MỤC LỤC PHẦN 1 – CƠ HỌC VẬT RẮN ..............................................................................3 CHƯƠNG 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ CÁC ĐỊNH LUẬT TĨNH HỌC.......................................................................................................................3 1.1 Các khái niệm cơ bản ...................................................................................3 1.2 Các tiên đề tĩnh học......................................................................................5 1.3 Liên kết và phản lực liên kết ........................................................................7 CHƯƠNG 2 – HỆ LỰC PHẲNG ĐỒNG QUY ..............................................12 2.1 Định nghĩa..................................................................................................12 2.2 Thu gọn hệ lực phẳng đồng quy.................................................................12 2.4 Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng đồng quy ........................................14 CHƯƠNG 3 : NGẪU LỰC................................................................................17 3.1 Mô men của lực đối với một điểm. ............................................................17 3.2 Ngẫu lực .....................................................................................................18 CHƯƠNG 4 HỆ LỰC PHẲNG BẤT KỲ.......................................................21 4.1 Khái niêm: ..................................................................................................21 4.2 Thu hệ lực phẳng bất kỳ về một tâm..........................................................21 4.3 Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng bất kỳ..............................................23 CHƯƠNG 5 HỆ LỰC SONG SONG TRỌNG TÂM VẬT RẮN .............25 5.1 Hệ lực song song........................................................................................25 5.2 Trọng tâm vật rắn .......................................................................................26 CHƯƠNG 6 MA SÁT......................................................................................30 6.1 Ma sát trượt ................................................................................................30 6.2 Ma sát lăn ...................................................................................................32 CHƯƠNG 7 ĐỘNG HỌC...............................................................................34 7.1 Chuyển động cơ bản của vật rắn ................................................................34 7.2 Chuyển động của điểm thuộc vật rắn quay quanh trục cố định.................38 7.3 Chuyển động tổng hợp của điểm ...............................................................39 CHƯƠNG 8 ĐỘNG LỰC HỌC .....................................................................42 8.1 Các định luật cơ bản của động lực học ......................................................42 8.2 Công và năng lượng ...................................................................................43 8.3 Công suất....................................................................................................44 8.4 Các định lý tổng quát của động lực học.....................................................45 PHẦN 2 – CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG.....................................................51 CHƯƠNG 9 – CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN....................................................51 9.1 Nhiệm vụ và đối tượng nghiên cứu............................................................51 9.2 Ngoại lực Nội lực – ứng suất...................................................................52 9.3 Các thành phần nội lực trên mặt cắt ngang................................................55 9.4 Biến dạng....................................................................................................56 9.5 Bài toán phẳng – Biểu đồ nội lực...............................................................57 9.6 Các giả thuyết cơ bản của sức bền vật liệu ................................................58 CHƯƠNG 10 : KÉO – NÉN ĐÚNG TÂM.......................................................59 10.1 Khái niệm .................................................................................................59 2 10.2 Biểu đồ nội lực .........................................................................................59 10.3 Ứng suất trên mặt cắt ngang của thanh ....................................................60 10.4 Biến dạng, độ giãn dài của thanh .............................................................62 10.5 Điều kiện bền ...........................................................................................63 CHƯƠNG 11 XOẮN THUẦN TUÝ ..............................................................66 11.1 Khái niệm .................................................................................................66 11.2 Nội lực – Biểu đồ nội lực........................................................................66 11.3 Điều kiện bền , ba bài toán cơ bản. ..........................................................69 CHƯƠNG 12 UỐN PHẲNG NHỮNG THANH THẲNG..........................70 12.1 Khái niệm .................................................................................................70 12.2 Dầm chịu uốn thuần túy phẳng ................................................................71 12.3. Uốn ngang phẳng ....................................................................................77 PHẦN 3: NGUYÊN LÝ – CHI TIẾT MÁY ........................................................81 CHƯƠNG 13: MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH NGHĨA VỀ MÁY .........81 13.1 Máy...........................................................................................................81 13.2 Chi tiết máy ..............................................................................................81 13.3 Cơ cấu.......................................................................................................82 13.4 Khâu và khớp động ..................................................................................82 13.5 Tỉ số truyền...............................................................................................85 CHƯƠNG 14: TRUYỀN ĐỘNG MA SÁT......................................................86 14.1 Truyền động bánh ma sát. ........................................................................86 14.2 Truyền động đai .......................................................................................87 CHƯƠNG 15 – TRUYỀN ĐỘNG ĂN KHỚP.................................................93 15.1 Truyền động bánh răng ............................................................................93 15.2 Truyền động trục vít bánh vít ..............................................................100 15.3 Truyền động xích ...................................................................................102 15.4 Truyền động cơ cấu cóc .........................................................................105 CHƯƠNG 16: CƠ CẤU 4 KHÂU – 4 KHỚP BẢN LỀ, CƠ CẤU CAM VÀ MỘT SỐ LOẠI TRUYỀN ĐỘNG CƠ KHÍ KHÁC.....................................106 16.1 Cơ cấu 4 khâu bản lề ..............................................................................106 16.2 Cơ cấu cam.............................................................................................107 16.3 Một số loại truyền động cơ khí khác......................................................109 16.3.1 Cơ cấu Manter.....................................................................................109 16.3.2 Cơ cấu bánh răng thanh răng ............................................................110 16.3.3 Cơ cấu vít me đai ốc. .......................................................................110 16.3.4 Khớp ly hợp.........................................................................................111 3 PHẦN 1 – CƠ HỌC VẬT RẮN Mục tiêu: Trình bày một số kiến thức cơ bản về cơ học; Giải được một số bài toán tĩnh học, hợp chuyển động đơn giản. CHƯƠNG 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ CÁC ĐỊNH LUẬT TĨNH HỌC 1.1 Các khái niệm cơ bản 1.1.1 Vật rắn tuyệt đối Vật rắn tuyệt đối là vật thể mà trong suốt quá trình chịu lực nó không bị thay đổi về hình dạng kích thước (biến dạng) hay nói một cách khác là khoảng cách giữa 2 điểm bất kỳ thuộc vật luôn luôn không đổi. Vật rắn tuyệt đối chỉ là mô hình của các vật thể khi các biến dạng của nó bỏ qua được do quá bé hoặc không đóng vai trò quan trọng trong quá trình khảo sát. Để đơn giản, sau đây vật rắn tuyệt đối sẽ được gọi vắn tắt là vật rắn hoặc đơn giản hơn vật Trong thực tế không có vật rắn tuyệt đối vì khi chịu lực các vật rắn ít nhiều đều bị biến dạng. Nhưng đối với các chi tiết máy hay các kết cấu công trình người ta phải tính toán và thiết kế sao cho sự biến dạng đó không ảnh hưởng tới chức năng của máy hay công trình, có nghĩa là sự biến dạng đó phải coi như không đáng kể. Trong trường hợp này chúng coi như không biến dạng hay nói cách khác chúng là vật rắn tuyệt đối. 1.1.2 Chất điểm Chất điểm là điểm hình học có khối lượng bằng khối lượng của vật thể hoặc một phần của vật thể. Trong nhiều trường hợp có thể coi vật thể như chất điểm khi kích thước của nó có thể bỏ qua trong quá trình khảo sát, ví dụ, khi ta nghiên cứu chuyển động của các hành tinh trong hệ mặt trời. 1.1.3 Lực và hệ lực a Lực Tác dụng tương hỗ cơ học giữa các vật thể, gây ra sự biến đổi của trạng thái chuyển động cơ học (bao gồm cả biến dạng) của các vật thể được gọi là lực. Trong tĩnh học các lực được hiểu như một đại lượng đặc trưng cho sự tác động tương hỗ giữa các vật thể mà kết quả là gây nên sự thay đổi trạng thái hay vị trí của các vật thể đó. Vậy: Lực là một đại lượng đặc trưng cho tác dụng tương hỗ giữa các vật thể mà kết quả là làm thay đổi trạng thái hay vị trí của các vật thể đó. Các yếu tố của lực. Điểm đặt: Là điểm trên vật mà tại đó vật nhận lực tác dụng vào. Phương chiều: là phương và chiều chuyển động của chất điểm (vật thể có kích thước vô cùng bé) từ trạng thái yên nghỉ dưới tác dụng cơ học. Bất kỳ lực nào khi tác dụng lên vật cũng có phương và chiều nhất định. Ví dụ: Lực ma sát luôn ngược chiều với chiều chuyển động, trọng lực hướng về tâm trái đất... 4 Đường thẳng mà theo đó lực tác dụng lên vật gọi là đường tác dụng của lực (Hình 11). Trị số của lực: Cường độ tác dụng của lực biểu thị độ mạnh yếu của lực. Lực phụ thuộc vào cả 3 yếu tố trên, thay đổi 1 trong 3 yếu tố đó tác dụng của lực sẽ thay đổi. Biểu diễn lực. Đối chiếu với các khái niệm toán học đã biết ta thấy về mặt hình học có thể biểu diễn lực dưới dạng một véc tơ (Hình 11). Gốc véc tơ biểu diễn điểm đặt lực. Phương và chiều véc tơ biểu diễn phương và chiều của lực. Chiều dài của véc tơ theo 1 tỷ lệ xích nào đó biểu diễn trị số của lực. Ký hiệu lực bằng 1 hoặc 2 chữ cái in hoa có mũi tên ở trên F hoặc AB Hình 11 Đơn vị tính lực: Đơn vị chính để đo độ lớn của lực là: Niu tơn, ký hiệu là : N. Bội số của N là KilôNiutơn, ký hiệu là KN (1KN = 103 N); MêgaNiutơn, ký hiệu MN (1MN = 106 N). Lực còn được ký hiệu là kG lực: 1kG = 9.81 N 10 N. b Hệ lực Hai lực trực đối: Là hai lực có cùng trị số, cùng đường tác dụng nhưng ngược chiều nhau (hình 1 2a,b). Hệ lực: Là tất cả các lực cùng tác dụng lên một vật rắn (hình 13). Hệ lực ký hiệu như sau: ( F1 ; F2; F3; F4 ). Hệ lực có nhiều dạng, ta sẽ lần lượt nghiên cứu ở các phần sau. Hệ lực tương đương: Hai hệ lực được gọi là tương đương nhau nếu chúng cùng gây cho vật tác dụng cơ học như nhau. Vậy hai lực tương đương có thể thay thế tác dụng cho nhau. Ký hiệu dấu tương đương: Ví dụ hệ lực ( F1 , F2...Fn; ) tương đương với hệ lực (Q1,Q2,..Qn ) được viết như sau: ( F1 , F2...Fn ) (Q1,Q2,..Qn ) . Hợp lực: Hợp lực của một hệ lực là một lực có tác dụng tương đương với cả hệ lực. A B F F Đường tác dụng của lực Hình12a F 1 F 2 F 3 F 4 Hình13 F1 F2 Q1 Q 2 Q1 Q2 Hình 12b F1 F2 5 Ví dụ: Nếu lực R có tác dụng tương đương với hệ lực ( F1 , F2...Fn ) thì R là hợp lực của hệ (F1 , F2...Fn ). Hệ lực cân bằng: Là hệ lực tác động vào vật rắn không làm thay đổi trạng thái động học của vật. Nói cách khác hệ lực cân bằng tương đương 0. Kí hiệu hệ lực cân bằng: ( F1 , F2...Fn ) 0. Vật chịu tác dụng của hệ lực cân bằng được gọi là vật cân bằng (vật ở trạng thái cân bằng). Trong phần này ta chỉ nghiên cứu vật ở trạng thái cân bằng là vật đứng yên so với mặt đất. 1.1.4 Trạng thái cân bằng Vật rắn được nghiên cứu trong tĩnh học là vật rắn cân bằng. Vật rắn cân bằng là vật luôn nằm yên hay chuyển động thẳng đều so hệ trục toạ độ đã được chọn làm chuẩn. Nếu hệ trục toạ độ được gắn với hệ quy chiếu cố định trái đất thì cân bằng đó là cân bằng tuyệt đối. Sự cân bằng của vật rắn. Nếu dưới tác dụng của một hệ lực, vật rắn đang đứng yên hoặc đạng chuyển động so với một hệ toạ độ đã chọn nào đó thì vẫn tiếp tục chuyển động thẳng đều, ta nói rằng vật rắn đó ở trạng thái cân bằng. Khi đó, các lực tác dụng lên vật rắn một hệ lực cân bằng. Bất kỳ một lực nào của hệ lực cân bằng cũng cân bằng với các lực còn lại. 1.2 Các tiên đề tĩnh học. 1.2.1. Tiên đề 1 (hai lực cân bằng ). Điều kiện cần và đủ để vật rắn chịu tác dụng của 2 lực cân bằng là 2 lực đó phải có cùng trị số, cùng đường tác dụng là đường nối 2 điểm đặt và có chiều ngược nhau (hình 1.5). F1 F2 Hay (F1,F2) 0 Với hai hệ lực cân bằng: (F1,F2,....,Fn) (F1,F2,....,Fn ) 0 1.2.2. Tiên đề 2 (thêm bớt hai lực cân bằng). Tác dụng của hệ lực lên một vật rắn sẽ không thay đổi nếu thêm vào hay bớt đi hai lực cân bằng nhau (Hình 1.6a) F1 F2 F 1 = F 2 Hình 15b Hình 15a Q1 = Q2 Q1 Q2 6 Hệ quả (trượt lực) : Tác dụng của 1 lực lên một vật rắn sẽ không thay đổi khi trượt lực trên đường tác dụng của nó (Hình 1.6b). Chứng minh: Giả sử có một vật rắn chịu sự tác động của lực F đặt tại điểm A. Trên đường tác dụng của lực F ta thêm vào hai lực F1, F2 đặt tại điểm B biết rằng (F1,F2) 0 có trị số F1 F2 F và có cùng đường tác dụng với lực F . Theo định luật 1 ta có F,F1 0 Theo định luật 2 ta có thể bỏ hệ F,F1 như vậy chỉ còn có lực F2 tác dụng lên hệ. Kết quả là lực F đã được rời từ vị trí A đến vị trí B của F2. Định lý đã được chứng minh. Hình 16 a) Hình 16 b) 1.2.3. Tiên đề 3 ( Quy tắc hình bình hành lực). Hai lực tác dụng lên vật rắn tại điểm tương đương với một lực tác dụng tại cùng điểm đó và có véc tơ lực bằng véc tơ chéo của hình bình hành có hai cạnh là hai véc tơ lực của các lực đã cho. Nhờ định luật này cho phép sử dụng phép tính cộng véc tơ để cộng lực. Do hệ quả trượt lực, điều kiện hai lực đặt tại một điểm có thể mở rộng thành điều kiện hai đường tác dụng của hai lực gặp nhau. 1.2.4. Tiên đề 4 (tác dụng tương hỗ). Lực mà hai vật tác dụng lẫn nhau bằng nhau về trị số cùng phương và ngược chiều. Về bản chất hai lực này không phải là hai lực cân bằng vì chúng có điểm đặt tại hai vật thể khác nhau. Đây là tiên đề cơ bản của tĩnh học nó chỉ rõ lực bao giờ cũng xuất hiện 2 chiều. Nếu B tác dụng lên A một lực F thì nó cũng chịu của A một lực phản tác dụng F (Hình 1.8). Về véc tơ F = F 7 Hình 17 Hình 18 1.2.5. Tiên đề hoá rắn. Nếu dưới tác dụng của hệ lực nào đó mà vật biến dạng ở trạng thái cân bằng thì khi rắn lại vật đó vẫn cân bằng. Ý nghĩa: Dưới tác dụng của lực vật có thể bị biến dạng nhưng sau khi biến dạng rồi nó ở trạng thái cân bằng thì ta có thể xem nó như vật rắn đang ở trạng thái cân bằng và tiến hành khảo sát lực mà không ảnh hưởng gì đến kết quả. Tiên đề này cho phép ứng dụng các phương trình tĩnh học để giải các bài toán tìm phản lực trong phần cơ học biến dạng. 1.2.6. Tiên đề giải phóng liên kết. Vật không tự do (tức là vật chịu liên kết) cân bằng có thể được xem là vật tự do cân bằng nếu giải phóng các liên kết thay thế tác dụng của các liên kết được giải phóng bằng các phản lực liên kết tương ứng. 1.3 Liên kết và phản lực liên kết 1.3.1 Vật tự do và vật bị liên kết Vật rắn có thể thực hiện mọi di chuyển vô cùng bé từ vị trí đang xét sang vị trí lân cận, gọi là vật rắn tự do. Nếu một số di chuyển của vật rắn bị cản trở bởi những vật khác, thì vật rắn là không tự do. Những điều kiện cản trở di chuyển của vật rắn gọi là những liên kết đặt lên vật rắn. Trong tĩnh học chỉ khảo sát các liên kết hình học là loại liên kết được tạo thành bởi sự tiếp xúc hình học giữa các vật rắn. Vật không tự do gọi là vật chịu liên kết, vật gây cản trở cản trở di chuyển của vật khác được gọi là vật gây liên kết. Ví dụ: quyển sách đặt trên mặt bàn thì quyển sách là vật khảo sát và bàn là vật gây liên kết. Các lực đặc trưng cho tác dụng tương hỗ giữa các vật có liên kết hình học với nhau qua vị trí tiếp xúc được gọi là lực liên kết. Các lực liên kết sẽ biến mất khi các liên kết mất đi. Các lực không phải là lực liên kết gọi là các lực hoạt động, các lực này không biến mất đi khi các liên kết mất đi. 1.3.2 Phản lực liên kết Do tác dụng tương hỗ, vật khảo sát tác dụng lên vật gây liên kết một lực, gọi là lực tác dụng. Theo tiên đề 4, vật gây liên kết phải tác dụng lên vật khảo sát một lực, lực đó gọi là phản lực liên kết ( gọi tắt là phản lực). Tất cả những đối tượng có tác dụng khống chế dịch chuyển của vật đang khảo sát được gọi là các liên kết. 8 Những lực mà các vật khác tác dụng lên vật đang khảo sát làm hạn chế hay cản trở chuyển động của nó gọi là các phản lực liên kết ( lực phản tác dụng do các liên kết gây ra) Phản lực liên kết đựơc xác định theo các nguyên tắc sau: Phản lực liên kết bao giờ cũng đặt vào vật thể khảo sát tại điểm tiếp xúc giữa nó và vật gây liên kết. Phản lực liên kết cùng phương và ngược chiều với chuyển động bị cản trở. Nói cách khác nó vuông góc với phương của chuyển động 1.3.3 Một số liên kết thường gặp. Độ lớn của phản lực liên kết phụ thuộc vào các lực hoạt động tác dụng lên vật được khảo sát, tuy nhiên tuỳ theo tính chất của liên kết, ta có thể xác định các đặc trưng về phương chiều của chúng. Để xác định phương chiều của phản lực liên kết ta giả sử bỏ qua lực ma sát tại chỗ tiếp xúc của vật khảo sát và vật liên kết, khi đó tương ứng với hướng di chuyển thẳng bị ngăn trở có phản lực ngược chiều tương ứng với hướng di chuyển quay bị ngăn trở có mômen phản lực ngược chiều. Dưới đây là một số liên kết thường gặp. Tiên đề: Vật rắn không tự do có thể xem như vật rắn tự do khi giải phóng các liên kết và thay vào đó bằng các phản lực liên kết tương ứng. 1 Liên kết tựa (vật khảo sát tựa lên vật liên kết): Hai vật trực tiếp tựa lên nhau theo một bề mặt, hoặc đường, hoặc điểm; loại liên kết này cho phép vật khảo sát có thể di chuyển dọc theo một phương nào đó đối với vật gây liên kết, phản lực liên kết có phương theo pháp tuyến chung giữa hai mặt tiếp xúc. Trường hợp đặc biệt nếu tiếp xúc là một điểm nhọn tựa lên mặt hay ngược lại thì phản lực liên kết sẽ có phương pháp tuyến với mặt tại điểm tiếp xúc. ( Hình vẽ 19, 110, 111) Hình 19 Hình 110 Hình 111 2 Liên kết dây mềm, ví dụ các liên kết bằng tời, cáp, đai truyền... Các liên kết dạng này chỉ hạn chế chuyển động của vật thể theo chiều dây hoặc thanh, phản lực liên kết luôn có phương dọc theo dây. 9 Hình 112 3 Liên kết thanh Được thực hiện nhờ các thanh không trọng lượng (trọng lượng thanh không
CƠ HỌC VẬT RẮN
Trình bày một số kiến thức cơ bản về cơ học;
Giải được một số bài toán tĩnh học, hợp chuyển động đơn giản.
CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ CÁC ĐỊNH LUẬT TĨNH HỌC
Các khái niệm cơ bản
Vật rắn tuyệt đối là một mô hình lý tưởng của vật thể, trong đó hình dạng và kích thước không thay đổi khi chịu lực, tức là khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ trên vật luôn luôn không đổi Mô hình này được sử dụng khi các biến dạng của vật thể là quá nhỏ hoặc không quan trọng trong quá trình nghiên cứu, và sẽ được gọi tắt là vật rắn hoặc đơn giản là vật.
Trong thực tế, không tồn tại vật rắn tuyệt đối vì mọi vật rắn đều bị biến dạng khi chịu lực Tuy nhiên, trong thiết kế chi tiết máy và kết cấu công trình, cần tính toán để đảm bảo sự biến dạng này không ảnh hưởng đến chức năng của chúng Do đó, trong nhiều trường hợp, sự biến dạng được coi là không đáng kể và vật thể được xem như là vật rắn tuyệt đối.
Chất điểm là một điểm hình học có khối lượng tương đương với khối lượng của vật thể hoặc một phần của vật thể Trong nhiều trường hợp, vật thể có thể được coi như chất điểm khi kích thước của nó không ảnh hưởng đáng kể đến quá trình khảo sát, chẳng hạn như khi nghiên cứu chuyển động của các hành tinh trong hệ mặt trời.
1.1.3 Lực và hệ lực a/ Lực
Lực là tác dụng tương hỗ cơ học giữa các vật thể, dẫn đến sự biến đổi trong trạng thái chuyển động và biến dạng của chúng.
Trong tĩnh học, lực được định nghĩa là đại lượng thể hiện sự tương tác giữa các vật thể, dẫn đến sự thay đổi trạng thái hoặc vị trí của chúng.
Lực là đại lượng đặc trưng cho sự tương tác giữa các vật thể, dẫn đến việc thay đổi trạng thái hoặc vị trí của chúng.
Các yếu tố của lực
- Điểm đặt: Là điểm trên vật mà tại đó vật nhận lực tác dụng vào
- Phương chiều: là phương và chiều chuyển động của chất điểm (vật thể có kích thước vô cùng bé) từ trạng thái yên nghỉ dưới tác dụng cơ học
Bất kỳ lực nào khi tác dụng lên vật cũng có phương và chiều nhất định
Lực ma sát luôn hướng ngược lại với chiều chuyển động, trong khi trọng lực luôn kéo vật về phía tâm trái đất Đường thẳng mà lực tác động lên vật đi qua được gọi là đường tác dụng của lực.
- Trị số của lực: Cường độ tác dụng của lực biểu thị độ mạnh yếu của lực
Lực phụ thuộc vào cả 3 yếu tố trên, thay đổi 1 trong 3 yếu tố đó tác dụng của lực sẽ thay đổi
Biểu diễn lực có thể thực hiện thông qua véc tơ, theo các khái niệm toán học đã được biết đến, điều này thể hiện rõ qua hình học (Hình 1-1).
- Gốc véc tơ biểu diễn điểm đặt lực
- Phương và chiều véc tơ biểu diễn phương và chiều của lực
- Chiều dài của véc tơ theo 1 tỷ lệ xích nào đó biểu diễn trị số của lực
- Ký hiệu lực bằng 1 hoặc 2 chữ cái in hoa có mũi tên ở trên F hoặc AB
Đơn vị chính để đo lực là Niu tơn, ký hiệu là N Các bội số của Niu tơn bao gồm KilôNiutơn (KN), với 1 KN tương đương 10^3 N, và MêgaNiutơn (MN), với 1 MN tương đương 10^6 N.
Lực còn được ký hiệu là kG lực: 1kG = 9.81 N 10 N b/ Hệ lực
- Hai lực trực đối: Là hai lực có cùng trị số, cùng đường tác dụng nhưng ngược chiều nhau (hình 1- 2a,b)
Hệ lực là tập hợp tất cả các lực tác động lên một vật rắn, được ký hiệu bằng (F1; F2; F3; F4) Có nhiều dạng hệ lực khác nhau, và chúng ta sẽ lần lượt nghiên cứu các dạng này trong các phần tiếp theo.
Hệ lực tương đương là hai hệ lực được coi là tương đương khi chúng tạo ra tác dụng cơ học giống nhau lên một vật Điều này có nghĩa là hai lực tương đương có thể thay thế cho nhau trong việc tác động lên vật thể Ký hiệu cho sự tương đương này được biểu thị bằng dấu Ví dụ, một hệ lực (F1, F2, Fn) được coi là tương đương với một hệ lực khác (Q1, Q2, Qn) và được viết là (F1, F2, Fn) (Q1, Q2, Qn).
- Hợp lực: Hợp lực của một hệ lực là một lực có tác dụng tương đương với cả hệ lực
F F Đường tác dụng của lực
Ví dụ: Nếu lực R có tác dụng tương đương với hệ lực (F , 1 F 2 F n ) thì R là hợp lực của hệ (F , 1 F 2 F n )
Hệ lực cân bằng là tập hợp các lực tác động lên một vật rắn mà không làm thay đổi trạng thái động học của nó Điều này có nghĩa là tổng hợp các lực trong hệ lực cân bằng sẽ bằng 0.
Kí hiệu hệ lực cân bằng: (F , 1 F 2 F n ) 0
Vật chịu tác động của hệ lực cân bằng được gọi là vật cân bằng, tức là vật ở trạng thái cân bằng Trong phần này, chúng ta chỉ tập trung vào vật ở trạng thái cân bằng khi nó đứng yên so với mặt đất.
Vật rắn trong tĩnh học được nghiên cứu dưới dạng vật rắn cân bằng, tức là vật luôn ở trạng thái yên tĩnh hoặc chuyển động thẳng đều theo hệ trục tọa độ đã được chọn làm chuẩn.
Nếu hệ trục toạ độ được gắn với hệ quy chiếu cố định trái đất thì cân bằng đó là cân bằng tuyệt đối
Sự cân bằng của vật rắn xảy ra khi vật đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều dưới tác dụng của một hệ lực Trong trạng thái này, các lực tác động lên vật rắn tạo thành một hệ lực cân bằng, nghĩa là bất kỳ lực nào trong hệ lực đó đều cân bằng với các lực còn lại.
Các tiên đề tĩnh học
1.2.1 Tiên đề 1 (hai lực cân bằng ) Điều kiện cần và đủ để vật rắn chịu tác dụng của 2 lực cân bằng là 2 lực đó phải có cùng trị số, cùng đường tác dụng là đường nối 2 điểm đặt và có chiều ngược nhau (hình 1.5)
Với hai hệ lực cân bằng:
1.2.2 Tiên đề 2 (thêm bớt hai lực cân bằng)
Tác dụng của hệ lực lên một vật rắn sẽ không thay đổi nếu thêm vào hay bớt đi hai lực cân bằng nhau (Hình 1.6a)
* Hệ quả (trượt lực) : Tác dụng của 1 lực lên một vật rắn sẽ không thay đổi khi trượt lực trên đường tác dụng của nó (Hình 1.6b)
Chứng minh: Giả sử có một vật rắn chịu sự tác động của lực F đặt tại điểm A
Trên đường tác dụng của lực F ta thêm vào hai lực F 1, F 2 đặt tại điểm B biết rằng (F , F ) 1 2 0 có trị số F 1 F 2 F và có cùng đường tác dụng với lực F
Theo định luật 1 ta có F, F 1 0
Theo định luật 2, chúng ta có thể loại bỏ hệ lực F và F1, chỉ giữ lại lực F2 tác động lên hệ Kết quả cho thấy lực F đã di chuyển từ vị trí A đến vị trí B của F2, chứng minh cho định lý này.
1.2.3 Tiên đề 3 ( Quy tắc hình bình hành lực)
Hải lực tác dụng lên vật rắn tại một điểm có thể được thay thế bằng một lực tương đương tại cùng điểm đó Lực tương đương này có véc tơ lực bằng véc tơ chéo của hình bình hành, trong đó hai cạnh là véc tơ lực của các lực đã cho.
Định luật này cho phép áp dụng phép tính cộng véc tơ trong việc cộng lực Nhờ vào hệ quả trượt lực, điều kiện cho hai lực tác dụng tại một điểm có thể được mở rộng thành điều kiện cho hai đường tác dụng của hai lực gặp nhau.
1.2.4 Tiên đề 4 (tác dụng tương hỗ)
Lực mà hai vật tác dụng lẫn nhau bằng nhau về trị số cùng phương và ngược chiều
Hai lực này không phải là lực cân bằng vì chúng tác động lên hai vật thể khác nhau Đây là một trong những tiên đề cơ bản của tĩnh học, cho thấy lực luôn xuất hiện theo hai chiều Khi vật B tác dụng lên vật A một lực F, thì vật A cũng tác động trở lại lên vật B một lực phản tác dụng F'.
Khi một vật bị biến dạng dưới tác dụng của lực nhưng vẫn ở trạng thái cân bằng, nó có thể được coi như một vật rắn trong trạng thái cân bằng sau khi rắn lại Điều này cho phép chúng ta khảo sát lực mà không làm ảnh hưởng đến kết quả Tiên đề này hỗ trợ việc ứng dụng các phương trình tĩnh học để giải quyết các bài toán tìm phản lực trong lĩnh vực cơ học biến dạng.
1.2.6 Tiên đề giải phóng liên kết
Vật không tự do, tức là vật chịu liên kết, có thể được coi là vật tự do trong trạng thái cân bằng khi các liên kết được giải phóng và tác dụng của chúng được thay thế bằng các phản lực liên kết tương ứng.
Liên kết và phản lực liên kết
1.3.1 Vật tự do và vật bị liên kết
Vật rắn có khả năng di chuyển một cách nhỏ bé từ vị trí này sang vị trí khác, được gọi là vật rắn tự do Tuy nhiên, nếu di chuyển của vật rắn bị cản trở bởi các vật thể khác, thì nó sẽ không còn được coi là tự do.
Các liên kết cản trở di chuyển của vật rắn được gọi là liên kết đặt lên vật rắn Trong tĩnh học, chỉ khảo sát các liên kết hình học, tức là liên kết hình thành từ sự tiếp xúc giữa các vật rắn Vật không tự do được gọi là vật chịu liên kết, trong khi vật gây cản trở di chuyển của vật khác được gọi là vật gây liên kết.
Ví dụ: quyển sách đặt trên mặt bàn thì quyển sách là vật khảo sát và bàn là vật gây liên kết
Lực liên kết là các lực đặc trưng cho sự tương tác giữa các vật có liên kết hình học thông qua vị trí tiếp xúc Khi các liên kết này mất đi, lực liên kết sẽ không còn tồn tại Ngược lại, các lực không phải là lực liên kết, được gọi là lực hoạt động, vẫn giữ nguyên ngay cả khi các liên kết không còn.
Do tác dụng tương hỗ, vật khảo sát chịu ảnh hưởng từ một lực gọi là lực tác dụng Theo tiên đề 4, vật gây liên kết phải tác động lên vật khảo sát một lực, được gọi là phản lực liên kết, hay còn gọi tắt là phản lực.
Tất cả những đối tượng có tác dụng khống chế dịch chuyển của vật đang khảo sát được gọi là các liên kết
Các phản lực liên kết là những lực mà các vật khác tác động lên vật đang được khảo sát, làm hạn chế hoặc cản trở chuyển động của nó Những lực này là phản tác dụng do các liên kết gây ra.
Phản lực liên kết đựơc xác định theo các nguyên tắc sau:
- Phản lực liên kết bao giờ cũng đặt vào vật thể khảo sát tại điểm tiếp xúc giữa nó và vật gây liên kết
- Phản lực liên kết cùng phương và ngược chiều với chuyển động bị cản trở Nói cách khác nó vuông góc với phương của chuyển động
1.3.3 Một số liên kết thường gặp Độ lớn của phản lực liên kết phụ thuộc vào các lực hoạt động tác dụng lên vật được khảo sát, tuy nhiên tuỳ theo tính chất của liên kết, ta có thể xác định các đặc trưng về phương chiều của chúng Để xác định phương chiều của phản lực liên kết ta giả sử bỏ qua lực ma sát tại chỗ tiếp xúc của vật khảo sát và vật liên kết, khi đó tương ứng với hướng di chuyển thẳng bị ngăn trở có phản lực ngược chiều tương ứng với hướng di chuyển quay bị ngăn trở có mômen phản lực ngược chiều Dưới đây là một số liên kết thường gặp
Vật rắn không tự do có thể được coi như vật rắn tự do khi các liên kết bị giải phóng và được thay thế bằng các phản lực liên kết tương ứng Điều này cho phép phân tích các lực tác động lên vật rắn một cách hiệu quả hơn, giúp hiểu rõ hơn về hành vi và chuyển động của nó trong các điều kiện khác nhau.
1/ Liên kết tựa (vật khảo sát tựa lên vật liên kết):
Khi hai vật tiếp xúc với nhau qua một bề mặt, đường, hoặc điểm, chúng tạo ra một loại liên kết cho phép vật khảo sát di chuyển dọc theo một phương nhất định Phản lực liên kết sẽ có phương theo pháp tuyến chung giữa hai bề mặt tiếp xúc Trong trường hợp đặc biệt, nếu tiếp xúc là một điểm nhọn, phản lực liên kết sẽ hướng theo pháp tuyến tại điểm tiếp xúc với bề mặt.
2/ Liên kết dây mềm, ví dụ các liên kết bằng tời, cáp, đai truyền Các liên kết dạng này chỉ hạn chế chuyển động của vật thể theo chiều dây hoặc thanh, phản lực liên kết luôn có phương dọc theo dây
3/ Liên kết thanh Được thực hiện nhờ các thanh không trọng lượng (trọng lượng thanh không đáng kể) và nối khớp bản lề ở hai đầu
Phản lực liên kết nằm dọc theo trục của thanh thẳng và theo đường nối giữa tâm của hai đầu bản lề đối với thanh cong Chiều hướng của phản lực này có thể vào hoặc ra khỏi thanh, tùy thuộc vào việc thanh chịu kéo hay chịu nén Số lượng phản lực bằng với số thanh liên kết.
4/ Liên kết khớp bản lề:
Liên kết bản lề di động chỉ cho phép chuyển động của vật khảo sát theo hướng vuông góc với mặt phẳng trượt, do đó phản lực liên kết sẽ có phương vuông góc với mặt trượt.
Liên kết bản lề cố định cho phép vật khảo sát chỉ quay quanh một góc nhất định trong mặt phẳng vuông góc với trục bản lề, mà không có chuyển động thẳng Phản lực của liên kết này sẽ vuông góc với trục bản lề, nhưng phương chiều của nó chưa được xác định, do đó thường được phân chia thành hai thành phần vuông góc với nhau nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục bản lề.
Liên kết này ngăn cản mọi chuyển động của vật khảo sát, không chỉ hạn chế di chuyển theo các phương khác nhau mà còn cản trở cả chuyển động quay.
Liên kết ngàm phẳng không chỉ tạo ra phản lực theo phương thẳng đứng và nằm ngang mà còn hạn chế sự quay của vật, do đó sinh ra mômen phản lực m.
Lực được xác định như liên kết bản lề cố định ( X và Y ) ,còn mômen m chưa biết chiều quay và trị số Khi tính toán phải giả thiết chiều quay
Liên kết ngàm không gian, vật khảo sát bị hạn chế 6 bậc tự do( Hình1-16b)
1.3.4 Lực tập trung và lực phân bố
Lực tập trung là lực đặt tại một điểm trên vật khảo sát
Lực phân bố trên một đoạn vật được đặc trưng bởi cường độ phân bố q (N/m hoặc kN/m) trên mỗi đơn vị chiều dài Để đơn giản hóa việc tính toán các phản lực, lực phân bố có thể được thay thế bằng lực tập trung Cụ thể, trong trường hợp lực phân bố theo quy luật hình chữ nhật, nó có thể được thay bằng lực tập trung Q = ql đặt tại điểm giữa của chiều dài phân bố Đối với lực phân bố theo quy tắc tam giác, lực này có thể được thay thế bằng lực tập trung Q = ql/2, đặt tại vị trí l/3 chiều dài đoạn phân bố về phía đáy lớn của tam giác.
HỆ LỰC PHẲNG ĐỒNG QUY
Định nghĩa
Hệ lực phẳng đồng quy là hệ lực mà đường tác dụng của các lực thuộc hệ gặp nhau tại 1 điểm (Hình
Theo tiên đề 1 và 2 cùng với hệ quả trượt lực, chúng ta có thể đưa các lực về điểm đồng quy (điểm 0) để tạo ra một hệ lực đồng quy tại cùng một điểm đặt.
Thu gọn hệ lực phẳng đồng quy
* Định lý: Thu hệ lực phẳng đồng quy ta được 1 hợp lực Rđặt tại điểm đồng quy 0 (Hình 2-3)
Giả sử ta có hệ lực (F 1 , F 2 , , F n )đồng quy tại điểm O áp dụng tiên đề 3 thu lần lượt từng 2 lực một bằng quy tắc hình bình hành: Hợp 2 lực
(F 1 2 ta được R 1 đặt tại 0, rồi lại hợp R 1 với
F 3 ta được R 2 đặt tại 0, cứ làm như vậy cuối cùng ta được 1 hợp lực R đặt tại 0
Như vậy, hệ lực đồng quy có thể thay thế bằng hợp lực R
2.3 Xác định hợp lực của hệ lực phẳng đồng quy
Cho hệ lực ( F 1 , F 2 , F 3 ) đồng quy tại O (hình 2- 4) Cách tìm hợp lực như sau: Lấy F 1 làm chuẩn, đặt lên mút F 1 véc tơ F 2 ' F 2 , tiếp tục đặt lên mút F 2 ' véc tơ
F Véc tơ có gốc O (gốc của F 1 ) và trùng với mút của F 3 ' là véc tơ hợp lực
Thật vậy, theo cách làm trên chính là ta đã vận dụng quy tắc tam giác hợp lực cho hai lực một, cho đến hết hệ lực đã cho:
Theo phương pháp này, chúng ta đã xây dựng một đa giác trong đó các cạnh đại diện cho các lực thành phần, và hợp lực R được biểu diễn như một véc tơ khép kín của đa giác lực.
Trường hợp tổng quát đối với hệ có n lực, theo cách làm trên ta có:
Phương pháp giải tích là kỹ thuật tính toán hợp lực, dựa vào việc xác định các hình chiếu của các lực trong hệ lực trên hệ trục tọa độ vuông góc.
1 Chiếu một lực lên hệ trục toạ độ vuông góc:
- Cho lực F ( hai trường hợp đối nhau) và hệ toạ độ Oxy (hình 2- 5) Hình chiếu của lực F trên trục Ox và Oy lần lượt là:
Trong hai công thức, đại diện cho góc giữa phương của lực F và trục Ox Nếu chiều chiếu từ điểm gốc đến điểm mút trùng với chiều dương của trục tọa độ, thì dấu (+) được sử dụng Ngược lại, nếu chiều chiếu không trùng với chiều dương, sẽ sử dụng dấu (-).
Trường hợp đặc biệt: nếu lực có phương song song với trục chiếu hình (2- 6) ta có:
2 Xác định hợp lực theo phương pháp giải tích:
Cho hệ lực ( F 1 , F 2 , F 3 ) đồng quy tại O’ (hình 2-7), có hình chiếu trên các trục toạ độ là:
Hợp lực R của hệ có hình chiếu là Rx và Ry Trong đó:
Hợp lực R của hệ có hình chiếu là Rx; Ry
Rx= F1x+F2x+ + Fnx hay Rx = Fx
Ry= F1y+F2y+ +F3y hay Ry= Fy (2.1) Đặt Fx = X
Công thức (2- 1) có thể viết như sau:
Trong tam giác vuông trên hình 2- 7 ta có:
X : là tổng đại số hình chiếu các lực trong hệ trên trục Ox
X : là tổng đại số hình chiếu các lực trong hệ trên trục Oy
Phương chiều của R xác định bởi góc định vị
Cho hệ lực đồng quy tại O (hình 2 - 9a), các lực có trị số tương ứng: F3 = F1
= 8N, F2 = 6N Phương của F1 hợp với phương nằm ngang một góc 60 0 Tìm hợp lực của hệ?
Lập hệ toạ độ Oxy như hình vẽ:
Phương chiều của R xác định theo:
R nằm ở góc phần tư thứ II với = 168 0 30’.
Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng đồng quy
2.4.1 Phương pháp hình học: Định lý 1: Điều kiện cần và đủ để một hệ lực phẳng đồng quy cân bằng là đa giác lực của hệ phải tự đóng kín
Tức là: đa giác lập nên bởi các lực trong hệ lực phải tự khép kín (mút lực cuối trùng với gốc lực đầu)
Khi giải quyết các bài toán có từ bốn lực trở lên, không nên áp dụng phương pháp tam giác lực Phương pháp này chỉ thực sự hiệu quả cho các bài toán hệ lực với ba lực, khi đó việc sử dụng tam giác lực sẽ mang lại kết quả thuận lợi hơn.
2.4.2 Phương pháp giải tích: Định lý 2: “Điều kiện cần và đủ để một hệ lực phẳng đồng quy ở trạng thái cân bằng là tổng đại số các hình chiếu của các lực lên hai trục tọa độ phải bằng 0”
Theo phương pháp giải tích, hệ lực được thay bởi hợp lực R trị số xác định bởi công thức
Để hệ lực phẳng đồng quy cân bằng, điều kiện cần và đủ là tổng đại số hình chiếu của các lực trên hai trục tọa độ vuông góc phải bằng 0, tức là R = ΣX + ΣY = 0, trong đó ΣX = 0 và ΣY = 0.
Một vật nặng P = 100N được treo vào khớp nối O của hai thanh OA và OB, trong đó thanh OB nằm ngang và được gắn vào tường thẳng đứng Bỏ qua trọng lượng của các thanh, nhiệm vụ là xác định phản lực của các thanh này.
Khảo sát cân bằng tại nút O cho thấy hệ lực tác dụng gồm trọng lực P và các phản lực S, T Các lực này đồng quy tại điểm O, tạo thành một hệ lực đồng quy.
Nút O cân bằng ( P , S , T ) 0 a Giải theo phương pháp hình học
Hệ lực cân bằng tam giác lực tự khép kín ta dựng tam giác IKL có các cạnh là các lực P , T , S như hình 2-
11b Vì tam giác IKL vuông cân lên T = P= 100N
S P 0 b Giải theo phương pháp giải tích:
Lập hệ tạo độ vuông góc Oxy như hình 2-9a Ta lập được hệ phương trình cân bằng:
Giải hệ phương trình này như sau: Từ (2) có:
T 0 Định lý 3: Ba lực đồng quy cân bằng Định lý: “Nếu ta có ba lực phẳng không song song cân bằng thì chúng phải đồng quy tại một điểm”
Chứng minh: Giả sử ta có (F1, F2, F3 ) 0
Thay F1, F2 bằng R1, R2 đặt tại điểm O là giao điểm của hai đường tác dụng của các lực F1, F2
Theo đầu bài ta có ( F3, R1 ) 0
Theo tiên đề 1 R1 và F3 phải có cùng đường tác dụng tức là F3 cũng phải đi qua O Định lý đã được chứng minh
NGẪU LỰC
Mô men của lực đối với một điểm
Khi một vật rắn quay quanh tâm O dưới tác động của lực F, sự quay của lực được đặc trưng bởi mômen lực Mômen lực là đại lượng quan trọng thể hiện tác dụng quay của lực lên vật thể.
Mô men lực phụ thuộc vào trị số lực, khoảng cách từ tâm quay đến đường tác dụng lực, và chiều của lực Định nghĩa này cho thấy rằng mô men lực là yếu tố quan trọng trong việc xác định ảnh hưởng của lực lên một vật thể quay.
Mô men của lực F đối với điểm O là tích số giữa trị số lực với tay đòn của lực đối với điểm O’’
Trong đó m o (F ): đọc là mô men của F đối với điểm O h : là tay đòn của lực F đối với O
Dấu (+) biểu thị cho vật quay ngược chiều kim đồng hồ quanh điểm O, trong khi dấu (-) thể hiện vật quay cùng chiều kim đồng hồ Khi không đề cập đến chiều quay, biểu thức (3.1) có thể được viết lại là: m o ( F ) = F h ( N m ).
Tính chất được suy ra từ định nghĩa và biểu thức (3.1) :
- Mô men của lực đối với một điểm không phụ thuộc vào điểm đặt của lực trên đường tác dụng của nó
- Mô men của lực đối với điểm nằm trên đường tác dụng của nó có trị số bằng 0
Trị số mô men lực đối với một điểm bằng hai lần số đo diện tích tam giác do lực và điểm đó tạo thành
Nếu trị số lực là N, tay đòn m, thì trị số mô men lực là: N.m
Mômen của hợp lực trong một hệ lực phẳng tại một điểm bất kỳ trong mặt phẳng tác dụng lực được xác định bằng tổng đại số mômen của các lực thành phần tác động tại điểm đó.
Trong đó: R : là hợp lực
Một vật gắn với bản lề O chịu tác dụng của hai lực F1 và F2 có trị số bằng 6 N Với OA dài 3m và OB dài 8m, cần xác định chiều quay của vật dựa trên các thông số được cung cấp trong hình vẽ.
Tác dụng của các lực làm cho vật quay được đặc trưng bởi mô men của các lực đó đối với tâm quay O
F 1 và F 2 cùng nằm trong một mặt phẳng và không song song nên hợp thành hệ lực đồng quy (có hợp lực) Ta có:
Vậy vật quay thuận chiều kim đồng hồ quanh tâm O.
Ngẫu lực
Hệ lực gồm hai lực song song, ngược chiều cùng trị số gọi là ngẫu lực Kí hiệu ngẫu lực: ( F , F ).
Khoảng cách giữa hai đường tác dụng của hai lực được gọi là tay đòn của ngẫu lực Để biểu diễn ngẫu lực, ta quy ước rằng đường nối giữa điểm đặt của hai lực tương ứng với tay đòn của ngẫu lực.
Ngẫu lực là lực có khả năng làm cho vật thể quay, ví dụ như khi cắt ren, ngẫu lực tác động vào tay quay của ta rô, hoặc khi vặn vít, ngẫu lực phát sinh từ đầu tuốc nơ vít.
3.2.2 Các yếu tố của ngẫu lực
Mặt phẳng tác dụng: là mặt phẳng chứa các lực của ngẫu lực
Chiều quay là hướng mà vật thể quay do tác động của ngẫu lực, diễn ra xung quanh trục của ngẫu lực Chiều quay được xác định là (+) khi vật quay ngược chiều kim đồng hồ và (-) khi quay theo chiều kim đồng hồ.
Trị số mômen: là tích giữa trị số lực với tay đòn của ngẫu lực: m = F.d (3.2)
Nếu lực tính bằng N, tay đòn tính bằng m thì đơn vị ngẫu lực là: Nm
3.2.3 Tính chất của ngẫu lực
- Tác dụng của ngẫu lực không thay đổi khi ta di chuyển vị trí trong mặt phẳng của nó (giữ đúng chiều quay và độ lớn)
Có thể điều chỉnh lực và tay đòn của ngẫu lực mà không làm thay đổi tác dụng của ngẫu lực, miễn là giữ đúng chiều quay và trị số của mômen.
Tác dụng của ngẫu lực trong mặt phẳng được đặc trưng bởi chiều quay và trị số mô men của nó.
- Đồng thời cũng từ hai tính chất trên người ta đưa ra khái niệm đại số mô men (gọi tắt là mômen) Kí hiệu: m
Trong đó tích F.d biểu diễn cường độ (trị số mô men), còn dấu () biểu diễn chiều quay
3.2.4 Hợp hệ ngẫu lực phẳng:
Trong một hệ ngẫu lực phẳng với các mô men m1, m2, m3, ta có thể biểu diễn hệ này bằng cách khác để dễ hình dung Hợp lực tại điểm A được ký hiệu là R a, trong khi tại điểm B là R b.
Theo định nghĩa ngẫu lực ta có:
Ngẫu lực :( R , R ) gọi là ngẫu lực tổng hợp, có mômen: M R d
Hợp một hệ ngẫu lực phẳng tạo ra một ngẫu lực tổng hợp, với mô men bằng tổng đại số mô men của các ngẫu lực trong hệ.
Hệ ngẫu lực phẳng gồm các ngẫu lực lần lượt có mômen: m 1 60 Nm ;
Nm m 2 120 ; m 3 30 Nm Hãy xác định mô men của ngẫu lực tổng hợp Nếu ngẫu lực tổng hợp có tay đòn là 0,5 m thì trị số của R là bao nhiêu?
Theo công thức (3.3), ngẫu lực tổng hợp có mômen:
3.2.5 Điều kiện cân bằng của hệ ngẫu lực phẳng
Để hệ ngẫu lực phẳng đạt trạng thái cân bằng, tổng hợp ngẫu lực của hệ phải bằng 0 (M = 0) Điều này có nghĩa là tổng các ngẫu lực trong hệ phải thỏa mãn điều kiện: Σm = 0.
Vậy “ Điều kiện cần và đủ để hệ ngẫu lực phẳng cân bằng là tổng đại số mô men của các ngẫu lực thuộc hệ bằng 0’’
HỆ LỰC PHẲNG BẤT KỲ
Khái niêm
Hệ lực phẳng bất kỳ là hệ lực gồm các lực có đường tác dụng nằm bất kỳ trong cùng một mặt phẳng (hình 4- 1)
Ví dụ sơ đồ cầu trục cho trên hình 4-2, chịu tác dụng bởi hệ lực phẳng bất kỳ ( X B ; X A ; P ; Q )
Hệ lực phẳng bất kỳ là dạng tổng quát của hệ lực phẳng, bao gồm cả các lực song song (hệ lực song song) và các lực đồng quy (hệ lực đồng quy).
Thu hệ lực phẳng bất kỳ về một tâm
4.2.1 Định lý dời lực song song
Khi di chuyển một lực đến vị trí khác, để giữ nguyên tác dụng cơ học, cần bổ sung một ngẫu lực phụ có mô men tương đương với mô men của lực tại vị trí ban đầu.
Khi lực F được đặt tại điểm A (ký hiệu F A) và di chuyển song song từ A đến B, ta nhận được lực F B cùng với một ngẫu lực có mô men m = - F A HB, trong đó HB là cánh tay đòn của lực F A đối với điểm B, có chiều quay cùng chiều với m B (F A).
Một lực và một ngẫu lực nằm trong cùng một mặt phẳng có thể được coi là tương đương với một lực song song, cùng chiều và có cùng trị số với lực ban đầu Đồng thời, mô men của lực song song này đối với điểm đặt của lực ban đầu sẽ bằng mô men của ngẫu lực.
4.2.2Thu hệ lực về một tâm cho trước
Bài toán: Cho hệ lực phẳng bất kỳ ( F 1 ; F 2 ; F 3 ) Thu gọn hệ lực về tâm O (tâm thu gọn) hình 4- 4a
- Dời song song các lực về O được một hệ lực phẳng đồng quy tại O và một hệ ngẫu lực (hình 4- 4b)
- Thu gọn hệ lực phẳng đồng quy được R '
- Thu gọn hệ ngẫu lực được M 0
Khi thu gọn một hệ lực phẳng, chúng ta nhận được một lực chính R' và một ngẫu lực, được gọi là mô men chính M_o của hệ lực đó đối với tâm thu gọn.
-Véc tơ chính R ' có : Trị số : R ' X 2 Y 2 (4- 1)
4.2.3 Các dạng tối giản của hệ lực phẳng bất kì:
Khi ta thu gọn hệ lực phẳng bất kỳ về một tâm cho trước có thể xảy ra bốn trường hợp sau:
- R’ 0, M 0, Trường hợp này theo định lý đảo dời lực, F ' và M 0 tương đương với một lực R song song, cùng chiều, cùng trị số với R’, đặt cách R’ một khoảng
R d M Khi đó R là hệ lực phẳng bất kỳ ( R ' không phụ thuộc tâm thu gọn, M 0 phụ thuộc tâm thu gọn)
- R’= 0 , M 0: hệ lực đã cho tương đương với ngẫu lực có mômen M 0 ( không phụ thuộc tâm thu gọn)
- R’ 0 , M = 0: Hệ lực đã cho tương đương với R '
- R’= 0 , M = 0: Hệ lực đã cho cân bằng
Dầm AB bị ngàm chặt ở A, chịu tác dụng của các lực : F1= 10 KN; F2= 12 KN; F3= 15 KN (hình 4-5a) Hãy thu gọn các lực về A và từ đó suy ra PLLK ngàm
Lập hệ toạ độ Axy như hình vẽ
X tg Y = 63 0 Vậy R nằm ở góc phần tư thứ IV ( hình 4- 6b)
M A quay thuận chiều kim đồng hồ (hình 4- 5b)
Vậy theo tiên đề tương tác phản lực tại A là ngẫu lực M o và lực R A (hình 4-
Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng bất kỳ
4.3.1Điều kiện cân bằng: Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng bất kỳ cân bằng là vác tơ chính và mô men chính của hệ đối với một điểm bất kỳ (trong mặt phẳng tác dụng lực) đều phải bằng 0
4.3.2Các dạng phương trình cân bằng:
- Phương trình (1) và (2) gọi là phương trình hình chiếu, phương trình 3 gọi là phương trình mômen
Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng bất kỳ cân bằng là tổng đại số hình chiếu của các lực lên hai trục tọa độ vuông góc phải bằng 0, cùng với tổng đại số mômen của các lực đối với một điểm bất kỳ trong mặt phẳng tác dụng cũng phải bằng 0.
F x 0 (x không vuông góc với AB)
Để hệ lực phẳng cân bằng, điều kiện cần và đủ là tổng đại số mô men của các lực tại hai điểm A và B trong mặt phẳng tác dụng phải bằng 0 Đồng thời, hình chiếu của các lực trên trục không vuông góc với AB cũng cần đạt giá trị bằng 0.
Để một hệ lực phẳng bất kỳ đạt trạng thái cân bằng, điều kiện cần và đủ là tổng đại số mômen của các lực tác dụng tại ba điểm không thẳng hàng trong mặt phẳng phải bằng không.
Cần OA có khả năng quay quanh trục O, với lực F tác động tại điểm C qua dây AB để giữ OA ở vị trí nằm ngang Lực F này tạo ra một góc 30 độ giữa dây AB và cần OA, trong khi cần OA được coi là đồng chất và có trọng lượng.
P = 200N Tìm trị số của lực kéo F và phản lực của bản lề O
Khảo sát cân bằng của thanh OA:
Thanh OA chịu tác dụng của các lực: Tải trọng: P;Q;F Các phản lực tại O: X O ;Y O (hình 4- 6b)
Do thanh OA cân bằng (P;Q;F;X O ;Y O ) 0
Lập hệ toạ độ Oxy như hình vẽ Áp dụng hệ phương trình cân bằng dạng 2 ta có:
HỆ LỰC SONG SONG - TRỌNG TÂM VẬT RẮN
Hệ lực song song
Hệ lực song song là hệ lực có đường tác dụng song song với nhau (Hình 5-
Mọi vật trên trái đất đều bị ảnh hưởng bởi một hệ lực, trong đó lực hút của trái đất đóng vai trò chủ đạo do khoảng cách từ tâm trái đất rất xa.
5.1 2 Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng song song
1/ Hệ phương trình cân bằng dạng 1
Có 1 hệ lực phẳng song song như hình vẽ, đây là trường hợp đặc biệt của hệ lực phẳng bất kỳ
Chọn trục Oy song song với phương của các lực, như vậy tất cả các lực thuộc hệ đều có X 0 do đó điều kiện cân bằng chỉ cần :
Điều kiện cần và đủ để hệ lực song song đạt trạng thái cân bằng là tổng hình chiếu của các lực lên phương song song với chúng và tổng mô men đối với một điểm nào đó đều phải bằng 0.
2/ Hệ phương trình cân bằng dạng 2
Điều kiện để hệ lực phẳng cân bằng là tổng đại số mô men của các lực đối với hai điểm A và B, với đoạn nối AB không song song với phương các lực, phải bằng 0.
Ví dụ: Cần trục có trọng lượng là P = 40kN; cẩu vật nặng có trọng lượng Q
= 10kN, các kích thước cho ở hình vẽ (5-3) Xác định phản lực từ đường ray lên 2 bánh xe A và B
Cần cẩu cân bằng dưới tác dụng của hệ lực phẳng song song, tạo ra một trạng thái cân bằng ổn định Để mô tả trạng thái này, chúng ta có thể thiết lập hai phương trình cân bằng, giúp phân tích và xác định các lực tác động lên cần cẩu.
Giải hệ phương trình trên ta được: YA = 5 (kN);
Trọng tâm vật rắn
5.2.1 Tâm của hệ lực song song
Giả sử vật chịu tác dụng của một hệ lực song song ( 1 , 2 , , )
Trong hệ lực song song có hợp lực, khi thay đổi phương tác dụng của các lực mà vẫn giữ quan hệ song song, đường tác dụng của hợp lực sẽ luôn đi qua một điểm cố định, gọi là tâm của hệ lực song song.
Tâm C của hệ lực song song chỉ phụ thuộc vào giá trị và điểm đặt của các lực, không phụ thuộc vào phương của chúng Khi đã biết điểm đặt và giá trị của các lực thành phần, ta có thể xác định vị trí của tâm C bằng công thức cụ thể.
r C - vectơ định tâm của hệ lực song song;
r i - vectơ định vị điểm đặt của lực P i
5.2.2 Trọng tâm của vật rắn
Khi xem xét các phần tử của một vật rắn gần trái đất, mỗi phần tử chịu tác động của trọng lực hướng về tâm trái đất Do khoảng cách từ vật rắn đến tâm trái đất lớn hơn nhiều so với kích thước giữa các phần tử, hệ trọng lực của các phần tử có thể được coi là các lực song song cùng chiều Giá trị của trọng lực này được gọi là trọng lượng của phần tử Tâm của hệ trọng lực các phần tử được gọi là trọng tâm của vật rắn.
Hợp lực P p i đi qua C là trọng lượng của vật rắn, dựa vào công thức
1 xác định được toạ độ của trọng tâm:
Với một diện tích phẳng đồng chất ta có công thức xác định vị trí của trọng tâm:
Và đối với một đường:
F – diện tích của toàn bộ diện tích;
L – chiều dài toàn bộ của đường;
Sx, Sy – mômen tĩnh của diện tích đối với trục y và x
Từ công thức (5.3) suy ra công thức tính mômen tĩnh của tiết diện:
Sy = F.xc và Sx = F.yC
5.2.3 Trọng tâm của các vật thể đối xứng Định lý 1 Nếu vật gồm các phần mà trọng tâm của các phần đó nằm trên một đường thẳng hoặc một mặt phẳng thì trọng tâm của vật cũng nằm trên đường thẳng hoặc mặt phẳng đó Định lý 2 Nếu vật rắn đồng chất có tâm hoặc trục hoặc mặt phẳng đối xứng thì trọng tâm của vật cũng nằm tương ứng tại tâm, hoặc trục, hoặc mặt phẳng đối xứng đó
5.2.4 Trọng tâm của các vật, hình đồng chất đơn giản
1/ Trọng tâm của một thanh đồng chất là điểm giữa của thanh
2/ Trọng tâm của các hình bình hành, chữ nhật, hình vuông, khối hộp chữ nhật, khối lập phương đồng chất là tâm của chúng
3/ Trọng tâm của một tam giác đồng chất là giao điểm của các trung tuyến 4/ Trọng tâm của một cung tròn
Ví dụ 1 : Tìm trọng tâm của tấm phẳng đồng chất hình chữ L có kích thước cho trên hình 5-7
Chia tấm chữ L thành hai hình chữ nhật I và II, với trọng tâm C1 của hình chữ nhật I có tọa độ x1=1, y1=5 và trọng tâm C2 của hình chữ nhật II có tọa độ x2=3, y2=1 (cm) Chọn trục tọa độ như hình vẽ để xác định vị trí của các trọng tâm.
Ta tính được F1 = 2.10 = 20cm 2 ; F2 = 2.2 = 4 cm 2
Ví dụ 2: Tìm toạ độ trọng tâm của tấm phẳng giới hạn bởi hai đường tròn bán kính R và r ( Hình 5-8) Cho biết khoảng cách giữa hai tâm là c1c2 = a
Chọn hệ tọa độ nh- hình vẽ, ta phân tích thành hai phần, mỗi phần là một tấm tròn với bán kính r được coi như vật có tiết diện âm Cụ thể, phần 1 là tấm tròn có bán kính R, tọa độ trọng tâm tại x1 = 0 và y1 = 0, với diện tích S1 = πR².
Phần 2 là tấm tròn có bán kính r, toạ độ trọng tâm là x2 = a, y2 = 0 và diện tích là S2 = -r 2 Diện tích cả vật là:
Ta có thể tính được toạ độ trọng tâm của vật:
MA SÁT
Ma sát trượt
Ma sát là hiện tượng cản xuất hiện khi một vật dịch chuyển hoặc có xu hướng dịch chuyển tương đối trên mặt vật khác
6.1.1 Định nghĩa ma sát trượt:
Ma sát trượt là sự cản trở xuất hiện khi một vật trượt hoặc có xu hướng trượt tương đối trên mặt vật khác
Nguyên nhân chính gây ra ma sát trượt là do mặt tiếp xúc không tuyệt đối nhẵn
6.1.2Các định luật ma sát trựơt:
Trên mặt bàn nằm ngang không nhẵn đặt vật A có trọng lượng P Vật được buộc vào dây và luồn qua ròng rọc C Đầu
B của dây treo đĩa cân (Hình 6.1)
Khi chưa đặt quả cân, vật A cân bằng dưới tác dụng của hai lực P vàN
Khi đặt một trọng lượng Q nhỏ lên đĩa cân, vật vẫn giữ nguyên vị trí, cho thấy ngoài phản lực pháp tuyến N, còn có thành phần tiếp tuyến F cản trở sự trượt.
F gọi là phản lực ma sát trượt, ký hiệu F ms
Khi lực Q được tăng dần, vật vẫn giữ nguyên vị trí, cho thấy lực ma sát đang tăng lên Tuy nhiên, khi lực Q đạt đến giá trị tối đa Qmax, vật bắt đầu trượt, điều này chứng minh rằng lực ma sát đã đạt đến giới hạn, được gọi là lực ma sát lớn nhất.
Khi một vật trượt hoặc có xu hướng trượt trên bề mặt của một vật khác, tại điểm tiếp xúc sẽ có hai loại lực tác động: lực phản lực pháp tuyến N và lực ma sát trượt Fms.
2/ Các định luật ma sát trựơt:
Lực ma sát trượt có phương tiếp tuyến với mặt tiếp xúc giữa hai vật, ngược chiều với hướng trượt của vật Giá trị của lực ma sát trượt này nằm trong khoảng từ 0 đến một mức giới hạn nhất định.
- Trị số lực ma sát trượt lớn nhất tỷ lệ với phản lực pháp tuyến: Fmax= f.N (6-2)
Hệ số tỷ lệ f trong công thức trên được gọi là hệ số ma sát trượt tĩnh, và nó phụ thuộc vào bản chất của vật liệu như gỗ, thép, đồng, cũng như trạng thái bề mặt của các vật liệu đó, như trơn, nhẵn hay khô Tuy nhiên, hệ số này không phụ thuộc vào diện tích mặt tiếp xúc giữa các vật.
- Hệ số ma sát trượt được xác định bằng thực nghiệm với từng loại vật liệu
Nó là đại lượng không đơn vị
3/ Góc ma sát - điều kiện tự hãm
Khi có ma sát, phản lực gồm hai thành phần: F ms và N Hợp lực của F ms và N gọi là phản lực toàn phần R (hình 6- 2)
Khi F ms F max thì R R max Góc giữa R max và N gọi là góc ma sát, kí hiệu
Trên hình 6-2 ta có: Fmax= N.tg
Theo hình (6- 2): Fmax= f.N f.N = N.tg f = tg (hình 6 - 3)tức là “ Hệ số ma sát trựơt bằng tg của góc ma sát’’
Từ các công thức (6-1) và (6-2) Fms Fmax Fms f N (6.4)
Hợp lực tác dụng lên vật được ký hiệu là Q, với góc giữa phương của Q và N là α Thành phần gây trượt cho vật là Q.sinα, trong khi N tương ứng với Q.cosα.
Lực ma sát trượt lớn nhất Fmax= f.N = f.Qcos (6.5)
Theo hình (6-4) : Fms Fmax Qsin f Q cos sin f cos tg
Như vậy, điều kiện cân bằng khi có ma sát trượt ( điều kiện để vật không trượt) tuân theo các công thức (6- 4) và (6- 5)
Nếu Fms= f N hoặc = ta có trạng thái cân bằng giới hạn Nếu Fms < f N hoặc < : vật ở trạng thái cân bằng bền( còn gọi là điều kiện tự hãm
Thanh OA có khả năng quay quanh bản lề O, với một vật nặng P đặt trên thanh Khi mặt OA được nghiêng dần, câu hỏi đặt ra là góc nghiêng OA cần đạt bao nhiêu (như hình 6-4) để vật bắt đầu trượt Hệ số ma sát trượt giữa vật và mặt OA được ký hiệu là f.
Vật chịu tác động của trọng lực P, phản lực pháp tuyến N và phản lực ma sát trượt Khi vật bắt đầu trượt, lực ma sát đạt giá trị tối đa Fmax Thiết lập hệ tọa độ Bxy để phân tích chuyển động Hệ phương trình cân bằng cho vật được xác lập.
Từ (2) có N = P cos thay vào (3) Fms = N = f P cos thay Fms vào (1)ta có: f P cos - P sin = 0
Mặt khác f = tg (công thức 5- 3) do đó : f = tg = tg =
Vậy góc nghiêng giới hạn của thanh OA đúng bằng góc ma sát (vật bắt đầu trượt).
Ma sát lăn
- Ma sát lăn là sự cản xuất hiện khi một vật lăn hoặc có xu hướng lăn trên mặt một vật khác
Ma sát lăn chủ yếu xuất phát từ việc bề mặt tiếp xúc không hoàn toàn cứng, dẫn đến sự biến dạng và hình thành các mô cản trở quá trình lăn.
6.2.2 Các định luật về ma sát lăn
- Xét con lăn có trọng lượng P đặt trên mặt nằm ngang không tuyệt đối cứng Tác dụng vào con lăn một lực Q nằm ngang, cách mặt lăn một khoảng h
- Con lăn cân bằng dưới tác dụng của hệ lực phẳng ( P ; Q ; R )
Trong đó: R : là phản lực do mô men cản lại sự lăn Phân tích R N F
- Lập hệ phương trình cân bằng : X = Q – F = 0 (1) Q = F
Hệ lực trên tạo thành hai ngẫu lực: (Q; F) thúc đẩy vật có xu hướng lăn, trong khi (N; P) ngăn cản sự lăn Do đó, lực này được gọi là ngẫu lực ma sát lăn, ký hiệu là m.
- Từ đó ta rút ra định luật:
Ngẫu lực ma sát lăn có trị số mô men giới hạn từ 0 đến max:
Hệ số tỷ lệ k gọi là hệ số ma sát lăn có thứ nguyên độ dài, được xác định bằng thực nghiệm với từng loại vật liệu
- Từ công thức (6 - 7) và hình 6- 5 ta có: Khi con lăn bắt đầu lăn thì: mmax = k N Đồng thời: mmax = d N k k = d (6- 8)
Tức là “ Hệ số ma sát lăn bằng tay đòn của ngẫu lực ma sát lớn nhất”
- Tương tự trong ma sát trượt, điều kiện cân bằng của vật khi có ma sát lăn tuân theo công thức (6 - 6) và ( 6 - 7), tức là m k.N, điều kiện tự hãm: m < k N.
ĐỘNG HỌC
Chuyển động cơ bản của vật rắn
Chuyển động tịnh tiến của vật rắn là chuyển đông trong đó bất kỳ đoạn thẳng nào thuộc vật cũng đều song song với phương ban đầu của nó
Chuyển động tịnh tiến là một chuyển động cơ học của vật rắn, rất thường gặp trong thực tế cũng như trong cơ học
Chuyển động tịnh tiến thẳng xảy ra khi vật di chuyển trên quỹ đạo thẳng, trong khi chuyển động tịnh tiến cong xảy ra khi vật di chuyển trên quỹ đạo cong Ví dụ, đầu máy bào và bàn xe dao máy tiện thể hiện chuyển động tịnh tiến thẳng, trong khi thanh truyền trong cơ cấu tay quay thanh truyền và toa xe di chuyển trên đường cong thể hiện chuyển động tịnh tiến cong.
Quan sát chuyển động tịnh tiến của
Pittông trong xi lanh (hình 7-1) cho thấy rằng khi ta vạch một đoạn thẳng bất kỳ AB trên pittông, đoạn này sẽ có vị trí mới A1B1 khi pittông dịch chuyển.
Mặt khác nếu coi píttông là vật
Vì qũy đạo của AB là quỹ đạo thẳng, do đó:
Từ quan sát trên ta rút ra tính chất sau:
- Các điểm thuộc vật chuyển động tịnh tiến vạch ra các qũy đạo đồng nhất
- Tại một thời điểm, mọi điểm thuộc vật chuyển động tịnh tiến có vận tốc và gia tốc như nhau Nghĩa là: VA= VB; aA= aB
Việc nghiên cứu chuyển động tịnh tiến của vật rắn có thể được thay thế bằng việc phân tích chuyển động của một điểm bất kỳ trên vật Kết luận này cho phép áp dụng các công thức chuyển động của điểm cho các vật chuyển động tịnh tiến.
7.1.2 Chuyển động quay quanh trục cố định:
Chuyển động quay quanh trục cố định của vật rắn diễn ra khi có ít nhất hai điểm trên vật luôn giữ nguyên vị trí Trục quay của vật là đường thẳng đi qua hai điểm cố định, như A và B trong hình 7-2 Các điểm không nằm trên trục quay sẽ di chuyển và tạo ra những đường tròn vuông góc với trục quay, đi qua tâm của vật.
Ví dụ chuyển dộng của trục máy; bánh răng ; vôlăng; Puly là những vídụ về chuyển động quay thường gặp
Giả sử vật rắn cho trên hình 7-2 quay qanh trục cố định Z Tưởng tượng một mặt phẳng cố định
Trong bài viết này, chúng ta xem xét sự chuyển động của mặt phẳng Q di động cùng với vật gắn liền Ban đầu, mặt phẳng Q trùng với mặt phẳng P Khi vật quay đến thời điểm t, mặt phẳng Q tạo với P một góc φ, được gọi là góc quay của vật trong khoảng thời gian t Giá trị của góc φ phụ thuộc vào thời gian t, tức là φ là hàm số của t.
Phương trình (7-1) mô tả vị trí của vật quay theo thời gian, được gọi là phương trình chuyển động của vật quay Đơn vị đo góc quay là rađian, ký hiệu rad, trong đó rađian là góc phẳng chắn trên một đường tròn có tâm tại đỉnh của góc với một cung dài bằng bán kính.
Trong kỹ thuật góc quay được tính theo số vòng quay n, quan hệ giữa và n được tính như sau:
Khi vật quay 1 vòng thì góc quay là 2 n rad,
Khi vật quay n vòng thì góc quay rad tương ứng là:
3/Vân tốc góc: a) Định nghĩa:
Vật rắn có thể quay với tốc độ khác nhau, và đại lượng biểu thị cho sự nhanh hay chậm của chuyển động quay này được gọi là vận tốc góc, ký hiệu là ω Vận tốc góc có thể được phân chia thành hai loại: vận tốc góc trung bình và vận tốc góc tức thời.
Gỉa sử tại thời điểm t, vật quay được một góc , tại thời điểm t + t vật quay được góc + Như vậy trong khoảng thời gian t vật quay được góc , tỷ số
Vận tốc trung bình (ωtb) của một vật trong khoảng thời gian Δt được xác định thông qua tỷ số giữa sự thay đổi vị trí và thời gian Khi khoảng thời gian Δt tiến tới 0, giá trị này trở thành vận tốc góc tại thời điểm t.
Vận tốc góc tại thời điểm nào đó bằng đạo hàm bậc nhất của góc quay đối với thời gian tại thời điểm đó Đơn vị của S 1
Trong kỹ thuật, vận tốc góc được đo bằng số vòng quay mỗi phút, ký hiệu là vg/ph Mỗi vòng quay tương ứng với góc 2π radian Do đó, với n vòng quay trong một phút, góc quay sẽ là 2πn rad/ph.
Gia tốc góc, ký hiệu là ε, là đại lượng biểu thị sự biến thiên của vận tốc góc Gia tốc góc có thể được phân loại thành gia tốc trung bình và gia tốc tức thời, tương tự như khái niệm về vận tốc.
(7- 5) Khi t 0 thì gia tốc góc trung bình tb tiến tới gia tốc góc tức thời t
Các chuyển động quay thường gặp: a) Vật quay đều:
Phương trình (7-8) là phương trình vật quay đều
- Vật quay biến đổi đều ( = const)
Giả sử tại thời điểm ban đầu, vật có vận tốc góc 0, tại thời điểm t có vận tốc góc , ta có:
Mặt khác, từ (7-6) ta có: 0 t
Ta có phương trình chuyển động quay biến đổi đều:
Dấu ( + ) ứng với trường hợp vật quay nhanh dần đều
Dấu ( - ) ứng với trường hợp vật quay chậm dần đều
Trong giai đoạn mở máy, một trục máy có chuyển động nhanh dần đều, đạt vận tốc n = 120 vòng/phút sau 5 phút Để tính gia tốc của trục, ta cần xác định sự thay đổi vận tốc trong khoảng thời gian đó Số vòng quay mà trục đạt được trong 5 phút cũng có thể được tính toán dựa trên vận tốc đã đạt được.
Ban đầu trục máy đứng yên nên o = 0 Theo công thức ( 7- 9) phương trình chuyển động của trục là:
Biết rằng cứ một vòng quay tương ứng với góc quay 2 rad, nên khi trục quay được một vòng quay 600 rad sẽ đạt được số vòng quay n là:
Chuyển động của điểm thuộc vật rắn quay quanh trục cố định
Theo khái niệm về vật rắn quay, các điểm không nằm trên trục quay sẽ tạo ra những đường tròn vuông góc với trục quay, với bán kính tương ứng là khoảng cách từ điểm đó đến trục quay.
Giả sử trong khoảng thời gian t điểm M dịch chuyển được cung tròn s
(hình 6- 3a) tương ứng với góc quay ; s = R Chia cả hai vế của đẳng thức trên cho t, ta có:
- Vận tốc các điểm thuộc vật quay còn được tính theo công thức:
Vận tốc (V) của các điểm trên vật quay được xác định bằng tích giữa vận tốc góc (R) và bán kính quay (R), theo công thức V = R..n/30 Điều này cho thấy vận tốc của các điểm trên vật quay tỷ lệ thuận với bán kính quay, tức là khoảng cách từ điểm đó tới trục quay Mối quan hệ này được minh họa trong hình 6-3b, với M và N là hai điểm thuộc vật.
Một điểm trên vật quay thực hiện chuyển động tròn có gia tốc bao gồm hai thành phần chính: gia tốc pháp tuyến (a_n) và gia tốc tiếp tuyến (a_τ) Gia tốc tiếp tuyến (a_τ) liên quan đến sự thay đổi tốc độ của điểm đó theo thời gian.
t Đẳng thức trên trở thành: ab= R. (7-12)
Gia tốc của điểm trên vật quay bằng tích giữa gia tốc góc của vật với bán kính quay của điểm b Gia tốc pháp tuyến a n
- Gia tốc pháp tuyến của điểm thuộc vật quay bằng tích giữa bình phương vận tốc góc của vật với bán kính quay của điểm c) Gia tốc toàn phần: a
Nếu hướng của a trùng với V , điểm thuộc vật quay nhanh dần (hình 6- 4a) Nếu hướng của a ngược với V , điểm thuộc vật quay chậm dần (hình 7- 4b)
Vô lăng có bán kính R = 0,5 m điểm M trên vành ngoài cùng của Vôlăng đang quay với vận tốc 1,5 m/s Hãy tính vận tốc của vôlăng tại thời điểm đó
Bài giải: Áp dụng công thức 7-10 ta có: V = R = V: R = 1,5 : 0,5 = 3 (rad/s) Mặt khác ta có : = n /30 n = 30 / = 30.3 : 3,14 29 (vg/ph).
Chuyển động tổng hợp của điểm
7.3.1 Định nghĩa về chuyển động
Chuyển động của một điểm thường phức tạp hơn khi hệ quy chiếu của nó di chuyển so với một hệ quy chiếu cố định khác Ví dụ, một người đi trên toa tàu lửa đang chuyển động sẽ tham gia vào hai chuyển động đồng thời: chuyển động đối với toa tàu và chuyển động cùng toa tàu đối với đường ray.
Ta có các định nghĩa sau:
- Chuyển động của điểm so với hệ quy chiếu động gọi là chuyển động tương đối với vận tốc tương đối v r và gia tốc tương đối a r
Chuyển động của hệ quy chiếu động so với hệ quy chiếu cố định được gọi là chuyển động theo, với vận tốc theo v e và gia tốc theo ae.
Chuyển động của một điểm so với hệ quy chiếu cố định được gọi là chuyển động tuyệt đối, hay còn gọi là chuyển động tổng hợp với vận tốc tuyệt đối và gia tốc tuyệt đối.
Chuyển động tuyệt đối của một điểm được hiểu là tổng hợp của hai loại chuyển động: chuyển động tương đối và chuyển động theo Trong ví dụ này, người được coi là điểm, toa tàu là hệ quy chiếu động, và đường ray là hệ quy chiếu cố định Chuyển động của người trên toa tàu là chuyển động tương đối, trong khi chuyển động của toa tàu (khi người gắn chặt với toa tàu) là chuyển động theo Cuối cùng, chuyển động của người so với đường ray chính là chuyển động tuyệt đối.
7.3.2 Định lý hợp vận tốc Ở mỗi thời điểm, vận tốc tuyệt đối của điểm bằng tổng hình học của vận tốc tương đối và vận tốc theo e r a v v v
(7-15) Để xác định trị số và phương chiều của vận tốc tuyệt đối, ta áp dụng hàm số lượng giác:
Một con thuyền di chuyển ngang qua sông AB với vận tốc nước là 10m/ph và vận tốc của thuyền so với nước là vtn m/ph Chiều rộng của sông AB là l.
1 Tính góc lập bởi vectơ v tn và AB
2 Tính vận tốc tuyệt đối của thuyền và thời gian để thuyền qua sông
Thuyền di chuyển trong môi trường nước, nơi dòng nước được coi là hệ quy chiếu động Khi thuyền trôi theo dòng nước, nó thực hiện chuyển động tổng hợp với vận tốc tương ứng là 10 m/ph.
Bờ sông là hệ quy chiếu cố định, chuyển động của thuyền theo phương
Chuyển động của thuyền trên dòng nước được mô tả là chuyển động tương đối, với vận tốc tương đối vr có phương tạo với phương AB một góc α Giá trị của vận tốc này là vr = vtn 20m/ph.
Từ hình vẽ ta có:
Gọi t là thời gian qua sông ta có: l = va.t => 14,5ph
7.3.3 Định lý hợp gia tốc a Nếu hệ quy chiếu động chuyển động tịnh tiến: e r a a a a (7-16) b Nếu hệ quy chiếu động chuyển động xung quanh trục cố định:
Tại mỗi thời điểm, gia tốc tuyệt đối của điểm bằng tổng hình học của gia tốc theo, gia tốc tương đối và gia tốc Côriôlit c e n e r a a a a a a (7-17)
Trong đó: a n e R. e 2 ,a e R. e Độ lớn của gia tốc Côriôlit xác định theo công thức:
Từ đó ta thấy gia tốc Côriôlit sẽ bằng 0 khi
+) e 0, nghĩa là chuyển động tịnh tiến
, nghĩa là vận tốc tương đối của điểm M song song với trục quay của hệ động
Để xác định phương chiều của gia tốc a C, ta thực hiện các bước sau: Chiếu véctơ vận tốc v r lên mặt phẳng vuông góc với e, thu được v ' r Sau đó, quay v ' r một góc 90 độ theo chiều của e để tìm phương chiều của a C.
(Hình 7.6). vn = ve vtn = vr va
ĐỘNG LỰC HỌC
Các định luật cơ bản của động lực học
8.1.1 Định luật niutơn I (Định luật quán tính)
Nếu không có lực nào tác dụng vào chất điểm thì chất điểm hoặc đứng yên, hoặc chuyển động thẳng đều
Gọi vectơ F là lực tác dụng, v là vận tốc Định luật Niutơn I được biểu diễn như sau:
F = 0 thì hoặc v = 0 hoặc v = hằng số
Định luật Newton I khẳng định rằng nếu không có lực tác động lên một chất điểm, hoặc nếu các lực tác động vào chất điểm ở trạng thái cân bằng, thì chất điểm sẽ duy trì trạng thái chuyển động của nó Điều này có nghĩa là khi không có lực tác động, vận tốc của chất điểm sẽ được bảo toàn.
Tính chất bảo toàn vận tốc của chất điểm được gọi là quán tính, Định luật Niutơn I được gọi là định luật quán tính
Trạng thái đứng yên hay chuyển động thẳng đều của chất điểm được gọi là chuyển động quán tính và định luật quán tính còn được phát biểu:
Nếu không có lực nào tác dụng vào chất điểm thì chất điểm sẽ chuyển động quán tính
8.1.2 Định luật niutơn II (Quan hệ giữa lực và chuyển động) a/ Khối lượng
Từ định luật Niutơn I suy ra: vận tốc của chất điểm thay đổi ( có gia tốc) khi có lực tác dụng vào chất điểm)
Thực nghiệm cho thấy rằng khi một chất điểm chịu tác dụng của nhiều lực khác nhau, tỷ số giữa lực tác dụng và gia tốc tương ứng luôn là một hằng số.
Hằng số này gọi là khối lượng của chất điểm ký hiệu m Đơn vị của khối lượng là g Kg, tạ, tấn a m F b/ Định luật Niutơn II
Gia tốc của một chất điểm tỷ lệ thuận với lực tác dụng vào nó và tỷ lệ nghịch với khối lượng của nó m a F hay F = m.a (8.1)
Phương trình (8.1) thiết lập mối quan hệ giữa lực và chuyển động, được gọi là phương trình cơ bản của động lực học
Theo (8.1), khi tác dụng cùng một lực, chất điểm có khối lượng lớn hơn sẽ có gia tốc nhỏ hơn Điều này dẫn đến sự thay đổi vận tốc ít hơn, khiến chuyển động của nó gần giống với chuyển động đều.
Khối lượng của chất điểm thể hiện mức độ quán tính của nó Theo công thức (8.1), trọng lượng P của chất điểm có khối lượng m khi rơi tự do với gia tốc trọng trường g (g ≈ 9,8 m/s²) được tính toán như sau:
Tức là: khối lượng của một chất điểm bằng tỷ số giữa trọng lượng của nó với gia tốc trọng trường
8.1.3 Định luật Niutơn III( Định luật tương tác)
Lực tác dụng tương hỗ giữa hai chất điểm là hai lực trực đối Định luật này được trình bày ở phần tĩnh học
Các đơn vị cơ bản
- Mét, đơn vị dài, Ký hiệu là m
- Giây, đơn vị thời gian, ký hiệu s
- Kilôgam, đơn vị khối lượng, ký hiệu kg
- Đơn vị dẫn xuất ( suy từ đơn vị cơ bản):
Nếu m = 1kg, a = 1m/s 2 thì đơn vị lực
F = m.a = 1kg.1m/s 2 = 1 kg m/s 2 Đơn vị lực 1 kg m/s 2 được gọi là Niutơn, ký hiệu N (1N = 1 kg m/s 2 )
‘’Niutơn là lực tác dụng lên chất điểm có khối lượng 1kg truyền cho nó gia tốc 1 m/s 2 ’’
Bội số của N là KilôNiutơn (KN) 1KN = 10 3 N
Công và năng lượng
8.2.1 Công của lực không đổi trong chuyển động thẳng
Khi một lực tác động lên một vật rắn khiến vật đó di chuyển một khoảng cách nhất định, lực này đã tạo ra công.
Ví dụ: ta đẩy một cái xe, cần trục nâng một vật nặng Lực đẩy, lực nâng đó đã thực hiện một công
Ta có định nghĩa: Công là đại lượng có giá trị bằng tích số giữa lực tác dụng với quãng đường đi được theo phương của lực
Hình 8-1 Trong trường hợp tổng quát, phương của lực hợp với phương chuyển động một góc (Hình 8.2) Ta phân lực F ra hai thành phần:
F1 vuông góc với phương chuyển động,
F2 nằm trên phương chuyển động
Vì F 1 không gây ra chuyển động theo phương của nó, nên công của lực F 1
= 0 Khi đó công A của lực F bằng công của lực F 2
Ta nói lực gây ra một công động
Ta nói lực gây ra một công cản Đơn vị công = Đơn vị lực x Đơn vị độ dài
Tức là Jun là công được tạo nên khi một lực 1N dời điểm đặt 1m theo hướng của lực
Bội số của J là KilôJun (KJ) 1KJ = 10 3 J
8.2.2 Công của lực không đổi trong chuyển động quay
Trong kỹ thuật, ta thường phải tính công của chuyển động quay, chẳng hạn công của lực cắt dao tiện tác dụng lên chi tiết gia công (Hình 8.3)
A = F.S = Fr Ở đây tích Fr là mômen của lực F đối với trục quay, ký hiệu M
Vậy công của lực không đổi đặt vào vật quay bằng tích số giữa mômen của lực đối với trục quay và góc quay của vật.
Công suất
Công suất, ký hiệu P, là đại lượng dùng để đánh giá khả năng làm việc của máy móc thông qua việc tính công thực hiện trong một đơn vị thời gian.
Tức là: Công suất đo bằng số công thực hiện chia cho thời gian tương ứng Đơn vị công suất = Đơn vị công/ đơn vị thời gian
Oát là công suất của một máy sản ra công một Jun trong thời gian 1 giây
Bội số của W là KilôOát (KW), 1KW = 10 3 W
Thay A = M vào công thức (8.4), ta có công suất trong chuyển động quay là : t
Tức là: Công suất của vật quay bằng tích số giữa mômen quay với vận tốc góc
Một đoàn tàu có khối lượng 500 tấn đang di chuyển đều trên đường ray thẳng với vận tốc 21,6 km/h Lực cản tác động lên tàu là 200N cho mỗi tấn khối lượng Để tính công suất của đầu máy, cần xác định tổng lực cản và áp dụng công thức phù hợp.
Giải: Áp dụng công thức t
Khi tàu chạy đều thì lực kéo của đầu máy có trị số bằng lực cản chuyển động, nghĩa là: F = 200 x 500 = 100000N v = 21,6 Km/h = 6 m/s
Các định lý tổng quát của động lực học
8.4.1 Định lý biến thiên động năng a/ Động năng
Giả sử chất điểm M có khối lượng M chuyển động với vận tốc v Đại lượng
2 mv 2 biểu thị cho năng lượng của chất điểm trong chuyển động được gọi là động năng của chất điểm, ký hiệu Ec
Tức là: động năng của chất điểm bằng nửa tích số giữa khối lượng với bình phương vận tốc của nó
Đơn vị của động năng là Joule (J) Định lý về động năng cho biết rằng sự biến thiên động năng của một chất điểm trong một đoạn đường nhất định tương ứng với công do lực tác dụng lên chất điểm trong cùng đoạn đường đó.
Thật vậy, chẳng hạn chất điểm M chuyển động thẳng nhanh dần đều từ vị trí M1 đến M2 dưới tác dụng của lực không đổi F
Định lý đã được chứng minh
Một đoàn tàu di chuyển trên đường ray thẳng với tốc độ 72 km/h đã bắt đầu giảm tốc Tổng lực cản tác động lên tàu tương đương 0,1 trọng lượng của nó, và lực này hướng ngược lại với chiều chuyển động.
Tính đoạn đường tàu đi được từ khi hãm đến khi dừng hẳn
Theo bài ra, lực cản chuyển động là:
Với vận tốc ban đầu V0 là 72 km/h (tương đương 20 m/s), lực động không tạo ra công mà chỉ có công của lực cản Fc Gọi S là đoạn đường mà tàu đi được từ khi hãm cho đến khi dừng hẳn, ta có thể tính được công của lực cản trong quá trình này.
Khi tàu dừng hẳn v = 0, do đó 0
2 mv 2 Áp dụng định lý động năng ta có:
8.4.2 Thế năng a/ Định nghĩa Ở trên đã xét năng lượng của vật chuyển động gọi là động năng Trong thực tế ta vẫn thường dùng năng lượng đó, như lợi dụng sức gió để quay cánh quạt gió, sức nước để chạy tuabin
Trong trọng trường, năng lượng của một vật không chỉ phụ thuộc vào bản thân nó mà còn vào vị trí tương đối của nó so với các vật khác hoặc giữa các phần của cùng một vật, như trong trường hợp của thác nước.
Thế năng, ký hiệu E p, là dạng năng lượng được xác định bởi vị trí tương đối của một vật so với vật khác hoặc giữa các phần của cùng một vật.
Công của một chất điểm sinh ra trên một đoạn đường nào đó trong quá trình chuyển động bằng thế năng điểm đầu trừ đi thế năng điểm cuối
8.4.3 Định luật bảo toàn cơ năng
Công thức (8.7) có thể viết dưới dạng khác:
Đẳng thức Hay Ep1 + Ec1 = Ep2 + Ec2 (8.8) cho thấy rằng tổng động năng và thế năng tại bất kỳ vị trí nào là bằng nhau Điều này dẫn đến định luật bảo toàn cơ năng, khẳng định rằng cơ năng trong một hệ kín luôn được bảo toàn.
Trong chuyển động của chất điểm dưới tác động của trọng lực, tổng động năng và thế năng, hay còn gọi là cơ năng toàn phần, của chất điểm tại bất kỳ vị trí nào đều giữ nguyên giá trị.
Quả tạ 500kg rơi từ độ cao 5m xuống đầu cọc, cần tính động năng khi va chạm và so sánh với thế năng ban đầu Động năng tại thời điểm va chạm được xác định bằng công thức 1/2 mv², trong khi thế năng ban đầu tính bằng mgh So sánh hai giá trị này giúp hiểu rõ sự chuyển đổi năng lượng trong quá trình rơi.
Sau khi rơi được 5m, vật có vận tốc:
V= 2gh 2.9,8.5 Động năng của nó là:
Như vậy động năng của buá đập vào cọc bằng thế năng ban đầu
8.4.4 Định lý biến thiên động lượng a/ Khối tâm của cơ hệ
Khối tâm của cơ hệ là một điểm hình học, vị trí của nó được xác định bởi bán kính véctơ xác định bởi công thức:
1 k m là khối lượng của cơ hệ i
Trong toạ độ Đềcác Oxyz:
Trong bài viết này, chúng ta xem xét khối lượng của chất điểm thứ i, ký hiệu là mi, cùng với bán kính vectơ của chất điểm này được biểu diễn bằng r i (x i ,y i ,z i ) Ngoài ra, bán kính vectơ của khối tâm C được ký hiệu là r c (x c ,y c ,z c ) Cuối cùng, các tọa độ của chất điểm Mi được xác định qua các giá trị xi, yi, zi.
Nhân cả tử số và mẫu số của (8-10) với gia tốc trọng trường g ta được:
Công thức xác định vị trí khối tâm của vật rắn trong trường trọng lực trùng với công thức xác định vị trí trọng tâm Do đó, vị trí khối tâm và vị trí trọng tâm của vật rắn là giống nhau Bên cạnh đó, định lý chuyển động khối tâm cũng liên quan mật thiết đến khái niệm này.
Khối tâm của cơ hệ chuyển động như một chất điểm có khối lượng tương đương với khối lượng của toàn bộ cơ hệ Nó chịu tác động của lực, được biểu diễn bằng vectơ tổng của các lực ngoại lực tác dụng lên cơ hệ.
Phương trình (8-11) có thể viết dưới dạng Đềcác:
M Suy ra nội lực không ảnh hưởng đến chuyển động khối tâm c Động lượng
- Động lượng của chất điểm là một đại lượng vectơ bằng tích của khối lượng chất điểm với vectơ vận tốc của nó v m
- Động lượng của cơ hệ bằng tổng động lượng của các chất điểm thuộc cơ hệ:
(8-13) Đạo hàm theo thời gian hai vế của đẳng thức vectơ (8-13) ta được:
Động lượng của một cơ hệ được xác định bằng tổng động lượng của các chất điểm trong cơ hệ hoặc bằng động lượng của khối tâm với khối lượng tương đương toàn bộ cơ hệ Đơn vị đo động lượng là kgm/s Xung lượng của lực, hay còn gọi là xung lực, cũng là một khái niệm quan trọng trong cơ học.
Xung lượng nguyên tố dS của lực P sau khoảng thời gian vô cùng nhỏ dt là: dt P
Xung lượng của lực P sau khoảng thời gian t2 – t1: dt ) t ( P
Đơn vị của xung lực là Ns Theo định lý động lượng, đạo hàm theo thời gian của động lượng trong một cơ hệ tương đương với vectơ tổng của các ngoại lực tác dụng lên cơ hệ đó.
Định lý về biến thiên động lượng cho biết rằng, trong một khoảng thời gian xác định, sự thay đổi động lượng của một cơ hệ sẽ bằng tổng xung lượng của các ngoại lực tác động lên cơ hệ trong khoảng thời gian đó.