Bộ giáo dục và đạo tạo Trờng Đại học Vinh Hoàng Thị Thanh Sự phân tích nửa dàn các nửa nhóm luận văn thạc sĩ toán học VInh - 2010 2 Bộ giáo dục và đạo tạo Trờng Đại học Vinh Hoàng Thị Thanh Sự phân tích nửa dàn các nửa nhóm chuyên nghành: Đại số - lý thuyết số mã số: 60.46.05 3 Mục lục Lời nói đầu . 1 Chơng 1. Sự phân tích nửa dàn các nửa nhóm giao hoán 3 1.1. Tơng đẳng . 3 1.2. Băng và nửa dàn. Băng các nhóm . 7 1.3. Phân tích một nửa nhóm giao hoán thành nửa dàn vớicác thành phần Archimed. Nửa nhóm tách đợc . 11 Chơng 2. Sự phân tích nửa dàn các nửa nhóm 15 2.1. S - tơng đẳng và nửa nhóm S - phân tích đợc . 15 2.2. Sự phân tích nửa dàn các nửa nhóm . 17 2.3. Chứng minh bảng Định lý . 21 2.4. Mở rộng Nil và tích trực tiếp con . 28 4 Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 34 Lời nói đầu Lý thuyết nửa nhóm đóng vai trò chủ yếu trong việc xây dựng cơ sở toán học. Tơng đẳng là một trong những khái niệm quan trọng của lý thuyết nửa nhóm. T- ơng đẳng phân hoạch miền xác định S thành các lớp tơng đơng S/ . Giả sử là một thứ tự bộ phận trên tập X. Tập sắp thứ tự bộ phận X đợc gọi là nửa dàn trên (hay dới), nếu mỗi tập con gồm hai phần tử {a,b} của X có hợp (hay giao) trong X; trong trờng hợp đó mỗi tập con hữu hạn khác của X có hợp (hay giao) trong X. Hợp (giao) của {a,b} sẽ đợc ký hiệu là a b (hay a b ); Một dàn là một tập hợp sắp thứ tự bộ phận, đồng thời là nửa dàn trên và nửa dàn dới. Một tơng đẳng trên S đợc gọi là một S - tơng đẳng nếu S/ là một nửa dàn. 5 Ta hiểu sự phân tích một nửa nhóm S là sự phân chia nó thành hợp của các nửa nhóm con rời nhau ( ).S Để cho sự phân tích có giá trị, điều cần thiết là các nửa nhóm con ( )S phải là các nửa nhóm thuộc loại nào đó hẹp hơn ,S chẳng hạn các nửa nhóm đơn hay các nhóm. Nếu S là một hợp rời các nửa nhóm con ( )S và nếu với mỗi , tồn tại sao cho ,S S S S S thì chúng ta nói rằng S là một nửa dàn (hợp) các nửa nhóm con ( ).S Ta dùng cách gọi tắt: S là một băng (nửa dàn) các nửa nhóm kiểu C, để chỉ S là hợp của một băng (nửa dàn) các nửa nhóm ( ),S trong đó mỗi S có kiểu C. Và khi S là nửa dàn các nửa nhóm S thì chúng ta có thể nghiên cứu nửa nhóm S thông qua các nửa nhóm S . Nh vậy có một tơng ứng tự nhiên giữa các S - tơng đẳng với các phân tích nửa dàn. Mục đích của luận văn này là nhằm tìm hiểu lý thuyết tổng quát về sự phân tích nửa dàn của các nửa nhóm theo quan điểm đạt đợc định lý dạng: Một nửa nhóm S có tính chất D nếu và chỉ nếu S là một nửa dàn các nửa nhóm có tính chất D. Nguồn gốc của lý thuyết chúng tôi tìm hiểu là Định lý phân tích nửa dàn của Tamura. Bản luận văn của chúng tôi dựa trên bài báo "Semilattice Decompositions of Semigroups" của Mohan S. Putcha [6], trình bày một cách chi tiết định lý phân tích nửa dàn của Tamura với một chứng minh ngắn hơn cách chứng minh của Tamura. Luận văn gồm hai chơng. Chơng 1. Sự phân tích nửa dàn các nửa nhóm giao hoán. Trong chơng này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở về: tơng đẳng; băng và nửa dàn; băng các nhóm; phân tích một nửa nhóm giao hoán ra các thành phần Archimede và các nửa nhóm tách đợc. Chơng 2. Sự phân tích nửa dàn các nửa nhóm. Đây là nội dung chính của luận văn. Trong chơng này chúng tôi trình bày: S - tơng đẳng và nửa nhóm phân tích đợc; lý thuyết phân tích nửa dàn các nửa nhóm với trọng tâm là định lý bộ khung; mở rộng nil và tích trực tiếp con. 6 Luận văn đợc thực hiện dới sự hớng dẫn của PGS.TS. Lê Quốc Hán. Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Thầy đã tận tình chỉ dẫn chúng tôi trong học tập và tập dợt nghiên cứu khoa học. Thầy đã đặt vấn đề và trực tiếp h- ớng dẫn chúng tôi hoàn thành Luận văn. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa toán, khoa sau Đại học, tổ Đại số và PGS. TS. Ngô Sỹ Tùng; PGS. TS. NguyễnThành Quang; TS. Nguyễn Thị Hồng Loan cùng Quí Thầy, Cô trong khoa toán của Đại học Vinh đã nhiệt tình chỉ dẫn, tạo mọi điều kiện giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này. Mặc dù đã rất cố gắng song luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận đợc những đóng góp quí báu từ các thầy, cô giáo và các bạn cùng lớp. Vinh, tháng 11 năm 2010 Tác giả 7 Chơng 1 Sự phân tích nửa dàn các nửa nhóm giao hoán 1.1. Tơng đẳng 1.1.1. Định nghĩa tơng đẳng. Giả sử là một quan hệ tơng đơng trên nửa nhóm .S Khi đó a/ đợc gọi là tơng đẳng phải nếu ổn định bên phải, nghĩa là với mọi , , , .x y z S x y xz yzx b/ đợc gọi là một tơng đẳng trái nếu ổn định bên trái, nghĩa là với mọi , , , .x y z S x y xz yzx c/ đợc gọi là một tơng đẳng nếu nó vừa là tơng đẳng trái vừa là tơng đẳng phải. Chúng ta nhắc lại rằng một quan hệ tơng đơng phân hoạch miền xác định S thành các lớp tơng đơng ( ) .x x S Một lớp tơng đơng của một tơng đẳng đợc gọi là một lớp tơng đẳng. Nếu là một tơng đẳng thì nó bảo toàn tích của ,S nghĩa là nếu các phần tử 1 1 ,x ay và 2 2 ,x ay thuộc cùng những lớp tơng đẳng ( ) 1 1 2 2 , xx y x y = = thì tích 1 2 1 2 , xx x y y cũng thuộc cùng một lớp tơng đẳng. 1.1.2. Bổ đề. Một quan hệ tơng đơng trên nửa nhóm S là một tơng đẳng nếu và chỉ nếu với mọi 1 2 1 2 , , ,x x y y có: 1 1 2 2 1 2 1 2 , .x y x y x xx y y Chứng minh. Giả sử là một tơng đẳng. Nếu 1 1 x y và 1 1 x y thì theo định nghĩa, 1 2 1 2 x x x y và 1 2 1 2 x y y y , do tính bắc cầu của suy ra 1 2 1 2 .x x y y Khẳng định ngợc lại là hiển nhiên. 1.1.3. nh ngha. Giả sử X là một tập con của nửa nhóm .S Xác định một quan hệ x nh sau: ( ) , x x y 1 , , ,uu v S uxv X .uyv X Khi đó x là một tơng đẳng trên S và đợc gọi là tơng đẳng cú pháp của X trong .S Chúng ta nói rằng một tơng đẳng bảo hòa một tập con X của nửa nhóm S nếu X là hợp của các lớp tơng đẳng của . 1.1.4. Bổ đề. Một tơng đẳng bảo hòa X S nếu và chỉ nếu 8 X = . U x X x (2.1) Chứng minh. Vì x x nên X luôn luôn đợc chứa trong . U x X x Hơn nữa, nếu bão hòa ,X thì X = . U x X x Khẳng định ngợc lại là hiển nhiên. 1.1.5. Bổ đề. Đối với mọi tập con ,X S quan hệ x là tơng đẳng lớn nhất bão hòa .X Chứng minh. Khẳng định x là tơng đẳng trên S đợc suy ra trực tiếp từ cách xác định . x Rõ ràng, X đợc chứa trong hợp của tất cả ( ) . x x x X Hơn nữa, nếu x y x thì bằng cách chọn = =u v trong định nghĩa của , x chúng ta nhận đ- ợc x X kéo theo .y X Từ đó x x X với mọi x X và do đó . = U x x X x Suy ra x bão hòa .X Giả sử là một tơng đẳng bão hòa .X Theo Bổ đề 1.1.4, có . = U x X X x Giả thiết rằng x y và 1 , u v S là các phần tử tùy ý. Thế thì ux uy và .uxv uyv Từ đó uxv X nếu ,uyv X vì bão hòa .X Nh vậy ( ) x xy và do đó . x Vậy x là tơng đẳng lớn nhất trên S bão hòa .X 1.1.6. nh ngha. Giả sử là một tơng đẳng trên ,S và giả sử S/ { } /x x S = là tập hợp tất cả các lớp tơng đẳng của .S Khi đó tơng ứng ( ) , x y xy là một phép toán hai ngôi trên S/ và với phép toán đó, S/ trở thành một nửa nhóm đợc gọi là nửa nhóm thơng (của S modul ). Để chứng tỏ Định nghĩa 1.1.6 hợp lý, ta chỉ cần chứng tỏ phép toán hai ngôi xác định trong S/ nh trên có tính chất kết hợp. Thật vậy, với mọi , , ,x y z S ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . . .x y z x yz x yz xy z = = = ( ) ( ) . . . .xy z x y z = = 1.1.7. Ví dụ. a) Xét nửa nhóm { } , , ,=S a b e f e a f b 9 với bảng nhân bên cạnh. Khi đó e và f là các lũy đẳng, e là đơn vị của .S Giả sử là một quan hệ trên S khác quan hệ đồng nhất. Thế thì chỉ có f b và ,b f và là một tơng đẳng trên S với các lớp tơng đẳng { } { } ,x c ayy= = và { } , .=z f b Bảng nhân của nửa nhóm thơng S/ đợc cho bởi bảng thứ hai bên cạnh. e e a f b a a e b f f f b f b b b f b f x y z x x y z y y x z z z z z Tơng tự, quan hệ đối xứng 1 (với 1 S i ) sao cho 1 e a và 1 f b là một t- ơng đẳng. Nó chỉ có hai lớp tơng đẳng là { } ,e a và { } , ,f b do đó nửa nhóm th- ơng S/ là một nửa nhóm có hai phần tử. Quan hệ đối xứng 2 sao cho 2 a b không phải là một tơng đẳng, vì . =a a e và . =a b f trong S nhng ( ) 2 , .e f Trong trờng hợp này, 2 không tơng thích với tích của S : ( ) 2 , a b nhng ( ) 2 , .aa bb b) Nếu là một tơng đẳng của ( ) , ,= +ÂS thì n m kéo theo ( ) ( ) + +n k m k , . Âk Giả thiết rằng k là nguyên không âm nhỏ nhất sao cho ( ) +n n k với n nào đó thuộc . Nói riêng, 0 .k Ký hiệu m là số d còn lại của m đợc chia bởi k: 0 m m và m = m (modk). Khi đó m m. Điều ngợc lại cũng đúng, và nh vậy các tơng đẳng của ( ) ,+ thực chất là các tơng đẳng đã xét trong Lý thuyết số, bằng modk (k > 0). Bây giờ, ta chứng minh rằng các tơng đẳng của một nửa nhóm S đóng dới phép lấy giao. 1.1.8. Mệnh đề. i) Nếu { } / i i I là một họ các tơng đẳng của ,S thì = I i i I cũng là một tơng đẳng của .S ii) Giả sử S . S là một quan hệ trên .S Thế thì: c = { / là một t- ơng đẳng trên ,S } là tơng đẳng bé nhất của S chứa . 10 . Chơng 2 Sự phân tích nửa dàn các nửa nhóm Lý thuyết tng quát về sự phân tích nửa dàn của các nửa nhóm theo quan điểm đạt đợc định lý dạng: Một nửa nhóm S. nửa dàn (hợp) các nửa nhóm con ( ).S Ta dùng cách gọi tắt: S là một băng (nửa dàn) các nửa nhóm kiểu C, để chỉ S là hợp của một băng (nửa dàn) các nửa