1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH Lê Nhật Quang Phát sai lầm chớng ngại học sinh trung học phổ thông dạy học đại số giảI tích LUN VN THC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGHỆ AN - 2011 Lêi cảm ơn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cán hớng dẫn TS Nguyễn Văn Thuận đà tận tình giúp đỡ suốt thời gian nghiên cứu hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn giúp đỡ quý báu thầy, cô giáo Ban Giám hiệu, khoa sau đại học, khoa Toán, môn phơng pháp giảng dạy Toán trờng Đại học Vinh đà tạo điều kiện giúp đỡ suốt thời gian học tập nghiên cứu Xin cảm ơn Ban Giám hiệu thầy, cô giáo môn Toán trờng THPT Hồng Lĩnh Thị xà Hồng Lĩnh- Hà Tĩnh đà tạo điều kiện giúp đỡ thời gian tiến hành thực nghiệm s phạm Luận văn Cuối xin chân thành cảm ơn gia đình, đồng nghiệp bạn bè đà động viên, giúp đỡ trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Vì điều kiện thời gian có hạn nh lực thân nhiều hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi khiếm khuyết Tác giả mong nhận đợc nhiều ý kiến đóng góp quý báu thầy cô giáo bạn bè đồng nghiệp Vinh tháng 12 năm 2011 Tác giả luận văn: Lê Nhật Quang Mục lục Trang Mở đầu Chơng Những sai lầm chớng ngại học sinh trung học phổ thông giải toán Đại số giải tích 1.1 Cơ sở lí luận 1.2 Những chớng ngại học sinh Trung học phổ thông giải toán 13 Đại số giải tích 1.2.1 Khái niệm chớng ngại 1.2.2 Chớng ngại học sinh Trung học phổ thông giải toán Đại 14 20 số Giải tích 1.2.2.1 Chớng ngại liên quan đến khái niệm Toán học; quan hệ khái niệm chơng mục khác 1.2.2.2 Chớng ngại hiểu không tờng minh kiến thức Toán học 1.2.2.3 Chớng ngại thiếu khả khai th¸c c¸c øng dơng kh¸c cđa kiÕn thøc toán 1.3 Một số kiểu sai lầm nguyên nhân sai lầm học sinh Trung học phổ thông giải toán Đại số Giải tích 1.3.1 Sai lầm liên quan đến chuyển đổi toán 1.3.2 Sai lầm liên quan đến phân chia trờng hợp riêng 1.3.3 Sai lầm liên quan đến ngôn ngữ diễn đạt 1.3.4 Sai lầm liên quan đến cảm nhận trực quan 1.3.5 Sai lầm liên quan đến nắm nội hàm khái niệm 1.3.6 Sai lầm liên quan đến nắm điều kiện phạm vi áp dụng 20 23 25 35 42 48 49 51 52 định lí 1.3.7 Sai lầm liên quan đến nhận thức tơng ứng 56 1.3.8 Sai lầm liên quan đến chủ nghĩa hình thức 1.3.9 Sai lầm liên suy diễn mệnh đề không 1.3.10 Sai lầm liên quan đến suy luận lôgic 1.3.11 Sai lầm liên quan đến suy luận quy nạp 1.3.12 Sai lầm liên quan đến luận đề 1.3.13 Sai lầm liên quan đến trực giác giải tập Đại số tổ hợp xác suất 1.3.14 Sai lầm liên quan đến không hiểu chất đối tợng Kết luận chơng 58 60 62 64 65 66 67 69 Chơng Góp phần khắc phục chớng ngại, phòng tránh sửa chữa sai lầm học sinh Trung học phổ thông giải Toán Đại số Giải tích 70 2.1 Một số định hớng s phạm việc đề quan điểm khắc phục chớng ngại , phòng tránh sửa chữa sai lầm học sinh 70 2.2 Đề xuất số quan điểm chủ đạo việc khắc phục chớng ngại, phòng tránh sửa chữa sai lầm học sinh Trung học phổ thông giải toán Đại số Giải tích 71 2.1.1 Quan điểm 1: Rèn luyện cho học sinh khả liên tởng huy động tri thức, đặc biệt tri thức phơng pháp trình giải tập toán 2.1.2 Quan điểm 2: Trong trình truyền thụ tri thức rèn luyện kĩ toán học, cần quan tâm tập luyện cho học sinh hoạt động hoạt động thành phần - mà giải Toán - học sinh thờng gặp chớng ngại, khó khăn, vớng mắc sai lầm việc thực hoạt động 5 2.1.3 Quan điểm 3: Chú ý tới yêu cầu: tính giáo dục, tính kịp thời, tính xác trình khắc phục chớng ngại, phát sửa chữa sai lÇm cho häc sinh 2.1.4 Quan điểm 4: Giáo viên kiến tạo tình dễ dẫn tới chớng ngại sai lầm để học sinh đợc thử thách với tình Kết luận chơng Chơng Thực nghiệm s phạm 3.1 Mục đích thực nghiệm ………………………………………… 3.2 Tỉ chøc vµ néi dung thùc nghiƯm ……………………………… 3.2.1 Tỉ chøc thùc nghiƯm ……………………… 3.2.2 Nội dung thực nghiệm 3.3 Đánh giá kết thực nghiệm 3.3.1 Đánh giá định tính 3.3.2 Đánh giá định lợng 3.4 Kết luận chung thực nghiệm Kết luận Tài liệu tham khảo 90 93 96 97 97 97 97 97 99 99 100 102 103 104 Mở đầu Lí chọn đề tài 1.1 Nghị Hội nghị lần thứ IV Ban Chấp hành Trung ơng Đảng Cộng sản Việt Nam (Khóa IV, 1993) nêu rõ: "Mục tiêu giáo dục - đào tạo phải hớng vào việc đào tạo ngời lao động tự chủ, sáng tạo, có lực giải vấn đề thờng gặp, qua mà góp phần tích cực thực mục tiêu lớn đất nớc (Tài liệu Bồi dỡng giáo viên môn Toán năm 2005, tr 1) Về phơng pháp giáo dục đào tạo, Nghị Hội nghị lần thứ Ban Chấp hành Trung ơng Đảng Cộng sản Việt Nam (Khóa VIII, 1997) đà đề ra: Phải đổi phơng pháp đào tạo, khắc phục lèi trun thơ mét chiỊu, rÌn lun thµnh nÕp t sáng tạo ngời học Từng bớc áp dụng phơng pháp tiên tiến phơng tiện đại vào trình dạy học, đảm bảo điều kiện thời gian tự học, tự nghiên cứu Điều 24, Luật Giáo dục đà quy định: Phơng pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, t sáng tạo học sinh, ; bồi dỡng phơng pháp tự học, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tËp cho häc sinh” 1.2 ë trêng phỉ th«ng, theo A A Stoliar, dạy Toán dạy hoạt động Toán học Đối với học sinh, có thêm xem giải toán hình thức chủ yếu hoạt động toán học Dạy học giải toán có vai trò đặc biệt dạy học Toán trờng phổ thông Các toán phơng tiện có hiệu thay đợc việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển t duy, hình thành kĩ kĩ xảo Hoạt động giải toán điều kiện để thực tốt mục đích khác dạy học Toán Do đó, tổ chức có hiệu việc dạy giải toán có vai trò định chất lợng dạy học Toán Tuy nhiên, thực tiễn cho thấy chất lợng dạy học Toán trờng phổ thông có lúc, có chỗ cha tốt, biểu qua lực giải toán học sinh hạn chế học sinh gặp phải chớng ngại mắc nhiều sai lầm T sáng tạo khả lĩnh hội tri thức học sinh hạn chế biểu qua việc học sinh không vợt qua đợc chớng ngại giải toán Một nguyên nhân quan trọng giáo viên cha ý cách mức việc phát hiện, uốn nắn sửa chữa sai lầm cho học sinh học toán, giáo viên cha trọng nhiều đến việc phát nguyên nhân dẫn đến sai lầm cách khắc phục chớng ngại học sinh 1.3 Đà có nhiều quan điểm ý kiến đợc nêu xoay quanh vấn đề sai lầm cc sèng cịng nh nghiªn cøu khoa häc Khỉng Tử đà nói: Sai lầm chân thật không sửa chữa sai lầm trớc Albert Einstein nói sai lầm nghiên cứu khoa học: Nếu mắc sai lầm lần đủ Nhiều nhà khoa học đà nhấn mạnh tới vai trò việc sửa chữa sai lầm học sinh trình giảng dạy toán, chẳng hạn, G.Polia đà phát biểu: Con ngời phải biết học sai lầm thiếu sót [40, tr 204], A A Stôliar nhấn mạnh rằng: Không đợc tiếc thời gian để phân tích học sai lầm học sinh.Viện sĩ A N Kôlmôgôrôv viết: Năng lực bình thờng học sinh trung học đủ để em nắm đợc Toán học nhà trờng phổ thông có hớng dẫn tốt thầy giáo Nh khẳng định rằng, sai lầm học sinh giải toán cần khắc phục đợc 1.4 Một biểu lực giải toán học sinh khả chuyển đổi toán Hoạt động chuyển đổi toán có vai trò then chốt cho lời giải toán Chúng ta hiểu hoạt động chuyển đổi toán hay nói rộng hoạt động biến đổi đối tợng trình chủ thể dùng hành động trí tuệ, thao tác t dựa tri thức kinh nghiệm đà có để xâm nhập vào đối tợng nghiên cứu thông qua biến đổi cấu trúc đối tợng, bao gồm mối liên hệ, quan hệ đối tợng kể hình thức đối tợng Trong trình dạy học toán phát triển tâm lý học sinh phát triển lịch sử khái niệm học sinh gặp chớng ngại không tránh đợc Tuy nhiên có chớng ngại nảy sinh biện pháp sai lầm mặt s phạm Khắc phục chớng ngại học sinh nhiệm vụ quan giáo viên trình dạy học, vợt qua đợc chớng ngại tức học sinh đà lĩnh hội thêm đợc tri thức 1.5 Số công trình nghiên cứu đề cập tới sai lầm chớng ngại học sinh giải toán tơng đối ít, công trình ®ã cã thĨ kĨ tíi Ln ¸n TiÕn sÜ cđa Lê Thống Nhất: "Rèn luyện lực giải toán cho học sinh phổ thông trung học thông qua việc phân tích sửa chữa sai lầm học sinh giải toán" (1996) Các nhóm tác giả Trần Phơng - Lê Hồng Đức Sai lầm thờng gặp sáng tạo giải toán (2004); Lê Đình Thịnh - Trần Hữu Phúc - Nguyễn Cảnh Nam Mẹo bẫy đề thi môn toán (1992); Trần Hữu Phúc - Nguyễn Cảnh Nam HÃy cẩn thận! Bài thi đơn giản quá! (2002) Tất công trình nêu xếp sai lầm học sinh theo chủ đề kiến thức, hạn chế lại chỗ: số lợng chủ đề kiến thức nhiều, khó kể hết, gộp lại để thành chủ đề lớn nhiỊu dÉn tíi sù chung chung, thiÕu thĨ Luận án Thạc sĩ Nguyễn Hữu Hậu, 2006 đề cập đến dạng sai lầm mà cha có phát chớng ngại học sinh giải toán Đại số Giải tích Từ phân tích đây, chọn đề tài nghiên cứu Luận văn là: Phát sai lầm chớng ngại học sinh Trung học phổ thông dạy học Đại số Giải tích Mục đích nghiên cứu Phân chia dạng sai lầm phổ biến học sinh, xác định nguyên nhân dẫn đến sai lầm, góp phần phòng tránh sửa chữa sai lầm Làm sáng tỏ khái niệm chớng ngại nguồn gốc dạy học môn toán Từ đề xuất biện pháp khắc phục sai lầm chớng ngại góp phần rèn luyện lực giải toán cho học sinh trung học phổ thông Giả thuyết khoa học Nếu phân chia làm sáng tỏ đợc dạng sai lầm chớng ngại học sinh trung học phổ thông giải toán Đại số & Giải tích, đề xuất đợc quan điểm để phòng tránh khắc phục dạng sai lầm v ch ớng ngại nhằm nâng cao nhận thức cho học sinh, góp phần nâng cao chất lợng dạy học toán trờng phổ thông Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn có nhiệm vụ giải đáp câu hỏi khoa học sau đây: 10 4.1 Trong giải toán Đại số Giải tích, học sinh thờng mắc phải số kiểu sai lầm chớng ngại phổ biến nào? 4.2 Nguyên nhân dẫn tới sai lầm chớng ngại đó? 4.3 Để hạn chế, sửa chữa sai lầm chớng ngại đà ra, cần thực quan điểm nào? 4.4 Kết Thực nghiệm s phạm nh nào? Phơng pháp nghiên cứu 5.1 Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu tài liệu lí luận phơng pháp giảng dạy môn toán, tài liệu Tâm lí học Giáo dục học để làm điểm tựa đề xuất quan điểm hạn chế, sửa chữa sai lầm chớng ngại học sinh 5.2 §iỊu tra, quan s¸t: §iỊu tra qua thùc tiƠn s phạm, qua tài liệu để nắm bắt thêm kiểu sai lầm chớng ngại học sinh Trung học phổ thông giải toán Đại số Giải tích Những đóng góp Luận văn 6.1 Luận văn đà làm sáng tỏ đợc nhiều kiểu sai lầm chớng ngại học sinh Trung học phổ thông giải toán Đại số Giải tích mà tài liệu khác cha có dịp đề cập, đề cập mức độ sơ Đặc biệt, đề cập đến sai lầm chớng ngại, Luận văn đà trọng đến phơng diện hoạt động toán học 6.2 Luận văn đà phân tích đợc nguyên nhân dẫn đến sai lầm chớng ngại 6.3 Cùng với công trình nghiên cứu khác, tiến tới việc đa tranh toàn cảnh tơng đối đầy đủ kiểu sai lầm chớng ngại học sinh Trung học phổ thông giải toán 6.4 Luận văn dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên toán Trung học phổ thông Cấu trúc luận văn 90 Định nghĩa khái niệm thao tác lôgic dùng để tách vật cần định nghĩa từ vật tiÕp cËn víi nã, cho, ph¹m vi cđa định nghĩa phải vạch thuộc tính chung tạo nên nội hàm khái niệm Nhờ thuộc tính này, tách đợc tất đối tợng có thuộc tính đối tợng đợc hợp vào thể thống nhờ khái niệm đà cho Nếu xem t ngời nh thể sống khái niệm đơn vị nhỏ tế bào để cấu thành thể t Do đó, học tốt khái niệm Toán điều kiện để đảm bảo t Toán học xác, không học tốt khái niệm nguyên nhân gốc dẫn tới sai lầm giải tập Toán Theo Nguyễn Bá Kim, việc dạy học khái niệm Toán học trờng Trung học phổ thông phải làm cho học sinh đạt yêu cầu sau: ã Nắm vững đặc điểm đặc trng cho khái niệm ã Biết nhận dạng khái niệm, tức biết phát xem đối tợng cho trớc có thuộc phạm vi khái niệm hay không, đồng thời biết thể khái niệm, nghĩa biết tạo đối tợng thuộc phạm vi khái niệm cho trớc ã Biết phát biểu rõ ràng xác định nghĩa số khái niệm ã Biết vận dụng khái niệm tình cụ thể hoạt động giải Toán ứng dụng vào thực tiễn ã Biết phân loại khái niệm nắm đợc mối quan hệ khái niệm với kh¸i niƯm kh¸c mét hƯ thèng kh¸i niƯm [24, tr 364, 365] Ngoài hoạt động dạy học khái niệm nh trên, muốn nhấn mạnh thêm số hoạt động dạy học khái niệm để khắc phục chớng ngại, phòng tránh sửa chữa sai lầm Hoạt động dự kiến chớng ngại sai lầm học sinh mắc điều quan trọng, từ giáo viên tiên lợng đợc khái niệm học 91 sinh dễ mắc sai lầm có biện pháp giảng dạy khái niệm, phòng tránh chủ động sai lầm cha xuất Cần phải phân biệt việc cha hiểu hết khái niệm hiểu sai khái niệm Có khái niệm khó hiểu hết thuộc tính sau học mà phải qua hoạt động nhận dạng thể hiểu hết đợc Chính việc cha hiĨu hÕt c¸c thc tÝnh kh¸i niƯm rÊt dƠ dẫn đến hiểu sai khái niệm học sinh gặp phải chớng ngại giải tập Cần làm cho học sinh hiểu rằng, dù đợc phát biểu dới dạng nào, định nghĩa điều kiện cần đủ, cách phát biểu định nghĩa có cấu trúc lôgíc theo kiểu điều kiện cần đủ Trong hoạt động tơng thích với khái niệm, định nghĩa khái niệm có vai trò quan trọng phải làm cho học sinh thấy rõ yêu cầu định nghĩa khái niệm là: + Định nghĩa phải tơng xứng, nghĩa khái niệm đợc định nghĩa phải đồng với khái niệm dùng để định nghĩa Vi phạm yêu cầu dẫn đến sai lầm sau: Định nghĩa rộng (khái niệm dùng để định nghĩa rộng khái niệm đợc định nghĩa) Định nghĩa hẹp (khái niệm dùng để định nghĩa hẹp khái niệm đợc định nghĩa) + Trong khái niệm dùng để định nghĩa đợc dùng khái niệm đà biết, đà đợc xác định Vi phạm yêu cầu thờng dẫn đến sai lầm: Định nghĩa vòng quanh (dùng khái niệm A để định nghĩa khái niệm B lại dùng khái niệm B để định nghĩa khái niệm A) Định nghĩa luẩn quẩn (dùng khái niệm A để định nghĩa khái niệm A) + Định nghĩa cần ngắn gọn, không chứa dấu hiệu suy đợc từ dấu hiệu khác đà nêu định nghĩa 92 + Định nghĩa phải đơn trị: tồn đối tợng thỏa mÃn định nghĩa, đồng thời thuật ngữ hay kí hiệu định nghĩa đợc dùng để đối tợng đợc định nghĩa Vi phạm nguyên tắc đơn trị đồng nghĩa với việc sử dụng tên gọi với nhiều ý nghĩa (đa nghĩa, đa trị) dẫn tới rối loạn làm nhiễu khái niệm Chẳng hạn, nh sử dụng kí hiệu f(x) dùng để đồng thời đối tợng hàm số giá trị hàm số điểm x khái niệm hàm số Cùng khái niệm, định nghĩa theo nhiều cách tơng đơng Cần làm cho học sinh thấy rằng, muốn phát biểu định nghĩa dới dạng thức khác, dạng thức ấy, phải bao gồm điều kiện tơng đơng với điều kiện nêu định nghĩa ban đầu Trong trờng hợp giáo viên cần cho học sinh cần lựa chọn dạng thích hợp với mục đích ta cần nhắm tới Ví dụ 6: Khái niệm Tập giá trị hàm số, khái niệm định nghĩa cách sau đây: Cách 1: Cho hàm số f :X R x a y = f (x) , tập giá trị hàm f tập hợp Y = {y = f ( x ) / x ∈ X} , hay nãi cách khác tập tất giá trị f(x) với x X Cách 2: Cho hàm số f : X fR) , tập giá trị hàm f tập hợp tất x (x số, cho, với y0 thuộc tập phơng trình f(x) = y0 có (ít một) nghiệm x X Sử dụng định nghĩa thứ hai thuận lợi giải chẳng hạn toán: Tìm tập giá trị hàm số y = x +1 Thật vậy, gọi Y tập giá trị hàm x + x +1 số, theo định nghĩa với y0 Y phơng trình y = x +1 lu«n cã nghiƯm x + x +1 93 Mặt khác, phơng trình tơng đơng với y x + ( y − 1) x + ( y − 1) = , ®ã, ®Ĩ  y0 ≠  ∆ = ( y − 1) − y ( y 1) phơng trình có nghiệm y = ,  Gi¶i ta cã − ≤ y 1, tập giá trị hàm số lµ  − ;   1 Nếu giải tuý vào Định nghĩa thứ mà không vào Định nghĩa thứ hai khó khăn Trong dạy học Toán nói chung dạy học khái niệm toán học nói riêng, ta phải vào nhiều yếu tố, chẳng hạn: quỹ thời gian; mục đích, yêu cầu tiết học; vị trí, vai trò khái niệm mục, chí toàn cấp học; tính vừa sức học sinh; tÝnh tÝch cùc, ®éc lËp cđa häc sinh; Bởi vậy, với định nghĩa nên khuyến khích học sinh diễn đạt theo cách khác tơng đơng, dẫn dắt thầy giáo đến mức độ nào, , điều tùy thuộc vào nhiều yếu tố Cần tránh hai khuynh hớng đối lập nhau: khuynh hớng hoàn toàn thỏa mÃn với cách định nghĩa, khuynh hớng khai thác sâu nhiều đến khiên cỡng vấn đề tìm thêm định nghĩa khác Giáo viên cần phải ý thức đợc phân chia, hệ thống hóa, xếp khái niệm đà học thông qua hoạt động so sánh, xét tơng tự, xác định mối quan hệ khái niệm khái niệm đà học Do đó, việc dạy khái niệm, phải nêu lên mối quan hệ khái niệm, đặt khái niệm vào khái niệm đà có Tức sau phần, chơng cần phải hệ thống hóa khái niệm Mặt khác, thông qua hoạt động này, học sinh có điều kiện để thấy rèn luyện thao tác lôgic khái niệm nh: mở rộng, thu hẹp, xem xÐt mèi quan hƯ (®ång nhÊt, giao nhau, rêi nhau, đối lập, ) khái niệm Nhờ đó, học sinh phân biệt đợc rõ ràng tính chất chung, tính chất riêng khái niệm có quan hệ họ hàng với để từ vận dụng đắn vào tình toán học khác 94 Cần xây dựng phơng tiện trực quan tợng trng (mô hình, hình vẽ, sơ đồ, đồ thị, biểu bảng, ) làm chỗ dựa trực giác giúp học sinh hình dung đợc nội dung khái niệm, phát dấu hiệu chất khái niệm khái quát thành khái niệm Xây dựng hệ thống ví dụ phản ví dụ điển hình, sử dụng hệ thống ví dụ phản ví dụ kết hợp với phơng tiện trực quan tổ chức cho học sinh hoạt động nhằm phát dấu hiệu chất khái niệm khái quát thành khái niệm *Dạy học định lí : Trong Dạy Toán trờng phổ thông nhiều điều cha ổn (Tạp chí Tia Sáng, 12-2001), nhà toán học Hoàng Tụy cho rằng: Dù học Toán trình độ cần công nhận (cã gi¶i thÝch hay minh häa) mét sè tÝnh chÊt [54, tr 35 - 40] Các Định lý: Lagrange (Giải tích 12), Bolzano - Cauchy (Đại số Giải tích 11), chứng minh đợc cách chặt chẽ trình độ học sinh Trung học phổ thông Tuy nhiên hai Định lý có vai trò vô quan trọng chơng trình môn Toán, không đa hai Định lý vào Nhng với giải pháp là: nêu nội dung Định lý; không chứng minh mà minh họa đồ thị để học sinh hiểu lại có Định lý (dẫn theo Nguyễn Văn Thuận 2004) Đơng nhiên, vào định hớng đổi phơng pháp dạy học giai đoạn nay: học sinh đợc học tập hoạt động hoạt động, nên dạy Định lý nói cần thiết phải tạo hội để học sinh đợc hoạt động Trong thực tiễn s phạm có thực trạng giáo viên lớt qua nhanh vấn đề khái niệm định lí để mau bớc vào luyện tập Toán Khi dạy học định lí giáo viên nhÃng việc làm cho học sinh nắm vững cấu trúc định lí, không nhấn mạnh cho họ điều kiện cần đủ Các định lí thờng đợc diễn đạt theo cấu 95 trúc A B , A giả thiết, B kết luận Nhng lu ý rằng: A cho biết dùng định lí nµo vµ B cho biÕt sÏ kÕt luËn, suy đợc có A Dạy định lí toán học cã thĨ thùc hiƯn theo hai ®êng: ®êng suy diễn đờng có khâu suy đoán [22, tr 192] Nhằm hạn chế chớng ngại phòng tránh sai lầm học sinh vận dụng định lí vào giải Toán cần thiết phải cho học sinh rèn luyện hoạt động: ã Cần làm cho học sinh ý thức đợc phân biệt điều kiện cần điều kiện đủ Nhận thức điều kiện cần, điều kiện đủ cần thiết, nhiên rèn luyện không linh hoạt chứa đựng mặt trái cụ thể, máy móc thái làm cho học sinh lúng túng áp dụng vào hoàn cảnh cụ thể (Nếu học sinh chặt chẽ điều kiện cần điều kiện đủ tiếp xúc với định nghĩa đơng nhiên có thắc mắc, hoài nghi: đâu điều kiện cần, đâu điều kiện đủ) ã Cần quan tâm tới phân tích rõ giả thiết định lí đặc biệt định lí có cấu trúc hội hay tuyển ã Cần hớng ứng dụng định lí Khi dạy định lí cần hớng ứng dụng định lí tạo nhạy cảm học sinh đứng trớc toán biết hớng tới vận dụng định lí nào, tạo "nhạy cảm" vận dụng định lí nói cách khác rèn luyện lực liên tởng Chẳng hạn: Định lí tính đơn điệu hàm số, giáo viên cần hớng ứng dụng định lí này: Khảo sát tính đơn điệu hàm số khoảng; để chứng minh bất đẳng thức, giải phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình, hệ bất phơng trình Ví dụ 7: Giải phơng trình x5 + x3 - − 3x + = 96 Đặt f(x) = x5 + x3 - − 3x + Ta cã f’(x) = 5x4 + 3x2 + > suy hàm số đồng biÕn trªn − 3x 1   −∞; ữ, mặt khác f(-1) = nên phơng trình f(x) = cã nghiÖm nhÊt 3  x = Qua toán này, giáo viên nhấn mạnh thêm cho học sinh rằng: kiến thức hàm số đồng biến, nghịch biến giúp cho giải đợc số phơng trình phức tạp Đó vấn đề gợi động kết thúc hoạt động Trong trình dạy học định lí cần rõ cho học sinh thấy phơng pháp phân tích để chứng minh định lí Chính biện pháp giúp cho học sinh dễ tới chứng minh giải Toán Dạy định lí nhằm truyền thụ tri thức phơng pháp liên quan tới phép chứng minh Cần phải nắm vững phơng pháp chứng minh thuộc định lí cách máy móc c Vấn đề rèn luyện hoạt động nhằm khắc phục sai lầm liên quan đến suy luận Để phòng tránh sai lầm cần thiết giáo viên phải cung cấp kiến thức lôgic cho học sinh Giáo viên cần lu ý tới mệnh đề phép toán mệnh đề nh phủ định, kéo theo, tơng đơng, hội, tuyển Mặc dù việc trang bị kiến thức không dừng lại số hình thức suy luận mà phải đợc thờng xuyên rèn luyện, củng cố để học sinh nắm vững, hiểu đúng, sử dụng linh hoạt liên kết lôgic (và, hoặc, nếu, thì, khi, ) Biết suy luận xác, chặt chẽ, biết diễn đạt vấn đề toán học dới hình thức khác nhau, đặc biệt biết sử dụng ngôn ngữ Lý thuyết tập hợp Lôgíc Toán Từ ngôn ngữ thông thờng giáo viên bắt đầu sử dụng khái niệm, tính chất, định lí toán học để phân tích chân lí mệnh đề cần 97 cho học sinh làm quen với số dạng toán Chẳng hạn, nh: Thiết lập mệnh đề phủ định có chứa lợng từ, dùng kí hiệu để biểu thị mệnh đề đà đợc phát biểu lời, chứng minh phơng pháp ph¶n chøng [44, tr 133] VÝ dơ 8: Thùc tiƠn s phạm cho thấy, học bất phơng trình bậc 2, học sinh thờng mắc sai lầm sau đây: Mọi học sinh biết rằng, để phơng trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) cã nghiệm (và vô nghiệm < 0), có lẫn lộn phơng trình với bất phơng trình, nên không học sinh đà cho rằng: Nếu bất phơng trình ax2 + bx + c > (a ≠ 0) cã nghiƯm th× ∆ (!?) (lập luận nh không xác) Để phòng tránh sai lầm kiểu nh vậy, thầy giáo yêu cầu học sinh diễn đạt mệnh đề Bất phơng trình ax2 + bx + c > cã nghiƯm” díi d¹ng ký hiƯu cã chøa lỵng tõ: ∃ x ∈ R, ax2 + bx + c > (1) Tiếp theo, yêu cầu học sinh lập phủ định mệnh đề này: x R, ax2 + bx + c ≤ (2) Häc sinh giải đợc (2) trớc họ đà đợc học tam thức không đổi dấu G Polia đà phát biểu: Thời gian mà ta dành để chọn kí hiệu đợc trả công hậu sau, thời gian tiết kiệm đợc nhờ tránh khỏi mäi sù dù vµ lÉn lén” [40, tr 135] Cần cho học sinh phân biệt suy đoán suy diễn Chẳng hạn, tính đạo hàm bậc n hµm sè y = e2x, häc sinh cã thĨ suy đoán y(n) = 2ne2x nhng phải chứng minh phơng pháp quy nạp Chú ý cho học sinh phép tơng tự phép suy luận từ thuộc tính giống hai đối tợng để rút kết luận thuộc tính giống khác hai đối tợng Kết luận phép tơng tự cã thĨ ®óng cã thĨ sai, nã cã tÝnh chÊt dự đoán Trong trình dạy học không thiết giáo viên trình bày phép tam đoạn luận, mà thông qua đa suy luận sai từ phân tích hình thành học sinh ý thức phòng tránh Chẳng hạn, đa yêu cầu chứng minh 98 sai lầm học sinh vi phạm yêu cầu đó, sai lầm luận cứ, sai lầm luận đề, sai lầm luận chứng Có lẽ, không giáo viên Toán hoài nghi với nhận định: Toán học khoa học suy diễn [39, tr 36], kỹ suy luận diễn dịch kỹ đặc trng cho t toán học Theo Nguyễn Văn Thuận, muốn phát triển khả suy diễn cho học sinh, nên: a, Tạo nhiều hội, nhiều tình để học sinh đợc tập dợt, đợc tiến hành hoạt động suy diễn Cần khai thác nội dung, dạy khái niệm; dạy định lý; dạy giải tập Không bỏ lỡ tình cho dù với thầy giáo rÊt dƠ b, Víi mét sè tÝnh chÊt; hƯ qu¶ suy cách trực tiếp từ định lý trớc đó, mà trải qua nhiều bớc suy diễn, nên để học sinh độc lập chiếm lĩnh c, Chú trọng khai thác tình huống, mà đó, hoạt động suy diễn dẫn tới áp dụng để giải số vấn đề có liên quan Đồng thời lu ý vấn đề gợi động truyền thụ tri thức phơng pháp trờng hợp Đặc biệt, cần làm cho học sinh nắm đợc phơng pháp phân tích lên, phân tích, tổng hợp, phản chứng, quy nạp Truyền thụ tri thức phơng pháp giải Toán nhằm giúp học sinh tránh khó khăn, bế tắc, sai lầm khâu định hớng giải Toán Ta biết phơng pháp tổng quát cho phép giải đợc toán Quy trình bốn bớc G Polia dừng lại mức độ chung nắm đợc quy trình giải đợc toán Quy trình có tác dụng mức độ định G Polia cho rằng: Tìm đợc cách giải toán điều phát minh [40] Trong môn Toán trờng phổ thông có nhiều toán cha có thuật toán để giải Đối với toán hÃy cố gắng hớng dẫn học sinh 99 cách suy nghĩ tìm tòi lời giải Toán Đây hội tốt trang bị cho học sinh tri thức phơng pháp nhằm rèn luyện lực t khoa học, biết đề cho học sinh lúc, chỗ câu gợi ý sâu sắc phù hợp đối tợng học sinh thể lực s phạm giáo viên vệc giải tập Toán Trong giải Toán học sinh mắc nhiều sai lầm nhng có tình họ cha mắc sai lầm mà không mong muốn chút - họ bế tắc khâu phát phơng hớng giải Toán Nhất toán cha có thuật giải Vì trình giải tập Toán cần ý tri thức phơng pháp đặc biệt tri thức phơng pháp mang tính chất tìm đoán 2.2.3 Quan điểm 3: Chú ý tới yêu cầu: tính giáo dục, tính kịp thời, tính xác trình khắc phục chớng ngại, phát sửa chữa sai lầm cho học sinh 2.2.3.1 Tính kịp thời Môn Toán nhà trờng phổ thông bao gồm hệ thống tri thức có mối quan hệ hữu cơ, biƯn chøng víi nhau: tri thøc tríc chn bÞ cho tri thøc sau, tri thøc sau dùa vµo tri thøc trớc, tất nh mắt xích liên kết với cách chặt chẽ Chính giáo viên phải nghiên cứu dự kiến đợc chớng ngại sai lầm học sinh nội dung kiến thức chơng trình học Để dự đoán đợc chớng ngại sai lầm học sinh mắc phải, trớc hết giáo viên phải quan sát, tìm hiểu ghi chép diễn biến tâm lí, tinh thần thái độ học tập, vốn tri thức, chớng ngại sai lầm giải Toán mà học sinh mắc phải trớc nay, từ dự kiến nội dung cần truyền thụ kiến thức liên quan để khắc phục chớng ngại cho học sinh phòng tránh sai lầm Trong trình dạy học giáo viên cần phải đặt t thờng trực với mục tiêu dạy học nhằm khắc phục chớng ngại, phòng tránh, sửa chữa sai lầm cho học sinh giải Toán Giáo viên cần phải tìm cách hạn chế nguyên nhân sai lầm học sinh sai lầm cha xuất hiện, 100 cần phải trang bị tốt kiến thức môn toán, kiến thức phơng pháp giải Toán, giáo viên phải dự báo trớc sai lầm thể trình truyền thụ tri thức phơng pháp nhân trình hoạt động Cần phải lu ý tính ỳ t duy, giáo viên cần xây dựng hoạt động học cho học sinh cho họ thử thách thờng xuyên qua toán gặp chớng ngại dễ dẫn đến sai lầm V A Cruchetxki cho rằng: giáo viên cần nghiên cứu mặt lực yếu học sinh để tìm cách giúp em phát triển mặt lực [7, tr 11], giáo viên phải nhanh nhạy với tình điển hình, nhằm tác động hoạt động học học sinh 2.2.3.2 Tính xác Giáo viên cần phải diễn đạt xác, từ ngôn ngữ thông thờng đến ngôn ngữ toán học, phải mẫu mực phơng pháp, t lời giải phải xác cho toán, sai lầm, nguyên nhân sai lầm học sinh phải xác thuyết phục Không đợc phủ định lời giải học sinh cách chung chung Trong đánh giá chớng ngại sai lầm học sinh, giáo viên phải đánh giá cách xác mức độ công bằng, cần lu ý giáo viên phải đón trớc đợc t học sinh qua giải Thuật ngữ đánh giá đợc hiểu theo nghĩa rộng bao gồm tất kiểu xác nhận, đồng tình hay không đồng tình: kể từ gật đầu đồng ý đến đánh giá lời nh việc cho điểm Sự đánh giá thầy phải mức, có sở vững công Có kết hợp đánh giá thầy tập thể học sinh 2.2.3.3 Tính giáo dục Trong trình, truyền thụ tri thức giáo viên phải lấy phát triển nhân cách học sinh làm mục tiêu giảng dạy mình, phải làm cho học sinh nhận thức đợc tầm quan trọng xác lời giải cần thiết 101 Tính giáo dục giúp cho học sinh xác định đợc động học tập môn Toán, ngời thầy cần phải làm cho học sinh thấy hấp dẫn môn Toán, hấp dẫn mong muèn chiÕm lÜnh kiÕn thøc, tõ ®ã häc sinh có động hoàn thiện tri thức môn Toán Giáo viên cần phải có phẩm chất lực, uy tín xứng đáng ngời thầy, trớc hết giáo viên phải tận tụy với nghề dạy Toán, tận tụy tiền đề cho hoàn thiện tri thức môn tri thức s phạm Giáo viên cần nắm vững tri thức môn Toán, cần phải trang bị kiến thức chớng ngại sai lầm học sinh giải Toán Bởi có nh vậy, việc khắc phục chớng ngại, hạn chế sửa chữa sai lầm cho học sinh hoàn toàn chủ động, đặc biệt phải tránh sai lầm giải Toán giáo viên, nhng đồng thời giáo viên cần phải nhận sai lầm lời giải nh cách đánh giá học sinh Cần phải tạo niềm vui, høng thó häc tËp cho häc sinh NiỊm vui, høng thú có tác động qua lại với tính tự giác, chủ động học tập học sinh, có ảnh hớng lớn đến kết học tập học sinh Rõ ràng tìm thấy niềm vui hứng thú, trạng thái tâm lí thoải mái học tập tốt Theo E P Brounovt mét niỊm høng thó thùc sù ë sù bỊn bØ, kiên trì sáng tạo việc hoàn thành công việc độc lập dài Còn theo J A Komensky đòi hỏi ngời thầy phải làm để học sinh thích thú học tập cố gắng để nắm lấy tri thức (dẫn theo Đỗ Ngọc Đạt 2000) Giáo viên không đợc làm cho học sinh bị xúc phạm nhân cách gặp khó khăn chớng ngại bị mắc sai lầm Do giáo viên phải rèn luyện thái độ ứng xử khéo léo s phạm, nh Disterweg yêu cầu ngời thầy giáo phải hiểu tâm lý học sinh, phải dựa vào sở tâm lý học sinh Đó nguyên tắc bản, nguyên tắc Bắc đẩu tảng s phạm, chung quanh quay tròn tất phơng pháp, tất cách thức giáo dục, ý tởng mà phải hớng tới (dẫn theo Đỗ Ngọc Đạt 2000), nên giáo viên cần né tránh kết luận chạm tới lòng tự học sinh là: yêu cầu cao nhng không đ- 102 ợc hạ thấp phẩm giá học sinh [26, tr 233] Phải biết biểu dơng kịp thời, khích lệ học sinh đà sửa chữa đợc sai lầm, nhng không đợc nóng vội việc thực biện pháp để mong muốn chấm dứt sai lầm học sinh Có sai lầm đòi hỏi qua trình lâu dài cần phối hợp nhiều biện pháp đồng khắc phục đợc Giáo dục cho học sinh không ngại khó, biết kiên trì cẩn thận để tới lời giải đúng, giúp cho học sinh cã thãi quen tèt: cÈn thËn, biÕt tù kiÓm tra việc giải Toán mình, biết phủ định sai lầm mình, giúp cho học sinh thấy sai lầm sửa chữa đợc tìm nguyên nhân có ý chí khắc phục Việc kiểm tra đánh giá có tác dụng giáo dục học sinh: tình thần, trách nhiệm học tập, thói quen làm việc có kế hoạch, thái độ trung thực Nội dung kiểm tra đánh giá giáo viên có tác dụng lớn đến thái độ, tinh thần học tập, đến t tởng, tình cảm học sinh môn 2.2.4 Quan điểm 4: Giáo viên kiến tạo tình dễ dẫn tới chớng ngại sai lầm để học sinh đợc thử thách với tình Đây quan điểm thờng trực nên cần cho học sinh đợc thử thách với toán gặp phải chớng ngại dễ mắc sai lầm; cần phải tiếp xúc với tình có vấn đề khắc phục đợc chớng ngại tiếp xúc với sai lầm sửa chữa đợc sai lầm Một phơng thức cho học sinh thử thách thờng xuyên với tình có vấn đề toán dễ dẫn đến sai lầm lời giải cài đặt toán có chứa bẫy (cho học sinh va chạm) Thuật ngữ bẫy đợc tác giả Lê Đình Thịnh - Trần Hữu Phúc - Nguyễn Cảnh Nam công trình "Mẹo bẫy đề thi môn Toán" (1992), công trình tác giả đà đa thuật ngữ "bẫy" phân tích nhiều ví dụ cho rằng, học sinh mắc sai lầm đồng nghĩa với việc sa bẫy, "bẫy" toán tình đợc tác giả cài đặt mà học sinh không vững kiến thức mắc phải sai lầm 103 Trong dạy học môn Toán trờng phổ thông cần thiết phải đa vào loại tập ngụy biện Toán học Đối với loại tập này, thân học sinh muốn tìm chân lí cần phải suy nghĩ, phân tích cẩn thận lập luận đà đa ra, biết vận dụng linh hoạt sâu sắc kiến thức đà học để tìm sai lầm toàn lập luận, từ mà bác bỏ đợc kết luận vô lí Sự cố gắng giải tập thuộc loại nhiều dạng tập thông thờng khác Chính thông qua loại tập nh vậy, mà óc phê phán khả suy luận Toán học nh phơng pháp t không ngừng đợc mở mang phát triển, kiến thức toán học đợc đào sâu, củng cố nâng cao Việc cài đặt bẫy nh nào? cho hợp lí, điều chủ yếu phụ thuộc vào nghệ thuật s phạm giáo viên Không nên đa vấn đề khó vợt xa trình độ học sinh để đóng vai trò bẫy Bẫy nên xoay quanh vùng phát triển gần cđa kiÕn thøc häc sinh Nãi mét c¸ch kh¸c vỊ nguyên tắc học sinh cần nắm thật kiến thức vợt qua đợc bẫy Bẫy toán mà học sinh dễ bị sai lầm bớc lời giải, kiến thức đợc chuẩn bị cách có chủ định, giáo viên nhằm đạt đợc tính hấp dẫn với tính thử thách học sinh Việc tạo bẫy để học sinh mắc sai lầm phòng tránh chủ động sai lầm học sinh Các bẫy củng cố lại nhằm xóa hẳn sai lầm học sinh đà đợc sửa chữa trớc đó, nhiên cần sử dụng bẫy cách có mức độ, với việc lạm dụng mức "bẫy" dẫn tới đánh đố phòng tránh, việc lạm dụng mức dễ dẫn đến việc tạo tự ti học sinh Ví dụ 9: Khi dạy tính chất bất đẳng thức yêu cầu häc sinh chøng minh víi mäi a, b, c th× (a2 + b2)(b2 + c2)(c2 + a2) ≥ 8a2b2c2 Dông ý toán kiểm tra xem học sinh đà nắm tính chất nhân vế với vế bất đẳng thức chiều hay cha? Trong Sách giáo khoa đà nêu lên 104 a > b > ⇒ ac > bd Tuy nhiªn nhiỊu häc sinh cha ý thức đợc tầm tính chất c>d>0 quan trọng giả thiết (các vế không âm), nh toán đà nêu học sinh dễ mắc sai lầm (a2 + b2 2ab; b2 + c2 ≥ 2bc; c2 + a2 ≥ 2ac) Qua viÖc nhËn thÊy häc sinh rÊt dƠ sai lÇm viƯc nhân vế bất đẳng thức với nhau, rút kinh nghiệm dạy học bất đẳng thức phải nhấn mạnh chỗ phân tích vai trò giả thiết Một phơng thức phổ biến phản ví dụ, cho phản ví dụ điều kiện bị vi phạm kết cuối không giống nh kết luận định lí Trớc đa toán để thử thách sai lầm học sinh, dĩ nhiên giáo viên cần có hình dung trực giác rằng, chỗ này, chỗ học sinh mắc sai lầm Nhờ hình dung trực giác giáo viên thiết kế toán tơng thích Qua thực tiễn trình bày lời giải toán cung cấp cho giáo viên nhận định sát thực tế so với cảm nhận trực giác ban đầu, khẳng định chắn sai lầm học sinh khâu đặc biệt quan trọng phải dành thời gian thích đáng để nhấn mạnh kiến thức cần lu ý liên quan trực tiếp đến sai lầm vừa mắc, thực chất thể chế hóa lần Trong dạy học môn Toán, việc sử dụng hợp lý phơng tiện dạy học trực quan tợng trng đóng vai trò vô quan trọng, phơng tiện trực quan tợng trng không tham gia vào trình hình thành khái niệm mà hỗ trợ đắc lực cho dạy học định lý; dạy học giải tập Toán; Đồng thời sử dụng phơng tiện trực quan tợng trng để vạch sai lầm, sửa chữa sai lầm Kết luận chơng Nội dung Chơng đề xuất quan điểm chủ đạo việc phòng tránh, sửa chữa sai lầm học sinh Trung học phổ thông giải Toán Đại số Giải tích ... dạng sai lầm mà cha có phát chớng ngại học sinh giải toán Đại số Giải tích Từ phân tích đây, chọn đề tài nghiên cứu Luận văn là: Phát sai lầm chớng ngại học sinh Trung học phổ thông dạy học Đại số. .. sai lầm chớng ngại học sinh Trung học phổ thông giải toán Đại số Giải tích Những đóng góp Luận văn 6.1 Luận văn đà làm sáng tỏ đợc nhiều kiểu sai lầm chớng ngại học sinh Trung học phổ thông giải. .. Chơng Những sai lầm chớng ngại học sinh trung học phổ thông giải toán Đại số giải tích 1.1 Cơ sở lí luận 1.2 Những chớng ngại học sinh Trung học phổ thông giải toán 13 Đại số giải tích 1.2.1