các cải tiến trên được trình bày trong mệnh đề sau.
Mệnh đề 3.1.11 ([11]) Cho A, B, X ∈ M n (C ) sao cho A, B là các ma trận nửa xác định dương và ν ∈ (0; 1).
; trong đó, r = min{ν, 1 − ν} và r 1 = min{2r, 1 − 2r}.
Chứng minh Trước hết chúng tôi chứng minh Mệnh đề 3.1.11 cho trường hợp
A và B là các ma trận nửa xác định dương, do đó theo Định lý phân tích phổ, tồn tại các ma trận unita U, V ∈ M n (C) sao cho A = U DU ∗ và B = V EV ∗, với D = diag(λ 1 , λ 2 , , λ n ) và E = diag(à 1 , à 2 , , à n); trong đó λ i , à i > 0 cho mọi i = 1, 2, , n Đặt Y = U ∗ XV = [y ij], từ đó suy ra X = U Y V ∗ và νAX + (1 − ν)XB = U [(νλ i + 1 − νà j )y ij ]V ∗.
AX − XB = U [(λ i − à j )y ij ]V ∗ và A 1 2 XB 1 2 = U h λ
V ∗ Áp dụng bất đẳng thức (3.1.8) và tính bất biến unita của ma trận đối với chuẩn
2 Hoàn toàn tương tự, áp dụng bất đẳng thức (3.1.9) và tính bất biến unita của ma trận đối với chuẩn Hilbert-Schmidt, với 1
Ta có điều phải chứng minh.
Một số dạng ngược của bất đẳng thức Heinz và các dạng ma trận tương ứng
các dạng ma trận tương ứng Định lý 3.2.1 ([8]) Với a > 0, b > 0 và 06 ν 6 1 , ta luôn có
Chứng minh Trong bất đẳng thức (3.1.1), bằng cách thay a bởi a 2 , thay b bởi b 2 , ta được νa 2 + (1 − ν)b 2 6 (a ν ) 2 (b 1−ν ) 2 + R(a − b) 2
Tiếp tục thay đổi vai trò của a và b cho nhau, ta được
Cộng hai bất đẳng thức trên, vế theo vế, ta được a 2 + b 2 6 (a ν ) 2 (b 1−ν ) 2 + (a 1−ν ) 2 (b ν ) 2 + 2R(a − b) 2
Cộng cả hai vế với 2ab ta được (a + b) 2 6 (a 1−ν b ν + a ν b 1−ν ) 2 + 2R(a − b) 2
Ta có điều phải chứng minh.
Nhận xét 3.2.2 Từ các bất đẳng thức (2.2.3) và (3.2.1) ta nhận được bất đẳng thức sau:
(a + b) 2 − 2R(a − b) 2 6 (a ν b 1−ν + a 1−ν b ν ) 2 6 (a + b) 2 − 2r(a − b) 2 , trong đó a, b> 0, r = min{ν, 1 − ν} và R = max{ν, 1 − ν}.
Một dạng ma trận của cải tiến trên được trình bày trong mệnh đề sau.
Mệnh đề 3.2.3 ([8]) Cho A, B, X ∈ M n (C ) sao cho A, B là các ma trận nửa xác định dương Khi đó, với mọi 06 ν 6 1 , ta có kAX + XBk 2 2 6
2 + 2RkAX − XBk 2 2 ,trong đó R = max{ν, 1 − ν}.
Chứng minh Do A và B là các ma trận nửa xác định dương nên theo Định lý phân tích phổ, tồn tại các ma trận unita U, V ∈ M n (C ) sao cho A = U DU ∗ và
B = V EV ∗ , trong đú D = diag(λ 1 , λ 2 , , λ n ) và E =diag(à 1 , à 2 , , à n ); λ i , à i > 0 với mọi i = 1, 2, , n.
AX − XB = U [(λ i − à j )y ij ]V ∗ và AX + XB = U [(λ i + à j )y ij ]V ∗
Khi đó, áp dụng bất đẳng thức (3.2.1) và tính bất biến unita của ma trận đối với chuẩn Hilbert-Schmidt, ta có
Ta có điều phải chứng minh. Định lý 3.2.4 ([8]) Với mọi số thực a, b dương và ν ∈ [0; 1], ta luôn có a + b
Chứng minh Từ bất đẳng thức (3.1.1), bằng cách thay đổi vai trò của a và b cho nhau, ta thu được νa + (1 − ν)b 6 a ν b 1−ν + R √ a − √ b 2 và νb + (1 − ν)a6 b ν a 1−ν + R √ b − √ a 2
Cộng hai bất đẳng thức trên, vế theo vế, ta được a + b 6 a ν b 1−ν + b ν a 1−ν + 2R √ a − √ b 2 hay a + b
Nhận xét 3.2.5 Từ các bất đẳng thức (2.2.2) và (3.2.2) ta nhận được bất đẳng thức sau: a + b
, (3.2.3) trong đó, a, b> 0, ν ∈ [0; 1], r = min{ν, 1 − ν} và R = max{ν, 1 − ν}.
Một dạng ma trận của bất đẳng thức (3.2.3) được trình bày như sau.
Mệnh đề 3.2.6 ([8]) Cho A, B ∈ M n (C ) là các ma trận xác định dương Nếu
Chứng minh Theo bất đẳng thức (3.1.4), ta đã có r(A + B − 2A#B) + A# ν B 6 νA + (1 − ν)B 6 R(A + B − 2A#B) + A# ν B.
Cộng hai bất đẳng thức trên, vế theo vế, ta được
Từ đó ta có điều cần chứng minh.
Luận văn tổng hợp và trình bày chi tiết các kết quả về cải tiến số và ma trận của bất đẳng thức Young, Heinz, Heron, cùng với các dạng ngược của chúng Các kết quả đạt được trong luận văn đã làm rõ những cải tiến này, góp phần nâng cao hiểu biết về các bất đẳng thức trong toán học.
Bài viết này trình bày một số cải tiến của bất đẳng thức Young, cụ thể là Định lý 2.1.5, Định lý 2.1.10 và Định lý 2.1.12 Đồng thời, nó cũng giới thiệu các dạng ma trận tương ứng với những cải tiến này, bao gồm Mệnh đề 2.1.6, Định lý 2.1.8, Mệnh đề 2.1.9, Mệnh đề 2.1.11 và Mệnh đề 2.1.14.
Bài viết này trình bày một số cải tiến của bất đẳng thức Heinz, cụ thể là Định lý 2.2.1 và Định lý 2.2.5 Đồng thời, nó cũng giới thiệu các dạng ma trận tương ứng với những cải tiến này, bao gồm Mệnh đề 2.2.2, Định lý 2.2.3 và Mệnh đề 2.2.6 Những nội dung này góp phần làm rõ hơn về tính chất và ứng dụng của bất đẳng thức Heinz trong toán học.
(3) Trình bày một số cải tiến của bất đẳng thức Heron (Định lý 2.3.1) và trình bày một số dạng ma trận tương ứng của chúng (Mệnh đề 2.3.3, Định lý 2.3.4).
Bài viết này trình bày một số dạng ngược của bất đẳng thức Young, bao gồm Định lý 3.1.1, Định lý 3.1.6 và Định lý 3.1.9 Đồng thời, cũng sẽ giới thiệu các dạng ma trận tương ứng với chúng, như Định lý 3.1.4, Mệnh đề 3.1.8 và Mệnh đề 3.1.11.
Bài viết này trình bày một số dạng ngược của bất đẳng thức Heinz, cụ thể là Định lý 3.2.1 và Định lý 3.2.4 Đồng thời, nó cũng giới thiệu một số dạng ma trận tương ứng với các bất đẳng thức này, được nêu trong Mệnh đề 3.2.3 và Mệnh đề 3.2.6.
[1] Võ Thị Bích Khuê,Operator convex functions, matrix inequalities and some related topics, Luận án Tiến sĩ, Trường Đại học Quy Nhơn, (2018).
[2] Đinh Trọng Sỹ, Ma trận xác định dương và một số ứng dụng, NXB Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên (2010).
[3] T Ando, Matrix Young inequality, Oper Theory Adv Appl.75 (1995), 33 – 38.
[4] R Bhatia, K.R Parthasarathy, Positive definite functions and operator in- equalities, Bull London Math Soc 32 (2000), 214 – 228.
[5] O Hirzalla, F Kittaneh, Matrix Young inequalities for the Hilbert–Schmidt norm, Linear Algebra Appl 308 (1) (2000), 77 – 84
[6] R.A Horn, C.R Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, New York (1985).
[7] F Kittaneh, Y Manasrah, Improved Young and Heinz inequalities for ma- trices, J Math Anal Appl 361 (2010), 262 – 269.
[8] F Kittaneh, Y Manasrah, Reverse Young and Heinz inequalities for ma- trices, Linear and Multilinear Algebra 59, No 9 (2011), 1031 – 1037.