PHỤ LỤC PHỤ LỤC LỜI MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN §1 MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA §2 MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ MỞ RỘNG NHĨM CỦA OTTO SCHREIER 2.1 Mở rộng nhóm theo nhóm bất kỳ……………………………………9 2.2 Mở rộng nhóm theo tích trực tiếp 12 2.3 Mở rộng nhóm với nhóm abel 19 CHƯƠNG 2: VIỆC MỞ RỘNG NHÓM VÀ PHÂN LOẠI NHÓM CÁC P-NHÓM CẤP P 27 §1 CỘT VÀ MA TRẬN CỘT MODULO 27 §2 ĐẲNG CẤU NHÓM CỦA MỘT NHÓM ABEL 30 2.1 Xác định thứ tự đẳng cấu p-nhóm abel 30 §3 CƠ SỞ ĐẶC BIỆT CỦA p-NHĨM 34 §4 PHÂN LOẠI CÁC NHÓM P-NHÓM CẤP P5 43 KẾT LUẬN 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO 64 LỜI MỞ ĐẦU Bài toán tìm phân loại tất nhóm có cấp cho trước tốn khó đến cịn tốn mở Để xây dựng nhóm trừu tượng bậc hữu hạn định từ hai nhóm A B , ta xây dựng thơng qua số phương trình yếu tố bất biến A , dạng phương trình phụ thuộc hồn tồn vào nhóm B Như ứng dụng lý thuyết mở rộng nhóm Otto Schreier, luận văn “ phân loại nhóm p-nhóm cấp p cách ứng dụng lý thuyết mở rộng nhóm Otto Schreier” nhằm tìm hiểu cách phân loại nhóm khơng abel cấp p Ngồi phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn chia thành chương , nội dung luận văn trình bày chương Trong phần đầu chương 1, chúng tơi trình bày lại số định nghĩa, khái niệm đặc trưng cần thiết Phần số định lý mở rộng nhóm Otto Schreier cần thiết làm sở cho phần sau Trong chương 2, để đến cách phân loại nhóm p-nhóm cấp p , tơi vào định nghĩa số tính chất cột ma trận cột modulo 1, sử dụng tính chất ma trận modulo đến phần mở rộng nhóm abel Ở 2, ta áp dụng kết đặc trưng nhóm p-nhóm, xác định số đặc tính nhóm đẳng cấu p-nhóm Abel Sau xét tính lũy thừa giao hốn tử nhóm ngun tố sở đặc biệt p-nhóm 3, chuẩn bị cho phân loại nhóm khơng abel bậc p Cuối , cho phép tơi bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo Thạc sĩ Nguyễn Viết Đức, người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Nhân đây, xin cảm ơn Ban Giám Hiệu, giảng viên Khoa Toán trường Đại học Sư Phạm_Đại học Đà Nẵng tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành khóa học giúp đỡ tơi trình học tập thực luận văn Mặc dù thân cố gắng hướng dẫn tận tình thầy giáo hướng dẫn, lực thân thời gian cịn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, mong nhận góp ý tận tình thầy bạn để luận văn hoàn thiện Đà Nẵng, ngày 25 tháng năm 2013 Trương Thị Hiệp CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ LUẬN §1 MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA 1.1 Nhóm Cho G tập khơng rỗng với phép tốn hai ngơi “.” (G,.) gọi nhóm chúng thoả tính chất sau: (i) Với x,y,z thuộc G (xy)z = x(yz) (ii) Tồn e thuộc G cho ex = xe = x,  x G (iii) Với x  G tồn y  G cho xy = yx=e Ta kí hiệu y x –1 Để cho gọn ta kí hiệu nhóm (G,.) G Nếu phép tốn hai ngơi nhóm G có tính giao hốn G gọi nhóm Abel 1.2 Nhóm Cho G nhóm, H tập khác rỗng G Nếu H với phép toán cảm sinh phép tốn G lập thành nhóm H gọi nhóm nhóm G Ta kí hiệu H  G 1.3 Cấp nhóm Cho G nhóm Khi cấp nhóm G lực lượng G kí hiệu G Nếu G hữu hạn G gọi nhóm hữu hạn Ngược lại G gọi nhóm vơ hạn 1.4 Nhóm chuẩn tắc Cho G nhóm H nhóm G H gọi nhóm chuẩn tắc G  x G,  h  H xhx -1  H Ta kí hiệu H  G Định lý 1: Nếu A nhóm chuẩn tắc nhóm X, thì: (i) Quy tắc cho tương ứng với cặp (xA,yA) lớp trái xyA ánh xạ từ X A X A  X A (ii) X A với phép tốn hai ngơi  xA, yA   xyA nhóm, gọi nhóm thương X A Định lý 2: Giả sử A nhóm nhóm X, điều kiện sau tương đương: a) A chuẩn tắc b) xA  Ax với x  X 1.5 Nhóm cyclic Một nhóm G gọi xyclic G sinh phần tử a  G Phần tử a gọi phần tử sinh G Như nhóm G xyclic phần tử luỹ thừa a  ,   Z , phần tử a  G 1.6 P-nhóm Cho G nhóm (i) Nếu G nhóm cấp pn với n số tự nhiên, p số ngun tố G gọi p_nhóm (ii) Nếu H nhóm G H p_nhóm H gọi p_nhóm G (iii) Nếu G nhóm cấp m.pnvà (m,p)=1 H nhóm cấp pn G H gọi p_nhóm Sylov G (iv) Hai nhóm H1 ,H2 G gọi liên hợp tồn x thuộc G cho H1=xH2x -1 ta viết H1~H2 Tính chất p-nhóm:   i) Nếu G  G p-nhóm hữu hạn ,  G có cấp khác ii) Nếu H nhóm thực G H  N G (H) G nhóm có cấp pr , r  G có nhóm chuẩn tắc có cấp pr 1 1.7 Tích trực tiếp Cho {Gi} iI họ không rỗng nhóm với phần tử đơn vị Gi ei Đặt G=  Gi ={(xi) iI xi  Gi , i  I } iI Trong G ta xét phép toán sau (xi) iI (yi) iI =(xiyi) iI Khi G với phép tốn ngơi lập thành nhóm gọi tích trực tiếp họ nhóm {Gi} iI cho, kí hiệu G i iI Tập H={(xi) iI xi  ei với hầu hết i thuộc I, trừ hữu hạn i thuộc I} nhóm tích trực tiếp G i gọi tổng trực tiếp ngồi họ nhóm {Gi} iI iI cho kí hiệu  Gi iI 1.8 Đồng cấu nhóm Ánh xạ f từ nhóm G vào nhóm G’ gọi đồng cấu nhóm f(xx’) = f(x)f(x’); với x, x’ thuộc G Khi đó: (i) f gọi đơn cấu f đơn ánh (ii) f gọi toàn cấu f toàn ánh (iii) f gọi đẳng cấu f song ánh 1.9 Định nghĩa ( tâm nhóm) G nhóm X tập khác rỗng G Tâm G, ký hiệu  G :  G   g  G / gx  xg , x  G Tâm hoán tử X G: CG  X    g  G / gx  xg , x  X  Nếu X tập khác rỗng g phần tử nhóm G, liên hợp X G tập X g  g 1 Xg   g 1 xg / x  X  1.10 Nhóm hốn tử X1 , X , , X n tập khác rỗng G Ta định nghĩa nhóm hốn tử X X là:  X 1, X    x1 , x2  / x1  X1, x2  X Bằng quy nạp ta định nghĩa:  X1 , X , , X n    X 1, X , , X n1 , X n  , n  Như : nhóm G sinh tất hốn tử gọi nhóm hoán tử G Ký hiệu: G '  G, G  Dãy nhóm hốn tử   G  G 0  G 1  G  2  với G  n1  G  n ' , gọi dãy dẫn xuất G 1.11 Hốn tử: Cho G nhóm x1 , x2 , , xn phần tử G Hoán tử x1 , x2  x1, x2   x11x21x1x2  x11x1x Bằng quy nạp ta định nghĩa:  x1, x2 , , xn    x1 , x2 , , xn1  , xn  , n  1.12 Meta Abel: với  x1   x1 Một nhóm meta abel nhóm có nhóm hốn tử nhóm abel, nhóm G meta abel có nhóm A với A nhóm abel cho nhóm thương G A abel Phân nhóm nhóm meta abel meta abel 1.13 Định nghĩa đồng dư: Cho a,b,m số nguyên, m  Nếu a  b chia hết cho m a gọi đồng dư với b modulo m , ký hiệu a  b mod m 1.14 Phương trình đồng dư tuyến tính: Phương trình dạng ax  b mod m gọi phương trình đồng dư tuyến tính với a,b,m số biết x0 nghiệm phương trình ax  b mod m Nếu x0 nghiệm phần tử thuộc lớp x0 nghiệm 1.15 Định lí Sylow Cho G nhóm hữu hạn, số nguyên tố p ước cấp G Khi đó: (i) Trong G tồn p_nhóm Sylow (ii) Số p_nhóm G chia p dư (iii) Mọi p_ nhóm G nằm p_nhóm Sylow G §2 MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ MỞ RỘNG NHĨM CỦA OTTO SCHREIER 2.1 Mở rộng nhóm theo nhóm Cho nhóm A B Tìm tất mở rộng A theo B , tức tìm nhóm B nhận A làm nhóm chuẩn tắc cho B A  B Ta phân tích B mở rộng A theo B , phần tử B B , chọn B  t ( B ) cho t (1B )  1B (lớp kề B theo A ) Tích B 'B '' thuộc lớp kề t B ' B '' , suy tồn AB ' B ''  A : B 'B ''  B ' B ''AB ' B '' Với B 1 AB  AB , AB, BA thuộc BA ta có: AB  BAB , E B  E với E  1B  B 'A ' B ''A ''  B 'B ''A 'B '' A ''  B ' B ''AB ' B '' A 'B '' A '' Bây ta xem phần tử BA cặp  B, A với B  B, A  A   Ta có:  B ', A 'B '', A ''  B ' B '', AB ' B '' A 'B ' A '' Phần tử đơn vị: EB  EB , EA   B ', A ' E, E   B ', A ' (II) B ', A 'B '', A '' B ''', A '''  B ', A ' B '', A ''B ''', A '''  (I) Với A ', A '', A ''', B ', B '', B ''' cho trước Với A, B :  B ', A 'B*, A *  E , E Suy B*  B 1   A*  A B 1 1 A1 B , B 1 Từ (I) (III)    B ' B '' B ''', AB ' B '',B ''' AB ',B '' A 'B '' A ''   B '''  A '''   B ' B '' B ''', AB ', B '' B ''' A 'B '' B ''' AB '', B ''' A ''B ''' A ''' ( I*) Từ (II)  B, AB , E AE    B, A   AB ' B '',B ''' AB ',B '' A 'B '' A '' (II*)  B ''' A '''  AB ',B '' B ''' A 'B '' B ''' AB '',B ''' A ''B ''' A ''' AB ,E AE  A (1) (2) Từ (2) suy với A  E AB ,E  E (3) Do đó: A E  A (4)  Từ (1) suy với B ''  E , B '''  B AB ', E A 'E A ''  B  A 'B AE , B A ''B Từ (3) (4):  A ' A '' B  A 'B AE , B A ''B (5*) Cho A '  A ''  E  AE ,B  E (6) Và đó:  A ' A '' B  A 'B A ''B (5) Áp dụng (5) ta được: ( n) B  A ' A '' A   A 'B A ''B A( n) B Với A '  A, A ''  A1   Từ (5) suy A B 1   A1  B Từ (1) suy :  AB ' B '',B ''' ABB','''B ''' A 'B ''  B '''  AB ',B '' B ''' A 'B '' B ''' AB '',B ''' Thay B '  E A ' A , B '' B ' , B ''' B '' 10 (1*)  Định thức A2 A3   p  ta chọn x2 , x3 ln từ A1 đến 0, lý đủ trường hợp này, chúng xem mục đích việc chuyển đổi tuyến tính Tùy thuộc vào lại chuyển đổi identify, parabol, hyperbol elliptic mod p ,   thu A2 A3   dạng bình thường: Identify : 1 0 0 1   Parabolish :  1  1   Hyperbolish :  gk   Ellipticall   1 : 0  1 p      p 1   k  1, 2, ,          p   p   1 p 1   l  1, 2, ,    Trong đó, g đồng dư nguyên tố mod p  đồng dư nguyên tố  p 1  1 p  trường Galois bậc p      Tuy nhiên, định thức A2 A3 chia hết cho p, dễ dàng có A1 A2 A3   dạng bình thường:  0   0       0   0 1  ; ; ; ; ;   0   0   0  1 0   0  1 0  TH2: tương tự B) ta có: B11 A1B1  A1 A2 , B21 A1B2  B31 A1B3  A1 , B11 A2 B1  A2 , B21 A2 B2  B31 A2 B3  A2 , 50        Định lý là: 1       2,3   p  Theo định lý :  1,2 1 1  1,3 không đồng thời Giả sử  1,2   p  ,  1  2  1,2  ,  1,2  , đó: B2 1  1,3 A r1,    A1; A21,2  A2  ta    1  2 B3 A1 1,3  B3 :  1,3   1,3 0   Bằng cách thay B3 theo lũy thừa thích hợp ta có  2,3   từ   0,1 Cả hai khả tạo ta nhóm khác Khi   , B3 phần tử bất biến A ,   khơng tồn B1  B1x1 B2x2 B3x3 Au ; A1  A x1 y2 A2 , B2  B2y2 B3y3 Av , ; A2  A2x1 y2 , B3  B3z3 Aw , ; x1 y2 z3   p  ; Nếu   1: x12 y2  y2 z3  p   B1 p  A1x1 2 x2 3 x3  A1 x1 y2 ,  B2 p  A y1 3 y3  A x1 y2 ,  B3 p  A z3  A3 x1 y2  1 0 0 0 0 1 1 1  2  0  0 3 0 0 0 0 1) B   B1* , B2* , B3* , A* / A1* p  E , A2* p  E, A1* A2*  A2* A1* , Bi1 Ak Bi  Ak , B1* p  B2* p  1, B3* p  A2* ,  B1* , B2*   A1* ,  B1* , B3*   A2* ,  B2* , B3*   1 2) B   B1* , B2* , B3* , A* / A1* p  E , A2* p  E, A1* A2*  A2* A1* , Bi1 Ak Bi  Ak , B1* p  51 B2* p  A2* , B3* p  1,  B1* , B2*   A1* ,  B1* , B3*   A2* ,  B2* , B3*   1 3) B   B1* , B2* , B3* , A* / A1* p  E , A2* p  E, A1* A2*  A2* A1* , Bi1 Ak Bi  Ak , B1* p  B2* p  A2* , B3* p  1,  B1* , B2*   A1* ,  B1* , B3*   A2* ,  B2* , B3*   1 4) B   B1* , B2* , B3* , A* / A1* p  E , A2* p  E , A1* A2*  A2* A1* , Bi1 Ak Bi  Ak , B1* p  A2* B2* p  1, B3* p  1,  B1* , B2*   A1* ,  B1* , B3*   A2* ,  B2* , B3*   1 5) B   B1* , B2* , B3* , A* / A1* p  E , A2* p  E, A1* A2*  A2* A1* , Bi1 Ak Bi  Ak , B1* p  B2* p  1, B3* p  1,  B1* , B2*   A1* ,  B1* , B3*   A2* ,  B2* , B3*   1 6) B   B1* , B2* , B3* , A* / A1* p  E , A2* p  E, A1* A2*  A2* A1* , Bi1 Ak Bi  Ak , B1* p  B2* p  1, B3* p  A2* ,  B1* , B2*   A1* ,  B1* , B3*   A2* ,  B2* , B3*   A2*  7) B   B1* , B2* , B3* , A* / A1* p  E , A2* p  E, A1* A2*  A2* A1* , Bi1 Ak Bi  Ak , B1* p  B2* p  A2* , B3* p  1,  B1* , B2*   A1* ,  B1* , B3*   A2* ,  B2* , B3*   A2*  8) B   B1* , B2* , B3* , A* / A1* p  E , A2* p  E, A1* A2*  A2* A1* , Bi1 Ak Bi  Ak , B1* p  B2* p  A2* , B3* p  1,  B1* , B2*   A1* ,  B1* , B3*   A2* ,  B2* , B3*   A2*  9) B   B1* , B2* , B3* , A* / A1* p  E , A2* p  E , A1* A2*  A2* A1* , Bi1 Ak Bi  Ak , B1* p  A2* B2* p  1, B3* p  1,  B1* , B2*   A1* ,  B1* , B3*   A2* ,  B2* , B3*   A2*  10) B   B1* , B2* , B3* , A* / A1* p  E , A2* p  E, A1* A2*  A2* A1* , Bi1 Ak Bi  Ak , B1* p  B2* p  1, B3* p  1,  B1* , B2*   A1* ,  B1* , B3*   A2* ,  B2* , B3*   A2*  VIII Thành lập nhóm bổ sung , bắt đầu với nhóm B A nhiều giai đoạn, nhóm đẳng cấu tự đẳng cấu A tạo 52 a)Nhóm bậc p: đẳng cấu có bậc p 3, phần tử có nhóm bậc p A Dựa vào xác định thêm phần tử khác cách lựa chọn A , ma trận tương ứng vói có dạng sau: 1 0 1 0      1 0; 1 0 0 1 0 1     b) Nhóm bậc p Hai ma trận    x21 x  31 x32 0     ;  y21   y31 0  0  y32 Được hoán đổi x21 y32  x32 y21  p  Trong nhóm bậc p thiết phải có đẳng cấu, x21 , x32 khơng đồng thời  p  Nếu chúng đồng dư đẳng cấu p xác định , số đó, đẳng cấu   :  0    0  x 1   Có x21  1 p  cách nhân với đẳng cấu   x32  vô cùng, cách thay A3 phần tử thích hợp với x32  Tóm lai, ta nói : tất B A nhiều nhóm đẳng cấu A tùy thuộc    1      0      ,        Với  i nhận giá trị sau: 53 1 2 3 0 0 1 1 1 1 Trong nhóm khơng có hai nhóm nhóm đẳng cấu A Ban đầu 1,2,3 6,4,5 chất khac Sự đa dạng 4,5,6 theo tất đẳng ccaaus cho nhóm  A1 , A2  áp dụng cho phần tử ổn định Mỗi đẳng cấu , tạo nhóm phụ A3 chứa đẳng cấu cuối khơng chứa phân nhóm bậc p A tạo Dựa vào định lý 2: 1   ,  không đồng thời loại bỏ Từ nghi vấn trường hợp 3,4,6 Trường hợp 4: định lý 11   21   p  chấp nhận : B11 A1B1  A1 A2 , B21 A1 B2  A1 A3 , B11 A2 B1  A2 , B21 A2 B2  A2 , B11 A3 B1  A3 , B21 A3 B2  A3 , 1  2 2  3 B11 B21B1B2  A1 A2 A3 ; 3 Bip  A2i A3i  i  1,2    1  1,   2    3   1   p  A  1  2 A2 A3  3 1 1  A1 , A2  A2 , A3  A3 , B1  B1x1 B2x2 Au ; A1  A1x1 y2  x2 y1 A2 A3 B2  B1y1 B2y2 Av ; A2  A21  A3  A3  A2 1 A3  x x y  x2 y1  y x y2  x2 y1  x1 y2  x2 y1   p  ; 54 x x y2  x2 y1  y x y  x2 y1   2  x2  2  y2 B1 p  A2x11 B2 p  A2y11  2 A3x11  3  2 A3y11  3  x2  3 3  y2 Chuẩn tắc hóa  ki , theo ta có điều kiện : x  x1 y2  x2 y1    x2 2 2 y1   1   2    1   2    x1     y2   1 3  2 3   1 3  23   x2     y1   p   y2   p  Tương tự VII, trường hợp ta có , tùy thuộc vào chất loại biến đổi 1 t   2  t   3 1 t   2 3 2   p Theo dạng bình thường cho ma trận  k   i  2,3; k  1, 2 Indentify : 1 0 0 1   Parabolish :  1     1 ,       Hyperbolish :  gk   0   gx , g k   Elliptical   1 l  p 1 p      :   p  1   k  1, 2, ,    ,      p  1   x  1, 2, ,         g 1 x        l  p 1   p   1   p  1   l  1, 2, ,    ,      1 1   p 1 p      55     p    p 1    1 p   1   p  3     1, 2, ,       Singular : 0 0 1 0 0 1     , ,  ,  0 0 0 0 0 0  0  , g ,  có định nghĩa tương tự VII Do đó, trường hợp dẫn đến loại p+7 nhóm bậc p Trường hợp 3: định lý phải 1    2   1    2    p  1 2 B11 A1B1  A1 A2 , B21 A1 B2  A1 , B11 A2 B1  A2 A3 , B21 A2 B2  A2 , B11 A3 B1  A3 , B21 A3 B2  A3 , 1 2  3      p   B11B21B1B2  A1 A2 A3 ; B1p  A31 ; A   2  3 B2p  A3 1  2  1 A2 A3  A1 , A2 A3  A2 , A3  A3 với  1  1,   2    3  B1  B1x1 B2x2 Au ; A1  A1x1 y2 A2 A3 B2  B2y2 Av ; A2  A2x1 y2 A3 2 A3  A3x1 y2 x1 y2   p  ;  B1 p  A31x1  x2  A31 x1 y2  B2 p  A3 x2  A3 x1 y2 Do đó, ta có được: loại p  (3): 56 1 0 g  2 g2 ( g đồng dư nguyên tố mod p) 1) B   B1* , B2* ,, A* / A1* p  E , A2* p  E , A1* A2*  A2* A1* , Bi1 Ak Bi  Ak , B1* p  B2* p  A3* ,  B1* , B2*   A1* ,  B1* , B3*   A2* ,  B2* , B3*   A3*  2) B   B1* , B2* ,, A* / A1* p  E , A2* p  E , A1* A2*  A2* A1* , Bi1 Ak Bi  Ak , B1* p  B2* p  A3*g ,  B1* , B2*   A1* ,  B1* , B3*   A2* ,  B2* , B3*   A3*  3) B   B1* , B2* ,, A* / A1* p  E , A2* p  E , A1* A2*  A2* A1* , Bi1 Ak Bi  Ak , B1* p  B2* p  A3* g ,  B1* , B2*   A1* ,  B1* , B3*   A2* ,  B2* , B3*   A3*  4) B   B1* , B2* ,, A* / A1* p  E , A2* p  E, A1* A2*  A2* A1* , Bi1 Ak Bi  Ak , B1* p  A3* B2* p  1,  B1* , B2*   A1* ,  B1* , B3*   A2* ,  B2* , B3*   A3*  5) B   B1* , B2* ,, A* / A1* p  E , A2* p  E , A1* A2*  A2* A1* , Bi1 Ak Bi  Ak , B1* p  B2* p  1,  B1* , B2*   A1* ,  B1* , B3*   A2* ,  B2* , B3*   A3*  loại p  (3): 1  0  1) B   B1* , B2* , A* / A1* p  E , A2* p  E , A1* A2*  A2* A1* , Bi1 Ak Bi  Ak , B1* p  B2* p  A3* ,  B1* , B2*   A1* ,  B1* , B3*   A2* ,  B2* , B3*   A3*  2) B   B1* , B2* , A* / A1* p  E , A2* p  E , A1* A2*  A2* A1* , Bi1 Ak Bi  Ak , B1* p  A3* B2* p  1,  B1* , B2*   A1* ,  B1* , B3*   A2* ,  B2* , B3*   A3*  3) B   B1* , B2* , A* / A1* p  E , A2* p  E , A1* A2*  A2* A1* , Bi1 Ak Bi  Ak , B1* p  B2* p  1,  B1* , B2*   A1* ,  B1* , B3*   A2* ,  B2* , B3*   A3*  57 Trường hợp 6: theo định lý 1    2    2    p  1 B11 A1B1  A1 A2 , B21 A1 B2  A1 A3 , B11 A2 B1  A2 A3 , B21 A2 B2  A2 , B11 A3 B1  A3 , B21 A3 B2  A3 , 1 2  3      p   B11B21B1B2  A1 A2 A3 ; B1p  A31 ; B2p  A3  1  1,   2    3  Như trường hợp ta có: B1  B1x1 B2x2 Au ; A1  A1x1 y2 A2 A3 B2  B2y2 Av ; A2  A2x1 y2 A3 A3  A3x1 y2 x1 y2   p  , x13 y2  x1 y22  p  , nghĩa là: y2  x12  p   B1 p  A31x1 2 x2  A31 x1  B2 p  A3 x1  A3 x1 Do , ta có được: loại p  (12): 1   g g g g2 g3 0 0 0 1) B   B1* , B2* ,, A* / A1* p  E , A2* p  E , A1* A2*  A2* A1* , Bi1 Ak Bi  Ak , B1* p  B2* p  A3* ,  B1* , B2*   A1* ,  B1* , B3*   A2* ,  B2* , B3*   A3*  2) B   B1* , B2* ,, A* / A1* p  E , A2* p  E , A1* A2*  A2* A1* , Bi1 Ak Bi  Ak , B1* p  B2* p  A3*g ,  B1* , B2*   A1* ,  B1* , B3*   A2* ,  B2* , B3*   A3*  58 3) B   B1* , B2* ,, A* / A1* p  E , A2* p  E , A1* A2*  A2* A1* , Bi1 Ak Bi  Ak , B1* p  B2* p  A3* g ,  B1* , B2*   A1* ,  B1* , B3*   A2* ,  B2* , B3*   A3*  4) B   B1* , B2* ,, A* / A1* p  E , A2* p  E, A1* A2*  A2* A1* , Bi1 Ak Bi  Ak , B1* p  A3* B2* p  1,  B1* , B2*   A1* ,  B1* , B3*   A2* ,  B2* , B3*   A3*  5) B   B1* , B2* ,, A* / A1* p  E , A2* p  E, A1* A2*  A2* A1* , Bi1 Ak Bi  Ak , B1* p  A3* g B2* p  1,  B1* , B2*   A1* ,  B1* , B3*   A2* ,  B2* , B3*   A3*  6) B   B1* , B2* , A* / A1* p  E , A2* p  E , A1* A2*  A2* A1* , Bi1 Ak Bi  Ak , B1* p  A3* g B2* p  1,  B1* , B2*   A1* ,  B1* , B3*   A2* ,  B2* , B3*   A3*  7) B   B1* , B2* , A* / A1* p  E , A2* p  E , A1* A2*  A2* A1* , Bi1 Ak Bi  Ak , B1* p  A3* g B2* p  1,  B1* , B2*   A1* ,  B1* , B3*   A2* ,  B2* , B3*   A3*  8) B   B1* , B2* ,, A* / A1* p  E , A2* p  E , A1* A2*  A2* A1* , Bi1 Ak Bi  Ak , B1* p  B2* p  1,  B1* , B2*   A1* ,  B1* , B3*   A2* ,  B2* , B3*   A3*  loại p  (12): 1 g g2 g3  2 0 0 1) B   B1* , B2* ,, A* / A1* p  E , A2* p  E , A1* A2*  A2* A1* , Bi1 Ak Bi  Ak , B1* p  B2* p  A3* ,  B1* , B2*   A1* ,  B1* , B3*   A2* ,  B2* , B3*   A3*  2) B   B1* , B2* ,, A* / A1* p  E , A2* p  E, A1* A2*  A2* A1* , Bi1 Ak Bi  Ak , B1* p  A3* B2* p  1,  B1* , B2*   A1* ,  B1* , B3*   A2* ,  B2* , B3*   A3*  59 3) B   B1* , B2* ,, A* / A1* p  E , A2* p  E, A1* A2*  A2* A1* , Bi1 Ak Bi  Ak , B1* p  A3* g B2* p  1,  B1* , B2*   A1* ,  B1* , B3*   A2* ,  B2* , B3*   A3*  4) B   B1* , B2* , A* / A1* p  E , A2* p  E , A1* A2*  A2* A1* , Bi1 Ak Bi  Ak , B1* p  A3* g B2* p  1,  B1* , B2*   A1* ,  B1* , B3*   A2* ,  B2* , B3*   A3*  5) B   B1* , B2* , A* / A1* p  E , A2* p  E , A1* A2*  A2* A1* , Bi1 Ak Bi  Ak , B1* p  A3* g B2* p  1,  B1* , B2*   A1* ,  B1* , B3*   A2* ,  B2* , B3*   A3*  6) B   B1* , B2* ,, A* / A1* p  E , A2* p  E , A1* A2*  A2* A1* , Bi1 Ak Bi  Ak , B1* p  B2* p  1,  B1* , B2*   A1* ,  B1* , B3*   A2* ,  B2* , B3*   A3*  loại p  (12): 1   g g -1 0 0 1) B   B , B ,, A / A  E , A  E , A A  A A , Bi1 Ak Bi  Ak , B1* p  * * * *p *p * * * * B2* p  A3* ,  B1* , B2*   A1* ,  B1* , B3*   A2* ,  B2* , B3*   A3*  2) B   B1* , B2* ,, A* / A1* p  E , A2* p  E , A1* A2*  A2* A1* , Bi1 Ak Bi  Ak , B1* p  B2* p  A3*g ,  B1* , B2*   A1* ,  B1* , B3*   A2* ,  B2* , B3*   A3*  3) B   B1* , B2* ,, A* / A1* p  E , A2* p  E , A1* A2*  A2* A1* , Bi1 Ak Bi  Ak , B1* p  B2* p  A3* g ,  B1* , B2*   A1* ,  B1* , B3*   A2* ,  B2* , B3*   A3*  4) B   B1* , B2* ,, A* / A1* p  E , A2* p  E, A1* A2*  A2* A1* , Bi1 Ak Bi  Ak , B1* p  A3* B2* p  1,  B1* , B2*   A1* ,  B1* , B3*   A2* ,  B2* , B3*   A3*  5) B   B1* , B2* , A* / A1* p  E , A2* p  E , A1* A2*  A2* A1* , Bi1 Ak Bi  Ak , B1* p  A3*1 B2* p  1,  B1* , B2*   A1* ,  B1* , B3*   A2* ,  B2* , B3*   A3*  60 6) B   B1* , B2* ,, A* / A1* p  E , A2* p  E , A1* A2*  A2* A1* , Bi1 Ak Bi  Ak , B1* p  B2* p  1,  B1* , B2*   A1* ,  B1* , B3*   A2* ,  B2* , B3*   A3*  loại p  11 (12): 1 -1  2 0 1) B   B1* , B2* ,, A* / A1* p  E , A2* p  E , A1* A2*  A2* A1* , Bi1 Ak Bi  Ak , B1* p  B2* p  A3* ,  B1* , B2*   A1* ,  B1* , B3*   A2* ,  B2* , B3*   A3*  2) B   B1* , B2* ,, A* / A1* p  E , A2* p  E, A1* A2*  A2* A1* , Bi1 Ak Bi  Ak , B1* p  A3* B2* p  1,  B1* , B2*   A1* ,  B1* , B3*   A2* ,  B2* , B3*   A3*  3) B   B1* , B2* , A* / A1* p  E , A2* p  E , A1* A2*  A2* A1* , Bi1 Ak Bi  Ak , B1* p  A3*1 B2* p  1,  B1* , B2*   A1* ,  B1* , B3*   A2* ,  B2* , B3*   A3*  4) B   B1* , B2* ,, A* / A1* p  E , A2* p  E , A1* A2*  A2* A1* , Bi1 Ak Bi  Ak , B1* p  B2* p  1,  B1* , B2*   A1* ,  B1* , B3*   A2* ,  B2* , B3*   A3*  IX Xác định mối quan hệ nhóm khơng phải hai chia hết cho p: Theo định lý 1: A1p  E A2p  E ; 1,1 B11 A1B1  A111 1,1 B11 A2 B1  A11 p p  ,1 A21 A2 ; 1,1 ; B21 A1B2  A11 2 ; B21 A2 B2  A12  ,1 1 B11 B21B1 B2  A1 A2 1 2 B1p  A11 A21 A1 A2  A2 A1  2 1 2 B2p  A1 A22 ; 61 p p  ,1 A22 A2 Khi đó, định lý  1   p  1 2,1 ,  2 2,1 hai chia hết cho p Kết định lý rơi vào trường hợp sau: 11,1 p11  11,2 p1   1 2,111  p   p ;  2  p 2    2 1,1 ;  2 2,1 21  1,2  p 2   p ,  p ,  21,1 p11   21,2 p1 2  p 1  p  ; 11,1 p 21  11,2 p 2 2   p 1  p   2 2,111   p Từ ràng buộc i 11,21    p  ; 2,1 1 2,1 21   p 11   21   p  , : ;  21,21 2   1  p  ;  21,2 2    p  11,2 2     1  p  Những đồng dư trái ngược với  1   p  Vì khơng có nhóm loại X Hai nhóm khơng abel bậc p3 có cyclic trung tâm khơng thể có nhóm giao hốn p-nhóm 62 KẾT LUẬN Trong luận văn chúng tơi tìm hiểu trình bày vấn đề sau: Trình bày khái niệm nhóm Mở rộng nhóm theo nhóm Mở rộng nhóm theo tích trực tiếp Mở rộng nhóm với nhóm abel Cột ma trận cột modulo Đẳng cấu nhóm nhóm abel Giao hốn tử nhóm ngun tố Cơ sở đặc biệt p-nhóm Sử dụng lý thuyết mở rộng nhóm Otto Schreier để phân loại nhóm pnhóm cấp p 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Bùi Huy Hiền (1998), Bài tập Đại số đại cương, NXB Giáo dục [2] Hoàng Xuân Sính (1972), Đại số đại cương, Nhà xuất Giáo dục [3]Otto Schreier (1920), Über die Erweiterung von Gruppen I [4]Otto Schreier (1923), Über die Erweiterung von Gruppen II [5] Serlange (1978), Đại số phần 1(bản dịch), NXB Đại học trung học chuyên nghiệp Hà Nội, 64 ... CÁC NHÓM P- NHÓM C? ?P P Theo 3, ta loại sau: I B A A A2 A2 I II III IV V VI VII VIII 2 2 p , p p , p p , p, p p , p , p, p p , p p , p p , p , p p , p IX p p p p p2 p, p p, p 1 1 1 p, p p, p, p. .. A , dạng phương trình phụ thuộc hồn tồn vào nhóm B Như ứng dụng lý thuyết mở rộng nhóm Otto Schreier, luận văn “ phân loại nhóm p -nhóm c? ?p p cách ứng dụng lý thuyết mở rộng nhóm Otto Schreier? ??... nghĩa, khái niệm đặc trưng cần thiết Phần số định lý mở rộng nhóm Otto Schreier cần thiết làm sở cho phần sau Trong chương 2, để đến cách phân loại nhóm p -nhóm c? ?p p , tơi vào định nghĩa số tính chất