Chuyen de 2p2 Giai toan tren MTCT cap TP

Các bước giải một phương trình lượng giác Bước 1: Tìm điều kiện (nếu có) của ẩn số để hai vế của pt có nghĩa.. Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi tương đương để biến đổi pt đến một p[r]

B PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Các bước giải phương trình lượng giác Bước 1: Tìm điều kiện (nếu có) ẩn số để hai vế pt có nghĩa

Bước 2: Sử dụng phép biến đổi tương đương để biến đổi pt đến pt đã biết cách giải

Bước 3: Giải pt chọn nghiệm phù hợp ( có) Bước 4: Kết luận

I Định lý bản: ( Quan trọng )

u = v+k2 sinu=sinv

u = -v+k2 u = v+k2 cosu=cosv

u = -v+k2

tgu=tgv u = v+k (u;v ) cotgu=cotgv u = v+k (u;v k )

k 

 

 



 

 

    

 



  

 

( u; v biểu thức chứa ẩn kZ )

Ví dụ : Giải phương trình:

sin3x sin(4 )x 

 

cos )

cos(x   

cos3xsin2x 4.

4

sin cos (3 cos6 )

4

x x  x

II Các phương trình lượng giác bản:

1 Dạng 1: sinx = m ; cosx = m ; tgx = m ; cotgx = m ( mR) * Gpt : sinx = m (1)

 Nếu m 1 pt(1) vơ nghiệm

 Nếu m 1 ta đặt m = sin ta có

x = +k2 (1) sinx=sin

x = ( - )+k2

 



  



  

 * Gpt : cosx = m (2)

 Nếu m 1 ta đặt m = cos ta có

x = +k2 (2) cosx=cos

x = +k2

 



 



  

 

* Gpt: tgx = m (3) ( pt ln có nghiệm mR)  Đặt m = tg

(3)  tgx = tg   x = +k 

* Gpt: cotgx = m (4) ( pt ln có nghiệm mR)  Đặt m = cotg

(4)  cotgx = cotg   x = +k  Các trường hợp đặc biệt:

sin x = 2 sinx = x = k

sin x = 2 cos x = cosx = x = + k

2 cos x =

x k

x k

x k

x k

  

 

 

  

   



  

  



 

Ví dụ:

1) Giải phương trình :

a) 

1 sin

2 x

b)

2 cos( )

4

x  

c) 2sin(2  6) 30 

x

d)2cos(  3) 30 

x

e) sin2xcos2x1 f) x

x

x sin cos2 cos4

 

2) Giải phương trình:

a) cos x sin4 x2 cos2x c)

2 sin ) cos (sin

4 4

  

 x x

x

b) sin6xcos6xcos4x d)

3

2 Dạng 2: 2 2

sin sin

cos cos

0

cot cot

a x b x c a x b x c atg x btgx c a g x b gx c

  

  

  

   ( a0)

Cách giải:

Đặt ẩn phụ : t = sinx ( t = cosx; t = tgx; t = cotgx) Ta phương trình : at2bt c 0 (1)

Giải phương trình (1) tìm t, suy x

Chú ý : Phải đặt điều kiện thích hợp cho ẩn phụ (nếu có)

Ví dụ :

a) cos2x5sinx 0 b)

5

cos2 4cos

2 x x 

c) 2sin2 x 4 5cosx d)

2cos cos2x x 1 cos2xcos3x e)

4

sin cos sin2

2 x x x

f) ) 2 cos( ) cos (sin

2 4

 



 x x

x 

g)

4

sin cos 2sin

2

x x x

  

h) sin4 xcos4 xsinx.cosx0

k) 2sin

cos sin ) sin (cos

2 6

    x x x x x l) cos ) sin sin cos (sin

5  

   x x x x x 3.Dạng 3:

acosx b sinx c (1) ( a;b 0) Cách giải:

 Chia hai vế phương trình cho a2b2 pt

2 2 2

(1) a cosx b sinx c

a b a b a b

  

   (2)

 Đặt 2 2 b

cos vaø sin

a a

a b   b   với 0;2thì :

2

2

c (2) cosx.cos + sinx.sin =

a c

cos(x- ) = (3) a

b

b

 

 

 

 Pt (3) có dạng Giải pt (3) tìm x

Chú ý :

Pt acosx + bsinx = c có nghiệm  a2b2 c2

Ví dụ : Giải phương trình :

a) cosx sinx1 b) cosx 3sinx

d Dạng 4:

asin2 x b sin cosx x c cos2 x0 (a;c 0) (1) Cách giải 1:

Ap dụng công thức hạ bậc :

2 cos2 cos2

sin vaø cos

2

x x

x  x 

công thức nhân đôi :

1 sin cos sin

2

x x x

thay vào (1) ta biến đổi pt (1) D dạng

Cách giải 2: ( Quy pt theo tang cotang ) Chia hai vế pt (1) cho cos2x ta pt:

2 0

atg x btgx c   .

Đây pt dạng biết cách giải

Chú ý: Trước chia phải kiểm tra xem x k

   

có phải nghiệm (1) khơng?

Ví dụ : Giải phương trình:

a(cosxsin )x bsin cosx x c 0 (1) Cách giải :

 Đặt t cosx sinx cos(x 4) với - t 

     

Do

2

2 t

(cos sin ) 2sin cos sinx.cosx=

x x   x x  

 Thay vào (1) ta phương trình :

2 1

0

t

at b   c (2)

 Giải (2) tìm t Chọn t thỏa điều kiện giải pt:

2 cos( ) x  t tìm x

Ví dụ : Giải phương trình :

sin2x 2(sinxcos ) 0x   Chú ý : Ta giải tương tự cho pt có dạng :

(cos sin ) sin cos a x x b x x c 

Ví dụ : Giải phương trình :