ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐẶNG VĂN TIẾN MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ ĐỊNH LÝ PALEY - WIENER Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS VŨ NHẬT HUY Hà Nội - 2015 Lời cám ơn Trước trình bày nội dung luận văn, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới TS Vũ Nhật Huy, người tận tình giúp đỡ bảo tơi suốt q trình hồn thành luận văn tốt nghiệp Tơi xin chân thành cám ơn giúp đỡ thầy giáo, giáo khoa Tốn - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội Khoa sau đại học, nhiệt tình truyền thụ kiến thức tạo điều kiện giúp đỡ tơi hồn thành khóa Cao học Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, bạn bè ln động viên khuyến khích nhiều thời gian nghiên cứu học tập Do làm quen với công tác nghiên cứu khoa học hạn chế thời gian thực nên luận văn tránh khỏi thiếu sót Tơi kính mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Hà Nội, 11/2015 Đặng Văn Tiến Mục lục Mở đầu CÁC KHÔNG GIAN HÀM CƠ BẢN VÀ KHÔNG GIAN HÀM SUY RỘNG 1.1 Không gian hàm D(Rn ) 1.2 Không gian hàm suy rộng D (Rn ) 1.3 Cấp hàm suy rộng 1.4 Không gian hàm giảm nhanh S (Rn ) 10 1.5 Không gian hàm suy rộng tăng chậm S (Rn ) 11 1.6 Giá hàm suy rộng 13 1.7 Không gian hàm suy rộng với giá compact E (Rn ) 14 1.8 Tích chập 15 1.9 Phép biến đổi Fourier 16 1.9.1 Phép biến đổi Fourier không gian hàm giảm nhanh S (Rn ) 16 1.9.2 Phép biến đổi Fourier không gian S (Rn ) E (Rn ) 23 DẠNG PHỨC CỦA ĐỊNH LÝ PALEY- WIENER 25 2.1 Dạng phức Định lý Paley- Wiener cho hàm thuộc D(Rn ) 25 2.2 Dạng phức Định lý Paley- Wiener cho hàm thuộc E (Rn ) 28 DẠNG THỰC CỦA ĐỊNH LÝ PALEY- WIENER 3.1 30 Dạng thực Định lý Paley- Wiener cho hàm thuộc D(Rn ) 30 3.1.1 Dạng thực Định lý Paley- Wiener cho tập compact 30 3.1.2 Dạng thực Định lý Paley- Wiener cho tập sinh dãy số 35 3.1.3 Dạng thực Định lý Paley- Wiener cho tập sinh đa thức 40 3.1.4 3.2 Dạng thực Định lý Paley- Wiener cho tập lồi 42 Dạng thực Định lý Paley- Wiener cho hàm thuộc E (Rn ) 43 3.2.1 Dạng thực Định lý Paley- Wiener cho tập compact 43 3.2.2 Dạng thực Định lý Paley- Wiener cho tập sinh dãy số 48 3.2.3 Dạng thực Định lý Paley- Wiener cho tập sinh đa thức 50 3.2.4 Dạng thực Định lý Paley- Wiener cho tập lồi 51 Kết luận 53 Tài liệu tham khảo 53 Mở đầu Biến đổi Fourier đặt tên theo nhà toán học người Pháp Joseph Fourier, hướng nghiên cứu quan trọng Toán học nói chung Giải tích nói riêng Phép biến đổi Fourier lớp phép biến đổi tích phân phổ biến nhất, có ứng dụng rộng rãi Luận văn đề cập tới nghiên cứu số tính chất hàm khả vi vơ hạn thơng qua giá biến đổi Fourier Vấn đề có ý nghĩa lớn ứng dụng vào giải tốn khó khác Giải tích hàm, Phương trình vi phân đạo hàm riêng, Lý thuyết hàm suy rộng, Lý thuyết nhúng, Lý thuyết xấp xỉ, Lý thuyết sóng nhỏ Ngồi phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia làm ba chương: Chương 1: Các không gian hàm không gian hàm suy rộng Chương luận văn trình bày kiến thức khơng gian hàm bản, không gian hàm suy rộng, tích chập hàm suy rộng, phép biến đổi Fourier hàm bản, hàm suy rộng, định lý kết liên quan đến luận văn làm sở để xây dựng nội dung chương Chương 2: Một số kết dạng phức Định lý Paley- Wiener Chương luận văn đưa điều kiện cần đủ để hàm số biến đổi Fourier hàm số có giá chứa hình cầu tâm 0, bán kính R cho trước biến xét biến phức Chương 3: Một số kết dạng thực Định lý Paley- Wiener Chương luận văn trình bày dạng thực Định lý Paley- Wiener cho tập compact bất kì, tập sinh dãy số, tập sinh đa thức cho tập lồi Chương CÁC KHÔNG GIAN HÀM CƠ BẢN VÀ KHÔNG GIAN HÀM SUY RỘNG Trong chương này, luận văn trình bày khái niệm kết lý thuyết hàm suy rộng phép biến đổi Fourier (xem [1], [2], [5]) 1.1 Không gian hàm D(Rn) Trước nghiên cứu không gian hàm bản, luận văn số ký hiệu trình bày luận văn Cho N = {1, 2, } tập số tự nhiên, Z+ = {0, 1, 2, } tập số nguyên không âm, R tập số thực, C tập số phức Đơn vị ảo Với số tự nhiên n ∈ N tập Zn+ n j=1 −1 = i = {α = (α1 , , αn ) | αj ∈ Z+ , j = 1, 2, , n}, Rn không gian Euclid n chiều x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn Với chuẩn Euclid x = ( √ x2j )1/2 , tích vơ hướng x, ξ = n xj ξj j=1 Với k ∈ Z+ ký hiệu tập sau C k (Rn ) = {u : Rn → C|u khả vi liên tục đến cấp k}, C0k (Rn ) = {u : Rn → C|u ∈ C k (Rn ), suppu tập compact}, k n ∞ n ∞ k n C ∞ (Rn ) = ∩∞ k=1 C (R ), C0 (R ) = ∩k=1 C0 (R ), suppu = {x ∈ Rn | u(x) = 0} Với ε > K tập compact Rn ta định nghĩa: Kε = {x ∈ Rn | ∃ξ ∈ K, x − ξ < ε} K(ε) = {x ∈ C| ∃ξ ∈ K, x − ξ < ε} Ký hiệu F phép biến đổi Fourier, f (hay Ff ) ảnh Fourier hàm f, suppf giá ảnh Fourier (gọi phổ) hàm f Các giới hạn lim am , lim am , lim am tương ứng giới hạn, giới hạn trên, giới m→∞ m→∞ m→∞ hạn dãy hàm {am }∞ m=1 Bây lúc ta phát biểu định nghĩa, định lý, đồng thời đưa ví dụ minh họa để làm rõ không gian hàm Định nghĩa 1.1 Không gian D(Rn ) không gian gồm hàm ϕ ∈ C0∞ (Rn ) ∞ n với khái niệm hội tụ sau: dãy {ϕj }∞ j=1 hàm C0 (R ) gọi hội tụ đến hàm ϕ ∈ C0∞ (Rn ) (i) có tập compact K ⊂ Rn mà suppϕj ⊂ K, j = 1, 2, , (ii) lim sup |Dα ϕj (x) − Dα ϕ(x)| = 0, ∀α ∈ Zn+ j→∞ x∈Rn Khi đó, ta viết ϕ = D− lim ϕj j→∞ Ví dụ 1.1 Ta định nghĩa hàm biến Ψ(x) sau  ce1/(|x|−1) |x| < 1, Ψ(x) = 0 |x| ≥ Khi Ψ ∈ D(R) Mệnh đề 1.1 Khơng gian D(Rn ) đủ 1.2 Không gian hàm suy rộng D (Rn) Định nghĩa 1.2 Ta nói f hàm suy rộng Rn f phiếm hàm tuyến tính liên tục D(Rn ) Hàm suy rộng f ∈ D (Rn ) tác động lên ϕ ∈ D(Rn ) viết f, ϕ Hai hàm suy rộng f, g ∈ D (Rn ) gọi f, ϕ = g, ϕ , ∀ϕ ∈ D(Rn ) Tập tất hàm suy rộng Rn lập thành không gian D (Rn ) Chú ý 1.1 Trên D (Rn ) xây dựng cấu trúc khơng gian vectơ C, nghĩa ta định nghĩa phép tốn tuyến tính sau (i) phép cộng: với f, g ∈ D (Rn ) tổng f + g xác định sau f + g : ϕ → f + g, ϕ = f, ϕ + g, ϕ , ϕ ∈ D (Rn ) , đó, f + g ∈ D (Rn ), nghĩa là, f + g phiếm hàm tuyến tính liên tục D(Rn ), (ii) phép nhân với số phức: với λ ∈ C, f ∈ D (Rn ) tích λf xác định sau λf : ϕ → λf, ϕ =λ f, ϕ , ϕ ∈ D (Rn ) , đó, λf ∈ D (Rn ), nghĩa là, λf phiếm hàm tuyến tính liên tục D(Rn ) Hơn thế, ta định nghĩa phép nhân với hàm C ∞ (Rn ) Với φ ∈ C ∞ (Rn ), f ∈ D (Rn ) tích φf ∈ D (Rn ) xác định sau φf : ϕ → φf, ϕ = f, φϕ , ϕ ∈ D (Rn ) , đó, φf ∈ D (Rn ) Ví dụ 1.2 Với f ∈ L1 (Rn ) coi hàm suy rộng cách sau f : ϕ → f, ϕ = f (x)ϕ(x)dx, ϕ ∈ D(Rn ) Rn Như vậy, coi L1 (Rn ) tập D (Rn ) Hàm suy rộng f ∈ L1 (Rn ) gọi hàm suy rộng quy Với f, g ∈ L1 (Rn ), theo nghĩa hàm suy rộng theo nghĩa thông thường nhau, nghĩa f, g ∈ L1 (Rn ), f (x)ϕ(x)dx = Rn g(x)ϕ(x)dx, ∀ϕ ∈ D(Rn ) Rn f = g, h.k.n Rn 1.3 Cấp hàm suy rộng Định nghĩa 1.3 Cho K ⊂ Rn , f ∈ D (Rn ) Ta nói hàm suy rộng f có cấp hữu hạn K có số ngun khơng âm k số dương C cho sup |Dα ϕ(x)| , ∀ϕ ∈ C0∞ (Rn ), suppϕ ⊂ K | f, ϕ | ≤ C |α|≤k x∈K (1.1) Số nguyên không âm k nhỏ số ngun khơng âm mà ta có bất đẳng thức (1.1) gọi cấp hàm suy rộng f tập K Nếu khơng có số ngun khơng âm k để có (1.1) với số dương C đó, ta nói rằng, hàm suy rộng f có cấp vơ hạn K Để đơn giản, ta nói rằng, hàm suy rộng f ∈ D (Rn ) có cấp k có cấp k Rn Ví dụ 1.3 Mọi hàm f ∈ L1 (Rn ) có cấp Ta có: | f, ϕ | = f (x)ϕ(x)dx Rn ≤ sup |ϕ (x)| x∈Rn |f (x)| dx Rn = c sup |ϕ (x)| , x∈Rn |f (x)| dx < ∞ c= Rn Do f ∈ L1 (Rn ) có cấp Định lý 1.1 Mỗi phiếm hàm tuyến tính f D(Rn ) hàm suy rộng khi, tập compact K ⊂ Rn , có số ngun khơng âm k số dương C cho sup |Dα ϕ(x)| = C ϕ | f, ϕ | ≤ C |α|≤k x∈Rn C k (Rn ) , ∀ϕ ∈ C0∞ (Rn ), suppϕ ⊂ K Chứng minh Để chứng minh điều kiện đủ ta cần chứng minh tính liên tục ∞ n f gốc, nghĩa có dãy {ϕj }∞ j=1 C0 (R ) mà D− lim ϕj = j→∞ lim f, ϕj = j→∞ Điều dễ thấy từ giả thiết Để chứng minh điều kiện cần ta dùng phản chứng, nghĩa giả sử có tập compact K ⊂ Rn với k ∈ Z+ ta có sup ϕ∈C0∞ (Rn ) suppϕ⊂K,ϕ=0 | f, ϕ | = +∞ ϕ C k (Rn ) đó, tồn ϕk ∈ C0∞ (Rn ), suppϕ ⊂ K, ϕk | f, ϕk | > k ϕk C k (R n ) C k (R n ) > cho Chọn ψk (x) = k ϕk ϕk (x), C k (R n ) ψk ∈ C0∞ (Rn ), suppψk ⊂ K D− lim ψk = 0, | f, ψk | ≥ k , k→∞ nên f ∈ / D (Rn ), trái với giả thiết Như vậy, điều giả sử sai hay ta có điều phải chứng minh 1.4 Không gian hàm giảm nhanh S (Rn) Định nghĩa 1.4 Không gian S (Rn ) tập hợp S (Rn ) = {ϕ ∈ C ∞ (Rn ) : sup xα Dβ ϕ (x) < ∞ x∈Rn ∀α, β ∈ Zn+ } Cho hàm ϕ ∈ S (Rn ), lim xα Dβ ϕ (x) = x →∞ ∀α, β ∈ Zn+ Điều dẫn đến hàm ϕ (x) hàm giảm x → ∞ nhanh hàm có dạng sau 1/P (x) , x ∈ Rn Vì vậy, gọi S (Rn ) khơng gian hàm giảm nhanh Ví dụ 1.4 Không gian C0∞ (Rn ) không gian không gian hàm giảm nhanh S (Rn ) Chứng minh Xét hàm ϕ ∈ C0∞ (Rn ) Khi đó, ta đặt suppϕ = K, K tập compact Rn Với x ∈ / K , suy Dβ ϕ (x) = ∀β ∈ Zn+ Do sup xα Dβ ϕ (x) = sup xα Dβ ϕ (x) < ∞ x∈Rn x∈K ∀α, β ∈ Zn+ Ta có điều dẫn đến hàm ϕ ∈ S (Rn ), từ suy C0∞ (Rn ) không gian không gian hàm giảm nhanh S (Rn ) Chứng minh hoàn thành 10 Do lim m→∞ Qm (D) u (η) 1/m ∞ ≤ sup |Q (x)| (3.14) x∈K(δ) Ta thấy Qm (D) u, F −1 < | u, h | = ≤ Qm (D) u (η) ∞ h (x) Qm (x) F −1 h (x) Qm (x) (3.15) Theo (3.14) Bổ đề 3.1 x∈B(θ,δ) |Q (x)| ≤ sup |Q (x)| sup x∈K(δ) Cho δ → ta |Q (θ)| ≤ sup |Q (x)| x∈K Điều mâu thuẫn Điều phải chứng minh 3.1.3 Dạng thực Định lý Paley- Wiener cho tập sinh đa thức Định lý 3.3 Giả sử u ∈ S(Rn ) Khi u(ξ) ∈ C0∞ (Q(P )) với N ≥ tồn số CN cho |P m (D)u(η)| ≤ CN (1 + η )−N mN (3.16) với η ∈ Rn m ∈ Z+ Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử u(ξ) ∈ C0∞ (Q(P )) N ≥ Ta cần chứng minh tồn số CN thỏa mãn đánh giá (3.16) Thật vậy, với P m (x) = |α|≤m aα x α ta nhận aα i|α| Dα u(η) P m (D)u(η) = |α|≤m Áp dụng Định lý 1.4 ta suy Dα u(η) = (−i)|α| F(ξ α u(ξ))(η) 40 (3.17) Kết hợp với (3.17) ta có  P m (D)u(η) =  aα F (ξ α u(ξ)) (η) = F  |α|≤m aα ξ α u(ξ) (η) = F (P m (ξ)u(ξ)) (η) |α|≤m Do đó, với đa thức P m (ξ) β ∈ Zn+ η β P m (D)u(η) = η β F (P m (ξ)u(ξ)) (η) = (−i)|β| F Dβ P m (ξ)u(ξ) (η) n = (−i)|β| (2π)− e−i η,ξ Dβ (P m (ξ)u(ξ))dξ Q(P ) n = (−i)|β| (2π)− e−i η,ξ Dβ (P m (ξ)u(ξ))dξ Q(P) − n2 e−i η,ξ Dβ (P m (ξ)u(ξ)) dξ = (2π) Q(P) − n2 Dβ (P m (ξ)u(ξ)) dξ ≤ (2π) (3.18) Q(P) Áp dụng cơng thức Leibniz ta có: Dβ (P m (ξ)u(ξ)) = ν≤β β! Dβ−ν u(ξ)Dν P m (ξ), ν!(β − ν)! ν! Dν P m (ξ) = θ1 + +θm =ν θ1 ! θm ! m Dθ P (ξ) Dθ P m (ξ) Mặt khác, có m − |ν| ≥ m − N đa số không số θ1 , , θm Do đó, kết hợp u ∈ S , (3.18), phương trình cuối định nghĩa Q(P ) cho số C không phụ thuộc vào m β cho η β P m (D)u(η) ≤ CmN với |β| ≤ N m ∈ Z+ , suy (3.16) Điều kiện đủ: Giả sử (3.16) thỏa mãn Ta giả sử ngược lại u(θ) = với số điểm θ ∈ / Q(P ) Với δ > tồn hàm h ∈ C0∞ (Rn ), supph ⊂ B(θ, ) cho u, h = Ta định nghĩa Q (x) = |P (x)|2 , x ∈ Rn Khi áp dụng (3.1) cho trường hợp đa thức P (x) = Qm (x) ta |Qm (D) u (η)| ≤ Cδ sup |Qm (x)| x∈K(δ) 41 Do lim m→∞ Qm (D) u (η) 1/m ∞ ≤ sup |Q (x)| (3.19) x∈K(δ) Ta thấy < | u, h | = Qm (D) u, F −1 ≤ Qm (D) u (η) ∞ h (x) Qm (x) F −1 h (x) Qm (x) (3.20) Theo (3.19) Bổ đề 3.1 x∈B(θ,δ) |Q (x)| ≤ sup |Q (x)| sup x∈K(δ) Cho δ → ta |Q (θ)| ≤ sup |Q (x)| x∈K Điều mâu thuẫn Điều phải chứng minh 3.1.4 Dạng thực Định lý Paley- Wiener cho tập lồi Định lý 3.4 Cho u (ξ) ∈ S(Rn ) tập K compact lồi Khi u(ξ) ∈ C0∞ (K) với N, δ > có số CN cho |P m (D)u(η)| ≤ CN,δ (1 + η )−N sup |P (z)|m (3.21) z∈K(δ) với η ∈ Rn , m ∈ Z+ với đa thức P (ξ) có bậc Chứng minh Điều kiện cần: Áp dụng Định lý 3.1 cách thay đa thức P (ξ) đa thức P m (ξ) ta có |P m (D)u(η)| ≤ CN,δ (1 + η )−N sup |P (z)|m z∈K(δ) va ta nhận (3.21) Điều kiện đủ Giả sử (3.21) thỏa mãn Và giả sử tồn điểm θ ∈ suppu Khi tồn đa thức P ∈ P1 cho |P (θ)| > Với δ > tồn hàm h ∈ C0∞ (Rn ), supph ⊂ B(θ, ) cho u, h = Ta định nghĩa Q (x) = |P (x)|2 , x ∈ Rn 42 Khi áp dụng (3.1) cho trường hợp đa thức P (x) = Qm (x) ta |Qm (D) u (η)| ≤ Cδ sup |Qm (x)| x∈K(δ) Do lim m→∞ Qm (D) u (η) 1/m ∞ ≤ sup |Q (x)| (3.22) x∈K(δ) Ta thấy < | u, h | = Qm (D) u, F −1 ≤ Qm (D) u (η) ∞ h (x) Qm (x) F −1 h (x) Qm (x) (3.23) Theo (3.22) Bổ đề 3.1 x∈B(θ,δ) |Q (x)| ≤ sup |Q (x)| sup x∈K(δ) Cho δ → ta |Q (θ)| ≤ sup |Q (x)| x∈K Điều mâu thuẫn Điều phải chứng minh ta thu u(ξ) ∈ C0∞ (K) Định lý chứng minh 3.2 Dạng thực Định lý Paley- Wiener cho hàm thuộc E (Rn) 3.2.1 Dạng thực Định lý Paley- Wiener cho tập compact Gọi K tập compact Rn δ > Kí hiệu K(δ) δ lân cận K Cn , B(x, δ) hình cầu bán kính δ > với tâm x Định lý 3.5 Giả sử K tập compact Rn Nếu u ∈ E (K) tồn số N ≥ cho với δ > có số Cδ < ∞ |P (D)u(η)| ≤ Cδ (1 + η )N sup |P (x)| (3.24) x∈K(δ) với η ∈ Rn với đa thức P (x) Ngược lại, với hàm u(η) C ∞ (Rn ) thỏa mãn (3.24) biến đổi Fourier hàm suy rộng với giá chứa K 43 Trước chứng minh định lý, ta chứng minh bổ đề sau Bổ đề 3.4 Giả sử u ∈ C ∞ (Rn ) biến đổi Fourier hàm suy rộng u ∈ S (Rn ), σ ∈ suppu, N > P (x) đa thức n biến Khi lim sup m→∞ η∈Rn 1/m |P m (D)u(η)| ≥ |P (σ)| (1 + η )N (3.25) Chứng minh Nếu lim sup m→∞ 1/m |P m (D)u(η)| η∈Rn =∞ (1 + η )N P (σ) = Thì (3.25) hiển nhiên Nếu lim m→∞ sup η∈Rn |P m (D)u(η)| 1/m m0 |P m (D)u(η)| (1 + η )N ∀m > m0 Từ P (σ) = 0, ta có với > đủ nhỏ, P (x) = 0, ∀x ∈ B[σ, ] Từ σ ∈ suppu, tồn ϕ ∈ B[σ, ] cho u, ϕ = Ta định nghĩa ϕm := F −1 ϕ(x) P m (x) Khi ϕm ∈ S(Rn ) Ta dễ dàng thấy F −1 (Dα u) = xα u Vì vậy, với P m (x) = |α|≤k aα x α F −1 P m (D)u = P m (x)u 44 Do P m (D)u(η)ϕm (η)dη = P m (D)u, ϕm = F −1 (P m (D)u), Fϕm Rn = P m (x)u, Fϕm = u, (Fϕm )(x)P m (x) = u, ϕ(x) m P (x) P m (x) = u, ϕ Cho nên P m (D)u(η)ϕm (η)dη | u, ϕ | = Rn (1 + η )N |ϕm (η)| dη, ≤ Cm ∀m > m0 (3.26) Rn Điều dẫn đến −1  1/m lim Cm m→∞ ≥  lim m→∞ Rn (1 + η )N ϕm (η)dη  Ta thấy (1 + η )N |ϕm (η)|dη (1 + η )N |ϕm (η)|dη ≤ 2N Rn Rn N = 2N k=1 Rn N k ≤ 22N sup η η 2k 2k |ϕm (η)|dη |ϕm (η)|dη (3.27) 1≤k≤N Rn Sử dụng công thức Leibniz ta có η α ϕm (η) dη = η α ϕm (η) = F −1 (Dα ( ϕ(x) )) P m (x) Rn α! Dγ ϕ(x)Dα−γ m γ!(α − γ)! P (x) α! F −1 Dγ ϕ(x)Dα−γ m γ!(α − γ)! P (x) = F −1 γ≤α ≤ γ≤α 45 Khi theo Bổ đề 3.1 1/m η α ϕm (η) dη lim m→∞ ≤ sup ξ∈B[σ, ] |P (ξ)| Rn Từ ta có với ≤ k ≤ N : 1/m  lim  η 2k m→∞ |ϕm (η)| dη  ≤ sup ξ∈B[σ, ] |P (ξ)| (3.28) Rn Từ (3.27)-(3.28) ta thu 1/m  (1 + η )N |ϕm (η)| dη  lim  m→∞ ≤ sup ξ∈B[σ, ] |P (ξ)| (3.29) Rn Từ (3.26) (3.29) ta có với m > m0 1/m lim Cm m→∞ ≥ |P (ξ)|, inf ∀ > ξ∈B[σ, ] Cho → ta nhận 1/m lim Cm m→∞ ≥ |P (σ)| Do ta có đánh giá (3.25) Bổ đề chứng minh Chứng minh Định lý 3.5 Chiều thuận: Giả sử u ∈ E (K) N ≥ Ta cần chứng minh tồn số Cδ < ∞ thỏa mãn đánh giá |P (D)u(η)| ≤ Cδ (1 + η )N sup |P (x)| x∈K(δ) Thật vậy, giả sử u ∈ E (K) Ta cố định δ > chọn hàm ψδ ∈ C0∞ (K δ ) cho ψδ = K δ , Kλ = {x + y : x ∈ K, y∈ Rn , |y| N > cho u hàm suy rộng cấp N Do đó, |P (D)u(η)| = |F (P (ξ)u(ξ)) (η)| Do suppu ⊂ K ψδ = lân cận K nên |P (D)u(η)| = |F (ψδ (ξ) P (ξ)u(ξ)) (η)| 46 ≤ λ} Khi tồn Suy u(ξ), ψδ (ξ)P (ξ)e−i η,ξ |P (D)u(η)| ≤ sup Dα ψδ (ξ)P (ξ)e−i η,ξ ≤C ξ∈K δ |α|≤N với η ∈ Rn với đa thức P Từ cơng thức Leibniz ta có Dα ψδ (ξ)P (ξ)e−i η,ξ = γ≤α α! Dγ P (ξ)Dα−γ ψδ (ξ)e−i η,ξ γ! (α − γ)! Ta biết đạo hàm hàm nguyên P (ξ) ước lượng K δ cách lấy giá trị lớn môđun K(δ) , ta thu (3.24) Ngược lại, giả sử u thỏa mãn đánh giá |P (D)u(η)| ≤ Cδ (1 + η )N sup |P (x)| x∈K(δ) ta cần chứng minh u ∈ E (K) Thật vậy, u thỏa mãn đánh giá rõ ràng u ∈ S (Rn ) Do đó, u ∈ S (Rn ) Bây ta chứng minh u ∈ E (K) phản chứng: Giả sử tồn điểm θ ∈ suppu, θ ∈ / K Ta định nghĩa Q(x) = t − (x − θ)2 , t = sup (x − θ)2 x∈K Khi áp dụng (3.24) cho trường hợp đa thức P (x) = Qm (x) ta |Qm (D)u(η)| ≤ Cδ (1 + η )N sup |Qm (x)| x∈K(δ) Do sup η∈Rn |Qm (D)u(η)| N (1 + η ) ≤ Cδ sup |Qm (x)| x∈K(δ) Do lim sup m→∞ η∈Rn |Qm (D)u(η)| (1 + η )N ≤ sup |Q(x)| (3.30) x∈K(δ) Theo Bổ đề 3.4 lim sup m→∞ η∈Rn |Qm (D)u(η)| (1 + η )N 47 ≥ |Q(θ)| (3.31) Kết hợp (3.30) (3.31) ta |Q(θ)| ≤ sup |Q(x)| x∈K Điều mâu thuẫn Định lý chứng minh 3.2.2 Dạng thực Định lý Paley- Wiener cho tập sinh dãy số Định lý 3.6 Giả sử K compact có tính chất g Khi u ∈ E (K) u ∈ C ∞ (Rn ) tồn số N cho với δ > tồn số Cδ |Dα u(η)| ≤ Cδ (1 + η )N sup |ξ α |, ∀η ∈ Rn , α ≥ (3.32) ξ∈Kδ Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử u ∈ E (K), u ∈ C ∞ (Rn ) N, δ số dương cho trước Ta cần chứng minh tồn số Cδ thỏa mãn đánh giá (3.32) Thật vậy, theo Định lý 3.5 áp dụng P (x) = xα ta thu |Dα u(η)| ≤ Cδ (1 + η )N sup |ξ α | ξ∈K(δ/n) Ta thấy rằng, với x ∈ K(δ/n) tồn ξ ∈ K cho 1/2 n |ξj − xj |2 x−ξ = < δ/n, j=1 |xj | < |ξj | + (δ/n) với j = 1, 2, , n (3.33) Từ ξ = (ξ1 , ξ2 , , ξn ) ∈ K K có tính chất g , ta có (|ξ1 |, |ξ2 |, , |ξn |) ∈ K Do đó, √ từ (|ξ1 |+(δ/(2n)), |ξ2 |+(δ/(2n)), , |ξn |+(δ/(2n)))−(|ξ1 |, |ξ2 |, , |ξn |) = δ/ 4n < δ với η = (|ξ1 | + (δ/(2n)), |ξ2 | + (δ/(2n)), , |ξn | + (δ/(2n))) ∈ Kδ Vì vậy, từ (3.33) với α ∈ Zn+ ta |xα | ≤ |η α |, x ∈ K(δ/n) , η ∈ Kδ hay sup |xα | ≤ sup |xα | x∈K(δ/n) x∈Kδ 48 ∀α ∈ Zn+ (3.34) Do đó, từ (3.32) (3.34), ta |Dα u(η)| ≤ Cδ (1 + η )N sup |ξ α | ξ∈Kδ Điều kiện đủ: Giả sử u thỏa mãn đánh giá |Dα u(η)| ≤ Cδ (1 + η )N sup |ξ α | ξ∈Kδ ta cần chứng minh u ∈ E (K) Thật vậy, u thỏa mãn (3.32), rõ ràng u ∈ S (Rn ) Do đó, u ∈ S (Rn ) Bây ta chứng minh u ∈ E (K) phản chứng: Giả sử tồn điểm θ ∈ suppu, θ ∈ / K Khi từ K = g(K) tồn γ ∈ Zn+ cho |θγ | > sup |ξ γ | ξ∈K Ta định nghĩa Q(x) = (xγ )2 , x ∈ Rn Khi áp dụng (3.24) cho trường hợp đa thức P (x) = Qm (x) ta |Qm (D)u(η)| ≤ Cδ (1 + η )N sup |Qm (x)| x∈K(δ) Do sup η∈Rn |Qm (D)u(η)| N (1 + η ) ≤ Cδ sup |Qm (x)| x∈K(δ) Do lim sup |Qm (D)u(η)| m→∞ η∈Rn (1 + η )N ≤ sup |Q(x)| (3.35) x∈K(δ) Theo Bổ đề 3.4 lim sup m→∞ η∈Rn |Qm (D)u(η)| (1 + η )N ≥ |Q(θ)| Kết hợp (3.35) (3.36) ta |Q(θ)| ≤ sup |Q(x)| x∈K Điều mâu thuẫn Định lý chứng minh 49 (3.36) 3.2.3 Dạng thực Định lý Paley- Wiener cho tập sinh đa thức Định nghĩa 3.3 Giả sử P (ξ) đa thức Ta đặt Q(P ) = {ξ ∈ Rn : |P (ξ)| ≤ 1} gọi tập sinh P (ξ) Rõ ràng, Q(P ) tập không lồi không compact Ta giả sử Q(P ) = ∅ Nếu Q(P ) compact (với trường hợp, P (ξ) = |ξ|2 ) ta có chứng minh sau Định lý 3.7 Giả sử P (ξ) đa thức Q(P ) compact Nếu u ∈ E (Q(P )) tồn số N ≥ cho với δ > tồn số Cδ < ∞ |P m (D)u(η)| ≤ Cδ (1 + η )N (1 + δ)m , m ≥ 0, η ∈ Rn (3.37) Ngược lại, với hàm u(η) Rn thỏa mãn (3.37) biến đổi Fourier hàm suy rộng với giá chứa Q(P ) Chứng minh Giả sử u ∈ E (K) δ số dương Do K = {ξ ∈ Rn : |P (ξ)| ≤ 1} nên tồn số δ1 cho sup |P (ξ)| ≤ + δ (3.38) ξ∈K(δ1 ) Khi theo Định lý 3.5 ta có: |P m (D)u(η)| ≤ CN,δ (1 + η )N sup |P m (x)| x∈K(δ1 ) Áp dụng (3.38) ta có |P m (D)u(η)| ≤ CN,δ (1 + η )N (1 + δ)m Do ta nhận đánh giá (3.37) Ngược lại, u thỏa mãn (3.37), rõ ràng u ∈ S (Rn ) Do đó, u ∈ S (Rn ) Bây ta chứng minh u ∈ E (K) phản chứng: Giả sử tồn điểm θ ∈ suppu, θ ∈ / K Khi |P (θ)| > Ta định nghĩa Q(x) = |P (x)|2 , 50 x ∈ Rn Khi áp dụng (3.24) cho trường hợp đa thức P (x) = Qm (x) ta |Qm (D)u(η)| ≤ Cδ (1 + η )N sup |Qm (x)| x∈K(δ) Do sup |Qm (D)u(η)| η∈Rn N (1 + η ) ≤ Cδ sup |Qm (x)| x∈K(δ) Do lim sup |Qm (D)u(η)| m→∞ η∈Rn (1 + η )N ≤ sup |Q(x)| (3.39) x∈K(δ) Theo Bổ đề 3.4 lim sup m→∞ η∈Rn |Qm (D)u(η)| (1 + η )N ≥ |Q(θ)| (3.40) Kết hợp (3.39) (3.40) ta |Q(θ)| ≤ sup |Q(x)| x∈K Điều mâu thuẫn Định lý chứng minh 3.2.4 Dạng thực Định lý Paley- Wiener cho tập lồi Kí hiệu P1 họ tất đa thức với hệ số thực bậc ≤ Định nghĩa 3.4 Với tập K compact Rn kí hiệu ch(K) = {ξ ∈ Rn : |P (ξ)| ≤ sup |P (t)| ∀P ∈ P1 } t∈K gọi bao lồi K Rõ ràng, K tập lồi K = ch(K) Ta chứng minh kết sau Định lý 3.8 Giả sử tập K compact lồi Nếu u ∈ E (K) với δ > tồn số Cδ < ∞ cho |P m (D)u(η)| ≤ Cδ (1 + η )N sup |P (z)|m (3.41) z∈K(δ) với m ∈ Zn+ , P (ξ) ∈ P1 η ∈ Rn Ngược lại, (3.41) với u(η) ∈ C ∞ (Rn ) u(η) biến đổi Fourier hàm suy rộng E (K) 51 Chứng minh Giả sử u ∈ E (K), theo Định lý 3.5 ta có |P m (D)u(η)| ≤ Cδ (1 + η )N sup |P (z)|m z∈K(δ) Ngược lại, u thỏa mãn (3.41), rõ ràng u ∈ S (Rn ) Do đó, u ∈ S (Rn ) Bây ta chứng minh u ∈ E (K) phản chứng: Giả sử tồn điểm θ ∈ suppu, θ ∈ / K Khi tồn đa thức P ∈ P1 cho |P (θ)| > Ta định nghĩa Q(x) = |P (x)|2 , x ∈ Rn Khi áp dụng (3.24) cho trường hợp đa thức P (x) = Qm (x) ta |Qm (D)u(η)| ≤ Cδ (1 + η )N sup |Qm (x)| x∈K(δ) Do sup η∈Rn |Qm (D)u(η)| N (1 + η ) ≤ Cδ sup |Qm (x)| x∈K(δ) Do lim sup |Qm (D)u(η)| m→∞ η∈Rn (1 + η |)N ≤ sup |Q(x)| (3.42) x∈K(δ) Theo Bổ đề 3.4 lim sup m→∞ η∈Rn |Qm (D)u(η)| (1 + η |)N ≥ |Q(θ)| Kết hợp (3.42) (3.43) ta |Q(θ)| ≤ sup |Q(x)| x∈K Điều mâu thuẫn Định lý chứng minh 52 (3.43) Kết luận Luận văn trình bày cách chi tiết hệ thống lại lý thuyết hàm suy rộng, phép biến đổi Fourier số kết định lý PaleyWiener Nội dung luận văn bao gồm: • Giới thiệu không gian hàm bản, không gian hàm suy rộng lý thuyết phép biến đổi Fourier • Dạng phức Định lý Paley- Wiener cho hình cầu Rn • Dạng phức Định lý Paley- Wiener cho tập compact bất kì, tập sinh dãy số, tập sinh đa thức tập lồi Tôi xin chân thành cảm ơn! 53 Tài liệu tham khảo [1] Đặng Anh Tuấn, (2005), Lý thuyết hàm suy rộng khơng gian Sobovlep, Giáo trình [2] Vũ Nhật Huy, (2012), Nghiên cứu tính chất hàm số thông qua giá phép biến đổi Fourier, Luận án tiến sĩ [3] N.B Andersen, M de Jeu (2010), Real Paley-Wiener theorems and local spectral radius formulas, Trans Amer Math Soc., 362, pp 3613-3640 [4] H.H Bang, The Paley-Wiener-Schwartz theorem for nonconvex domains, Proc Amer Math Soc., 108, pp 19-31 [5] V.S Vladimirov (2002), Methods of the Theory of Generalized Functions Taylor Francis, London, New York [6] [Schwartz 1952] L Schwartz, Transformation de Laplace des distributions, Comm Sém Math Univ Lund (1952), 196-206 54 ... PHỨC CỦA ĐỊNH LÝ PALEY- WIENER 25 2.1 Dạng phức Định lý Paley- Wiener cho hàm thuộc D(Rn ) 25 2.2 Dạng phức Định lý Paley- Wiener cho hàm thuộc E (Rn ) 28 DẠNG THỰC CỦA ĐỊNH LÝ PALEY- WIENER. .. 30 Dạng thực Định lý Paley- Wiener cho hàm thuộc D(Rn ) 30 3.1.1 Dạng thực Định lý Paley- Wiener cho tập compact 30 3.1.2 Dạng thực Định lý Paley- Wiener cho tập... 42 Dạng thực Định lý Paley- Wiener cho hàm thuộc E (Rn ) 43 3.2.1 Dạng thực Định lý Paley- Wiener cho tập compact 43 3.2.2 Dạng thực Định lý Paley- Wiener cho