TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG Khoa Tốn KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP MÔĐUN ĐỐI CỐT YẾU ĐƠN VÀ CÁC TRƯỜNG HỢP TỔNG QUÁT CỦA MÔĐUN NÂNG Nguyễn Thị Thu Sương Đà Nẵng - 2014 Mục lục Lời cảm ơn Đặt vấn đề Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các khái niệm 1.2 Một số kết liên quan Môđun đối cốt yếu đơn, môđun GS, WGS môđun nâng đơn 14 2.1 Môđun đối cốt yếu đơn 14 2.2 Môđun GS 20 2.3 Môđun W GS 23 2.4 Môđun nâng đơn 26 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 Lời cảm ơn Khóa luận hồn thành hướng dẫn, giúp đỡ thầy giáo, TS Trương Công Quỳnh, em xin gửi đến thầy kính trọng lịng biết ơn sâu sắc Em muốn bày tỏ biết ơn chân thành đến Ban Giám Hiệu trường Đại Học Sư Phạm-Đại Học Đà Nẵng, Ban Chủ nhiệm khoa Toán tạo điều kiện cho em làm khóa luận tốt nghiệp Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy giáo Khoa Tốn giảng dạy tận tình quan tâm, động viên em suốt trình học tập thực hiên khóa luận Tuy có nhiều cố gắng song cịn nhiều thiếu sót khó tránh khỏi lý chủ quan khách quan nên em mong nhận đóng góp q thầy bạn Em xin chân thành cảm ơn! Đà Nẵng, ngày 07 tháng 05 năm 2014 Sinh viên Nguyễn Thị Thu Sương Đặt vấn đề Như biết môđun cấu trúc đại số liên kết nhóm aben với vành nhờ phép tốn ngồi Nó mở rộng khái niệm khơng gian vectơ cách thay trường sở vành có đơn vị Trong lớp mơđun đối cốt yếu có vai trò quan trọng lớp vành cổ điển Chẳng hạn lớp vành hoàn chỉnh nửa hoàn chỉnh Cụ thể người ta chứng minh vành hoàn chỉnh phải mơđun phải M , tồn toàn cấu ϕ : P → M với P xạ ảnh Ker(ϕ) P Đồng thời vành R gọi nửa hồn chỉnh mơđun phải (trái) đơn M , tồn tồn cấu ϕ : P → M với P xạ ảnh Ker(ϕ) P Từ tính chất quan trọng đó, mở rộng khái niệm môđun đối cốt yếu nghiên cứu chúng Đó mơđun đối cốt yếu đơn định nghĩa sau: “Một môđun N môđun M gọi đối cốt yếu đơn M , ký hiệu N m M , với n ∈ N , M = nR + K với K môđun thực M ” Cũng dựa sở đó, từ định nghĩa mơđun nâng: “Mơđun M gọi nâng với môđun N M , tồn phân tích M = M1 ⊕ M2 : M1 ≤ N, M2 ∩ N M ” đến định nghĩa cho môđun nâng đơn “Một môđun M gọi nâng đơn với N ≤ M , tồn phân tích M = M1 ⊕ M2 : M1 ≤ N, M2 ∩ N m M ” Hơn khóa luận đề cập đến khái niệm môđun GS môđun W GS (xem [8]) “Môđun M gọi GS mơđun U có phần phụ tổng quát U " “Môđun M gọi W GS với môđun N ≤ M , tồn L ≤ M cho M = N + L N ∩ L ≤ Rad(M )" Lớp môđun GS W GS mở rộng mơđun phần phụ Vì mục đích khóa luận nghiên cứu mơđun đối cốt yếu đơn áp dụng chúng vào lớp môđun mở rộng lớp mơđun nâng; lớp mơđun nâng đơn Các kết phần đưa chứng minh chúng Về nội dung nghiên cứu, phần mở đầu kết luận, khóa luận trình bày hai chương: Chương Chương trình bày lại kiến thức dùng làm sở cho việc chứng minh chương thứ Chương Chương trình bày nội dung trọng tâm - Phần 1: Chúng phát biểu định nghĩa, tìm vài ví dụ chứng minh số tính chất mơđun đối cốt yếu đơn Cụ thể chứng minh môđun môđun hổng, không địa phương M đối cốt yếu đơn M Hơn môđun Z-mơđun tự mơđun khơng - Phần 2: Chúng khảo sát lại số tính chất mơđun GS mơđun W GS Các kết nghiên cứu Y ongduoW ang N anqingDing năm 2006 - Phần 3: Chúng phát biểu định nghĩa chứng minh số kết môđun nâng đơn Cụ thể chứng minh lớp môđun nâng đơn đóng tổng trực tiếp Đối với mơđun M khác khơng, khơng phân tích mơđun nâng đơn môđun thực đối cốt yếu đơn M , điều tương đương với việc môđun M nửa hổng Hơn chúng tơi cịn chứng minh môđun M đối ngẫu M = M1 ⊕ M2 M mơđun nâng đơn M1 M2 môđun nâng đơn Chương Kiến thức chuẩn bị Trong toàn khóa luận, vành R cho ln giả thiết vành kết hợp có đơn vị = R-môđun xét môđun phải unita Trong chương giới thiệu khái niệm, tính chất sử dụng khóa luận Một số khái niệm khác liên quan đến khóa luận tham khảo [6] [9] 1.1 Các khái niệm Định nghĩa 1.1.1 Cho R vành Một R-mơđun phải M là: (1) Nhóm cộng aben M với (2) Ánh xạ M × R −→ M (m, r) −→ mr gọi phép nhân môđun, thỏa mãn điều kiện sau: i Quy tắc kết hợp: (mr1 )r2 = m(r1 r2 ) ii Quy tắc tắc phân phối: (m1 + m2 )r = m1 r + m2 r, m(r1 + r2 ) = mr1 + mr2 iii Quy tắc unita: m1 = m, m, m1 , m2 phần tử tùy ý M , r1 , r2 ∈ R Lúc R gọi vành sở Nếu M R-môđun phải ta thường ký hiệu M = MR Một cách hoàn toàn tương tự ta định nghĩa khái niệm R-mơđun trái Định nghĩa 1.1.2 Tập A M gọi môđun M (Ký hiệu A ≤ M hay AR ≤ MR ), A R- môđun phải với phép tốn cộng nhân mơđun hạn chế A Ngồi ta viết A < M có nghĩa A môđun thực M Định nghĩa 1.1.3 Môđun A ≤ M gọi môđun cực đại môđun M A = M ∀ B ≤ M : A < B, suy B = M Định nghĩa 1.1.4 Một môđun khác không MR gọi đơn khơng có mơđun khơng tầm thường Có nghĩa mơđun MR gọi đơn M = A môđun M A = A = M Định nghĩa 1.1.5 Môđun M gọi nửa đơn M tổng trực tiếp môđun đơn Định nghĩa 1.1.6 Cho MR N ≤ M N gọi hạng tử trực tiếp M tồn môđun N M cho M = N ⊕ N Ký hiệu N ≤d M Lúc ta nói N mơđun phụ N M Từ định nghĩa suy ngay: N hạng tử trực tiếp M ⇔ ∃N ≤ M : M = N + N N ∩ N = 0M Với N ≤ M tồn môđun thỏa mãn hai điều kiện N ∩ = 0, N + M = M Cho MR N ≤ MR Vì N nhóm nhóm cọng aben M nên nhóm thương M/N nhóm aben hồn tồn xác định (theo phần lý thuyết nhóm) Các phần tử lớp ghép x + N N M phép toán cọng M/N là: (x + N ) + (y + N ) = x + y + N Ta phải xác định phép nhân môđun để M/N trờ thành R-môđun phải Định lý 1.1.1 Cho MR N ≤ M i Quy tắc: M/N × R −→ M/N (m + N, r) −→ (m + N ) · r = mr + N phép nhân mơđun ii Nhóm aben M/N với phép nhân môđun trở thành Rmôđun phải Định nghĩa 1.1.7 M/N xác định Định lý 1.1.1 gọi môđun thương môđun M môđun N Chú ý 1.1.1 Khi cho I iđêan phải R lúc R/I trở thành R-môđun phải Nhưng cho I iđêan hai phía R/I vừa R-mơđun phải trái, vừa R/I-môđun phải trái Dựa tính chất ta định nghĩa loại mơđun mà trở thành cơng cụ hữu ích cho công việc Định nghĩa 1.1.8 Một môđun N M gọi đối cốt yếu M , ký hiệu N M , trường hợp với môđun L ≤ M : N + L = M suy L = M Định nghĩa tương đương với môđun thực L M suy N + L = M Nhận xét 1.1.1 Nếu N M N = M Thật vậy, giả sử phản chứng N = M L ≤ M, L = M ta có L + N = L + M = M Điều mâu thuẫn L + N = M Mâu thuẫn chứng tỏ N = M Định nghĩa 1.1.9 Một R-môđun phải gọi hữu hạn sinh có tập sinh gồm hữu hạn phần tử Nói cách khác, M hữu hạn sinh có phần tử s1 , s2 , , sn thuộc M cho: M = s1 R + s2 R + + sn R Định nghĩa 1.1.10 M = gọi môđun địa phương tồn môđun lớn khác M Nghĩa cho N ≤ M, N = M N gọi môđun lớn với A ≤ M, A = M A ≤ N Định nghĩa 1.1.11 M gọi môđun hổng môđun thực M đối cốt yếu M Định nghĩa 1.1.12 Môđun M gọi nâng với môđun N M , tồn phân tích M = M1 ⊕ M2 : M1 ≤ N, M2 ∩ N M Định nghĩa 1.1.13 Môđun M gọi phân phối với A, B, C mơđun mơđun M (A + B) ∩ C = (A ∩ C) + (B ∩ C) Định nghĩa 1.1.14 Môđun M gọi đối ngẫu môđun môđun M bất biến hoàn toàn Định nghĩa 1.1.15 Cho M môđun, môđun N M gọi bất biến hoàn toàn f (N ) ⊆ N với f ∈ EndR (M ) Định nghĩa 1.1.16 Một mơđun M gọi khơng phân tích M khác không viết dạng tổng trực tiếp hai môđun khác không Định nghĩa 1.1.17 Cho M môđun Nếu U, U ≤ M , M = U + U U ∩ U ≤ Rad(U ) U phần phụ tổng quát U Định nghĩa 1.1.18 Giao tất iđêan phải cực đại R iđêan phải (trái) R gọi phải (trái) vành R Ký hiệu: Rad(RR ) 1.2 Một số kết liên quan Mệnh đề 1.2.1 Cho MR K ≤ N ≤ M, H ≤ M Lúc (1) Nếu N M K M (2) H + K M ⇔H M K M Chứng minh: (1) Giả sử N M Chúng ta cần chứng minh K M Thật vây, với L ≤ M : L + K = M Suy M = L + K ≤ L + N ≤ M Do L + N = M , suy L = M N (2) "⇒" giả sử H + K M Vậy K M Phải chứng minh H M M K M Với L ≤ M : L + H = M , suy (H + K) + L = M Do H + K nên L = M Vậy K M Tương tự ta có K M M f −1 (f (L) ∩ P ) ≥ L ∩ f −1 (P ) Theo [2, Mệnh đề 9.15], f −1 (Rad(M )) = Kerf + Rad(N ) = Rad(N ) Do L ∩ f −1 (P ) ≤ Rad(N ) Vì ta có N W GS mơđun (3) Cho N môđun M L/N môđun M/N Với L ≤ M , M W GS môđun nên tồn K ≤ M cho L + K = M K ∩L ≤ Rad(M ) Vì M/N = L/N +(K +N )/N Cho f : M −→ M/N tồn cấu tắc Từ K ∩ L ≤ Rad(M ), (L/N ) ∩ ((K + N )/N ) = (L ∩ (K + N ))/N = (N + (K ∩ L))/N = f (L ∩ K) ≤ f (Rad(M )) ≤ Rad(M/N ) Vậy ta có điều cần chứng minh Hệ 2.3.1 Cho M môđun N M Khi M mơđun W GS M/N môđun W GS Chứng minh Điều suy từ Mệnh đề 2.3.1 Mệnh đề 2.3.2 Cho M hữu hạn sinh Khi M W GS mơđun M môđun phần phụ yếu Chứng minh "⇐=" Điều hiển nhiên "=⇒" Với môđun N M Từ M môđun W GS, lúc tồn L ≤ M cho N + L = M N ∩ L ≤ Rad(M ) Từ M hữu hạn sinh, Rad(M ) M Nên N ∩ L M Vậy ta có điều cần chứng Mệnh đề 2.3.3 Giả sử M hữu hạn sinh f : P −→ M phủ xạ ảnh M Nếu M mơđun phần phụ yếu P mơđun phần phụ yếu Chứng minh Vì P/Kerf M hữu hạn sinh, tồn môđun hữu hạn sinh P P cho P + Kerf = P Từ Kerf P, P = P Vì P hữu hạn sinh Theo Mệnh đề 2.3.1 2.3.2 P mơđun phần phụ yếu 24 Bổ đề 2.3.1 Cho K, M1 ≤ M M1 môđun W GS Nếu M1 + K có phần phụ tổng qt yếu M K có phần phụ tổng quát yếu M Chứng minh Theo giả thiết, tồn N ≤ M cho (M1 + K) + N = M N ∩ (M1 + K) ≤ Rad(M ) Vì M1 mơđun W GS, tồn mơđun L ≤ M1 cho M1 ∩(N +K)+L = M1 L∩(N +K) ≤ Rad(M1 ) Vì M = K + N + L K ∩ (N + L) ≤ (K + M1 ) ∩ N + L ∩ (N + K) ≤ Rad(M ), điều có nghĩa N + L phần phụ tổng quát yếu K M Mệnh đề 2.3.4 Cho M = M1 + M2 Nếu M1 M2 mơđun W GS, M mơđun W GS Chứng minh Cho N môđun môđun M Từ M1 + M2 + N = M có phần phụ tổng quát M , M2 + N có phần phụ tổng quát M theo Bổ đề 2.3.1.Vì theo Bổ đề 2.3.1 lần nữa, N có phần phụ tổng quát M Vậy M môđun W GS Định lý 2.3.1 Cho M môđun Rad(M ) M Các điều kiện sau tương đương: (1) M môđun W GS (2) M/Rad(M ) nửa đơn (3) Tồn phân tích M = M1 ⊕M2 cho M1 nửa đơn, Rad(M ) ≤e M2 M2 /Rad(M ) nửa đơn Chứng minh (1) =⇒ (2) Với môđun L môđun M chứa Rad(M ) Từ M môđun W GS, tồn N ≤ M cho N + L = M N ∩ L ≤ Rad(M ) Do M/Rad(M ) = L/Rad(M ) + (N + Rad(M ))/Rad(M ) L/Rad(M ) ∩ (N + Rad(M ))/Rad(M ) = (L ∩ N + Rad(M ))/Rad(M ) = Vì M/Rad(M ) = L/Rad(M ) ⊕ (N + Rad(M ))/Rad(M ) Điều 25 chứng tỏ M/Rad(M ) nửa đơn (2) =⇒ (1) Với môđun N môđun M , từ M/Rad(M ) nửa đơn, tồn môđun L ≤ M chứa Rad(M ) cho M/Rad(M ) = (N + Rad(M ))/Rad(M ) ⊕ L/Rad(M ) Do M = N + Rad(M ) + L Từ M, M = N + L.N ∩ L ≤ Rad(M ) hiển nhiên Vậy M Rad(M ) môđun W GS (2) =⇒ (3) Cho M1 phần bù Rad(M ) M Khi M1 (M1 ⊕ Rad(M ))/Rad(M ) tổng trực tiếp M/Rad(M ) nửa đơn Do đó, tồn môđun nửa đơn M2 /Rad(M ) cho (M1 ⊕ Rad(M ))/Rad(M ) ⊕ M2 /Rad(M ) = M/Rad(M ) Vì mà M1 + M2 = M M1 ∩ M2 ≤ Rad(M ) ∩ M1 = Điều kéo theo M = M1 ⊕ M2 , Rad(M ) ≤e M2 (3) =⇒ (2) Điều hiển nhiên 2.4 Môđun nâng đơn Trong phần đưa nghiên cứu lớp môđun mở rộng lớp môđun nâng lớp môđun nâng đơn Định nghĩa 2.4.1 Môđun M gọi nâng đơn nếu, với N ≤ M , tồn phân tích M = A ⊕ B cho A ≤ N N ∩ B đối cốt yếu đơn M có nghĩa với N ≤ M , tồn phân tích M = A ⊕ B cho A ≤ N N ∩ B ⊆ Rad(M ) Mệnh đề cho ta biết định nghĩa tương đương môđun nâng đơn Mệnh đề 2.4.1 (1) Các điều kiện sau tương đương môđun MR : 26 (i) M nâng đơn (ii) Với A ≤ M , tồn A = N ⊕S cho N ≤d M S m (iii) Với A ≤ M , tồn N ≤d M cho N ≤ A A/N M m M/N (iv) Với A ≤ M , tồn e = e2 ∈ End(M ) cho e(M ) ≤ A (1 − e)A ≤ Rad((1 − e)M (2) Các lớp mơđun nâng đơn đóng tổng trực tiếp Chứng minh (1) (i) ⇒ (ii) Với A ≤ M , từ (i) ta có M nâng đơn nên tồn M = N ⊕ N cho N ≤ A N ∩ A m M Khi N ⊕ (N ∩ A) = A (Luật Modular), nên N ∩ A = S Do S m M ✷ (ii) ⇒ (iii) Với A ≤ M , (ii) nên tồn A = N ⊕ S cho N ≤d M S m M Với a+N ∈ A/N , a ∈ A Chúng ta phải chứng minh (a+N )R M/N Giả sử ngược lại Khi tồn J/N ≤ M/N , J = M, N ≤ J: (a + N )R + J/N = M/N (*) Từ (ii) ta có A = N ⊕ S, với a ∈ A: a = n + s, ta suy a + N = s + N Do (*) tương đương với với m ∈ M tồn j ∈ J, r ∈ R: m + N = j + N + (a + N )r ⇔ m + N = j + N + (s + N )r = j + N + sr + N ⇔ m − j − sr ∈ N Khi tồn n ∈ N : n = m − j − sr Suy m = n + j + sr ∈ N + J + sR = J + sR Do M = J + sR Suy J = M Điều mâu thuẫn J = M Mâu thuẫn chứng tỏ (a + N )R M/N Vậy A/N m M/N (iii) ⇒ (iv) Giả sử với A ≤ M , N ≤d M cho N ≤ A A/N m M/N Phải chứng minh e = e2 ∈ End(M ) cho 27 e(M ) ≤ A (1 − e)A m (1 − e)M ) Với A ≤ M , (iii) ta có N ≤d M nên tồn e = e2 ∈ End(M ): e(M ) = N (1 − e)M = N Do N ≤ A nên e(M ) ≤ A Ta chứng minh (1 − e)A ≤ Rad((1 − e)M ) Điều tương đương với việc với a ∈ A: (1 − e)aR (1 − e)M Thật với a ∈ A, H ≤ (1−e)M : (1−e)aR+H = (1−e)M , nên (a−ea)R+H = (1−e)M Do (a+e(M ))R+H = (1−e)M , ta suy (a + e(M ))R + (H + e(M ))/e(M ) = (1 − e)M + e(M )/e(M ) = M/e(M ) Vì (a + e(M ))R + (H + e(M ))/e(M ) = M/e(M ) Từ (iii) A/N ta có A/e(M ) m m M/N , M/e(M ) Vậy nên H + e(M )/e(M ) = M/e(M ), suy H + e(M ) = M Suy (H + e(M )) ∩ (1 − e(M )) = M ∩ (1 − e)M Hơn dùng luật Modular ta chứng tỏ H = (1 − e)M Do với a ∈ A: (1 − e)aR (1 − e)M Vậy (1 − e)A ≤ Rad((1 − e)M ) ✷ (iv) ⇒ (i) Giả sử A ≤ M , e = e2 ∈ End(M ) cho e(M ) ≤ A (1 − e)A ≤ Rad((1 − e)M ) Phải chứng tỏ M nâng đơn, có nghĩa với A ≤ M tồn phân tích M = M1 ⊕ M2 : M1 ≤ A M2 ∩ A m M Với A ≤ M , từ (iv) ta có e = e2 ∈ End(M ), e(M ) ≤ A nên ta có M = M1 ⊕ M2 Khi M1 = e(M ) ≤ A, nên M1 ≤ A Ta có (1 − e)A ≤ Rad((1 − e)M ) ≤ Rad(M ) (1 − e)A ≤ M Ta cần chứng minh (1 − e)M ∩ A = (1 − e)A (1 − e)M = M2 "⇐" Với (1 − e)a ∈ (1 − e)A Do e(M ) ≤ A nên ta có (1 − e)a = a − ea ∈ A, lại có (1 − e)a ∈ (1 − e)M Do (1 − e)a ∈ (1 − e)M ∩ A Vậy (1 − e)A ⊂ ((1 − e)M ∩ A) "⇒" Với y ∈ (1 − e)M ∩ A nên tồn m ∈ M, a ∈ A: (1 − e)m = a, suy m − em = a, suy m = em + a ∈ A Do y ∈ (1 − e)A Vậy ((1 − e)M ∩ A) ⊂ (1 − e)A 28 Vậy M2 ∩ A m M Vậy M môđun nâng đơn ✷ (2) Giả sử M nâng đơn, K hạng tử trực tiếp M Phải chứng minh K nâng đơn Với L ≤ K ≤ M , suy L ≤ M Do M nâng đơn nên tồn phân tích M = M1 ⊕ M2 cho M1 ≤ L M2 ∩ L m M Ta có M1 ⊕ (M2 ∩ K) = K (Luật Modular) Khi để chứng minh K nâng đơn ta cần chứng minh (M2 ∩ K) ∩ L Ta thấy M2 ∩ L m 2.2(2) suy M2 ∩ L m K M K hạng tử trực tiếp M , nên theo Bổ đề m K Suy (M2 ∩ K) ∩ L m K Vậy ta chứng minh K nâng đơn Ví dụ 2.4.1 Rõ ràng môđun nâng môđun nâng đơn Chứng minh Với A ≤ M , M mơđun nâng nên tồn phân tích M = M1 ⊕M2 có M1 ≤ A, M2 ∩A theo mệnh đề (2.1) suy M2 ∩ A m M Khi M2 ∩A ⊆ Rad(M ), M Vậy M nâng đơn Định nghĩa 2.4.2 Một mơđun M gọi khơng phân tích M khác không viết dạng tổng trực tiếp hai môđun khác không Mệnh đề ta chứng minh điều kiện tương đương môđun nâng đơn, môđun không phân tích Mệnh đề 2.4.2 Cho M mơđun khác khơng, khơng phân tích Các điều kiện sau tương đương: (i) M môđun nâng đơn (ii) Mọi môđun thực đối cốt yếu đơn M (iii) Rad(M ) tổng tất môđun thực M 29 (iv) Rad(M ) = M M môđun địa phương (v) M nửa hổng Chứng minh (i) ⇒ (ii) Giả sử M môđun nâng đơn, cần chứng minh N ≤ M, N = M, N m M Với N ≤ M, N = M , M nâng đơn nên tồn phân tích M = C ⊕ D cho C ≤ N, D ∩ N m M Do M khơng phân tích nên C = C = M Ta loại trường hợp C = M Thật C = M , M = C ≤ N , suy M ≤ N dẫn tới M = N Điều mâu thuẫn N = M Nên ta có C = D = M Từ (i) có D ∩ N N ∩M =N m M Vậy N (ii) ⇒ (iii) Đặt E = m m M , suy M I, với I môđun thực môđun M , ta phải chứng minh Rad(M ) = E Ta có E ≤ M, E = M , theo (ii) môđun thực đối cốt yếu đơn M , suy E m M , suy E ⊆ Rad(M ) Ta chứng minh Rad(M ) ⊆ E Thật với x ∈ Rad(M ) = I Nên x ∈ I1 + I2 + + Ij với I I1 M , I2 M , , Ij M M Khi tồn i1 ∈ I1 , i2 ∈ I2 , , ij ∈ Ij : x = i1 + i2 + + ij Suy xR ≤ I1 + I2 + + Ij M Do xR M, xR = M , suy xR ⊆ E Suy x ∈ xR ⊆ E Vậy x ∈ E (iii) ⇒ (iv) Giả sử Rad(M ) = M , Rad(M) mơđun thực M Chứng ta M môđun địa phương Gọi A họ môđun thực M Thật vậy, theo (iii) Rad(M) 30 tổng môđun thực M tổng mơđun F thuộc họ A Do Rad(M) môđun thực lớn M Do theo định nghĩa mơđun địa phương M địa phương (iv) ⇒ (i) Trường hợp 1: Rad(M ) = M , ta cần chứng minh M môđun nâng đơn Với N ≤ M Khi ta có M = ⊕ M, ≤ N Từ (iv) có Rad(M) = M nên ta có mơđun M đối cốt yếu đơn M , N m M , suy N ∩ M m M N ≤ M Vậy điều kiện chứng tỏ M môđun nâng đơn Trường hợp 2: Rad(M ) = M theo (iv) M mơđun địa phương Với N ≤ M , ta cần xét N = M Ta có M = ⊕ M Do M môđun địa phương nên môđun thực môđun địa phương đối cốt yếu đơn M , N m M hay N ∩ M m M Vậy M môđun nâng đơn (iv) ⇒ (v) (*) Giả sử Rad(M) = M , chứng minh M nửa hổng Thật vậy, với N môđun thực M , N hữu hạn sinh, tức N = x1 R + x2 R + + xn R Do N = x1 R + x2 R + + xn R ≤ M = Rad(M ), N ⊆ Rad(M ), nên N M, , xn R N m M , ta suy x1 R M , từ ta có x1 R + x2 R + + xn R M, x2 R M Vậy M (*) Nếu Rad(M) = M M mơđun địa phương, tồn K môđun lớn nhất, suy K = Rad(M ) Với N môđun thực M , N hữu hạn sinh, tức N =< x1 , x2 , , xn > Khi N = x1 R + x2 R + + xn R Do N ⊆ Rad(M ) nên N m M , suy x1 R 31 M, x2 R M, , xn R M, suy x1 R + x2 R + + xn R M Vậy N M Vậy N M (v) ⇒ (iv) Nếu Rad(M) = M có điều cần chứng minh Nếu Rad(M) = M Rad(M) mơđun thực M Ta chứng minh Rad(M ) môđun lớn Thật với N môđun thực M N ⊆ Rad(M ) Vậy M môđun địa phương Các định lý sau đưa vài điều kiện để đảm bảo môđun thương môđun nâng đơn môđun nâng đơn Định lý 2.4.1 Cho M R-môđun (1) Giả sử M môđun nâng đơn X ≤ M Nếu K hạng tử trực tiếp M (X + K)/X hạng tử trực tiếp M/X Khi M/X môđun nâng đơn (2) Nếu M môđun phân phối, M/X mơđun nâng đơn với X ≤ M (3) Cho X ≤ M eX ⊆ X với e2 = e ∈ End(M ) Khi M/X nâng đơn Chứng minh (1) Với A/X ≤ M/X, suy X ≤ A ≤ M Do M môđun nâng đơn nên theo mệnh đề 2.8(ii) tồn phân tích M = K ⊕ K cho K ≤ A A/K m M/K Theo giả thiết (X+K)/X hạng tử trực tiếp M/X; ta có (X+K)/X ≤ A/X Bây ta phải chứng minh A/(K + X) m M/(K + X) Thật với a ¯ ∈ A/(K + X) cần chứng minh a ¯R M/(K + X) Với L/(K + X) ≤ M/(K + X): a ¯R + L/(K + X) = M/(K + X) (a + K + X)R + L/(K + X) = M/(K + X), suy aR + L = M , aR/K + L/K = M/K, suy L = M A/K nên L/(K + X) = M/(K + X) Do A/(K + X) Vậy M/X môđun nâng đơn 32 m m M/K, M/(K + X) (2) Với D hạng tử trực tiếp M , có nghĩa M = D ⊕ D , theo (1) đủ để (X + D)/X hạng tử trực tiếp M/X Ta M/X = (X + D)/X ⊕ (X + D )/X Thật ta có M/X = (X + D)/X + (X + D )/X Ta cần chứng minh (X + D)/X ∩ (X + D )/X = X Thật với y ∈ (X + D)/X ∩ (X + D )/X, tồn d ∈ D, d ∈ D cho d + X = d + X, suy d − d ∈ X Do M môđun phân phối nên X = (D ∩ X) ⊕ (D ∩ X), suy d − d ∈ (D ∩X)⊕(D ∩X), suy d−d = u+v với u ∈ (D ∩X), v ∈ (X ∩D ) Do d − u = d + v ∈ D ∩ D = 0, suy d = u ∈ X, suy y ∈ X Khi M/X = (X + D)/X ⊕ (X + D )/X Theo (1) M/X môđun nâng đơn (3) Với D hạng tử trực tiếp M , có nghĩa M = D ⊕ D , theo (1) đủ để (X + D)/X hạng tử trực tiếp M/X Ta M/X = (X + D)/X ⊕ (X + D )/X Thật ta có M/X = (X + D)/X + (X + D )/X Ta cần chứng minh (X + D)/X ∩ (X + D )/X = X Thật với y ∈ (X + D)/X ∩ (X + D )/X, tồn d ∈ D, d ∈ D cho d + X = d + X, suy d − d ∈ X Tiếp theo ta chứng minh X = (D ∩ X) ⊕ (D ) ∩ X ∗ Với x ∈ (D ∩ X) + (D ∩ X), suy x = u + v với u ∈ (D ∩ X) v ∈ (X ∩ D ), suy x ∈ X Do (D ∩ X) + (D ∩ X) ⊆ X ∗ Với x ∈ X Xét ánh xạ e : M −→ D, eX ⊆ X, nên eX ⊆ (X ∩ D) Do e2 = e ∈ End(M ), suy M = e(M ) ⊕ (1 − e)M Lại có x = ex+(1−e)x ∈ (D ∩X)+(D ∩X) Do X ⊆ (D ∩X)+(D ∩X) ∗ (D∩X)∩(D ∩X) = D∩D ∩X = Vậy X = (D∩X)⊕(D )∩X Do d−d ∈ X Do M môđun phân phối nên X = (D ∩X)⊕(D ∩X), 33 suy d−d ∈ (D∩X)⊕(D ∩X), suy d−d = u+v với u ∈ (D∩X), v ∈ (X ∩ D ) Do d − u = d + v ∈ D ∩ D = 0, suy d = u ∈ X, suy y ∈ X Khi M/X = (X + D)/X ⊕ (X + D )/X Theo (1) M/X mơđun nâng đơn Mệnh đề 2.4.3 Cho M môđun Nếu M nửa hổng mơđun thương M nửa hổng Chứng minh Với K/N ≤ M/N, K = M, N ≤ K ≤ M, K/N hữu hạn sinh Khi K/N = (x1 + N )R + + (xk + N )R với (xi + N ) ∈ K/N, i = 1, n Do M nửa hổng, K hữu hạn sinh nên K chứng minh K/N M Cần M/N Với I/N ≤ M/N : K/N + I/N = M/N suy K + I = M , K M nên I = M , suy I/N M/N Do K/N = M/N Vậy M/N nửa hổng Định nghĩa 2.4.3 Cho M môđun Môđun N M gọi bất biến hoàn toàn f (N ) ⊆ N với f ∈ EndR (M ) Cho M môđun, M = ⊕i∈I Mi , Mi môđun M Nếu N môđun bất biến hồn tồn M N = ⊕i∈I (N ∩ Mi ) Bổ đề 2.4.1 Cho M môđun đối ngẫu M = M1 ⊕ M2 Khi M mơđun nâng đơn M1 M2 môđun nâng đơn Chứng minh "⇒" Giả sử M môđun nâng đơn mà M = M1 ⊕ M2 Khi theo Mệnh đề 2.3(2) lớp môđun nâng đơn đóng phần tử tổng trực tiếp nên ta có M1 ≤d M , suy M1 mơđun nâng đơn, lại có M2 ≤d M suy M2 môđun nâng đơn "⇐" Giả sử M1 M2 môđun nâng đơn, cần phải chứng minh M môđun nâng đơn Với K ≤ M Ta có M = M1 ⊕ M2 Do M 34 mơđun đối ngẫu nên ta có K = (M1 ∩K)⊕(M2 ∩K) Ta có K ∩M1 ≤ M1 , M1 nâng đơn nên tồn A1 ≤ M1 , B1 ≤ M1 để M1 = A1 ⊕ B1 cho A1 ≤ (K ∩ M1 ) B1 ∩ (K ∩ M1 ) m M1 , suy B1 ∩ K m M1 Lại có K ∩ M2 ≤ M2 M2 nâng đơn nên tồn A2 ≤ M2 , B2 ≤ M2 để M2 = A2 ⊕ B2 cho A2 ≤ K ∩ M 2, B2 ∩ (K ∩ M2 ) B2 ∩ K m m M2 , suy M2 Khi M = M1 ⊕ M2 = A1 ⊕ A2 ⊕ B1 ⊕ B2 , A1 ⊕ A2 ≤ (K ∩ M1 ) ⊕ (K ∩ M2 ) = K Mặt khác (B1 ⊕ B2 ) ∩ K = (B1 ∩ K) ⊕ (B2 ∩ K) Thật vậy, ta có (B1 ∩ K) ⊕ (B2 ∩ K) ⊆ (B1 ⊕ B2 ) ∩ K hiển nhiên Ta cần phải chứng minh (B1 ⊕ B2 ) ∩ K ⊆ (B1 ∩ K) ⊕ (B2 ∩ K) Với x ∈ (B1 ⊕B2 )∩K, suy x = b1 +b2 , với b1 ∈ B1 , b2 ∈ B2 x ∈ K Mà K = (M1 ∩K)⊕(M2 ∩K) nên x = x1 +x2 với x1 ∈ M1 ∩K, x2 ∈ M2 ∩K, suy x = x1 + x2 = b1 + b2 suy b1 − x1 = x2 − b2 ∈ M1 ∩ M2 = 0, suy b1 = x1 ∈ B1 ∩ K b2 = x2 ∈ B2 ∩ K Nên x = b1 + b2 ∈ (B1 ∩ K) ⊕ (B2 ∩ K) Do (B1 ⊕ B2 ) ∩ K ⊆ (B1 ∩ K) ⊕ (B2 ∩ K) Vậy (B1 ⊕ B2 ) ∩ K = (B1 ∩ K) ⊕ (B2 ∩ K) Từ suy (B1 + B2 ) ∩ K m M1 ⊕ M2 = M Vậy M môđun nâng đơn Mệnh đề 2.4.4 Cho M môđun nâng đơn Nếu M = M1 + M2 , M2 hạng tử trực tiếp M M2 chứa phần phụ tổng quát M1 M Chứng minh Từ giả thiết ta có M = M1 + M2 , nên M1 ∩ M2 ≤ M Do M mơđun nâng đơn nên tồn phân tích M = N ⊕ N cho N ≤ M1 ∩ M2 N ∩ M1 ∩ M2 m M Ta có N ⊕ (M2 ∩ N ) = M2 (Luật modular), nên (M2 ∩ N ) ⊆ M2 Bây ta chứng minh M2 ∩ N phần phụ tổng quát M1 M , tức 35 M1 ∩ (M2 ∩ N ) m M2 ∩ N M = M1 + (M2 ∩ N ) Đầu tiên từ N ⊕ (M2 ∩ N ) = M2 nên ta có M1 ∩ M2 = N ⊕ (M1 ∩ M2 ∩ N ) Bây ta xét phép chiếu tự nhiên π : M2 = N ⊕ (M2 ∩ N ) → N Nên π(M1 ∩ M2 ∩ N ) = M1 ∩ M2 ∩ N Từ N ∩ M1 ∩ M2 m M, N ∩ M1 ∩ M2 ≤ M2 M2 hạng tử trực tiếp M nên theo Bổ đề 2.2(2) N ∩ M1 ∩ M2 m π(M1 ∩ M2 ∩ N ) M2 Cũng theo Bổ đề 2.3(3); π đồng cấu m π(M2 ) tương đương với M1 ∩ (M2 ∩ N ) m M2 ∩ N Cuối ta thấy M = M1 + (M2 ∩ N ) Thật với x ∈ M , ta có x = m1 + m2 , với m1 ∈ M1 , m2 ∈ M2 Nhưng M2 = N ⊕ (M2 ∩ N ) nên tồn n ∈ N, m2 ∈ (M2 ∩ N ) cho m2 = n + m2 Khi x = m1 + m2 = m1 + n + m2 ∈ M1 + (M2 ∩ N ), n ∈ N ≤ M1 Vậy nên M = M1 + (M2 ∩ N ) Như M2 chứa (M2 ∩ N ) (M2 ∩ N ) phần phụ tổng quát M1 M 36 Kết luận Khóa luận “Mơđun đối cốt yếu đơn áp dụng” giải vấn đề sau đây: Khảo sát làm rõ số tính chất mơđun GS W GS nghiên cứu Đưa ra, nghiên cứu môđun đối cốt yếu đơn áp dụng lý thuyết vành môđun Cụ thể áp dụng chúng vào lớp mơđun mở rộng lớp mơđun nâng, môđun nâng đơn Chúng chứng minh được: - Một môđun N M gọi đối cốt yếu đơn M N ⊆ Rad(M ) - M nâng đơn với A môđun môđun M , tồn A = N ⊕ S cho N hạng tử trực tiếp M S đối cốt yếu đơn M - Lớp mơđun nâng đơn đóng tổng trực tiếp - Nếu M môđun nâng đơn X ≤ M Nếu K hạng tử trực tiếp M ; (X + K)/X hạng tử trực tiếp M/X Khi M/X mơđun nâng đơn - Ngồi số tính chất khác môđun đối cốt yếu đơn môđun nâng đơn ví dụ chúng xét đến 37 Tài liệu tham khảo [1] F.W.Anderson and K.R.Fuller, Rings and Categories of Modules, Springer-Verlag, New York, 1974 [2] J.Clark, C.Lomp, N.Vanaja and R.Wisbauer, Lifting Modules, Frontiers in Mathematics, Birkhăauser, 2006 [3] Nguyễn Tự Cường, Giáo trình đại số đại, NXBĐHQGHN [4] M.T.Ko¸san, The Lifting Condition and Fully Invariant Submodules, East-West Journal of Math 7(1) (2005) 99-106 [5] A.C.Ozcan, A.Harmanc and P.F.Smith, Duo modules, Glasgow Math.J 2006 [6] Lê Văn Thuyết, Bài giảng Lý thuyết vành môđun (bài giảng sau đại học), trường ĐHSP, ĐH Huế, 1998 [7] Nguyễn Xuân Tuyến - Lê Văn Thuyết , Đại số trừu tượng 1, NXBGD, 2005 [8] Y.Wang and N.Ding, Generalized Supplemented modules, Taiwanese Journal of Math.10 (2006), No.6, 1589-1601 [9] R.Wisbauer, Foundations of Module and Ring Theory 38 ... Môđun đối cốt yếu đơn Trong mục chúng tơi nêu định nghĩa, tìm vài ví dụ chứng minh số tính chất môđun đối cốt yếu đơn dựa sở biết môđun đối cốt yếu Định nghĩa 2.1.1 Một môđun N M gọi đối cốt yếu đơn. .. trọng đó, chúng tơi mở rộng khái niệm môđun đối cốt yếu nghiên cứu chúng Đó mơđun đối cốt yếu đơn định nghĩa sau: “Một môđun N môđun M gọi đối cốt yếu đơn M , ký hiệu N m M , với n ∈ N , M = nR... phân tích mơđun nâng đơn môđun thực đối cốt yếu đơn M , điều tương đương với việc môđun M nửa hổng Hơn cịn chứng minh mơđun M đối ngẫu M = M1 ⊕ M2 M môđun nâng đơn M1 M2 môđun nâng đơn Chương Kiến