TRẦN SĨ TÙNG ›š & ›š BÀI TẬP HÌNH HỌC 12 TẬP ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT & ĐẠI HỌC Năm 2009 PP Toạ độ không gian Trần Só Tùng CHƯƠNG III PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Định nghóa phép toán · Định nghóa, tính chất, phép toán vectơ không gian xây dựng hoàn toàn tương tự mặt phẳng · Lưu ý: uuur uuur uuur + Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có: AB + BC = AC uuur uuur uuur + Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có: AB + AD = AC uuur uuur uuur uuuur + Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A¢B¢C¢D¢, ta có: AB + AD + AA ' = AC ' + Hêï thức trung điểm đoạ thẳ mr củuuu arđoạnuur thẳng AB, O tuỳ ý uur nuu r nrg: Cho I trung điểuuu Ta có: IA + IB = ; OA + OB = 2OI + Hệ thức trọng tâm tam c:r Cho c ABC, Or tuỳ ý uuurgiáuuu uuurG làr trọng tâm củ uuuar tam uuurgiáuuu r uuu Ta có: GA + GB + GC = 0; OA + OB + OC = 3OG + Hệ thức trọng tâm tứuuu diệ : Cho Gr uuur trọng tâm củuuu a tứ Or tuỳ uuu ý.r r nuuu r uuu r diệ uuurn ABCD, uuur uuu r Ta coù: GA + GB + GC + GD = 0; OA + OB + OC + OD = 4OG r r r r r r + Điều kiện hai vectơ phương: a b phửụng (a 0) $! k ẻ R : b = ka + Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k ¹ 1), O tuỳ ý uuur uuur uuur uuur uuur OA - kOB Ta coù: MA = k MB; OM = 1- k Sự đồng phẳng ba vectơ · Ba vectơ gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng r r r r r · Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ a, b , c , a b không r r r r r r phương Khi đó: a, b , c đồng phẳng Û $! m, n Ỵ R: c = ma + nb r r r r · Cho ba vectô a, b , c không đồng phẳng, x tuỳ ý r r r r Khi đó: $! m, n, p Ỵ R: x = ma + nb + pc Tích vô hướng hai vectơ · Góc hai vectơ không gian: uuur r uuur r r r AB = u , AC = v Þ (u , v ) = · BAC (00 £ · BAC £ 1800 ) · Tích vô hướng hai vectơ không gian: r r r rr r r r r + Cho u , v ¹ Khi đó: u.v = u v cos(u , v ) r r r r rr + Với u = v = Qui ước: u.v = r r rr + u ^ v Û u.v = r r + u = u2 Trang 26 Trần Só Tùng PP Toạ độ không gian II HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Hệ tọa độ Đêcac vuông góc không gian: Cho r r ba r truïc Ox, Oy, Oz vuông góc với đôi chung điểm gốc O Gọi i, j, k vectơ đơn vị, tương ứng trục Ox, Oy, Oz Hệ ba trục gọi hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz đơn giản hệ tọa ñoä Oxyz r2 r r rr rr r r Chú ý: i = j = k = vaø i j = i.k = k j = Tọa độ vectơ:r r r r r a) Định nghóa: u = ( x; y; z ) Û u = xi + y j + zk r r b) Tính chất: Cho a = (a1; a2 ; a3 ), b = (b1; b2 ; b3 ), k Ỵ R r r · a ± b = (a1 ± b1; a2 ± b2 ; a3 ± b3 ) r · ka = (ka1; ka2 ; ka3 ) ìa1 = b1 r r ï · a = b Û ía2 = b2 ïa = b ỵ r r r r · = (0; 0; 0), i = (1; 0; 0), j = (0;1; 0), k = (0; 0;1) r r r r r r · a phương b (b ¹ 0) Û a = kb (k Ỵ R) ìa1 = kb1 a a a ï Û ía2 = kb2 Û = = , (b1 , b2 , b3 ¹ 0) b1 b2 b3 ïa = kb ỵ r r · a ^ b Û a1b1 + a2 b2 + a3b3 = r · a = a12 + a22 + a22 rr · a.b = a1.b1 + a2 b2 + a3 b3 r · a = a12 + a22 + a32 rr a1b1 + a2 b2 + a3b3 a.b r r r r r · cos(a , b ) = r r = (với a, b ¹ ) a.b a + a + a2 b + b2 + b 2 3 Tọa độ điểm: uuur a) Định nghóa: M ( x; y; z) Û OM = ( x; y; z) (x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ) Chú ý: · M Î (Oxy) Û z = 0; M Î (Oyz) Û x = 0; M Ỵ (Oxz) Û y = · M Ỵ Ox Û y = z = 0; M Ỵ Oy Û x = z = 0; M Î Oz Û x = y = b) Tính chaát: Cho A( x A ; y A ; zA ), B( x B ; yB ; zB ) uuur · AB = ( xB - x A ; yB - y A ; zB - zA ) · AB = ( x B - x A )2 + ( yB - y A )2 + ( zB - zA )2 æ x - kxB yA - kyB zA - kzB · Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tổ soỏ k (k1): M ỗ A ; ; ÷ 1- k 1- k ø è 1- k æ x + x B y A + y B zA + zB · Toạ độ trung điểm M ủoaùn thaỳng AB: M ỗ A ; ; ữ ố 2 ø · Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC: ỉ x + xB + xC y A + yB + yC zA + zB + zC Gỗ A ; ; ữ 3 è ø Trang 27 PP Toạ độ không gian Trần Só Tùng · Toạ độ trọng tâm G tứ diện ABCD: ỉ x + xB + xC + x D y A + y B + yC + yD zA + zB + zC + zC Gỗ A ; ; ÷ è 4 ø Tích có hướng hai r vectơ: (Chương r trình nâng cao) a) Định nghóa: Cho a = (a1, a2 , a3 ) , b = (b1 , b2 , b3 ) r r ỉ a2 a1 a2 ÷ = ( a2 b3 - a3b2 ; a3b1 - a1b3 ; a1b2 - a2 b1 ) ỗb b b3 b1 b1 b2 ÷ø è Chú ý: Tích có hướng hai vectơ vectơ, tích vô hướng hai vectơ số b) Tính chất: r r r r r r r r r r r r r r r éë j , k ùû = i ; [k , i ] = j · éë i , j ùû = k ; · [a, b] ^ a; [a, b] ^ b r r r r r r r r r r r · [a, b] = a b sin ( a, b ) · a, b phương Û [a, b] = [ ar , b ] = ar Ù b = ç a3 ; a3 a1 ; c) Ứng dụng tích có hướng: r r r r r r · Điều kiện đồng phẳng ba vectơ: a, b c đồng phẳng Û [a, b].c = uuur uuur · Diện tích hình bình hành ABCD: SY ABCD = éë AB, AD ùû uuur uuur · Diện tích tam giaùc ABC: SD ABC = éë AB, AC ùû uuur uuur uuur · Thể tích khối hộp ABCD.A¢B¢C¢D¢: VABCD A ' B ' C ' D ' = [ AB, AD ] AA ' · Thể tích tứ diện ABCD: VABCD = uuur uuur uuur [ AB, AC ] AD Chú ý: – Tích vô hướng hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, tính góc hai đường thẳng – Tích có hướng hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh vectơ phương r r rr a ^ brÛ a.b = r r r r [ a vaø b cù n g phương Û a ,b] = r r r r r r a, b , c đồng phaúng Û [ a , b ] c = Phương trình mặt cầu: · Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R: ( x - a )2 + ( y - b )2 + ( z - c )2 = R · Phương trình x + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = với a2 + b + c - d > phương trình mặt cầu tâm I(–a; –b; –c) bán kính R = a2 + b2 + c2 - d Trang 28 Trần Só Tùng PP Toạ độ không gian VẤN ĐỀ 1: Các phép toán toạ độ vectơ điểm – Sử dụng công thức toạ độ vectơ điểm không gian – Sử dụng phép toán vectơ không gian Bài Viết tọa độ vectơ sau đây: r r r r r r r r r r r r a = -2i + j ; d = 3i - j + 5k b = 7i - 8k ; c = -9k ; r r r Bài Viết dạng xi + yj + zk vectơ sau đây: r r ỉ 1 ư r ỉ r ổ4 a = ỗ 0; ; ữ ; b = (4; -5; 0) ; c = ỗ ; 0; ; d = ỗp; ; ữ ữ ø 3ø è è3 è 5ø r r r r Baøi Cho: a = ( 2; -5; 3) , b = ( 0; 2; -1) , c = (1; 7; ) Tìm toạ độ vectơ u với: r r r 2r r r 1r r r r r a) u = 4a - b + 3c b) u = a - 4b - 2c c) u = -4b + c r 1r 4r r r r 3r 2r r r r r e) u = a - b - 2c f) u = a - b - c d) u = 3a - b + 5c r Baøi Tìm tọa độ vectơ x , biết rằng: r r r r r r r r a) a + x = với a = (1; -2;1) b) a + x = 4a với a = ( 0; -2;1) r r r r r c) a + x = b với a = ( 5; 4; -1) , b = ( 2; -5; 3) r Baøi Cho a = (1; -3; 4) r r a) Tìm y z để b = (2; y; z) phương với a r r r r r b) Tìm toạ độ vectơ c , biết a c ngược hướng c = a r r r Bài Cho ba vectơ a = (1; -1;1) , b = ( 4; 0; -1) , c = ( 3; 2; -1) Tìm: r r r r r r rr r r rr b) a ( b c ) c) a b + b c + c a a) ( a.b ) c r rr r r r rr r r d) 3a - ( a.b ) b + c b e) 4a.c + b - 5c r r Bài Tính góc hai vectơ a vaø b : r r r r b) a = ( 2; 5; ) , b = ( 6; 0; -3) a) a = ( 4; 3;1) , b = ( -1; 2; 3) r r r r c) a = (2;1; -2), b = (0; - ; ) d) a = (3; 2; ), b = ( 3; 3; -1) r r r r e) a = (-4; 2; 4), b = (2 2; -2 2; 0) f) a = (3; -2;1), b = (2;1; -1) r Bài Tìm vectơ u , biết rằng: r r r r r r ìa = (2; -1; 3), b = (r1; -3; 2), c = (3; 2; -4) ìa = (2; 3; -1), b = (1; r-2; 3), c = (2; -1;1) a) í r r b) r rr r rr ír r u.b = -11, u.c = 20 u ^ b, u c = -6 ỵa.u = -5, ỵu ^ a , r r r r r r ìa = (2; 3;1), b = (r1; -2; -1), c = (-2; 4; 3) ìa = (5; -3; 2), b =r (1; 4; -3), c = (-3; 2; 4) c) í r r d) r rr r rr ír r b u = 4, c u = b u = 9, c u = -4 ỵa.u = 3, ỵa.u = 16, r r r ìa = (7; 2; 3), b = r(4; 3; -5), c = (1;1; -1) e) í r r r r r b u = -7, c ^u ỵa.u = -5, r r Bài Cho hai vectơ a , b Tìm m để: r r r ìar = (2;1; -2), b = (0; - ; ) ìa = (3; -2;1r), b = (2;1; -1) r r a) í r b) í r r r r r r r r ỵu = ma - 3b v = 3a + 2mb vuông góc ỵu = 2a + 3mb v = ma - b vuông góc r r ìa = (3; -2;1r), b = (2;1; -1) r c) í r r r r ỵu = ma - 3b v = 3a + 2mb phương Trang 29 PP Toạ độ không gian Trần Só Tùng r r Bài 10 Cho hai vectơ a , b Tính X, Y biết: r r r ì ar = 4, b = ìar = (2; -1; -2), b = 6, ar - b = b) í a) í r r r r ỵX = a - b ỵY = a + b r r r r ìr ìr (r ) (r ) c) í a = 4r, br = 6, ar, b r= 120 d) ía = (2r; -1r; -2), br = 6r, a, b = 60 ỵX = a - b , Y = a + b ỵX = a - b ,Y = a + b r r r r r r Bài 11 Cho ba vectơ a, b , c Tìm m, n để c = [ a, b ] : r r r a) a = ( 3; -1; -2 ) , b = (1; 2; m ) , c = ( 5;1; ) r r r b) a = ( 6; -2; m ) , b = ( 5; n; -3) , c = ( 6; 33;10 ) r r r c) a = ( 2; 3;1) , b = ( 5; 6; ) , c = ( m; n;1) r r r Bài 12 Xét đồng phẳng ba vectơ a, b , c trường hợp sau đây: r r r r r r a) a = (1; -1;1) , b = ( 0;1; ) , c = ( 4; 2; 3) b) a = ( 4; 3; ) , b = ( 2; -1; ) , c = (1; 2;1) r r r r r r c) a = ( -3;1; -2 ) , b = (1;1;1) , c = ( -2; 2;1) d) a = ( 4; 2; ) , b = ( 3;1; 3) , c = ( 2; 0;1) r r r r r r f) a = (5; 4; -8), b = (-2; 3; 0), c = (1; 7; -7) e) a = (2; 3;1), b = (1; -2; 0), c = (3; -2; 4) r r r r r r h) a = (2; -4; 3), b = (-1; 3; -2), c = (3; -2;1) g) a = (2; -4; 3), b = (1; 2; -2), c = (3; -2;1) r r r Bài 13 Tìm m để vectơ a, b , c đồng phẳng: r r r a) a = (1; m; ) , b = ( m + 1; 2;1) , c = ( 0; m - 2; ) r r r b) a = (2m + 1;1; 2m - 1); b = (m + 1; 2; m + 2), c = (2m; m + 1; 2) r r r c) a = ( m + 1; m; m - ) , b = ( m - 1; m + 2; m ) , c = (1; 2; ) r r r d) a = (1; -3; ) , b = ( m + 1; m - 2;1 - m ) , c = ( 0; m - 2; ) r r r r r r r Bài 14 Cho vectơ a, b , c , u Chứng minh ba vectơ a, b , c không đồng phẳng Biểu diễn r r r r vectơ u theo vectơ a, b , c : r r ìar = ( 2;1; ) , b = (1; -1; ) , cr = ( 2; 2; -1) ìar = (1; -7; ) , b = ( 3; -6;1) , cr = ( 2;1; -7 ) a) í r b) í r îu = (3; 7; -7) îu = (-4;13; -6) r r ìar = (1; 0;1) , b = ( 0; -1;1) , cr = (1;1; ) ìar = (1; 0; ) , b = ( 2; -3; ) , cr = ( 0; -3; ) c) í r d) í r ỵu = (8; 9; -1) îu = (-1; -6; 22) r r ìar = ( 2; -3;1) , b = ( -1; 2; ) , cr = ( 2; -2; ) ìar = ( 2; -1;1) , b = (1; -3; ) , cr = ( -3; 2; -2 ) e) í r f) í r ỵu = (3;1; 2) ỵu = (4; 3; -5) r r r r Bài 15 Chứng tỏ bốn vectơ a, b , c , d đồng phaúng: r r r r a) a = ( -2; -6;1) , b = ( 4; -3; -2 ) , c = ( -4; -2; ) , d = (-2; -11;1) r r r r b) a = ( 2; 6; -1) , b = ( 2;1; -1) , c = ( -4; 3; ) , d = (2;11; -1) r r r r Baøi 16 Cho ba vectơ a, b , c không đồng phẳng vectơ d Chứng minh ba vectơ sau không đồng phaúng: r r r r r r r r r r a) b , c , d = ma + nb (với m, n ≠ 0) b) a , c , d = ma + nb (với m, n ≠ 0) r r r r r r r r r r r r c) a , b , d = ma + nb + pc , (với m, n, p ≠ 0) d) b , c , d = ma + nb + pc , (với m, n, p ≠ 0) r r r r r r e) a , c , d = ma + nb + pc , (với m, n, p ≠ 0) Trang 30 Trần Só Tùng PP Toạ độ không gian VẤN ĐỀ 2: Xác định điểm không gian Chứng minh tính chất hình học Diện tích – Thể tích – Sử dụng công thức toạ độ vectơ điểm không gian – Sử dụng phép toán vectơ không gian – Công thức xác định toạ độ điểm đặc biệt – Tính chất hình học điểm đặc biệt: uuur uuur uuur uuur uuur uuur r · A, B, C thẳng hàng Û AB, AC phương Û AB = k AC Û éë AB, AC ùû = uuur uuur · ABCD hình bình hành Û AB = DC · Cho DABC có chân E, F đường phân giác góc A DABC uuur uuur AB uuur AB uuur BC Ta có: EB = EC , FB = FC AC AC uuur uuur uuur uuur uuur uuur · A, B, C, D không đồng phẳng Û AB, AC , AD không đồng phẳng Û éë AB, AC ùû AD ¹ Bài Cho điểm M Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc điểm M: · Trên mặt phẳng tọa độ: Oxy, Oxz, Oyz · Trên trục tọa ñoä: Ox, Oy, Oz b) M(3; -1; 2) c) M(-1;1; -3) d) M(1; 2; -1) a) M(1; 2; 3) e) M(2; -5; 7) f) M(22; -15; 7) g) M(11; -9;10) h) M(3; 6; 7) Bài Cho điểm M Tìm tọa độ điểm M¢ đối xứng với điểm M: · Qua gốc toạ độ · Qua mp(Oxy) · Qua truïc Oy b) M(3; -1; 2) c) M(-1;1; -3) a) M(1; 2; 3) e) M(2; -5; 7) f) M(22; -15; 7) g) M(11; -9;10) d) M(1; 2; -1) h) M(3; 6; 7) Bài Xét tính thẳng hàng ba điểm sau: b) A(1;1;1), B(-4; 3;1), C (-9; 5;1) a) A(1; 3;1), B(0;1; 2), C (0; 0;1) d) A(-1; 5; -10), B(5; -7; 8), C(2; 2; -7) c) A(10; 9;12), B(-20; 3; 4), C (-50; -3; -4) Baøi Cho ba điểm A, B, C · Chứng tỏ ba điểm A, B, C tạo thành tam giác · Tìm toạ độ trọng tâm G DABC · Xác định điểm D cho ABCD hình bình hành · Xác định toạ độ chân E, F đường phân giác góc A DABC BC Tính độ dài đoạn phân giác · Tính số đo góc DABC · Tính diện tích DABC Từ suy độ dài đường cao AH DABC b) A(0;13; 21), B(11; -23;17), C (1; 0;19) a) A(1; 2; -3), B(0; 3; 7), C (12; 5; 0) c) A(3; -4; 7), B(-5; 3; -2), C (1; 2; -3) d) A(4; 2; 3), B(-2;1; -1), C (3; 8; 7) e) A(3; -1; 2), B(1; 2; -1), C (-1;1; -3) f) A(4;1; 4), B(0; 7; -4), C (3;1; -2) g) A (1; 0; ) , B ( 0; 0;1) , C ( 2;1;1) h) A(1; -2; 6), B(2; 5;1), C (-1; 8; 4) Bài Trên trục Oy (Ox), tìm điểm cách hai điểm: a) A(3;1; 0) , B(-2; 4;1) b) A(1; -2;1), B(11; 0; 7) d) A(3; -1; 2), B(1; 2; -1) e) A(3; -4; 7), B(-5; 3; -2) Baøi a) c) e) c) A(4;1; 4), B(0; 7; -4) f) A(4; 2; 3), B(-2;1; -1) Trên mặt phẳng Oxy (Oxz, Oyz), tìm điểm cách ba điểm: A(1;1;1), B(-1;1; 0), C (3;1; -1) b) A(-3; 2; 4), B(0; 0; 7), C (-5; 3; 3) A(3; -1; 2), B(1; 2; -1), C (-1;1; -3) d) A(0;13; 21), B(11; -23;17), C (1; 0;19) A(1; 0; 2), B(-2;1;1), C (1; -3; -2) f) A(1; -2; 6), B(2; 5;1), C (-1; 8; 4) Trang 31 PP Toạ độ không gian Trần Só Tùng Bài Cho hai điểm A, B Đường thẳng AB cắt mặt phẳng Oyz (Oxz, Oxy) điểm M · Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số ? · Tìm tọa độ điểm M a) A ( 2; -1; ) , B ( 4; 5; -2 ) b) A(4; 3; -2), B(2; -1;1) c) A(10; 9;12), B(-20; 3; 4) d) A(3; -1; 2), B(1; 2; -1) e) A(3; -4; 7), B(-5; 3; -2) f) A(4; 2; 3), B(-2;1; -1) Bài Cho bốn điểm A, B, C, D · Chứng minh A, B, C, D bốn đỉnh tứ diện · Tìm tọa độ trọng tâm G tứ diện ABCD · Tính góc tạo cạnh đối diện tứ diện ABCD · Tính thể tích khối tứ diện ABCD · Tính diện tích tam giác BCD, từ suy độ dài đường cao tứ diện vẽ từ A a) A(2; 5; -3), B(1; 0; 0), C (3; 0; -2), D (-3; -1; 2) b) A (1; 0; ) , B ( 0;1; ) , C ( 0; 0;1) , D ( -2;1; -1) c) A (1;1; ) , B ( 0; 2;1) , C (1; 0; ) , D (1;1;1) e) A(2; 3;1), B(4;1; -2), C (6; 3; 7), D (-5; -4; 8) g) A(2; 4;1), B(-1; 0;1), C (-1; 4; 2), D(1; -2;1) i) A(3; 4; 8), B(-1; 2;1), C (5; 2; 6), D (-7; 4; 3) Bài Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' · Tìm toạ độ đỉnh lại · Tính thể tích khối hộp a) A (1; 0;1) , B ( 2;1; ) , D (1; -1;1) , C ' ( 4; 5; -5 ) c) A(0; 2;1), B(1; -1;1), D (0; 0; 0;), A '(-1;1; 0) d) f) h) k) A ( 2; 0; ) , B ( 0; 4; ) , C ( 0; 0; ) , D ( 2; 4; ) A(5; 7; -2), B(3;1; -1), C (9; 4; -4), D(1; 5; 0) A(-3; 2; 4), B(2; 5; -2), C (1; -2; 2), D(4; 2; 3) A(-3; -2; 6), B(-2; 4; 4), C (9; 9; -1), D (0; 0;1) b) A(2; 5; -3), B(1; 0; 0), C (3; 0; -2), A '(-3; -1; 2) d) A(0; 2; 2), B(0;1; 2), C (-1;1;1), C '(1; -2; -1) Bài 10 Cho bốn điểm S(3; 1; –2), A(5; 3; 1), B(2; 3; –4), C(1; 2; 0) a) Chứng minh SA ^ (SBC), SB ^ (SAC), SC ^ (SAB) b) Chứng minh S.ABC hình chóp c) Xác định toạ độ chân đường cao H hình chóp Suy độ dài đường cao SH Bài 11 Cho bốn điểm S(1; 2; 3), A(2; 2; 3), B(1; 3; 3), C(1; 2; 4) a) Chứng minh SA ^ (SBC), SB ^ (SAC), SC ^ (SAB) b) Gọi M, N, P trung điểm BC, CA, AB Chứng minh SMNP tứ diện c) Vẽ SH ^ (ABC) Gọi S¢ điểm đối xứng H qua S Chứng minh S¢ABC tứ diện Bài 12 Cho hình hộp chữ nhậ OABC.DEFG Gọi Iuuu củra hình hộp uur t uuu r r tâ uuum r uuu a) Phân tích vectơ OI , AG theo vectơ OA, OC , OD uur uuur uuur uur b) Phân tích vectơ BI theo vectơ FE , FG , FI Bài 13 Cho hình lập phương uuur ABCD.EFGH uuur uuur uuur a) Phân tích vectơ AE theo vectơ AC , AF , AH uuur uuur uuur uuur b) Phân tích vectơ AG theo vectơ AC , AF , AH Bài 14 Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Gọi M, N trung điểm AD BB¢ Chứng minh MN ^ A¢C Bài 15 Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với cạnh Trên cạnh BB¢, CD, A¢D¢ lấy điểm M, N, P cho B¢M = CN = D¢P = x (0 < x < 1) Chứng minh AC¢ vuông góc với mặt phẳng (MNP) Trang 32 Trần Só Tùng PP Toạ độ không gian VẤN ĐỀ 3: Phương trình mặt cầu Để viết phương trình mặt cầu (S), ta cần xác định tâm I bán kính R mặt cầu Dạng 1: (S) có tâm I(a; b; c) bán kính R: (S): ( x - a)2 + ( y - b)2 + ( z - c )2 = R Dạng 2: (S) có tâm I(a; b; c) qua điểm A: Khi bán kính R = IA Dạng 3: (S) nhận đoạn thẳng AB cho trước làm đường kính: x + xB y +y z +z – Tâm I trung điểm đoạn thẳng AB: xI = A ; yI = A B ; zI = A B 2 AB – Bán kính R = IA = Dạng 4: (S) qua bốn điểm A, B, C, D (mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD): – Giả sử phương trình mặt cầu (S) có dạng: x + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = (*) – Thay toạ độ điểm A, B, C, D vào (*), ta phương trình – Giải hệ phương trình đó, ta tìm a, b, c, d Þ Phương trình mặt cầu (S) Dạng 5: (S) qua ba điểm A, B, C có tâm I nằm mặt phẳng (P) cho trước: Giải tương tự dạng Dạng 6: (S) có tâm I tiếp xúc với mặt cầu (T) cho trước: – Xác định tâm J bán kính R¢ mặt cầu (T) – Sử dụng điều kiện tiếp xúc hai mặt cầu để tính bán kính R mặt cầu (S) (Xét hai trường hợp tiếp xúc tiếp xúc ngoài) Chú ý: Với phương trình mặt cầu (S): x + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = với a2 + b + c - d > (S) có tâm I(–a; –b; –c) bán kính R = a2 + b2 + c2 - d Bài Tìm tâm bán kính mặt cầu sau: a) x + y + z - x + y + = b) x + y + z + x + 8y - z - = c) x + y + z2 - x - y + z = d) x + y + z - x + y - 2z - 86 = e) x + y + z2 - 12 x + y - z + 24 = f) x + y + z2 - x - 12 y + 12 z + 72 = g) x + y + z - x + y + z - = h) x + y + z2 - x + y = i) x + 3y + 3z2 + x - 3y + 15z - = k) x + y + z2 - x + y - 2z + 10 = Bài Xác định m, t, a, … để phương trình sau xác định mặt cầu, tìm tâm bán kính mặt cầu đó: a) x + y + z2 - 2(m + 2) x + 4my - 2mz + 5m + = b) x + y + z2 - 2(3 - m) x - 2(m + 1) y - 2mz + 2m + = c) x + y + z2 + 2(cos a + 1) x - y - cos a z + cos 2a + = d) x + y + z2 + 2(3 - cos a ) x + 4(sin a - 1) y + z + cos 4a + = e) x + y + z2 - ln t.x + y - z + ln t + = f) x + y + z2 + 2(2 - ln t ) x + ln t.y + 2(ln t + 1)z + ln t + = Trang 33 PP Toạ độ không gian Trần Só Tùng Bài Viết phương trình mặt cầu có tâm I bán kính R: a) I (1; -3; 5), R = b) I (5; -3; 7), R = c) I (1; -3; 2), R = d) I (2; 4; -3), R = Bài Viết phương trình mặt cầu có tâm I qua điểm A: a) I (2; 4; -1), A(5; 2; 3) b) I (0; 3; -2), A(0; 0; 0) d) I (4; -4; -2), A(0; 0; 0) e) I (4; -1; 2), A(1; -2; -4) Bài Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB, với: b) A(0; 3; -2), B(2; 4; -1) a) A(2; 4; -1), B(5; 2; 3) d) A(4; -3; -3), B(2;1; 5) e) A(2; -3; 5), B(4;1; -3) Baøi a) c) e) c) I (3; -2;1), A(2;1; -3) c) A(3; -2;1), B(2;1; -3) f) A(6; 2; -5), B(-4; 0; 7) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, với: A (1;1; ) , B ( 0; 2;1) , C (1; 0; ) , D (1;1;1) b) A ( 2; 0; ) , B ( 0; 4; ) , C ( 0; 0; ) , D ( 2; 4; ) A(2; 3;1), B(4;1; -2), C (6; 3; 7), D (-5; -4; 8) d) A(5; 7; -2), B(3;1; -1), C (9; 4; -4), D(1; 5; 0) A(6; -2; 3), B(0;1; 6), C (2; 0; -1), D(4;1; 0) f) A(0;1; 0), B(2; 3;1), C (-2; 2; 2), D(1; -1; 2) Bài Viết phương trình mặt cầu qua ba điểm A, B, C có tâm nằm mặt phẳng (P) cho trước, với: ì A(1; 2; 0), B(-1;1; 3), C (2; 0; -1) ì A(2; 0;1), B(1; 3; 2), C (3; 2; 0) a) í b) í P Oxz ( ) º ( ) ỵ ỵ( P ) º (Oxy ) Bài Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I tiếp xúc với mặt cầu (T), với: ìI (-5;1;1) ìI (-3; 2; 2) b) í a) í 2 2 2 ỵ(T ) : x + y + z - x + y - z + = ỵ(T ) : x + y + z - x + y - 8z + = VẤN ĐỀ 4: Vị trí tương đối hai mặt cầu mặt cầu Cho hai mặt cầu S1(I1, R1) vaø S2(I2, R2) · I1I < R1 - R2 Û (S1), (S2) · I1I > R1 + R2 Û (S1), (S2) ngoaøi · I1I = R1 - R2 Û (S1), (S2) tiếp xúc · I1I = R1 + R2 Û (S1), (S2) tiếp xúc · R1 - R2 < I1I < R1 + R2 Û (S1), (S2) caét theo đường tròn Bài Xét vị trí tương đối hai mặt cầu: ïì x + y + z2 - x + y - z - = a) í 2 ïỵ x + y + z + x - y - z + = ìï( x + 1)2 + ( y - 2)2 + ( z - 3)2 = b) í 2 ïỵ x + y + z - x - 10 y - 6z - 21 = ìï x + y + z2 - x + y - 10 z + = c) í 2 ïỵ x + y + z - x - y + 2z - = ïì x + y + z2 - x - y + 4z + = e) í 2 ïỵ x + y + z - x + y - 4z - = ìï x + y + z2 - x + y - 2z - 15 = d) í 2 ïỵ x + y + z + x - 12 y - z + 25 = ïì x + y + z2 + x - y + z - = f) í 2 ïỵ x + y + z - x + y - 2z - = Bài Biện luận theo m vị trí tương đối hai mặt cầu: ìï( x - 3)2 + ( y + 2)2 + ( z + 1)2 = 81 ïì( x - 2)2 + ( y - 1)2 + ( z + 3)2 = 64 a) í b) í 2 2 2 2 ïỵ( x - 4) + ( y + 2) + ( z - 3) = (m + 2) ïỵ( x - 1) + ( y - 2) + ( z - 3) = (m - 3) ìï( x + 2)2 + ( y - 2)2 + ( z - 1)2 = 25 c) í 2 2 ïỵ( x + 1) + ( y + 2) + ( z + 3) = (m - 1) ìï( x + 3)2 + ( y + 2)2 + (z + 1)2 = 16 d) í 2 2 ïỵ( x - 1) + ( y - 2) + ( z - 3) = (m + 3) Trang 34 Traàn Só Tùng PP Toạ độ không gian Giải: Chọn hệ trục tọa độ Axyz cho: ỉ k k AM = DN = k ị M ỗ 0; ; ÷, 2ø è A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a; 0), D(0; a; 0) A/(0; 0; a), B/(a; 0; a), C/(a; a; a), D/(0; a; a) ổ k k Nỗ ; a; 0ữ ứ è z Chứng minh A/ C ^ ( AB / D / ) : uuuur ì A/ C = (a; a; - a) ïïuuuur AB /r = (a; 0; a) Ta có: íuuuu ï / ïỵ AD = (0; a; a) uuuur uuuur r Þ n( AB/ D / ) = AB / , AD / = (- a ; - a2 ; a ) uuuur é A / C , nr ù = é(a; a; - a), (-a ; - a ; a ) ù = 0r / / û êë r ( AB D ) ú û ë uuuu r Þ A/ C P n( AB / D / ) A/ D/ B/ C/ k M D A k N B a C z Vaäy A/ C ^ ( AB / D / ) uuuur uuuur ìï A/ C AB / = ïì A / C ^ AB / Cách khác: íuuuur uuuur Þ í / Þ A / C ^ ( AB / D / ) / ïỵ A/ C AD / = ỵï A C ^ AD uuuu r r uuur Tính j: n1 = [DA / , DC ] = (0; a2 ; a ) r r r n2 = n( ABB / A / ) = j = (0; 1; 0) r r n1.n a2 Þ cos j = r r = = 2 a n1 n Vậy j = 45o a Chứng minh MN // (A/D/BC): uuuur MN = ( k ; a - 2k ; - k ) uuuur uuur r r n = n( A / D / BC ) = [BA / , BC ] = - a (1; 0; 1) uuuur r - a Ta coù: MN n = (k - k ) = Þ MN P ( A/ D / BC ) (do M Ï( A/ D / BC ) ) b/ Tìm k để MNmin: Ta có: MN = (6k - 2ak + 2a ) k MN2 –¥ a a2 Trang 71 a +¥ y PP Toạ độ không gian Þ MN = a Û k= Trần Só Tuøng a 3 uuuur a a Khi k = MN = (1; 1; - 1) 3 uuuur uuuu r ì a / ïï MN AD = (1; 1; - 1)(0; a; a) = Þ íuuuur uuur Þ ï MN BD = a (1; 1; - 1)(- a; a; 0) = ïỵ ì MN ^ AD / í ỵ MN ^ BD Vậy MN đoạn vuông góc chung AD/ BD Ví dụ 8: Cho hình lập phương ABCD.A/B/C/D/ cạnh a Gọi M trung điểm AB, N tâm hình vuông ADD/A/ Tính bán kính R mặt cầu (S) qua điểm C, D/, M, N Tính bán kính r đường tròn (C) giao (S) mặt cầu (S/) qua A/, B/, C, D Tính diện tích S thiết diện tạo mặt phẳng (CMN) hình lập phương Giải: Chọn hệ trục tọa độ Axyz cho: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a; 0), D(0; a; 0) A/(0; 0; a), B/(a; 0; a), C/(a; a; a), D/(0; a; a) ỉa ỉ a aử ị M ỗ ; 0; ữ , N ç 0; ; ÷ è2 ø è 2ø Tính R: Phương trình mặt cầu (S): x + y + z - 2a x - b y - 2g z + d = C , D / , M , N Ỵ (S ) , suy ra: ì2a - 2a a - b a + d = ï ï2a - 2b a - 2g a + d = ï a2 í -aa + d ï4 ï a2 ï - ba -g a + d = ỵ2 (1) – (2) suy ra: a = g (2) – (4) suy ra: d = a2 (1) ( 2) z A D/ / (3) B/ K ( 4) N / L C D B 5a (3) Þ a = g = a (4) Þ b = a A M x Þ Phương trình mặt cầu (S): x + y + z2 - 5a a 5a x - y - z + a2 = 2 Trang 72 C y Trần Só Tùng PP Toạ độ không gian 2 ỉ 5a ỉ 5a ổ a 35a R = ỗ ữ +ỗ ữ + ỗ ữ - a2 = 16 ố ø è ø è 4ø Vaäy R = a 35 Tính r: (S) Phương trình mặt cầu (S¢): x + y + z2 - 2a /2 x - 2b / y - 2g / z + d / = A/ , B / , C / , D Ỵ (S / ), suy ra: I ìa2 - 2g / a + d / = ï ïa - 2a / a + d / = í / / / / ï3a - 2a a - 2b a - 2g a + d = ïỵa2 - b / a + d / = (C) I/ Þ (S / ) : x + y + z2 - ax - ay - az = vaø bán kính R / = a Dễ thấy C(a; a; 0) ẻ (S / ) ị C ẻ (C ) Gọi I , I / , J tâm (S), (S/) (C) ỉ 5a a 5a / ổ a a a ị Iỗ ; ; ữ, I ỗ ; ; ữ ố 4 ø è2 2ø Þ r = d (C, II / ) = uur uur [II / , CI ] II / uur uur uur æ 3a a -3a ö uur æ a -3a 5a ö a2 / II / = ỗ - ; ; CI = ; ; Þ [ II , CI ] = (-1; 3; 2) ữ ỗ ữ ố 4 ứ ố4 4 ø Þr=a C r J R/ a Þ a / = b / = g / = , d/ = Ta coù: JC ^ II / R 14 19 Tính S: uuur uuur a2 r n(CMN ) = [CM , CN ] = - (2; - 1; 3) Þ Phương trình mặt phẳng (CMN): x - y + 3z - a = ìx = ï Phương trình đường thẳng AA¢: í y = (t ẻ R) ùợz = t ỡx = ï Phương trình đường thẳng DD¢: í y = a (t ẻ R) ùợz = t Goùi K = (CMN ) Ç AA/ , L = (CMN ) Ç DD / Trang 73 PP Toạ độ không gian Trần Só Tùng ỉ 2a ỉ Þ K ỗ 0; 0; ữ , L ỗ 0; a; ÷ 3ø è ø è uuur uuur uuur uuur Þ S = SCMKL = [CM , CK ] + [CK , CL ] éỉ ỉ ỉ éỉ a 2a ù a ứ ổ = ỗỗ ờỗ - ; - a; ữ , ỗ - a; - a; ữ ỳ + ờỗ - a; - a; ữ , ỗ - a; 0; ÷ú ÷ ø è è ëè øû 3ø è ø û ÷ø ëè ( ) a 14 ÞS= BÀI TẬP Bài Cho tứ diện OABC có đáy OBC tam giác vuông O, OB=a, OC= a , (a>0) đường cao OA= a Gọi M trung điểm cạnh BC Tính khoảng cách hai đường thẳng AB OM HD: Chọn hệ trục tọa độ cho: O(0; 0; 0), A(0; 0; a ), B(a; 0; 0), C (0; a 3; 0) a 15 Bài Cho hình chóp O.ABC có cạnh OA = a, OB = b, OC = c đôi vuông góc Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách đến mp(OBC), mp(OCA), mp(OAB) 1, 2, Tính a, b, c để thể tích O.ABC nhỏ HD: Chọn hệ trục tọa ñoä cho: O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C (0; 0; c) Þ d ( AB; OM ) = = = = a b c Bài Tứ diện S.ABC có cạnh SA vuông góc với đáy D ABC vuông C Độ dài cạnh SA = 4, AC = 3, BC = Goïi M trung điểm cạnh AB, H điểm đối xứng C qua M Tính cosin góc hợp hai mặt phẳng (SHB) (SBC) HD: Chọn hệ trục toạ độ cho: A(0;0;0), B(1;3;0), C(0;3;0), S(0;0;4) H(1;0;0) Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC vuông cân A, AB = AC = a (a > 0), hình chiếu S đáy trùng với trọng tâm G DABC Đặt SG = x (x > 0) Xác định giá trị x để góc hai mặt phẳng (SAB) (SAC) 60o ỉa a ỉa a HD: Chọn hệ trục toạ độ cho: A(0;0;0), B(a;0;0), C(0; a; 0), G ỗ ; ; ữ , S ỗ ; ; x ÷ è3 ø è2 ø Þ Vmin = 27 Û a Þx = Bài Cho hình chóp tam giác S.ABC có độ dài cạnh đáy a Gọi M, N trung điểm SB, SC Tính theo a diện tích DAMN, biết (AMN) vuông góc với (SBC) ỉa HD: Chọn hệ trục toạ độ cho: O(0; 0; 0), S(0; 0; h), A ỗ ; 0; ữ (SO = h) ỗ ữ ố ứ r r 5a é uuur uuur ù a 10 Þ ( AMN ) ^ (SBC ) Þ n( AMN ) n(SBC ) = Þ h = Þ SD AMN = AM , AN = û 12 2ë 16 Trang 74 Trần Só Tùng PP Toạ độ không gian Bài Cho lăng trụ ABC.A'B'C' các mặt bên hình vuông cạnh a Gọi D, F trung điểm cạnh BC, C'B' Tính khoảng cách hai đường thẳng A'B B'C' HD: Chọn hệ trục toạ độ cho: ỉa a ỉ a a ỉa a ö æ a a ö A(0; 0; 0), B ç ; ; 0÷, C ç - ; ; ữ , A '(0; 0; a), B ' ỗ ; ; a ữ, C 'ỗ - ; ; aữ ố2 ø è 2 ø è2 ø è 2 ø a 21 Bài Tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi vuông góc với nhau, AB = 3, AC = AD = Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD) HD: Chọn hệ trục toạ độ cho: A(0;0;0); B(0;0;3); C(0;4;0); D(4;0;0) Bài Cho hình chóp SABC có độ dài cạnh 1, O trọng tâm tam giác DABC I trung điểm SO a) Mặt phẳng (BIC) cắt SA M Tìm tỉ số thể tích tứ diện SBCM tứ diện SABC b) H chân đường vuông góc hạ từ I xuống cạnh SB Chứng minh IH qua trọng tâm G DSAC ỉ ỉ ỉ ö ö ; 0; ÷ ; B ç ;- ;0÷ ; C ç ; ;0÷ ; HD: Chọn hệ trục toạ độ cho: O(0; 0; 0), A ỗ ỗ ữ ỗ ỗ ÷ ÷ø è ø è è ø ỉ 6ư ổ 6ử S ỗ 0; ữ ; I ỗ 0; 0; ữ ỗ ữ ỗ ữ ố ø è ø V( SBCM ) Þ = V (SABC ) Þ d ( A ' B; B ' C ' ) = Bài Cho hình lăng trụ ABCD A1B1C1 có đáy tam giác cạnh a AA1 = 2a vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi D trung điểm BB1; M di động cạnh AA1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ diện tích tam giác MC1D ỉa a HD: Chọn hệ trục toạ độ cho: A(0;0;0), B(0;a;0), A1 (0;0;2a), C1 ỗ ; ; 2a ữ , D(0;a;a) ỗ 2 ữ ố ứ a 15 M º A Baøi 10 Cho tứ diện SABC có đáy DABC vuông cân taïi B, AB = a, SA ^ ( ABC ) SA = a AH ^ SB H, AK ^ SC K a Chứng minh HK ^ SC b Gọi I = HK Ç BC Chứng minh B trung điểm CI c Tính sin góc j SB (AHK) d Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp SABC uuur uur a ÑS: a/ HK SC = 0; c/ d/ SJ = JC , R = ; Þ Giá trị lớn SDC M = Bài 11 Cho tứ diện SABC có đáy DABC vuông cân B, AB = a, SA ^ ( ABC ) vaø SA = a Gọi D trung điểm AC a Chứng minh khoảng cách từ A đến (SBC) gấp đôi khoảng cách từ D đến (SBC) b Mặt phẳng (a) qua A vuông góc SC, (a) cắt SC SB M N Tính thể tích hình Trang 75 PP Toạ độ không gian Trần Só Tùng chóp SAMN c Tính cosin góc tạo hai mặt phẳng (SAC) (SBC) a a a3 ; dB = b/ d/ 18 Bài 12 Cho DABC cạnh a Trên đường thẳng d ^ ( ABC ) A lấy điểm S, SA = h ĐS: a/ d A = a Tính d(A, (SBC)) theo a h b Đường thẳng D ^ (SBC ) trực tâm H DSBC, chứng tỏ D qua điểm cố định S di động d c D cắt d S/ Tính h theo a để SS/ nhỏ ĐS: a/ ah 3a + 4h ; d/ a ; h = b/ Trọng tâm DABC a Bài 13 Cho hình chóp S.ABCD đáy hình vuông cạnh a, SA ^ ( ABCD ) SA = a Mặt phẳng (P) qua A (a ) ^ SC ; (P) cắt cạnh SB, SC, SD H, M, K a Chứng minh AH ^ SB, AK ^ SD b Chứng minh BD // (a) BD // HK c Chứng minh HK qua trọng tâm G DSAC d Tính VS.AHMK uuur r uuur uuur uuur uur uuur uuur ÑS: a/ AH SB = AK SD = b/ BD.na = 0; BD = HK ; a3 18 Bài 14 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, SA ^ ( ABCD ) ABCD hình chữ nhật có AB = a, AD = b, SA = 2a N trung điểm SD a Tính d(A, (BCN)), d(SB, CN) b Tính cosin góc hai mặt phẳng (SCD) (SBC) c/ HG / / GK ; d/ c Gọi M trung điểm SA Tìm điều kiện a b để cos· CMN = Trong trường hợp tính VS.BCNM ĐS: a/ a ; 2ab ; b/ b ; c/ a = b; V = a3 4a + 5b 20a + 5b Baøi 15 Trong mp(P) cho hình vuông ABCD Trên tia Az ^ (a ) lấy điểm S Đường thẳng (D1 ) ^ (SBC ) S cắt (P) M, (D2 ) ^ (SCD ) S cắt (P) N Gọi I trung điểm MN a Chứng minh A, B, M thẳng hàng; A, D, N thẳng hàng b Khi S di động Az, chứng tỏ I thuộc đường thẳng cố định c Vẽ AH ^ SI H Chứng minh AH đường cao tứ diện ASMN H trực tâm DSMN d Cho OS = 2, AB = Tính VASMN uuur uuur uuur uuur ỉ h2 h2 ĐS: a/ MA = h AB, NA = h AD; b/ I ỗ - ; - ; ữ ẻ AC; ố 2 ứ Trang 76 Trần Só Tùng PP Toạ độ không gian 16 Bài 16 Cho hình chóp S.ABCD có SA ^ ( ABCD ) , đáy ABCD hình vuông cạnh a Trên cạnh BC, CD lấy điểm M, N Đặt CM = x, CN= y (0 < x, y < a) a Tìm hệ thức x y để góc hai mặt phẳng (SAM) (SAN) 45o b Tìm hệ thức x y để (SAM ) ^ (SMN ) c/ AH ^ (SMN ); MN ^ SH ; SM ^ AH ; ÑS: a/ 4a - 4a3 ( x + y ) + 2axy ( x + y ) - x y = d/ b/ x - ax + ay = Baøi 17 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, cạnh đáy a , đường cao SO, cạnh bên a a Tính thể tích hình chóp Xác định tâm Ivà bán kính R hình cầu (S) nội tiếp hình chóp b Gọi M, N, P trung điểm AB, AD, SC Mặt phẳng (MNP) cắt SB, SD Q R Tính diện tích thiết diện c Chứng tỏ mặt phẳng (MNP) chia hình chóp hai phần tích 4a3 a 2a3 ; OI = R = b/ a2 c/ 3 Bài 18 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy hình vuông cạnh a, đường cao SO Mặt bên ĐS: a/ V = tạo với đáy góc 600 Mặt phẳng (P) chứa cạnh AB tạo với đáy góc 300 cắt cạnh SC, SD M, N a Tính góc AN với (ABCD) BD b Tính khoảng cách AN BD c Tính thể tích hình khối ABCDMN ÑS: a/ sin j = 13 b/ a 22 c/ 5a3 48 Baøi 19 Cho hình vuông ABCD cạnh a tâm O Trên tia Oz ^ ( ABCD ) lấy điểm S, mặt phẳng (SAD) tạo với đáy góc a a Xác định tính độ dài đoạn vuông góc chung SA CD b Mặt phẳng (b) qua AC vuông góc (SAD) chia hình chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần ĐS: a/ a sin a b/ cos a Bài 20 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A¢B¢C¢D¢ có AB= uuuur2, AD = 4, AA¢ = Gọi I, J trung uuur uuur uuur điểm AB, CD¢ Gọi M, N thỏa AM = m AD , BN = mBB / (0 £ m £ 1) a b c d Tính khoảng cách từ A đến (BDA¢) Chứng minh I, M, J, N đồng phẳng Xác định tâm K bán kính R mặt cầu (S) ngoại tiếp ABDA¢ Tính bán kính r đường tròn giao (S) (BDA¢) uur uur uuur 12 26 ÑS: a/ b/ [IN , IJ ].IM = c/ K (1; 2; 3), R = 14; d/ 7 Bài 21 Cho hình lập phương ABCD.A¢B¢C¢D¢ có cạnh Gọi M, N trung điểm AB DD¢ a Chứng minh MN // (BDC¢) Tính MN d(MN, (BDC¢)) b Gọi P trung điểm C¢D¢ Tính VC.MNP góc MN BD Trang 77 PP Toạ độ không gian Trần Só Tùng / c Tính bán kính R đường tròn (A BD) uuuur r a/ MN n = 0; MN = 6; d = ; b/ V = 1; j = 30o ; c/ ĐS: 3 Bài 22 Cho lăng trụ OAB.O¢A¢D đáy DOAB vuông O, OA= a, OB = b, OO/ = h Mặt phẳng (P) qua O vuông góc AB¢ a Tìm điều kiện a, b, h để (a) cắt cạnh AB, AA/ I, J (I, J không trùng A, B, A/) b Với điều kiện tính: SDOIJ tỉ số thể tích phần thiết diện chia lăng trụ ĐS: a/ a < h b/ S = a 3b a + b + h 2h(a2 + b ) ; V1 V2 = a4 3a h + 3b h - a Bài 23 Cho tứ diện SABC có ABC tam giác vuông A, SC ^ ( ABC ) vaø SC = AB = AC = a Các điểm M thuộc SA N thuoäc BC cho AM = CN = t (0 < t < 2a) a Tính độ dài đoạn MN, tìm t để đoạn MN ngắn b Khi MN ngắn nhất, chứng minh MN đường vuông góc chung BC SA a 2a ,t= b/ MN ^ AM , MN ^ CN 3 Bài 24 Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông B, có AB= 3, BC = Cạnh bên SA ^ ( ABC ) SA = ÑS: a/ MN = 3t - 4at + 2a2 ; = a Tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC b Trên AB lấy điểm E với AE = x Mặt phẳng (P) qua E song song với SA BC cắt hình chóp theo thiết diện hình gì? Tính diện tích thiết diện Tìm x để diện tích lớn 41 b/ max S = 4, x = 2 Bài 25 Cho tam giác SAD hình vuông ABCD cạnh a nằm mặt phẳng vuông góc Gọi I trung điểm AD, M trung điểm AB, F trung điểm SB a Chứng minh mặt phẳng (CMF ) ^ (SIB) ĐS: a/ SI = IC; R = b Tính khoảng cách đường thẳng AB SD CM SA a a ; Bài 26 Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A¢B¢C¢D¢ có đáy ABCD hình thoi cạnh a, góc · BAD = 60o Gọi M trung điểm cạnh AA¢ N trung điểm cạnh CC¢ ĐS: b/ a Chứng minh điểm B¢, M, D, N thuộc mặt phẳng b Tính cạnh AA¢ theo a để tứ giác B¢MDN hình vuông ĐS: b/ a Trang 78 Trần Só Tùng PP Toạ độ không gian ĐỀ THI CHUNG CỦA BỘ GD-ĐT Bài 1: (A–2002) Cho hình chóp tam giác S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy a Gọi M N trung điểm cạnh SB SC Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC) a2 10 S= ĐS: 16 Bài 2: (A–2002) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz, cho hai đường thẳng: ìx = 1+ t ï ì x - 2y + z - = A1 : í D2 : í y = + t ỵ x + y - 2z + = ïỵ z = + 2t a Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng D1 song song với đường thẳng D2 b Cho điểm M(2; 1; 4) Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳngD2 cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ ĐS: a/ ( P ) : x - z = b/ H(2; 3; 3) Bài 3: (B–2002) Cho hình lập phương ABCDA1B1C1D1 có cạnh a a Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng A1B B1D b Gọi M, N, P trung điểm cạnh BB1, CD, A1D1 Tính góc hai đường thẳng MP C1N ĐS: a/ a ; b/ MP ^ C1 N Bài 4: (D–2002) Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phaúng (ABC); AC = AD = 4cm; AB = 3cm; BC = 5cm Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (BCD) 34 17 Bài 5: (D–2002) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz, cho mặt phẳng ì(2m + 1) x + (1 - m ) y + m - = (P): 2x – y + = đường thẳng dm: í (m tham số) ỵmx + (2m + 1)z + 4m + = ĐS: Xác định m để đường thẳng dm song song với mặt phẳng (P) ĐS: m=- Bài 6: (A–2003) Cho hình lập phương ABCD.A/B/C/D/ Tính số đo góc phẳng nhị diện [B, A/C, D] ĐS: 120o Bài 7: (A–2003) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A/B/C/D/ có A trùng với gốc hệ tọa độ, B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A/(0; 0; b) (a >0, b > 0) Gọi M trung điểm cạnh CC/ a Tính thể tích khối tứ diện BDA/M theo a b a b Xác định tỷ số để hai mặt phẳng (A/BD) (MBD) vuông góc với b Trang 79 PP Toạ độ không gian Trần Só Tùng a2 b a ; b/ = b Baøi 8: (B–2003) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A/B/C/D/ có đáy ABCD hình thoi cạnh a, góc · BAD = 60o Gọi M trung điểm cạnh AA/ Nlà trung điểm cạnh CC/ Chứng minh ĐS: a/ bốn điểm B/, M, D, N thuộc mặt phẳng Hãy tính độ dài cạnh AA/ theo a để tứ giác B/MDN hình vuông ĐS: a Bài 9: (B–2003) Trong không gian với hệuuurtọa độ Đêcac vuông góc Oxyz, cho hai điểm A(2; 0; 0), B(0; 0; 8) điểm C cho AC = (0; 6; 0) Tính khoảng cách từ trung điểm I BC đến đường thẳng OA ĐS: Bài 10: (D–2003) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz, cho đường thẳng: ì x + 3ky - z + = ( dk ) : í ỵkx - y + z + = Tìm k để đường thẳng (dk) vuông góc với mặt phẳng (P): x – y – 2z + = ÑS: k = Bài 11: (D–2003) Cho hai mặt phẳng (P) (Q) vuông góc với nhau, có giao tuyến đường thẳng D Trên D lấy hai điểm A, B với AB= a Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C, mặt phẳng (Q) lấy điểm D cho AC, BD vuông góc với D AC = BD = AB Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) theo a a a ; AH = 2 Bài 12: (A–2004) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD ĐS: R= hình thoi, AC cắt BD gốc tọa độ O Biết A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), S(0; 0; 2 ) Goïi M trung điểm cạnh SC a Tính góc khoảng cách hai đường thẳng SA, BM b Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD điểm N Tính thể tích khối chóp S.ABMN Bài 13: (B–2004) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, góc cạnh bên ĐS: a/ 30o ; mặt đáy j( (0o < j < 90o ) Tính tang góc hai mặt phẳng (SAB) (ABCD) theo j Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a j a2 tan j Bài 14: (B–2004) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(-4; -2; 4) đường thẳng ì x = -3 + 2t ï d: í y = - t ïỵz = -1 + 4t Viết phương trình đường thẳng D qua điểm A, cắt vuông góc với đường thẳng d ĐS: tan j ; Trang 80 Trần Só Tùng ĐS: PP Toạ độ không gian (D) : x +4 y+2 z-4 = = -1 Bài 15: (D–2004) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 Biết A(a; 0; 0), B(-a; 0; 0), C(0; 1; 0), B1(-a; 0; b), a > 0, b > a Tính khoảng cách hai đường thẳng B1C AC1 theo a, b b Cho a, b thay đổi, thỏa mãn a + b = Tìm a, b để khoảng cách hai đường thẳng B1C AC1 lớn ab ÑS: a/ ; b/ ; a = b = a + b2 Baøi 16: (D–2004) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2; 0; 1), B(1; 0; 0), C(1; 1; 1) vaø mặt phẳng (P): x + y + z – = Viết phương trình mặt cầu qua ba điểm A, B, C có tâm thuộc mặt phẳng (P) ÑS: ( x - 1)2 + y + (z - 1)2 = Bài 17: (A–2005) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: mặt phẳng (P): x + y - 2z + = x -1 y + z - = = -1 a) Tìm toạ độ điểm I thuộc d cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) b) Tìm toạ độ giao điểm A đường thẳng d mặt phẳng (P) Viết phương trình tham số đường thẳng D nằm mặt phẳng (P), biết D qua A vuông góc với d ìx = t ï ÑS: a) I1(-3; 5; 7), I (3; -7;1) b) A(0; –1; 4); D: í y = -1 ïỵz = + t Bài 18: (B–2005) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC.A¢B¢C¢ với A(0; –3; 0), B(3; 0; 0), C(0; 3; 0), B¢(4; 0; 4) a) Tìm toạ độ đỉnh A¢, C¢ Viết phương trình mặt cầu có tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (BCC¢B¢) b) Gọi M trung điểm A¢B¢ Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A, M song song với BC¢ Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A¢C¢ điểm N Tính độ dài đoạn MN 576 ĐS: a) A¢ (0; –3; 4), C¢ (0; 3; 4); (S): x + ( y + 3)2 + z2 = 25 17 Bài 19: (D–2005) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng b) (P): x + y - 2z + 12 = ; MN = x -1 y + z +1 = = -1 ìx + y - z - = d2 : í ỵ x + 3y - 12 = a) Chứng minh d1 d2 song song với Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng d1 d2 b) Mặt phẳng toạ độ Oxz cắt hai đường thẳng d1, d2 điểm A, B Tính diện tích tam giác OAB (O gốc toạ độ) ÑS: a) (P): 15 x + 11y - 17 z - 10 = b) SDOAB = d1 : Bài 20: (A–2006) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A¢B¢C¢D¢ với A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A¢(0; 0; 1) Gọi M, N trung điểm AB, CD Trang 81 PP Toạ độ không gian Trần Só Tùng a) Tính khoảng cách hai đường thẳng A¢C MN b) Viết phương trình mặt phẳng chứa A¢C tạo với mặt phẳng Oxy góc a, biết cos a = ĐS: a) d(A¢C, MN) = 2 b) (Q1): x - y + z - = , (Q2): x - y - z + = Baøi 21: (A–2006) Cho hình trụ có đáy hai hình tròn tâm O O¢, bán kính đáy chiều cao a Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, đường tròn đáy tâm O¢ lấy điểm B cho AB = 2a Tính thể tích khối tứ diện OO¢AB 3a3 12 Bài 22: (B–2006) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(0; 1; 2) hai đường thẳng: ìx = 1+ t ï x y -1 z + d1 : = = d2 : í y = -1 - 2t -1 ïỵ z = + t ĐS: V= a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song với d1 d2 b) Tìm toạ độ điểm M thuộc d1, N thuộc d2 cho ba điểm A, M, N thẳng hàng ĐS: a) (P): x + 3y + 5z - = b) M(0; 1; –1), N(0; 1; 1) Bài 23: (B–2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = a , SA = a SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M, N trung điểm AD SC; I giao điểm BM AC Chứng minh mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB) Tính thể tích khối tứ diện ANIB a3 36 Bài 24: (D–2006) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) hai đường thẳng: x - y + z -1 x - y -1 z + d1 : = = vaø d2 : = = 2 -1 -1 a) Tìm toạ độ điểm A¢ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d1 b) Viết phương trình đường thẳng D qua A, vuông góc với d1 caét d2 x -1 y - z - ÑS: a) A¢ (–1; –4; 1) b) D: = = -3 -5 Bài 25: (D–2006) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA = 2a SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M N hình chiếu vuông góc A đường thẳng SB SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM ĐS: VAINB = 3a3 50 Baøi 26: (A–2007) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng: ì x = -1 + 2t ï x y -1 z + d1 : = = vaø d2 : í y = + t -1 ïỵ z = ĐS: V= a) Chứng minh d1 d2 chéo b) Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): x + y - 4z = cắt hai Trang 82 Trần Só Tùng PP Toạ độ không gian đường thẳng d1, d2 x - y z +1 ÑS: b) d: = = -4 Baøi 27: (A–2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N, P trung điểm cạnh SB, BC, CD Chứng minh AM vuông góc với BP tính thể tích khối tứ diện CMNP 3a3 96 Bài 28: (B–2007) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) mặt phẳng (P) có ĐS: VCMNP = phương trình: (S): x + y + z - x + y + z - = , (P): x - y + 2z - 14 = a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox cắt (S) theo đường tròn có bán kính b) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt cầu (S) cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) lớn a) (Q): y - z = b) M(-1; -1; -3) ĐS: Bài 29: (B–2007) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA, M trung điểm AE, N trung điểm BC Chứng minh MN vuông góc với BD tính (theo a) khoảng cách hai đường thẳng MN vaø AC a Baøi 30: (D–2007) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 4; 2), B(–1; 2; 4) x -1 y + z đường thẳng D: = = -1 a) Viết phương trình đường thẳng d qua trọng tâm G tam giác OAB vuông góc với mặt phẳng (OAB) ĐS: d(MN, AC) = b) Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng D cho MA + MB nhỏ x y-2 z-2 ÑS: a) d: = = b) M(–1; 0; 4) -1 Bài 31: (D–2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang, · ABC = · BAD = 900 , BA = BC = a, AD = 2a Cạnh bên SA vuông góc với đáy SA = a Gọi H hình chiếu vuông góc A SB Chứng minh DSCD vuông tính (theo a) khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) a ĐS: d(H, (SCD)) = Bài 32: (A–2008) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(2; 5; 3) đường thẳng x -1 y z - d: = = 2 a) Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc điểm A đường thẳng d b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d cho khoảng cách từ A đến (P) lớn ĐS: a) H(3; 1; 4) b) (P): x - y + z - = Trang 83 PP Toạ độ không gian Trần Só Tùng Bài 33: (A–2008) Cho lăng trụ ABC.A¢B¢C¢ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, AC = a hình chiếu vuông góc đỉnh A¢ mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A¢.ABC tính cosin góc hai đường thẳng AA¢, B¢C¢ a3 V= cos j = ĐS: Bài 34: (B–2008) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba ñieåm A(0; 1; 2), B(2; –2; 1), C(– 2; 0; 1) a) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C b) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng x + y + z - = cho MA = MB = MC ÑS: a) x + y - 4z + = b) M(2; 3; –7) Baøi 35: (B–2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N trung điểm cạnh AB, BC Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN tính cosin góc hai đường thaúng SM, DN a3 ; cos j = Bài 36: (D–2008) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho bốn điểm A(3; 3; 0), B(3; 0; 3), C(0; 3; 3), D(3; 3; 3) a) Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D b) Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ĐS: V= ĐS: a) x + y + z2 - x - 3y - 3z = b) H(2; 2; 2) Baøi 37: (D–2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A¢B¢C¢ có đáy ABC tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA¢ = a Gọi M trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A¢B¢C¢ khoảng cách hai đường thẳng AM, B¢C ĐS: V= a ; d= a Bài 38: (A–2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A vaø D; AB = AD = 2a, CD = a; góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 600 Gọi I trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) (SCI) vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a 15a3 Baøi 39: (A–2009) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x - y - z - = ĐS: V= mặt cầu (S): x + y + z2 - x - y - z - 11 = Chứng minh mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn Xác định toạ độ tâm tính bán kính đường tròn ĐS: H(3; 0; 2), r = Bài 40: (A–2009) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x - y + z - = va hai đường thẳng D1 : x +1 y z + x -1 y - z + = = , D2 : = = Xác định toạ độ điểm M thuộc 1 -2 Trang 84 Trần Só Tùng PP Toạ độ không gian đường thẳng D1 cho khoảng cách từ M đến đường thẳng D2 khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) ỉ 18 53 ẹS: Mỗ ; ; ữ ố 35 35 35 ứ Bài 41: (B–2009) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A¢B¢C¢ có BB¢ = a, góc đường thẳng BB¢ mặt phẳng (ABC) 600 ; tam giác ABC vuông C · BAC = 600 Hình chiếu vuông góc điểm B¢ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A¢.ABC theo a 9a3 V= ĐS: 208 Bài 42: (B–2009) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có đỉnh A(1; 2; 1), B(–2; 1; 3), C(2; –1; 1) vaø D(0; 3; 1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, B cho khoảng cách từ C đến (P) khoảng cách từ D đến (P) ĐS: (P): x + y + z - 15 = hoaëc (P): x + 3z - = Bài 43: (B–2009) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x - y + 2z - = hai điểm A(–3; 0; 1), B(1; –1; 3) Trong đường thẳng qua A song song với (P), viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng nhỏ x + y z -1 ÑS: D: = = 26 11 -2 Bài 44: (D–2009) Cho hình lăng trụ đứng ABC A¢B¢C¢ có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, AA¢ = 2a, A¢C = 3a Gọi M trung điểm đoạn thẳng A¢C¢, I giao điểm AM A¢C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC) 4a3 2a , d= Bài 45: (D–2009) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(2; 1; 0), B(1; 2; 2), C(1; 1; 0) mặt phẳng (P): x + y + z - 20 = Xaùc định toạ độ điểm D thuộc đường thẳng AB cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P) ẹS: V= ẹS: ổ5 D ỗ ; ; -1 ÷ è2 ø x+2 y-2 z = = 1 -1 mặt phẳng (P): x + y - 3z + = Vieát phương trình đường thẳng d nằm (P) cho d cắt vuông góc với đường thẳng D ì x = -3 + t ï ĐS: d: í y = - 2t ïỵz = - t Bài 46: (D–2009) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng D : Chân thành cảm ơn bạn đồng nghiệp em học sinh đọc tập tài liệu transitung_tv@yahoo.com Trang 85 ... SA.SB sin a = 2(a + h )sin a Þ Stp = Sxp + SABCD = 2(a + h )sin a + 2a Þr= a2 h 2 a + (a + h )sin a Vaäy: OJ = = a cos a (1 - cos a ) + sin a - cos a a cos a (1 - cos a ) = r + sin a - cos a Trang...PP Toạ độ không gian Trần Só Tùng CHƯƠNG III PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Định nghóa phép toán · Định nghóa, tính chất, phép toán vectơ không gian xây dựng hoàn... không gian Tìm a để I º J Iº J a cos a (1 - cos a ) + sin a - cos a cos a (1 - cos a ) Û (2 cos a - 1)(1 + sin a - cos a ) = cos a (1 - cos a ) Û (1 - cos a sina ) + (sin a - cos a ) = Û (sin a