ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM −−− −−− KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài: CHUỖI FOURIER VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Sinh viên thực hiện: LÊ KHÁNH LINH Giảng viên hướng dẫn: TS LÊ HỒNG TRÍ Chun ngành: Sư phạm Toán Lớp: 15ST Đà Nẵng 2019 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM −−− −−− KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài: CHUỖI FOURIER VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Sinh viên thực hiện: LÊ KHÁNH LINH Giảng viên hướng dẫn: TS LÊ HỒNG TRÍ Chun ngành: Sư phạm Toán Lớp: 15ST Đà Nẵng 2019 LỜI CẢM ƠN Lời khóa luận tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS Lê Hồng Trí tận tình hướng dẫn tác giả suốt trình thực để tác giả hồn thành khóa luận Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất thầy giáo tận tình dạy bảo tác giả suốt thời gian học tập Khoa Toán Đồng thời, tác giả xin gửi lời cảm ơn đến bạn lớp 15ST nhiệt tình giúp đỡ tác giả trình học tập lớp Tác giả Lê Khánh Linh MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Chuỗi số thực 1.1.1 Các định nghĩa 1.1.2 Phần dư chuỗi số 1.1.3 Tính chất 1.1.4 Tiêu chuẩn hội tụ 1.1.5 Chuỗi số dương 1.1.6 Các dấu hiệu hội tụ 1.1.7 Chuỗi đan dấu 1.1.8 Chuỗi số 1.2 Chuỗi hàm số 10 1.2.1 Dãy hàm số 10 1.2.2 Chuỗi hàm số 12 1.2.3 Chuỗi hàm số hội tụ 12 1.2.4 Tính chất tổng chuỗi hàm 13 CHƯƠNG CHUỖI FOURIER VÀ TÍNH CHẤT 15 2.1 Chuỗi lượng giác 2.2 Chuỗi Fourier 15 17 2.3 Công thức Dirichlet 23 2.4 Dạng khai triển Fourier [−l, l] 27 CHƯƠNG ỨNG DỤNG KHAI TRIỂN MỘT SỐ HÀM SỐ THÀNH CHUỖI FOURIER 31 KẾT LUẬN 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO 45 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Giải tích ngành quan trọng toán học mang nhiều ứng dụng thực tế sống Trong sống gặp nhiều tượng có tính chất quay vịng, chu kì Tốn học gọi vấn đề liên quan đến khái niệm hàm số tuần hồn Từ xuất khái niệm chuỗi Fourier hàm số khai triển số hàm số thành chuỗi Fourier Bởi lý với định hướng thầy giáo TS Lê Hồng Trí, chúng tơi định nghiên cứu chọn đề tài “Chuỗi Fourier Một số ứng dụng” làm đề tài khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Nhằm hiểu thấu đáo tính chất chuỗi Fourier, tính hội tụ chuỗi, tính chất hệ số Fourier - Nghiên cứu điều kiện để khai triển hàm số thành chuỗi Fourier - Hệ thống hóa số kiến thức chuỗi Fourier cách khai triển số hàm số thành chuỗi Fourier Nghiên cứu sâu chuỗi Fourier, từ làm sở hình thành nên số khái niệm tính chất giải tích Đối tượng nghiên cứu Chuỗi Fourier số hàm số khai triển Fourier Phạm vi nghiên cứu Trong khuôn khổ khóa luận nghiên cứu chuỗi Fourier cách khai triển số hàm số thường gặp thành chuỗi Fourier Phương pháp nghiên cứu Chúng sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết trình thực đề tài Trước tiên, chúng tơi thu thập báo khoa học tác giả trước liên quan đến chuỗi Fourier, đọc nghiên cứu tài liệu, phân tích, tổng hợp kiến thức Sau chúng tơi trao đổi, thảo luận với bạn bè, giáo viên hướng dẫn, qua tổng hợp kiến thức trình bày theo đề cương nghiên cứu, thực kế hoạch hồn thành khóa luận Ý nghĩa khoa học thực tiễn Khóa luận trình bày hệ thống kiến thức: từ kiến thức sở đến mở rộng chuỗi chuyên sâu môn giải tích, cụ thể chuỗi Fourier Hơn nữa, khóa luận tổng hợp nghiên cứu số tính chất chuỗi Fourier khai triển số hàm số thành chuỗi Fourier Cấu trúc khóa luận Nội dung khóa luận trình bày chương Ngồi ra, khóa luận có Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết luận Tài liệu tham khảo Chương Trình bày, hệ thống hóa số kiến thức như: Chuỗi số, chuỗi hàm số, chuỗi lượng giác làm sở cho chương sau Các nội dung kiến thức phát biểu mà không chứng minh Chương Chương trình bày số khái niệm, định nghĩa chuỗi Fourier Đồng thời nghiên cứu tính hội tụ chuỗi Fourier nghiên cứu số điều kiện để khai triển số hàm số thành chuỗi Fourier Trên sở đó, chương cung cấp định nghĩa khai triển hàm số thành chuỗi Fourier, khai triển Fourier tổng quát hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π Dựa vào để tính tổng chuỗi Fourier Chương Chương trình bày số tốn có lời giải khai triển số hàm số thành chuỗi Fourier CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT Trong chương này, trình bày định nghĩa, tính chất chuỗi số thực chuỗi hàm số, tạo tiền đề cho phần trình bày nghiên cứu chương sau 1.1 Chuỗi số thực 1.1.1 Các định nghĩa Định nghĩa 1.1.1 Giả sử {un }+∞ n=1 dãy số thực Ta gọi +∞ u1 + u2 + + un + = un (1.1) n=1 Chuỗi số thực (hay Chuỗi số ) n Định nghĩa 1.1.2 Ta gọi Sn = uk tổng riêng thứ n chuỗi số k=1 (1.1) Nếu lim Sn = S ∈ R n→+∞ +∞ ta nói chuỗi số (1.1) hội tụ có tổng S Ta viết S = un n=1 Trường hợp ngược lại, không tồn lim Sn lim Sn = ∞ n→+∞ n→+∞ chuỗi số (1.1) gọi Chuỗi phân kì Ví dụ 1.1.3 +∞ (1) Chuỗi số n=1 hội tụ có tổng tổng riêng thứ n chuỗi 2n Sn = 1 1 + + + n = − n 2 Do lim Sn = lim n→+∞ n→+∞ 1− 2n =1 +∞ n phân kì tổng riêng thứ n chuỗi (2) Chuỗi n=1 Sn = + + + + n = n(n + 1) n(n + 1) = +∞ n→+∞ Do lim Sn = lim n→+∞ 1.1.2 Phần dư chuỗi số Giả sử chuỗi số (1.1) hội tụ S tổng Khi ta gọi Rn = S − Sn phần dư thứ n chuỗi số (1.1) Chú ý Nếu chuỗi số (1.1) hội tụ có tổng S lim Rn = lim (S − Sn ) = n→+∞ n→+∞ 1.1.3 Tính chất +∞ +∞ un chuỗi số Tính chất 1.1 Giả sử chuỗi số n=1 hội tụ có n=1 tổng tương ứng I J Khi +∞ (un ± ) hội tụ có tổng tương ứng I ± J (i) Chuỗi số n=1 +∞ (ii) Nếu k ∈ R số chuỗi số kun hội tụ có tổng kI n=1 Tính chất 1.2 Trong chuỗi, ta thêm vào bớt số hữu hạn số hạng mà khơng làm thay đổi tính hội tụ hay phân kì 31 CHƯƠNG ỨNG DỤNG KHAI TRIỂN MỘT SỐ HÀM SỐ THÀNH CHUỖI FOURIER Bài tốn Cho hàm số f tuần hồn với chu kì 2π xác định f (x) = x với x ∈ (−π, π) , f (π) = Lời giải Vì f hàm số lẻ nên ta có π a0 = π xdx = −π π an = π x cos nxdx = 0, ∀n ∈ R −π π bn = π x sin nxdx = (−1)n−1 , ∀n ∈ R n −π Hàm số f thỏa mãn điều kiện định lí Dini Chuỗi Fourier hàm f +∞ sin nx (−1)n−1 n n=1 Khi −π < x < π ta có +∞ (−1)n−1 n=1 sin nx f (x + 0) + f (x − 0) = = x n Khi x = ±π ta có +∞ (−1)n−1 n=1 sin nx f (π + 0) + f (π − 0) = = n 32 Khi x = π ta có +∞ (−1)n−1 nπ = π n sin n=1 Do ta tính tổng +∞ n=1 (−1)n π = 2n + Bài toán Khai triển chuỗi Fourier hàm tuần hồn với chu kì 2π xác định công thức f (x) = x2 đoạn [−π, π] Hãy tìm chuỗi Fourier hàm f Từ chứng minh +∞ +∞ +∞ π (−1)n π2 π4 = ; =− ; = 2 n n 12 n 90 n=1 n=1 n=1 Lời giải Hàm f hàm chẵn, liên tục R, hệ số Fourier bn = 0, ∀n ≥ π a0 = π π x2 dx = π −π π an = π 2π 3 x2 dx = π f (x) cos nxdx = π −π x2 cos nxdx = (−1)n n2 −π Vậy chuỗi Fourier hàm f +∞ π2 (−1)n +4 cos nx n n=1 Mặt khác, hàm f liên tục, thỏa mãn điều kiện định lí Dini nên tổng chuỗi Fourier điểm R, +∞ π2 (−1)n f (x) = +4 cos nx, ∀x ∈ R n n=1 +∞ π2 Tại x = π, f (π) = π = +4 Từ ta suy n n=1 +∞ n=1 π = n2 33 +∞ Nếu thay x = n=1 (−1)n π2 = − n2 12 Ta có f hàm liên tục [−π, π] f (π) = f (−π) Áp dụng đẳng thức Parseval, ta π π +∞ a20 f (x)dx = + a2n + b2n n=1 −π π ⇔ π xdx = +∞ (−1)2n + 16 n=1 n4 2π −π +∞ 2π 2π ⇔ = + 16 n4 n=1 +∞ ⇔ 16 n=1 +∞ 8π = n4 45 π4 = n4 90 ⇔ n=1 +∞ sin nx với x ∈ n n=1 (−π, π) Hãy dùng tích phân để tính khai triển x2 , x3 , x4 thành chuỗi Fourier đoạn Bài tốn Xuất phát từ khai triển x = (−1)n Khai triển hàm f (x) = x2 Lời giải +∞ (−1)n Đặt t = n=1 sin nx , suy t ∈ (−π, π) n Vì f hàm liên tục khoảng (−π, π) nên với x ∈ (−π, π) ta có x x f (t)dt = 0 x +∞ a0 dt + n=1 (an cos nt + bn sin nt) dt 34 x +∞ +∞ bn sin ntdt = − = n=1 +∞ n=1 = −2 n=1 +∞ bn (cos nx − 1) n (−1)n+1 (cos nx − 1) n2 +∞ (−1)n (−1)n cos nx − n2 n n=1 =2 n=1 Từ ta tính +∞ x2 π2 π2 (−1)n (−1)n =2 cos nx + với =− 2 n n 12 n=1 Vậy +∞ (−1)n π2 cos nx, với x ∈ (−π, π) +4 x = n n=1 Khai triển hàm f (x) = x3 Lời giải +∞ π2 (−1)n cos nu, với u ∈ (−π, π) Đặt u = +4 n n=1 Vì f hàm liên tục khoảng (−π, π) nên với x ∈ (−π, π) ta có x x f (u)du = 0 (an cos nu + bn sin nu) du x +∞ a0 x + = n=1 x +∞ a0 du + n=1 +∞ an a0 x + sin nx an cos nudu = n n=1 Từ ta tính +∞ π2 x3 (−1)n = x+4 sin nx 3 n n=1 +∞ +∞ x3 π2 (−1)n n+1 sin nx ⇔ = (−1) +4 sin nx 3 n=1 n n n=1 35 Vậy +∞ x = 2π (−1) n+1 sin nx n n=1 +∞ + 12 n=1 (−1)n sin nx n3 Khai triển hàm f (x) = x4 Lời giải +∞ Đặt v = 2π (−1) n+1 sin nv n n=1 +∞ +12 n=1 (−1)n sin nv với v ∈ (−π, π) n3 Vì f hàm liên tục khoảng (−π, π) nên với x ∈ (−π, π) ta có x +∞ x +∞ bn sin nvdv = − f (v)dv = n=1−π −π n=1 bn (cos nx − (−1)n ) n Từ ta tính +∞ +∞ x4 π n cos nx n+1 cos nx − = 2π + 12 (−1) (−1) 4 n2 n4 n=1 n=1 +∞ − 2π n=1 +∞ +∞ 1 + 12 n n4 n=1 +∞ x4 π π 2π n cos nx n+1 cos nx ⇔ − = 2π + 12 − − (−1) (−1) 4 n n 15 n=1 n=1 Vậy +∞ +∞ π4 cos nx n+1 cos nx x = + 8π + 48 (−1)n (−1) n n n=1 n=1 Bài toán Cho hàm số tuần hồn với chu kì 2π xác định π π π  với x ∈ − , ;    2  π π 3π f (x) = − với x ∈ , ;  2   π  0 với x = ± Dễ thấy hàm số f thỏa mãn điều kiện định lí Dini Ngoài f (x) = [f (x + 0) + f (x − 0)] với x ∈ R 36 Vì f hàm số chẵn nên +∞ a0 + an cos nx với x ∈ R f (x) = n=1 Ta có π π π a0 = f (x)dx = π π π dx + π π f (x) cos nxdx = π an = π π − π π π π dx = − = 0, 4 π π cos nxdx + π − π π cos nxdx π sin n , n = 1, 2, n Do an = với n chẵn, = a2k+1 (−1)k = , k = 0, 1, 2k + Vậy (−1)k cos 3x cos 5x + − + cos(2k + 1)x + f (x) = cos x − 2k + với x ∈ R Đặc biệt, với x = 0, ta có π 1 (−1)k = − + − + + 2k + Bài toán Cho hàm số f tuần hồn với chu kì 2π xác định R f (x) = |x| với |x| ≤ π Lời giải 37 Đây hàm số chẵn Ta có bn = 0, n = 1, 2, , a0 = π, π an = π x cos nxdx = (cos nπ − 1), πn2 an = với n chẵn, a2k+1 = − Do π − π ∞ cos(2k + 1)x = |x| với |x| ≤ π (2k + 1)2 k=0 Với x = 0, ta ∞ k=0 +∞ Từ (3.1) ta tính n=1 +∞ n=1 π(2k + 1)2 π2 = (2k + 1)2 (3.1) Thật vậy, ta có n2 = n2 ∞ k=1 ∞ 1 + 4k k=0 (2k + 1)2 Từ +∞ n=1 = n2 ∞ k=0 π2 = , (2k + 1)2 +∞ n=1 π2 = n2 (3.2) Bài toán Cho hàm số f tuần hồn với chu kì 2π xác định [−π, π] +∞ (−1)n f (x) = | cos x| Chọn x thích hợp để tính tổng 2−1 4n n=1 Lời giải Đây hàm số chẵn Ta có 38 π bn = 0, n = 1, 2, Chu kì hàm số l = l a0 = l f (x)dx = π π | cos x|dx = , π l nπ | cos x| cos π xdx 0 π π 2 nπ cos x cos π xdx = cos x cos 2nxdx = π π 2 π 2 = [cos(2n + 1)x + cos(2n − 1)x] dx π an = l f (x) cos nπ xdx = π l π 2 π π sin(2n + 1) + sin(2n − 1) π 2 n+1 (−1) an = π 4n2 − = Do +∞ a0 f (x) = + an cos nx n=1 +∞ (−1)n+1 = + cos nx π n=1 π 4n2 − = + π π +∞ n=1 (−1)n+1 cos nx π 4n2 − 39 Với x = 0, ta có 1= + π π = + π π = − π π +∞ n=1 +∞ n=1 +∞ n=1 (−1)n+1 4n2 − (−1)n (−1) 4n2 − (−1)n 4n2 − Vì +∞ n=1 (−1)n 2−π = 4n − Bài toán Cho f hàm số tuần hồn với chu kì 2π xác định f (x) = eax với |x| ≤ π Lời giải Hàm f (x) khả vi khúc (−π, π) nên khai triển f (x) thành chuỗi Fourier hội tụ khoảng Ta có π a0 = π π f (x)dx = π −π π eax dx = eaπ eaπ − −π π f (x) cos nxdx = π an = π aπ −π eax cos nxdx −π ax Đặt u = cos nx, dv = e dx, ta có π 1 n an = cos nx eaπ − e−aπ + I1 π a a eax sin xdx với I1 = −π nπ Đặt u0 = sin nxdx, dv0 = eax dx ta I1 = − an a Do 1 n2 aπ −aπ an = cos nx e − e − πan π a a (−1)n (eaπ − e−aπ ) n2 = − an aπ a 40 Ta suy (−1)n (eaπ − e−aπ ) n2 an + = a aπ n aπ −aπ a (−1) (e − e ) ⇒ an = π a + n2 Trong π bn = π f (x) sin nxdx −π ax Đặt u1 = sin nxdx, dv1 = e dx ta π n bn = − I2 với I2 = πa f (x) cos nxdx −π ax Đặt u2 = cos nx, dv2 = e dx, ta (−1)n (eaπ − e−aπ ) n I2 = + bn π a a Từ suy −n(−1)n (eaπ − e−aπ ) n2 −n(−1)n bn = − bn = eaπ − e−aπ 2 πa a π(a + n ) Chuỗi Fourier có dạng +∞ f (x) = a0 + (an cos nx + bn sin nx) n=1 = eaπ − e−aπ + 2aπ +∞ (−1)n a (eaπ − e−aπ ) −n(−1)n aπ cos nx + + e − e−aπ sin nx 2 2 π(a + n ) π(a + n ) n=1 eaπ − e−aπ + = 2aπ +∞ (−1)n + eaπ − e−aπ (a cos nx − n sin nx) 2 π(a + n ) n=1 +∞ eaπ − e−aπ (−1)n = + (a cos nx − n sin nx) π 2a n=1 a2 + n2 41 +∞ (−1)n Vậy f (x) = sh(aπ) + (a cos nx − n sin nx) π 2a n=1 a2 + n2 Xét x = 0, điểm điểm liên tục f (x) Theo định lí khai triển, chuỗi hội tụ giá trị hàm điểm +∞ (−1)n + (a cos(n.0) − n sin(n.0)) f (x) = e = sh(aπ) π 2a n=1 a2 + n2 +∞ (−1)n a = sh(aπ) + π 2a n=1 a2 + n2 Từ ta có +∞ n=1 +∞ Vậy n=1 (−1)n sh(aπ) π = − a2 + n2 aπ 2.sh(aπ) n π (−1) = − a2 + n2 2.sh(aπ) 2a Bài toán Khai triển hàm số sau thành chuỗi Fourier (a) f (x) = cos ax, −π ≤ x < π , a không nguyên (b) f (x) = sin ax, −π ≤ x < π , a không nguyên Lời giải Ta khai triển sau (a) Hàm f hàm chẵn, liên tục R hệ số Fourier bn = 0, ∀n ≥ π a0 = π π f (x)dx = π cos axdx = π an = π π f (x) cos nxdx = π sin aπ aπ cos ax cos nxdx 42 π = π [cos(a + n)x cos(a − n)x] dx π = π = π = π 1 sin(a + n)π + sin(a − n)π a+n a−n 1 sin aπ.(−1)n + sin aπ.(−1)n a+n a−n 1 (−1)n sin aπ + a+n a−n 2a (−1)n sin aπ a − n2 2a (−1)n Vậy an = sin aπ với n = 1, 2, π a − n2 Vậy ta có khai triển +∞ 2a (−1)n f (x) = sin aπ + sin aπ cos nx − n2 aπ π a n=1 = Tại x = 0, ta có +∞ 2a (−1)n = sin aπ + sin aπ − n2 aπ π a n=1 Từ đó, ta tính +∞ n=1 (−1)n π = − a2 − n2 2a sin aπ 2a2 (b) f (x) = sin ax hàm lẻ [−π, π] Do đó, a0 = 0, an = với n = 0, 1, 2, Trong π bn = π sin ax sin nxdx π = π [cos(a − n)x − cos(a + n)x] dx 2.(−1)n n sin aπ Từ đó, ta tìm bn = a − n2 π 43 Vậy ta có +∞ (−1)n sin aπ sin nx với − π < x < π f (x) = − n2 π a n=1 Bài toán Khai triển hàm f (x) = arcsin(cos x) thành chuỗi Fourier Lời giải Ta có f (x) = arcsin(cos x) hàm chẵn liên tục, khả vi khúc (trừ điểm x = kπ, k ∈ Z) tuần hoàn với chu kì 2π , khai triển thành chuỗi Fourier Các hệ số Fourier sau bn = 0(n = 1, 2, ) π a0 = π [arcsin(cos x)] dx π = π π − arccos(cos x) dx π π − x dx = 2 = π π an = π π − x cos nxdx = 2 (−1)n − =− với (n = 1, 2, ) π n2 Vậy ta có f (x) = arcsin(cos x) = − π +∞ n=1 (−1)n − cos nx n2 44 KẾT LUẬN Kết luận Sau thời gian tìm hiểu nghiên cứu, khóa luận thu kết sau Khóa luận trình bày rõ định nghĩa chuỗi Fourier định lý điều kiện để khai triển hàm số thành chuỗi Fourier Đồng thời làm sáng tỏ chuỗi Fourier hội tụ chuỗi Fourier hội tụ hàm ban đầu Trong khóa luận lựa chọn số toán khai triển hàm số thành chuỗi Fourier Tuy nhiên, điều kiện, thời gian kinh nghiệm cịn hạn chế nên khóa luận em khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo bạn để khóa luận em hoàn thiện Hướng phát triển khóa luận Thời gian tới, chúng tơi tiếp tục nghiên cứu vấn đề liên quan đến chuỗi Fourier hàm số khai triển thành chuỗi Fourier 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hoàng Tụy, Hàm thực Giải tích hàm, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội (2005) [2] Nguyễn Văn Kh, Lê Mậu Hải, Giải tích tốn học tập II, NXB Đại học Sư phạm Hà Nội (2002) [3] Nguyễn Thừa Hợp, Giải tích tập II, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội (2004) [4] Nguyễn Xuân Liêm, Giải tích II, NXB Giáo Dục Việt Nam (2010) [5] TRần Đức Long, Hồng Quốc Tồn, Giáo trình giải tích tập I, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội (2000) [6] Nguyễn Văn Mậu, Lý thuyết chuỗi phương trình vi phân, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội (2001) [7] Trần Duy Tiến, Bài giảng Giải tích tập II, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội (2004) [8] J S Walker, Fourier Analysis, Oxford University Press, NewYork (1988) ... chất chuỗi Fourier, tính hội tụ chuỗi, tính chất hệ số Fourier - Nghiên cứu điều kiện để khai triển hàm số thành chuỗi Fourier - Hệ thống hóa số kiến thức chuỗi Fourier cách khai triển số hàm số. .. +∞ +∞ un ≤ kể từ un chuỗi số Giả sử hai chuỗi số dương n=1 n=1 số trở Khi +∞ +∞ hội tụ chuỗi số (i) Nếu chuỗi số un hội tụ n=1 n=1 +∞ +∞ un phân kỳ chuỗi số (ii) Nếu chuỗi số n=1 phân kỳ n=1 Định... nên số n=1 chuỗi số thỏa mãn điều kiện lim un = chưa kết luận chuỗi n→+∞ hội tụ hay phân kỳ +∞ q n (q số) gọi chuỗi số nhân Ví dụ 1.1.6 Chuỗi số n=1 Chuỗi hội tụ |q| < 1, phân kỳ |q| ≥ 1.1.5 Chuỗi