ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN Nguyễn Đình Vũ KHƠNG GIAN HILBERT VÀ CHUỖI FOURIER KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP HỆ ĐẠI HỌC CHÍNH QUY Ngành: Sư phạm Toán học Người hướng dẫn: TS Lương Quốc Tuyển Đà Nẵng, năm 2017 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Lương Quốc Tuyển- người tận tình hướng dẫn để em hồn thành khóa luận Em xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Tốn, Đại học Sư Phạm- Đại học Đà Nẵng dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè ln bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt q trình học tập thực khóa luận tốt nghiệp Đà Nẵng, tháng 05 năm 2017 Sinh viên Nguyễn Đình Vũ Mục lục Cơ sở lý thuyết 1.1 Không gian véc-tơ 1.2 Không gian metric 1.3 Không gian định chuẩn 1.4 Cơ sở giải tích Khơng gian Hilbert 11 2.1 Tích vơ hướng không gian Hilbert 11 2.2 Tính trực giao 13 2.3 Tập trực chuẩn 16 2.4 Định lý biểu diễn Riesz 20 Chuỗi Fourier 23 3.1 Chuỗi Fourier với hệ thức lượng giác chu kì 2π 23 3.2 Tích phân Dirichlet 26 3.3 Sự hội tụ theo điểm 27 3.4 Sự hội tụ 34 3.5 Sự hội tụ L [−π, π] 36 LỜI MỞ ĐẦU David Hilbert (1862- 1943) nhà tốn học có ảnh hưởng rộng lớn kỉ 19 Một phát minh vĩ đại ông khái niệm không gian Hilbert, tảng giải tích hàm Các khơng gian Hilbert cho phép trực giác hình học áp dụng vào số không gian vô hạn chiều Ở đây, chúng cung cấp khung để hệ thống hóa tổng quát hóa khái niệm chuỗi Fourier theo hệ hàm số trực giao phép biến đổi Fourier, khái niệm trung tâm giải tích hàm Khơng gian Hilbert đóng vai trị quan trọng việc hình thức hóa tốn học học lượng tử, lý thuyết sóng nhỏ (wavelet), lý thuyết khơng gian Hilbert phương trình đạo hàm riêng, đặc biệt cơng thức hóa tốn Dirichlet Trong khóa luận em trình bày sơ lược khơng gian Hilbert mối liên hệ giải tích Fourier Bố cục khóa luận bao gồm chương: • Chương khóa luận hệ thống lại khái niệm, kiến thức không gian véc-tơ, không gian metric, không gian định chuẩn lý thuyết giải tích sở nhằm thuận tiện cho việc trình bày Chương Chương • Chương khóa luận tập trung trình bày khơng gian Hilbert, khái niệm tích vơ hướng định nghĩa khơng gian Hilbert, sau tính chất tính trực giao, tập trực chuẩn Định lý biểu diễn Riesz • Chương trình bày sơ lược chuỗi Fourier với hệ thức lượng giác chu kì 2π Các lý thuyết tích phân Dirichlet trình bày nhằm nghiên cứu số tính chất hội tụ theo điểm hội tụ hàm tuần hồn chu kì 2π với khai triển Fourier nó, phần cuối chương hội tụ không gian L2 [−π, π] Tuy nhiên, tập trung làm rõ mối liên hệ không gian Hilbert chuỗi Fourier nên nói sơ lược hệ hàm trực giao trực chuẩn đoạn đóng khơng định nghĩa chuỗi Fourier qua hệ hàm trực giao Trong chương này, số tính chất chuỗi Fourier áp dụng để tính cơng thức Euler quen thuộc giải tích sở Do thời gian thực khóa luận khơng nhiều, kiến thức cịn hạn chế nên làm khóa luận khơng tránh khỏi hạn chế sai sót Tác giả mong nhận góp ý ý kiến phản biện quý thầy cô bạn đọc Xin chân thành cảm ơn! Chương Cơ sở lý thuyết Chương trình bày số lý thuyết giải tích sở giải tích phục vụ cho việc chứng minh Chương Chương Tuy nhiên, có số định lý phức tạp liên quan đến hội tụ khả tích Lebesque, tơi xin phép bỏ qua trình bày chi tiết giáo trình hành 1.1 Không gian véc-tơ Định nghĩa 1.1.1 Cho K trường (thực hay phức) X = ∅ Khi X với phép cộng véc-tơ X × X → X phép nhân vơ hướng K × X → X gọi không gian véc-tơ trường K với x, y, z ∈ X α, β ∈ K, điều kiện sau thỏa mãn (i) (x + y) + z = x + (y + z) (ii) x + y = y + x (iii) Tồn véc-tơ khơng, có tính chất + x = x + (iv) Tồn véc-tơ −x, gọi véc-tơ đối x, cho x + (−x) = (−x) + x = (v) (αβ)x = α(βx) (vi) (α + β)x = αx + βx (vii) α(x + y) = αx + αy (viii) 1x = x Ta gọi phần tử X véc-tơ phần tử K phần tử vô hướng Định nghĩa 1.1.2 Cho X khơng gian véc-tơ trường K Khi tập khác rỗng X X gọi không gian không gian véc-tơ X (i) Với x, y ∈ X x + y ∈ X (ii) Với x ∈ X , α ∈ K αx ∈ X Định nghĩa 1.1.3 Hệ n véc-tơ {x1 , x2 , , xn } không gian véc-tơ X trường K gọi hệ độc lập tuyến tính từ đẳng thức α1 x1 + α2 x2 + + αn xn = kéo theo α1 = α2 = = αn = Định nghĩa 1.1.4 Hệ n véc-tơ {x1 , x2 , , xn } không gian véc-tơ X trường K gọi hệ phụ thuộc tuyến tính chúng khơng độc lập tuyến tính, tức tồn αi = cho α1 x1 + α2 x2 + + αn xn = Định nghĩa 1.1.5 Nếu không gian véc-tơ X trường K chứa n véc-tơ độc lập tuyến tính n + véc-tơ phụ thuộc tuyến tính ta nói X có số chiều n Kí hiệu dimX = n Nếu dimX = n với n ∈ N ∗ ta nói X vơ hạn chiều Mệnh đề 1.1.1 Cho X không gian véc-tơ trường K, giả sử dimX = n {x1 , x2 , , xn } hệ độc lập tuyến tính Khi với y ∈ X, y biểu diễn dạng y = n i=1 αi xi Chứng minh Với y ∈ X, dimX = n nên bổ sung y vào hệ {x1 , x2 , , xn } hệ {x1 , x2 , , xn , y} phụ thuộc tuyến tính Do tồn βi = cho β1 x1 + β2 x2 + + βn xn + βn+1 y = Giả sử βn+1 = 0, điều kéo theo β1 x1 + β2 x2 + + βn xn = Từ suy β1 = β2 = = βn = 0, mâu thuẫn với giả thiết Do βn+1 = 0, lúc này, với βi n ta suy y = i=1 αi xi i ∈ {1, 2, , n}, cần đặt αi = − βn+1 Biểu diễn dựa vào tính chất độc lập tuyến tính hệ Định nghĩa 1.1.6 Cho X, Y hai không gian véc-tơ trường K, ánh xạ f : X → Y gọi ánh xạ tuyến tính thỏa mãn hai điều kiện sau (i) Với x, y ∈ X, f (x + y) = f (x) + f (y) (ii)Với x ∈ X α ∈ K, f (αx) = αf (x) Nhận xét 1.1.1 Qua ánh xạ tuyến tính f , véc-tơ khơng X biến thành véc-tơ không Y , tức f (0x ) = 0y 1.2 Không gian metric Định nghĩa 1.2.1 Không gian metric cặp (X, d), X tập hợp, d : X ×X → R hàm số X × X thỏa mãn điều kiện sau (i) d(x, y) ≥ với x, y ∈ X d(x, y) = ⇔ x = y (ii) d(x, y) = d(y, x) với x, y ∈ X (iii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) với x, y, z ∈ X Khi d gọi metric X, phần tử d gọi điểm X, d(x, y) gọi khoảng cách hai điểm x y Định nghĩa 1.2.2 Ta nói dãy {xn } phần tử khơng gian metric (X, d) hội tụ đến phần tử x0 lim d(xn , x0 ) = Khi ta viết n→∞ lim xn = x0 xn → x0 n → ∞ n→∞ Nhận xét 1.2.1 Cho (X, d) khơng gian metric Khi (a) Dãy hội tụ (X, d) có giới hạn (b) Nếu lim xn = a lim yn = b lim d(xn , yn ) = d(a, b) n→∞ n→∞ n→∞ Chứng minh (a) Giả sử lim xn = a lim xn = b với a, b ∈ X Khi với n ∈ N ∗ , ta có n→∞ n→∞ d(a, b) ≤ d(a, xn ) + d(xn , b) Cho n → ∞ d(a, b) ≤ 0, kéo theo a = b Như vậy, dãy hội tụ khơng gian metric có giới hạn (b) Với n ∈ N ∗ , ta có d(a, b) ≤ d(a, xn ) + d(xn , yn ) + d(yn , b) Do d(a, b) − d(xn , yn ) ≤ d(a, xn ) + d(yn , b) Tương tự cách làm ta có d(xn , yn ) − d(a, b) ≤ d(a, xn ) + d(yn , b) Từ hai bất đẳng thức trên, ta suy |d(xn , yn ) − d(a, b)| ≤ d(a, xn ) + d(yn , b) với n ∈ N ∗ Như vậy, dựa vào tính hội tụ hai dãy số cho, dễ dàng thấy lim d(xn , yn ) = d(a, b) n→∞ Định nghĩa 1.2.3 Cho không gian metric (X, d), x0 ∈ X, r > Khi (i) B(x0 , r) = {x ∈ X/d(x, x0 ) < r} gọi hình cầu mở tâm x0 , bán kính r (ii)B (x0 , r) = {x ∈ X/d(x, x0 ) ≤ r} gọi hình cầu đóng tâm x0 , bán kính r (iii)Tập hợp G ⊂ X gọi mở ∀x0 ∈ G, ∃r > cho B(x0 , r) ⊂ G (iv) Tập hợp F ⊂ X gọi đóng F c = X \ F tập mở Định lý 1.2.1 (a) Hợp họ tập mở tập mở (b) Giao số hữu hạn tập mở tập mở Chứng minh (a) Giả sử {Gn } họ tập mở không gian metric X Ta chứng minh U = ∪∞ n=1 Gn tập mở Thật vậy, x ∈ U x thuộc Gn0 Vì Gn0 mở nên tồn hình cầu B(x, r) tâm x chứa Gn0 , B(x, r) chứa U Vậy U tập mở (b) Giả sử G1 , G2 , , Gn tập mở Ta chứng minh V = ∩ni=1 Gn tập mở Thật vậy, x ∈ V x ∈ Gi với i = 1, 2, , n Vì Gi mở nên tồn số dương ri cho B(x, ri ) ⊂ Gi , i = 1, , n Đặt r = {r1 , r2 , , rn } Khi hiển nhiên B(x, r) ⊂ Gi , với i = 1, 2, , n, nên B(x, r) ⊂ V Vậy V tập mở Định lý 1.2.2 (a) Giao họ tập đóng tập đóng (b) Hợp số hữu hạn tập đóng tập đóng Chứng minh (a) Giả sử {Fn } họ tập đóng khơng gian metric X Khi X \ ∩∞ n=1 Fn = ∞ ∗ ∪∞ n=1 (X \ Fn ) tập mở, X \ Fn tập mở, với n ∈ N Vậy ∩n=1 Fn tập đóng (b) Chứng minh tương tự Định nghĩa 1.2.4 Hợp tất tập mở nằm A gọi phần A, kí hiệu intA Giao tất tập đóng chứa A gọi bao đóng A kí hiệu A Nếu bao đóng tập A không gian metric X trùng với tồn khơng gian tập A gọi trù mật X Rõ ràng tập A trù mật không gian metric X với x ∈ X, với > 0, tồn a ∈ A cho d(a, x) < Định lý 1.2.3 Cho (X, d) không gian metric, F ⊂ X Khi đó, F đóng với {xn } ⊂ F mà lim xn = x0 x0 ∈ F n→∞ Chứng minh Giả sử F đóng, {xn } ⊂ F, xn → x0 x0 ∈ / F Điều suy X \ F mở x0 ∈ X \ F , nên tồn r > cho B(x0 , r) ⊂ X \ F Sử dụng lim d(xn , x0 ) = 0, ta chọn n đủ n→∞ lớn cho xn ∈ B(x0 , r) Do xn ∈ X \ F với n đủ lớn, mâu thuẫn với giả thiết Vì x0 ∈ F Ngược lại, giả sử dãy {xn } ⊂ F mà lim xn = x0 ta có x0 ∈ F Ta chứng minh F n→∞ đóng Thật vậy, giả sử ngược lại F khơng đóng, suy X \ F khơng mở Do tồn x0 ∈ X \ F cho với r > B(x0 , r) n ∈ N ∗ , tồn xn ∈ B(x0 , n1 ) X \ F , kéo theo B(x0 , r) ∩ F = ∅, với r dương Do với ∩ F Như ta tìm {xn } ⊂ F, xn → x0 x0 ∈ / F , mâu thuẫn với giả thiết Vì F đóng Định nghĩa 1.2.5 Cho (X, d), (Y, ρ) hai không gian metric Ánh xạ f : X → Y gọi liên tục điểm x0 với ε > 0, tồn δ > cho với x ∈ X mà d(x, x0 ) < δ, ta có ρ(f (x), f (x0 )) < ε Ánh xạ f gọi liên tục liên tục điểm x ∈ X Nhận xét 1.2.2 Cho (X, d), (Y, ρ) hai không gian metric, ánh xạ f : X → Y Khi đó, f liên tục x0 với {xn } ⊂ X mà lim d(xn , x0 ) = lim ρ(f (xn ), f (x0 )) = n→∞ n→∞ Chứng minh Cho x0 ∈ X, {xn } ⊂ X, lim d(xn , x0 ) = f liên tục x0 Ta cần chứng minh n→∞ lim ρ(f (xn ), f (x0 )) = Thật vậy, với n→∞ > 0, lim d(xn , x0 ) = nên tồn n0 ∈ N ∗ n→∞ cho với n > n0 d(xn , x0 ) < Dựa vào tính liên tục f x0 , suy ρ(f (xn ), f (x0 )) < , với n > n0 Do lim ρ(f (xn ), f (x0 )) = n→∞ Ngược lại, giả sử dãy {xn }, lim d(xn , x0 ) = lim ρ(f (xn ), f (x0 )) = Điều n→∞ n→∞ suy f liên tục x0 Thật vậy, f không liên tục x0 , tồn > cho với δ > 0, tồn x ∈ X mà d(x, x0 ) < δ ρ(f (xn ), f (x0 )) ≥ Do với n ∈ N ∗ , tồn xn ∈ X cho d(xn , x0 ) < ρ(f (xn ), f (x0 )) ≥ Suy lim d(xn , x0 ) = 0, nên theo giả thiết n→∞ n ta đưa đến lim ρ(f (xn ), f (x0 )) = Mặt khác, với n nguyên dương, ta có ρ(f (xn ), f (x0 )) ≥ , n→∞ nên ≥ (vơ lí) Định nghĩa 1.2.6 Cho (X, d) không gian metric, dãy {xn } ⊂ X gọi dãy Cauchy (hoặc dãy bản) lim d(xn , xm ) = Tức với n,m→∞ > 0, tồn n0 ∈ N ∗ cho với n, m > n0 d(xn , xm ) < Định nghĩa 1.2.7 Không gian metric (X, d) gọi đầy đủ dãy Cauchy X hội tụ Định lý 1.2.4 Mọi dãy hội tụ không gian metric (X, d) dãy Cauchy Chứng minh Cho {xn } ⊂ X, x ∈ X xn → x Do đó, với mỗi n > n0 , d(xn , x) < > 0, tồn n0 ∈ N ∗ cho với Điều suy d(xn , xm ) ≤ d(xn , x) + d(xm , x) < + = với n, m > n0 Như {xn } dãy Cauchy X 1.3 Không gian định chuẩn Định nghĩa 1.3.1 Cho X không gian véc-tơ trường K ánh xạ : X → R thỏa mãn điều kiện sau (i) x ≥ với x ∈ X x = ⇔ x = (ii) αx = |α| x với x ∈ X, α ∈ K (iii) x + y ≤ x + y với x, y ∈ X Khi gọi chuẩn X (X, ) gọi không gian định chuẩn Mệnh đề 1.3.1 Cho (X, ) khơng gian định chuẩn Khi d(x, y) = x − y metric X Chứng minh Dễ dàng kiểm tra dựa vào định nghĩa chuẩn metric Nhận xét 1.3.1 Cho (X, ) không gian định chuẩn Khi theo Mệnh đề 1.3.1, ta suy X không gian metric Do vậy, tính chất khơng gian metric với khơng gian định chuẩn Định nghĩa 1.3.2 Cho (X, ) không gian định chuẩn, {xn } ⊂ X Ta gọi chuỗi vơ hạn biểu thức có dạng x1 + x2 + + xn + (1.3.2) ∞ xn Với n ∈ N ∗ , đặt Sn = x1 + x2 + + xn , Sn Chuỗi (1.3.2) thường viết n=1 gọi tổng riêng thứ n chuỗi (1.3.2) Nếu tồn S ∈ X mà Sn → S hay Sn − S → chuỗi (1.3.2) gọi chuỗi hội tụ S gọi ∞ tổng chuỗi ta viết S = xn n=1 ∞ Chuỗi (1.3.2) gọi hội tụ tuyệt đối xn hội tụ n=1 Định lý 1.3.1 Trong không gian L2 [a, b] hàm bình phương khả tích đoạn [a, b], ta định nghĩa chuẩn hàm f ∈ L2 [a, b] công thức b f f (x)dx = a Khi L2 [a, b] không gian định chuẩn đầy đủ (không gian Banach) Định lý 1.3.2 Họ tất hàm liên tục đoạn [a, b] trù mật không gian L2 [a, b] 1.4 Cơ sở giải tích Định nghĩa 1.4.1 (Gián đoạn nhảy) Một hàm f gọi có gián đoạn nhảy x0 + f (x− ) = lim− f (x) f (x0 ) = lim+ f (x), x→x0 x→x0 + + − f (x− ) = f (x0 ) Giá trị f (x0 ) − f (x0 ) gọi bước nhảy f x0 Có thể xảy trường hợp hàm có giới hạn hai phía điểm không xác định điểm Một điểm có tính chất gọi gián đoạn tránh Ta giả thiết + gián đoạn tránh tránh cách đặt f (x0 ) = f (x− ) = f (x0 ) Định nghĩa 1.4.2 Một hàm gọi liên tục khúc (a, b) có số hữu hạn điểm gián đoạn nhảy (a, b) giới hạn trái b giới hạn phải a tồn Một hàm gọi trơn khúc (a, b) đạo hàm liên tục khúc (a, b) Hình 2: Chuỗi Fourier hàm f (x) = x2 n = 3.2 Tích phân Dirichlet Bổ đề 3.2.1 Cho Sn (x0 ) tổng riêng thứ n hàm f chu kì 2π x = x0 Khi Sn (x0 ) = 2π π f (x0 + u) −π sin(n + 21 )u du sin 21 u (2.9) Công thức (2.9) gọi tích phân dạng Dirichlet Sn (x0 ) hàm số Dn (u) = sin(n + 21 )u (n = 0, 1, 2, ) sin 21 u (2.10) gọi hạch Dirichlet Khi đưa hạch vào công thức (2.9) ta Sn (x0 ) = 2π π f (x0 + u)Dn (u)du −π Hình 3: Hạch Dirichlet n = 26 (2.11) Chứng minh Ta có n A0 + (Am cos mx0 + Bm sin mx0 ) m=1 Sn (x0 ) = (2.12) với Am = π π f (t) cos mtdt Bm = −π π π f (t) sin mtdt −π Khi giá trị vào (2.12) ta nhận Sn (x0 ) = = π π π −π 1 f (t)dt + π π n n π m=1 −π (f (t) cos mt cos mx0 + f (t) sin mt sin mx0 )dt f (t)[ + cos m(t − x0 )]dt m=1 −π Bằng cách thay u = t − x0 , ta có Sn (x0 ) = n π−x0 f (x0 + u)( + cos mu)du m=1 −π−x0 π (2.13) Do hàm f có chu kì 2π nên f (x0 + u) coi hàm u có chu kì 2π, biểu thức dấu tích phân (2.13) có chu kì 2π Hơn khoảng lấy tích phân (−π − x0 , π − x0 ) có độ dài 2π nên ta có Sn (x0 ) = π n π f (x0 + u)( + cos mu)du m=1 −π Để ý n sin(n + 21 )u + cos mu = m=1 sin 21 u (2.14) Ở đây, công thức (2.9) với u = ta thay vế phải giá trị giới hạn biểu thức u → Như vậy, thay giá trị vế phải (2.14) vào (2.13), ta công thức (2.9) Bổ đề 3.2.2 Với n ∈ N ta có π 2π Dn (u)du = (2.15) −π Chứng minh Nhân hai vế đẳng thức (2.14) với lấy tích phân hai vế ta π Dn (u)du = 2π −π Do (2.15) hiển nhiên 3.3 Sự hội tụ theo điểm Định nghĩa 3.3.1 ∞ Một tập hàm {gn }n=0 xác định khả tích đoạn đóng [a, b] gọi hệ trực giao đoạn 27 b g (x)gn (x)dx a m Nếu thêm vào đó, b g (x)dx a n = m = n b g (x)dx a n > với n ∈ N ∞ = với n ∈ N , họ hàm {gn }n=0 gọi hệ trực chuẩn đoạn [a, b] Chẳng hạn, hệ lượng giác chu kì 2π hệ trực giao đoạn [−π, π] Hơn dễ thấy 1 1 1 √ , √ sin x, √ cos x, √ sin 2x, √ cos 2x, , √ sin nx, √ cos nx, π π π π π π 2π hệ trực chuẩn [−π, π] Ta gọi hệ lượng giác trực chuẩn Nhận xét 3.3.1 Hệ lượng giác 1 1 1 √ , √ sin x, √ cos x, √ sin 2x, √ cos 2x, , √ sin nx, √ cos nx, π π π π π π 2π hệ trực chuẩn không gian L2 [−π, π] Hơn nữa, sử dụng bất đẳng thức Bessel cho hàm f ∈ L2 [−π, π] ta có ∞ π c2n ≤ f (x)dx −π n=0 Ở f, √ 2π c0 = =√ 2π π f (x)dx −π c2n−1 = f, √ sin nx π =√ π π −π f, √ cos nx π f (x) sin nxdx, c2n = =√ π π −π f (x) cos nxdx (n = 1, 2, 3, ) Bất đẳng thức vừa thu kéo theo ∞ 1 A + A2 + Bn2 ≤ n=1 n π π f (x)dx (2.16) −π Ở An Bn hệ số Fourier thông thường f Nhận xét 3.3.2 Vế trái (2.16) chuỗi vô hạn hội tụ, nên hạng tử tổng quát A2n +Bn2 → n → ∞ Do An → Bn → n → ∞ Như vậy, với hàm liên tục khúc f (−π, π) ta thấy n→∞ π π lim Khi hàm n→∞ π n→∞ π π f (x) sin nxdx = lim −π f (x) cos nxdx = −π 1 1 f (x) cos( x) f (x) sin( x) liên tục khúc (−π, π) Do 2 2 π lim −π 1 f (x) cos( x) sin nxdx = 2 n→∞ π π lim −π 1 f (x) sin( x) cos nxdx = 2 Kéo theo n→∞ 2π lim π f (x) sin(n + )xdx = −π 28 (2.17) Chú ý 3.3.1 Ta biết tổng riêng thứ n hàm f chu kì 2π x = x0 có biểu thức π 2π Sn (x0 ) = f (x0 + u)Dn (u)du −π Hơn nữa, từ Bổ đề 3.2.2 ta suy f (x0 ) = 2π π f (x0 )Dn (u)du −π Như ta có biểu thức sau Sn (x0 ) − f (x0 ) = π 2π [f (x0 + u) − f (x0 )]Dn (u)du −π Bằng cách định nghĩa hàm f (x0 + u) − f (x0 ) sin( u) dựa vào định nghĩa hạch Dirichlet Dn công thức (2.10), ta suy Φ(u) = 2π Sn (x0 ) − f (x0 ) = π Φ(u) sin(n + )udu −π (2.18) Bổ đề 3.3.1 Giả sử f hàm liên tục khúc với chu kì 2π Khi Φ liên tục khúc khoảng (−π, −δ) (δ, π), với số < δ < π Chứng minh Ta có Φ = g1 g2 với g1 (u) = f (x0 + u) − f (x0 ) g2 (u) = sin( 21 u) Dễ dàng thấy g2 liên tục khúc hai khoảng (−π, −δ) (δ, π) Hơn nữa, ta lại có f liên tục khúc khoảng (−π, −δ) (δ, π) nên g1 liên tục khúc hai khoảng Do Φ tích hai hàm liên tục khúc nên liên tục khúc (−π, −δ) (δ, π) Bổ đề 3.3.2 Với số < δ < π ta có n→∞ 2π −δ lim −π 1 Φ(u) sin(n + )udu = lim n→∞ 2π π δ Φ(u) sin(n + )udu = Chứng minh Ta xét hàm g cho g(u) =   Φ(u) − π ≤ u ≤ −δ  0 − δ < u ≤ π Vì Φ liên tục khúc (−π, −δ) nên g liên tục khúc (−π, π) Do áp dụng (2.17) cho hàm g thay f ta nhận n→∞ 2π lim π g(u) sin(n + )udu = −π Do định nghĩa hàm g hàm Φ khoảng (−π, −δ) nên ta suy n→∞ 2π −δ lim −π Φ(u) sin(n + )udu = Tương tự ta chứng minh giới hạn thứ hai 29 Định lý 3.3.1 Giả sử hàm f liên tục khúc với chu kì 2π Nếu f khả vi x0 chuỗi Fourier f x0 hội tụ tới f (x0 ) Chứng minh Tách tích phân cơng thức (2.18) thành phần Sn (x0 ) − f (x0 ) = 2π = 2π + + 2π 2π π Φ(u) sin(n + )udu −π −δ −π δ Φ(u) sin(n + )udu Φ(u) sin(n + )udu −δ π Φ(u) sin(n + )udu δ Do f khả vi f (x0 ) nên ta có f (x0 + u) − f (x0 ) u lim = 2f (x0 ) u→0 sin( u) u→0 u lim Φ(u) = lim u→0 Do tồn δ1 > cho với < |u| < δ1 < π ta có |Φ(u) − 2f (x0 )| < Kéo theo |Φ(u)| = |Φ(u) − 2f (x0 ) + 2f (x0 )| ≤ |Φ(u) − 2f (x0 )| + |2f (x0 )| < + |2f (x0 )| Lúc ta đặt M = + |2f (x0 )| với n ∈ N ta có 2π δ1 Φ(u) sin(n + )udu −δ1 ≤ ≤ ≤ Như vậy, với 2π δ1 −δ1 δ1 |Φ(u)| du 2π −δ1 δ1 M π > 0, ta chọn δ đủ bé cho δ < δ1 2π Φ(u) sin(n + )u du δ M < với n ∈ N ta có π δ Φ(u) sin(n + )udu < −δ Từ Bổ đề 3.3.2 ta suy tồn n0 ∈ N ∗ cho với n > n0 ta có 2π 2π −δ −π π δ Φ(u) sin(n + )udu < ; Φ(u) sin(n + )udu < 30 Như vậy, cho dương tùy ý, ta tồn n0 ∈ N ∗ cho với n > n0 |Sn (x0 ) − f (x0 )| < + + = Do lim Sn (x0 ) = f (x0 ) n→∞ Chú ý 3.3.2 Để ý điểm mấu chốt chứng minh tồn δ đủ bé cho |Φ(u)| < M với < |u| < δ < π Như vậy, ta giả thiết hàm f liên tục khúc với chu kì 2π thỏa mãn điều kiện vừa nêu x0 , chuỗi Fourier f x0 hội tụ tới f (x0 ) Định nghĩa 3.3.2 Hàm f gọi thỏa mãn điều kiện Lipschitz cấp x0 , tồn C > cho với u lân cận thủng x0 ta có |f (x0 + u) − f (x0 )| < C |u| Hệ 3.3.1 Nếu hàm f liên tục khúc với chu kì 2π thỏa mãn điều kiện Lipschitz cấp x0 chuỗi Fourier f x0 hội tụ tới f (x0 ) Chứng minh Theo giả thiết ta suy tồn C > δ1 > cho với < |u| < δ1 < π f (x0 + u) − f (x0 ) < C u u hội tụ nên bị chặn lân cận thủng điểm Tức tồn sin( 12 u) C > δ2 > cho với < |u| < δ2 < π Mặt khác, hàm u nhỏ δ1 δ2 , lúc với < |u| < δ < π ta có |Φ(u)| = f (x0 + u) − f (x0 ) u < CC u sin( 21 u) Khi đó, Chú ý 3.3.2 chuỗi Fourier f x0 hội tụ tới f (x0 ) Ví dụ 3.3.1 Cho f (x) = x khoảng (−π, π) Khi mở rộng tuần hồn f liên tục khúc với chu kì 2π khả vi tất giá trị x không bội nguyên lẻ π Do chuỗi Fourier hàm f hội tụ tới mở rộng tuần hoàn hàm f tất giá trị x Nói riêng với x ∈ (−π, π) ta có ∞ (−1)n+1 sin nx n n=1 x=2 31 Định lý 3.3.2 Nếu f hàm chu kì 2π trơn khúc chuỗi Fourier hội tụ với với giá trị x Nếu x = x0 điểm liên tục f chuỗi Fourier hội tụ tới f (x0 ), nghĩa ∞ A0 + [An cos nx0 + Bn sin nx0 ] = f (x0 ) n=1 Nếu x = x0 điểm gián đoạn hàm f chuỗi Fourier f hội tụ tới giá trị trung bình giới hạn phải giới hạn trái x0 , nghĩa ∞ 1 − A0 + [An cos nx0 + Bn sin nx0 ] = [f (x+ ) + f (x0 )] 2 n=1 Chứng minh Giả sử f hàm trơn khúc có chu kì 2π, theo Định lý 3.3.1 ta biết điểm x0 mà hàm f khả vi ∞ A0 + [An cos nx0 + Bn sin nx0 ] = f (x0 ) n=1 Điều f (x0 ) không tồn tại, f liên tục điểm Thật vậy, f liên tục khúc nên tồn giới hạn phía − f (x+ ) = lim+ f (x0 ) f (x0 ) = lim− f (x0 ) x→x0 x→x0 Do đó, theo cơng thức L’Hơpital ta có lim Φ(u) = lim u→0+ u→0+ f (x0 + u) − f (x0 ) f (x0 + u) = lim = 2f (x+ ) 1 + u→0 sin( u) cos( u) 2 Tương tự ta có lim Φ(u) = 2f (x− ) u→0− Do Φ(u) dần tới giới hạn hữu hạn u dần tới hai phía, nên suy Φ(u) bị chặn u gần Do đó, theo Chú ý 3.3.2, chuỗi Fourier f hội tụ tới f (x0 ) Như vậy, ta cần kiểm tra hội tụ chuỗi Fourier điểm gián đoạn Nếu x0 điểm gián đoạn f , ta chứng minh lim Sn (x0 ) = n→∞ − [f (x+ ) + f (x0 )] Từ công thức (2.9) ta biểu diễn Sn (x0 ) thành tổng hai tích phân Sn (x0 ) = Sn+ (x0 ) + Sn− (x0 ) với   Sn+ (x0 ) = 2π π  S − (x0 ) n = 2π −π f (x0 + u)Dn (u)du f (x0 + u)Dn (u)du 32 Ta Sn+ (x0 ) dần đến f (x+ ) n → ∞ Thật vậy, Dn hàm chẵn nên theo Bổ đề 3.2.2 ta suy π 1 = 2π Dn (u)du Do π 1 f (x+ 0)= 2π f (x+ )Dn (u)du Điều dẫn đến đẳng thức sau π 1 Sn+ (x0 ) − f (x+ 0)= 2π Φ1 (u) sin(n + )udu (2.19) với Φ1 (u) = f (x0 + u) − f (x+ 0) sin( u) Sử dụng quy tắc L’Hơpital ta có lim Φ1 (u) = lim+ u→0+ u→0 f (x0 + u) = 2f (x+ ) 1 cos( u) 2 Từ ta suy Φ1 (u) bị chặn lân cận thủng điểm Để ý trường hợp ta tách tích phân cơng thức (2.19) thành hai tích phân khoảng (0, δ) (δ, π) Khi cách lập luận tương tự Định lý 3.3.1 Chú ý 3.3.2 ta suy lim Sn+ (x0 ) = f (x+ ) lim Sn− (x0 ) = f (x− ) n→∞ Tương tự ta có n→∞ Như vậy, kết hợp hai đẳng thức ta suy lim Sn (x0 ) = lim [Sn+ (x0 ) + Sn− (x0 )] = n→∞ n→∞ 1 − f (x+ ) + f (x0 ) 2 Vậy Định lý chứng minh đầy đủ Ví dụ 3.3.2 Giả sử f (x) = |x| (−π, π) Khi mở rộng tuần hồn f trơn khúc với chu kì 2π liên tục tất giá trị x Như chuỗi Fourier hàm f hội tụ tới mở rộng tuần hoàn f điểm x, điểm bội π mà mở rộng tuần hồn f khơng khả vi Nói riêng với x ∈ [−π, π] ta có |x| = π − π Ví dụ 3.3.3 Giả sử hàm f cho   −π/2 f (x) =  π/2 ∞ cos(2n − 1)x (2n − 1)2 n=1 − π < x < < x < π 33 Mở rộng tuần hoàn hàm trơn khúc với chu kì 2π liên tục tất điểm không bội π Như chuỗi Fourier hàm f hội tụ tới mở rộng tuần hoàn f điểm x khơng bội π Nói riêng với x ∈ (−π, π) ta có f (x) = sin x + sin 3x sin 5x + + Tại điểm gián đoạn fp , chuỗi Fourier hội tụ tới giá trị trung bình giới hạn phải giới trái, trường hợp giá trị trung bình Hình 4: f (x) = sin x + sin 3x sin 5x sin 7x + + Ví dụ 3.3.4 Giả sử f (x) = x2 khoảng (−π, π) Ta thấy x = π điểm liên tục mở rộng tuần hoàn fp , ∞ π2 = π2 (−1)n +4 cos nπ n2 n=1 Điều dẫn đến công thức Euler quen thuộc mà ta biết giải tích sở ∞ π2 = n n=1 3.4 Sự hội tụ Bổ đề 3.4.1 (Bất đẳng thức Schwarz) Cho f g hàm liên tục khúc khoảng (a, b) Khi b b f (x)g(x)dx ≤ a b 2 f (x)dx g (x)dx a a m m Bổ đề 3.4.2 (Bất đẳng thức Cauchy) Cho {an }n=1 {bn }n=1 hai dãy hữu hạn số thực Khi m n=1 34 m a2n an bn ≤ n=1 m b2n n=1 Định lý 3.4.1 Cho f hàm tuần hồn chu kì 2π liên tục trơn khúc Khi chuỗi Fourier hàm f hội tụ tới f toàn đường thẳng thực Chứng minh Với n ≥ ta có |An cos nx + Bn sin nx| ≤ |An | + |Bn | ∞ (|An | + |Bn |) hội tụ Từ theo tiêu chuẩn Weierstrass, chuỗi Fourier Ta chuỗi n=1 hàm f hội tụ Theo giả thiết f liên tục khúc Nếu gọi An Bn hệ số Fourier hàm f ta có A0 = π π f (x) π f (x)dx = −π π =0 −π tính tuần hồn hàm f Bằng cách sử dụng cơng thức tích phân phần, ta có An π π = f (x) cos nxdx −π π f (x) cos nx π = −π f (x) sin nxdx −π π n π = π n π + f (x) sin nxdx = nBn −π Như An = nBn tính tốn tương tự, ta có Bn = −nAn Với m ∈ N ∗ , áp dụng bất đẳng thức Cauchy công thức (2.16) cho hàm f ta m m m [|An | + |Bn |] = n=1 1 |An | + |B | n n n n=1 n=1 m ≤ n n=1 m ≤ n2 n=1 ∞ ≤ n n=1 ∞ ≤ n n=1 2 m |An | n=1 2 m + n n=1 m |Bn | n=1 m 2 2 |An | + |Bn | n=1 2 ∞ |An | + |Bn | n=1 2 π π f (x)dx −π Khi m → ∞ ta ∞ ∞ (|An | + |Bn |) ≤ n n=1 n=1 2 π π f (x)dx −π Do theo tiêu chuẩn Weierstrass, chuỗi Fourier f ∞ A0 + [An cos nx + Bn sin nx] n=1 hội tụ toàn trục thực Hơn f liên tục trơn khúc nên chuỗi Fourier f hội tụ tới f tồn đường thẳng thực 35 Ví dụ 3.4.1 Giả sử f (x) = x2 (−π, π) Khi mở rộng tuần hồn f trơn khúc liên tục tất giá trị x Như chuỗi Fourier hàm f hội tụ tới mở rộng tuần hoàn f toàn trục thực 3.5 Sự hội tụ L2 [−π, π] Nhận xét 3.5.1 Như ta biết không gian hàm bình phương khả tích L2 [−π, π] khơng gian Hilbert với tích vơ hướng hai hàm f, g ∈ L2 [−π, π] π f, g = f (x)g(x)dx −π chuẩn π f f (x)dx f, f = = −π ∞ Nếu {gn }n=0 hệ sở L2 [−π, π] theo Đẳng thức Parseval ta có ∞ f 2 | f, gn | = n=0 Định lý 3.5.1 Hệ lượng giác 1 1 1 √ , √ sin x, √ cos x, √ sin 2x, √ cos 2x, , √ sin nx, √ cos nx, π π π π π π 2π hệ sở không gian Hilbert L2 [−π, π] Chứng minh Thật vậy, theo Nhận xét 3.3.1 hệ lượng giác cho hệ trực chuẩn Như vậy, ta cần kiểm tra thêm tính đầy đủ định lý hồn tồn chứng minh Muốn thế, dựa vào Định lý 2.3.4, cần chứng minh hệ tuyến tính trù mật L2 [−π, π] Cho hàm f (x) ∈ L2 [−π, π] Theo Định lý 1.3.2, tính trù mật họ hàm liên tục không gian này, ta tìm hàm g(x) liên tục cho f − g < Sau theo Định lý 1.4.3 (Weierstrass) tồn đa thức lượng giác Sn (x) = a0 + n (ak cos kx + bk sin kx) k=1 cho max |g(x) − Sn (x)| < √ 2π −π≤x≤π Do π g − Sn (g(x) − Sn (x))2 dx = < −π Khi ta có f − Sn ≤ f −g Như hàm f ∈ L2 [−π, π] với f − Sn 2 + g − Sn < + = > tìm đa thức lượng giác Sn cho < , chứng tỏ họ đa thức lượng giác trù mật L2 [−π, π] Nhưng đa 36 thức lượng giác tổ hợp tuyến tính hàm hệ trực chuẩn Vậy hệ tuyến tính trù mật L2 [−π, π] hệ sở không gian Hệ 3.5.1 Chuỗi Fourier hàm f ∈ L2 [−π, π] hội tụ bình phương trung bình f theo nghĩa π f (x) − lim n→∞ −π n A0 + dx = (Ak cos kx + Bk sin kx) k=1 Chứng minh Thật vậy, hệ lượng giác sở không gian L2 [−π, π] nên với f ∈ L2 [−π, π], sử dụng Định lý 2.3.4 Nhận xét 3.3.1, ta suy ∞ A0 + [An cos nx + Bn sin nx] n=1 f (x) =L2 Ở An Bn hệ số Fourier f Như vậy, f chuỗi Fourier hầu khắp nơi L2 [−π, π] nên ∞ A0 + [An cos nx + Bn sin nx] n=1 f (x) − = Do π f (x) − lim n→∞ A0 + −π A0 + f (x) − = lim n→∞ n (Ak cos kx + Bk sin kx) dx k=1 n [Ak cos kx + Bk sin kx] = k=1 Hệ 3.5.2 Nếu f hàm liên tục khúc (−π, π) chuỗi Fourier lấy tích phân từ, tức π f (x)dx = −π ∞ π n=1 −π π A0 dx + −π (An cos nx + Bn sin nx) dx (2.20) Chứng minh Theo bất đẳng thức Schwarz ta suy π f (x)dx − −π π f (x) − = −π π 12 dx ≤ −π = √  2π    A0 + 2 −π −π (Ak cos kx + Bk sin kx) dx (Ak cos kx + Bk sin kx) dx k=1 −π −π k=1 n f (x) − f (x) − π A0 dx + π π n π A0 + A0 + 2 n (Ak cos kx + Bk sin kx)  21 dx k=1 n (Ak cos kx + Bk sin kx)  21 dx k=1 Khi n tiến đến ∞, Hệ 3.5.1 nói biểu thức cuối bất đẳng thức dần Do ta có hệ thức (2.20) 37 Hệ 3.5.3 Sử dụng công thức Nhận xét 3.3.1, Nhận xét 3.5.1 Định lý 3.5.1 ta thấy với f ∈ L2 [−π, π] ∞ A0 + A2n + Bn2 = π n=1 π f (x)dx (2.21) −π Ở An Bn hệ số Fourier thông thường f Ví dụ 3.5.1 Cho f (x) = x2 khoảng (−π, π) Khi f ∈ L2 [−π, π] ∞ f (x) ∼ π2 (−1)n cos nx +4 n2 n=1 Ở thật chuỗi Fourier hàm f hội tụ f [−π, π], ta không sử dụng điều mà cần quan tâm đến hệ số Fourier hàm f Như vậy, theo công thức (2.21) ta có Kéo theo 2π ∞ + n=1 4.(−1)n n2 ∞ π4 = n 90 n=1 38 = π π x4 dx −π KẾT LUẬN Đóng góp khóa luận bao gồm: Hệ thống lại số kiến thức không gian véc-tơ, không gian metric, không gian định chuẩn giải tích sở Trình bày khái niệm chứng minh chi tiết tính chất khơng gian Hilbert Trình bày chứng minh chi tiết vấn đề chuỗi Fourier qua hệ thức lượng giác chu kì 2π Tuy nhiên thời gian thực khóa luận khơng nhiều nên cịn có sai sót, em mong nhận góp ý q thầy bạn đọc 39 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Nhụy, Giáo trình Giải tích Fourier, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội (2015) [2] Hoàng Tụy, Hàm thực Giải tích hàm, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội (2005) [3] John B Conway, A Course in Functional Analysis, University of Tennessee, New York (2001) [4] K Saxe, Beginning Functional Analysis, Springer Verlg, NewYork (2001) [5] J S Walker, Fourier Analysis, Oxford University Press, NewYork (1988) 40 ... sơ lược không gian Hilbert mối liên hệ giải tích Fourier Bố cục khóa luận bao gồm chương: • Chương khóa luận hệ thống lại khái niệm, kiến thức không gian véc-tơ, không gian metric, không gian định... Chương Không gian Hilbert Không gian Hilbert dạng tổng qt hóa khơng gian Euclide mà khơng bị giới hạn vấn đề hữu hạn chiều Chúng cung cấp khung để hệ thống hóa tổng quát hóa khái niệm chuỗi Fourier. .. x0 y0 Định nghĩa 2.1.2 (Không gian Hilbert) Không gian véc-tơ H trường K gọi không gian Hilbert thỏa mãn điều kiện sau (i) H trang bị tích vơ hướng ·, · (ii) H khơng gian tuyến tính định chuẩn