Giải tích phân thứ
Tích phân phân thứ
Trong bài viết này, chúng tôi giới thiệu khái niệm tích phân phân thứ, một mở rộng tự nhiên của tích phân lặp thông thường Theo định nghĩa 1.1, với α > 0 và [a, b] ⊂ R, tích phân phân thứ Riemann-Liouville cấp α của hàm x: [a, b] −→ R được định nghĩa bởi t 0I t α x(t) := 1 Γ(α).
(t−s) α−1 x(s)ds, t∈ (a, b], trong đó Γ(.) là hàm Gamma xác định bởi Γ(α) +∞
Trong Định nghĩa 1.1 khi α = 0, chúng ta quy ước t 0 I t α := I với I là toán tử đồng nhất Sự tồn tại của tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α với
Theo định lý 1.1, nếu x là một hàm khả tích trên đoạn [a, b], thì tích phân t 0 I t α x(t) sẽ tồn tại cho hầu hết t trong khoảng [a, b] Đồng thời, tích phân này cũng là một hàm khả tích.
Ví dụ sau đây cho ta tích phân phân thứ của một số hàm cơ bản.
(i) Cho x(t) = (t−a) β , ở đây β >−1 và t > a Với bất kì α > 0, chúng ta có t 0 I t α x(t) = Γ(β+ 1) Γ(α+β+ 1)(t−a) α+β , t > a.
(ii) Cho x(t) =e λt , λ > 0 Với bất kì α > 0, chúng ta có t 0 I t α x(t) =λ −α
Đạo hàm phân thứ
Đạo hàm Riemann–Liouville và đạo hàm Caputo là hai loại đạo hàm quan trọng, được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực Định nghĩa 1.2 nêu rõ rằng với một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂, chúng ta có thể xác định các đặc điểm và ứng dụng của các loại đạo hàm này.
R Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α của hàm x: [a, b] −→R được cho bởi
(t−s) n−α−1 x(s)ds, trong đó n := dαe là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và dt d n n là đạo hàm thông thường cấp n.
Ví dụ 1.2 Cho hàm bước đơn vị (unit-step function) f(t)
Bằng cách sử dụng Định nghĩa 1.2, ta tính đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville cấp α của hàm f(t) là
Trước khi trình bày điều kiện cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville, chúng tôi nhắc lại một số kết quả sau.
Trong khoảng hữu hạn [a, b] thuộc R, không gian các hàm tuyệt đối liên tục được ký hiệu là AC[a, b] Kolmogorov và Fomin đã chỉ ra rằng có mối liên hệ giữa các hàm tuyệt đối liên tục và các hàm khả tích Lebesgue, cụ thể là: f(t) ∈ AC[a, b] nếu và chỉ nếu f(t) = c+.
Z t a ϕ(s)ds (ϕ(s) ∈L(a, b)), do đó một hàm tuyệt đối liên tục f(t) có đạo hàm f 0 (t) = ϕ(t) hầu khắp nơi trên [a, b].
Với n ∈N, ta định nghĩa lớp hàm AC n [a, b] như sau:
D= d dt Mệnh đề sau đây cho ta một số đặc tính của lớp hàm AC n [a, b].
Mệnh đề 1.1 ([15]) Không gian AC n [a, b] chứa tất cả các hàm f(t) có dạng như sau: f(t) = t 0 I t α ϕ(t) + n−1
X k=0 c k (t−t 0 ) k , trong đó ϕ(t) ∈L(a, b), c k (k = 0,1, , n−1) là các hằng số tùy ý và t 0 I t α ϕ(t) = 1
Từ các điều kiện đã nêu, ta có ϕ(s) = f(n)(s) và c_k = f(k)(t₀) k! với k = 0, 1, , n−1 Định lý 1.2 cung cấp một tiêu chuẩn cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville Cụ thể, nếu α ≥ 0 và n = dαe, thì với hàm f(t) thuộc lớp AC n [a, b], đạo hàm phân thứ RL t sẽ tồn tại.
0 D α t f(t) tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b] và có thể được biểu diễn dưới dạng sau
Z t t 0 f (n) (s)ds(t−s) α−n+1 Kết quả sau đây được suy ra trực tiếp từ Định lý 1.2
Hệ quả 1.1 ([15]) Nếu 0< α 0 và n = dαe, nếu hàm f(t) thuộc lớp AC n trong khoảng [a, b], thì t 0 I t α C t.
X k=0 f (k) (t 0 ) k! (t−t 0 ) k Đặc biệt, nếu 0< α ≤1 và f(t)∈ AC[a, b] thì t 0 I t α C t 0 D α t f(t)
Định lý 1.6 nêu rõ mối quan hệ giữa đạo hàm phân thứ Caputo và đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville cho trường hợp α > 0 và n = dαe Đối với mọi x thuộc lớp hàm liên tục AC n [a, b], định lý này cung cấp những kết quả quan trọng trong lĩnh vực toán học.
Định lý 1.7, theo Bổ đề 2.3 trong cuốn sách của A.A Kilbas và các đồng tác giả, đóng vai trò quan trọng trong nghiên cứu bài toán điều khiển H ∞ cho hệ nơ ron thần kinh phân thứ Với các số dương α > 0 và β > 0, nếu f(t) là một hàm liên tục, thì ta có đẳng thức t 0I t α t 0I t β f(t).
Tiếp theo chúng tôi nhắc lại định nghĩa về hàm Mittag-Leffler. Định nghĩa 1.4 [14] Cho α ∈C, một hàm E α :C −→C xác định bởi
X k=0 z k Γ(αk+ 1), được gọi là hàm Mittag-Leffler một tham số.
Nhận xét 1.1 Trong Định nghĩa 1.4, nếu cho α= 1, ta có
Do đó hàm Mittag-Leffler chính là mở rộng của khái niệm hàm mũ. Định nghĩa 1.5 [14] Cho α, β ∈ C, một hàm E α,β : C−→ C xác định bởi
X k=0 z k Γ(αk+β), được gọi là hàm Mittag-Leffler hai tham số Các hàm Mittag-Leffler nhận giá trị ma trận được định nghĩa hoàn toàn tương tự, tức là
Các tính chất của hàm Mittag-Leffler một tham số, hai tham số đã được trình bày chi tiết trong cuốn sách chuyên khảo của A.A Kilbas [15].
Một số bổ đề bổ trợ
Trong phần này, chúng tôi sẽ tóm tắt một số bổ đề quan trọng được áp dụng để chứng minh các kết quả chính trong các nội dung tiếp theo của luận văn.
Bổ đề 1.1 (Bất đẳng thức Cauchy ma trận [8]) Cho x, y ∈R n và S ∈ R n×n là một ma trận đối xứng, xác định dương Khi đó ta có đánh giá sau: ±2x T y ≤ x T Sx+y T S −1 y.
Bổ đề Schur 1.2 khẳng định rằng, với các ma trận X, Y, Z có kích thước phù hợp, trong đó X và Y là hai ma trận đối xứng và xác định dương, thì điều kiện X + Z^T Y^(-1) Z < 0 xảy ra nếu và chỉ nếu.
Bổ đề sau đây có vai trò quan trọng trong việc ước lượng hàm Lyapunov.
Bổ đề 1.3 Cho x(t) ∈ R^n là một véc tơ hàm khả vi liên tục và P ∈ R^n×n là một ma trận đối xứng, xác định dương Khi đó, ta có ước lượng sau đây:
Bổ đề 1.4 [17] Giả sửx(t) và a(t) là các hàm không âm và khả tích trên đoạn
[0, T], T ≤+∞,g(t) là hàm không âm, không giảm trên đoạn[0, T],g(t)≤ M, trong đó M là một hằng số và α > 0 sao cho x(t)≤ a(t) +g(t)
Nếu a(t) là hàm không giảm trên [0, T] thì x(t) ≤ a(t)E α (g(t)Γ(α)t α ), t ∈
Bài toán ổn định trong thời gian hữu hạn cho hệ phương trình
phương trình vi phân phân thứ
Bài toán ổn định trong thời gian hữu hạn của hệ phương trình vi phân phân thứ đã được nghiên cứu đầu tiên bởi M.P Lazarevi´c và A.M Spasi´c Nghiên cứu này sau đó đã được mở rộng để áp dụng cho mạng nơ ron thần kinh phân thứ.
Các điều kiện trong các kết quả nghiên cứu của Y.J Ma và các cộng sự rất phức tạp và khó tính toán Họ đã áp dụng bất đẳng thức ma trận tuyến tính kết hợp với phép biến đổi Laplace để đưa ra một số tiêu chuẩn cho bài toán ổn định trong thời gian hữu hạn Ngoài ra, một số bài toán ổn định hóa liên quan cũng được nghiên cứu trong công trình này Chúng tôi sẽ trình bày lại các kết quả của Y.J Ma và các cộng sự.
Xét hệ tuyến tính phân thứ
Hệ (1.1) được định nghĩa với các tham số α ∈(0,1), x(t) ∈R n là véc tơ trạng thái, và A ∈R n×n là ma trận hằng số Để hệ này được coi là ổn định trong thời gian hữu hạn, cần có các số dương c 1 , c 2 (với c 1 ≤c 2 ), T và R là ma trận đối xứng, xác định dương Cụ thể, nếu x T 0 Rx 0 ≤ c 1, thì điều kiện x T (t)Rx(t)< c 2 phải được thỏa mãn cho mọi t.
Định lý 1.8 cung cấp điều kiện đủ cho tính ổn định trong thời gian hữu hạn của hệ tuyến tính phân thứ Cụ thể, với các số dương c1, c2 (c1 ≤ c2), T và ma trận R ∈ R n×n là ma trận đối xứng, xác định dương, hệ (1.1) được coi là ổn định trong thời gian hữu hạn nếu tồn tại một ma trận đối xứng, xác định dương Q∈ R n×n và một số dương γ thỏa mãn các điều kiện nhất định.
Chứng minh Xét hàm Lyapunov V(x(t)) = x T (t)P x(t) Áp dụng Bổ đề 1.3, ta thu được ước lượng sau đây
Từ điều kiện (1.2a), ta có
Vì γ >0 nên tồn tại một hàm không âm M(t) sao cho
0D t α V(x(t)) +M(t) =γV(x(t)) (1.4) Áp dụng biến đổi Laplace vào hai vế của đẳng thức trên, ta thu được s α V(x(s))−V(x(0))s α−1 +M(s) =γV(x(s)). Đẳng thức bên trên tương đương với
(1.5) Áp dụng biến đổi Laplace ngược vào đẳng thức (1.5), ta thu được
Vì hàm dưới dấu tích phân là dương nên từ đẳng thức trên ta thu được
Bất đẳng thức trên tương đương với x T (t)P x(t) < E α (γt α )x T (0)P x(0) Vì
P =R 1 2 QR 1 2 nên bất đẳng thức bên trên tương đương với x T (t)R 1 2 QR 1 2 x(t) < E α (γt α )x T (0)R 1 2 QR 1 2 x(0) (1.6)
Từ đó suy ra λ min (Q)x T (t)Rx(t) < λ max (Q)E α (γt α )x T (0)Rx(0).
Kết hợp bất đẳng thức trên với x T (0)Rx(0) ≤ c 1 và điều kiện (1.2b), ta có x T (t)Rx(t) < c 2 ,∀t∈ [0, T] Định lý được chứng minh hoàn toàn.
Khi có tác động của nhiễu hệ (1.1) trở thành hệ sau đây.
Trong hệ thống (1.7) với các tham số α ∈ (0,1), x(t) ∈ R n, A ∈ R n×n, D ∈ R n×m và nhiễu ω(t) ∈ R m thỏa mãn điều kiện sup t≥0 ω T (t)ω(t) ≤ d, hệ được gọi là bị chặn trong thời gian hữu hạn tương ứng với bộ (c 1, c 2, T, R, d) nếu x T 0 Rx 0 ≤ c 1 và x T (t)Rx(t) < c 2 cho mọi t ∈ [0, T] Định lý 1.9 cung cấp một điều kiện đủ cho tính bị chặn trong thời gian hữu hạn của hệ tuyến tính phân thứ (1.7), với các tham số dương c 1, c 2 (c 1 ≤ c 2), T, d và ma trận đối xứng R ∈ R n×n Hệ (1.7) sẽ bị chặn trong thời gian hữu hạn nếu tồn tại số dương γ cùng với các ma trận đối xứng xác định dương P 1 ∈ R n×n và P 2 ∈ R m×m thỏa mãn các điều kiện cụ thể.
Chứng minh Xét hàm LyapunovV(x(t)) = x T (t)P −1 x(t) Áp dụng Bổ đề 1.3, ta thu được ước lượng sau đây
Nhân bên trái và bên phải của (1.9a) với ma trận đối xứng xác định dương
Khi đó điều kiện (1.9a) tương đương với điều kiện dưới đây
Kết hợp hai điều kiện (1.10) và (1.11), ta thu được
Kết hợp điều này với các đánh giá ω T (t)P 2 −1 ω(t) ≤ λ max (P 2 −1 )ω T (t)ω(t) ≤ d λ min (P 2 ), ta thu được
0D t α V(x(t))< γV(x(t)) + γd λ min (P 2 ), t∈[0, T] (1.13) Lấy tích phân cấp α từ 0 tới t, (t ≤ T), hai vế của (1.13) và áp dụng Định lý 1.5, ta thu được đánh giá sau đây
(t−τ) α−1 V(x(τ))dτ. Bây giờ, áp dụng Bổ đề 1.4, ta thu được
Mặt khác, ta có các đánh giá sau đây
Từ các điều kiện (1.14) tới (1.16), ta có x T (t)Rx(t) λ max (P 1 ) < E α (γT α ) γdT α λ min (P 2 )Γ(α+ 1) + c1 λ min (P 1 )
Từ điều kiện (1.9b) và (1.17), ta có x T (t)Rx(t) < c 2 ,∀t ∈[0, T]. Định lý được chứng minh hoàn toàn.
Nhận xét 1.2 Khi α = 1, các kết quả trong [5] là các trường hợp đặc biệt của Định lý 1.8, Định lý 1.9.
Điều khiển H ∞ trong thời gian hữu hạn của một lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ 20 2.1 Phát biểu bài toán và một số tiêu chuẩn
Ví dụ số
Trong mục này, chúng tôi trình bày ba ví dụ số để minh họa cho các kết quả lý thuyết
Ví dụ 2.1 Xét hệ điều khiển tuyến tính phân thứ (Ví dụ 2 trong [17])
, x(t) = (x 1 (t), x 2 (t)) T ∈ R 2 , u(t) = (u 1 (t), u 2 (t)) ∈ R 2 , ω(t) = sint ∈ R Với điều khiển ngược u(t) =Kx(t), hệ đóng tương ứng của hệ (2.29) mô tả bởi
(2.30) Để so sánh kết quả của Định lý 2.1 với kết quả của Y.J Ma cùng các cộng sự
[17], ta xét hai trường hợp sau đây:
Trong trường hợp I, chúng ta chọn c1 = 5, Tf = 0.1, R = I và d = 1 Áp dụng Hệ quả 2.1, hệ thống đóng (2.30) bị chặn trong thời gian hữu hạn ứng với bộ (5, c2, 0.1, I, 1) với mọi c2 ≥ 5.9, nhờ vào điều khiển ngược ổn định hóa cho u(t).
Chú ý rằng trong công trình của Y.J Ma cùng các cộng sự [17], giá trị nhỏ nhất của c 2 để hệ đóng bị chặn trong thời gian hữu hạn là c 2 min = 15.
Trường hợp II xem xét với c1 = 5, c2 = 15, R = I và d = 1 Áp dụng Hệ quả 2.1, hệ đóng (2.30) bị chặn trong thời gian hữu hạn với bộ điều khiển (5, 15, Tf, I, 1), trong đó khoảng thời gian thỏa mãn 0 < Tf < Tf max = 6 nhờ vào điều khiển ngược ổn định hóa được cung cấp bởi u(t).
x(t) Chú ý rằng trong công trình của Y.J.
Ma cùng các cộng sự [17], giá trị lớn nhất của T f để hệ đóng bị chặn trong thời gian hữu hạn là T f max = 0.1.
Do đó, Định lý 2.1 hiệu quả hơn kết quả của Y.J Ma cùng các cộng sự [17]. Kết quả mô phỏng:
• Chọn điều kiện ban đầu x(0) = (2,2) T ∈ R 2 , c 1 = 5, c 2 = 5.9, T f 0.1, R = I, d = 1 Hình 2.1 mô phỏng quỹ đạo của các véc tơ trạng thái
Hình 2.1: Quỹ đạo của các trạng thái x 1 (t) và x 2 (t) của hệ mở trong Ví dụ 2.1
Hình 2.2 mô phỏng quỹ đạo của các véc tơ trạng thái x1(t) và x2(t) trong hệ đóng, trong khi Hình 2.3 và 2.4 thể hiện quỹ đạo của xT(t)Rx(t) cho hệ mở và hệ đóng Từ các hình vẽ, có thể thấy hệ đóng bị chặn trong thời gian hữu hạn với bộ tham số (5, 5.9, 0.1, I, 1).
Chọn điều kiện ban đầu x(0) = (2,2) T ∈ R 2 với c 1 = 5, c 2 = 15, T f = 6, R I, d = 1 Hình 2.5 và 2.6 mô phỏng quỹ đạo của x T (t)Rx(t) cho hệ mở và hệ đóng Hệ đóng rõ ràng bị chặn trong thời gian hữu hạn.
Hình 2.3: Quỹ đạo của x T (t)Rx(t) của hệ mở trong Ví dụ 2.1
Hình 2.4: Quỹ đạo của x T (t)Rx(t) của hệ đóng trong Ví dụ 2.1
Hình 2.5: Quỹ đạo của x T (t)Rx(t) của hệ mở trong Ví dụ 2.1
Hình 2.6: Quỹ đạo của x T (t)Rx(t) của hệ đóng trong Ví dụ 2.1 với bộ (5,15,6, I,1)
Ví dụ 2.2 Xét hệ nơ ron thần kinh phân thứ dưới đây
Với điều khiển ngược u(t) = Kx(t), hệ đóng tương ứng của hệ (2.31) mô tả bởi
Các hàm kích hoạt được chọn như sauf(x(t)) = (tanhx 1 (t),tanhx 2 (t)) T ∈R 2
Hàm kích hoạt f(x(t)) thỏa mãn Giả thiết 2.2 với L = diag{1,1} Đặt c1 = 1, c2 = 2, Tf = 5 và ma trận R = I Sử dụng hộp công cụ LMI Control Toolbox trong MATLAB, các điều kiện (2.28a) và (2.28b) trong Hệ quả 2.2 được thỏa mãn với giá trị = 128.2634.
Theo Hệ quả 2.2, hệ đóng (2.32) đạt được hiệu xuất H ∞ tương ứng với bộ
(1,2,5, I,0.0001) với hiệu suấtγ = 1.2598dưới tác động của điều khiển ngược ổn định hóa cho bởi: u(t)
Kết quả mô phỏng: chọn điều kiện ban đầu x(0) = (1,0.9) T ∈R 2 , c 1 = 1, c 2 2, T f = 5, R = I, d = 0.0001 Hình 2.7 và 2.8 lần lượt mô phỏng quỹ đạo của
Hình 2.7: Quỹ đạo của x T (t)Rx(t) của hệ mở trong Ví dụ 2.2
Hệ đóng trong Ví dụ 2.2 thể hiện quỹ đạo của x T (t)Rx(t) với sự khác biệt rõ rệt so với hệ mở Điều này cho thấy rằng hệ đóng bị chặn trong khoảng thời gian hữu hạn, tương ứng với bộ tham số (1,2,5,I,0.0001).
Ví dụ 2.3 Xét hệ nơ ron thần kinh phân thứ sau đây
Hình 2.9: Quỹ đạo của x T (t)Rx(t) của hệ mở trong Vi dụ 2.3
Hình 2.10: Quỹ đạo của x T (t)Rx(t) của hệ đóng trong Vi dụ 2.3 trong đó x(t) = (x 1 (t), x 2 (t)) T ∈R 2 và
Với điều khiển ngược u(t) = Kx(t), hệ đóng tương ứng của hệ (2.33) mô tả bởi
(2.34) Véc tơ nhiễu đầu vào ω(t) cho bởi ω(t)
Suy ra véc tơ nhiễu đầu vào thỏa mãn Giả thiết 2.3 với d = 0.0001, hàm kích hoạt f(x(t)) là (tanhx 1 (t), tanhx 2 (t)) T ∈ R 2 Hàm kích hoạt này thỏa mãn Giả thiết 2.2 với L = diag{1,1} Đặt c 1 = 1, c 2 = 1.6, T f = 10 và ma trận R = I, với γ = 1.2391 Sử dụng hộp công cụ LMI Control Toolbox trong MATLAB, các điều kiện (2.22a) và (2.22b) trong Định lý 2.2 được thỏa mãn với các giá trị = 14.1493, 1 = 17.3301, 2 = 14.7246.
Theo Định lý 2.2, hệ đóng (2.34) đạt được hiệu xuất H ∞ tương ứng với bộ
(1,1.6,10, I,0.0001) với hiệu suất γ = 1.2391 dưới tác động của điều khiển ngược ổn định hóa cho bởi: u(t)
Kết quả mô phỏng cho thấy khi chọn điều kiện ban đầu x(0) = (1,0.9) trong không gian R² với các tham số c₁ = 1, c₂ = 1.6, T_f = 10, R = I và d = 0.0001, hình 2.9 và 2.10 lần lượt mô phỏng quỹ đạo của hệ mở và hệ đóng Hệ đóng rõ ràng bị chặn trong thời gian hữu hạn với bộ tham số (1, 1.6, 10, I, 0.0001).
Luận văn đã đạt được những kết quả sau:
Giải tích phân thứ là một lĩnh vực quan trọng trong toán học, bao gồm các khái niệm như tích phân Riemann-Liouville, đạo hàm phân thứ Caputo và hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo Tích phân Riemann-Liouville giúp mở rộng khái niệm tích phân truyền thống, trong khi đạo hàm phân thứ Caputo cho phép nghiên cứu các hiện tượng phi tuyến tính và không đồng nhất Hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo là công cụ hữu ích trong việc mô hình hóa các quá trình vật lý phức tạp, mang lại cái nhìn sâu sắc hơn về hành vi của các hệ thống động.
Trong bài viết này, chúng tôi sẽ giới thiệu và trình bày một số tiêu chuẩn đơn giản để đánh giá tính ổn định và tính bị chặn trong thời gian hữu hạn của lớp hệ điều khiển tuyến tính phân thứ Những tiêu chuẩn này giúp xác định khả năng điều khiển của hệ thống và đảm bảo rằng hệ thống hoạt động hiệu quả trong các điều kiện khác nhau Việc áp dụng các tiêu chuẩn này không chỉ cải thiện hiệu suất mà còn tăng cường độ tin cậy của hệ thống điều khiển.
• Giới thiệu bài toán điều khiển H ∞ trong thời gian hữu hạn cho lớp hệ điều khiển tuyến tính với bậc nguyên;
• Trình bày một số tiêu chuẩn cho bài toán điều khiển H ∞ trong thời gian hữu hạn cho lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ;
• Trình bày 03 ví dụ số cùng với mô phỏng để minh họa cho các kết quả lý thuyết.
[1] Hoàng Thế Tuấn,Về một số vấn đề định tính của hệ phương trình vi phân phân thứ, Luận án tiến sĩ Toán học, Viện Toán học, 2017.
Nguyễn Trường Thanh đã thực hiện luận án tiến sĩ về điều khiển H ∞ cho các hệ phương trình vi phân có độ trễ biến thiên tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội vào năm 2015.
Bùi Thị Thúy đã thực hiện nghiên cứu về dao động phi tuyến yếu trong hệ cấp ba có đạo hàm cấp phân số trong luận án tiến sĩ Cơ học tại Học viện Khoa học và Công nghệ năm 2017 Nghiên cứu này đóng góp vào lĩnh vực cơ học, đặc biệt là trong việc hiểu rõ hơn về các hiện tượng dao động phức tạp.
[4] M.S Ali and S Saravanan (2016), “Robust finite-time H ∞ control for a class of uncertain switched neural networks of neutral-type with dis- tributed time varying delays”, Neurocomputing, 177, pp 454–468.
[5] F Amato, M Ariola and P Dorato (2001), “Finite-time control of linear systems subject to parametric uncertainties and disturbances”, Automat- ica, 37, pp 1459–1463.
[6] P Baskar, S Padmanabhan S, M.S Ali (2018), “Finite-time H ∞ control for a class of Markovian jumping neural networks with distributed time varying delays-LMI approach”,Acta Mathematica Scientia,38(2), pp 561–579.
[7] A Boroomand and M.B Menhaj (2008), “Fractional-order Hopfield neural networks”, In: International Conference on Neural Information Processing (pp 883-890), Springer.
[8] S Boyd, L El Ghaoui, E Feron, V Balakrishnan (1994), Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory, SIAM, Philadelphia.
[9] L Chen, C Liu, R Wu, Y He and Y Chai (2016), “Finite-time stability criteria for a class of fractional-order neural networks with delay”, Neural Computing and Applications, 27(3), pp 549–556.
[10] L.O Chua and L Yang (1998), “Cellular neural networks: Theory”, IEEE Transactions on Circuits and Systems, 35(10), pp 1257–1272.
[11] L.O Chua and L Yang (1998), “Cellular neural networks: Applications”, IEEE Transactions on Circuits and Systems, 35(10), pp 1273–1290.
[12] X Dinh, J Cao, X Zhao and F.E Alsaadi (2017), “Finite-time stability of fractional-order complex-valued neural networks with time delays”,Neural Processing Letters, 46(2), pp 561–580.
In their 2015 study published in *Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation*, M.A Duarte-Mermoud, N Aguila-Camacho, J.A Gallegos, and R Castro-Linares explore the application of general quadratic Lyapunov functions to establish Lyapunov uniform stability in fractional order systems Their research, detailed in volume 22, issues 1-3, spans pages 650 to 659, highlighting significant advancements in the stability analysis of complex dynamical systems.
[14] T Kaczorek (2011), Selected Problems of Fractional Systems Theory, Springer.
[15] A.A Kilbas, H.M Srivastava and J.J Trujillo (2006), Theory and Appli- cations of Fractional Differential Equations, Springer.
[16] M.P Lazarevi´c and A.M Spasi´c (2009), “Finite-time stability analysis of fractional order time-delay systems: Gronwall’s approach”, Mathematical and Computer Modelling, 49, pp 475–481.
[17] Y.J Ma, B.W Wu and Y.E Wang (2016), “Finite-time stability and finite- time boundedness of fractional order linear systems”, Neurocomputing,
[18] Q Meng and Y Shen (2009), “Finite-timeH ∞ control for linear continuous system with norm-bounded disturbance”, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 14, pp 1043–1049.
[19] C Rajivganthi, F.A Rihan, S Lakshmanan and P Muthukumar (2018),
“Finite-time stability analysis for fractional-order Cohen–Grossberg BAM neural networks with time delays”, Neural Computing and Applications, 29(12), pp 1309–1320.
[20] M.V Thuan, N.H Sau and N.T.T Huyen (2020), “Finite-timeH ∞ control of uncertain fractional-order neural networks”,Computational and Applied Mathematics, 39, pp 1–19.
[21] Z Shuo, Y.Q Chen and Y Yu (2017), “A Survey of Fractional-Order Neural Network”, ASME 2017 International Design Engineering Technical Conferences and Computers and Information in Engineering Conference, American Society of Mechanical Engineers.
[22] S Wang, T Shi, L Zhang, A Jasra and M Zeng (2015), “Extended finite- time H ∞ control for uncertain switched linear neutral systems with time- varying delays”, Neurocomputing, 152, pp 377–387.
[23] R.C Wu, Y.F Lu and L.P Chen (2015), “Finite-time stability of fractional delayed neural networks”, Neurocomputing, 149, pp 700–707.
[24] Z Xiang, Y.N Sun, M.S Mahmoud (2012), “Robust finite-time H ∞ con- trol for a class of uncertain switched neutral systems”, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 17, pp 1766–1778.
[25] C Xu and P Li (2019), “On finite-time stability for fractional-order neural networks with proportional delays”, Neural Processing Letters, 50(2), pp.1241–1256.