BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN VĂN BẠO MỘT SỐ DẠNG THỨC CỦA ĐỊNH LÍ PALEYWIENER Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS LÊ VIẾT NGƯ Huế, Năm 2016 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi, số liệu kết nghiên cứu ghi Luận văn trung thực Nguyễn Văn Bạo ii LỜI CẢM ƠN Lời đầu, xin gửi đến PGS.TS Lê Viết Ngư lời cảm ơn sâu sắc tận tình giúp đỡ thầy tơi suốt q trình Thầy giảng dạy lớp Cao học K23 q trình tơi hồn thành Luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn tất quý thầy, cô khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Huế tận tình giảng dạy truyền đạt kiến thức bổ ích suốt khóa học Trường Đại học Sư phạm Huế Chân thành cảm ơn Anh, Chị học viên Cao học khóa 23, đặc biệt Anh, Chị chun ngành Tốn giải tích tất bạn bè hỗ trợ tơi suốt q trình tơi học tập Cuối tơi xin cảm ơn Bố, Mẹ tồn thể gia đình tôi-những người động viên nhiều động lực giúp tơi hồn thành Luận văn Mặc dù cố gắng Luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong thầy giáo bạn đánh giá, góp ý để Luận văn hoàn chỉnh Nguyễn Văn Bạo iii Mục lục Trang phụ bìa i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục Lời mở đầu Các kiến thức liên quan 1.1 Không gian hàm suy rộng 1.1.1 Không gian hàm D(Ω) 1.1.2 Không gian hàm suy rộng D (Ω) 1.1.3 Không gian hàm suy rộng tăng chậm S (Rn ) 1.2 hàm 4 suy rộng 10 13 16 16 19 20 1.1.4 1.1.5 Phép 1.2.1 1.2.2 1.2.3 Đạo hàm hàm suy rộng Tích chập hàm suy rộng biến đổi Fourier không gian Biến đổi Fourier S(Rn ) Biến đổi Fourier S (Rn ) Biến đổi Fourier tích chập 1.2.4 1.2.5 Các định lý Paley-Wiener 21 Định lý Plancherel 22 Các định lý Paley- Wiener thực 24 2.1 Định lý Paley-Wiener cho hàm Schawrtz 24 2.2 Hàm suy rộng điều hòa dạng tổng quát 31 Các định lý Paley- Wiener phức 35 3.1 Định lý Paley-Wiener phức 35 3.2 Mở rộng hàm nguyên Cd 38 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 LỜI MỞ ĐẦU Hàm suy rộng xuất lần đầu thập kỷ thứ hai kỷ 20 cơng trình P.A.M Dirac học lượng tử Lý thuyết toán học hàm suy rộng S.L.Sobolev đặt sở để giải tốn Cauchy cho phương trình hypebolic(1936) đến năm 1945 L.Schwartz xây dựng cách hệ thống cho lý thuyết hàm suy rộng Ngày nay, lý thuyết hàm suy rộng đạt thành tựu to lớn trở thành công cụ đắc lực cho nhà vật lý tốn học, góp phần mở rộng khả phân tích tốn học cổ điển Hiện nhà toán học quan tâm đến việc nghiên cứu đầy đủ hàm suy rộng ứng dụng Đặc biệt ứng dụng định lý Paley-Wiener để khảo sát tính chất đặc trưng không gian hàm C m+α (T) không gian Sobolev H m (R) = Wl,2 (R) Phép biến đổi Fourier đời vào năm 1807, lớp phép biến đổi tích phân rộng rãi Joseph Fourier (1768-1830) nhà tốn học vật lý người Pháp, Ơng biết đến với thiết lập chuỗi Fourier ứng dụng nhiệt học Điều minh chứng cho gắn kết phép biến đổi Fourier với ngành khoa học khác từ ban đầu Nghiên cứu tính chất hàm số thơng qua ảnh Fourier, mà trường hợp riêng qua giá ảnh Fourier (gọi phổ), vấn đề nhà toán học quan tâm lẽ phép biến đổi Fourier công cụ mạnh để giải nhiều vấn đề khó giải tích hàm, phương trình đạo hàm riêng, lý thuyết hàm suy rộng Có thể kể đến nhiều cơng trình nghiên cứu lĩnh vực nhà toán học lớn S.N Bernstein, L Schwartz, E Stein Khi nghiên cứu tính chất hàm số thơng qua giới hạn ảnh Fourier tốn lớn đặt điều kiện cần đủ hàm số để ảnh Fourier hàm suy rộng có giá chứa tập K cho trước Bài toán nhiều nhà tốn học quan tâm, R Paley, N Wiener, L Schwartz, E.M Stein Và trả lời R Paley N Wiener Cụ thể từ năm 1934, R Paley, N Wiener tìm điều kiện cần đủ để hàm nguyên dạng mũ có ảnh Fourier hàm số thuộc L2 (R) với giá nằm đoạn [-a, a] Định lý Paley -Wiener nhiều nhà toán học phát triển cho số phép biến đổi tích phân khác phép biến đổi Mellin, phép biến đổi Hankel Bắt đầu với định lý Paley-Wiener gốc mơ tả biến đổi Fourier hàm thuộc L2 đường thẳng thực với giá khoảng đối xứng Vì hàm nguyên kiểu mũ có hạn chế đường thẳng thực hàm thuộc L2 Những kết chứng minh nhiều cơng trình khác Từ năm 2000 trở phương pháp Hà Huy Bảng, Vũ Kim Tuấn, N.B Andersen, M de Jeu với hướng tiếp cận đơn giản dùng để tìm định lý loại Paley-Wiener thực cho số phép biến đổi tích phân Vì vai trị quan trọng nên nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Việc tìm hiểu kết nghiên cứu giúp hiểu rõ Định lý Paley -Wiener Chính chúng tơi chọn đề tài làm đề tài luận văn thạc sĩ chuyên ngành Giải tích Nội dung luận văn gồm chương: + Chương 1: Trình bày số khái niệm kết không gian hàm suy rộng, phép biến đổi Fourier hàm suy rộng + Chương 2: Đề cập đến mối quan hệ dáng điệu tăng dãy {P (∂)n f }∞ n=0 d R supremum |P (iλ)| giá Ff + Chương 3: Là định lý Paley-Wiener phức mở rộng hàm nguyên Cd Tuy có nhiều cố gắng thiếu sót khó tránh khỏi nên chúng tơi mong q thầy bạn đóng góp ý kiến để luận văn hồn thiện Chúng tơi xin chân thành cảm ơn thầy bạn góp ý quan tâm đến luận văn CHƯƠNG Các kiến thức liên quan Trong chương trình bày số khái niệm kết không gian hàm suy rộng, phép biến đổi Fourier hàm suy rộng để làm sở cho việc nghiên cứu phần luận văn 1.1 Không gian hàm suy rộng 1.1.1 Không gian hàm D(Ω) Định nghĩa 1.1.1 Cho Ω tập mở Rn , không gian hàm D(Ω) không gian gồm hàm ϕ ∈ C0∞ (Ω) với khái niệm hội tụ sau: dãy {ϕj }∞ j=1 dãy C0∞ (Ω) gọi hội tụ đến hàm ϕ ∈ C0∞ (Ω) nếu: a Có tập compact K ⊂ Ω mà suppϕj ⊂ K, j = 1, 2, b lim supx∈Ω | Dα ϕj (x) − Dα ϕ(x) |= 0, ∀α ∈ Zn+ Trong đó, suppϕ giá j→∞ hàm ϕ, suppϕ = {x ∈ Ω|ϕ(x) = 0} C0∞ (Ω) gồm hàm khả vi liên tục vơ hạn có giá compact α Dα U = D1α1 D2α2 Dnαn , Dj j = ∂ αj , j = 1, 2, , α = (α1 , α2 , , αn ) ∈ Zn+ ∂xj αj Kí hiệu ϕ = D− lim ϕj j→∞ Rõ ràng Ω1 ⊂ Ω2 D(Ω1 ) ⊂ D(Ω2 ) Ví dụ 1.1.1 Hàm Rn  Ce− 1− x x 0 k→∞ dãy con, để đơn giản kí hiệu ta giả sử : | f, ϕk | = lim | fl , ϕk | > c, k = 1, 2, l→∞ Do đó, với k có số lk cho: | flk , ϕk | > c Đặt fk = flk có: i) {fk }∞ k=1 dãy cauchy D (Ω) ii) D− lim ϕk = k→∞ iii) | fk , ϕk | > c, k = 1, 2, Mà theo bổ đề 1.1.1 ta có lim | fk , ϕk | = nên xảy điều mâu thuẫn Do đó, k→∞ điều giả sử sai hay f liên tục 1.1.3 Không gian hàm suy rộng tăng chậm S (Rn ) Định nghĩa 1.1.5 Không gian hàm giảm nhanh S(Rn ) không gian gồm tất hàm ϕ ∈ C ∞ (Rn ) mà xα Dβ ϕ(x) bị chặn Rn với α, β ∈ Zn+ , x ∈ Rn Không gian S(Rn ) trang bị với họ chuẩn: ϕ α,β = supx∈Rn |xα Dβ ϕ(x)| với α, β ∈ Zn+ xα = xα1 xα2 xαnn Ví dụ 1.1.3 Hàm ϕ(x) = xm e−x thuộc vào S(R) với m ∈ Z+ Nhận xét 1.1.4 Hàm ϕ ∈ C ∞ (Rn ) hàm giảm nhanh, nghĩa với α, β ∈ Z+ có |xα Dβ ϕ(x)| ≤ Cα,β , ∀x ∈ Rn khi: (a) Với m ∈ Z+ , β ∈ Zn+ có (1 + x )m |Dβ ϕ(x)| ≤ Cm,β , ∀x ∈ Rn (b) Hay với m ∈ Z+ có (1 + x )m |Dβ ϕ(x)| ≤ Cm , ∀x ∈ Rn |β|≤m S(Rn ) Khái niệm hội tụ phù hợp với cấu trúc tuyến tính S(Rn ), nghĩa với λ, µ ∈ C, ϕk , ψk , ϕ, ψ ∈ S(Rn ), k = 1, 2, S− lim ϕk = ϕ, k→∞ S− lim ψk = ψ S− lim (λϕk + µψk ) = λϕ + µψ k→∞ k→∞ Để kết thúc điều ta chọn ψ ∈ S(Rd ) cho Fψ = suppFf , |P (iλ)| < R(P, Ff ) + ε, với λ ∈ suppFψ Đặc biệt, R(P, Fψ) < R(P, Ff ) + ε Theo tính compact suppFf , điều F(f ∗ ψ) = Ff.Fψ = Ff , ta thấy f ∗ ψ = f , || P (∂)n f ||p = || P (∂)n (f ∗ ψ) ||p = || f ∗ P (∂)n ψ ||p ≤ || f ||p || P (∂)n ψ ||1 Khi hệ định lý 2.1.2 (hoặc chứng minh kết hệ định lý 2.1.1 ta có lim sup || P (∂)n f ||1/n ≤ p n→∞ 1/n lim sup || P (∂)n ψ ||1 n→∞ ≤ R(P, Fψ) < R(P, Ff ) + ε Đối với trường hợp thứ hai, giả sử tập {λ ∈ Rd : |P (iλ)| ≤ R} compact R>0 Nếu R(P, Ff ) < ∞, Ff có giá compact kết có từ trường hợp thứ Nếu R(P, Ff ) = ∞ kết có từ mệnh đề 2.1.1 Đặc biệt ta giả sử n f ∈ Lp (Rd ), với n ∈ N∗ ,và ≤ R < ∞ ≤ R, nếu, Ff có giá nằm hình cầu bán kính R lim || n f ||1/n p n→∞ bao quanh Với p = ta bỏ giả thiết compact định lí 2.1.3 cách dùng định lý Plancherel Định lý 2.1.4 ([7]) Cho P đa thức, giả sử P (∂)n f ∈ L2 (Rd ) với n ∈ N∗ Khi tập số thực dương mở rộng 1/n lim || P (∂)n f ||2 n→∞ = R(P, Ff ) Chứng minh Theo mệnh đề 2.1.1 ta cần chứng minh 1/n lim sup || P (∂)n f ||2 n→∞ ≤ R(P, Ff ) (2.13) Ta giả sử R(P, Ff ) < ∞ Với ψ ∈ S(Rd ), ta có P (∂)n f, ψ = P (∂)n f, FF−1 ψ = F(P (∂))n f, F−1 ψ = P (iλ)n Ff, F−1 ψ ta dùng định lý Plancherel phần cuối ta | P (∂)n f, ψ = | (P (iλ))n (Ff (λ))(F−1 ψ(λ))dλ| Rd 29 ≤ R(P, Ff )n |(Ff (λ))F−1 ψ(λ)|dλ Rd ≤ R(P, Ff )n || Ff ||2 || F−1 ψ ||2 = R(P, Ff )n || f ||2 || ψ ||2 || P (∂)n f ||2 = supψ∈S(Rd ),||ψ||2 =1 P (∂)n f, ψ , ta kết luận || P (∂)n f ||2 ≤ R(P, Ff )n || f ||2 (2.13) Nếu phép biến đổi Fourier hàm f ∈ Lp (Rd ) compact || P (∂)n f ||p với đủ nhiều đa thức P giúp ta tìm giá xác Ff Điều thể phần (c) (d) định lý 2.1.5 Bổ đề 2.1.1 ([7]) Cho K tập compact khác rỗng Rd Thì tồn dãy đa thức Pk cho {λ ∈ Rd : |P (iλ)| ≤ maxλ∈K |P (iλ)|} K= P ∈Pk Thật hệ định lý Stone -Weierstrass (về khả xấp xỉ hàm liên tục tập compact đa thức hay đa thức lượng giác) tập đa thức Pk Tuy nhiên phụ thuộc vào tính chất hình học K, ta có thơng tin ban đầu tập nhỏ nhiều đủ Định lý 2.1.5 ([7]) Cho ≤ p ≤ ∞, giả sử biến đổi Fourier Ff f ∈ Lp (Rd ) có giá compact Cho K tập compact khác rỗng Rd (a) P (∂)f ⊂ Lp (Rd ), với đa thức P (b) Với tập Pk xác định K bổ đề 2.1.1, suppFf ⊂ K nếu, lim || P (∂)n f ||1/n ≤ maxλ∈K |P (iλ)| p n→∞ với P ∈ Pk (c) Với tập PsuppFf xác định suppFf bổ đề 2.1.1, λ ∈ Rd suppFf , nếu, |P (iλ)| ≤ lim || P (∂)n f ||1/n p n→∞ 30 với P ∈ PsuppFf (d) Có thể xây dựng suppFf sau: suppFf = {λ ∈ Rd : |P (iλ)| ≤ limn→∞ || P (∂)n f ||1/n p ,với đa thức P } Do (a) định lý 2.1.3 nên tồn giới hạn hữu hạn (b) (c) Chứng minh Chọn ψ ∈ C0∞ , ψ = giá Ff Nếu P đa thức theo lí thuyết hàm suy rộng P (∂)f = f ∗ P (∂)F−1 ψ , thấy cách lấy biến đổi Fourier dùng [ [15], ĐL 30.4] Vì L1 tác động lên Lp tích chập nên (a) Định lý 2.1.3 cho ta (b) (c) Để ý tập tất đa thức xét tập compact nên (d) suy từ (c) 2.2 Hàm suy rộng điều hòa dạng tổng quát Mệnh đề 2.2.1 ([7]) Cho T hàm suy rộng có bậc N với giá compact, P đa thức Khi với R > R(P, T ), tồn số C, cho, với n ∈ N x ∈ Rd , |P (∂)n F−1 T (x)| ≤ CnN Rn (1 + |x|)N Chứng minh Đặt VR = {λ ∈ Rd : |P (iλ)| ≤ R} Khi VR chứa lân cận mở suppT , ta chọn ψ ∈ C0∞ (Rd ) cho ψ = lân cận mở suppT , ψ = ngồi VR Vì T có bậc N nên tồn số C’ cho với x0 ∈ Rd , |(P (∂)n F−1 T )(x0 )| = |F−1 (P (iλ)n T )(x0 )| = |F−1 (ψP (iλ)n T )(x0 )| = | ψP (iλ)n T, eix0 λ |, = | T, ψP (iλ)n eix0 λ | ≤C |α|≤N || Dα (ψP (iλ)n eix0 λ ) ||∞ Theo quy nạp |α| ta có |α| α n ix0 λ D (ψP (iλ) e n.(n − 1) (n − k + 1)ψk,α (λ)Qk,α (x0 )eix0 λ P (iλ)n−k )= k=0 31 Trong ψk,α hàm trơn độc lập với n x0 triệt tiêu suppψ , Qk,α đa thức độc lập với n λ, có bậc nhiều |α| Với n > N , ta viết với λ ∈ Rd , sau |α| P (iλ) n(n − 1) (n − k + 1)ψk,α (λ)Qk,α (x0 )eix0 λ P (iλ)N −k n−N k=0 Tính chất triệt tiêu ψk,α kéo theo chuẩn supremum hàm bị chặn Cα Rn n|α| (1 + |x0 |)|α| , với Cα số Do tồn số C cho bất đẳng thức định lý với n > N , tăng C lên cần thiết suy bất đẳng thức với n ∈ N Mệnh đề 2.2.2 ([7]) Cho f ∈ C ∞ (Rd ) hàm suy rộng điều hòa, giả sử tồn đa thức P , số dương N ∈ N∗ , số C, R ≥ 0, cho với n ∈ N x ∈ Rd |P (∂)n f (x)| ≤ CnN Rn (1 + |x|)N (2.14) R(P, Ff ) ≤ R Chú ý 2.2.1 Chú ý không đặt giả thiết Ff compact Chứng minh Giả sử λ0 ∈ Rd cố định cho |P (iλ0 )| ≥ R + ε, với ε > Đặt V = {λ ∈ Rd : |P (iλ)| > R + ε/2},và giả sử ψ ∈ C0∞ (Rd ) có giá V Ta chứng minh Ff, ψ = 0, λ0 ∈ / suppFf , ta có điều phải chứng minh Với n ∈ N, xét hàm ψn (λ) = ψ(λ)P (iλ)−n , hàm trơn có giá compact Nếu M ∈ N số nguyên cố định, cho (1 + |x|2 )−M ∈ L1 (Rd ) chứng minh mệnh đề 2.1.1 ta suy tồn C ≥ 0, cho với x ∈ Rd với n > 2M, (1 + |x|2 )M |Fψn (x)| ≤ C n2M (R + ε/2)−n Do đó, ta chọn M ∈ N cho (1 + |x|2 )−M (1 + |x|)N ∈ L1 (Rd ) với n > 2M x ∈ Rd , 32 | Ff, ψ | = | f, F(P (iλ)n ψn ) | = | f, P (−∂)n Fψn | = | P (∂)n f, Fψn | P (∂)n f (x)(1 + |x|2 )−M (1 + |x|2 )M Fψn (x)dx| =| Rd CnN Rn (1 + |x|)N (1 + |x|2 )−M C n2M (R + 2ε )−n dx ≤ Rd R n ≤ C nN +2M ( R+ ε ) , điều phải chứng minh Theo chứng minh định lý 3.2.3 (ở chương 3), ta để ý mệnh đề 2.2.2 (2.14) với trừ số hữu hạn n Kết hợp mệnh đề 2.2.1 trường hợp đặc biệt mệnh đề 2.2.2 ta có đặc trưng hàm suy rộng với giá compact sau Định lý 2.2.1 ([7]) Cho f ∈ C ∞ (Rd ) hàm suy rộng điều hòa, giả sử tập {λ ∈ Rd : |P (iλ)| ≤ R0 } compact Cho P đa thức số R0 ≥ Thì giá Ff chứa {λ ∈ Rd : |P (iλ)| ≤ R0 } với R > R0 , tồn số NR ∈ N∗ CR ≥ cho |P (∂)n f (x)| ≤ CR nNR Rn (1 + |x|)NR (2.15) với x ∈ N x ∈ Rd Nếu điều với R > R0 ta lấy NR bậc Ff (2.15) Định nghĩa 2.2.1 Cho f ∈ C ∞ (Rd ) hàm suy rộng điều hòa cho suppFf compact Cho P đa thức Khi ta định nghĩa R(P, f ) infimum tất R ≥ 0, tồn số N ∈ N∗ CN,R ≥ 0, cho vói n ∈ N x ∈ Rd , |P (∂)n f (x)| ≤ CN,R nN Rn (1 + |x|)N Tương tự định lý 2.1.3 với R(P, f ) thay cho lim || P (∂)n f ||1/n p , ta có kết n→∞ sau: Định lý 2.2.2 ([7]) Cho f ∈ C ∞ (Rd ) hàm suy rộng điều hòa, cho suppFf compact Cho P đa thức Khi R(P, f ) = R(P, Ff ) 33 Chứng minh Theo mệnh đề 2.2.1, R(P, f ) ≤ R(P, Ff ) Bất đẳng thức ngược suy từ mệnh đề 2.2.2 Xây dựng lại định lý 2.1.5 Lp ta có định lý sau Định lý 2.2.3 ([7]) Cho f ∈ C ∞ (Rd ) hàm suy rộng điều hòa, cho suppFf compact Cho K tập compact khác rỗng Rd Khi (a) Với tập Pk xác định K bổ đề 2.1.1, suppFf ⊂ K nếu, R(P, f ) ≤ maxλ∈K |P (iλ)|, với P ∈ PK (b) Với tập PsuppFf xác định suppFf bổ đề 2.1.1, λ ∈ Rd suppFf , |P (iλ)| ≤ R(P, f ) với P ∈ PsuppFf (c) Có thể xây dựng suppFf sau suppFf = {λ ∈ Rd : |P (iλ)| ≤ R(P, f ),với đa thức P } Chứng minh Phần (a), (b) suy từ mệnh đề 2.2.1, (c) trường hợp đặc biệt (b) 34 CHƯƠNG Các định lý Paley- Wiener phức 3.1 Định lý Paley-Wiener phức Như đề cập phần giới thiệu, có ví dụ chứng minh định lý Paley- Wiener phức cho phép biến đổi tích phân khơng dùng dịch chuyển miền, tích phân khơng ngun.Trong trường hợp đó, kết phần hai cho ta tiếp cận khác để suy định lý phức từ định lý thực Để minh họa điều này, ta phiên định lý Paley- Wiener phức cổ điển cho phép biến đổi Fourier từ định lý thực phần hai Chiến lược để áp dụng công thức Cauchy cho hàm nguyên, khai thác ước lượng thông dụng cho f Cd để đạt cận || ∂ξn f ||∞ Rd , với n ∈ N ξ ∈ Rd Kết hợp điều với trường hợp đặc biệt mệnh đề 2.1.1 cho ta cận maxx∈suppFf |ξ.x|, với ξ ∈ Rd , định lý tách tập lồi suy kết mong muốn liên quan đến suppFf suppF−1 f Phương pháp tiếp cận cho ta giải pháp thay dịch chuyển miền khơng cịn hữu hiệu., dường bị giới hạn để giá chứa tập đối xứng lồi compact Như minh họa định lý 2.1.5 ta xây dựng lại suppFf điều chỉnh || P (∂)n f ||∞ Rd cho đủ nhiều đa thức P , ta có hi vọng suy trường hợp phức tổng quát thông qua mệnh đề 2.1.1 cách gọi nhiều đa thức đa thức bậc Đối với hàm, kết mà sẻ cần từ phần hai mệnh đề 2.1.1 cho p = ∞ đa thức bậc Nếu hàm mệnh đề 2.1.1 hàm Schawrtz, ta dùng kết sau để có chứng minh đơn giản Chúng ta sẻ trình bày để minh họa việc suy định lý 3.2.1 35 phức thông qua kết thực Bổ đề 3.1.1 ([7]) Cho P đa thức hệ số thực, f ∈ S(Rd ) ≤ p ≤ ∞ Thì tập số thực dương mở rộng lim inf || P (∂)n f ||1/n ≥ R(P, Ff ) p n→∞ (3.1) Chứng minh Cho λ0 ∈ suppFf giả sử P (iλ0 ) = Ta chọn cố định ε > 0, cho < ε < |P (iλ0 )| Ta chứng minh lim inf || P (∂)n f ||1/n ≥ |P (iλ0 )| − ε, p n→∞ (3.2) từ suy (3.1) Định nghĩa với j ∈ {0, 1, 2, 3} ψj (λ) = F(P (∂)j f )(λ) (λ ∈ Rd ) dùng cơng thức (1.6), (1.8) (ở trang 19, phần biến đổi Fourier S (Rn )) v bt ng thc Hoălders ta cú kt || P (∂)4n+j f ||p || Fψj ||q ≥ | P (∂)4n+j f, Fψj | = | FP (∂)4n+j f, ψj | P (iλ)4n F(P (∂)j f )(λ)ψj (λ)dλ| =| Rd |P (iλ)|4n |F(P (∂)j f )|2 dλ = Rd |P (iλ)2j ||Ff (λ)|2 dλ ≥ (|P (iλ0 )| − ε)4n {λ:|P (iλ)|≥|P (iλ0 )|−ε} Tích phân dịng cuối dương λ0 ∈ suppFf điều suy (3.2) Để ý hai giả thiết P dùng việc chuyển từ dòng ba sang dòng bốn Trước chuyển sang định lý Paley- Wiener phức, ta cần số thuật ngữ Nếu A tập khác rỗng Rd ta định nghĩa hàm tựa[supporting function] HA : Rd → Rd A HA (x) = maxa∈A a.x với x ∈ Rd Định nghĩa 3.1.1 Hàm số f (z) gọi hàm nguyên [entire function] C biểu diễn dạng 36 ∞ k k=0 ak z với |z| < ∞ Lớp hàm kí hiệu E E khơng gian tuyến tính Nếu f (z) hàm giải tích tồn mặt phẳng phức, f (z) hàm nguyên f (z) = Ví dụ 3.1.1 f (z) = ez , f (z) = sin(z), f (z) = cos(z) hàm nguyên C Định nghĩa 3.1.2 Cho A tập Rd f : Cd → C Ta nói f hàm nguyên kiểu mũ Cd tương ứng với A, f nguyên, tồn số C cho, |f (z)| ≤ CeHA (Imz) (z ∈ Cd ) (3.3) Ta nói thêm f hàm nguyên tăng nhanh C d kiểu mũ tương ứng với A, f nguyên với n ∈ N∗ , tồn số C cho, |f (z)| ≤ Cn (1 + |z|)−n eHA (Imz) (z ∈ Cd ) (3.4) Như biết f hàm nguyên (3.4) dùng cơng thức Cauchy ta suy đạo hàm riêng ∂ξn f thỏa mãn ước lượng tương tự với ξ ∈ Rd , n ∈ N Do hạn chế f lên Rd hàm Schawrtz, giải thích cho thuật ngữ Các kết sau chuyển từ phức sang miền thực trường hợp hàm Bổ đề 3.1.2 ([7]) Cho A tập đối xứng, compact khác rỗng Rd , giả sử f hàm nguyên kiểu mũ Cd tương ứng với A với ξ ∈ Rd , n ∈ N, đạo hàm riêng ∂ξn f bị chặn Rd lim sup || ∂ξn f ||1/n ∞ ≤ HA (ξ) (3.5) n→∞ Chứng minh Ta kết luận || ∂ξn f ||∞ ≤ C n!en (HA (ξ))n , (3.6) nn với ξ ∈ Rd , n ∈ N, C số (3.3) Thật vậy, định lý Cauchy’s cho ta với r > 0, ta có ∂ξn f (x) = dn dtn t=0 {t → f (x + tξ)} = n! 2πi |t|=r f (x + tξ) dt tn+1 (x ∈ Rd ) |∂ξn f (x)| ≤ C n! maxa∈A,|t|=ra.Im(tξ) n! n! e = C n emaxa∈A|a.ξ| = C n erHA (ξ) , n r r r 37 đối xứng A dùng đẳng thức cuối Nếu HA (ξ) = cho r → ∞ ta suy ∂ξn f = 0, n ∈ N, (3.6) điều phải chứng minh Nếu HA (ξ) = 0, HA (ξ) > theo tính đối xứng A, ta chọn r = HAn(ξ) , điều lần nửa thiết lập (3.6) Khi (3.5) suy từ công thức Stirling( để chứng minh định lí Paley- Wiener cho hàm trơn) Bây ta dùng bổ đề 3.1.1 bổ đề 3.1.2 3.2 Mở rộng hàm nguyên Cd Định lý 3.2.1 ([7]) Cho A tập đối xứng, compact khác rỗng Rd , giả sử f : Rd → C Khi khẳng định sau tương đương (a) f phép biến đổi Fourier hàm trơn với giá chứa A (b) f mở rộng hàm nguyên giảm nhanh kiểu mũ Cd tương ứng với A Chứng minh Đây trường hợp cổ điển, dể dàng thấy (a) suy (b) Ngược lại giả sử f hàm nguyên giảm nhanh Cd thuộc kiểu mũ tương ứng với A Giả sử λ0 ∈ suppFf , λ0 ∈ / A Vì A lồi đóng {λ0 } lồi d compact, theo định lý tách tồn ξ0 ∈ R , cho λ0 ξ0 > HA (ξ0 ) Xét đa thức Pξ0 (λ) = λ.ξ0 , với λ ∈ Rd Theo bổ đề 3.1.1 bổ đề 3.1.2 ta có supλ∈suppFf |λ.ξ0 | = supλ∈suppFf |Pξ0 (iλ)| ≤ lim inf || ∂ξn0 f ||1/n ∞ n→∞ ≤ lim sup || ∂ξn0 f ||1/n ∞ ≤ HA (ξ0 ) n→∞ cho HA (ξ0 ) < λ0 ξ0 ≤ |λ0 ξ0 | ≤ HA (ξ0 ), mâu thuẩn Ta kết luận Ff có giá A Vì F−1 f (x) = Ff (−x), với x ∈ Rd , tính đối xứng A suy F−1 f có giá compact chứa A Định lý Paley-Wiener cho hàm L2 suy kết tương tự, dùng bổ đề 3.1.2 mệnh đề 2.1.1, kết phía sau thay mạnh bổ đề 3.1.1 chứng minh định lý 3.2.1 Định lý 3.2.2 ([7]) Cho A tập lồi, compact khác rỗng đối xứng Rd , giả sử f hàm đo Rd biểu diễn hàm suy rộng điều hịa Thì 38 khẳng định sau tương đương (a) f phép biến đổi Fourier hàm L2 (Rd ) với giá chứa A (b) f thuộc L2 (Rd ) mở rộng hàm nguyên Cd kiểu mũ tương ứng A Chứng minh Dể thấy (a) suy (b) Giả sử có (b), theo định lý Plancherel suy F−1 f ∈ L2 (Rd ) Áp dụng bổ đề 3.1.2, trường hợp p = ∞ mệnh đề 2.1.1 cho f suy với ξ ∈ Rd , supx∈suppFf |ξ.x| ≤ HA (ξ) Áp dụng định lý tách chứng minh định lý 3.2.1 suy suppFf chứa A tính đối xứng A suy điều tương tự cho suppF−1 f Chú ý 3.2.1 Cho A tập lồi, compact khác rỗng đối xứng Rd Cho ≤ p ≤ ∞ HAp (Cd ) không gian hàm nguyên f kiểu mũ tương ứng với A, mà hạn chế lên Rd thuộc Lp (Rd ) Như chứng minh định lý 3.2.2, Áp dụng bổ đề 3.1.2, trường hợp p = ∞ mệnh đề 2.1.1 cho f suy hàm suy rộng Ff ( hàm suy rộng F− f ) có giá A, với p (Cd ) Đặc biệt với ≤ p ≤ với số mũ liên hiệp q, ta thiết lập f ∈ HA phương pháp thực F F−1 biến HAp (Cd ) thành không gian Lq (Rd ) gồm hàm với giá suy rộng A Định lý Paley- Wiener phức đối xứng cho hàm suy rộng với giá compact suy cách dùng mệnh đề 2.2.2 Định lý 3.2.3 ([7]) Cho A tập lồi, compact khác rỗng đối xứng Rd , giả sử f : Rd → C Khi khẳng định sau tương đương (a) f phép biến đổi Fourier hàm suy rộng với giá chứa A (b) f mở rộng hàm nguyên Cd , tồn số nguyên N ∈ N ∗ số C, cho |f (z)| ≤ C(1 + |x|)N eHA (Imz) , với z ∈ Cd Trong trường hợp này, số nguyên N (b) chọn làm bậc F−1 f Chứng minh Ta cần chứng minh (b) suy (a), (phần (a) suy (b) nhiển nhiên) Cố định ξ ∈ Rd Ta chứng minh tồn số C cho với x ∈ Rd n > N , |∂ξn f (x)| ≤ C nN +1 HA (ξ)n (1 + |x|)N +1 (3.7) Điều theo mệnh đề 2.2.2 ý phía sau rằng, với ξ ∈ Rd , maxλ∈suppF−1 f |λ.ξ| ≤ HA (ξ) Khi phát biểu suy từ lập luận 39 tách định lý 3.2.1 Theo (3.7) tích phân đường cong kín chứng minh bổ đề 3.1.2 suy với x ∈ Rd , n ∈ N r > |∂ξn f (x)| ≤ C n! (1 + |x| + r|ξ|)N erHA (ξ) , rn C (b) Nếu HA (ξ) = n > N, cho r → ∞ ta (3.7) Nếu HA (ξ) = 0, chọn r = HAn(ξ) > 0, cho với x ∈ Rd n ∈ N, |∂ξn f (x)| ≤ C n!en n|ξ| N ) HA (ξ)n (1 + |x| + n n HA (ξ) ≤ CnN n!en |ξ| N n ) , H (ξ) (1 + |x| + A nn HA (ξ) nhờ công thức Stirling ta có (3.7) 40 KẾT LUẬN Trên sở tổng quan số kiến thức liên quan không gian hàm suy rộng, phép biến đổi Fourier không gian hàm suy rộng, luận văn sâu vào tìm hiểu số dạng thức Định lý Paley- Wiener thông qua số kết nghiên cứu gần số tác giả liên quan đến vấn đề như: H.H Bảng, V.K Tuấn, N.B Andersen, M de Jeu, L.D Abreu Cụ thể chương chương ta đề cập đến mối quan hệ dáng tăng d dãy {P (∂)n f }∞ n=0 R supremum |P (iλ)| giá F f , định lý Paley-Wiener phức mở rộng hàm nguyên Cd Do thời gian học tập, nghiên cứu có hạn lực cịn nhiều hạn chế, số kết đạt khiêm tốn Mặc dù thân có nhiều cố gắng khó tránh khỏi thiếu sót chưa có điều kiện sâu vào nghiên cứu Hy vọng với nhiều thời gian hơn, thầy cô đồng nghiệp góp ý để chúng tơi tiếp tục nghiên cứu thêm đạt kết tốt Xin chân thành cảm ơn! 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Hồng (2013), Giải tích hàm,Bài giảng Sau Đại học, Đại học Huế [2] Lê Viết Ngư (1998), Hàm Suy Rộng, Bài giảng Sau Đại học, Đại học Huế [3] Đặng Anh Tuấn (2005), Lý thuyết hàm suy rộng không gian Sobolev, Nhà xuất Hà Nội Tiếng Anh [4] L.B Andersen (2003) On real Paley - Wiener theorems for certain integral transform , J.Math Anal Appl.228, 124-135 [5] L.B Andersen (2004) On real Paley - Wiener theorems for the inverse Fourier transform on a Riemann-ian symmetric spase , Paccific J.Math 213 [6] L.B Andersen (2004)"On real Paley - Wiener theorems”, Bull london Math Soc 36, 504-508 [7] Nils Byrial Andersen and Marcel De Jeu (2008), Real Paley - Wiener theorems and local Spectral radius formulas Transactions of the American Mathematical Society Volume 362, Number 7, July 2010, Pager 3613 - 3640 [8] H.H Bang (1997), The Paley- Wiener-Schwartz theorems for nonconvex domain, in Functional anal- ysis and global analysis (Quezon city (1996), 14-30, Springer, Singapore [9] H.H Bang (1997), Nonconvex cases of The Paley- Wiener-Schwartz theorems, Dokl Akad Nauk 354, 165-168 [10] M De Jeu (2006), Real Paley - Wiener theorems for the Dunkl transform, trans Amer Math soc 358, 4225-4250 42 [11] Gunther Hormann - Roland Steinbauer (2009), Theory of Distributions, Fakultat fur Mathematik [12] V.K Tuan (1999), Paley- Wiener type theorems, and Boas theorems, Fract Calc Appl Anal 2, 135-143 [13] V.K Tuan (2002), Paley- Wiener and Boas theorems for singular -SturmLiouville integral transform, Ads in Appl Math 29, 563-580 [14] V.K Tuan (2004), A real- variable Paley- Wiener and Boas theorems for the Dunkl transform, Abstract and Applied Analysis, 365-371, World sci River Edge, NJ [15] F Trefves, (1967), Topological vector spaces, distributions and kernels, Academic Press, New York - london 43 ... L2 (Rn ) Định lý 1.2.4, định lý 1.2.5 gọi định lý Plancherel 23 CHƯƠNG Các định lý Paley- Wiener thực 2.1 Định lý Paley- Wiener cho hàm Schawrtz Cho f hàm suy rộng điều hòa, đo Rd P đa thức Với... chập 1.2.4 1.2.5 Các định lý Paley- Wiener 21 Định lý Plancherel 22 Các định lý Paley- Wiener thực 24 2.1 Định lý Paley- Wiener cho hàm Schawrtz ... tìm định lý loại Paley- Wiener thực cho số phép biến đổi tích phân Vì vai trị quan trọng nên nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Việc tìm hiểu kết nghiên cứu giúp hiểu rõ Định lý Paley -Wiener