L Ý DO CH ỌN ĐỀ TÀI
Dao động học là một phần kiến thức quan trọng trong vật lý, ảnh hưởng đến khoa học kỹ thuật và đời sống Nội dung này chiếm tỷ lệ lớn trong chương trình vật lý lớp 12 và là một phần thiết yếu cho sinh viên ngành Vật lý Do đó, tầm quan trọng của dao động học ngày càng được chú trọng Hệ thống bài tập về dao động cũng rất phong phú, đa dạng về dạng bài, cách biểu diễn và phương pháp giải.
Trong nghiên cứu dao động, có nhiều phương pháp biểu diễn như lượng giác, hình học và số phức, mỗi phương pháp mang lại những ưu điểm và hạn chế riêng Để giải quyết các bài toán dao động một cách nhanh chóng và hiệu quả, đặc biệt trong bối cảnh giáo dục hiện đại yêu cầu đánh giá theo hướng trắc nghiệm khách quan, học sinh cần không chỉ nắm vững kiến thức mà còn phải có khả năng phản ứng nhanh với các dạng bài toán Do đó, việc hiểu và vận dụng tốt các phương pháp biểu diễn dao động là rất quan trọng trong việc giải các bài toán cụ thể.
Trong quá trình học tập và nghiên cứu vật lý tại đại học, tôi nhận thấy rằng để giải bài tập vật lý, đặc biệt là phần dao động, một trong những yếu tố quan trọng là chọn phương pháp phù hợp với từng bài toán cụ thể Việc này không chỉ giúp giải quyết bài toán một cách nhanh chóng và hiệu quả mà còn mang lại cái nhìn tổng quan hơn về dao động Xuất phát từ những trải nghiệm thực tế tại trường THPT và nhu cầu thực tiễn, tôi đã quyết định chọn đề tài nghiên cứu này.
“Các phương pháp biểu diễn dao động và ứng dụng trong giải các bài toán dao động” làm đề tài khóa luận xét tốt nghiệp đại học của mình.
M ỤC Đ ÍCH NGHIÊN C Ứ U
Nghiên cứu các phương pháp biểu diễn dao động giúp làm nổi bật ưu và nhược điểm của từng phương pháp, từ đó ứng dụng hiệu quả trong việc giải quyết các bài toán dao động.
Đ ỐI TƯỢ NG VÀ PH Ạ M VI NGHIÊN C Ứ U
- Đối tượng: Các phương pháp biểu diễn dao động: phương pháp lượng giác, phương pháp hình học, phương pháp số phức
- Phạm vi nghiên cứu: Các phương pháp biểu diễn dao động và ứng dụng các phương pháp biểu diễn dao động trong việc giải các bài toán dao động.
N HI Ệ M V Ụ NGHIÊN C Ứ U
- Nghiên cứu cơ sở lý thuyết của các phương pháp biểu diễn dao động: phương pháp lượng giác, phương pháp hình học, phương pháp số phức
- Tổng hợp kiến thức và hệ thống bài tập dao động
Dựa trên kiến thức toán học từ cấp phổ thông và chương trình đại học sư phạm vật lý, bài viết này sẽ phân tích các phương pháp giải bài toán dao động, nêu rõ ưu điểm và hạn chế của từng phương pháp Đồng thời, chúng tôi cũng sẽ đề xuất cách áp dụng các phương pháp này một cách hiệu quả để giải quyết các dạng bài toán dao động phù hợp.
P HƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨ U
Phương pháp nghiên cứu chủ đạo là lý thuyết:
- Nghiên cứu, phân tích, tổng hợp các tài liệu có liên quan đến dao động và các phương pháp biểu diễn dao động
Trong nghiên cứu dao động, việc áp dụng các phương pháp biểu diễn dao động là rất quan trọng Những phương pháp này giúp phân tích và tổng hợp thông tin một cách hiệu quả, từ đó đưa ra những nhận xét và đánh giá tổng quát về hiện tượng dao động.
Đ ÓNG GÓP C ỦA ĐỀ TÀI
- Nâng cao trình độ nhận thức, kỹnăng vận dụng kiến thức lý thuyết vào thực tiễn cho người học
- Làm tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành cử nhân sư phạm vật lý cũng như giáo viên giảng dạy trong trường phổ thông
CƠ SỞ LÝ THUY Ế T
D AO ĐỘ NG
1.1.1 M ộ t s ố khái ni ệ m t ổ ng quát v ề dao độ ng
Hiện tượng tuần hoàn là những hiện tượng lặp đi lặp lại trong thiên nhiên, đời sống, khoa học và kỹ thuật sau những khoảng thời gian nhất định Ví dụ tiêu biểu cho hiện tượng này bao gồm nhịp tim của động vật và các mùa trong năm.
Quá trình tuần hoàn là những quá trình liên tục, trong đó các đại lượng như vận tốc, gia tốc, áp suất, nhiệt độ và khoảng cách biến đổi và lặp lại sau những khoảng thời gian xác định.
Dao động là hiện tượng trong các quá trình tuần hoàn, khi các đại lượng biến thiên chỉ thay đổi xung quanh một giá trị trung bình Mỗi khi các đại lượng này lặp lại giá trị như cũ, ta nói rằng quá trình đã thực hiện một dao động tuần hoàn.
Chu kì dao động: Chu kì dao động (T) là khoảng thời gian xác định không đổi để quá trình biến đổi thực hiện được một dao động
Nếu f (t+T) =f (t) là một đại lượng biến đổi tuần hoàn theo thời gian thì với chu kì
Dao động tuần hoàn xuất hiện không chỉ trong cơ học mà còn trong các quá trình điện học, nhiệt học, quang học và các hiện tượng diễn ra trong nguyên tử hạt nhân.
1.1.2.1 Khái niệm dao động điều hòa
Dao động điều hòa là dạng dao động cơ bản và quan trọng nhất, thường gặp trong tự nhiên và kỹ thuật Các dao động này có nhiều đặc điểm tương đồng với dao động điều hòa, cho thấy sự phổ biến và ứng dụng rộng rãi của chúng trong các lĩnh vực khác nhau.
4 hòa và một dao động bất kỳ đều có thể được biểu diễn như là tổng hợp của các dao động điều hòa
Dao động điều hòa là một loại dao động tuần hoàn, trong đó các đại lượng biến đổi được mô tả bằng các phương trình sin hoặc cosin.
1.1.2.2 Phương trình động học dao động điều hòa
Dao động điều hòa được biểu diễn bởi phương trình: x A sin( t ) A cos( t )
• Gốc tọa độ dược chọn tại vị trí cân bằng, khi đó tọa độ x gọi là li độ của dao động
• Lượng ( t + ) được gọi là pha của dao động điều hòa, cho phép xác định li độ, vận tốc, gia tốc của chất điểm t bất kì
Lượng α là pha ban đầu của dao động điều hòa, giúp xác định li độ, vận tốc và gia tốc tại thời điểm ban đầu t = 0, tức là trạng thái ban đầu của dao động.
là chu kì của dao động điều hòa Trong dao động điều hòa, li độ, vận tốc, gia tốc đều biến thiên với một chu kì chung 2
= Nghịch đảo của chu kì T, được gọi là tần số của dao động điều hòa Thứ nguyên của tần số:
[] = T -1 Đơn vị của tần số (trong hệ SI) là Hec (Hz): 1Hz = 1 s -1
= = 2 được gọi là tần số vòng hay tần số góc của dao động điều hòa
Như vậy ta có thểđổi cách biểu diễn dạng sin thành dạng biểu diễn cosin bằng cách
5 thay đổi điều kiện ban đầu ,
= − Hai cách biểu diễn đó là tương đương nhau.
C ÁC H Ệ DAO ĐỘ NG
Một số ví dụ về hệ dao động điều hòa bao gồm: hệ dao động của con lắc lò xo chuyển động không ma sát trên mặt phẳng nằm ngang, hệ dao động của con lắc lò xo treo thẳng đứng, dao động của con lắc vật lý, và dao động trong mạch điện lý tưởng không có điện trở.
Lực hồi phục là lực tỷ lệ thuận với độ dời của vật so với vị trí cân bằng, luôn hướng về vị trí cân bằng của vật.
1.2.1.2 Phương trình động lực học
Xét chuyển động của một vật theo phương trục x, chịu tác dụng của lực hồi phục
Fhp = -kx.Phương trình Định luật II Newton cho chuyển động của vật:
F=ma, có dạng: mx kx x k x 0
= − + m = (1.1) Đây là phương trình động lực học của vật Đặt 0 k
= m (rad/s) là tần số vòng của dao động thì phương trình (1.1) có thể viết lại thành:
(1.2) là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số là hằng số Nghiệm tổng quát của (1.2) có dạng: xos( t + ), (1.3a) hoặc: x Asin( t )
Nghiệm này biểu diễn một dao động điều hòa
Giá trị của biên độ A và pha ban đầu được xác định dựa vào điều kiện ban đầu của bài toán
Sau đây, ta sẽ đi xét một vài ví dụ cụ thể:
Trường hợp 1: Xét trường hợp một vật nặng khối lượng m treo dưới một lò xo có hệ số cứng k và khối lượng không đáng kể (Hình 1.1)
Chọn gốc tọa độ tại vị trí cân bằng (VTCB) của vật, trục Ox hướng từ trên xuống dưới Ở
VTCB, trọng lực P tác dụng lên vật cân bằng với lực đàn hồi F 0 của lò xo Ta có:
P−F = =0 P F = k l, với l là độ biến dạng của lò xo khi vật ở VTCB
Khi kéo một vật xuống và thả ra, nó sẽ dao động quanh vị trí cân bằng Tại bất kỳ vị trí nào với tọa độ x, hình chiếu của hợp lực tác dụng lên vật trên trục Ox sẽ được xác định bằng đh x đh.
Phương trình Định luật II Newton cho chuyển động của vật có dạng: mx kx x k x 0
= − + m = (1.4) Phương trình (1.4) giống với phương trình (1.1)
Như vậy, chuyển động của con lắc lò xo là một dao động điều hòa với tần số vòng
Trường hợp 2: Xét con lắc toán học (Hình 1.2), các lực tác dụng lên con lắc gồm trọng lực và lực căng Áp dụng ĐL II Newton, ta có:
Hình 1.1: Con lắc lò xo
P T+ =ma Chiếu lên phương tiếp tuyến với quỹ đạo chuyển động ta được:
Khi nhỏ thì s sin = l thay vào (1.6) ta được: mg s m.s
2 s + = 0 s 0 (1.8) Phương trình này giống với phương trình (1.2) Vậy, dao động của con lắc toán học trong trường hợp góc lệch nhỏlà dao động điều hòa
Trường hợp 3: con lắc vật lý (Hình 1.3), áp dụng ĐLII Newton ta có:
Chiếu lên chiều dương là chiều hợp với chiều tăng của góc lệch theo quy tắc nắm tay phải, ta được mgd.sin I I
− = = Khi góc nhỏ ta có sin , do đó: mgd I
+ = (1.9) Phương trình (1.9) có dạng giống với phương trình (1.2) Ta kết luận dao động của
Hình 1.2: Con lắc toán học
Hình 1.3: Con lắc vật lý
8 con lắc vật lý là dao động điều hòa với tần số góc
Trường hợp 4: Trong dao động điện, ta xét mạch LC (Hình 1.4)
Dòng điện trong mạch liên hệ với điện tích trên các bản tụ điện bởi biểu thức: i dq
= dt Dòng điện biến thiên tạo suất diện động cảm ứng E trong cuộn dây là:
E Áp dụng định luật Kirchhoff (Kiếc-sốp) thứ hai cho mạch (R = 0) ta có:
Phương trình điện động lực học của dao động điện trong mạch LC được biểu diễn bởi công thức C + dt = + LC = (1.11) Dựa trên dạng tương tự với phương trình (1.2), ta có thể kết luận rằng dao động trong mạch lý tưởng không có điện trở là dao động điều hòa với tần số góc.
Trong phần này, chúng ta đã phân tích dao động điện trong mạch LC và dao động cơ điều hòa thông qua việc giải phương trình động lực học Hiện tượng dao động của con lắc lò xo, con lắc toán học, con lắc vật lý, cũng như sự biến đổi của các đại lượng điện trong mạch đều cho thấy mối liên hệ chặt chẽ giữa các loại dao động này.
LC bị ảnh hưởng bởi các định luật vật lý khác nhau và tuân theo một phương trình vi phân Từ phương trình của các dao động này, chúng ta có thể rút ra những thông tin quan trọng về hành vi của hệ thống.
9 nghiệm tổng quát có dạng là một dao động điều hòa: x=A cos( + 0t ) Trong đó tần số vòng 0 khác nhau ứng với các trường hợp dao động khác nhau
Để một hệ vật thực hiện dao động điều hòa, nó cần phải chịu tác dụng của một lực hồi phục, có thể là lực đàn hồi hoặc lực chuẩn đàn hồi Lực hồi phục đóng vai trò quan trọng trong việc duy trì và điều khiển chuyển động của hệ vật.
Khi chuyển động của vật là một dao động điều hòa thì biên độ dao động và tần sốdao động không đổi theo thời gian
Hình 1.5: Sự phụ thuộc li độdao động vào thời gian
1.2.2 H ệ dao độ ng riêng t ắ t d ầ n Ở phần trước ta đã xét các dao động điều hòa tự do, hệ chỉ chịu tác dụng của lực hồi phục, đó là trường hợp lí tưởng Trong thực tế bao giờ cũng có sự tiêu hao năng lượng dao động Do năng lượng dao động của hệ giảm dần theo thời gian dẫn đến biên độ dao động giảm dần đến một lúc nào đó hệ dao động sẽ dừng lại Như vậy, dao động không còn là điều hòa nữa
Dao động cơ bị ảnh hưởng bởi sức cản của môi trường, dẫn đến tổn hao năng lượng cơ học Trong khi đó, dao động điện gặp phải hao hụt năng lượng do sự hiện diện của điện trở, gây ra hiệu ứng Jun-Lenxơ, làm giảm năng lượng điện từ.
- Đặc điểm của hệdao động riêng tắt dần:
Biên độ dao động sẽ giảm dần theo thời gian và chu kỳ của dao động tắt dần sẽ lớn hơn chu kỳdao động điều hòa
Phương trình dao động của hệ dao động riêng tắt dần là: t x=A e0 − cos( t + ) Chu kỳdao động tắt dần:
− Trong đó: : tần số dao động riêng tắt dần,
0 tần sốdao động của vật khi dao động điều hòa,
là hệ số tắt dần của dao động
Hình 1.6: Sự phụ thuộc li độdao động tắt dần vào thời gian
Trường hợp 1: Đối với dao động cơ tắt dần 0 k
= 2m với r: hệ số cản của môi trường
Trường hợp 2: Đối với dao động điện tắt dần
(mạch RLC tắt dần do có mặt điện trở)
Trong dao động tắt dần, tần số và chu kỳ dao động không chỉ phụ thuộc vào các đại lượng đặc trưng của hệ thống mà còn bị ảnh hưởng bởi các yếu tố khác.
Hình 1.7: Mạch dao động RLC
Hệ tiêu hao năng lượng dao động của hệ phụ thuộc vào các yếu tố như hệ số cản của môi trường và điện trở của mạch Khi hệ số tắt dần lớn hơn, chu kỳ dao động cũng tăng lên, dẫn đến sự tắt dần của dao động diễn ra nhanh hơn.
1.2.3 H ệ dao độ ng riêng duy trì
Để duy trì dao động không bị tắt dần theo thời gian, cần bổ sung năng lượng bên ngoài để bù đắp cho phần năng lượng tiêu hao mà không làm thay đổi tần số dao động Khi đó, hệ thống được gọi là hệ dao động riêng duy trì.
Để duy trì dao động của con lắc đồng hồ, cần có năng lượng bổ sung từ dây cót Khi dây cót hết, con lắc sẽ dừng lại.
1.2.4 H ệ dao độ ng cưỡ ng b ứ c
Để duy trì dao động của hệ mà không bị tắt dần, cần cung cấp năng lượng bằng cách tác dụng lực F biến thiên tuần hoàn theo thời gian hoặc sử dụng nguồn điện xoay chiều trong mạch điện Khi đó, dao động của hệ sẽ không bị tắt dần, nhưng tần số dao động sẽ thay đổi Hệ này được gọi là hệ dao động cưỡng bức.
Trong dao động cưỡng bức, pha ban đầu và biên độ dao động phụ thuộc vào mối tương quan giữa tần số của lực cưỡng bức và tần số dao động riêng của hệ Hệ sẽ dao động với tần số tương ứng với tần số của ngoại lực tác dụng, điều này giúp phân biệt dao động cưỡng bức với dao động riêng duy trì.
C ÁC PHƯƠNG PHÁP BIỂ U DI ỄN DAO ĐỘ NG
Để biểu diễn dao động tuần hoàn, chúng ta có thể áp dụng ba phương pháp chính: phương pháp lượng giác, phương pháp số phức và phương pháp hình học, tùy thuộc vào từng trường hợp cụ thể.
1.3.1 P hương pháp lượ ng giác
Phương pháp lượng giác là công cụ quan trọng để biểu diễn dao động tuần hoàn thông qua các phương trình sin và cosin, như x = A sin(tω + α) hoặc x = A cos(tω + α) Khi một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hòa với cùng phương, biên độ nhưng tần số khác nhau, các phương trình dao động sẽ được xác định riêng biệt.
2 2 2 2 x =A cos( + t ) Phương trình dao động tổng hợp hai dao động trên là: x=x 1 +x 2 =A cos( 1 + + 1 t 1 ) A cos( 2 + 2 t 2 )
- Nếu hai dao động cùng biên độ A 1 = A 2 = A
- Đặc biệt khi hai dao động cùng tần số = = thì: 1 2
Phương pháp hình học (hay phương pháp Frexnen hay phương pháp giản đồ véctơ quay) áp dụng tính chất: Vết chiếu P ’ của một chất điểm P chuyển động tròn
13 đều trên một đường kính là một dao động điều hòa
Trên quỹ đạo tròn, ta chọn điểm C bất kì làm gốc Chọn trục Ox có gốc tại tâm quỹ đạo chuyển động của P và đi qua điểm C (Hình 1.8)
Từ điểm O, vectơ A tạo với trục Ox một góc α tương ứng với pha ban đầu và có độ dài tỉ lệ với biên độ A của dao động, được gọi là vectơ biên độ.
Cho vectơ biên độ quay quanh điểm O theo chiều dương với vận tốc góc , vết chiếu của điểm đầu mút vectơ biên độ A trên trục Ox dao động xung quanh O với biên độ bằng độ dài của vectơ biên độ Tần số dao động này tương ứng với vận tốc quay của vectơ biên độ, và pha ban đầu được xác định bởi góc tạo bởi vectơ biên độ với trục Ox tại thời điểm ban đầu, theo phương trình: xos(t + ) Do đó, dao động điều hòa có thể được biểu diễn bằng một vectơ có độ dài bằng biên độ dao động, với hướng của vectơ tại thời điểm bắt đầu tạo với trục Ox một góc bằng pha ban đầu Pha ban đầu còn được gọi là góc pha, trong khi được gọi là tần số vòng.
Một số phức a có thể được biểu diễn dưới dạng:
= i = + = + a Ae A i A iA Trong đó: cos
A là phần thực của số phức a sin iA là phần ảo của số phức a
2 2 a = (A cos ) +(A sin ) là mô đun của số phức a
được gọi là argumen của số phức a, thỏa mãn điều kiện a= a(cos+isin ) Một dao động điều hòa có thể biểu diễn dưới dạng xos( t + )có thể được
14 biểu diễn bởi phần thực của số phức a = Ae i ( t + ) hoặc số phức liên hợp
* = − i t + a Ae hay có thể viết dưới dạng:
Hai dao động điều hòa được biểu diễn bởi phần thực của hai số phức:
Khi cộng hai số phức, phần thực của chúng sẽ được cộng lại với nhau, và phần ảo cũng tương tự Gọi số phức c là tổng của a và b, tức là c = a + b, thì phần thực của số phức c thể hiện tổng hợp của hai dao động.
Trong trường hợp đặc biệt, tích một số phức a i( t + ) với số liên hợp phức của nó a * − + i( t ) là:
Dao động điều hòa có thể được biểu diễn bằng phần thực hoặc phần ảo của số phức Để thuận tiện hơn trong việc phân tích, khi xem xét cả hai phần này, chúng ta sử dụng khái niệm mặt phẳng phức.
Trong mặt phẳng R² với hệ tọa độ vuông góc xOy, mỗi điểm M(x,y) được xác định bởi hoành độ và tung độ Điều này cho phép thiết lập một sự tương ứng duy nhất giữa các điểm trong mặt phẳng R² và các số phức z thuộc tập hợp C.
Mặt phẳng R 2 cùng với một tương ứng như vậy gọi là mặt phẳng phức
Như vậy một điểm M(x,y) R 2 có thể coi là một số phức nếu đồng nhất nó với z= +x i.y
VẬ N D ỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP B I Ể U DI ỄN DAO ĐỘ NG VÀO GI ẢI BÀI TOÁN DAO ĐỘ NG
B ÀI TOÁN T Ổ NG H ỢP HAI DAO ĐỘ NG CÙNG T Ầ N S Ố
2.1.1 H ai dao động cùng phương, cùng tầ n s ố nhưng biên độ và pha ban đầ u khác nhau:
Phương trình dao động tổng hợp hai dao động điều hòa trên là: x=Asin( t + ) Sau đây, ta sẽđi giải bài toán bằng 3 cách:
Cách 1: Phương pháp lượng giác
Chuyển động của vật sẽ là tổng hợp của hai dao động:
= Chia cả 2 vế cho A1 ta được :
2 x.cos sin( t ).cos sin sin( t ) A
1 2 x A sin( t ).cos sin cos( t ) cos 2
Để khai triển phương trình dao động tổng hợp, cần xem xét biên độ và pha ban đầu được đề bài cung cấp Sau đó, sử dụng các công thức lượng giác để thực hiện các bước tính toán cần thiết.
16 tiếp tục biến đổi thích hợp
Cách 2: Phương pháp hình học
A sin A sin A sin tan Acos A cos A cos
Cách 3: Phương pháp số phức
Hai dao động điều hòa x1, x2 trên được biểu diễn bởi phần thực của hai số phức lần lượt là a1, a2:
Dao động tổng hợp x = x1 + x2 được biểu diễn bởi phần thực của số phức a: i( t ) a = A.e +
A(cos +i.sin ) A (cos +i.sin )+A (cos +i.sin )
= + (2.1) Bình phương 2 vế của biểu thức (2.1) sau đó cộng hai phương trình lại ta được:
A sin A sin A sin tan Acos A cos A cos
Đối với bài toán tổng hợp hai dao động cùng phương và cùng tần số, phương pháp hình học là lựa chọn ngắn gọn và dễ dàng nhất Để chứng minh điều này, chúng ta sẽ giải quyết một số bài tập cụ thể.
Để tìm biên độ và pha ban đầu của dao động điều hòa, ta cần tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương và cùng tần số: \( x_1 = 4\sin(t) \) (cm) và \( x_2 = 3\sin(t) \) (cm) Việc này sẽ giúp xác định được biên độ tổng hợp và pha ban đầu của hệ thống dao động.
Giả sửphương trình tổng hợp hai dao động điều hòa trên là: x=Asin( t + ) Với A: biên độ dao động tổng hợp; : pha ban đầu của dao động
Cách 1: Giải bằng phương pháp lượng giác
Chuyển động của vật sẽ là tổng hợp của hai dao động:
Chia cả 2 vế cho 4 ta được :
x.cos sin( t).cos sin cos( t) 4
Cách 2: Giải bằng phương pháp hình học
= = (rad) Đáp số : A = 5cm, = 0,2(rad)
Cách 3: Giải bằng phương pháp số phức
Hai dao động điều hòa x1, x2 trên được biểu diễn bởi phần thực của hai số phức lần lượt là a1, a2: i( t) a1 =4.e và a 2 3.e i( t 2 )
Dao động tổng hợp x = x1 + x2 được biểu diễn bởi phần thực của số phức a: i( t ) a=A.e +
A(cos +i.sin ) 4(cos0+i.sin0)+3(cos +i.sin )
A(cos +i.sin ) 4(cos0+i.sin0)+3(cos +i.sin )
= (2.2) Bình phương 2 vế của biểu thức (2.2) sau đó cộng hai phương trình lại ta được:
Một chất điểm thực hiện đồng thời 2 dao đông điều hoà cung phương: x1 = A1cos(t+/3) (cm) và x2 = A2cos(t - /2) (cm)
Phương trình dao động tổng hợp là: x = 5cos(t + ) (cm) Biên độ dao động A2 có giá trị lớn nhất khi bằng bao nhiêu? Tính A2max?
Ta biểu diễn các dao động bằng giản đồvéc tơ quay như hình 2.12:
Xét tam giác tạo bởi A1, A2, A Theo định lý hàm số sin ta có:
Theo đề, ta có A = 5 cm, = /6, nên A2 phụ thuộc vào
Sin Ta thấy, A2 cực đại khi góc đối diện với nó (góc ) là góc vuông (tam giác có góc vuông mà A2 là cạnh huyền) Vậy: =/2
Ba con lắc lò xo 1, 2, 3 được đặt thẳng đứng và cách đều nhau theo thứ tự 1, 2, 3 Tại vị trí cân bằng, ba vật này có độ cao giống nhau Con lắc thứ nhất dao động theo phương trình x1 = 3cos(20πt + φ).
) (cm), con lắc thứ hai dao động theo phương trình x2 = 1,5cos(20t)
(cm) Hỏi con lắc thứ ba dao động theo phương trình nào thì ba vật luôn luôn nằm trên một đường thẳng?
Giải Để ba vật luôn nằm trên một đường thẳng thì
Vậy, dao động của m3 là tổng hợp của 2 dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số
Dùng phương pháp giản đồ Fre-nen, ta có:
Từ giản đồ suy ra:
Dao động của một chất điểm là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, có phương trình li độ lần lượt là x1 = 3cos(
(x1 và x2 tính bằng cm, t tính bằng s) Tại các thời điểm x1 = x2 li độ của dao động tổng hợp là:
Ta vẽ giản đồ véctơ như hình 2.4
Ta dễ dàng có: xhiệu = 6cos(2
Khi x1 = x2, ta có x1 - x2 = 0, dẫn đến véctơ biểu diễn hiệu xhiệu = x1 - x2 vuông góc với trục ngang Trong trường hợp này, xtổng = x1 + x2 sẽ lệch với trục ngang một góc /6 hoặc 5/6 Từ đó, ta tính được x = 6cos(/6) = 3√3 ≈ 5,19cm và x = 6cos(5/6) = -3√3 ≈ -5,19cm.
Dao động tổng hợp của 2 trong 3 dao động điều hòa cùng phương cùng tần số: x12 = 2cos(2πt + π/3) cm, x 23 = 2 3cos(2πt +5π/6) cm, x31 = 2cos(2πt + π) cm Biên độ dao động của thành phần thứ 2?
Chọn trục Ox như hình 2.5, vẽ giản đồ vectơ
A12 = 2cm; A23 = 2 3 cm, A31 = 2cm vẽ vectơ A =A +A12 31 Ta thấy A = A12 = 2cm
Từ giản đồ ta tính được A1 = 1 cm
Xét tam giác OA23M: A23M = 2A1, góc A23OM = 30 0 Định lí hàm số cosin:
Và vectơ A1 trùng với trục Ox Từ đó suy ra A2 = 3cm
Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương với phương trình x1 = A cos(2πt) (cm) và x2 = 2,5 cos(2πt + φ2) (cm) Phương trình dao động tổng hợp được xác định là x = 2,5 cos(2πt + φ) (cm) Biết rằng φ < φ2 và A1 đạt giá trị lớn nhất, cần xác định giá trị của φ2 và φ.
Sử dụng phương pháp hình học:
Hình 2.6 Áp dụng định lý hàm số sin trong tam giác OAA1 ta được:
A sin sin =sin = sin → = sin
Nhận thấy, A1 max khi β = 90 0 → Tam giác OAA1 vuông tại A
→ tan φ = 2,5 3/2,5 = 3 → φ = π/3 → φ2 = 5π/6 Đáp án D được chọn
Cho đoạn mạch hình 2.7 Trong mạch có dòng điện xoay chiều cường độ i=I c0 os100 t (A) Khi đó uMB và uAN vuông pha nhau và u MB 100 2cos 100 t+
= (V) Hãy viết biểu thức uAN và tìm hệ số công suất của đoạn mạch MN.
Sử dụng giản đồ vectơ:
Do pha ban đầu của i bằng 0 nên : 0
= − = − = (rad) Dựa vào giản đồ vec-tơ, ta có các giá trị hiệu dụng của UL, UR, UC là:
Vì u MB và u AN vuông pha nhau nên:
Ta có: tan MB tan AN = −1 L − C = − 1
Vậy biểu thức của u AN là:
Hệ số công suất của đoạn mạch MN là :
Cho mạch điện như hình 2.9 Điện áp giữa hai đầu AB có biểu thức
Để xác định giá trị của L trong mạch điện có cuộn dây thuần cảm với điện trở R = 100Ω và tụ điện có điện dung F, cần điều chỉnh L sao cho điện áp hiệu dụng giữa hai điểm M và B đạt giá trị cực đại Khi đó, tính toán hệ số công suất của mạch điện sẽ cho thấy mối quan hệ giữa điện áp và dòng điện, từ đó tối ưu hóa hiệu suất hoạt động của mạch.
Sử dụng giản đồ Fresnel :
(rad) Dựa vào giản đồ ta thấy: rad Xét tam giác OPQ và đặt
Theo định lý hàm số sin, ta có:
Vì U và sin không đổi nên ULmax khi sin cực đại hay sin = 1
2.1.2 H ai dao độ ng cùng t ầ n s ố, phương vuông góc nhau, biên độ và pha ban đầ u khác nhau
Trong quang học và vô tuyến điện, có những trường hợp cần tổng hợp hai dao động điều hòa vuông góc Cụ thể, chúng ta xem xét một vật tham gia hai dao động có cùng tần số theo hai phương Ox và Oy Tại thời điểm ban đầu t = 0, pha ban đầu theo trục x bằng 0, do đó pha ban đầu theo trục y cũng là độ lệch pha giữa hai dao động Phương trình của hai dao động thành phần được xác định rõ ràng.
Cách 1: Phương pháp lượng giác
Phương trình (2.3) biểu thị quỹ đạo của vật chuyển động dưới dạng tham số Để có được phương trình quỹ đạo chính tắc, cần khử biến t trong hai phương trình đã cho.
A = + = os − (2.5) Nhân (2.4) với cos, sau đó trừđi (2.5)ta được:
A − A = (2.6) Nhân (2.4) với sin, ta được:
Bình phương 2 vế phương trình (2.6) và (2.7) rồi cộng các phương trình ta được:
Phương trình (2.8) mô tả quỹ đạo chuyển động dưới dạng một elip, với các trục đối xứng nghiêng góc so với các trục tọa độ Ox và Oy.
Dao động hiện tại có tần số ω tương ứng với các dao động thành phần Hướng của elip và kích thước các bán trục của nó phụ thuộc phức tạp vào biên độ và hiệu số pha của các dao động thành phần.
Cách 2: Phương pháp hình học
Trong trường hợp này, chúng ta không sử dụng phương pháp hình học để biểu diễn hai dao động, vì các dao động thành phần được thể hiện thông qua hình chiếu của vectơ biên độ trên hai trục tọa độ Ox và Oy, mà vuông góc với nhau.
Việc tổng hợp lúc này lại không thể tổng hợp như trong trường hợp tổng hợp hai dao động cùng phương như đã xét ở mục 2.1.1
Cách 3: Phương pháp số phức
Từ (2.3) ta biến đổi thành:
Theo lý thuyết về mặt phẳng phức ta nhận thấy, dao động tổng hợp của hai dao động trên được biểu diễn dưới dạng số phức : z= +x iy (2.10)
Số phức z được biểu diễn trên mặt phẳng phức dưới dạng điểm M, và tại mỗi thời điểm t, sẽ có giá trị dao động tổng hợp tương ứng với các điểm M1, M2,… Quỹ tích của các điểm này tạo thành quỹ đạo chuyển động của dao động tổng hợp Để xác định phương trình quỹ đạo của chuyển động, cần thực hiện biến đổi toán học và áp dụng phương pháp lượng giác như đã trình bày ở phần trước.
Ta có thể sử dụng phương pháp lượng giác để tìm môđun của z (nghĩa là biên
29 độ của dao động tổng hợp)
Từ (2.10) ta biểu diễn dưới dạng số phức Ta có:
Từ (2.11) ta nhận được biên độ của dao động tổng hợp là:
Việc áp dụng phương pháp số phức để phân tích quỹ đạo chuyển động không mang lại hiệu quả cao Mặc dù lý thuyết về mặt phẳng phức có thể hỗ trợ trong việc xác định biên độ của dao động tổng hợp, nhưng đây không phải là phương pháp nhanh nhất.
Trong tình huống này, việc áp dụng phương pháp lượng giác là cần thiết để xác định phương trình quỹ đạo tổng hợp Tiếp theo, dựa vào biên độ và độ lệch pha phù hợp với bài tập, chúng ta sẽ phân tích và giải quyết bài toán một cách cụ thể.
B ÀI TOÁN T Ổ NG H ỢP HAI DAO ĐỘ NG KHÁC T Ầ N S Ố
Xét một vật tham gia đồng thời hai dao động cùng phương, khác tần số, biên độ và pha ban đầu:
(2.13) Chuyển động của vật là tổng hợp hai dao động
Hai dao động điều hòa với tần số khác nhau sẽ tạo ra hai vectơ biên độ quay với vận tốc khác nhau, dẫn đến góc giữa chúng thay đổi theo thời gian Hình bình hành được tạo bởi hai vectơ biên độ cũng sẽ biến dạng theo thời gian.
Sử dụng phương pháp hình học để biểu diễn hai dao động điều hòa có tần số khác nhau cho phép chúng ta định lượng vị trí của dao động tại một thời điểm cụ thể.
Khi vận tốc góc quay thay đổi theo thời gian và biên độ tổng hợp không còn hằng số, dao động sẽ không còn là dao động điều hòa Dưới đây, chúng ta sẽ xem xét một số trường hợp đặc biệt liên quan đến hiện tượng này.
2.2.1 T ổ ng h ợp hai dao động điều hòa cùng phương, tầ n s ố hơi khác nhau (hiệ n tượ ng phách)
Xét tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng biên độ, cùng pha ban đầu, tần số khác nhau không đáng kể:
Cách 1: Phương pháp lượng giác
Chuyển động của vật là tổng hợp của hai dao động
− Do đó, số hạng cos 1 2
biến đổi chậm theo thời gian so với sin( + t 0 ) Trong một chu kỳ biến đổi của sin( + t 0 ), có thể
gần như không đổi Như vậy có thể coi biên độ dao động tổng hợp là:
Biên độ dao động tổng hợp thay đổi theo thời gian một cách tuần hoàn, hiện tượng này được gọi là hiện tượng phách Tần số biến đổi của biên độ theo thời gian, hay còn gọi là tần số phách, có giá trị gấp hai lần tần số của biểu thức trong dấu môdun, tương đương với hiệu của các tần số của các dao động thành phần Chu kỳ dao động của biên độ cũng được xác định trong hiện tượng này.
Cuối cùng ta có thể viết lại (2.17):
Ta có thể coi dao động tổng hợp là một dao động gần như điều hòa được biểu diễn bởi phương trình (2.19)
Hiện tượng phách giúp điều chỉnh độ căng dây đàn, nhưng trong máy thu thanh, nó gây ra âm thanh không ổn định, khiến âm phát ra lúc to lúc nhỏ rất khó chịu Do đó, các máy thu thường được trang bị bộ phận chống phách để khắc phục vấn đề này.
Cách 2: Phương pháp số phức
Hai dao động điều hòa x1, x2 trên được biểu diễn bởi phần thực của hai số phức lần lượt là a1, a2:
(2.20) Dao động tổng hợp x = x1 + x2 được biểu diễn bởi phần thực của số phức a, ta có:
Với biên độ của dao động tổng hợp của hai dao động có dạng:
(2.22) là phương trình dao động tổng hợp của dao động gần như điều hòa biểu diễn dưới dạng số phức
Đối với bài toán tổng hợp hai dao động cùng phương nhưng khác tần số, phương pháp số phức cung cấp phương trình dao động tổng hợp, mặc dù có sự phức tạp trong biến đổi Do đó, trong trường hợp này, sử dụng phương pháp lượng giác là lựa chọn ngắn gọn và hiệu quả hơn.
Một vật dao động tổng hợp từ hai dao động thành phần lần lượt có phương trình:
Hãy xác định phương trình dao động, biên độ của dao động tổng hợp
Phương trình tổng hợp từ hai dao động thành phần là:
Nhận xét: Thừa số cos 11 t 5
chứa tần số góc = 11 ( 1 2 ) nên tần số góc chứa trong thừa số này là tần số góc của chu kỳ dao động tổng hợp
Vậy biên độdao động tổng hợp có phương trình dao động: xA 8cos t (cm)
Một vật tham gia đồng thời hai dao động thành phần có phương trình: x cos 49 t1
Hỏi khi biên độ dao động tổng hợp hoàn thành một chu kỳ thì vật thực hiện được bao nhiêu dao động
Phương trình tổng hợp từ hai dao động thành phần:
Phương trình dao động của biên độ:
Chu kỳdao động của biên độ:
(2.23) Chu kỳdao động tổng hợp:
Từ (2.23) và (2.24) dễ thấy khi biên độ hoàn thành một chu kỳthì dao động tổng hợp thực hiện được 25 dao động Vì T A
2.2.2 T ổ ng h ợp hai dao động có phương vuông góc nhau, tầ n s ố b ộ i nguyên l ầ n
Xét trường hợp một vật tham gia đồng thời hai dao động có phương vuông góc nhau, tần số khác nhau Phương trình dao động thành phần có dạng:
Trong chuyển động phức tạp, ta có thể biểu diễn bằng các tham số ω1 = qω và ω2 = pω, trong đó p và q là hai số nguyên Quỹ đạo của chuyển động này tạo thành những đường cong phức tạp, được gọi là các đường Lixaju.
Ta gọi T 1 , T 2 lần lượt là chu kỳ của hai dao động thành phần theo trục x và y với 1 2
Hình dạng của các đường
Lixaju phụ thuộc vào tỷ số của các tần số
T và hiệu các pha ( − 2 1 ) được cho thấy trong hình 2.11
Khi tổng hợp hai dao động vuông góc có cùng tần số, việc áp dụng phương pháp lượng giác sẽ giúp xác định phương trình quỹ đạo của vật một cách hiệu quả, tùy thuộc vào dữ kiện cụ thể trong đề bài.
Tìm phương trình quỹđạo y(x) của chất điểm, nếu chất điểm chuyển động theo quy luật x=a sin( t) và y=asin(2 t)
Phương trình quỹ đạo của hai dao động thành phần có dạng: x sin( t) y sin(2 t) a a
Chia cả hai vế của phương trình (2.27), sau đó lấy bình phương hai vếta được:
Kết hợp với (2.27) ta được :
Trong khóa luận tốt nghiệp với đề tài “Các phương pháp biểu diễn dao động và ứng dụng của nó trong giải các bài toán dao động”, tôi đã hoàn thành nghiên cứu các vấn đề liên quan đến các phương pháp biểu diễn dao động và cách chúng được ứng dụng hiệu quả trong việc giải quyết các bài toán dao động.
1 Trình bày được cơ sở lý thuyết về các loại dao động và các phương pháp biểu diễn dao động: phương pháp lượng giác, phương pháp hình học, phương pháp số phức
2 Trên cơ sở lý thuyết đã trình bày, đề tài này còn làm nổi bật ưu, nhược điểm của các phương pháp biểu diễn dao động ứng với các trường hợp cụ thể, được chia dạng áp dụng một cách rõ ràng
3 Bên cạnh đó, khóa luận cũng đưa ra được những bài tập vận dụng mang tính chất điển hình có đáp án chi tiết dưới cả hình thức tự luận và trắc nghiệm khách quan để phát huy được điểm mạnh của các phương pháp giải
4 Đối với một sốtrường hợp tổng hợp dao động khác phương phức tạp và ít đề cập trong chương trình Vật lý phổ thông thì trong khóa luận này tôi chưa đưa ra được nhiều dạng bài tập vận dụng Tuy nhiên, đề tài sẽ được tôi tiếp tục nghiên cứu và mở rộng cho các chương, các phần khác trong thời gian sớm nhất và rất mong nhận được ý kiến đóng góp của độc giả để giúp khóa luận tốt nghiệp của tôi được hoàn thiện hơn.