Trần Thành Minh – Phan Lưu Biên - Trần Quang Nghĩa Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng www saosangsong.com.vn Phương pháp tọa độ mặt phẳng § Phương trình tổng qt đường thẳng A Tóm tắt giáo khoa Vectơ n khác vng góc đường thẳng ∆ gọi vectơ pháp tuyến (VTPT) ∆ •Phương trình đường thẳng qua M0( x0 ; y0 ) có VTPT n = (a ; b) : a(x – x0) + b(y – y0) •Phương trình tổng qt đường thẳng có dạng : ax + by + c = n = (a ; b) VTPT n •∆ vng góc Ox Ù ∆ : ax + c = a ∆ vng góc Oy Ù ∆ : by + c = ∆ qua gốc O Ù ∆ : ax + by = ∆ x y ∆ qua A(a ; 0) B(0 ; b) Ù ∆ : + = ( Phương φ a b trình theo đọan chắn ) M •Phương trình đường thẳng có hệ số góc k : y = kx + m với k = tanφ , φ góc hợp tia Mt ∆ phía Ox tia Mx Cho hai đường thẳng ∆1: a1x + b1y + c1 = ∆2 : a2x + b2y + c = Tính D = a1 b – a2 b1, Dx = b1 c – b2 c1 , Dy = c a – c2 a1 •∆1 , ∆2 cắt Ù D Khi tọa độ giao điểm : Dx ⎧ ⎪⎪ x = D ⎨ ⎪y = Dy ⎪⎩ D ⎧D = ⎪ •∆1 // ∆2 Ù ⎨ ⎡ D x ≠ ⎪⎢D ≠ ⎩⎣ y •∆1 , ∆2 trùng Ù D = Dx = Dy = Ghi : Nếu a2, b2 , c2 ≠ : • ∆1 , ∆2 cắt Ù Ù a1 b1 ≠ a b2 Phương pháp tọa độ mặt phẳng • • a1 b1 c1 = ≠ a b2 c a b c ∆1 , ∆2 trùng Ù = = a b2 c ∆1 // ∆2 Ù B Giải tóan Dạng tóan : Lập phương trình tổng quát đường thẳng : Cần nhớ : • • • Phương trình đường thẳng qua điểm M(x0 ; y0 ) vng góc n = (a; b) : a(x – x0 ) + b(y – y0) = Phương trình đường thẳng qua điểm M(x0 ; y0 ) phương x − x o y − yo a = (a ; a ) : = a1 a2 Phương trình đường thẳng song song đường thẳng : ax + by + c = có dạng : ax + by + m = với m ≠ c • Phương trình đường thẳng qua M(x0 ; y0 ) : a(x – x0 ) + b(y – y0) = ( a2 + b2 ) • Phương trình đường thẳng qua A(a ; 0) B(0 ; b) : x y + =1 a b Ví dụ : Cho tam giác ABC có A(3 ; 2) , B(1 ; 1) C(- 1; 4) Viết phương trình tổng quát : a) đường cao AH đường thẳng BC b) trung trực AB c) đường trung bình ứng với AC d) đuờng phân giác góc A Giải a) Đường cao AH qua A(3 ; 2) vng góc BC = (- ; 3) có phương trình : - 2( x – 3) + 3(y – 2) = Ù - 2x + 3y = Đường thẳng BC tập hợp điểm M(x ; y) cho BM = ( x − 1; y − 1) x −1 y −1 phương BC = (−2;3) nên có phương trình : ( điều kiện = −2 phương hai vectơ) Ù 3(x – 1) + 2(y – 1) = Ù 3x + 2y – = b) Trung trực AB qua trung điểm I( ; 3/2 ) AB vng góc AB = (- ; 1) nên có phương trình tổng quát : 2(x – 2) + 1.(y – 3/2) = Ù 4x + 2y – 11 = Phương pháp tọa độ mặt phẳng c) Đường trung bình ứng với AB qua trung điểm K( ; 5/2) phương AB = (- ; - 1) Đường tập hợp điểm M(x ; y) cho KM = ( x − 0; y − ) phương AB = (−2;−1) nên có phương trình : x −0 y −5/ = ( điều kiện phương hai vectơ) Ù x – 2y + = d) Gọi D(x ; y) tọa độ chân đường phân giác Theo tính chất DB AB =− phân giác : AC DC Mà AB = 22 + 12 = 5, AC = 42 + 22 = , : DB = − 2DC = − DC DC ⎧2(1 − x) = x + ⎧ x = 1/ Ù⎨ ⎨ ⎩2(1 − y) = y − ⎩y = Vậy D = (1/3 ; 2) Vì yA = yD = nên phương trình AD y = Ví dụ : Cho hình chữ nhật ABCD , phương trình AB : 2x – y + = , đường thẳng AD qua gốc tọa độ O , tâm hình chữ nhật I( ; ) Viết phương trình cạnh cịn lại Giải Vì AD vng góc với AB nên VTPT n = (2 ; - 1) AB VTCP AD x y Ù x + 2y = Phương trình AD qua O : = −1 ⎧2x − y + = A B Tọa độ A nghiệm hệ : ⎨ x 2y + = ⎩ I Giải hệ ta : x = - ; y = => A(- ; 1) I trung điểm AC , suy : ⎧ x A + x C = 2x I = ⎧ x C = 10 : C(10 ; 9) ⎨ ⎨ ⎩ y A + y C = 2y I = 10 ⎩ yC = C D Đường thẳng CD song song với AB nên n = (2 ; - 1) VTPT CD CD qua C(10 ; 9) , phương trình CD : 2(x – 10) - (y – 9) = Ù 2x – y – 11 = Đường thẳng BC qua C song song AD , phương trình BC : Phương pháp tọa độ mặt phẳng Ù(x – 10) + 2(y – 9) = Ù x – 2y – 28 = Ví dụ : Cho đường thẳng d : 3x – 4y – 12 = a) Tính diện tích tam giác mà d hợp với hai trục tọa độ b) Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng d qua trục Ox c) Viết phương trình đường thẳng d” đối xứng d qua điểm I(- ; 1) Giải : a) Cho x = : - 4y – 12 = Ù y = - => d cắt Oy tai A(0 ; - 3) Cho y = : 3x – 12 = Ù x = => d cắt Ox tai B(4 ; 0) Diện tích tam giác vng OAB : ½ OA.OB = ½ = đvdt b) Gọi A’(0 ; 3) đối xứng A y qua Ox Ta có d’ qua A’ B , phương A' B = (4;−3) có A’ B1 I B x −0 y−3 phương trình : = Ù −3 x 3x + 4y – 12 = c) Gọi B1là đối xứng B qua I A => B1 (- ; 2) Đường thẳng d” qua B1và song song với d , có phương trình : 3(x + 6) – 4(y - 2) = Ù 3x – 4y + 26 = *Ví dụ : Viết phương trình đường thẳng qua M(3 ; 2) , cắt tia Ox A, tia Oy B cho : a) OA + OB = 12 b) hợp với hai trục tam giác có diện tích 12 Giải : Gọi A(a ; 0) B(0 ; b) với a > , b > , phương trình đường thẳng cần tìm có dạng : x y + = Vì đường thẳng qua M(3 ; 2) nên : a b + = (1) a b B A Phương pháp tọa độ mặt phẳng a) OA + OB = 12 Ù a + b = 12 Ù a = 12 – b (2) Thế (2) vào (1) : + =1 12 − b b Ù 3b + 2(12 – b) = (12 – b)b Ù b2 – 11b + 24 = Ù b = hay b = x y • b = : a = , phương trình cần tìm : + = x + 3y − = x y • b = : a = , phương trình cần tìm : + = 2x + y − = b) Diện tích tam giác OAB ½ OA.OB = ½ ab = 12 Ù a = 24/b (3) 3b Thế (3) vào (1) : + = Ù b2 + 16 = 8b 24 b Ù (b – 4)2 = Ù b = x y Suy : a = , phương trình cần tìm : + = Ù 2x + 3y – 12 = Dạng : Tìm vị trí tương đối hai đường thẳng Ví dụ : Tìm vị trí tương đối cac đường thẳng sau : a) 9x – 6y – = , 6x + 4y – = b) 10x – 8y + 2/3 =0 ; 25x – 20y + 5/3 = −6 ≠ nên hai đường thẳng cắt 10 −8 / = = = nên hai đường thẳng trùng b) Ta có : 25 −20 / Giải a) Ta có : * Ví dụ : Cho d : (m + 1)x – 2y + m + = d’ : mx - 3y + = a) Định m để hai đường thẳng cắt Tìm tọa độ giao điểm M b) Tìm m ∈ Z để tọa độ giao điểm số nguyên ⎧(m + 1)x − 2y + m + = (1) Giải a) Tọa độ giao điểm M nghiệm hệ : ⎨ ⎩mx − 3y + = (2) m +1 − Hai đường thẳng cắt Ù D = = −3(m + 1) + 2m = −m − m −3 Ùm -3 Phương pháp tọa độ mặt phẳng − m +1 = - 2.1 + 3(m + 1) = 3m +1 −3 m +1 m +1 Dy = = m(m + 1) – 1.(m+1) = m2 - 1 m Ta có : Dx = Dx - 3m - ⎧ ⎪⎪x = D = m + Tọa độ giao điểm M : ⎨ ⎪y = D y = - m + ⎪⎩ D m+3 −3(m + 3) + 8 b) Ta có : x = =-3+ m+3 m+3 y = − m +3− m+3 Để x y ∈ Z chia hết cho (m + 3) Ù (m + 3) ∈ { ± ; ± ; ± ; ± } Ù m ∈ {- ; - ; - ; - ; ; - ; ; - 11 } Ví dụ : Cho đường thẳng d : 2x + y - 13 = điểm A (1 ; 1) a) Viết phương trình đường thẳng d’ qua A vng góc d b) Tìm tọa độ hình chiếu A lên d tọa độ điểm A’ , đối xứng A qua A Giải a) Đường thẳng d’ vng góc d nên VTPT n = (2 ; 1) d VTCP d’ Suy phương trình d’ : x −1 y −1 Ù x – 2y + = = b) Tọa độ giao điểm H d d ‘ thỏa hệ : ⎧x = H ⎧2x + y − 13 = Ù⎨ : H(5 ; 3) , hình chiếu ⎨ ⎩ x − 2y + = ⎩y = A lên d H trung điểm AA’ , suy : ⎧x A ' = x H − x A = : A' (9 ; 5) ⎨ A’ ⎩y A' = 2y H − y A = C Bài tập rèn luyện 3.1 Cho đường thẳng d : y = 2x – A Phương pháp tọa độ mặt phẳng a) Vẽ đường thẳng d Xác định giao điểm A B d với Ox Oy.Suy diện tích tam giác OAB khoảng cách từ O tới d b) Viết phương trình đường thẳng d’ song song với d , cắt Ox M , Oy N cho MN = 3.2 Viết phương trình tổng quát đường thẳng d : a) qua điểm A(1 ; - 2) có hệ số góc b) qua B ( - 5; ) phương a = ( ; - 5) − 3x d) qua I(4 ; 5) hợp với trục tọa độ tam giác cân e) qua A(3 ; 5) cách xa điểm H(1 ; 2) c) qua gốc O vng góc với đường thẳng : y = 3.3 Chứng minh tập hợp sau đường thẳng : a) Tập hợp điểm M mà khoảng cách đến trục hoành gấp đôi khoảng cách đến trục tung b) Tập hợp điểm M thỏa MA + MB2 = 2MO với A(2 ; ) B( ; - 2) Cho tam giác ABC có A(4 ; 1) , B(1 ; 7) C(- 1; ) Viết phương trình tổng quát a) Đường cao AH , đường thẳng BC b) Trung tuyến AM trung trực AB c) Đường thẳng qua C chia tam giác thành hai phần , phần chứa điểm A có diện tích gấp đối phần chứa điểm B Cho tam giác ABC có phương trình đường thẳng AB, BC CA : AB : x – = BC : 4x – 7y + 23 = AC : 3x + 7y + = a) Tìm tọa độ A, B, C diện tích tam giác b) Viết phương trình đường cao vẽ từ A C Suy tọa độ trực tâm H 6.Cho hai đường thẳng d : mx – y + m + = d’ : x – my + = a) Định m để hai đường thẳng cắt Tìm tọa độ giao điểm M , suy M di động đường thẳng cố định b) Định m để d d’ đường thẳng ∆ : x + 2y – = đồng quy Phương pháp tọa độ mặt phẳng Cho hai điểm A(5 ; - 2) B(3 ; 4) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm C(1 ; 1) cho A B cách đường thẳng d 3.8 Cho hình bình hành hai cạnh có phương trình 3x – y – = x + y – = Viết phương trình hai cạnh cịn lại biết tâm hình bình hành I(3 ; 1) * Cho tam giác ABC có trung điểm AB I(1 ; 3) , trung điểm AC J(- 3; 1) Điểm A thuộc Oy đường BC qua gốc tọa độ O Tìm tọa độ điểm A , phương trình BC đường cao vẽ từ B * 3.10 Cho điểm M(9 ; 4) Viết phương trình đường thẳng qua M , cắt hai tia Ox tia Oy A B cho tam giác OAB có diện tích nhỏ * 3.11 Cho điểm M(3 ; 3) Viết phương trình đường thẳng qua M , cắt Ox Oy A B cho tam giác MAB vuông M AB qua điểm I(2 ; 1) D Hướng dẫn hay đáp số : 3.1 a) A(2 ; 0) , B(0 ; - 4) ; S = đvdt 1 1 = + = + = => OH = Ta có : 2 16 16 OH OA OB b) Phương trình d’ có dạng : y = 2x + m , cắt Ox M(- m/2 ; 0) , cắt Oy |m| =3 N(0 ; m) Ta có MN = OM + ON = Suy : m = ± 3.2 a) y + = 3(x – 1) Ù y = 3x – x+5 y−2 = 5x + y + 21 = b) −5 c) y = x ( hai đường thẳng vuông góc Ù tích hai hệ số góc – 1) d) Vì d hợp với Ox góc 450 hay 1350 nên đường thẳng có hệ số góc tan 450 = hay tạn0 = - , suy phương trình : y = x + ; y = - x + e) Đường thẳng cần tìm qua A vng góc AH = (−2;−3) 3.3 a) Gọi (x ; y) tọa độ M : |y| = 2|x| Ù y = 2x hay y = - 2x b) MO2 = x2 + y2 , MA2 = (x – 2)2 +(y – 1)2 , MB2 = (x – 1)2 + (y + 2)2 Phương pháp tọa độ mặt phẳng Suy : 3x – y – = c) Đường thẳng cần tìm qua điểm D cho : DA = −2DB Ù D = (2 ; 5) a) A(3 ; - 2) ; B(3 ; 5) ; C(- ; 1) , S = ½ AB CH = 47/ đvdt b) AH : y = , AK : 7x + 4y – 13 = , H(9/7 ; 1) a) D = – m2 0Ùm ± , tọa độ giao điểm : Dx m+2 ⎧ ⎪⎪ x = D = − m + = −1 − m + ⎨ ⎪y = Dy = ⎪⎩ D m +1 => x + y + = => M di động đường thẳng : x + y + = b) Thế tọa độ M vào đường thẳng x + 2y – = , ta : m = - 2/3 d đường thẳng qua C : • qua trung điểm I(4 ; 1) AB • hay phương AB = (−2;6) 3.8 Gọi AB : 3x – y – = AD : x + y – = Giải hệ , ta đuợc A = (1 ; 1) Suy C = (5 ; ) CD : 3x – y – 14 = ; BC : x + y – = * A = (0 ; a) => B(2 ; – a) C(- ; – a) BC qua gốc O nên OB OC phương Ù 2(2 – a) = (6 – a) ( - 6) Ù a=5 10 Đặt A(a ; 0) B(0 ; b) ,với a , b > Phương trình đường thẳng cần tìm có dạng : x y + = Đường qua I Ù + = a b a b Áp dụng bđt Côsi cho hai số : = => ab ≥ 12 => S OAB = 9 12 + ≥2 = a b a b ab ab ≥ 72 10 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng -1.(x – 1) + (m + 1)(y – 1) = y Ù x – (m + 1)y + m = (2) A b) Thế (1) vào (2) : x – y = Ù y = x 3.123 (b) x 3.124 (d) 3.125 (c) 3.126 (c) Hoành độ đỉnh M (x ; y) : x M H = |y| Cạnh 16 p 36 + = 19 Ù p2 – 38p + 72 = p 3.127 (a) x = 36/p 3.128 (d) Độ dài dây cung 2p => p = 3/2 3.129 (b) Phương trình hồnh độ giao điểm : x2 – 24x + 16 = MN = A' p p + x + + x = 32 2 3.130 (a) Phương trình hoành độ giao điểm : m2 x2 - 4(m2 + 2)x + 4m2 = |FM – FN) = Ù |x1 – x2| = Ù (x1 + x2)2 – 4x1x2 = Mà x1x2 = , suy : x1 + x2 = 4(m + 2) =5 m2 Vậy : Ùm=2 §8 Các Đường Cơnic A Tóm tắt giáo khoa Đường chuẩn : x y2 x y2 + = : hay (H) : − = 12 a b2 a b2 a a2 • Δ1 : x = - = − gọi đường chuẩn ứng với F1( - c ; 0) e c Cho (E) : 87 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng • Δ2 : x = Δ1 a a2 = gọi đường chuẩn ứng với F1( - c ; 0) e c Δ2 Δ1 Δ2 M F1 O H2 F2 M F1 H1 O F2 Chú ý : Đối với êlip tâm O gần tiêu điểm đường chuẩn tương ứng Trong với hypebol , tâm O gần đường chuẩn tiêu điểm tương ứng Tính chất : Với M ∈ (E) hay (H) : MF1 MF2 = =e d ( M; Δ ) d ( M; Δ ) Định nghĩa : Cho điểm F cố định đường thẳng Δ cố định , tập hợp MF điểm cho : = e ( số dương cho trước ) gọi đường cônic d(M; Δ) F : tiêu điểm , Δ : đường chuẩn , e : tâm sai • e < : cơnic êlip • e = : cơnic parabol • e > : cơnic hypebol B Giải toán : Dạng toán : Lập phương trình tắc cơnic với đường chuẩn Ví dụ : Lập phương trình tắc êlip có đỉnh (0 ; ) khỏang cách hai đường chuẩn x y2 + = Theo đề , ta có : b = Ù a2 = + c2 a b2 a2 + c2 = Ù = Ù 2c2 – 9c + 10 = c c Giải (E) : Ù c = hay c = 5/2 88 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng x y2 + =1 x2 y2 c = 5/2 : a2 = 15/2 => (E): + =1 15 / • c = : a2 = => (E) : • Ví dụ : Lập phương trình tắc hypebol có tiệm cận y = 2x đường chuẩn x = x y2 − =1 a b2 b Ta có : = b = 2a Ù c2 – a2 = 4a2 Ù c = a a a2 a2 =1 Ù =1 Ù a = Và c a x y2 − =1 Suy : b = => (E) : 20 Dạng toán : Lập phương trình cơnic định nghĩa Giải (H) : Ví dụ : Lập phương trình parabol tiêu điểm O đường chuẩn Δ : 3x – 4y + =0 Giải Gọi (P) parabol cần tìm , ta có : M(x ; y) ∈ (P) Ù MO = d(M ; Δ ) | 3x − y + | Ù x + y2 = 2 Ù 25(x + y ) = (3x – 4y + 5)2 Ù 16x2 + 24xy + 9y2 – 30x + 40y – 25 = Ví dụ : Lập phương trình hypebol tiêu điểm F(1 ; 0) , đường chuẩn Δ : x – y = tâm sai e = `Giải Gọi (H) hypebol cần tìm , ta có : M(x ; y) ∈ (H) Ù MF = d(M ; Δ) Ù MF = d(M; Δ) 89 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng Ù ( x − 1) + y = |x−y| 2 Ù (x – 1) + y = (x – y)2 Ù 2xy – 2x + = Dạng tốn : Nhận dạng cơnic theo tâm sai Ví dụ : Cho cơnic có tiêu điểm F(1 ; 1) đường chuẩn Δ : x + y – = Biết cônic qua gốc O , cho biết dạng cônic MF Suy : e = Giải Ta có : OF = d(O, Δ) = = < , d(M; Δ) cônic êlip Ví dụ : Chứng minh đồ thị hàm số y = hypebol 2x x 2xy = (1) Cộng hai vế x2 + y2 + 2x + 2y + , ta : (1) Ù x2 + y2 + 2x + 2y + 1+ 2xy = x2 + y2 + 2x + 2y + + `Giải Ta có : y = Ù (x + y + 1)2 = (x + 1)2 + (y + 1)2 Ù | x + y +1| = ( x + 1) + ( y + 1) Gọi F điểm ( - ; - 1) , Δ đường thẳng : x + y + = M = (x ; y) , : = MF MF = => cônic hypebol tiêu điểm F đường chuẩn Δ Ù d(M : Δ) (2) Ù d(M ; Δ) C Bài tập rèn luyện 3.131 Lập phương trình tắc : a) êlip qua M(- ; 2) đường chuẩn x = b) hypebol có tiệm cận y = x khỏang cách giũa hai đường chuẩn 18 / c) hypebol có đỉnh A( ; 0) , đường chuẩn hợp với hai tiệm cận tam giác có diện tích 10 90 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng d) êlip đỉnh A2 ( ; 0) cách đường chuẩn ứng với F1 khoảng e) hypebol có hai tiệm cận vng góc đường chuẩn x = 3.132 Cho biết dạng cônic lập phương trình tắc : a) tiêu điểm (4 ; 0) đường chuẩn x = b) đường chuẩn x = 9/2 qua M(0 ; c) đỉnh ( 5) ; 0) khỏang cách giũa tiêu điểm đường chuẩn tương ứng 3.133 Lập phương trình tổng qt cơnic định nghĩa biết tiêu điểm F , đường chuẩn Δ , tâm sai e a) F( - 1; 0) , Δ : x = , e = 1/ b) F(0 ; 0) , Δ : x – y + = , e = c) F(- ; 0) , Δ : x + 2y , e = 134 Cho parabol có đường chuẩn Δ : x – y – = đỉnh O Tìm tiêu điểm F phương trình parabol 3.135 Cho cơnic có tâm đối xứng I(2 ; 4) , đường chuẩn Δ : x + y + = tiêu điểm tương ứng thuộc Oy Hãy tìm tiêu điểm , tâm sai nhận dạng cơnic 3.136 Cho cơnic có tiêu điểm (0 ; 3) , đường chuẩn x + y = , tâm sai e = Tìm giao điểm cơnic với trục tọa độ 3.137 Nhận dạng đường có phương trình sau : a) x + y =| x − y − | c) x2 + 2y2 + 2x - = d) xy = b) 2( x + y − 2x + 1) =| x + y | d) x2 + y2 – 2xy + 2x + 2y – = 3.138 Biện luận theo m hình dạng đường (C) có phương trình : x2 + y2 = m(x – 2)2 D Hướng dẫn hay đáp số 3.131 a) (E) : x y2 a2 − = Ta có : = a = 5c 2 c b a Suy : b2 = a2 – c2 = 5c – c2 91 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng ; 2) ∈ (E) Ù M(- + = Ù 5b2 + 4a2 = a2 b2 b a Ù 5(5c – c2 ) + 20c = 5c(5c – c2 ) Ù c2 – 6c + = ) ( chia hai vế cho 5c) Ùc=3 b) (H) : a2 x y2 − = Ta có : 4a = 3b (1) = (2) c a b2 Vì : c2 = a2 + b2 = 25a2 / Ù c = 5a/3 ( (1) ) Thế (2) : a = a2 ab x y2 − = Ta có : Tam giác có đường cao cạnh đáy 2 c c b a b 10 a 3b Ù 9b = 2c2 Suy : = 5 = c c Thế c2 = a2 + b2 = + b2 : 2b2 – 9b + 10 = Ù b = hay b = 5/2 c) (H) : 3.132 a) c = , a2 = a = Suy : a < c Vậy cônic hypebol : c b2 = b) a2 = Ù 2a2 = 9c (1) Vì cơnic qua M ∈ Oy nên cônic êlip b2 = c Vậy : a2 = + c2 Thếvào (1) : 2(5 + c2) = 9c Ù 2c2 – 9c + 10 = Ù c = hay c = 5/2 c) Ta có : a = a2 a − c | 52 − c | −c = = =4 c c c ⎡5 − c = 4c ⎡c + 4c − = ⎡c = ⎢ Ù ⎢ ⎢ ⎣c = ⎣⎢c − = 4c ⎣⎢c − 4c − = • c = < a : cônic êlip : x y2 + =1 92 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng • c=5> : cơnic hypebol : x y2 − =1 20 3.133 y a) M(x ; y) ∈ (C) Ù MF = e ( x + 1) + y = ( x − 3) d(M; Δ) F x O H Lập phương trình tổng quát cônic định nghĩa biết tiêu điểm F 134 Ta tìm hình chiếu H O lên Δ tiêu diểm F điểm đối xứng H qua O H(2 ; - 2) => F(- ; 2) M(x ; y) ∈ (P) Ù MF = d(M ; Δ) Ù (x + 2)2 + (y – 2)2 = ( x − y − 4) Khai triển rút gọn, ta phương trình tổng quát cần tìm 3.135 Phương trình đường thẳng qua I vng góc Δ : x – y + = Đường cắt Oy F(0 ; 2) tiêu điểm cônic Ta a2 có : c = IF = 2 , = d(I, Δ) = => a2 = c 16 Ù a = Vậy e = c/a = : cônic êlip y 3.136 Gọi M(x ; 0) giao điểm ∈ Ox , ta có : MF = d(M ; Δ) ( x + 0) Ù x2 + = Ùx= ± I F x O 3.137 a) Xét điểm O(0 ; 0) đường thẳng Δ : x – y – 1= , ta có : x + y2 ; | x − y −1| d(M ; Δ) = MO = 93 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng MO = Vậy tập hợp hypebol tiêu điểm d ( M; Δ ) O đường chuẩn Δ PT Ù b) Xét điểm F(1 ; 0) Δ : x + y = Tập hợp parabol c) PT Ù 2(x2 + y2 ) = x2 - 2x + Ù Ù x + y = | x − | Xét O(0 ; 0) Δ : x – = : tập hợp êlip d) 2(x2 +y2 ) = x2 + y2 + 2xy - 2x - 2y + Ù 2(x2 + y2) = (x + y – 1)2 Ù x + y2 = | x + y −1| Xét O Δ : x + y – = : tập hợp parabol e) 2xy = Cộng hai vế cho x2 + y2 + 2x + 2y + Ù x2 + y2 + 2xy + 2x + 2y + = x2 + y2 + 2x + 2y + Ù (x + y + )2 = (x + )2 + (y + )2 Ù (x + ) + ( y + ) = |x+y+ | Xét F( - ; ) Δ : x + y + F , đường chuẩn Δ , e = 2 = : tập hợp hypebol tiêu điểm 3.138 * Nếu m < : PT vô nghiệm => tập hợp ∅ * Nếu m = : x = y = => tập hợp {O} * Nếu m > : xét O Δ : x – = , ta có : • m < : êlip • m = : parabol • m > : hypebol MO = m d ( M, Δ ) § 9.Trắc nghiệm cuối chương 94 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng A Đề : Phương trình đường thẳng qua A(3 ; - 2) có vectơ phương (- ; 6) : a) 3x + y – = b) – x + 3y + = c) x + 3y + = d) 3x – y – 11 = Cho tam giác ABC với A(2 ; 4) , B(2 ; 1) C(5 ; ) Trung tuyến CM qua điểm N có hồnh độ 20 tung độ ? a) - 12 b) - 12, c) - 13 d) – 13, Khoảng cách hai đường thẳng song song : 3x – 4y + = 3x – 4y – = : a) / b) c) d) đáp số khác Có điểm M thuộc Ox cách đường thẳng 2x – y + = khoảng , tích hai hồnh độ chúng : a) – 75/4 b) – 25/ c) – 225 / d) đáp số khác Hai đường thẳng d : mx + y – = d’ : (m – 3) x + y + m = song song m = a) 4/3 b) – 4/3 c) 3/4 d) – 3/4 Đường thẳng d : 3x – 2y + = tiếp xúc với đường tròn tâm I(1; - 1) , bán kính : a) b) 13 c) 13 d) đáp số khác 13 Gọi α góc hai đường thẳng : y = 5x + x - 5y – = , cos α = a) 1/ 26 b) 2/ 13 c) 5/ 13 d) Có hai đường thẳng y = kx hợp với d : x – y = góc 600 Tổng hai giá trị k : a) b) – 8/ c) – d) - Phương trình đường trịn có đường kính AB với A(- ; 1) B(5 ; 7) : a) x2 + y2 + 2x + 8y – = b) x2 + y2 - 2x + 8y – = 2 c) x + y + 2x - 8y – = d) x2 + y2 - 2x - 8y – = 10 Có giá trị m nguyên để phương trình : x2 + y2 – 2x + 2my + 10 = phương trình đường trịn ? a) b) c) d) vơ số 11 Có hai đường trịn có bán kính 10 qua A (- ; 2) B(1 ; - 6) Một đường trịn có tung độ tâm : a) - b) - c) - d) 95 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 12 Đường tròn (C) : x2 + y2 – 2x + 4y – = cắt đường thẳng x – y + = theo dây cung có độ dài : a) b) c) d) đáp số khác 13 Gọi (C) đường tròn tiếp xúc với Oy A(0 ; 5) có tâm thuộc đường thẳng 3x – y - = B.àn kình đường tròn gần với số : a) 3, b) 3, c) 3, d) 3, 14 Đường tròn (C) : x2 + y2 + 6x – 4y + = có bán kính : b) c) d) 29 a) 10 15 Lập phương trình tiếp tuyến (C) : x2 + y2 + 4x + 4y – 17 = biết tiếp tuyến song song với ∆ : 3x – 4y + 12 = a) 4x - 3y – 27 = b) 4x +3 y – 11 = c) 3x – 4y + 23 = d) 3x - 4y + 27 = 16 Elip : 4x2 + 8y2 = 32 có tiêu cự : a) b) c) 2 x y 17 Cho elip : + = Câu sau sai ? a) Một tiêu điểm elip ( - 2; 0) b) Một đỉnh trục nhỏ (0 ; ) c) Độ dài trục lớn d) Diện tích hình chữ nhật sở d) 18 Elip có tiêu điểm F ( ; ) cách đỉnh B khoảng , có độ dài trục nhỏ : a) b) c) d) 10 2 x y 19 Elip (E) : + = Điểm M ( 3; 1) (E) nhìn hai tiêu điểm góc vng Tung độ dương M : a) ½ b) c) d) đáp số khác 2 x y 20 Cho elip (E) : + = Điểm M (E) thỏa F1M – F2M = Hoành độ M gần với số ? a) 1, b) 1, c) 1, d) 1, 21 Cho parabol y2 = 2px qua điểm M( ; 6) Khoảng cách từ M đến đường chuẩn : a) 6, b) c) 11 d) đáp số khác 22 Parabol y2 = x có tiêu điểm : 96 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng a) ( ¼ ; ) b) (1 /2 ; ) c) (0 ; ẳ ) d) (0 ; ẵ) 23 Parabol y = 2px (p > ) qua điểm M có tung độ cách đường chuẩn khoảng Ta hai parabol có tổng hai giá trị p : a) b) 10 c) d) đáp số khác 24 Cho (P) : y2 = 4x Đường thẳng d qua F có hệ số góc , cắt (P) M N Độ dài MN : a) b) c) d) 25 Hypebol : 2x2 – 4y2 = : a) có tiêu cự 2 b) có tiệm cận : y = x c) Câu (a) (b) d) Câu (a) (b) sai x y2 26 Một điểm M hypebol (H) : − = Tích khoảng cách từ M đến hai tiệm cận : 16 a) b) c) d) không xác định 5 27 Hypebol có tiêu điểm F(10 ; ) tiệm cận : y = 2x Hypebol có độ dài trục thực : a) b) c) d) đáp số khác 2 x y 28 Hypebol : − = qua điểm M ( ; 4) có tiệm cận y = x a b Thế ab = b) 34 c) 34 d) đáp số khác a) 17 29 Hypebol có đỉnh A1 ( - ; ) đỉnh cách tiệm cận khoảng Thế độ dài trục ảo gần với số ? a) 4, b) 4, c) 4, d) 4, 2 2 x y x y 30 Elip (E) : + = hypebol (H) : − = có tiêu điểm độ 16 a b dài trục thực (H) độ dài trục nhỏ (E) Vậy (E) (H) cắt bốn điểm nằm đường trịn có bán kính : a) b) 2 c) d) 97 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng B Bảng trả lời : (a) 2.(b) (b) 4.(a) (d) 6.(b) (c) 8.(b) 9.(d) 10.(d) 11 (a) 12.(b) 13 (c) 14.(a) 15 (c) 16.(b) 17 (d) 18.(b) 19.(a) 20.(b) 21.(a) 22.(a) 23.(b) 24.(d) 25.(d) 26.(b) 27.(b) 28.(a) 29.(d) 30.(b) C Hướng dẫn giải (a) 2.(b) Phương trình trung tuyến : 5x + 6y – 25 = Cho x = 20 : y = -12 , 3.(b) Khỏang cách 3x – 4y + = 3x – 4y – = 4.(a) Gọi M(x ; 0) : | 2x + | = Ù |2x + 5| = 10 Ù x = 5/2 hay x = - 15/2 Vậy có điểm M tích hồnh độ – 75/4 5.(d) d // d’ Ù ⎧m − = 5m m −5 = ≠ ⎨ Ùm=-¾ m−3 m ⎩m ≠ −25 6.(b) R = d(I, d) = 13 = 13 13 7.(c) (b) Phương trình đường thẳng cần tìm : kx – y = Ta có : | k + 1| k2 +1 = cos 600 = Ù 3k2 + 8k + = => k1 + k2 = - 8/3 (d) 10 (d) a2 + b2 – c = m2 – > Ù m > hay m < - : vố số giá trị m nguyên ⎧⎪IA = IB2 ⎧a = 2b + 11.(a)Gọi I(a ; b) tâm : ⎨ ⎨ 2 ⎩(a + 3) + (b − 2) = 100 ⎩⎪IA = R = 100 Thế , ta : b2 + 4b – 12 = Ù b = - hay b = 98 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng 12 (b) (C) có tâm I(1 ; - 2) , R = Khỏang cách d từ I đến đường thẳng : / Suy độ dài dây cung : R − d = − = 13.c Vì đường tròn tiếp xúc Oy A( ; 5) nên tâm I(a ; 5) I ∈ 3x – y – = Ù a = 10/3 Bán kính đường trịn 10/3 = 3,333… 14 (a) (C ) có tâm I( - 3/2 ; 5/2 ) , bán kính R = 46 => MT2 = IM2 + R2 = => MT = 15 (c) 16 (b) 17 (d) Hình chữ nhật sở có diện tích 4ab = 12 18 ( b) Tam giác OBF cho : OB2 = BF2 - OF2 = 25 – = 16 => BF = b = Vậy độ dài trục nhỏ 19.(a) Ta c ó hệ : 2 ⎪⎧ x + 5y = => y = 1/ => | y | = ⎨ 2 ⎪⎩ x + y = Vậy tung độ dương M ½ ⎧ F M + F2 M = ⎧F M = ⎨ 20 (b) Ta có hệ : ⎨ ⎩ F1 M − F2 M = ⎩ F2 M = Suy : F1M2 – F2M2 = 4cx = 12 => x = 3/2 21(a) (P) : y2 = 2px qua điểm (2 ; 6) Ù 36 = 4p Ù p = Khoảng cách từ M đến đường chuẩn : x + p = + 4, = 6, 22( a) ⎧4 = px p ⎪ 23.(b) Gọi (x ; 2) tọa độ M , ta có hệ : ⎨ => + = ( x > ) p p ⎪⎩ x + = Ù p2 – 10p + = 99 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng Phương trình có nghiệm tổng 10 24 (d) Phương trình đường thẳng d : y = x – Phương trình hồnh độ giao điểm M , N : (x – 1)2 = 4x Ù x2 – x + = (1) Gọi x1 , x2 hoành độ M , N , ta có : MN = FM + FN = (1 + x1 ) + (1 + x2 ) = + x1 + x2 = 25(d) x y2 − =1 : * có c = => tiêu cự : (a) sai * có tiệm cận : y = ± x /2 : (b) sai 26(b) (H) : 2x2 – 8y2 = 16 Phương trình hai tiệm cận : x ± 2y = x − 4y2 x + 2y x − 2y = = Tích khoảng cách : 5 5 27(b) Ta có : c = 10 b = 2a Suy : a2 + b2 = 100 Ù 5a2 = 100 Ù a = Vậy độ dài trục thực ⎧ 25 16 =1 ⎪ − ⎪⎧ a = 17 Ù⎨ => ab = 17 28(a) Ta có hệ : ⎨ a2 b 34 b = ⎪ 2 ⎩ ⎪b = 2a ⎩ 29(d) Ta có : a = Phương trình tiệm cận : bx + 4y = Khoảng cách từ A1 đến tiệm cận : −4b b + 16 Vậy độ dài trục ảo : 2b = = Ù 16b2 = 4b2 + 64 Ù b2 = 16/ ≈ 4, 30(b) Ta có : 2a = Ù a = Ngoài r a: 16 – = a2 + b2 = + b2 Ù b2 = ⎧ x y2 = Tọa độ giao điểm (E) (H) : Vậy (H) : ⎨ − ⎩4 100 Phương pháp tọa độ tronbg mặt phẳng ⎧ 16 ⎪⎪ x = ⎧⎪ x + y = 16 Ù ⎨ => x2 + y2 = ⎨ 2 ⎪⎩2 x − y = ⎪y2 = ⎪⎩ Vậy giao điểm thuộc đường tròn tâm O , bán kính 2 101 ... thẳng vng góc với d : x + 3y + = T(1 ; - 1) có phương trình : 3(x – 1) – (y + 1) = Ù 3x – y – = Do : - 3a + b = (3) Giải hệ (1), (2), (3), ta : a = b = - , c = - Phương trình đường trịn cần... + y − x − y − = (x2 + y2 – 4x – 1) – (x2 + y2 – 2x – 4y – 5) = A I Ù - 2x + 4y + = Ù x – 2y – = Do phương trình đường thẳng T1T2 x – 2y – = 3.54 a) (C) có tâm I(1 ; 1) , R = (C’) có T2 tâm I’(4