ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN  - Đề tài: PHÂN LOẠI CÁC p-NHÓM CẤP p4 BẰNG CÁCH ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT MỞ RỘNG NHÓM CỦA OTTO SCHREIER Giáo viên hướng dẫn : ThS Nguyễn Viết Đức Sinh viên thực hiện : Lê Thị Hịa Chun ngành : Sư phạm Tốn Lớp : 09ST Đà Nẵng, 05/2013 MỤC LỤC Trang LỜI MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1:CƠ SỞ LÝ LUẬN .2 §1: MỘT SỐ KHÁI NIỆM 1.1 Nhóm: 1.2 Nhóm : 1.3 Nhóm chuẩn tắc: 1.3.1 Định nghĩa: 1.3.2 Định lý: 1.4 Nhóm xyclic: 1.5.p-nhóm: 1.6 Nhóm giao hoán tử: .4 1.6.1 Định nghĩa: 1.6.2 Tính chất: 1.6.3 Định lý: 1.7 Đồng cấu: .4 1.7.1 Định nghĩa: 1.7.2 Tính chất: f : G  H đồng cấu nhóm 1.8 Đồng dư: .5 §2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 2.1 Mở rộng nhóm theo nhóm bất kì: 2.2 Mở rộng nhóm theo tích trực tiếp: 2.3 Mở rộng nhóm với nhóm Abel: 16 CHƯƠNG 2: PHÂN LOẠI CÁC p-NHÓM BẬC p 23 §1: Một số định nghĩa định lý liên quan: .23 I Một số định nghĩa: 23 Mod M ma trận cột 23 Mod M ma trận 23 3.Mod M ma trận quy 23 Mod M ma trận đơn vị .24 Ma trận thực quy 24 II Một số định lý: 24 Định lý (Định lý Schreier): 24 Định lý 2: .25 Định lý 3: .26 Định lý 4: .26 Định lý 5: .27 §2: PHÂN LOẠI .30 Nhóm A từ loại  p , B A từ loại  p n , p n , , p n  : 31 s Nhóm A từ loại  p, p , B A từ loại  pn1 , pn2  (n1  n2 ) 34 Phân loại nhóm khơng Abel bậc p : .38 KẾT LUẬN 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 LỜI MỞ ĐẦU Bài tốn tìm phân loại tất nhóm có cấp cho trước tốn khó đến cịn tốn mở Để xây dựng nhóm trừu tượng bậc hữu hạn định từ hai nhóm A B , ta xây dựng thông qua số phương trình phần tử bất biến A , dạng phương trình phụ thuộc hồn tồn vào nhóm B Như ứng dụng lý thuyết mở rộng nhóm Otto Schreier, khóa luận“ phân loại nhóm p-nhóm cấp p cách ứng dụng lý thuyết mở rộng nhóm Otto Schreier” nhằm tìm hiểu cách phân loại nhóm khơng abel cấp p Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, phần nội dung chia thành chương , nội dung trình bày chương Chương trình bày lại số định nghĩa, khái niệm đặc trưng cần thiết §1 Một số định lý mở rộng nhóm Otto Schreier cần thiết làm sở cho phần sau §2 Chương §1 định nghĩa số tính chất cột ma trận cột modulo, số định lý liên quan, §2 phần phân loại p-nhóm cấp p Cuối cùng, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thạc sĩ Nguyễn Viết Đức, người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi hồn thành khóa luận Xin cảm ơn Ban Giám Hiệu, giảng viên Khoa Toán trường Đại học Sư Phạm - Đại học Đà Nẵng tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành khóa học giúp đỡ tơi q trình nghiên cứu hồn thành khóa luận Mặc dù thân cố gắng hướng dẫn tận tình thầy giáo hướng dẫn, lực thân thời gian cịn hạn chế nên khó tránh khỏi thiếu sót, chúng tơi mong nhận góp ý tận tình thầy bạn để khóa luận hồn thiện KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP SVTH: Lê Thị Hòa CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN §1: MỘT SỐ KHÁI NIỆM 1.1 Nhóm: Cho G tập khơng rỗng với phép tốn hai ngơi “.” (G,.) gọi nhóm chúng thoả tính chất sau: (i) Với x,y,z thuộc G  xy  z  x  yz  (ii) Tồn e thuộc G cho ex  xe  x,x  G (iii) Với x thuộc G tồn y thuộc G cho xy  yx  e Ta kí hiệu y x 1 Để cho gọn ta kí hiệu nhóm (G,.) G Nếu phép tốn hai ngơi nhóm G có tính giao hốn G gọi nhóm Abel Cấp nhóm: Cho G nhóm Khi cấp nhóm G lực lượng G, kí hiệu G Nếu G hữu hạn G gọi nhóm hữu hạn Ngược lại G gọi nhóm vơ hạn 1.2 Nhóm : Cho G nhóm, H tập khác rỗng G Nếu H với phép toán cảm sinh phép toán G lập thành nhóm H gọi nhóm nhóm G Ta kí hiệu H  G 1.3 Nhóm chuẩn tắc: 1.3.1 Định nghĩa: Cho G nhóm H nhóm G KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP SVTH: Lê Thị Hịa H gọi nhóm chuẩn tắc G x  G,h  H xhx1  H Ta kí hiệu H G 1.3.2 Định lý: Nếu A nhóm chuẩn tắc nhóm X thì: (i) Quy tắc cho tương ứng với cặp ( xA, yA) lớp trái xyA ánh xạ từ X / A  X / A đến X / A (ii) X / A với phép toán hai ngơi ( xA, yA)  xyA nhóm, gọi nhóm thương X A 1.4 Nhóm xyclic: Một nhóm G gọi xyclic G sinh phần tử a  G Phần tử a gọi phần tử sinh G Như nhóm G xyclic phần tử luỹ thừa a ,   , phần tử a  G 1.5 p-nhóm: Cho G nhóm (i) Nếu G nhóm cấp p n với n số tự nhiên, p số nguyên tố G gọi p-nhóm (ii) Nếu H nhóm G H p-nhóm H gọi p-nhóm G (iii) Nếu G nhóm cấp m.p n  m, p   H nhóm cấp p n G H gọi p-nhóm Sylow G KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP SVTH: Lê Thị Hịa (iv) Hai nhóm H1 H G gọi liên hợp tồn x thuộc G cho H1  xH x 1 ta viết H1 H2 1.6 Nhóm giao hốn tử: 1.6.1 Định nghĩa: Cho nhóm G nhóm Với x, y  G , x 1 y 1 xy đ ược gọi hoán tử x y hay nói gọn hốn tử Kí hiệu  x, y  để hốn tử Một nhóm G sinh tất hốn tử G gọi nhóm giao hốn tử (hay nhóm dẫn xuất) G kí hiệu G Ta có G  G, G  1.6.2 Tính chất: (i) G nhóm chuẩn tắc G (ii) G nhóm, G nhóm giao hốn tử G , G / G nhóm Abel 1.6.3 Định lý: Cho x, y, z phần tử nhóm Khi đồng thức sau thiết lập: (i)  x, y    y, x  1 (ii)  xy, z    x, y   y, z  y (iii)  z, xy    z, y  z, x  y 1.7 Đồng cấu: 1.7.1 Định nghĩa: KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP SVTH: Lê Thị Hịa Cho hai nhóm (G,.) ( H ,.) Một tương ứng: f :G  H x f ( x) gọi đồng cấu nếu: (i) f ánh xạ; (ii) f ( x y)  f ( x) f ( y), x, y  G 1.7.2 Tính chất: f : G  H đồng cấu nhóm thì: (i) f (1G )  1H ; (ii) f ( x 1 )  ( f ( x))1 Một đồng cấu nhóm với f đơn ánh, toàn ánh, song ánh gọi đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu 1.8 Đồng dư: Cho hai số nguyên a b , a  b chia hết cho m (m  0) a gọi đồng dư modulo m, kí hiệu a  b mod m KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP SVTH: Lê Thị Hịa §2: MỘT SỐ ĐỊNH LÝ MỞ RỘNG NHÓM CỦA OTTO SHREIER 2.1 Mở rộng nhóm theo nhóm bất kì: Cho hai nhóm A B , tìm tất nhóm B nhận A làm nhóm chuẩn tắc cho B A  B Nói ngắn gọn tìm tất mở rộng B A theo B Tiến hành phân tích B Chọn ánh xạ: t : B  B B t  B   B t 1B   1B 1B đơn vị B Ta có: AB  BA (lớp kề B theo A ), BB  t  BB  AB ,B  A : BB  BBAB ,B 1 Như AB BA thuộc BA ta có AB  BAB ( AB  B AB  A ), E B  E với E  1B Bây giả sử tồn nhóm B , câu hỏi đặt phần tử AB , AB',B'' phải thoả mãn điều kiện để mối quan hệ AB  BAB B' B''  B' B''AB' B'' quan hệ A B xác định Ta có: B'AB'' A  B' B'' A' B'' A''  B' B''AB' B'' A' B'' A'' Xem phần tử BA cặp   B, A với B  B; A  A , từ   ta suy B', A'B'', A''  B' B'', AB',B'' A' B'' A'' Đầu tiên xác định điều kiện để cặp B, A nhóm KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP SVTH: Lê Thị Hòa - Phần tử đơn vị: EB  EB ,EA  A',A'',A''',B',B'',B''' cho trước : B,AE,E  B,A  II  - Tính chất kết hợp: B,A ;B,AB,A  B,AB,A;B,A  I  - Phần tử nghịch đảo: A,B : B, AB , A  E,E   Suy B  B 1 ; A  AB 1 1  III  AB1,B1 Phân tích (I): B, A ;B, AB, A  B, A B, A ;B, A    BBB, ABB ,B  AB ,B AB A  A  BBB, AB ,BB ABB AB,B AB A B  ABB ,B  AB ,B AB A  A  AB ,BB ABB AB,B AB A B 1 Phân tích (II): B, AE,E  B, A  B, AB ,E AE   B, A  2  AB ,E AE  A Từ   với A  E AB,E  E Do AE  A  3  4 Từ 1 cho B  E, B  B  AB ,E AE A   AB AE ,B AB B Từ  3   ta có  AA   AB AE ,A AB B Cho A  A  E , từ  5  ta AE ,B  E   Và 5   AA   AB AB B KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP 5    6  5 SVTH: Lê Thị Hòa 27 cuối ta đồng dư  b  Định lý 4: Cho B p-nhóm khơng Abel với nhóm giao hốn tử A Các bất biến A p m1 , p m2 , , p mr , bất biến B / A p n1 , p n2 , , p ns Với p  f (r , m1 , m2 , , mr ) Khi đó, từ số ni tạo thành chuỗi r – đơn vị: ni1  n j1 , ni2  n j2 , , ni  n j , n j 1 , nk , ni 1  n j 1 , ( i  j với    i  i j  j không đồng thời xảy ra) Sau đó:  niv  n jv , v  1, ,  ,  1, ,  , mv   v    1, , ,   1, , ,  nkv , Định lý 5: Cho nhóm B , có nhóm giao hoán tử A Cyclic cấp p m ( p số nguyên tố lẻ), n B / A có bất biến p n1 , p n2 , , p s (s  2; n1  n2   ns ) n1  m Chứng minh: Giả sử với n1  m có nhóm thỏa mãn xác định quan hệ:  A p  E, Bip  Ai , Bi1 ABi  A1 i p , Bi1B j 1Bi B j  A i , j ;(i, j  1, s; i  j ) m ni Theo điều kiện (a) định lý 1: i  0( p mni ) đó: KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP SVTH: Lê Thị Hòa 28  (1  i p)  (1  i p)2   (1  i p) p ni 1  p ni (1   i p)( p m ) Theo điều kiện (b) (d), cho cặp i, j (i  j ) : i p i  0( p m )  j p i  p n (1   i p) i , j ( p m )  j p j  0( p m ) i p j   p n (1   i p) i , j ( p m ) i i r i  p i , i  p n i ,  i , j  p  i , j , i , i ,  i , j nguyên tố với p i Sau i, j i i  i   m,  j   j   m , có bất đẳng thức i   j   m,  j  i   m Nhưng điều cần thiết ni  vi , j  m , có nghĩa vi , j  , tất giao hốn tử nhóm lũy thừa A p , điều dẫn đến mâu thuẫn, ta chứng minh điều kiện cần Để chứng minh điều kiện đủ, ta thực bước: (i) Xây dựng p-nhóm với s  2, n1  m, n2  (ii) Bằng cách xây dựng p-nhóm mới, nhóm giao hốn tử có bất biến nhóm cũ, bất biến nhóm thương tương ứng thay Cụ thể: (i) Đầu tiên, nhóm định nghĩa: B  B1 , B2 , A / A p  E, B1p  E, B2p  A,  B1, B2   A,  B1, A  A p ,  A, B2   E m m KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP SVTH: Lê Thị Hịa 29 (ii) B p-nhóm với nhóm giao hoán tử Abel A Các bất biến A p m1 , p m2 , , p mr B / A p n1 , p n2 , , p ns B định nghĩa: B  Bi , A A X AY  A X Y , B p  A Ai ,  Bi , B j   Ai , j ,  A X , Bi   A Bi X ;i, j  1,s,i  j ni Sau định nghĩa B : B  Bi , A A X AY  A X Y , Bi p ni  vi  A Ai ,  Bi, Bj   Ai , j ,  A X , Bi  A Bi X ;i, j  1,s,i  j có nhóm giao hốn tử trùng với B , yếu tố bất biến tương ứng nhóm thương thương p n1 v1 , p n2 v2 , , p ns vs (vi  0)  Tích trực tiếp B với nhóm Abel loại p vs 1 , , p vs  tạo thành nhóm nhận A làm nhóm giao hốn tử Bây thành phần bất biến nhóm thương p n1 v1 , p n2 v2 , , p ns vs , pvs 1 , pvt Như định lý chứng minh hồn tồn KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP SVTH: Lê Thị Hịa 30 §2: PHÂN LOẠI Q trình phân loại sau: - Đầu tiên thơng qua định lý kiểm tra mối quan hệ nhóm - Sau thực đổi sở B / A B1 , B2 , , Bs A A1 , A2 , , Ar , từ tìm nhóm khác Trong q trình người ta tính lũy thừa p n phần tử B1x1 , Bsxs , AU , p n cấp B1x1 , , Bsxs , A B / A n Điều đưa đến: ( B1x1 Bsxs AU ) p  B1p x1 Bsp xs A p U n n n  Ta chứng minh với s  , với s  sử dụng phương pháp quy nạp Đặt: B2 x2 B1 x1 B2x2 B1x1  A Ta có: ( B1x1 B2x2 AU )k đưa dạng B1kx1 B2kx2 AU k Sau áp dụng: B1kx1 B2kx2 AU k  B1x1 B2x2 AU B1( k 1) x1 B2( k 1) x2 AU k 1  U k  U k 1 ( B1x1 B2x2 )k 1U  ( E  B1x1   B1( k 2) x1 ) B2( k 1) x2  Do đó: p   p x1 x2 k 1    ( B1 B2 ) U   ( E  B1x1   B1( k 2) x1 ) B2( k 1) x2  k 1  k 1    n U pn KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP n SVTH: Lê Thị Hòa 31 Theo giả thiết: ( B1x1 ) p  E ( P); ( B2x2 ) p n n  p n1   n2  p  E ( P) với P         p nr   p n ( B1x1  E )  0( P); p n ( B2x2  E )  0( P) (theo định lý 3) Ta thu được: U p n p n ( p n  1) pU ( P ) n Nhóm A từ loại  p , B A từ loại  p n , p n , , p n  : s Đặt: A  A Ap  E B A  B1, B2 , , Bs Bip  E,  Bi , B j   n s pn Xét dãy khớp ngắn:  A  B  B A  Định nghĩa nhóm B sau:  B  B1, B2 , , Bs , A A p  E,  A, Bi   A, A X AY  A X Y , Bip  Ai ,  Bi , B j   A i , j n Trong đó:   i, j  ss mod M ma trận B mở rộng A theo B A B thoả điều kiện sau: (a) Bip  E n (b)  Bi  E  i  (c) Bi Bj  B j Bi KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP SVTH: Lê Thị Hòa 32 B (d) j  E  i   E  Bi   Bin1   i, j (e)  i, j   j,i   Bk  E  i, j   Bi  E   j,k   Bj  E   k,i  (f)  i, j,k  1, ,s,i  j, j  k,k  i  Theo định lý tất  i, j chia hết cho p, tức tồn  i, j   mod p  Không tổng quát cho 1,2   mod p     Do B2  B2 1,2 nên 1,2  Có thể suy được:   Do Bi B1 2,i B  1,i   Bi nên B1 , B2 với B3 , B4 , giao hốn B3 , B4 khơng giao hốn,  3,4  0( p) Như ta có B3 , B4 B5 , B6 , giao hoán  3,4  Bằng cách tiếp tục trình này, cuối ta được:  1,2   3,4    2t 1,2t  1,  i , j khác Số t xác định rõ ràng nhóm, số lượng thành phần bất biến p sn12t Do 1 , , , 2t không đồng thời  0( p ) , nên tồn cặp 1 , không đồng thời  0( p) KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP SVTH: Lê Thị Hòa 33 Chúng ta xác định x1 , x2 , y1 , y2 cho: 1 x1   x2  1( p) ; 1 y1   y2  1( p) ; x1 y2  x2 y1  0( p)   Do B1x1 B2x2  B1; B1y1 B2y2  B2 nên 1  1,  , chọn y tùy ý cho 1,2  Tương tự xét cặp B2 k 1 , B2 k với  k 1 , k không đồng thời  0( p) Ta có 3  1,  , B2 B4  B2 ; B11B3  B3 nên 3  , số khác không thay đổi Bằng cách lặp lặp lại bước ta đạt được: 1  1;     2t  - Với 2t  s :  2t 1  1;  2t 2    s  1   2t 2  , B1B2t11  B1 nên 1  Do ta có nhóm đặc trưng giản đồ: 1 0  2t 1 Trong hai nhóm khơng đẳng cấu với + Xét: 1  1, 2t 1  , nhóm định nghĩa:  B  Bi , A A p  E,  A, Bi   A, A X AY  A X Y , B1p  A, Bkp  E,  Bi , B j   A i , j n n (i, j  1,s;k  2,s) + Xét: 1  0, 2t 1  , nhóm định nghĩa:  B  Bi , A A p  E,  A, Bi   A, A X AY  A X Y , B2pt 1  A, Bkp  E,  Bi , B j   A i , j n n (i, j  1,s;k  1, , 2t, 2t  2, s) KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP SVTH: Lê Thị Hòa 34 + Xét: 1  0, 2t 1  , nhóm định nghĩa:  B  Bi , A A p  E,  A, Bi   A, A X AY  A X Y , Bip  E,  Bi , B j   A i , j ; (i, j  1,s) n - Với 2t  s ta có nhóm i, j 1  0, B  Bi , A A p  E,  A, Bi   A, A X AY  A X Y , Bi p  E ,  Bi , B j   A n (i, j  1,s) i, j 1  1, B  Bi , A A p  E,  A, Bi   A, A X AY  A X Y , B1p  A, Bkp  E,  Bi , B j   A n n (i, j  1,s;k  2,s) Chọn t phù hợp (t  1) ta có: 3 ( s  1) s lẻ; s  s chẵn 2 Nhóm A từ loại  p, p , B A từ loại  pn1 , pn2  (n1  n2 ) Đặt: A  A1, A2 Aip  E,  Ai , Aj  B A  B1, B2 Bip  E,  Bi , B j  ;i, j  1, ni Xét dãy khớp ngắn:  A  B  B A  Nhóm B định nghĩa sau: B  B1 , B2 , A Ai p  E, A X AY  A X Y ,  A1, Bi   A2i ,  A2 , Bi   E, Bip  A1i A2i , ni (1)  Bi , B j   A1 A2 ;i, j  1, (1) (2) Theo định lý 2,  (1)  0( p) 1 ,  không đồng thời  0( p) Theo định lý 1(1)   2(1)  0( p) KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP SVTH: Lê Thị Hòa 35 2  0( p) , thơng qua B1 B2   B1 ta 1  0( p) Do dó cần phân biệt trường hợp: (i) 1  0( p);   0( p) (ii) 1  0( p);   0( p) Cho n1  n2 : (i) (ii) tương đương Cho n1  n2 : hai giả định tương phản với tạo thành nhóm khác 1 Trường hợp (i): Do {A1 A2  2 1  A1; A21  A2 } nên:  1  1,   2  0, 1  B1  B1x1 B2x2 AU , A1  A1x1 y2 A2  B2  B1p y1 B2y2 AV , A2  A2x1 y2   max(n1  n2 ,1), x1 y2  0( p) Số mũ A2 đa thức đại diện x, y, u, v mà đạt đến Đây cách tạo sở mà việc chuẩn hóa ban đầu a) n1  n2 :  B1 p  A21x1  x2  A21 x1 y2 ; n1 1 x1   x2  1 x12 y2  B2 p  A2 y2  A2 x1 y2 ; n2  y2   2 x12 y2 Bằng cách lựa chọn x, y thích hợp ta đạt hình thức bình thường sau: 1 0  2 v 0 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP SVTH: Lê Thị Hòa 36 v số cố định bậc hai không dư mod p + Xét 1  0,  2  1: B  B1 , B2 , A1 , A2 Ai p  E, A X AY  A X Y ,  A1 , B1   A2 ,  A1 , B2   A22 ,  A2 , Bi   E, B1 p  A11 , B2 p  A12 A2  Bi , Bj   A1 ;i, j  1, (1) n (1) n + Xét 1  0,  2  v : B  B1 , B2 , A1 , A2 Ai p  E, A X AY  A X Y ,  A1 , B1   A2 ,  A1 , B2   A22 ,  A2 , Bi   E, B1 p  A11 , B2 p  A12 A2 v ,  Bi , Bj   A1 ;i, j  1, (1) n (1) n + Xét 1  1,  2  : B  B1 , B2 , A1 , A2 Ai p  E, A X AY  A X Y ,  A1 , B1   A2 ,  A1 , B2   A22 ,  A2 , Bi   E, B1 p  A11 A2 , B2 p  A12 ,  Bi , Bj   A1 ;i, j  1, (1) n (1) n + Xét 1  0,  2  : B  B1 , B2 , A1 , A2 Ai p  E, A X AY  A X Y ,  A1 , B1   A2 ,  A1 , B2   A22 ,  A2 , Bi   E, Bi p  A1i ,  Bi , Bj   A1 ;i, j  1, n (1) b) n1  n2 :  B1 p  A21x1  A21 x1 y2 ; n1 1 x1  1 x12 y2  B2 p  A21 y1  y2  A2 x1 y2 ; 1 y1   y2   2 x12 y2 n2 Do có hình thức bình thường sau: 1 0  2 v + Xét 1  1,  2  : KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP SVTH: Lê Thị Hòa 37 B  B1 , B2 , A1 , A2 Ai p  E, A X AY  A X Y ,  A1 , B1   A2 ,  A1 , B2   A22 ,  A2 , Bi   E, B1 p  A11 A2 , B2 p  A12 ,  Bi , Bj   A1 ;i, j  1, (1) n1 n2 (1) + Xét 1  0,  2  1: B  B1 , B2 , A1 , A2 Ai p  E, A X AY  A X Y ,  A1 , B1   A2 ,  A1 , B2   A22 ,  A2 , Bi   E, B1 p  A11 , B2 p  A12 A2  Bi , Bj   A1 ;i, j  1, (1) n1 (1) n2 + Xét 1  0,  2  v : B  B1 , B2 , A1 , A2 Ai p  E, A X AY  A X Y ,  A1 , B1   A2 ,  A1 , B2   A22 ,  A2 , Bi   E, B1 p  A11 , B2 p  A12 A2 v ,  Bi , Bj   A1 ;i, j  1, (1) n1 (1) n2 + Xét 1  0,  2  : B  B1 , B2 , A1 , A2 Ai p  E, A X AY  A X Y ,  A1 , B1   A2 ,  A1 , B2   A22 ,  A2 , Bi   E, Bi p  A1i ,  Bi , Bj   A1 ;i, j  1, Trường hợp (ii): Ở ta giả định n1  n2 Như trường hợp có: ni (1)  1  1,   2  0, 2  B1  B1x1 B2x2 AU , B2  B1p n1  n2 y1 A1  A1x1 y2 A2 A2  A2x1 y2 B2y2 AV , x1 y2  0( p)  B1 p  A21x1  A21 x1 y2 ; n1 1 x1  1 x1 y22 ( p)  B2 p  A21 y1  y2  A2 x1 y2 ; 1 y1   y2   2 x1 y22 ( p) n2 1 v 0  2 0 + Xét 1  1,  2  : KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP SVTH: Lê Thị Hòa 38 B  B1 , B2 , A1 , A2 Ai p  E, A X AY  A X Y ,  A1 , B1   A21 ,  A1 , B2   A2 ,  A2 , Bi   E, B1 p  A11 A2 , B2 p  A12 ,  Bi , Bj   A1 ;i, j  1, (1) n1 (1) n2 + Xét 1  v,  2  : B  B1 , B2 , A1 , A2 Ai p  E, A X AY  A X Y ,  A1 , B1   A21 ,  A1 , B2   A2 ,  A2 , Bi   E, B1 p  A11 A2 v , B2 p  A12 ,  Bi , Bj   A1 ;i, j  1, (1) n1 (1) n2 + Xét 1  0,  2  1: B  B1 , B2 , A1 , A2 Ai p  E, A X AY  A X Y ,  A1 , B1   A21 ,  A1 , B2   A2 ,  A2 , Bi   E, B1 p  A11 , B2 p  A12 A2  Bi , Bj   A1 ;i, j  1, (1) n1 (1) n2 + Xét 1  0,  2  : B  B1 , B2 , A1 , A2 Ai p  E, A X AY  A X Y ,  A1 , B1   A21 ,  A1 , B2   A2 ,  A2 , Bi   E, Bi p  A1i ,  Bi , Bj   A1 ;i, j  1, ni (1) Tóm lại, với n1  n2 có loại với n1  n2 có loại Phân loại nhóm khơng Abel bậc p : Theo định lý ta có loại sau: a) b) c) B/ A p2 , p p, p, p p, p A p p p, p a) Đặt: A = A / A p  E ; B/ A = B1, B2 / B1p  E, B2p  E Khi nhóm B định nghĩa sau: KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP SVTH: Lê Thị Hòa 39 B  Bi , A / A p  E,  A, Bi   E, B1p  A1 , B2p  A2 ,  Bi , B j   A  Từ định lý   0( p) Do  A  A ta có    B1 p  A21x1  A21 x1 y2 ; 1 x1  1 x1 y2 ( p)  B2 p  A21 y1 2 y2  A2 x1 y2 ; 1 y1   y2   2 x1 y2 ( p) Như vậy: 1 0  2 + Xét 1  1, 2  : B  Bi , A / A p  E,  A , Bi   E, B1 p  A , B2 p  E,  Bi , Bj   A + Xét 1  0, 2  1: B  Bi , A / A p  E,  A , Bi   E, B1 p  E, B2 p  A ,  Bi , Bj   A + Xét 1  0, 2  : B  Bi , A / A p  E,  A , Bi   E, B1 p  E, B2 p  E,  Bi , Bj   A b) Áp dụng cho s  ta có loại c) Áp dụng cho trường hợp n1  n2 ta có loại KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP SVTH: Lê Thị Hòa 40 KẾT LUẬN Trong khóa luận tìm hiểu trình bày vấn đề sau: Trình bày khái niệm nhóm Mở rộng nhóm theo nhóm Mở rộng nhóm theo tích trực tiếp Mở rộng nhóm với nhóm Abel Một số định nghĩa modulo ma trận Định lý mở rộng nhóm Otto Schreier số định lý liên quan Sử dụng lý thuyết mở rộng nhóm Otto Schreier để phân loại nhóm p-nhóm cấp p KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP SVTH: Lê Thị Hòa 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hồng Xn Sính (1972), Đại số đại cương, NXB Giáo dục [2] Nguyễn Hữu Việt Hưng (1998), Đại số đại cương, NXB Giáo dục [3] Thái Xuân Tiên, Nguyễn Viết Đức, Đặng Ngọc Dục (1995), Đại số tuyến tính, Đại học Đà Nẵng [4] Otto Schreier, Über die Erweiterung von Gruppen I, Monatshefte für Mathematik und Physik 1926, tập 34, số1, trang 165 – 180 [5] Otto Schreier, Über die Erweiterung von Gruppen II, Abhandlungen aus dem Mathematischen senimar der Universität Hamburg 1925/1926, tập 4, số 1, trang 321 – 346 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP SVTH: Lê Thị Hòa ... A , dạng phương trình phụ thuộc hồn tồn vào nhóm B Như ứng dụng lý thuyết mở rộng nhóm Otto Schreier, khóa luận“ phân loại nhóm p -nhóm c? ?p p cách ứng dụng lý thuyết mở rộng nhóm Otto Schreier? ??... ti? ?p Mở rộng nhóm với nhóm Abel Một số định nghĩa modulo ma trận Định lý mở rộng nhóm Otto Schreier số định lý liên quan Sử dụng lý thuyết mở rộng nhóm Otto Schreier để phân loại nhóm p -nhóm c? ?p. .. , phần tử a  G 1.5 p -nhóm: Cho G nhóm (i) Nếu G nhóm c? ?p p n với n số tự nhiên, p số ngun tố G gọi p -nhóm (ii) Nếu H nhóm G H p -nhóm H gọi p -nhóm G (iii) Nếu G nhóm c? ?p m .p n  m, p   H nhóm