Các khái niệm cơ bản
Tập hợp R không rỗng được trang bị hai phép toán gọi là phép cộng và phép nhân Theo đó, R là nhóm aben với phép toán cộng, đồng thời là nửa nhóm với phép toán nhân Các phép toán này thỏa mãn tính phân phối, cụ thể là x(y + z) = xy + xz và (x + y)z = zx + yz cho mọi x, y, z thuộc R.
Phần tử trung hòa của phép cộng được ký hiệu là 0, trong khi phần tử đơn vị của phép nhân được ký hiệu là 1 Trong một vành có nhiều hơn một phần tử và có đơn vị, ta có 1 khác 0 Tập con A của vành R được gọi là vành con nếu A là vành đối với hai phép toán cộng và nhân trên R, bao gồm cả tính đóng của hai phép toán này trên A Iđêan trái (phải) của một vành R là vành con A thỏa mãn điều kiện ra ∈ A (ar ∈ A), với a ∈ A và r ∈ R.
Vành con I của R vừa là iđêan trái, vừa là iđêan phải được gọi là iđêan của vành R.
Cho I là một iđêan của vành R, ta ký hiệu R/I =: {r + I|r ∈ R} được gọi là tập thương của R theo I Trên tập thương R/I ta xây dựng hai phép toán
Trong toán học, công thức (x + I)(y + I) = (xy) + I được áp dụng cho mọi x, y thuộc tập hợp số thực R Từ đó, ta định nghĩa tập thương R/I với hai phép toán trên, tạo thành một vành, gọi là vành thương của R theo I Bên cạnh đó, nếu R là một vành có đơn vị 1_R, thì một R-môđun M bao gồm (M, +) là một nhóm aben và có một phép toán ã: M × R → M thỏa mãn các điều kiện nhất định.
(4) x ã 1 R = x, trong đó r, s ∈ R và x, y là các phần tử tùy ý trong M.
Lúc đó R được gọi là vành cơ sở, nếu M là một R-môđun phải ta thường ký hiệu là M R Tương tự ta cũng đinh nghĩa R-môđun trái.
Cho R, S là hai vành Nhóm aben (M, +) là một song môđun R-bên phải
S-bên trái (ký hiệu S M R ) nếu a) M là R-môđun phải và M là S-môđun trái. b) Ta phải có
Định nghĩa 6 nêu rõ rằng, cho M là một R-môđun phải, tập con A của M được xem là môđun con của M nếu A là R-môđun phải với phép toán cộng và nhân bị hạn chế trên A (ký hiệu A ≤ M hay A R ≤ M R) Định nghĩa 7 xác định môđun M R là đơn nếu M khác không và mọi môđun con A của M chỉ có thể là 0 hoặc M, tức là M có đúng hai môđun con là 0 và M.
(2) Vành R được gọi là đơn nếu R 6= 0 và với mọi A ≤ R R R thì A = 0 hoặc
A = 0, nghĩa là R 6= 0 và R chỉ có hai iđêan hai phía là 0 và R.
(3) MôđunA ≤ M được gọi là môđun con cực tiểu của môđunM nếu nhưA 6= 0 và với mọi B ≤ M thỏa mãn B < A thì B = 0.
(4) Tương tự, môđun conA ≤ M được gọi là môđun con cực đại nếu nhưA 6= M và với mọi B ≤ M thỏa mãn B > A thì B = M.
Bổ đề 1.1 M R đơn khi và chỉ khi M 6= 0 và ∀m ∈ M, m 6= 0 thì M = mR.
Cho M là một nhóm aben và N là nhóm con của M với N ≤ M Do đó, nhóm thương M/N cũng là một nhóm aben Các phần tử của nhóm M/N được xác định là các lớp ghép x + N của N trong M, với phép toán cộng được áp dụng.
Ta cần xây dựng phép nhân môđun để M/N trở thành một môđun phải. Định lý 1.2 Cho M R và N ≤ M.
(i) Quy tắc M/N × R → M/N được cho bởi (m + N, r) → (m + N )r = mr + N là phép nhân môđun.
Nhóm aben M/N, kết hợp với phép toán nhân môđun, hình thành một R-môđun phải M/N, được xác định theo Định lý 1.2, được gọi là môđun thương của môđun M trên môđun con N.
Một đặc biệt hóa căn Jacobson của vành 10
Biểu diễn ∆(R) và các tính chất
Bổ đề 2.1 Cho R là vành bất kỳ, ta có
(2) Với mỗi r ∈ ∆(R) và u ∈ U (R), ur, ru ∈ ∆(R);
(3) ∆(R) là vành con của vành R;
(4) ∆(R) là iđêan của R khi và chỉ khi ∆(R) = J(R);
Chứng minh (1) Cho r ∈ ∆(R) và u bất kỳ thuộc U (R), khi đó r + u ∈ U(R) khi và chỉ khi ru −1 + 1 ∈ U (R) khi và chỉ khi u −1 r + 1 ∈ U(R).
(2) Ta có ruu 0 + 1 ∈ U (R), ∀u, u 0 ∈ U (R) do r ∈ ∆(R), suy ra ru ∈ ∆(R). Tương tự ur ∈ ∆(R).
(3) Lấyr, s ∈ ∆(R) Khi đó−r + s + U (R) ⊆ −r + U (R) = −r − U (R) ⊆ U (R), hay ∆(R) là nhóm con với phép cộng của R Hơn nữa rs = r(s + 1) − r ∈ ∆(R) do r(s + 1) ∈ ∆(R) theo (2).
(4) Rõ ràng J (R) ⊆ ∆(R) Ta giả sử ∆(R) là iđêan của R và r ∈ R Khi đó rx + 1 ∈ U (R), với x bất kỳ thuộc ∆(R) suy ra ∆(R) ⊆ J (R) hay ∆(R) = J(R). Chiều ngược lại là hiển nhiên.
(5) Lấy Q i∈I r i ∈ ∆(Q i∈I R i ) Khi đó Q i∈I r i + U (Q i∈I R i ) ⊆ U(Q i∈I R i ) Vì U(Q i∈I R i ) = Q i∈I U (R i ) nên Q i∈I r i +Q i∈I U (R i ) ⊆ Q i∈I U (R i ) hay Q i∈I (r i + U(R i )) ⊆Q i∈I U (R i ), suy ra r i + U(R i ) ⊆ U (R i ), ∀i ∈ I nên Q i∈I r i ∈Q i∈I ∆(R i ). Chiều ngược lại tương tự.
Choe là phần tử lũy đẳng của vành R Khi đó phần tử 1 − 2elà khả nghịch trong R Từ Bổ đề 2.1 (2) ta suy ra hệ quả sau.
Hệ quả 2.2 Cho R là một vành
(1) ∆(R) đóng với phép nhân các phần tử lũy linh;
Nếu 2 thuộc U(R), thì ∆(R) là một tập hợp đóng với phép nhân các phần tử lũy đẳng Định lý 2.3 chỉ ra rằng, với R là một vành có đơn vị và T là vành con được sinh bởi U(R), có những tính chất quan trọng cần lưu ý.
(1) ∆(R) = J (T ) và ∆(S) = ∆(R), với S là vành con tùy ý của R thỏa mãn
(2) ∆(R) là căn Jacobson lớn nhất chứa trong R và đóng với phép nhân các phần tử khả nghịch của R.
T là vành con được sinh ra từ U(R), vì vậy mỗi phần tử của T có thể được biểu diễn dưới dạng tổng hữu hạn của các phần tử khả nghịch trong R Điều này dẫn đến việc áp dụng Bổ đề 2.1.
(2) suy ra ∆(T ) là iđêan của T Theo Bổ đề 2.1 (4) suy ra ∆(T ) = J(T ) Hơn nữa ∆(T ) = ∆(R) nên ∆(R) = J(T ).
Nếu r thuộc ∆(R), thì r cộng với U(R) nằm trong U(R), cho thấy r có thể biểu diễn dưới dạng tổng của hai phần tử khả nghịch Do đó, r thuộc T, dẫn đến ∆(R) nằm trong T Giả sử S là vành con của R với T nằm trong S, thì U(S) sẽ bằng U(R).
(2) Theo (1), ∆(R) là căn Jacobson của R và theo Bổ đề 2.1 (2) thì ∆(R) đóng với phép nhân các phần tử khả nghịch trái và phải trong R.
Giả sử S là một căn Jacobson trong R, được đóng với phép nhân các phần tử khả nghịch Chúng ta cần chứng minh rằng S ⊆ ∆(R) Cụ thể, nếu s ∈ S và u ∈ U(R), thì tích su thuộc S, tức là su ∈ J(S) Vì su là phần tử khả nghịch trong S, điều này khẳng định rằng S thỏa mãn điều kiện cần thiết.
1 + su ∈ U (R) Theo Bổ đề 2.1 (1) thì s ∈ ∆(R) hay S ⊆ ∆(R).
Từ đặt trưng của ∆(R) trong Định lý 2.3 (2) ta có ngay hệ quả sau.
Hệ quả 2.4 chỉ ra rằng nếu R là một vành mà mỗi phần tử có thể biểu diễn dưới dạng tổng của các phần tử khả nghịch, thì ∆(R) = J(R) Theo định lý cổ điển của Amitsur, căn Jacobson của F-đại số R trên trường F là lũy linh, với điều kiện dim F R < |F | Áp dụng Định lý 2.3 (1), ta có thể rút ra hệ quả quan trọng này.
Hệ quả 2.5 Giả sử R là một vành đại số trên trường F Nếu dim F R < |F |, khi đó ∆(R) là vành lũy linh.
Cho R là một vành không nhất thiết phải có đơn vị S là vành con của R, ta ký hiệuS ˆ là vành con của R được sinh bởi S ∪ {1}.
Mệnh đề 2.6 Giả sử R là vành có đơn vị Khi đó
(1) ChoS là vành con củaR thỏa mãnU (S) = U (R)∩S Khi đó∆(R)∩S ⊆ ∆(S);
(3) Cho I là iđêan của R thỏa mãn I ⊆ J (R) Khi đó ∆(R/I ) = ∆(R)/I.
Chứng minh (1) được suy ra từ định nghĩa của ∆.
(2) Nếu r ∈ ∆(R), khi đó v = 1 + r ∈ U(R)và v −1 = 1 − rv −1 ∈ ∆(R)[∩ U (R), do −rv −1 ∈ ∆(R), Bổ đề 2.1.
Lấy u = r + k ã 1 ∈ ∆(R)[ ∩ U (R), trong đú r ∈ ∆(R) và k ∈ Z Ta sẽ chỉ ra ¯ k = k ã1 ∈ U (R) Ta cúu− ¯ k = r ∈ ∆(R), do đú1− ku ¯ −1 = (u− ¯ k)u −1 = ru −1 ∈ ∆(R) theo Bổ đề 2.1 (2) Khi đó ¯ ku −1 = 1 − (1 − ku ¯ −1 ) ∈ U (R), suy ra ¯ k ∈ U(R) Vì
∆(R) là tập hợp các phần tử khả nghịch với phép nhân, từ đó ta có thể chứng minh rằng v = u ¯ k −1 = 1 + r k ¯ −1 dẫn đến u −1 ¯ k = v −1 ∈ ∆(R) Điều này cho thấy u −1 ¯ k = s + ¯ l, với s ∈ ∆(R) và l ∈ Z Kết luận rằng ¯ k −1 ∈ ∆(R), suy ra u −1 = s ¯ k −1 + ¯ k −1 ¯ l ∈ ∆(R) Do đó, U(R) ∩ ∆(R)[ ⊆ U(∆(R))[ và ngược lại U(∆(R))[ ⊆ U(R) ∩ ∆(R)[ cũng dễ dàng được chứng minh.
(3) Ta ký hiệu¯là phép chiếu từ R lên R/I Lưu ý, I ⊆ J(R), U ( ¯ R) = U(R). Lấy ¯ r ∈ ∆( ¯ R) và u ∈ U (R) Khi đó ¯ r + ¯ u ∈ U ( ¯ R) và có các phần tử v ∈ U(R) và j ∈ I thỏa mãn r + u = v + j Hơn nữa v + j ∈ U (R), do I ⊆ J(R) Suy ra
∆( ¯ R) = ∆(R) Vì U ( ¯ R) = U (R) nên chiều ngược lại là dễ thấy. Áp dụng mệnh đề trên ta có hệ quả sau.
Hệ quả 2.7 Cho R là vành có đơn vị, ∆( ∆(R)) = ∆(R)[ , nghĩa là ∆ là toán tử đóng.
Chứng minh ∆(R) là căn Jacobson của T = ∆(R)[, do đó ∆(R) ⊆ T.
Vì∆(R) chứa tất cả các phần tử lũy linh nên T /∆(R) đẳng cấu với Z hoặc
Zn :=Z /n Z, với n > 1 và là nhân tử bình phương Theo Mệnh đề 2.6 (3) và Hệ quả 2.4 ta có ∆(T )/∆(R) = ∆(T /∆(R)) = J (T /∆(R)) = 0 hay ∆(T ) = ∆(R).
Từ Mệnh đề 2.6(1), áp dụng choS = Z(R) là tâm củaR, ta có hệ quả sau.
Mỗi phần tử f trong R[[x]], được biểu diễn dưới dạng chuỗi lũy thừa f = Σ∞ i=0 a i x i với x 0 = 1, được gọi là chuỗi lũy thừa hình thức của biến x với hệ tử thuộc R Để định nghĩa phép cộng và phép nhân cho hai phần tử f và g trong R[[x]], ta có f = Σ∞ i=0 a i x i và g = Σ∞ i=0 b i x i Hai phần tử f và g được coi là bằng nhau (f = g) khi và chỉ khi các hệ số a i và b i bằng nhau cho mọi i = 0, 1, Đồng thời, phép cộng của hai chuỗi lũy thừa được xác định bởi f + g = Σ∞ i=0 (a i + b i) x i.
Với các phép toán như trên thì R[[x]] là một vành giao hoán có đơn vị.
Vành R, ký hiệu T_n(R), bao gồm tất cả các ma trận tam giác cấp n, trong khi J_n(R) là lý thuyết iđêan của T_n(R) chứa các ma trận tam giác thực sự Đồng thời, D_n(R) đại diện cho vành các ma trận đường chéo cấp n.
(3) ta suy ra trực tiếp hệ quả sau.
Hệ quả 2.9 Cho R là một vành tùy ý Khi đó, các khẳng định sau là đúng
Hệ quả 2.10 Cho R là một vành Khi đó, ∆(R) = J(R) nếu và chỉ nếu
Một vành R được coi là ổn định nếu với mọi a, x, b ∈ R thỏa mãn ax + b = 1, tồn tại y ∈ R sao cho a + by là khả nghịch trong R Định lý 2.11 chỉ ra rằng ∆(R) = J(R) nếu R thỏa mãn một trong các điều kiện nhất định.
(1) R/J (R) là đẳng cấu với tích của vành các ma trận và thể.
(2) R là một vành nửa địa phương.
(3) R là vành clean thỏa mãn 2 ∈ U (R).
(6) R = F G là nhóm đại số trên trường F.
Chứng minh (1) Giả sửR đẳng cấu với tích của vành các ma trận và thể Theo
Để chỉ ra rằng ∆(R/J(R)) = 0, ta giả sử J(R) = 0, tức là R là tích của vành các ma trận và thể Nếu R là vành ma trận M_n(S) với S là vành chứa đơn vị và n ≥ 2, theo Định lý 1.6, mỗi phần tử của R là tổng của ba phần tử khả nghịch, dẫn đến Hệ quả 2.4 cho thấy ∆(R) = J(R) = 0 Khi đó, S trở thành thể và rõ ràng ∆(S) = 0 Do đó, kết quả (1) được suy ra trực tiếp từ Bổ đề 2.1 (5).
(2) Là trường hợp đặc biệt của (1).
Giả sử R là vành clean với 2 ∈ U(R) Nếu e ∈ R là lũy đẳng, thì 1 − 2e ∈ U(R) và e có thể biểu diễn dưới dạng 1/2 − 1/2(1 − 2e), cho thấy e là tổng của hai phần tử khả nghịch Điều này chỉ ra rằng mỗi phần tử trong R đều có thể được biểu diễn là tổng của ba phần tử khả nghịch.
Hệ quả 2.4 ta suy ra ∆(R) = J(R).
(4) Giả sử U (R) = 1 + U (R) Giả sử R là U J-vành Khi đó, nếu r ∈ ∆(R) ta có r + U (R) ⊆ U(R), nghĩa là r + 1 + J (R) ⊆ 1 + J(R) Suy ra r ∈ J(R) và do đó
Giả sử R có hạng ổn định là 1, với r ∈ ∆(R), ta có thể chỉ ra rằng r ∈ J(R) Đối với bất kỳ s ∈ R, ta có Rr + R(1 − rs) = R Do R có hạng ổn định 1, tồn tại x ∈ R sao cho r + x(1 − sr) ∈ U(R) Điều này dẫn đến x(1 − sr) ∈ r + U(R) ⊆ U(R), từ đó suy ra (1 − sr) khả nghịch, tức là r ∈ J(R).
(6)Giả sửR = F Glà nhóm đại số trên trườngF Khi đó, mỗi phần tử củaR là tổng của các phần tử khả nghịch Theo Hệ quả 2.4 ta suy ra∆(R) = J(R).
Ta đã biết vành nửa địa phương có hạng ổn định 1, do đó điều kiện (2) và
Bổ đề 2.12 Giả sử G là nhóm con của nhóm R đối với phép toán cộng Khi đó
G đóng với phép nhân các phần tử khả nghịch khi và chỉ khi nó đóng với phép nhân các phần tử tựa khả nghịch của R.
Chứng minh Lấy r ∈ R và G là nhóm cộng, rG ⊆ G khi và chỉ khi (1 − r)G ⊆
G. Định lý 2.13 Giả sử R là một vành có đơn vị và G là nhóm con đối với phép cộng của R Khi đó các điều kiện sau đây là tương đương
(2) G là căn Jacobson lớn nhất đóng với phép nhân các phần tử tựa khả nghịch của R;
G là nhóm con lớn nhất của R trong phép cộng, bao gồm các phần tử tựa khả nghịch Đồng thời, G cũng đóng với phép nhân các phần tử tựa khả nghịch của R.
Theo Định lý 2.3 (2) và Bổ đề 2.12, ∆(R) được xác định là căn Jacobson của R, đóng với phép nhân các phần tử tựa khả nghịch Giả sử G là nhóm cộng của các phần tử tựa khả nghịch và cũng đóng với phép nhân của các phần tử tựa khả nghịch trong R Cụ thể, G là căn Jacobson không chứa đơn vị của R.
Bổ đề 2.12, G đóng với phép nhân các phần tử khả nghịch của R Do đó theo Định lý 2.3 (2) ta được G ⊆ ∆(R).
Các đặc trưng của ∆U -vành 20
Các tính chất tổng quát của các ∆U -vành
Ta biết rằng 1 + J(R) ⊆ U (R) Vành R được gọi là U J-vành nếu U (R) ⊆
1 + J(R), nghĩa là 1 + J(R) = U (R) Lưu ý nếu R làU J-vành khi đó∆(R) = J(R). Một vành R được gọi là ∆U-vành nếu 1 + ∆(R) = U (R).
Mệnh đề 3.1 Một vành R là ∆U-vành khi và chỉ khi U (R) + U(R) ⊆ ∆(R) (khi đó U (R) + U (R) = ∆(R)).
Chứng minh Giả sử R là ∆U-vành, lấy bất kỳ u, v ∈ U (R), ta có 1 + u ∈ ∆(R) và 1 − v ∈ ∆(R), do đóu + v = (1 + u) − (1 − v) ∈ ∆(R)hay U (R) + U(R) ⊆ ∆(R).
Ngược lại, giả sử U (R) + U (R) ⊆ ∆(R), suy ra U(R) + U(R) = ∆(R) (vì
Mệnh đề sau trình bày một số tính chất cơ bản của ∆U-vành.
Mệnh đề 3.2 Cho R là một ∆U-vành Khi đó
(2) Nếu R là thể, khi đó R ∼ =F 2 ;
(5) Cho I ⊆ J(R) là iđêan của R Khi đó R là ∆U-vành khi và chỉ khi R/I là
(6) Vành Q i∈I R i là ∆U khi và chỉ khi các vành R i là ∆U, với mọi i ∈ I.
(7) Nếu T là vành con của R thỏa mãn U (T ) = U (R) ∩ T, khi đó T là ∆U-vành.
Cụ thể áp dụng cho Z = Z (R) tâm của R.
Chứng minh (1) Từ Mệnh đề 3.1 ta dễ dàng suy ra 2 ∈ ∆(R).
(2) Nếu R là thể thì ∆(R) = 0 Vì vậy R là U J-vành nên ta suy ra R ∼ =F 2
(3) Giả sử x 2 ∈ ∆(R) Khi đó (1 + x)(1 − x) = (1 − x)(1 + x) = 1 − x 2 ∈ U(R) tức là1 + x ∈ U (R) Vì R là ∆U-vành nên 1 + x ∈ 1 + ∆(R), do đó x ∈ ∆(R).
(4) Giả sử a, b ∈ R với ab = 1 Khi đó phần tử 1 − ba là lũy đẳng của R,
Từ (3), ta có b(1 − ba) ∈ ∆(R) và (1 − ba)a ∈ ∆(R) Suy ra
Từ đó, ba ∈ U (R) hoặc ba = 1.
Nếu I ⊆ J(R) là iđêan, thì ∆(R/I) = ∆(R)/I theo Mệnh đề 2.6 Giả sử R là ∆U-vành, khi đó bất kỳ phần tử u + I thuộc U(R/I) đều có u thuộc U(R), dẫn đến u thuộc 1 + ∆(R) Do đó, ta có u + I thuộc 1 + ∆(R)/I, tức là 1 + ∆(R/I) Như vậy, R/I cũng là ∆U-vành Ngược lại, nếu R/I là ∆U-vành, ta có thể lấy một phần tử u bất kỳ thuộc U(R).
1 + ∆(R)/I Ta có thể kiểm tra u ∈ 1 + ∆(R) Do đó, R là ∆U-vành.
(7) Từ giả thiết U (T ) = U (R) ∩ T suy ra ∆(R) ∩ T ⊆ ∆(T ) Bây giờ U (R) =
1 + ∆(T ) ⊆ U (T ) = U(R) ∩ T = (1 + ∆(R)) ∩ T = 1 + (∆(R) ∩ T ) ⊆ 1 + ∆(T ). suy ra 1 + ∆(T ) ⊆ U(T ) hay T là ∆U-vành. Định lý 3.3 Vành ma trận Mn (R) là ∆U-vành khi và chỉ khi n = 1 và R là
(:⇒) Giả sử rằngM n (R) là∆U-vành vàn > 1 Đầu tiên ta sẽ chứng minh R là thể, tức là mọi phần tử khác không đều khả nghịch Lấy bất kỳ a ∈ R, a 6= 0, ta có X =
∈M n (R) và X 2 = 0 Do M n (R) là ∆U-vành, ta lấy X ∈ ∆(M n (R)) Lấy phần tử khả nghịchU =
là khả nghịch trong M n (R) , hay a ∈ U (R).
Tiếp theo, ta chứng minh R ∼ = F 2 Lấy a ∈ R, a 6= 0 và a 6= 1 Lấy X =
∈M n (R) Khi đó X là khả nghịch VìM n (R) là∆U-vành nên ta cóI n − X =
∈ ∆(Mn (R)) Vì 1 − a là khả nghịch nênI n − X cũng khả nghịch, mâu thuẫn Do đó R ∼ =F 2
Cuối cùng, ta sẽ chỉ ra n = 1 Lấy X 1 =
Mn (R) Khi đó X là khả nghịch trong Mn (R) Bởi giả thuyết, ta có I n − X ∈
∆(M n (R)) Mặt khác, ta cũng có I n − X =
Suy ra I n − X là khả nghịch, mâu thuẫn Do đó, n = 1 và R ∼ = M 1 (R) là ∆U- vành.
Mệnh đề 3.4 Giả sử R là ∆U-vành và e là phần tử lũy đẳng của R Khi đó eRe là ∆U-vành.
Chứng minh rằng với u ∈ U(eRe), ta có u + 1 − e ∈ U(R) Do R là ∆U-vành, suy ra u − e ∈ ∆(R) Để chứng minh u − e ∈ ∆(eRe), lấy v là phần tử khả nghịch trong eRe, ta thấy v + 1 − e ∈ U(R) Vì u − e ∈ ∆(R), nên u − e + v + 1 − e ∈ U(R) theo định nghĩa của ∆ Đặt t = u − e + v + 1 − e ∈ U(R), ta kiểm tra được et = te = ete = u − e + v, từ đó suy ra ete ∈ U(eRe) Kết luận rằng u − e + U(eRe) ⊆ U(eRe), tức là u − e ∈ ∆(eRe) Do đó, u ∈ e + ∆(eRe), chứng tỏ eRe là ∆U-vành.
Cho R là một vành và M là song môđun trên vành R Một mở rộng tầm thường của R và M là
T (R, M ) = {(r, m) : r ∈ R và m ∈ M }, với phép cộng theo các thành phần và phép nhân được định nghĩa bởi
Mở rộng tầm thườngT (R, M )đẳng cấu với vành con
của vành các ma trận 2 × 2
Chúng ta có thể xác nhận rằng T (R, R) tương đương với R[x]/(x²) Theo Mệnh đề 1.8, tập hợp các phần tử khả nghịch trong mở rộng tầm thường T (R, M) là T (U (R), M), do đó, ∆(T (R, M)) được xác định.
Morita context gồm 4 thành phần
trong đó A, B là các vành,
A M B và B N A là các song môđun, tồn tại một tích context M × N → A và
là vành kết hợp với các phép toán trên ma trận.
được gọi là tầm thường nếu tích context là tầm thường, nghĩa là M N = 0 và N M = 0 (xem [13], trang 1993) Ta có
là Morita context tầm thường theo [7]. Định lý 3.5 Cho M là (R, R) song môđun Vành R là ∆U-vành khi và chỉ khi
∈ U (T (R, M )) = T (U(R), M), trong đó u ∈ U (R) và m ∈ M Ta chỉ ra u ¯ − 1 ∈ ∆(T (R, M )) Rõ ràng, u ∈ U (R) và u = 1 + a ∈ 1 + ∆(R) với a nào đó thuộc ∆(R) Suy ra ¯ a =
(⇐:) Điều ngược lại là dễ thấy.
Hệ quả 3.6 Giả sử M là (R, S) song môđun Khi đó vành ma trận các tam giác dạng
là ∆U-vành khi và chỉ khi R và S là các ∆U-vành.
Hệ quả 3.7 R là∆U-vành khi và chỉ khi vành các ma trận tam giác trênTn (R) là ∆U-vành, n ≥ 1.
Một vài tính chất đại số của các ∆U -vành
Mệnh đề 3.8.Cho Rlà vành2-nguyên thủy Nếu vành đa thứcR[x]là∆U-vành, khi đó R là ∆U-vành.
Chứng minh R là vành 2-nguyên thủy, theo Mệnh đề 2.18, ∆(R[x]) = ∆(R) + J(R[x]) Mặt khác ta cũng có J(R[x]) = I[x] với I là iđêan lũy linh nào đó của
R Bây giờ, ta giả sử R[x] là ∆U-vành Khi đó
U (R) ⊆ U (R[x]) = 1 + ∆(R[x]) = 1 + ∆(R) + I[x], điều đó có nghĩa là U(R) ⊆ 1 + ∆(R) + I = 1 + ∆(R) ⊆ U (R), vì I là iđêan lũy linh (nên I ⊆ ∆(R)) Do đó U(R) = 1 + ∆(R), hay R là ∆U-vành.
Mệnh đề 3.9 Cho R là một vành và m ∈N.
(1) R là ∆U-vành khi và chỉ khi R[x]/x m R[x] là ∆U-vành.
(2) R là ∆U-vành khi và chỉ khi vành chuỗi lũy thừa R[[x]] là ∆U-vành.
Chứng minh (1)Điều này suy ra từ Mệnh đề 3.2 (5), từxR[x]/x m R[x] ⊆ J(R[x]/x m R[x]) và (R[x]/x m R[x])/(xR[x]/x m R[x]) ∼ = R.
(2) Ta xét (x) = xR[[x]] như là iđêan của R[[x]] Khi đó (x) ⊆ J(R[[x]]) Vì
R ∼ = R[[x]]/(x) nên (2) được suy ra từ Mệnh đề 3.2 (5).
Bổ đề 3.10 Cho R, S là các vành và i : R → S, : S → R là các đồng cấu vành thỏa mãn i = id R Khi đó, các khẳng định sau là đúng
(2) Nếu S là ∆U-vành, thì R cũng là ∆U-vành.
(3) Nếu R là ∆U-vành và ker ⊆ ∆(S), thì S là ∆U-vành.
Chứng minh (1) Dễ thấy, (U (S)) ⊆ U (R) và U (R) = i(U(R)) ⊆ (U(S)) nên (U (S)) = U (R) Lấy a ∈ ∆(S) Rõ ràng, a + U (S) ⊆ U (S), vì vậy (a) + (U(S)) ⊆ (U (S)) hoặc (a) + U (R) ⊆ U (R) Điều đó có nghĩa là (a) ∈ ∆(R) Do đó, (∆(S)) ⊆ ∆(R).
(2) Cho S là ∆U-vành Khi đó U (S) = 1 + ∆(S), theo (1)
(3) Giả sử R là ∆U-vành Ta phải chỉ ra −1 (U (R)) ⊆ 1 + ∆(S), điều này có nghĩa làU (S) = 1+∆(S) Thật vậy, với bất kỳy ∈ −1 (U(R)), ta lấy(y) ∈ U (R) =
1 + ∆(R), vì R là ∆U-vành Suy ra y − 1 = i(x) + v, trong đó v tùy ý thuộc ker() vàx ∈ ∆(R) Lấy tùy ýukhả nghịch thuộcS Lưu ý rằngx+ U(R) ⊆ U(R) Ta có
Để chứng minh, ta bắt đầu từ phương trình (i(x) + u) = x + (u) ∈ x + (U(S)) = x + U(R) ⊆ U(R) Từ đó, ta có i(x) + u = u₀ + a, với u₀ ∈ U(S) và a ∈ ker() Điều này dẫn đến y - 1 + u = u₀ + a + v ∈ U(S) + ker() ⊆ U(S) + Δ(S) theo giả thuyết Vì U(S) + Δ(S) ⊆ U(S) với mọi vành có đơn vị S, ta suy ra y - 1 + u ∈ U(S) cho mọi u ∈ U(S) Kết luận, điều này có nghĩa là y - 1 ∈ Δ(S) hay y ∈ 1 + Δ(S), hoàn thành điều phải chứng minh.
Cho vành R và nhóm G, ký hiệu vành nhóm của R trên G là RG Mỗi phần tử α ∈ RG có dạng α = ∑_{g∈G} r_g g, trong đó r_g ∈ R Nếu R là một vành và M là một vị nhóm, thì RM được gọi là vành vị nhóm và được định nghĩa tương tự như vành nhóm.
Mệnh đề 3.11 Cho R là một vành, M là một vị nhóm vàRM là vành vị nhóm. Nếu RM là ∆U-vành thì R là ∆U-vành.
Chúng ta xem xét quan hệ bao hàm ι: R → RM, với ι(r) = re, trong đó e là phần tử đơn vị của vị nhóm M Đồng thời, RM → R cũng là các đồng cấu mở rộng được xác định bởi mối quan hệ này.
=P m∈M r m ([9] Mệnh đề II.3.1) Khi đó ta đủ điều kiện để áp dụng Bổ đề 3.10 (2).
Ta có kết quả, nếu vành đa thức R[X] là ∆U-vành thì R là ∆U-vành Với các vành đa thức trên vành giao hoán, ta được kết quả tốt hơn.
Ta biết rằng nếu R là một vành giao hoỏn cú đơn vị và f = a 0 + a 1 x + ã ã ã + a n x n ∈ R[x] thì f là khả nghịch trong R[x] khi và chỉ khi a 0 là khả nghịch trong
R và a 1 , a 2 , , a n là các phần tử lũy linh trong trong R.
Từ nhận xét trên ta có mệnh đề sau.
Mệnh đề 3.12 Cho R là vành giao hoán có đơn vị Vành đa thức R[x] trên R là ∆U khi và chỉ khi R là ∆U.
Tính chất ∆U trong các lớp vành
Một phần tử r ∈ R được gọi là ∆-clean nếu nó có thể được biểu diễn dưới dạng r = e + t, trong đó e là phần của lũy đẳng của R và t thuộc ∆(R) Vành R được xem là ∆-clean khi mọi phần tử trong R đều là ∆-clean Cần lưu ý rằng mỗi phần tử ∆-clean cũng đồng thời là clean.
Mệnh đề 3.13 Các điều kiện sau đây là tương đương trong vành R
(2) Tất cả các phần tử clean của R là ∆-clean.
Chứng minh (1) ⇒ (2) Giả sử R là ∆U-vành Lấy bất kỳ r ∈ R là clean, khi đó r = e + u Vì R là ∆U-vành, ta có u = 1 + a với a ∈ ∆(R) Lưu ý 1 − 2e ∈ U (R) =
1 + ∆(R), do đó2e ∈ ∆(R) Khi đó2e + a ∈ ∆(R)và r = e + 1 + a = (1 − e) + (2e + a) là biểu diễn ∆-clean của r.
(2) ⇒ (1) Lấy u ∈ U(R) Khi đó u là clean nên theo giả thiết u cũng là
∆-clean Giả sử u = e + a là biểu diễn ∆-clean của u với a ∈ ∆(R) và e lũy đẳng.
Ta có 1 = eu −1 + au −1, từ đó suy ra eu −1 = 1 − au −1, cho thấy eu −1 là khả nghịch trong R Do đó, e = 1 Điều này có nghĩa là u = 1 + a ∈ 1 + ∆(R), và do đó U(R) = 1 + ∆(R) Định lý 3.14 khẳng định rằng trong một vành R, các điều kiện sau đây là tương đương.
(2) Nếu a ∈ R bất kỳ và thỏa mãn a − a 2 ∈ ∆(R), thì tồn tại một tử phẩn tử lũy đẳng e ∈ R sao cho a − e ∈ ∆(R);
Chứng minh (1) ⇔ (3) ⇔ (4) được suy ra từ Mệnh đề 3.13.
Giả sử R là clean ∆U-vành, khi đó nếu a ∈ R thì a − e ∈ ∆(R) với e là lũy linh Tiếp theo, ta chứng minh a − a² ∈ ∆(R) Theo Mệnh đề 3.13, giả sử a = e + j là biểu diễn ∆-clean của a, dẫn đến a − a² = (j − j²) − (ej + je) Lưu ý rằng j − j² ∈ ∆(R) và 2e ∈ ∆(R) Cuối cùng, ta sẽ chứng minh ej + je ∈ ∆(R).
[ej(1 − e)] 2 = 0 = [(1 − e)je] 2 và theo Mệnh đề 3.2 ta được ej − eje = ej(1 − e) ∈ ∆(R) và je − eje = (1 − e)je ∈ ∆(R).
Suy ra je − ej ∈ ∆(R) Vì vậy ej + je = 2ej + (je − ej) ∈ ∆(R).
(2) ⇒ (3) được suy ra từ định nghĩa.
Rõ ràng Hệ quả 2.16 cũng suy ra từ Định lý 3.14 Nghĩa là mọi vành chính đơn vị đều thỏa mãn tính chất ∆(R) = 0.
Trong toán học, một phần tử a ∈ R trong vành R được gọi là phần tử chính quy mạnh nếu tồn tại x ∈ R sao cho a = a^2x Nếu mọi phần tử trong một vành đều là phần tử chính quy mạnh, thì vành đó được gọi là vành chính quy mạnh Định lý 3.15 khẳng định rằng trong một vành R, các điều kiện liên quan đến tính chất của các phần tử chính quy mạnh là tương đương.
(2) R là ∆U-vành chính quy mạnh;
(3) R là ∆U-vành chính quy đơn vị;
(4) R thỏa mãn tính chất x 2 = x với mọi x ∈ R (R là vành Boolean).
Để chứng minh rằng R là vành rút gọn, ta giả sử rằng R không phải là vành rút gọn, tức là tồn tại một phần tử khác không a ∈ R với a² = 0 Theo Định lý 1.9, có phần tử lũy đẳng e ∈ RaR thỏa mãn eRe ∼ = M2(T), với T là vành không tầm thường Tuy nhiên, theo Mệnh đề 3.4, M2(T) là ∆U-vành, điều này dẫn đến mâu thuẫn với Định lý 3.3 Do đó, R phải là vành rút gọn và là aben, nghĩa là mọi phần tử lũy đẳng của R đều là tâm.
(3) ⇒ (4) Chox ∈ R bất kỳ Khi đó x = ue trong đó u ∈ U(R)và e 2 = e ∈ R.
Do R là ∆U-vành, nên chúng ta có u = 1 hay y x = e, và vì vậy x là lũy đẳng. Chúng ta kết luận R là vành Boolean.
Một vành R được xem là nửa chính quy khi R/J(R) là chính quy và các phần tử lũy đẳng được nâng lên modulo J(R) Đồng thời, vành R được gọi là vành biến đổi nếu với mỗi phần tử a ∈ R, tồn tại e^2 = e ∈ aR sao cho 1 − e ∈ (1 − a)R.
Hoàn toàn tương tự, chúng ta cũng có các kết quả sau: Định lý 3.16 Cho R là một vành Khi đó, các điều kiện sau là tương đương
(1) R là ∆U-vành nửa chính quy;
Hệ quả 3.17 Cho R là ∆U-vành Khi đó, các điều kiện sau là tương đương
(1) R là vành nửa chính quy;
Mở rộng Dorroh và mở rộng của các ∆U -vành
Mệnh đề 3.18 Cho R là một vành Khi đó, các điều kiện sau là tương đương
(3) Ánh xạ ε : (∆(R), ◦) → (U (R), ) được cho bởi ε(x) = 1 − x là một đẳng cấu nhóm.
Chứng minh (1) ⇒ (2) Giả sử R là ∆U-vành Mỗi x ∈ ∆(R), ta có 1 − x ∈ U (R), do đó x = 1 − (1 − x) ∈ U ◦ (R) Suy ra ∆(R) ⊆ U ◦ (R) Ngược lại, nếu y ∈ U ◦ (R) thì 1 − y ∈ U (R) = 1 + ∆(R) Suy ra y ∈ ∆(R) hay ∆(R) = U ◦ (R).
(3) ⇒ (1) Giả sử ánh xạ ε : (∆(R), ◦) → (U (R), ) được cho bởi ε(x) = 1 − x là một đẳng cấu nhóm Khi đó mỗi u ∈ U (R), tồn tại x ∈ ∆(R) thỏa mãn u = ε(x) = 1 − x Điều đó nghĩa là U (R) ⊆ 1 + ∆(R) hay U (R) = 1 + ∆(R).
NếuR là một vành, mở rộng Dorroh là vành có đơn vị Z ⊕ R , với phép toán cộng là cộng theo các thành phần và phép nhân được cho bởi
Chú ý Cho R là một vành có đơn vị Khi đó
(3) (1, −x)(1, −y) = (1, −x ◦ y) và (−1, x)(−1, y) = (1, −x ◦ y) với x, y ∈ R. Định lý 3.19 Cho R là một vành có đơn vị Khi đó các điều kiện sau là tương đương
(1) Mở rộng Dorroh Z ⊕ R là ∆U-vành;
Chứng minh (1) ⇒ (2) Lấy u ∈ U (R) Khi đó 1 − u ∈ U ◦ (R) Tồn tại v ∈ R thỏa mãn (1 − u) ◦ v = 0 = v ◦ (1 − u) Khi đó ta có
(1, u − 1)(1, −v) = (1, −(1 − u))(1, −v) = (1, −(1 − u) ◦ v) = (1, 0) = (1, −v)(1, u − 1). Điều này nghĩa là (1, u − 1) ∈ U (Z ⊕ R) Vì Z ⊕ R là ∆U-vành, khi đó
Tiếp theo, ta chỉ raU (R) = 1 + ∆(R) Thật vậy, mỗit ∈ U(R), ta có1 +t ∈ U ◦ (R), vì vậy (1 + t) ◦ s = 0 = s ◦ (1 + t) với s ∈ R Khi đó
Do (−1, 1 + t) ∈ U (Z ⊕ R) Theo định nghĩa của ∆, ta có
(0, u − 1) + (−1, 1 + t) ∈ U (Z ⊕ R) hoặc (−1, u + t) ∈ U (Z ⊕ R) Đặt x = u + t Khi đó, (−1, x) ∈ U (Z ⊕ R) hoặc (1, −x) ∈ U (Z ⊕ R) Suy ra tồn tại (1, −y) ∈ Z ⊕ R thỏa mãn (1, −x)(1, −y) = (1, 0) = (1, −y)(1, −x) Ta có x ◦ y = 0 = y ◦ x nênx ∈ U ◦ (R) Vì 1 − x ∈ U(R)nên x − 1 = u + t − 1 ∈ U (R) Suy rau + t − 1 = (u − 1) + t ∈ U (R) với mọi t ∈ U (R) Điều đó nghĩa là u − 1 ∈ ∆(R), vì vậy u ∈ 1 + ∆(R).
(2) ⇒ (1) Giả sử R là ∆U-vành Ta chỉ ra rằng mở rộng Dorroh Z ⊕ R là
∆U-vành, nghĩa là U (Z ⊕ R) = 1 + ∆(Z ⊕ R) Lấy ω ∈ U(Z ⊕ R) Khi đó, ω có dạng ω = (1, a) hoặc ω = (−1, b) với a, b ∈ R.
Trường hợp 1 ω = (1, a) ∈ U (Z ⊕ R) : Lấy x = −a, khi đó tồn tại (1, −y) củaZ ⊕ R thỏa mãn (1, −x)(1, −y) = (1, 0) = (1, −y)(1, −x) Điều này có nghĩa là x ◦ y = 0 = y ◦ x hoặc x ∈ U ◦ (R), do đó 1 + a = 1 − x ∈ U (R) Từ R là ∆U-vành,
Tiếp theo ta chứng minh (1, a) ∈ 1 + ∆(Z ⊕ R) , nghĩa là ta chứng minh
Với mỗi α ∈ U (Z ⊕ R) , α có dạng (1, u) hoặc (−1, v) với u, v ∈ R Nếu α = (1, u), khi đó từ chứng minh của ω ta có 1 + u ∈ U (R) Từ a + U (R) ⊆ U(R), ta lấy a + 1 + u ∈ U (R), vì vậy −(a + u) ∈ U ◦ (R) Lấy b ∈ R với (−(a + u)) ◦ b = 0 = b ◦ (−(a + u)) Đặt c = −(a + u) Khi đó c ◦ b = b ◦ c và
Ta suy ra (1, a + u) ∈ U (Z ⊕ R) Hơn nữa, ta có
Nếuα = (−1, v) ∈ U (Z ⊕ R) , khi đó(−1, v)(−1, d) = (1, 0) = (−1, d)(−1, v)với d ∈ R Ta suy ra v ◦ d = 0 = d ◦ v = 0 hoặc v ∈ U ◦ (R), vì vậy 1 − v ∈ U (R) Khi đó, v − 1 ∈ U (R) Từ a + U (R) ⊆ U (R), ta có a + v − 1 ∈ U (R)hoặc 1 − (a + v ) ∈ U (R).
Do đó,a + v ∈ U ◦ (R) Nghĩa là tồn tại e ∈ R thỏa mãn(a + v) ◦ e = 0 = e ◦ (a + v ), vì vậy (−1, a + v)(−1, e) = (1, −(a + v ) ◦ e) = 0 = (−1, e)(−1, a + v ) Điều này có nghĩa là(−1, a + v) ∈ U (Z ⊕ R) Hơn nữa, ta có (0, a) + α = (−1, a + v) ∈ U(Z ⊕ R)
Trường hợp 2 ω = (−1, a) ∈ U (Z ⊕ R) : Tương tự như Trường hợp 1. Cho C là vành con của vành D, tập hợp
R[D, C] := {(d 1 , , d n , c, c ) : d i ∈ D, c ∈ C, n ≥ 1}, với phép cộng và phép nhân được định nghĩa theo các thành phần được gọi là vành mở rộng đuôi và ký hiệu là R[D, C ].
Mệnh đề 3.20 R[D, C] là ∆U-vành khi và chỉ khi D và C là ∆U-vành.
Chứng minh (:⇒) Đầu tiên ta chứng minh D là ∆U-vành Lấy u tùy ý thuộc U(D) Khi đóu ¯ = (u, 1, 1, 1, ) ∈ U (R[D, C ]) Theo giả thuyết,u ¯ ∈ 1+∆(R[D, C ]), vì vậy (u − 1, 0, 0, 0, ) + U (R[D, C ]) ⊆ U (R[D, C ]) Do đó, với mọi v ∈ U (D), khi đó
Vì vậy u − 1 + v ∈ U (D), nghĩa là u − 1 ∈ ∆(D) hoặc u ∈ 1 + ∆(D). Để chỉ ra C là ∆U-vành, ta lấy v ∈ U (C) thỏa mãn v ¯ = (1, , 1, v, v, ) ∈ U(R[D, C ]) và chứng minh trên.
Giả sử D và C là hai tập hợp Xét một phần tử ū = (u₁, u₂, , uₙ, v, v, ) thuộc U(R[D, C]), trong đó uᵢ thuộc U(D) với 1 ≤ i ≤ n và v thuộc U(C) ⊆ U(D) Chúng ta có thể chứng minh rằng ū thuộc ∆(R[D, C]) hoặc ū - 1 + U(R[D, C]) ⊆ U(R[D, C]) Cụ thể, mọi phần tử ā = (a₁, a₂, , aₘ, b, b, ) thuộc U(R[D, C]), với aᵢ thuộc U(D) và b thuộc U(C) ⊆ U(D) Đặt k = max{m, n}, từ đó suy ra u₁, u₂, , uₙ thuộc U(D) và v thuộc U(C) ⊆ U(D) dẫn đến u₁ - 1 + U(D), u₂ - 1 + U(D), , uₙ - 1 + U(D) ⊆ U(D), v - 1 + U(D) ⊆ U(D) và v - 1 + U(C) ⊆ U(C).
Ta có ¯ u − 1 = (u 1 − 1, u 2 − 1, , u n − 1, u n+1 − 1, , u k − 1, v − 1, v − 1, ), với u j = v mọi j ≥ k, và ¯ a = (a 1 , a 2 , , a m , a m+1 , , a k , b, b, ), với a l = b với mọi l ≥ m Khi đó ta có ¯ u − 1 + ¯ a = (u 1 − 1 + a 1 , u 2 − 1 + a 2 , , u k − 1 + a k , v − 1 + b, v − 1 + b, ).
Lưu ý u i − 1 + a i ∈ U (D) với mọi 1 ≤ i ≤ k và v − 1 + b ∈ U(C) Ta suy ra u ¯ − 1 + ¯ a ∈ R[U (D), U (C)] = U (R[C, D]) Vì vậy u ¯ − 1 ∈ ∆(R[D, C ]) hoặc ¯ u ∈ 1 + ∆(R[D, C ]), hay R[D, C] là ∆U-vành.
Các vành nhóm
Ánh xạ ε : RG → R được định nghĩa bởi ε(P g r g g) = P g r g, và đây là ánh xạ mở rộng Iđêan ∇(RG) = ker(ε) được gọi là iđêan mở rộng Theo định lý 3.21, nếu G là nhóm hữu hạn với cấp 1 + 2n và R là ∆U-vành, thì có những tính chất đặc biệt liên quan đến ánh xạ và iđêan này.
RG là ∆U-vành khi và chỉ khi iđêan mở rộng ∇(RG) là ∆U-vành.
Đặt ∇ = ∇(RG) và giả sử G là nhóm hữu hạn với cấp 1 + 2n, R là ∆U-vành Theo Mệnh đề 3.2, 2 thuộc ∆(R), dẫn đến 1 + 2n thuộc U(R) Do đó, RG có thể được biểu diễn dưới dạng RG = ∇ ⊕ H, với H ∼ = R theo tài liệu [4] Đặt ∇ = eRG và H = (1 − e)RG.
Rõ ràng e là phần tử tâm của RG Nếu RG là ∆U-vành, khi đó ∇ = eRG là
Ngược lại, giả sử ∇ = eRG là ∆U-vành VìH ∼ = R nên H cũng là ∆U-vành. Theo Bổ đề 2.1, RG là ∆U-vành.
Một nhóm được gọi là hữu hạn địa phương nếu mọi nhóm con được sinh bởi hữu hạn phần tử là hữu hạn.
Bổ đề 3.22 Nếu G là 2-nhóm hữu hạn địa phương và R là ∆U-vành với ∆(R) lũy linh, khi đó ∇(RG) ⊆ ∆(RG).
Chứng minh Giả sử G là 2-nhóm hữu hạn địa phương vàR là ∆U-vành Khi đó
R ¯ := R/J(R) là vành ∆U, với ∆(R) là lũy linh, 2 ∈ N ( ¯ R) Suy ra, ∇( ¯ RG) ⊆ N ( ¯ RG) theo [4, Hệ quả, trang 682] Do đó, ∇( ¯ RG) là iđêan lũy linh nằm trong J( ¯ RG) Chúng ta cũng kiểm tra được rằng J (R)G ⊆ J(RG).
Do đó ∇(RG) ⊆ J (RG) ⊆ ∆(RG). Định lý 3.23 Cho R là ∆U-vành và G là 2-nhóm hữu hạn địa phương Nếu
∆(R) là lũy linh, khi đó RG là ∆U-vành.
Chứng minh rằng với u ∈ U(RG), ta có ε(u) = 1 + ε(u − 1) ∈ U(R) theo Bổ đề 3.10 (1) áp dụng cho ánh xạ mở rộng ε và i Vì R là ∆U-vành, tồn tại j ∈ ∆(R) sao cho ε(u) = 1 + j Theo Bổ đề 3.10 (1), ta suy ra ε(u − 1 + j) = 0, tức là u − 1 + j ∈ ∇(RG) ⊆ ∆(RG) Từ đó, ta kết luận rằng u ∈ 1 − j + ∆(RG) dẫn đến u ∈ 1 + ∆(RG).
Hệ quả 3.24 Cho R là vành hoàn chỉnh phải hoặc trái và G là 2-nhóm hữu hạn địa phương Khi đó, R là ∆U-vành khi và chỉ khi RG là ∆U-vành.
Trong luận văn này chúng tôi tổng hợp các kết quả trong hai bài báo [10] và [20] và đạt được những nội dung sau
1) Trong Chương 2 chúng tôi đã tổng hợp lại các tính chất của tập ∆(R), mối liên hệ giữa tập ∆(R) và J(R), nêu ra các điều kiện, các lớp vành mà ở đó ∆(R) = J(R) và phần cuối chương là các ví dụ về các lớp vành mà
2) Trong Chương 3 chúng tôi đã trình bày lại chi tiết các tính chất tổng quát,các tính chất đại số của ∆U-vành Chỉ ra các tính chất của ∆U trên các lớp vành cụ thể như vành ∆-clean, vành chính quy, vành Boolean và cuối chương là các mở rộng của ∆U-vành.
[1] F W Anderson and K R Fuller, "Rings and Categories of Modules", New York: SpringerVerlag (1974).
[2] D D Anderson, D Bennis, B Fahid, A Shaiea, "On n-trivial Extensions of Rings", Rocky Mountain J Math 47(2017), 2439-2511.
[3] H Chen, "Strongly J-clean rings", Commun Algebra 38, 3790-3804, (2010).
[4] I G Connell, "On the group ring", Canad J Math 15 (1963), 650-685.
[5] J Han, W K Nicholson, "Extension of clean rings", Commun Algebra, 29(6) (2001),2589-2595.
[6] P Kanwar, A Leroy, J Matczuk, "Clean elements in polynomial rings", Contemporary Math 634 (2015), 197-204.
[7] M T Koásan, "The p.p property of trivial extensions", J Algebra Appl., 14(8)(2015), 1550124, 5 pp.
[8] M T Koásan, A Leroy, J Matczuk, "On UJ-rings", Comm Algebra 46(5)(2018), 2297-2303.
[9] S Lang, "Algebra", Graduate Texts in Mathematics 211 (Rev 3rd ed.),Springer-Verlag, 2002.
[10] A Leroy, J Matczuk, "Remarks on the Jacobson radical" Rings, modules and codes, 269-276, Contemp Math., 727, Amer Math Soc., Providence,
[11] J Levitzki, "On the structure of algebraic algebras and related rings", Trans Amer Math Soc 74(1953), 384-409.
[12] T Y Lam, "Exercises in classical ring theory", Springer-Verlag, New York
[13] M Marianne, "Rings of quotients of generalized matrix rings", Commun. Alg., 15(10)(1987), 1991- 2015.
[14] W K Nicholson, "Semiregular modules and rings", Canad J Math., 28(5)
[15] W K Nicholson, "Lifting idempotents and exchange rings", Trans Amer. Math Soc.,(229)(1977), 269-278.
[16] M Chebotar, P H Lee, and E R Puczylowski, "On prime rings with commuting nilpotent elements", Proc AMS 137(9) (2009), 2899-2903.
[17] P V Danchev, T Y Lam, "Rings with unipotent units", Publ Math De- brecen 88 (2016).
[18] K R Goodearl, "Von Neumann Regular Rings (Monographs and studies in mathematics)", Pitman Publishing, London (1979).
[19] M Henriksen, "Two classes of rings generated by their units", J Algebra
[20] F Karabacak, M Tamer Koásan, Truong Cong Quynh, D D Tai, "A gen- eralization of UJ-rings", Journal of Algebra and its Applications, 2020 (ac- cepted), doi: 10.1142/S0219498821502170