Li cm n Em xin chõn thnh cm n Phũng sau i hc; Cỏc thy giỏo, cụ giỏo Khoa Toỏn cựng ton th cỏc anh ch em hc viờn khúa 13 chuyờn ngnh Toỏn gii tớch Trng i hc S phm H Ni 2, ó ng viờn giỳp tỏc gi cú iu kin tt nht sut quỏ trỡnh thc hin ti nghiờn cu khoa hc c bit, em xin by t lũng cm n sõu sc ti PGS TS Nguyn Nng Tõm ó nh hng chn ti v tn tỡnh ch bo giỳp em hon thnh Lun ny Do thi gian v kin thc cú hn nờn Lun khụng trỏnh nhng hn ch v cũn cú thiu sút nht nh Em xin chõn thnh cm n ó nhn c nhng ý kin úng gúp ca cỏc thy giỏo, cụ giỏo v cỏc bn hc viờn H Ni, thỏng 12 nm 2011 Tỏc gi Nguyn Sn Tựng Li cam oan Tỏc gi xin cam oan, di s hng dn nhit tỡnh ca PGS TS Nguyn Nng Tõm, Lun Thc s chuyờn ngnh Toỏn gii tớch vi ti "Cỏc toỏn t tuyn tớnh khụng b chn khụng gian Hilbert v ph ca chỳng" c hon thnh bi chớnh s nhn thc ca bn thõn tỏc gi, khụng trựng vi bt c Lun no khỏc Trong quỏ trỡnh nghiờn cu thc hin Lun vn, tỏc gi ó k tha nhng thnh tu ca cỏc nh khoa hc vi s trõn trng v bit n! H Ni, thỏng 12 nm 2011 Tỏc gi Nguyn Sn Tựng Mc lc Bng ký hiu Li núi u Chng Cỏc toỏn t tuyn tớnh khụng b chn khụng gian Hilbert 1.1 Mt s c bn v toỏn t tuyn tớnh b chn 10 1.1.1 Mt s khỏi nim 10 1.1.2 Lý thuyt ph ca toỏn t tuyn tớnh b chn 14 1.2 Toỏn t tuyn tớnh khụng b chn v toỏn t liờn hp khụng gian Hilbert ca chỳng 18 1.3 Toỏn t liờn hp khụng gian Hilbert, toỏn t tuyn tớnh i xng v toỏn t tuyn tớnh t liờn hp 21 1.4 Toỏn t tuyn tớnh úng v bao úng 22 Chng Ph ca toỏn t tuyn tớnh khụng b chn khụng gian Hilbert 25 2.1 Tớnh cht ph ca toỏn t t liờn hp 25 2.2 Biu din ph ca toỏn t unita 30 2.3 Biu din ph ca toỏn t tuyn tớnh t liờn hp 39 2.4 Toỏn t nhõn v toỏn t vi phõn 45 Chng Toỏn t khụng b chn c hc lng t 53 3.1 í tng c bn 53 3.2 Toỏn t moment v nguyờn lý bt nh Heisenberg 57 3.3 Phng trỡnh Schrăoudinger 63 3.4 Toỏn t Hamilton 65 Kt lun 72 Ti liu tham kho 73 BNG Kí HIU AC phn bự ca hp A B(X, Y ) khụng gian cỏc toỏn t tuyn tớnh b chn B(x; r) hỡnh cu m B(x; r) hỡnh cu úng C mt phng phc hoc trng s phc Cn khụng gian n v n chiu C[a, b] khụng gian cỏc hm liờn tc C(X, Y ) khụng gian cỏc toỏn t tuyn tớnh compact D(T ) xỏc nh ca toỏn t T dim X chiu ca khụng gian X C = (E ) h ph f chun ca phim hm tuyn tớnh b chn f G(T ) th ca toỏn t T I toỏn t n v inf infimum (cn di ln nht) Lp [a, b] khụng gian hm lp khụng gian dóy L(X, Y ) khụng gian toỏn t tuyn tớnh N(T ) khụng gian khụng ca toỏn t T toỏn t khụng ỉ hp rng R ng thng thc hoc trng s thc Rn khụng gian Euclid n chiu R(T ) giỏ tr ca toỏn t T R (T ) gii thc ca toỏn t T r (T ) bỏn kớnh ph ca toỏn t T (T ) hp gii ca toỏn t T (T ) ph ca toỏn t T c (T ) ph liờn tc ca toỏn t T p (T ) ph im ca T r (T ) ph thng d sup supremum (cn trờn nh nht) T T chun ca toỏn t tuyn tớnh b chn T toỏn t liờn hp khụng gian Hilbert Var(w) bin phõn ton phn ca w X khụng gian i s i ngu ca khụng gian vect X X khụng gian i ngu ca khụng gian nh chun X X chun ca X x, y tớch ca x v y xy x trc giao vi y Y phn bự trc giao ca khụng gian úng Y M u Lý chn ti Gii tớch hm l mt mụn hc rt lý thỳ ca Toỏn hc, cú nhiu ng dng vt lý v nhiu lnh vc khỏc ca Toỏn hc (xem [5], [6], [7], [8], [9]) Toỏn t tuyn tớnh khụng b chn xut hin nhiu ng dng, ỏng chỳ ý l s liờn quan n phng trỡnh vi phõn v c hc lng t Lý thuyt ca chỳng phc hn so vi toỏn t b chn Thc t, lý thuyt ca toỏn t tuyn tớnh khụng b chn c ngun vo cui nhng nm 1920 nh s n lc t c hc lng t trờn mt nn tng toỏn hc chớnh xỏc S phỏt trin cú h thng ca lý thuyt ny l J Neumann (1929-30, 1936) v M H Stone (1932) ng dng ca lý thuyt ny vo phng trỡnh vi phõn cho ta mt cỏch tip cn thng nht vi cỏc a dng v cng ũi hi s n gin húa ỏng k Vi mong mun c nghiờn cu v tỡm hiu sõu sc hn v ny v bc u tip cn vi cụng vic nghiờn cu khoa hc, em ó chn ti Cỏc toỏn t tuyn tớnh khụng b chn khụng gian Hilbert v ph ca chỳng Mc ớch nghiờn cu Bc u giỳp em lm quen vi cụng vic nghiờn cu khoa hc v tỡm hiu sõu hn v Gii tớch hm, t ú hỡnh thnh t logic c thự ca b mụn Khc sõu cỏc kin thc v cỏc toỏn t tuyn tớnh khụng b chn khụng gian Hilbert v ph ca chỳng Nhim v nghiờn cu Nghiờn cu v toỏn t tuyn tớnh khụng b chn v toỏn t liờn hp khụng gian Hilbert ca chỳng, toỏn t tuyn tớnh i xng v toỏn t t liờn hp, toỏn t tuyn tớnh úng v bao úng, cỏc tớnh cht ph ca cỏc toỏn t tuyn tớnh khụng b chn khụng gian Hilbert v ng dng ca chỳng c hc lng t i tng v phm vi nghiờn cu Cỏc toỏn t tuyn tớnh khụng b chn khụng gian Hilbert v ph ca chỳng Phng phỏp nghiờn cu Nghiờn cu lý lun, phõn tớch, tng hp, ỏnh giỏ 6 D kin úng gúp mi Trỡnh by mt cỏch cú h thng v chng minh chi tit v cỏc liờn quan n cỏc toỏn t tuyn tớnh khụng b chn khụng gian Hilbert v ph ca chỳng Chng Cỏc toỏn t tuyn tớnh khụng b chn khụng gian Hilbert Phn u ca chng ny chỳng ta s trỡnh by mt s v toỏn t tuyn tớnh b chn liờn quan trc tip n phn sau ca lun Tip theo chỳng ta trỡnh by v toỏn t tuyn tớnh khụng b chn v toỏn t liờn hp khụng gian Hilbert ca chỳng; toỏn t liờn hp khụng gian Hilbert, toỏn t tuyn tớnh i xng v toỏn t tuyn tớnh t liờn hp; toỏn t tuyn tớnh úng v bao úng Trc ht, chỳng ta trỡnh by mt s khỏi nim c bn cn thit sau: nh ngha 1.1 (xem [3]) Khụng gian nh chun (hay khụng gian tuyn tớnh nh chun) l khụng gian tuyn tớnh X trờn trng K (K cú th l R hoc C) cựng vi mt ỏnh x t X vo K, kớ hiu l ã v c l chun, tha cỏc tiờn sau õy: 1) (x X) x 0, x = x = (ký hiu phn t khụng l ); 2) (x X)( K) x = || x ; 3) (x, y X) x + y x + y S x gi l chun ca vector x Ta ký hiu khụng gian nh chun l (X, ã ) Nu trờn X ch trang b mt chun ta cú th ký hiu l X Cỏc tiờn 1), 2), 3) gi l h tiờn chun Phn t ca K gi l vụ ú (p) = h + 2i (q)e( h )pq dq (3.16) T tớnh cht vt lý, iu ny cú th c gii thớch nh mt biu din ca nhng s hng ca nhng hm cú hng s moment p a bi 2i p (q) = (p)eikq = (p)e( h )pq , (3.17) 2p theo (3.14) v (p) l biờn Liờn hp phc p cú h mt du õm hm m, nờn ú k = |p (q)|2 = p (q)p (q) = (p)(p) = |(p)|2 Khi ú |p (q)|2 l mt xỏc sut ca v trớ trng thỏi p , ta thy rng |(p)|2 phi cõn i cho mt ca ng lng v hng s cõn i l Khi ú ta xỏc nh c (p) tha (3.15) v (3.16), suy hng s trờn l Do vy, theo (3.16) giỏ tr trung bỡnh ca ng h lng, gi l , l + + p |(p)| dp = = + = p(p)(p)dp + p(p) h 2i (q)e( h )pq dqdp Gi s rng ta cú th thay i th t ly tớch phõn v (3.15) ta cú th ly vi phõn di du tớch phõn ta c + + 2i (p) pe( h )pq dpdq h + h d(q) = (q) dq 2i dq = (q) 59 S dng (3.13) v ký hiu l (D) ta cú th vit di dng + (D) = D, = D(q)(q)dq (3.18) iu ny dn n nh ngha (3.13) ca toỏn t moment Chỳ ý rng L2 (, +) nờn vi nhng lp lun toỏn hc ca toỏn t hỡnh thc, ta cú th cn n nhng cụng c ca lý thuyt o, c bit l mt m rng ca nh lý tớch phõn Fourier ó c bit Cho S v T l toỏn t tuyn tớnh t liờn hp bt k vi xỏc nh khụng gian Hilbert phc Khi ú toỏn t C = ST T S c gi l hoỏn t ca S v T v c xỏc nh trờn D(C) = D(ST ) D(T S) Trong c hc lng t, hoỏn t ca v trớ v toỏn t moment l mt c s quan trng Theo nh ngha ta cú DQ(q) = D (q(q)) = h h [(q) + q (q)] = (q) + QD(q) 2i 2i iu ny dn n h thc hoỏn t Heisenberg DQ QD = h I, 2i (3.19) ú I l toỏn t ng nht trờn D(DQ QD) = D(DQ) D(QD) (3.20) Ta tha nhn khụng chng minh rng xỏc nh ny trự mt khụng gian L2 (, +) thu c nguyờn lý bt nh Heisenberg, trc ht ta chng minh 60 nh lý 3.1 (Hoỏn t, [8], p 579) Cho S v T l toỏn t tuyn tớnh t liờn hp vi xỏc nh v giỏ tr L2 (, +) Khi ú C = ST T S tha |à (C)| 2sd (S)sd (T ) (3.21) vi mi xỏc nh ca C Chng minh Ta vit à1 = (S) v à2 = (T ) v A = S à1 I, B = T à2 I Khi ú ta cú th d dng kim tra bng tớnh toỏn trc tip C = ST T S = AB BA Vỡ S v T l t liờn hp v à1 , à2 l tớch ca dng (3.9), nờn cỏc giỏ tr trung bỡnh ny l thc Do vy A v B l t liờn hp T nh ngha ca giỏ tr trung bỡnh ta thu c (C) = (AB BA), = AB, BA, = B, A A, B Hai tớch cui cựng bng v giỏ tr tuyt i Do ú theo bt ng thc tam giỏc v bt ng thc Schwarz ta cú |à (C)| | B, A | + | A, B | B A iu ny chng minh (3.21), bi vỡ B l t liờn hp nờn theo (3.10) ta thu c B = (T à2 I)2 , 1/2 61 = var (T ) = sd (T ) v tng t vi A T (3.19) ta thy rng hoỏn t ca v trớ v toỏn t moment l h Do vy |à (C)| = h v thu c (3.21) I C= 2i nh lý 3.2 (Nguyờn lý bt nh Heisenberg, [8], p 580) Cho toỏn t v trớ Q v toỏn t moment D, sd (D)sd (Q) h (3.22) V mt vt lý, bt ng thc (3.22) cú ngha l ta khụng th to mt phộp o ng thi v v trớ v moment ca mt ht vi chớnh xỏc khụng gii hn Tht vy, lch chun sd (D) v sd (Q) c trng cho chớnh xỏc c phộp o v moment v v trớ tng ng, v (3.22) th hin rng ta khụng th lm gim nhng tha s v trỏi ti cựng h thi im h l rt nh, nờn vt lý v mụ nh khụng ỏng k Tuy nhiờn, vt lý nguyờn t thỡ trng hp ny li khỏc Ton b nhng tỡnh ny cú th c hiu tt hn nu ta thc hin phộp o bt k ca mt h l mt s nhiu lon lm thay i trng thỏi ca h thng, v nu h l nh (chng hn, mt electron), s nhiu lon cú th nhn thy Tt nhiờn, phộp o bt k bao gm sai s ngu nhiờn vỡ khụng cú mt dng c o chớnh xỏc Nhng mt iu cú th hỡnh dung l sai s to cú th rt nh bng vic s dng nhiu thut toỏn cht ch ca phộp o, nờn ớt nht nguyờn lý, phộp o ng thi cho v trớ tc thi v moment ca mt ht, mi phộp o cú hai sai s tng ng cú th to nh hn mt giỏ tr dng cho trc Bt ng thc (3.22) ch rng õy khụng phi nh vy nhng chớnh xỏc l 62 cú gii hn nguyờn lý, khụng n thun bi s sai sút ca bt k phng phỏp o no Tng quỏt hn, nh lý 3.1 ch rng hai quan sỏt c bt k S v T m hoỏn t ca chỳng khụng l toỏn t khụng khụng th o ng thi vi chớnh xỏc khụng gii hn theo ngha va gii thớch, nhng chớnh xỏc l cú gii hn nguyờn lý 3.3 Phng trỡnh Schră oudinger S dng s tng t gia súng ỏnh sỏng v súng vt cht Broglie (xem 3.2), ta s dn n phng trỡnh Schrăoudinger c bn (c lp thi gian) Vi s nghiờn cu v khỳc x, s giao thoa v nhng hin tng quang hc khỏc, s dng phng trỡnh súng tt = , (3.23) ú tt = , hng s dng v l toỏn t Laplace ca t Nu q1 , q2 , q3 l ta cỏc khụng gian, thỡ = + + q12 q2 q3 (Trong h chỳng ta xột phn trờn ta ch cú ta q v = ) q S dng mi liờn h vi hin tng súng dng, ta gi s mt cỏch n gin v s ph thuc chu k theo thi gian, tc l dng (q1 , q2 , q3 , t) = (q1 , q2 , q3 ) eit 63 (3.24) Thay vo (3.23) v b i tha s m, ta thu c phng trỡnh Helmholtz (phng trỡnh súng c lp thi gian) + k = 0, (3.25) ú 2v = = v v l tn s Vi ta chn bc súng Broglie ca súng vt cht, ngha k= l = h mv (3.26) [xem (3.14), ú v = c] Khi ú (3.25) tr thnh m mv ã = + h2 mv Ký hiu E l tng ca nhng ng nng v th nng V , ngha l mv E= + V Khi ú mv =EV v ta cú th vit m + (E V ) = h2 (3.27) õy l phng trỡnh Schrăoudinger c lp thi gian, l phng trỡnh c bn c hc lng t Bõy gi ta cú th vit (3.27) di dng h2 +V m = E (3.28) Biu thc dng trờn lm ny sinh rng cú th cp nng lng ca h s ph thuc vo ph ca toỏn t c xỏc nh bi v trỏi ca (3.28) 64 3.4 Toỏn t Hamilton Trong c hc c in, mt nghiờn cu c s ca mt h bo ton ca ht l trờn hm Hamilton ca h, õy l nng lng tng H = Ekin + V (3.29) (Ekin l ng nng, V l th nng) c biu din nhng s hng ca ta v trớ v ta ng lng Gi s rng h cú n cp t do, cú n ta v trớ q1 , q2 , , qn v n ta ng lng p1 , p2 , , pn Trong vic xem xột c hc lng t ca h ta cng xỏc nh H (p1 , p2 , , pn ; q1 , q2 , , qn ) õy l bc u tiờn Trong bc th hai, ta thay mi pj bi toỏn t moment Dj : D (Dj ) L2 (Rn ) (3.30) h , 2i qj ú D (Dj ) L2 (Rn ) Hn na, ta thay mi qj bi toỏn t v trớ Qj : D (Qj ) L2 (Rn ) (3.31) qj , ú D (Qj ) L2 (Rn ) T hm Hamilton H trờn ta thu c toỏn t Hamilton, ký hiu l H, ngha l H (D1 , , D2 ; Q1 , , Qn ) l H (p1 , p2 , , pn ; q1 , q2 , , qn ) 65 vi pj c thay bi Dj v qj c thay bi Qj Theo nh ngha, H c gi s l t liờn hp Quỏ trỡnh thay th c gi l quy tc lng t húa Chỳ ý rng quỏ trỡnh ny khụng phi l nht, vỡ phộp nhõn l giao hoỏn vi cỏc s nhng khụng nht thit vi cỏc toỏn t õy l mt nhng tớnh yu ca c hc lng t Phng trỡnh (3.28) cú th c vit bng vic s dng toỏn t Hamilton H Tht vy, ng nng ca mt ht cú lng m khụng gian l m m |v| = v1 + v22 + v32 = p2 + p22 + p23 2 2m Theo quy tc lng t húa, t biu thc v phi ta thu c 2m Dj2 j=1 = 2m h 2i j=1 h2 = qj m Do vy (3.28) cú th c vit l H = , (3.32) ú = E l nng lng Nu thuc hp gii ca H, thỡ hp gii ca H tn ti v (3.32) ch cú nghim tm thng, c xột L2 (Rn ) Nu thuc ph im p (H), thỡ (3.32) cú nghim khụng tm thng L2 (Rn ) Ph thng d r (H) rng vỡ H l t liờn hp Nu c (H), ph liờn tc ca H, thỡ (3.32) khụng cú nghim L2 (Rn ), ú = Tuy nhiờn trng hp ny, (3.32) cú th cú nghim khỏc khụng thuc L2 (Rn ) v ph thuc vo mt tham s tng ng m ta cú th thc hin phộp tớnh tớch phõn thu c L2 (Rn ) Trong vt lý, ta 66 núi rng quỏ trỡnh ly tớch phõn ny ta to nhng tỳi súng Lu ý rng trng hp ny, H (3.32) biu th mt m rng ca toỏn t ban u tha hm di iu kin xem xột l xỏc nh ca toỏn t c m rng Quỏ trỡnh ny cú th c gii thớch nhng s hng ca h vt lý sau Ta xột mt ht t cú lng m trờn (, +) Hm Hamilton l H(p, q) = p, 2m nờn ta thu c toỏn t Hamilton h2 d2 H(D, Q) = D = 2m m dq Do ú (3.32) tr thnh h2 H = = , m (3.33) ú = E l nng lng Nghim c cho bi (q) = eikq , (3.34) ú tham s k liờn h vi nng lng bi h2 k =E= m Cỏc hm ny bõy gi cú th s dng biu din bt k L2 (, +) nh mt tỳi súng cú dng lim (q) = a a (k)eikq dk, (3.35) (q)eikq dq (3.36) a ú (k) = lim b 67 b b Cỏc gii hn l chun ca L2 (, +) [tng ng vi q (3.35) v k (3.36)], mt gii hn nh vy cng c gi l gii hn trung bỡnh Cụng thc (3.35), (3.36) cựng vi gi thit c bn c gi l nh lý Fourier-Plancherel, cng c núi n phn 3.2 Tham kho N Dunford, J T Schwarz (1958-71), phn 2, trang 974, 976 M rng vic xem xột vi mt ht t cú trng lng m khụng gian 3-chiu nh sau Thay cho (3.33) ta cú h2 H = = m (3.37) vi nh phn trc Nghim l súng phng biu din bi (q) = eikq , (3.38) ú q = (q1 , q2 , q3 ), k = (k1 , k2 , k3 ) v k.q = k1 q1 + k2 q2 + k3 q3 , v nng lng l h2 = E = k.k m (3.39) Vi mt L2 R3 nh lý Fourier-Plancherel cho ta (q) = 3/2 (2) (k)eikq dk, (3.40) (q)eikq dq, (3.41) R3 ú (k) = 3/2 (2) R3 ú tớch phõn li c hiu l gii hn trung bỡnh ca tớch phõn tng ng trờn hu hn khụng gian 3-chiu *Vớ d (Dao ng iu hũa): 68 Hm Hamilton ca dao ng iu hũa l H= p + m02 q 2m Do ú toỏn t Hamilton l H= 2 D + Q2 = m0 (3.42) rỳt gn cụng thc vic xem xột sau, ta nh ngha A = Q + i D = h (3.43) Toỏn t liờn hp khụng gian Hilbert l A = Q i D (3.44) Theo (3.19), Q2 + h (b) AA = Q2 + h (a) A A = h I , h + I 2 (3.45) Do ú AA A A = I (3.46) h A A + (3.47) T (3.45)(a) v (3.42), H= I Gi l mt giỏ tr riờng ca H v l mt hm riờng Khi ú = v H = 69 Theo (3.47), A A = , (3.48) = ú h p dng cho A c AA (A) = A Bờn v trỏi, AA = A A + I theo (3.46) Do ú A A A(A) = Tng t, theo s ỏp dng khỏc ca A, A2 A A A2 = v sau j bc j Aj A A Aj = (3.49) Ta phi cú Aj = vi j ln; bi vỡ, trỏi li nu ly tớch theo Aj c hai v ca (3.49) thỡ ta cú vi mi j Aj , A A Aj j = Aj+1 , Aj+1 = Aj , Aj , ngha l j = Aj+1 Aj (3.50) l mt s bt nh Do ú tn ti mt s vi mi j, khụng th ỳng n N tha An = nhng Aj = vi j > n, c bit An+1 = Do ú, vi j = n ta thu c t ng thc (3.50) n = 70 T õy v (3.48), vỡ = 2v, nờn = h n+ 2 = hv n + Trong chng ny chỳng ta ó gii thớch mt s c hc lng t liờn quan n cỏc toỏn t tuyn tớnh khụng b chn c bit l nguyờn lý bt nh Heisenberg v phng trỡnh Schrăoudinger Chỳng ta cng trỡnh by hai toỏn t ni bt l toỏn t moment v toỏn t Hamilton 71 Kt lun Lun ó trỡnh by mt s sau õy: Chng 1: Trỡnh by ngn gn mt s nh cỏc khỏi nim, cỏc tớnh cht c bn ca toỏn t tuyn tớnh khụng b chn khụng gian Hilbert cựng vi cỏc vớ d minh Chng 2: Trỡnh by nhng c bn v ph ca toỏn t tuyn tớnh khụng b chn khụng gian Hilbert nh tớnh cht, s biu din, ng thi gii thiu Chng 3: Trỡnh by mt cỏch ngn gn nhng lý thuyt c bn v toỏn t khụng b chn c hc lng t C th l: Toỏn t moment v nguyờn lý, Phng trỡnh Schrăoudinger v toỏn t Hamilton Hng nghiờn cu tip theo l nhng cũn m lý thuyt khung Vi phm vi v thi gian cú hn chc chn lun khụng trỏnh nhng thiu xút Mong quý thy cụ v cỏc bn ng nghip gúp ý lun c hon thin hn Xin chõn thnh cm n! 72 Ti liu tham kho [A] Ti liu ting Vit [1] u Th Cp (2003), Gii tớch hm, NXB Giỏo dc, HN [2] Dng Minh c (2000), Gii tớch hm, NXB i Hc Quc Gia TP HCM [3] Nguyn Ph Hy (2006), Gii tớch hm, NXB Khoa hc v k thut, HN [4] Hong Tu (2005), Hm thc v gii tớch hm, NXB HQG, HN [B] Ti liu ting Anh [5] W Arverson (2002), A short course on Spectral Theory Graduate Texts in Mathematics 209, Springer-Verlag, New York [6] Lokenath Debnath and Piotr Mikusinski (1990), Hilberts spaces with applications, Acadimic Press, USA [7] R G Douglas (1972), Banach Algebra echniques in Operator Theory, Academic Press, New York [8] Erwin Kreyszig (1989), Introductory functional analysis with applications, John Wiley and Sons, Inc [9] P.D Lax (2002), Functional Analysis, John Wiley and Sons, Inc 73