Hội tụ trên đồ thị và tính chất mức bị chặn
Mục này nhấn mạnh khái niệm hội tụ trên đồ thị và các tính chất liên quan, theo Painléve-Kuratowski Định nghĩa hội tụ của dãy tập hợp được trình bày như sau: Giả sử {C m } ∞ m=1 là dãy các tập con của R n, trong đó mỗi C m là một tập con của R n với mọi m thuộc N ∗ Giới hạn trên của dãy này sẽ được xác định theo các tiêu chí cụ thể.
C m là tập con của R n được xác định bởi lim sup m→∞
C m := x ∈ R n | ∃ dãy số tự nhiên {m k },∃x k ∈ C m k : lim k→∞x k = x
Giới hạn dưới của dãy {C m } kí hiệu lim inf m→∞ C m , là tập con của R n được xác định bởi lim inf m→∞ Cm := x ∈ R n | ∃m 0 ∈ N ∗ ,∃x m ∈ Cm∀m ≥ m0 : lim m→∞xm = x
Ta nói dãy {C m } có giới hạn là C ⊂ R n nếu lim sup m→∞
C m = lim inf m→∞ C m = C; trong trường hợp này ta kí hiệu lim m→∞Cm := C.
Ví dụ 1.1.2 a) Cho {C m } là dãy trong R xác định bởi
[−1− m 1 ,0] nếu m lẻ. Khi đó, ta có lim inf m→∞ C m = {0} và lim sup m→∞
C m = [−1,1]. b) Với dãy tập {C m } trong R cho bởi
Chú ý 1.1.3 Giả sử f : R n → R := [−∞,∞] Trong phần sau, ta kí hiệu epif và domf lần lượt là trên đồ thị và miền hữu hiệu của hàm f, tức là epif := {(x, α) ∈ R n ×R : f(x) ≤ α} và domf := {x ∈ R n : f(x) < ∞}.
Tập u ∈ R n với f(u) = inf x∈ R n f(x) được ký hiệu là argmin x∈ R n f(x) Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới nếu tập epif là tập đóng, và f là chính thường nếu domf không rỗng và f(x) > -∞ với mọi x ∈ R n Định nghĩa 1.1.4 ([7, Định nghĩa 7.1]) nêu rõ rằng nếu f và fm (m ∈ N ∗) là các hàm từ R n vào R, thì dãy {f m} hội tụ trên đồ thị tới f nếu lim m→∞ epif m = epif.
Nếu dãy {f m } hội tụ trên đồ thị tới hàm f thì ta viết f m → e f hoặc e− lim m→∞f m = f.
Mệnh đề 1.1.5 nêu rõ rằng cho hai hàm số f và f m (với m ∈ N ∗) từ R n vào R, thì f m hội tụ về e f nếu và chỉ nếu với mỗi x ∈ R n, điều kiện lim inf m→∞ f m (x m ) ≥ f(x) được thỏa mãn cho mọi dãy {x m } ⊂ R n với x m → x Đồng thời, cũng cần có một dãy {x m } sao cho x m tiến tới x và lim sup m→∞ f m (x m ) ≤ f(x).
Các ví dụ tiếp theo cho thấy giới hạn điểm và giới hạn trên đồ thị là hai khái niệm độc lập với nhau.
Ví dụ 1.1.6 ([7, p 239]) Xét dãy hàm {f m }trong đó fm : R → Rđược cho bởi f m (x) := min{1,|x| 2m } ∀x ∈ R, m = 1,2, Đặt f(x)
Khi đó, ta có lim m→∞fm(x) = f(x) với mọi x ∈ R, nhưng fm e
6→ f (do với x = 1 ta có x m = 1− m 1 → x và lim inf m→∞ f m (x m ) < f(x), nên theo Mệnh đề 1.1.5 thì fm e
Ví dụ 1.1.7 ([7, pp 247-248]) Giả sử fm :R → R là hàm cho bởi fm(x) 1 nếu x 6= m 1 ,
Ta có lim m→∞f m (x) =g(x) := 1 với mọi x Sử dụng Mệnh đề 1.1.5 ta thấy f m e
Dù giới hạn điểm và giới hạn trên đồ thị có thể tồn tại đồng thời, chúng vẫn có thể khác nhau Định nghĩa 1.1.8 cho biết rằng nếu {f m } là một dãy các hàm từ R n vào R, thì dãy {f m } được gọi là rốt cục mức bị chặn (eventually level-bounded) nếu với mỗi α ∈ R, tồn tại một m 0 sao cho
Tập hợp {x|f(x) ≤ α} được xác định là một tập bị chặn Theo Định lý 1.1.9, cho dãy hàm {f m} là các hàm chính thường nửa liên tục dưới từ R n vào R rốt cục và bị chặn, với điều kiện f m tiến tới e f Nếu f là hàm chính thường nửa liên tục dưới, thì ta có giới hạn m→∞ lim inf x∈ R n f m (x) = inf x∈ R n f(x).
Hơn nữa, tồn tại m 0 ∈ N ∗ sao cho argmin x∈ R n f m (x) ∞ m=m
0 là một dãy bị chặn các tập khác rỗng và thỏa mãn điều kiện lim sup m→∞ argmin x∈ R n f m (x) ⊂ argmin x∈ R n f(x) Định nghĩa 1.1.10 cho biết hàm f :R n ×R m → R được gọi là mức bị chặn theo x và đều địa phương theo u nếu với mỗi u¯ ∈ R m và α ∈ R tồn tại lân cận V của u¯ và tập bị chặn B ⊂R n sao cho.
{x|f(x, u) ≤ α} ⊂ B ∀u ∈ V. Định lý 1.1.11 ([7, Theorem 1.17]) Cho f : R n × R m → R là hàm chính thường nửa liên tục dưới, mức bị chặn theo x và đều địa phương theo u Với mỗi u∈ R m , đặt p(u) := inf x∈ R n f(x, u), P(u) := argmin x∈ R n f(x, u).
(a) Hàm p : R m → R, u 7→ p(u), là chính thường và nửa liên tục dưới;
(b) Với mỗi u ∈ domp tập P(u) là khác rỗng và compact, trong khi
Dưới vi phân, tính lồi và ánh xạ đơn điệu
Mục này giới thiệu các khái niệm quan trọng như vi phân, hàm lồi, và ánh xạ đơn điệu, cùng với một số tính chất cơ bản của chúng Định nghĩa 1.2.1 nêu rõ rằng nếu f : R^n → R là một hàm chính thường và nửa liên tục dưới, thì nó sẽ có những đặc điểm riêng biệt cần được xem xét.
Dưới vi phân chính quy của hàm f tại điểm x thuộc miền xác định của nó, kí hiệu ∂fb (x), được định nghĩa là tập hợp tất cả các vector v trong R n thoả mãn điều kiện f(x 0 ) > f(x) + hv, x 0 −xi + o(kx 0 −xk) Trong đó, o(kx 0 −xk) là một hàm số phụ thuộc vào x 0 với giới hạn khi x 0 tiến tới x, o(kx 0 −xk) chia cho kx 0 −xk sẽ tiến tới 0 Nói cách khác, v thuộc ∂fb (x) nếu và chỉ nếu giới hạn dưới của f(x 0 ) - f(x) - hv, x 0 −xi chia cho kx 0 −xk lớn hơn hoặc bằng 0 khi x 0 tiến tới x.
(ii) Dưới vi phân qua giới hạn của f tại x ∈ domf, kí hiệu ∂f(x), là tập hợp tất cả v ∈ R n thỏa mãn:
∃v k ∈ ∂fb (x k )sao chov k −→ v, x k −→ x, f(x k ) −→ f(x). Điều này có nghĩa là
∂fb (x 0 ), trong đó lim sup là giới hạn trên theo nghĩa Painléve-Kuratowski.
Nếu x ∈ R n \domf thì qui ước ∂f(x) =∂fb (x) := ∅.
Các ánh xạ đa trị x 7→ ∂fb (x) và x 7→ ∂f(x) được gọi lần lượt là dưới vi phân chính qui và dưới vi phân qua giới hạn của hàm f Định nghĩa 1.2.2 cho biết rằng T : R n ⇒ R n là một ánh xạ đa trị.
(i) Ta nói T là ánh xạ đơn điệu (theo nghĩa Minty) nếu hv 0 −v, x 0 −xi > 0 ∀(x, v),(x 0 , v 0 ) ∈ gphT, (1.2) trong đó gphT = {(x, v) ∈ R n ×R n |v ∈ T(x)} là đồ thị của T.
Ánh xạ T được gọi là đơn điệu cực đại nếu nó là ánh xạ đơn điệu và không tồn tại ánh xạ đơn điệu T' nào từ R n đến R n mà có đồ thị bao gồm đồ thị của T nhưng không hoàn toàn trùng khớp với nó Hàm f : R n → R được xem là lồi nếu tập epif của nó là lồi Ngoài ra, hàm f cũng được gọi là lồi địa phương nếu với mỗi điểm x ∈ R n, tồn tại một lân cận lồi U quanh x sao cho hàm f + δU trở thành hàm lồi, trong đó δU là hàm chỉ của tập U, với δU(u) = 0 nếu u ∈ U và δU(u) = +∞ nếu u ∈ R n \ U.
Chú ý 1.2.4 1) Hàmf : R n → Rlà lồi khi và chỉ khi với mọix 1 , x 2 ∈ R n và mọi t∈ [0,1] ta có f (1−t)x 1 +tx 2 ≤(1−t)f(x 1 ) +tf(x 2 ).
Bất đẳng thức này được gọi là bất đẳng thức Jensen.
2) Nếu f : R n → R là hàm lồi hữu hạn tại x ∈ R n thì
Mối quan hệ giữa tính lồi và tính đơn điệu cực đại của ánh xạ dưới vi phân được thể hiện qua Định lý 1.2.5 Theo định lý này, nếu f: R^n → R là hàm chính thường và nửa liên tục dưới, thì f sẽ lồi khi và chỉ khi ánh xạ dưới vi phân của nó thỏa mãn điều kiện nhất định.
Hàm số f : R n ⇒ R n được coi là ánh xạ đơn điệu cực đại Theo Định nghĩa 1.2.6, nếu O là tập mở khác rỗng trong R n và f : O → R, thì f được gọi là dưới-C 1 trên O nếu với mỗi x¯ ∈ O tồn tại lân cận V của x¯, không gian compact T và các hàm f t : V → R khả vi liên tục sao cho f(x) = max t∈T ft(x), đồng thời (x, t) 7→ ft(x) và (x, t) 7→ ∇f t (x) là các ánh xạ liên tục Định nghĩa 1.2.7 chỉ ra rằng với hàm số f : R n → R, hàm số f ∗ : R n → R được xác định bởi f ∗ (v) := sup x∈ R n.
{hv, xi −f(x)}, v ∈ R n , là hàm liên hợp của f.
Hàm liên hợp của một hàm số bất kỳ luôn là hàm lồi Đặc biệt, nếu f: R n → R là hàm lồi chính thường nửa liên tục dưới, thì điều kiện ¯v ∈ ∂f(¯x) tương đương với x¯ ∈ ∂f ∗ (¯v) Định nghĩa hàm chính qui gần kề tại x¯ đối với v¯ được đưa ra như sau: với f: R n → R là hàm hữu hạn tại x¯ và v¯ ∈ ∂f(¯x), thì f được gọi là chính qui gần kề tại x¯ nếu tồn tại ε > 0 và ρ ≥ 0 sao cho f(x 0 ) ≥ f(x) + hv, x 0 − x i − ρ.
Cho hàm f: R^n → R, với mọi x_k ∈ B(¯x, ε) và v ∈ ∂f(x) thỏa mãn k v - ¯v k < ε, f(x) < f(¯x) + ε Nếu f là chính quy gần kề tại x¯ đối với mọi ¯v ∈ ∂f(¯x), thì ta gọi f là chính quy gần kề tại x¯ Định nghĩa 1.2.10: Hàm f được gọi là liên tục dưới vi phân tại x¯ đối với v¯ nếu với mọi dãy {(x_k, v_k)} ⊂ gph∂f mà lim k→∞(x_k, v_k) = (¯x, v¯), thì lim k→∞f(x_k) = f(¯x).
Nếu f : R n →R là hàm lồi chính thường nửa liên tục dưới, thì f là chính quy gần kề tại mọi x¯∈ domf Định lý 1.2.12 chỉ ra rằng, với hàm f : R n ×R m →R, (x, u) 7→ f(x, u) là hàm chính thường nửa liên tục dưới, có mức bị chặn theo x và đều địa phương theo u, ta có thể xác định p(u) := inf x∈ R n f(x, u) và P(u) := argmin x∈ R n f(x, u).
Khi đó, với mỗi u¯ ∈ domp, ta có
Quy tắc tính dưới vi phân qua giới hạn của hàm hợp và tổng hai hàm được trình bày trong Định lý 1.2.13 Theo định lý này, nếu f : R n → R được xác định bởi f(x) := g F(x) với g : R m → R là hàm nửa liên tục dưới và F : R n → R m là ánh xạ khả vi liên tục, thì tại điểm x¯ ∈ R n mà f(¯x) ∈ R và ma trận Jacôbi ∇g(¯x) có hạng bằng m, ta có những kết quả quan trọng về tính khả vi và giới hạn của hàm.
∂f(¯x) = ∇F(¯x) ∗ ∂g(¯x), ở đây ∇F(¯x) ∗ kí hiệu ma trận chuyển vị của ma trận ∇F(¯x).
(ii) Cho f 1 : R n → R là hàm Lipschitz địa phương quanh x¯ ∈ R n và f 2 : R n → R là hàm chính thường nửa liên tục dưới với f 2 (¯x) ∈ R Khi đó, ta có
Chương này trình bày một số kết quả về hàm lồi biến phân và ứng dụng vào lí thuyết tối ưu.
Định nghĩa và ví dụ
Rockafellar đã giới thiệu các khái niệm quan trọng vào năm 2019 Theo định nghĩa 2.1.1, cho hàm f : R n −→ (−∞; +∞] là hàm chính thường nửa liên tục dưới, ánh xạ f : R n ⇒ R n được coi là f-đơn điệu địa phương quanh điểm (x,v)¯ ∈ gph∂f nếu tồn tại lân cận X × V của (¯x,v)¯ và có ε > 0 thỏa mãn điều kiện nhất định.
[X ε ×V]∩gph∂f là đơn điệu trong X ×V, (2.1) trong đó
X ε := x ∈ X|f(x) < f(¯x) +ε (2.2) Định nghĩa 2.1.2 ([5, Definition 2]) Cho f : R n → R là hàm chính thường nửa liên tục dưới và (¯x,v)¯ ∈ gph∂f.
Ta nói rằng hàm f là lồi biến phân tại điểm x¯ đối với v¯ nếu tồn tại một lân cận lồi mở X × V của (¯x, v)¯, với ε > 0, và một hàm lồi nửa liên tục dưới fb: R n → R thỏa mãn fb(x) ≤ f(x) với mọi x ∈ X Đồng thời, điều kiện [X × V] ∩ gph∂f = [X × V] ∩ gph∂f,b và f(x) = fb(x) đối với mọi x thuộc Π 1 [X ε × V] ∩ gph∂f được áp dụng, trong đó Π 1 [X ε × V] ∩ gph∂f là tập hợp các x ∈ R n sao cho tồn tại v: (x, v) thuộc ([X ε × V] ∩ gph∂f).
Hàm f được gọi là lồi biến phân mạnh tại x¯ với v¯ và môđun σ > 0 nếu có thể chọn hàm fblồi mạnh trên X với môđun σ, sao cho hàm fb thỏa mãn điều kiện fb − σ/2 kã k² là lồi.
Mệnh đề 2.1.3 ([5]) Nếu f : R n → R là chính thường nửa liên tục dưới, lồi địa phương quanh điểm x¯∈ domf, thì f là lồi biến phân tại x¯ đối với v¯∈ ∂f(¯x).
Giả sử f là hàm lồi địa phương nửa liên tục dưới tại điểm x¯ ∈ domf và v¯ ∈ ∂f(¯x) với ε > 0 Có thể tìm thấy một lân cận lồi mở X của x¯ sao cho hàm fb = f + δ X là hàm lồi chính thường nửa liên tục dưới trên R n Theo Mệnh đề 1.2.11, fb liên tục dưới vi phân tại ¯x đối với v¯, từ đó suy ra rằng f cũng liên tục dưới vi phân tại x¯ đối với v¯.
Để chứng minh rằng hàm f là lồi biến phân tại điểm x¯ với v¯ ∈ ∂f(¯x), ta cần thu nhỏ lân cận X nếu cần thiết và xác định lân cận lồi mở V của v¯ sao cho fb(x) ≤ f(x) với mọi x ∈ X Đồng thời, ta có điều kiện [X × V] ∩ gph∂f = [X × V] ∩ gph∂f,b và f(x) ≤ x với mọi x ∈ Π 1 [X ε × V] ∩ gph∂f Trong đó, Π 1 [X ε × V] ∩ gph∂f là tập hợp các x thuộc R^n sao cho tồn tại v với (x, v) thuộc [X ε × V] ∩ gph∂f Ví dụ dưới đây minh họa cho hàm lồi biến phân nhưng không phải là hàm lồi địa.
Ví dụ 2.1.4 ([6]) Cho f : R →R là hàm số xác định bởi công thức f(x) = max{1−e x ,1−e −x } ∀x ∈ R.
Khi đó, f là hàm lồi biến phân tại x¯ = 0 đối với v¯= 0 ∈ ∂f(¯x) Nhưng f không phải là hàm lồi địa phương Thật vậy, ta có
Vỡ ỏnh xạ dưới vi phân của hàm f không đơn điệu tại bất kỳ lân cận nào của 0, từ Định lý 1.2.5 suy ra rằng f không phải là hàm lồi địa phương Đặt fb(x) := |x| với mọi x ∈ R, rõ ràng fb là hàm lồi.
{1} nếu x > 0, và tồn tại r > 0 sao cho fb(x) ≤ f(x) ∀x ∈ X := (−r, r).
[X ×V]∩gph∂f = [X ×V]∩gph∂fb= {0} ×(−1,1), Π 1 [X ε ×V]∩gph∂f = x ∈ R n | ∃v : (x, v) ∈ {0} ×(−1,1) = {0}, và f(x) =fb(x) ∀x ∈ Π 1 [X ε ×V]∩gph∂f Điều này chứng tỏ f là hàm lồi biến phân.
Đặc trưng của tính lồi biến phân
Mục này dành để trình bày các đặc trưng của tính lồi biến phân và tính lồi biến phân mạnh.
Kết quả đầu tiên của mục này được phát biểu như sau: Định lý 2.2.1 ([5, Định lý 1]) khẳng định rằng nếu f : R n → R là một hàm chính thường nửa liên tục dưới, x¯ thuộc miền xác định của f và v¯ thuộc biên của f tại x¯, thì các mệnh đề tương ứng sau đây là tương đương.
(i) ∂f là đơn điệu f-địa phương quanh (¯x,v)¯ ;
(ii) ∂f là đơn điệu cực đại f-địa phương quanh (¯x,v)¯ ;
(iii) f là lồi biến phân tại x¯ đối với v¯;
(iv) Tồn tại lân cận lồi X ×V của (¯x,v)¯ và tồn tại > 0 sao cho với mọi (x, v) ∈ [X ×V]∩gph∂f, ta có f(x 0 ) > f(x) + hv, x 0 −xi ∀x 0 ∈ X (2.4)
Để chứng minh (iv) ⇒ (iii), giả sử (iv) đúng Định nghĩa hàm fb:R n → R với fb(x 0 ) = sup f(x) +hv, x 0 −xi cho mọi x 0 ∈ R n Hàm fb là sup của một tập hợp các hàm affine, do đó nó là hàm lồi nửa liên tục dưới Tiếp theo, ta chứng minh rằng f(x 0 ) ≥ fb(x 0 ) cho mọi x 0 ∈ X Chọn bất kỳ x ∈ X, từ (iv) suy ra f(x 0 ) ≥ f(x) +hv, x 0 −xi với mọi (x, v) thuộc [X ε ×V]∩gph∂f.
Do đó f(x 0 ) ≥sup f(x) +hv, x 0 −xi |(x, v) ∈ [X ×V]∩gph∂f
Hơn nữa, nếu (x, v) ∈ [X ×V]∩gph∂f thì
Từ đó suy ra nếu (x, v) ∈ [X ×V]∩ gph∂f thì fb(x) =f(x).
Tiếp theo, ta sẽ chứng minh tồn tại lân cận lồi mở X 0 × V 0 ⊂ X ×V của (¯x,v)¯ sao cho
Trong bài viết này, ta có thể thấy rằng [X 0 ×V 0 ]∩gph∂f = [X 0 ×V 0 ]∩gph∂fb Nếu (x, v) thuộc [X 0 ×V 0 ]∩gph∂fb, thì f(x) sẽ bằng fb(x) Tập hợp X ε 0 được định nghĩa là {x∈ X 0 |f(x) < f(¯x)+ε} Hàm fb là hàm lồi thường nửa liên tục dưới và (¯x,¯v) thuộc gph∂fb, do đó fb liên tục dưới vi phân tại x¯ đối với ¯v Từ đó, có thể chọn một lân cận lồi mở X 0 ×V 0 nằm trong X ×V của (¯x,v)¯.
Lấy(˜x,v)˜ ∈ [X 0 ×V 0 ]∩gph∂f ⊂ [X ×V]∩gph∂f Ta có(˜x,v)˜ ∈ X 0 ×V 0
Từ (2.5) và (2.6) suy ra fb(x 0 ) = sup f(x) + hv, x 0 −xi |(x, v) ∈ [X ×V]∩gph∂f
≥f(˜x) +hv, x˜ 0 −xi ≥˜ fb(˜x) +h˜v, x 0 −xi,˜ với mọi x 0 ∈ X Kết hợp với x˜∈ X và X mở, ta có ˜v ∈ ∂fb(˜x) Như vậy
(˜x,v)˜ ∈ [X 0 ×V 0 ]∩ gph∂f b Điều này chứng tỏ
[X 0 ×V 0 ]∩gph∂f ⊂ [X 0 ×V 0 ]∩gph∂f b (2.9) Lấy (ˆx,v)ˆ ∈ [X 0 ×V 0 ]∩gph∂fbmà f(ˆx) =fb(ˆx) Ta sẽ chứng minh
Từ (2.8) suy ra (ˆx,v)ˆ ∈ X ε 0 ×V ⊂ X ×V Vì vˆ ∈ ∂fb(ˆx) và fblà hàm lồi nên fb(x 0 ) ≥ fb(ˆx) + hˆv, x 0 −xiˆ ∀x 0 ∈ R n
Kết hợp với (2.6) và giả thiết f(ˆx) = fb(ˆx), ta suy ra f(x 0 ) ≥ f(ˆx) +hˆv, x 0 −xiˆ ∀x 0 ∈ X.
Mặt khác X là tập mở và xˆ∈ X Do đó vˆ∈ ∂f(ˆx) Như vậy
Để chứng minh (2.7), ta cần chỉ ra rằng lân cận \(X_0 \times V_0\) có thể được chọn sao cho nếu \((\hat{x}, \hat{v}) \in [X_0 \times V_0] \cap gph \partial f\), thì \(f(\hat{x}) = f_b(\hat{x})\) Giả sử \(C \subset X_0\) là một lân cận lồi compact của \(\bar{x}\) Đối với mỗi \(x \in \text{int} C\) và \((x, v) \in [X_0 \times V_0] \cap gph \partial f_b\), ta định nghĩa ánh xạ \(h_{x,v} : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) bằng công thức \(h_{x,v}(x_0) := f(x_0) - f_b(x) - h_v(x_0 - x) + 1\).
Vì fblà hàm lồi chính thường nửa liên tục dưới nên fbliên tục dưới vi phân Từ đó suy ra ánh xạ
2kx 0 −xk 2 liên tục trên
[intC ×V 0 ]∩ gph∂fb ×R n Với mỗi (x 0 , v 0 ) ∈ [intC ×
V 0 ]∩gph∂fb, ta có e− lim
Thật vậy, cố định x 0 0 ∈ R n và giả sử (x k , v k ) → (x0, v0) và (x k , v k ) ∈ [intC ×V 0 ] ∩gph∂fbvới mọi k ∈ N ∗ Khi đó, với mọi dãy {x 0k } ⊂ R n mà x 0k → x 0 0 , do f nửa liên tục dưới, ta có lim inf k→∞ h x k ,v k (x 0k ) ≥ h x 0 ,v 0 (x 0 0 ).
Mặt khác, với {x 0k }:= {x 0 0 }, ta có x 0k → x 0 0 và lim sup k→∞ h x k ,v k (x 0k ) = h x 0 ,v 0 (x 0 0 ).
Do đó, theo Mệnh đề 1.1.5, e− lim h = h
Vì đẳng thức trên đúng với mọi dãy (x k , v k ) → (x0, v0) mà
(x k , v k ) ∈ [intC ×V 0 ]∩ gph∂fb ∀k ∈ N ∗ , nên ta suy ra e− lim
Lấy (˜x,v)˜ ∈ [intC ×V 0 ]∩gph∂fb Ta có f(x 0 ) ≥ fb(x 0 ) ≥fb(˜x) +hv, x˜ 0 −xi˜ ∀x 0 ∈ X.
Với x 0 ∈ X, ta có h x,˜ ˜ v (x 0 ) > 0 trừ khi x 0 = ˜x và f(˜x) = fb(˜x) Kết hợp với C ⊂ X là tập compact và h x,˜ ˜ v là hàm chính thường nửa liên tục dưới, ta suy ra argminhx,˜ ˜ v = {x}˜ và minhx,˜ ˜ v = 0 nếu (˜x,v)˜ ∈ [Xε×V]∩gph∂f Đặc biệt, argminh x,¯ ¯ v = {¯x} và minh x,¯ ¯ v = 0.
Do đó, từ (2.11) và tính compact của C, nhờ Định lí 1.1.9, ta có
∅ 6= argminh x,v → {x}¯ và minh x,v →0 khi(x, v) gph∂ −→ f b (¯x,v),¯ trong đó argminh x,v → {¯x} theo nghĩa giới hạn Painlevé-Kuratowski.
Khi (x, v) thuộc gph∂fb đủ gần (¯x,¯v), tồn tại x˜ trong argminh x,v sao cho x˜ gần x¯ tùy ý và h x,v (˜x) gần 0 tùy ý Sự kết hợp này với tính liên tục dưới vi phân của fb đảm bảo rằng f(˜x) nhỏ hơn f(¯x) cộng với ε, và x˜ thuộc intC khi (x, v) thuộc gph∂fb đủ gần (¯x,v)¯ Điểm x˜ trong argminhx,v thỏa mãn điều kiện cần tối ưu.
Vì thế v˜ := v − (˜x −x) ∈ ∂f(˜x) Do đó, khi (x, v) ∈ gph∂fbđủ gần(¯x,¯v) thì v˜ gần v¯ tùy ý Như vậy với (x, v) ∈ gph∂fbđủ gần (¯x,v)¯ ta có
(˜x,˜v) ∈ [X ε ×V]∩gph∂f và do đó (˜x,v)˜ ∈ gph∂fbvà fb(˜x) = f(˜x) Do (x, v) ∈ gph∂f ,b (˜x,v)˜ ∈ gph∂fbvà fblồi, nên hx˜−x,v˜−vi = hx˜−x, v−(˜x−x)−vi = −kx˜−xk 2
Từ đó suy ra x˜ = x và ta có (iii).
Chúng ta tiếp tục chứng minh rằng (iii) dẫn đến (ii) Giả sử f là một hàm lồi biến phân tại điểm ¯x với vector ¯v Khi đó, tồn tại một lân cận lồi mở X × V của điểm (¯x, v) và một số ε > 0, cũng như một hàm lồi nửa liên tục dưới fb: R n → R, sao cho fb(x) ≤ f(x) với mọi x thuộc X.
[X ×V]∩ gph∂f = [X ×V]∩gph∂f ,b (2.12) và f(x) =fb(x) ∀x ∈ Π 1 [X ε ×V]∩gph∂f , trong đó Π 1 [X ε ×V]∩gph∂f = x ∈ R n | ∃v : (x, v) ∈ ([X ε ×V]∩gph∂f
Do fblồi chính thường nửa liên tục dưới, theo Định lý 1.2.5, ánh xạ dưới phân ∂f là đơn điệu cực đại Kết hợp với (2.12), ta suy ra rằng ∂f là đơn điệu cực đại f-địa phương quanh (¯x,v)¯.
Quan hệ [(ii) ⇒ (i)] là rõ ràng.
Cuối cùng, ta chứng minh [(i) ⇒ (iv)] Giả sử (i) đúng Không mất tính tổng quát, giả sử domf là tập bị chặn và
Đạo hàm ∂f là đơn điệu đối với các cặp (x, v) thuộc miền (¯x + 3B ◦) ε × (¯v + 3B ◦), trong đó B và B' lần lượt là hình cầu đơn vị đóng và mở trong không gian R^n Miền (¯x + 3B ◦)ε được xác định bởi các điểm x sao cho f(x) nhỏ hơn f(¯x) cộng với ε Đối với mỗi cặp (x, v) thuộc đồ thị gph∂f, ta định nghĩa hàm g x,v (u) = λ^(-1) [f(x + λu) - f(x)] - hv, ui với mọi u thuộc R^n, trong đó λ được xác định là giá trị nhỏ hơn giữa 1 và ε/6.
Thật vậy, sử dụng Định lý 1.2.13, ta có (2.14) Tiếp theo, giả sử rằng gx,v(u) < λ, f(x) < f(¯x) +ε và kuk < 2, kvk< 2.
≤ f(¯x) + ε (do λ := min{1, ε/6}), tức là (2.15) đúng.
Vì domf bị chặn nên domg x,v bị chặn với mọi (x, v) ∈ gph∂f Ngoài ra, ta có gx,v(0) = 0 và 0∈ ∂gx,v(0) (2.16)
Tiếp theo, giả sử (u, v) ∈ gph∂f thỏa mãn
Chúng ta sẽ chứng minh rằng tồn tại một lân cận của 0, trong đó 0 là điểm cực tiểu của hàm g x,v Đối với mỗi r ≥ 0, định nghĩa γ x,v (r) là giá trị nhỏ nhất của g x,v (u) khi kuk ≤ r Hàm γ x,v (r) là nửa liên tục dưới, đồng thời có γ x,v (r) ≤ g x,v (0) = 0 và γ x,v (0) = 0.
Hơn nữa, ta có: g x,v đạt cực tiểu địa phương tại 0 nếu và chỉ nếu tồn tại r > 0 sao choγ x,v (r) = 0.
(2.20) Để thu được (iii), ta sẽ chỉ ra sự tồn tại r0 > 0 sao cho γx,v(r0) = 0 với mọi (x, v) ∈ gph∂f đủ gần (¯x,¯v) và thỏa mãn f(x) < f(¯x) +. Gọi θ : R →R là hàm xác định bởi θ(t)
Ta cú θ(ã) là một hàm lồi trờn R, khả vi trờn (−∞,3), θ 0 (t) = 2(t−1) với mọi t ∈ [1,2], tăng trên (2,3) và lim t→3 − θ(t) =∞, θ 0 (2) = 2, θ(2) = 1. Gọi h : R n ×R → R là hàm cho bởi h(u, r)
Khi đó, h là hàm lồi, không âm, domh = {(0,0)} ∪ {(u, r)|kuk < 3r} (2.23) và h khả vi tại mọi điểm (u, r) ∈ domh\{(0,0)} với
{(0,0)} khi kuk 6 r,(u, r) 6= (0,0), θ 0 (r −1 kuk) kuk u , θ(r −1 kuk)−θ 0 (r −1 kuk)(r −1 kuk) khi r < kuk < 3r.
(2.24) Đặt b x,v (u, r) := g x,v (u) +h(u, r) (2.25) và βx,v(r) = inf u bx,v(u, r), Ux,v(r) =argmin u bx,v(u, r) (2.26)
Với mỗi r ≥0, do b x,v (u, r) nửa liên tục dưới và có tập mức dưới bị chặn nên U x,v (r) 6= ∅; hơn nữa, b x,v (0, r) = 0 với mọi r ≥ 0.
Tiếp theo, chúng ta chứng minh hàm (u, r) 7→ b x,v (u, r) bị chặn mức theo u và đều địa phương theo r Lấy r¯∈ R và α ∈ R Ta có
Mặt khác, theo giả thiết domf bị chặn Do đó, hàm số(u, r) 7→bx,v(u, r) bị chặn mức theo u và đều địa phương theo r (xem Định nghĩa 1.1.10).
Theo Định lý 1.1.11, hàm β x,v (ã) là nửa liên tục dưới Khi r < 0, ta có h(u, r) = ∞ với mọi u ∈ R n, dẫn đến β x,v (r) = ∞ cho mọi r < 0 Hàm β x,v (ã) không tăng, tức là nếu r 1, r 2 ∈ R và r 1 < r 2 thì β x,v (r 1) ≥ β x,v (r 2) Cụ thể, nếu r 1 < 0 thì β x,v (r 1) = ∞ ≥ β x,v (r 2).
Do đó, trong trường hợp này, β x,v (r 1 ) =g x,v (0) +h(0, r 1 ) = 0, r 2 > 0 và β x,v (r 2 ) ≤b x,v (0) +h(0, r 2 ) = 0 = β x,v (r 1 ).
Nếu 0 < r 1 < r 2 thì do ∇ r h(u, r) ≤ 0 với mọi r > 0 mà (u, r) ∈ domh nên ta suy ra h(u, r 1 ) ≥h(u, r 2 ) ∀u.
Do đú β x,v (r 2 ) ≤ β x,v (r 1 ) Vậy β x,v (ã) là hàm khụng tăng Vỡ β x,v (r) ≤ 0 với mọi r ≥ 0 và b x,v (u, r) ≤ b x,v (u,r)¯ với mọi r ≥ r¯, nên β x,v (r) = inf u b x,v (u, r)|b x,v (u,r)¯ ≤ 0 ≤0, (2.27)
⊂ u|g x,v (u) ≤ 0 , với mọi r ≥ r¯≥0 Mặt khác, từ (2.21) suy ra γ x,v (r) ≥β x,v (r) ≥ γ x,v (3r) ∀r ≥ 0 (2.28)
Vì thế, tồn tại ρ > 0 sao cho β x,v (r) ≡ 0 với mọi r ∈ [0,3ρ] Điều này dẫn đến γ x,v (r) ≡ 0 với mọi r ∈ [0, ρ] và g x,v đạt cực tiểu trên ρB tại 0. Với mỗi r ∈ (0,r]¯, ta có
Trong bài viết này, chúng ta xem xét hàm −α −h(u, r) với A(¯r) được định nghĩa là (u, α)|α ≥ g x,v (u), α + h(u,r)¯ ≤ 0, trong đó A(¯r) là một tập hợp compact Vì r >¯ 0 có thể được chọn gần 0 tùy ý, ta suy ra rằng −β x,v là một hàm dưới-C 1 trên khoảng (0,∞) Điều này cho phép chúng ta khẳng định rằng −β x,v có đạo hàm trái và đạo hàm phải tại mọi giá trị r Từ đó, với mỗi r > 0, ta có thể rút ra rằng (β x,v ) 0 − (r) ≥ (β x,v ) 0 + (r).
Sử dụng Định lý 1.2.12, ta có
Vỡ h(ã,ã) khả vi tại (u, r) nếu r > 0 và kuk < 3r nờn, sử dụng quy tắc tính của dưới vi phân, với r > 0 và kuk < 3r ta có
Vì thế, với r > 0 và kuk < 3r ta có
∂βx,v(u, r) ⊂ s| ∃u ∈ Ux,v(r) : (0, s) ∈ ∂gx,v(u) + ∇h(u, r) (2.34) Kết hợp với (2.24) ta suy ra
{0} nếu∃u ∈ U x,v (r) : kuk < 3r, θ(r −1 kuk)−θ 0 (r −1 kuk)(r −1 kuk) nếu∃u∈ U x,v (r) : r < kuk < 3rvà
(KĐ1) Nếu 0< r < 1 thì trường hợp thứ hai trong (2.35) không xảy ra trừ phi kuk ≥ 2r.
Thật vậy nếu xảy ra trường hợp thứ hai trong (2.35) thì gx,v(u) ≤ 0. Giả sử 0 < r 0 và kuk > 0 Như vậy khẳng định 1 được chứng minh.
(KĐ2) Nếu kuk ≥ 2r thì trường hợp thứ hai trong (2.35) kéo theo θ(r −1 kuk)−θ 0 (r −1 kuk)(r −1 kuk) ≤ −3 (2.36)
Thật vậy, với t < 3 và s = θ 0 (t), ta có θ ∗ (s) := sup τ∈ R
{τ s−θ(τ)} = − inf τ∈(−∞,3){θ(τ)−τ s}= st−θ(t), do ϕ(τ) := θ(τ)−τ s là hàm lồi khả vi trên (−∞,3) và
Mặt khác, với mỗi s ∈ (0,∞), vì ϕ(0) = 0 và θ(τ) ≥ 0 với mọi τ ∈ R nên θ ∗ (s) ≥0 và θ ∗ (s) := sup τ∈ R
Từ đó suy ra θ ∗ (s) là hàm tăng trên (0,∞) Lấy bất kỳ s ∈ [0,2] và đặt t := 1 + 1 2 s Ta có t ∈ [1,2] và s = 2(t−1) = θ 0 (t) Theo trên ta có θ ∗ (s) = st−θ(t) = st−(t−1) 2 = s(1 + 1
4s 2 Với t := r −1 kuk, nhờ giả thiết ở (KĐ2) ta có t∈ [1,3) và s:= θ 0 (t) ∈ [2,∞).
Do đó, θ 0 (r −1 kuk)(r −1 kuk)−θ(r −1 kuk) = st−θ(t) =θ ∗ (s) ≥ θ ∗ (2) = 3.
Từ đó suy ra (2.36) đúng.
(KĐ3) Tồn tại r x,v ∈ [0,1] sao cho β x,v (r)
≥ r −r x,v khi r x,v ≤r < 1 (2.38) Hơn nữa, nếu v ∈ ∂fb (x) thì r x,v ∈ (0,1].
Thật vậy, nhờ (KĐ1) và (KĐ2), ta có
Từ (2.30) và (2.35), ta suy ra rằng β x,v khả vi liên tục trên (0,1) ngoại trừ tại điểm r x,v ∈ (0,1), nơi mà β x,v 0 (r) = 0 bên trái và β x,v 0 (r) < −3 bên phải Nếu không, β x,v 0 sẽ bằng 0 hoặc nhỏ hơn −3 cho mọi r ∈ (0,1), dẫn đến (2.37) đúng và do đó (2.28), (2.38) cũng đúng Nếu v ∈ ∂fb (x), thì 0 ∈ ∂gb x,v (0) và g x,v (u) ≥ g x,v (0) + o(kuk), với g x,v (0) = 0 Do đó, γx,v(r) = min kuk≤rgx,v(u) ≥ inf kuk≤ro(kuk) ≥ o(r), điều này chứng tỏ (2.38) không thể đúng với r x,v = 0, từ đó ta có (KĐ3).
Từ (KĐ3) suy ra gx,v(u) ≥ gx,v(0) = 0 khi kuk < rx,v, (2.39)
Do đó, nhờ (2.15), ta có x ∈ argmin x 0
Nếu dãy {(x k , v k )} thỏa mãn điều kiện (KĐ4), với (x k , v k ) → (¯x,v), kx k −xk¯ < 1, kv k −vk¯ < 1, f(x k ) < f(¯x) +λ và f(x k ) → f(¯x), thì r x k ,v k sẽ hội tụ về rx,¯ ¯ v Để chứng minh điều này, ta xem xét b x,v (u, r) = f(x+u)−f(x)− hv, ui + h(u, r) và cho rằng b x k ,v k hội tụ trên đồ thị tới hàm b x,¯ ¯ v Vì f và h là các hàm nửa liên tục dưới và f(x k ) → f(¯x), từ đó suy ra lim inf k→∞ b x k ,v k (u k , r k ) ≥ b x,¯ ¯ v (u, r) với mọi (u k , r k ) → (u, r) Nếu r > 0, chọn r k := r và u k := u + ¯x − x k, ta có lim sup k→∞ b x k ,v k (u k , r k ) ≤ b x,¯ ¯ v (u, r) Trong trường hợp r = 0 và u = 0, chọn (u k , r k ) := (0,0) thì cũng có lim sup k→∞ b x k ,v k (u k , r k ) ≤ b x,¯ ¯ v (u, r).
Nếu r = 0 và u 6= 0 thì từ định nghĩa hàm h suy ra với mọi dãy (u k , r k ) →(r, u) ta có lim sup k→∞ b x k ,v k (u k , r k ) ≤ bx,¯ ¯ v(u, r) (2.45)
Kết hợp (2.42)-(2.45) ta thấy b x k ,v k hội tụ trên đồ thị tới hàm bx,¯ ¯ v Từ đó suy ra β x k ,v k hội tụ đên đồ thị tới β x,¯ ¯ v
Nhờ tính chất Lipschitz địa phương của β x,v trên khoảng (0,∞) và tính hội tụ trên đồ thị của β x k ,v k tới β x,¯ ¯ v, ta có β x k ,v k hội tụ đều tới β x,¯ ¯ v trên mỗi khoảng con đóng và bị chặn của (0,∞) Điều này cho thấy rằng với mỗi tập compact, quá trình hội tụ này diễn ra một cách ổn định.
Cδ,ρ := {(r, à)|r ∈ [δ, ρ],௠≤ à≤ βx,v(r)} với [δ, ρ] ⊂ (0,1), (2.46) trong đú ௠là cận giới dưới củaβ x,v trờn [0,1] với (x, v) thỏa món (2.18), rằng C δ,ρ (x k , v k ) →C δ,ρ (¯x,¯v) Vì thế, với mỗi hàm số φ liên tục trên R 2 , ta có lim sup k→∞ argmax{φ(r, à)|(r, à) ∈ C δ,ρ (x k , v k )} (2.47)
⊂ argmax{φ(r, à)|(r, à) ∈ Cδ,ρ(¯x,v)}¯ Đặc biết với φ(r, à) := r +à, nhờ cấu trỳc β x,v trong (KĐ3), ta cú argmax{φ(r, à)|(r, à) ∈ C δ,ρ (¯x,v)}¯ = argmax δ≤r≤ρ
βx,v(δ) nếu rx,v < δ, rx,v nếu δ ≤rx,v ≤ ρ,
Vì ¯v ∈ ∂fb (¯x) nên theo (KĐ3) ta cór x,¯ ¯ v > 0 Do đó, không mất tính tổng quát khi ta có thể giả thiết δ < r x,¯ ¯ v Khi đó, nhờ (2.47), m δ,ρ (¯x,v) = 0¯
Từ đó, nhờ sự hội tụ đều của β x k ,v k đến β x,¯ ¯ v trên [δ, ρ], kết hợp (2.49) và (2.48) ta suy ra r x k ,v k → r x,¯ ¯ v khi r x,¯ ¯ v ≤ ρ Do ρ có thể lấy gần 1 tùy ý, ta có (KĐ4).
Theo (KĐ3), ta có r x,¯ ¯ v > 0 Điều này kết hợp với (KĐ4) suy ra tồn tại r >¯ 0 và ε >¯ 0 (có thể lấy không lớn hơn λ trong (2.18)) sao cho r x,v ≥ r¯ khi
Sau đó, bằng cách lấy X¯ ×V¯ = (¯x,v) +¯ εB ◦ ×B ◦ ta nhận được từ lân cận ( ¯X ε × V¯) một f-địa phương hóa của ∂f thỏa mãn (iv) Như vậy, Định lý 2.2.1 được chứng minh
Ứng dụng trong lí thuyết tối ưu
Mục này trình bày một số ứng dụng của tính lồi biến phân trong lí thuyết tối ưu.
Mệnh đề 2.3.1 ([5]) Giả sử f : R n → R là hàm lồi biến phân tại x¯ đối với 0∈ ∂f(¯x) Khi đó, x¯ là một điểm cực tiểu địa phương của f.
Chứng minh rằng hàm lồi biến phân \( f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} \) tại điểm \( \bar{x} \) có \( 0 \in \partial f(\bar{x}) \) cho thấy tồn tại một lân cận lồi mở \( X \times V \) của \( (\bar{x}, 0) \) Hơn nữa, tồn tại một số \( \varepsilon > 0 \) và một hàm lồi nửa liên tục dưới \( f_b: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} \) sao cho \( f_b(x) \leq f(x) \) với mọi \( x \in X \).
[X ×V]∩ gph∂f = [X ×V]∩gph∂f ,b (2.53) và f(x) =fb(x) ∀x ∈ Π1 [Xε ×V]∩gph∂f , trong đó Π 1 [X ε ×V]∩gph∂f = x ∈ R n | ∃v : (x, v) ∈ ([X ε ×V]∩gph∂f
Rõ ràng ta có (¯x,0) ∈ [X ×V]∩gph∂f Do đó f(¯x) =fb(¯x) và từ (2.53) suy ra 0 ∈ ∂fb(¯x) Kết hợp điều kiện fblồi, ta có fb(x 0 ) ≥ fb(¯x) ∀x 0 ∈ R n
Vì vậy, nhờ (2.52) và đẳng thức f(¯x) = fb(¯x), ta có
Mặt khác, X là một lân cận của x¯ Do đó x¯ là một điểm cực tiểu địa phương của f
Điểm cực tiểu địa phương ổn định xiên được Poliquin và Rockafellar giới thiệu vào năm 1998 Theo định nghĩa, hàm f: R^n → R có cực tiểu địa phương ổn định xiên tại điểm x¯ ∈ domf nếu tồn tại lân cận X của x¯ và lân cận V của v¯ = 0, sao cho ánh xạ M(ã) xác định bởi
Ánh xạ {f(x₀) − hv, x₀ − xi}¯, với v ∈ V, là một ánh xạ trị đơn, Lipschitz và thỏa mãn M(0) = ¯x Định lý 2.3.3 chỉ ra rằng, nếu f : Rⁿ → R là hàm chính thường nửa liên tục dưới, x¯ ∈ domf, và v¯ := 0 ∈ ∂fb(¯x), thì khi một trong các tính chất (i₀)−(iv₀) trong Định lý 2.2.2 được thỏa mãn, x¯ sẽ là điểm cực tiểu địa phương ổn định xiên Hơn nữa, ánh xạ M(ã) là đơn điệu cực đại địa phương và Lipschitz với hằng số σ⁻¹.
Theo Định lí 2.2.2, các tính chất (i 0) đến (iv 0) là tương đương Giả sử (iv) đúng, ta cần chứng minh rằng M(ã) là đơn trị, đơn điệu cực đại địa phương và Lipschitz với hằng số σ −1 Do (iv 0) đúng, tồn tại lân cận lồi X × V của (¯x, v)¯ và tồn tại > 0 sao cho với mọi (x, v) ∈ [X × V] ∩ gph∂f, ta có f(x 0) > f(x) + hv, x 0 − xi + σ.
Giả sử \( X \times V \) là tập mở và bị chặn, từ (2.55) suy ra nếu \( (x, v) \in [X \times V] \cap gph \partial f \) thì \( x \in M(v) \) Nếu \( x \in M(v) \) với \( v \in V \), do \( X \) mở nên \( v \in \partial f(x) \) Hơn nữa, với \( \bar{x} \in X \) và \( x \in M(v) \), từ định nghĩa của \( M(v) \) ta có \( f(x) - \langle v, x - \bar{x} \rangle \leq \bar{f}(\bar{x}) \).
Kết hợp x,x¯ ∈ X và X bị chặn, ta có f(x) < f(¯x) +ε khi v đủ gần 0.
Do đó, nếu lân cận V được chọn đủ nhỏ (theo quan hệ bao hàm) thì (v, x) ∈ gphM ∩[V ×X ε ] ⇔ (x, v) ∈ [X ×V]∩gph∂f (2.56)
Mặt khác, theo (i 0 ) trong Định lí 2.2.2, ánh xạ dưới vi phân ∂f đơn điệu mạnh f-địa phương quanh (¯x,v)¯ với môđun σ > 0 Do đó, ta suy ra
M(ã) là đơn điệu cực đại địa phương và Lipschitz với hằng số σ −1 và x¯ là điểm cực tiểu địa phương ổn định xiên của f Thuật toán điểm gần kề:
Cho T : R n ⇒ R n là ánh xạ đơn điệu cực đại Xét bài toán:
Thuật toán điểm gần kề, được giới thiệu bởi Rockafellar, là một phương pháp quan trọng trong tối ưu số, được thực hiện thông qua dãy lặp Cụ thể, thuật toán này được mô tả bằng công thức x k+1 := (I + c k T) −1 (x k ), trong đó I là ánh xạ đồng nhất từ R n đến R n, nghĩa là I(x) = x với mọi x ∈ R n Dãy số dương {c k} được xác định trước, và điểm khởi đầu x 0 ∈ R n được chọn một cách tùy ý.
Trong trường hợp T = ∂f với f : R n → R là hàm lồi chính thường nửa liên tục dưới, theo [7, Theorem 12.17], T là ánh xạ đơn điệu cực đại. Khi đó, x k+1 := (I + c k T) −1 (x k ) = argmin x∈ R n
Vì f là lồi, ta có (2.59) tương đương với fk(x) = f(x) + 2c 1 kkx−x k k 2 Năm 2002, Pennanen đã chứng minh rằng tính chất hội tụ của dãy lặp (2.58) đúng địa phương, miễn là các điểm x k đủ gần nghiệm và đồ thị của T là đơn điệu cực đại địa phương quanh điểm đó Điều kiện Pennanen yêu cầu tồn tại tập mở X × V và δ > 0 sao cho:
T là đơn điệu cực đại trong X ×V.
Giả sử inf k c k > 0, inf k λ k ≥ 1 và sup k λ k < 2 Khi đó, nếu x 0 đủ gần
X ∩T −1 (0), thì tồn tại ε > 0 và x¯ ∈ X ∩T −1 (0) sao cho với mỗi k ∈ N tồn tại duy nhất x k+1 thỏa mãn x k+1 ∈ [¯x+εB]∩[(1−λ k )I +λ k (I +c k T) −1 ](x k ) (2.62)
Hơn nữa, dãy {x k } hội tụ đến x¯ Áp dụng cho trường hợp T = ∂f và λ k = 1, ta có x k+1 ∈ [¯x+εB]∩ {x|0∈ ∂f k (x)}, (2.63) trong đó f k (x) := f(x) + 2c 1 kkx−x k k 2
Kết quả từ Pennanen và các định lý 2.2.1, 2.2.2 và 2.3.3 dẫn đến Định lý 2.3.4, trong đó giả sử f : R n → R là hàm lồi biến phân tại x¯ với 0 ∈ ∂fb (¯x) và thỏa mãn điều kiện Pennanen (2.61) Nếu x k đủ gần x¯, thì x k+1 sẽ là argmin x 0 ∈¯ x+ε B.
Dãy {x k} hội tụ về x¯, với x k+1 thuộc phần trong của tập x¯+εB, cho thấy x¯ là một cực tiểu địa phương của hàm f Nếu giả thiết f là lồi biến phân mạnh tại x¯ đối với 0 ∈ ∂fb(¯x), thì x¯ trở thành cực tiểu địa phương ổn định xiên của f.
Dựa trên việc tổng hợp các tài liệu tham khảo, luận văn thu được các kết quả như:
1 Trình bày khái niệm và ví dụ về hội tụ trên đồ thị, tính chất mức bị chặn, tính lồi và dưới vi phân.
2 Trình bày các khái niệm dưới vi phân, hàm lồi, ánh xạ đơn điệu và một số tính chất cơ bản của chúng.
3 Trình bày các khái niệm và một số ví dụ về hàm lồi biến phân.
4 Trình bày các tính chất, chứng minh các đặc trưng của tính lồi biến phân và tính lồi biến phân mạnh.
5 Trình bày một số ứng dụng trong tính lồi biến phân trong lí thuyết tối ưu.
Theo hướng này, chúng ta có thể khảo sát sự bảo tồn tính chất lồi biến phân qua các phép toán như cộng, hợp, nhân với một số.