BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Anh Tuấn MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM Ở LỚP 11 PHỔ THÔNG Chuyên ngành : Lý luận phương pháp dạy học mơn Tốn Mã số : 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN ÁI QUỐC Thành phố Hồ Chí Minh – 2009 LỜI CẢM ƠN Lời xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Ái Quốc, người tận tình hướng dẫn, động viên tơi suốt q trình thực luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn đến q thầy : PGS TS Lê Văn Tiến, PGS TS Lê Thị Hoài Châu, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS Trần Lương Cơng Khanh, TS Nguyễn Chí Thành giảng didactic Tốn thú vị Tơi xin chân thành cảm ơn PGS TS Claude Comiti, PGS TS Annie Bessot TS Alain Birebent lời góp ý cho luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu q thầy : Trường Cao Đẳng Sư Phạm Đồng Nai, THPT Long Thành, THPT Ngô Quyền, THPT Tam Phước hỗ trợ, giúp đỡ cho mặt để tơi hồn thành tốt khóa học hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn Phịng Khoa Học Cơng Nghệ Sau Đại Học, Khoa Toán - Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện học tập tốt cho Tôi xin gửi lời cảm ơn đến bạn lớp didactic Tốn khóa 17 sẻ chia thời gian học tập Tơi hạnh phúc quen học bạn Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến gia đình tơi quan tâm động viên giúp tơi hồn tất khóa học Lê Anh Tuấn DANH MỤC VIẾT TẮT SGKC11 : Sách giáo khoa chương trình chuẩn lớp 11 hành SGKNC11 : Sách giáo khoa chương trình nâng cao lớp 11 hành SGKC12 : Sách giáo khoa chương trình chuẩn lớp 12 hành SGKNC12 : Sách giáo khoa chương trình nâng cao lớp 12 hành SGKCL12 : Sách giáo khoa chỉnh lý 12 năm 2000 SBTC11 : Sách tập chương trình chuẩn lớp 11 hành SBTNC11 : Sách tập chương trình nâng cao lớp 11 hành SBTC12 : Sách tập chương trình chuẩn lớp 12 hành SBTNC12 : Sách tập chương trình nâng cao lớp 12 hành SBTCL12 : Sách tập chỉnh lý 12 năm 2000 SGK : Sách giáo khoa SBT : Sách tập SGV : Sách giáo viên ĐH : đạo hàm GV : giáo viên HS : học sinh KNV : kiểu nhiệm vụ MỞ ĐẦU Những ghi nhận ban đầu câu hỏi xuất phát Như biết, đạo hàm khái niệm quan trọng giải tích Nó khái niệm để nghiên cứu nhiều tính chất hàm số: tính đơn điệu, cực trị, khoảng lồi lõm, điểm uốn, giá trị lớn giá trị nhỏ nhất,…giúp ích nhiều cho việc khảo sát vẽ đồ thị hàm số Đạo hàm phương tiện hữu hiệu để giải số toán lĩnh vực khoa học như: Cơ học, điện học, hóa học, sinh học,… Từ năm học 2006-2007, chương trình mơn Tốn bậc THPT biên soạn lại theo chương trình giáo dục phổ thơng Những thay đổi quan điểm dạy học Tốn phổ thơng dẫn đến thay đổi chương trình mà đạo hàm khơng phải ngoại lệ Chính vậy, việc tìm hiểu thay đổi việc quan trọng cần thiết Những ghi nhận dẫn tới việc đặt câu hỏi xuất phát sau: - Khái niệm đạo hàm lớp 11 hành xây dựng nào? Việc xây dựng có ảnh hưởng đến việc giảng dạy GV việc lĩnh hội, hình thành khái niệm đạo hàm HS ? - Có nối khớp chương đạo hàm với phần khác có liên quan với chương trình hay khơng? Phạm vi lí thuyết tham chiếu Chúng sử dụng khái niệm Lý thuyết nhân chủng học (như: tổ chức toán học, quan hệ thể chế quan hệ cá nhân tri thức để phân tích mối quan hệ thể chế với khái niệm đạo hàm) khái niệm hợp đồng didactic để phục vụ cho nghiên cứu Trong phạm vi lí thuyết từ câu hỏi khởi đầu nêu trên, trình bày lại hệ thống câu hỏi nghiên cứu luận văn sau : Q1: Khái niệm đạo hàm xây dựng bậc đại học? Q2: Mối quan hệ thể chế với khái niệm đạo hàm hình thành chương trình phổ thơng hành? Có ràng buộc thể chế lên khái niệm này? Q3: Mối quan hệ thể chế nêu ảnh hưởng đến trình dạy học giáo viên liên quan đến khái niệm ? Q4: Mối quan hệ cá nhân HS đối tượng đạo hàm ảnh hưởng đến việc hình thành khái niệm HS ? Q5: Giữa đạo hàm với phần khác liên quan với chương trình có mối quan hệ nào? Các đối tượng có liên quan có vai trị chức mối quan hệ đó? Mục đích phương pháp nghiên cứu Mục đích nghiên cứu chúng tơi tìm câu trả lời cho câu hỏi đặt mục Để đạt mục đích đề , xác định phương pháp nghiên cứu sau: - Tìm hiểu việc xây dựng khái niệm đạo hàm số giáo trình bậc đại học - Phân tích chương trình sách giáo khoa Tốn phổ thơng Việt Nam để làm rõ mối quan hệ thể chế dạy học Việt Nam khái niệm qua thời kì: lớp 12 chỉnh lí hợp 2000 lớp 11, 12 hành Từ thấy ràng buộc thể chế dạy học Việt Nam khái niệm đạo hàm - Xây dựng tiến hành thực nghiệm HS để làm rõ mối quan hệ cá nhân học sinh khái niệm đạo hàm Tổ chức luận văn Luận văn gồm phần: Phần mở đầu, chương phần kết luận chung Trong phần mở đầu, chúng tơi trình bày ghi nhận ban đầu, lợi ích đề tài; lý thuyết tham chiếu; mục đích phương pháp nghiên cứu; tổ chức luận văn Chương 1, dành cho việc tổng hợp cách xây dựng khái niệm đạo hàm số giáo trình đại học đưa kết luận Chương 2, chúng tơi phân tích CT SGK hành để làm rõ mối quan hệ thể chế với khái niệm đạo hàm Sau nêu kết luận số hợp đồng didactic Chương 3, Nghiên cứu thực nghiệm HS nhằm kiểm chứng số kết luận hợp đồng didactic chương Trong phần kết luận chung, chúng tơi tóm tắt kết đạt chương 1, 2, nêu số hướng nghiên cứu mở từ luận văn Chương KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM TRONG MỘT SỐ GIÁO TRÌNH ĐẠI HỌC 1.1 Đạo hàm phương diện đối tượng 1.1.1 Trong gíao trình Tốn học cao cấp, tập tác giả : Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh ( Nhà xuất giáo dục năm 2008- tái lần thứ 12) Chúng tơi kí hiệu : [4] Trước xây dựng khái niệm Đạo hàm có khái niệm  Giới hạn hàm số : “ Cho hàm số f(x) xác định khoảng (a;b), nói f(x) có giới hạn L ( hữu hạn), x dần đến x0 ( x0   a; b  ) với   cho trước tìm   cho  x  x0   f ( x)  L   ”  Giới hạn phía “ Xét limf(x) x dần đến x0 ( hữu hạn) x thỏa x < x0 x > x0; tồn limf(x) ta nói giới hạn phía : giới hạn trái ( x  x0 , x  x0 ) giới hạn phải ( x  x0 , x  x0 ) f(x) ”  Vô bé vô lớn “ Hàm số f(x) gọi vô bé x dần đến x0 lim f ( x)  ” x  x0 “ Hàm số f(x) gọi vô lớn x dần đến x0 lim g ( x)   ” x  x0  Sự liên tục hàm số “ Cho f(x) hàm số xác định khoảng (a;b) ; nói f(x) lien tục điểm x0  (a; b) lim f ( x)  f ( x0 ) ” x  x0  Sự liên tục “ Hàm số f(x) xác định khoảng (a;b) gọi liên tục (a ;b) với   cho trước tìm   cho với u, v  (a; b) thỏa u  v   f (u )  f (v)   ” Định nghĩa Đạo hàm ( hàm số biến) “ Cho hàm số f(x) xác định khoảng (a;b); nói hàm số f(x) khả vi điểm c  (a; b) tồn giới hạn lim x c f ( x)  f (c)  A, xc xc Số A; giới hạn tỉ số f ( x )  f (c ) , x  c x  c gọi đạo hàm hàm số f(x) lấy xc điểm x = c ; kí hiệu f / (c) Đặt x  c  x biểu thức định nghĩa trở thành lim  x 0 f ( c  x )  f ( c )  f / (c) ” x Sau giáo trình đưa định nghĩa khả vi dạng f (c  x)  f (c)  f / (c)x  o(x) , o(x) vơ bé bậc cao x x  Tiếp theo xây dựng phép toán ĐH, ĐH hàm số hợp, ĐH theo tham số, ĐH hàm số sơ cấp bản, ĐH phía( xây dựng từ giới hạn bên lim xc f ( x )  f (c ) có đưa kí hiệu), ĐH xc vơ cùng, ĐH vi phân cấp cao Trong [4] mở rộng đạo hàm riêng, vi phân riêng hàm số nhiều biến, ĐH hàm ẩn, ĐH vectơ, phương trình vi phân Nhận xét : - Khái niệm giới hạn hàm số xây dựng theo ngôn ngữ  ,  -Đưa vào kí hiệu x, y định nghĩa ĐH có định nghĩa khả vi theo vơ bé - Định nghĩa ĐH có mối quan hệ mật thiết với khái niệm hàm số liên tục, khái niệm vô bé - Khái niệm đạo hàm mở rộng cho hàm nhiều biến 1.1.2 Giáo trình Tốn Giải Tích PGS TS Dương Minh Đức ( Nhà xuất thống kê năm 2006) Kí hiệu: [5] Trước xây dựng khái niệm ĐH giáo trình xây dựng khái niệm tương tự giáo trình [4] Về định nghĩa Đạo hàm ( hàm số biến) “ Cho f hàm số thực khoảng mở (a;b) x  (a; b) Chọn số thực dương r cho ( x  r ; x  r )  (a; b) Đặt u (h )  f ( x  h)  f ( x ) với h  (r , r ) \{0} h Ta nói f hàm số khả vi x giới hạn sau có số thực lim h0 f ( x  h)  f ( x ) h ( = lim u (h) ) h 0 Lúc ta kí hiệu giới hạn f / ( x) gọi đạo hàm f x Nếu f khả vi x  (a; b) ta nói f khả vi (a;b) Giáo trình khơng đưa kí hiệu đạo hàm bên mà giới thiệu thông qua giới hạn bên lim h0 f ( x  h)  f ( x ) h Tiếp theo xây dựng phép toán ĐH, ĐH hàm số hợp, ĐH hàm số sơ cấp bản, ĐH cấp cao, mở rộng đạo hàm hàm số nhiều biến số 1.1.3 Giáo trình Principles of Mathematical Analysis Walter Rudin ( MacGraw – Hill Book Company, Third Edition, 1976) Kí hiệu: [1] Trước xây dựng khái niệm ĐH giáo trình xây dựng khái niệm tương tự giáo trình [4] Về định nghĩa Đạo hàm “ Cho hàm số thực f xác định đoạn [ a;b] Với x thuộc [a;b], lập tỉ số  (t )  f (t )  f ( x) tx ( a  t  b, t  x ) Nếu lim  (t ) tồn kí hiệu f / ( x)  lim  (t ) đạo hàm hàm số f x tx tx Đạo hàm bên phải( hay bên trái) x giới hạn bên phải ( hay bên trái) lim  (t ) ” ( chương 5, tx trang 89) Ngồi [1] cịn mở rộng có khái niệm : ĐH hàm số phức “ Cho hàm phức f xác định [a; b] Đặt f (t )  f1 (t )  if (t ) với f1 ; f hàm thực a  t  b Khi hai hàm số f1 ; f có đạo hàm x ta nói hàm số f có đạo hàm x kí hiệu f / ( x) Ngoài f / ( x)  f1/ ( x)  if 2/ ( x) ” ( trang 96) Tiếp theo xây dựng phép toán ĐH, ĐH hàm số hợp, ĐH hàm số sơ cấp bản, ĐH bên, ĐH cấp cao, mở rộng đạo hàm hàm số nhiều biến số Nhận xét : - Theo giáo trình kí hiệu x, y khơng đưa vào định nghĩa đạo hàm - ĐH bên trái bên phải định nghĩa qua giới hạn bên không đưa kí hiệu - Có mở rộng khái niệm : ĐH hàm số phức 1.1.4 Giáo trình A FIRST COURSE IN CALCULUS Serge Lang (Springer, 5th Edition, 1998) Kí hiệu [2] Về định nghĩa Đạo hàm hàm số biến “ Giới hạn lim h 0 f ( x  h)  f ( x ) , có, gọi đạo hàm hàm số f x kí hiệu h f / ( x) Vậy f / ( x)  lim h0 f ( x  h )  f ( x) ” (chương III, Trang 40) h Nhận xét : - Giáo trình đưa kí hiệu df  f / ( x) dx - Không đưa vào kí hiệu x, y định nghĩa đạo hàm - Khái niệm đạo hàm bên không đưa kí hiệu mà xét dựa vào giới hạn bên lim h0 f ( x  h)  f ( x ) h Chẳng hạn Ví dụ , trang 42 Tìm đạo hàm bên phải bên trái hàm số f(x) = /x/ x = Trong lời giải tác giả trình bày sau : Đạo hàm bên phải x = giới hạn lim h0 h f (0  h)  f (0) h Tương tự có đạo hàm bên trái giới hạn lim h0 h0 f (0  h)  f (0) h 1.1.5 Giáo trình Mathematical Analysis A.F Bermant, I.G Aramanovich ( Mir Publishers Moscow, second Edition, 1979) Kí hiệu là: [3] Về định nghĩa Đạo hàm hàm số biến: Giáo trình đưa tốn tìm vận tốc tức thời chất điểm Đưa vào khái niệm kí hiệu số gia biến số số gia hàm số định nghĩa đạo hàm hàm số y = f(x) giới hạn lim x 0 Như f / ( x)  lim x 0 f ( x  x)  f ( x) kí hiệu f / ( x) x f ( x  x )  f ( x ) x Sau xây dựng chứng minh qui tắc tính ĐH, Hàm số đạo hàm, ĐH hàm số hợp hàm nghịch đảo, ĐH hàm số sơ cấp bản, ĐH hàm lượng giác ngược(tr.136), ĐH hàm ẩn(tr.141), ĐH theo tham số( tr 147), Phương trình tiếp tuyến( có ví dụ lập PT tiếp tuyến Elip trang 150) Khái niệm vi phân : thiết lập công thức dy  f / ( x)dx Khái niệm ĐH bên : [3] xây dựng sau : “ giới hạn trái giới hạn phải tỉ số f ( x0  x)  f ( x0 ) x0 gọi đạo hàm bên trái hay bên phải hàm số x y = f(x) Tức x  x0 , x  x0 có ĐH bên phải x  x0 , x  x0 có ĐH bên trái ” (tr.163) Xây dựng công thức gần f ( x0  dx)  f ( x0 )  f / ( x0 )dx (tr 163) Tiếp theo khái niệm ĐH vi phân cấp cao 1.2 Đạo hàm phương diện cơng cụ 1.2.1 Giáo trình [4]  Hàm số biến số Ứng dụng Các định lý giá trị trung bình Trước hết [4] có đưa chứng minh định lý giá trị trung bình Định lý Fermat: “ Nếu hàm số f : (a; b)   đạt cực trị c  (a; b) f khả vi c f / (c)  ” Định lý Rolle : “ Cho hàm số f ( x ) xác định, liên tục khoảng đóng [a;b] khả vi khoảng mở (a;b); giả sử f (a)  f (b) tồn c  (a; b) cho f / (c)  ” Định lý Lagrange: “ Cho hàm số f ( x ) xác định, liên tục khoảng đóng [a;b] khả vi khoảng mở (a;b), tồn c  (a; b) cho f (b )  f (a )  f / (c) ” ba Công thức Taylor : “ Nếu hàm số f ( x ) xác định có đạo hàm đến cấp n liên tục khoảng đóng [a;b], có đạo hàm cấp (n+1) lần khoảng mở (a;b) với c  (a; b) ln có f / (c) f / / (c ) ( x  c)  ( x  c)2   1! 2! (n) ( n 1) f (c ) f ( c)  ( x  c) n  ( x  c)n 1 n! (n  1)! f ( x )  f (c )  Với c số nằm x c ” Khai triển Mac Laurin : cho c = cơng thức Taylor ta có f / (0) f / / (0) x x   1! 2! f ( n ) (0) n f ( n 1) ( x) n 1  x  x ( n  1)! n! f ( x)  f (0)  với    Từ nêu ứng dụng  Khử dạng vô định cách dùng qui tắc De L’Hospital “ Giả sử hàm số f ( x), g ( x) xác định, khả vi lân cận x = a( a   ), trừ x = a Nếu lim f ( x)  lim g ( x)  , g / ( x)  lân cận x = a xa x a Và lim x a f / ( x) f ( x) A ”  A lim / x  a g ( x) g ( x)  Khảo sát biến thiên hàm số dựa vào định lý “Cho hàm số f xác định, liên tục khoảng đóng hữu hạn [a;b] khả vi khoảng mở (a;b), đó: điều kiện có đủ để f(x) tăng ( giảm) [a;b] f / ( x)  ( f / ( x)  ) với x  (a; b) ” Cụ thể ứng dụng để : chứng minh bất đẳng thức, tìm cực trị hàm số  Xấp xỉ hàm số thực đa thức b) y  g ( x) x0 = y O x -1 -1 Trả lời c) y  h( x) x0 = y x -2 -1 O Trả lời d) y  u( x) x0 = y x -2 O -1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 Trả lời e) y  v( x) x0 = y x -2 -1 O -1 -2 -3 -4 Trả lời LT32 LT63 NQ5 ... phân 1.3 Kết luận 1.3.1 Về vai trò đối tượng nghiên cứu khái niệm đạo hàm  Trước xây dựng khái niệm đạo hàm giáo trình xây dựng cách chặt chẽ khái niệm giới hạn hàm số hàm số liên tục( theo ngôn... hiệu  Khái niệm hàm số đạo hàm giáo trình đưa vào  Khái niệm đạo hàm cịn giáo trình mở rộng cho hàm số nhiều biến, hàm số biến số phức 1.3.2 Về vai trị cơng cụ khái niệm đạo hàm Xây dựng đầy... tiếp thông qua giới hạn bên  Đạo hàm khoảng “ Hàm số y  f ( x) gọi có đạo hàm khoảng (a;b) có đạo hàm điểm khoảng ” Nhận xét: - Khái niệm ? ?hàm số đạo hàm? ?? đưa vào trang 153, SGKC11 “ Hàm số