Một số phương pháp tính thể tích khối lăng trụ SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT BÌNH SƠN =====*****===== BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ Tác giả sáng kiến: Nguyễn Bá Huy Mã sáng kiến: 19.52.05 Một số phương pháp tính thể tích khối lăng trụ BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Lời giới thiệu Thể tích nội dung khó ln nằm chương trình thi HSG thi TN THPT Tuy nhiên đa số em lúng túng vẽ hình tính thể tích khối lăng trụ Thể tích khối lăng trụ có nhiều cách giải nhiều dạng Nên chọn đề tài “Một số phương pháp tính thể tích khối lăng trụ” Ở tơi đưa số dạng khối lăng trụ cách giải với mong muốn củng cố cho em kiến thức bản, nhận dạng toán rèn kĩ giải toán qua dạng tập Tên sáng kiến Một số phương pháp tính thể tích khối lăng trụ Tác giả sáng kiến - Họ tên: Nguyễn Bá Huy - Địa tác giả sáng kiến: Trường THPT Bình Sơn – Sông Lô – Vĩnh Phúc - Số điện thoại: 0972819268 E_mail: ngbahuy@gmail.com Chủ đầu tư tạo sáng kiến: Nguyễn Bá Huy Lĩnh vực áp dụng sáng kiến • Phạm vi: Thể tích khối lăng trụ • Đối tượng: Học sinh lớp 12 Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử: 09/2019 Mô tả chất sáng kiến Một số phương pháp tính thể tích khối lăng trụ 7.1 Nội dung sáng kiến MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ A LÝ THUYẾT Hệ thức lượng tam giác vuông Cho D ABC vuông A ta có: a) Định lý Pitago: BC = AB2 + AC b) BA2 = BH BC; CA2 = CH CB c) AB AC = BC AH 1 = + d) 2 AH AB AC e) BC = 2AM b c b c f) sin B = , cosB = , tan B = ,cot B = a a c b g) b = a.sinB = acosC , c = a.sinC = acosB ,  b b a= = ,b= c tanB = ccotC sin B cosC Hệ thức lượng tam giác thường * Định lý hàm số Côsin: * Định lý hàm số Sin: a2 = b2 + c2 - 2bccosA a b c = = = 2R sin A sin B sinC Các cơng thức tính diện tích a Cơng thức tính diện tích tam giác 1 abc a + b+ c S = ah a = ab sinC = = pr = p.( p- a)( p- b)( p- c) với p = 2 4R Đặc biệt : * D ABC vuông A : S = AB.AC , Một số phương pháp tính thể tích khối lăng trụ a2 D ABC * cạnh a: S = b Diện tích hình vng: S = cạnh x cạnh c Diện tích hình chữ nhật: S = dài x rộng d Diên tích hình thoi: S= e Diện tích hình thang: (chéo dài x chéo ngắn) S = (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao f Diện tích hình bình hành: S = đáy x chiều cao g Diện tích hình trịn: S = p.R Các cơng thức tính thể tích khối lăng trụ V = B.h Trong đó: B diện tích đáy h làchiều cao khối chóp * Thể tích khối hộp chữ nhật V = abc * Thể tích khối lập phương V = a3 * Thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ dựa vào phương pháp tọa độ uuu r uuur uuur é V = êAB, AC ù AA ' ú ë û Một số phương pháp tính thể tích khối lăng trụ Chú ý: + Đường chéo hình vng cạnh a d = a , Đường chéo hình lập phương cạnh a d = a , Đường chéo hình hộp chữ nhật có kích thước a, b, c d = a2 + b2 + c2 + Đường cao tam giác cạnh a h= a + Hình chóp hình chóp có đáy đa giác cạnh bên ( có đáy đa giác đều, hình chiếu đỉnh trùng với tâm đáy) Một số phương pháp tính thể tích khối lăng trụ B NỘI DUNG I Lăng trụ đứng Phương pháp: + Xác định chiều cao khối chóp cần tính thể tích + Tìm diện tích đáy công thức quen biết Lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy Ví dụ Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A¢B¢C ¢có đáy ABC tam giác vuông cân A , cạnh BC = a  biết A¢B = 3a Tính thể tích khối lăng trụ Lời giải: Ta có V ABC vuông cân A nên AB = AC = a ABC.A¢B¢C ¢là lăng trụ đứng nên AA¢^ AB V AA¢B cú AÂA2 = AÂB2 - AB2 = 8a2 ị AAÂ= 2a Vậy V = B.h = SV ABC AA¢= a3 Ví dụ Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A¢B¢C ¢ D ¢có cạnh bên 4a đường chéo 5a Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A¢B¢C ¢ D ¢ Lời giải: ABCD.A¢B¢C ¢ D ¢là lăng trụ đứng nên BD = D ¢B2 - D ¢D = 9a2 Þ BD = 3a ABCD hình vng nên AB = Suy SABCD = 3a 9a2 Vậy VABCD.A¢B¢C ¢D¢ = SABCD AA¢= 9a Một số phương pháp tính thể tích khối lăng trụ Ví dụ Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A¢B¢C ¢có đáy ABC tam giác cạnh a= biết diện tích tam giác A¢BC Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A¢B¢C ¢ Lời giải: Gọi I trung điểm BC Ta có V ABC nên AI = AB = AI ^ BC A¢I ^ BC 2S SV AÂBC = BC.AÂI ị AÂI = V A¢BC = BC AA¢^ ( ABC ) Þ AA¢^ AI V A¢AI vng A , suy AA¢= A¢I - AI = Suy SABC.A¢B¢C ¢ = SV ABC AA¢= Ví dụ Một bìa hình vng có cạnh 44 cm, người ta cắt bỏ góc bìa hình vng cạnh 12 cm gấp lại thành hộp chữ nhật khơng có nắp Tính thể tích hộp Lời giải: Theo đề bài, ta có AA ' = BB ' = CC ' = DD ' = 12 cm nên ABCD hình vng có AB = 44- 24 = 20 cm chiều cao hộp h = 12 cm Một số phương pháp tính thể tích khối lăng trụ Vậy thể tích hộp V = SABCD h = 4800cm3 Ví dụ Cho hình hộp đứng có đáy hình thoi cạnh a có góc nhọn 600 Đường chéo lớn đáy đường chéo nhỏ lăng trụ Tính thể tích hình hộp Lời giải: Ta có tam giác ABD nên: BD = a a2 SABCD =2SV ABD = Theo đề ta có BD ¢= AC = a =a V DD¢B vng D suy DD¢= D¢B2 - BD = a a3 Vậy V = SABCD DD ¢= Bài tập áp dụng Bài Cho lăng trụ đứng ABCD.A¢B¢C ¢ D ¢ có đáy tứ giác cạnh a biết BD ¢= a Tính thể tích lăng trụ Đs: V = 2a3 Bài Cho lăng trụ đứng tứ giác có đáy hình thoi mà đường chéo 6cm 8cm, biết chu vi đáy lần chiều cao lăng trụ Tính thể tích lăng trụ Đs: V = 240cm3 Bài Cho hình hộp chữ nhật có kích thước tỉ lệ thuận với 3,4,5 biết độ dài đường chéo hình hộp m Tính thể tích khối hộp chữ nhật Một số phương pháp tính thể tích khối lăng trụ Đs: V = 0,4m3 Bài Cho hình hộp chữ nhật biết đường chéo mặt 5; 10; 13 Tính thể tích khối hộp Đs: V = Bài tập trắc nghiệm Bài Cho hình lập phương có tổng diện tích mặt 12a2 Tính theo a thể tích V khối lập phương a3 A V = 2a B V = 2a C V = a D V = × Bài Cho hình hộp đứng ABCD.A¢B¢C ¢ D ¢ có đáy hình vng, cạnh bên AA¢= 3a đường chéo AC ¢= 5a Tính thể tích V khối hộp ABCD.A¢B¢C ¢ D ¢ 3 3 A V = a B V = 24a C V = 8a D V = 4a 3 Bài Cho khối lập phương biết tăng độ dài cạnh khối lập phương thêm 2cm thể tích tăng thêm 152cm3 Hỏi cạnh x khối lập phương cho bao nhiêu? A x = 5cm B x = 6cm C x = 4cm D x = 3cm Bài Cho khối lăng trụ đứng ABC.A¢B¢C ¢có BB¢= a, đáy ABC tam giác vuông cân B AC = a Tính thể tích V khối lăng trụ cho a3 a3 a3 A V = a B V = × C V = × D V = × Bài Tính thể tích V khối lăng trụ đứng ABC.A¢B¢C ¢có đáy ABC tam giác vng C, AB = 2a, AC = a, BC ¢= 2a 4a3 3a3 3a3 × A V = B V = C V = D V = 4a3 × × Bài Nếu khối lăng trụ đứng có đáy hình vng cạnh 2a đường chéo mặt bên 4a khối lăng trụ tích V ? A V = 4a3 B V = 3a3 C V = 3a3 D V = 12a3 Bài Một hình hộp đứng có đáy hình thoi cạnh a, góc nhọn 60° đường chéo lớn đáy đường chéo nhỏ hình hộp Tính thể tích V khối hộp 3a3 6a3 3 A V = a B V = 3a C V = D V = 2 10 Một số phương pháp tính thể tích khối lăng trụ Bài Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A¢B¢C ¢có đáy D ABC cạnh a= biết SD A¢BC = Tính thể tích V khối lăng trụ A V = B V = C V = D V = Lăng trụ đứng có góc đường thẳng mặt phẳng Ví dụ Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A¢B¢C ¢có đáy ABC tam giác vuông cân B với BA = BC = a Biết A¢B hợp với đáy ABC góc 600 Tính thể tích lăng trụ Li gii: Ta cú AÂA ^ ( ABC ) ị A¢A ^ AB AB hình chiếu A¢B lên đáy ABC · ¢= 600 Nên (·A¢B,( ABC ) ) = ABA V ABA¢ có AA¢= AB.tan600 = a a2 SV ABC = BA.BC = 2 Vậy V = SV ABC AA¢= a3 Ví dụ Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A¢B¢C ¢có đáy ABC tam giác vng · A với AC = a, ACB = 600 Biết BC ¢ hợp với ( AA¢C ¢C ) góc 300 Tính AC ¢ thể tích lăng trụ Lời giải: V ABC vuông A suy AB = AC.tan600 = a Ta có: AB ^ AC ùỹ ùý ị AB ^ ( AAÂC Â C ) nờn AC Âl hỡnh chiu AB ^ AAÂùùỵ ca BC ¢ ( AA¢C ¢C ) · · ¢ Suy ( BC ¢,( AA¢C ¢C ) ) = BC A = 300 11 Một số phương pháp tính thể tích khối lăng trụ Bài 11 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A¢B¢C ¢có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu điểm A¢ mặt phẳng (ABC ) trùng với trung điểm cạnh BC Biết CC ¢ tạo với mặt phẳng (ABC ) góc 450 Tính thể tích V khối đa diện ABC.A¢B¢C ¢ 3a3 3a3 3a3 a3 × A V = B V = C V = D V = × × × 8 Bài 12 Cho lăng trụ tam giác ABC.A¢B¢C ¢có đáy tam giác vng cân, cạnh huyền AC = 2a Hình chiếu A lên mặt phẳng (A¢B¢C ¢) trung điểm I A¢B¢, góc cạnh bên mặt đáy 600 Tính thể tích V khối lăng trụ ABC.A¢B¢C ¢ 6a3 3a3 6a3 A V = B V = C V = 2a D V = × × × Bài 13 Cho hình lăng trụ ABC.A¢B¢C ¢, đáy ABC tam giác cạnh x Hình chiếu đỉnh A¢ lên mặt phẳng (ABC ) trùng với tâm D ABC, cạnh AA¢= 2x Tính thể tích V khối lăng trụ 39x3 11x3 3x3 11x3 B C D V= × × V= × V= × 12 Bài 14 Cho lăng trụ ABC.A¢B¢C ¢có đáy ABC tam giác cạnh 2a Hình chiếu vng góc điểm A¢ lên mặt phẳng (ABC ) trùng với tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết OA¢= a Tính theo a thể tích V khối lăng trụ ABC.A¢B¢C ¢ A V = 3a3 3a3 3a3 A V = B V = 3a C V = D V = × × × 13 Bài 15 Cho khối lăng trụ ABC.A¢B¢C ¢có AB = BC = 5a, AC = 6a Hình chiếu a 133 vng góc A¢ mặt phẳng (ABC ) trung điểm AB A¢C = × Tính thể tích V khối lăng trụ ABC.A¢B¢C ¢theo a A V = 12a3 B V = 12 133a3 C V = 36a3 D V = 133a3 Bài 16 Cho lăng trụ ABCD.A¢B¢C ¢ D ¢có đáy ABCD hình chữ nhật tâm O AB = a, AD = a 3, A¢O vng góc với đáy (ABCD) Cạnh bên AA¢hợp với mặt đáy (ABCD) góc 450 Tính theo a thể tích V khối lăng trụ cho ABCD.A¢B¢C ¢ D ¢ 3a3 A V = × 6a3 B V = × 3a3 C V = × D V = 3a3 28 Một số phương pháp tính thể tích khối lăng trụ Bài 17 Cho khối lăng trụ ABCD.A¢B¢C ¢ D ¢có đáy ABCD hình vng Hình chiếu vng góc A¢ mặt phẳng (ABCD) trung điểm AB, góc mặt phẳng (A¢CD) mặt phẳng (ABCD) 600 Thể tích khối chóp B¢.ABCD 3a3 ×Tính độ dài đoạn thẳng AC theo a 2a 2a A AC = × B AC = × C AC = 2a 3 D AC = 2a · Bài 18 Cho hình hộp ABCD.A¢B¢C ¢ D ¢có đáy ABCD hình thoi, ABC = 600, AB = 3a Hình chiếu A¢ lên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm O 3a ×Tính thể tích AC BD Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (A¢AD) V khối hộp ABCD.A¢B¢C ¢ D ¢ A V = 9a3 B V = 3a3 C V = 3a3 D V = 12 3a3 Bài 19 Khối lăng trụ ABC.A¢B¢C ¢có đáy tam giác cạnh a, góc cạnh bên mặt phẳng đáy 300 Hình chiếu đỉnh A¢ mặt phẳng đáy ( ABC ) trùng với trung điểm cạnh BC Tính thể tích V khối lăng trụ ABC.A¢B¢C ¢ 3 3 3 3 A V = B V = C V = D V = a a a a 12 Bài 20 Khối lăng trụ ABC.A¢B¢C ¢có đáy tam giác cạnh a, góc cạnh bên ( A¢ABB¢) mặt phẳng đáy 600 Hình chiếu H đỉnh A¢ mặt phẳng đáy ( ABC ) trùng với trung điểm cạnh BC Tính thể tích V khối tứ diện ABCA¢ 3 3 3 3 3 A V = B V = C V = D V = a a a a 8 16 16 Bài 21 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A¢B¢C ¢có đáy tam giác cạnh 3a Biết AB¢tạo với mặt phẳng ( ABC ) góc 300 AB¢= 6a Tính thể tích V khối đa diện A¢B¢C ¢AC 3 3 3 3 A V = B V = C V = D V = a a a a 2 Bài 22 Cho hình hộp ABCD.A¢B¢C ¢ D ¢có AB = a Hình chóp A¢ABD hình chóp AA¢= a Tính thể tích V khối hộp ABCD.A¢B¢C ¢ D ¢ A V = a B V = a C V = 2a3 D V = 3a3 29 Một số phương pháp tính thể tích khối lăng trụ Bài 23 Khối lăng trụ ABC.A¢B¢C ¢có đáy tam giác cạnh AB = 2a Biết AC ¢= 8a tạo với mặt phẳng đáy góc 450 Tính thể tích V khối đa diện ABCC ¢ B¢ 3 16 3 16 A V = B V = C V = D V = a a a a 3 3 Bài 24 Cho hình lăng trụ ABC.A¢B¢C ¢có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc điểm A¢ lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách hai đường thẳng AA¢và BC a Tính thể tích V khối lăng trụ ABC.A¢B¢C ¢ 3 3 3 3 A V = B V = C V = D V = a a a a 24 12 · Bài 25 Cho hình hộp ABCD.A¢B¢C ¢ D ¢có tất cạnh a BAD = 60°, · ¢AB = A · ¢AD = 1200 Tính thể tích V khối hộp ABCD.A¢B¢C ¢ D ¢ A 3 3 B V = C V = D V = a a a a 12 Bài 26 Cho hình hộp ABCD.A¢B¢C ¢ D ¢có AA¢= 3, AB = , AD = Nối tâm sáu mặt hình hộp tạo nên khối tám mặt Thể tích V khối tám mặt bằng? A V = 60 B V = 30 C V = 10 D V = 20 Bài 27 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A¢B¢C ¢ D ¢có thể tích 48 Tính thể tích phần chung hai khối chóp A.B¢CD¢và A¢.BC ¢D A V = A 10 B 12 C D Bài 28 Cho lăng trụ tam giác ABC.A¢B¢C ¢có cạnh đáy a AB¢^ BC ¢ Tính thể tích V khối lăng trụ 30 Một số phương pháp tính thể tích khối lăng trụ A V = 6a 7a3 × B V = 6a3 C V = × 6a3 D V = × III Tỉ số thể tích Ví dụ Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A¢B¢C ¢ Mặt phẳng ( A¢BC ) chia khối lăng trụ thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần Lời giải: Mặt phẳng ( A¢BC ) chia khối lăng trụ ABC.A¢B¢C ¢ thành hai phần A¢.ABC A¢B¢C ¢BC Ta có: VA¢ABC = VABC A¢B¢C ¢ Þ VA¢B¢C ¢BC = VABC A¢B¢C ¢ 3 Suy tỉ số thể tích hai phần Ví dụ Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A¢B¢C ¢ Gọi M trung điểm cạnh AA¢ Mặt phẳng ( MBC ) chia khối lăng trụ thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần Lời giải: Mặt phẳng ( MBC ) chia khối lăng trụ thành hai phần M ABC MA¢B¢C ¢ BC 11 Ta có VM ABC = A¢A.SABC = VABC.A¢B¢C ¢ 32 Suy VMA¢B¢C ¢BC = VABC.A¢B¢C ¢ Suy tỉ số thể tích hai phần 31 Một số phương pháp tính thể tích khối lăng trụ Ví dụ Cho lăng trụ ABC A′B′C ′ , cạnh AA′ , BB′ lấy điểm M , N cho AA′ = A′M , BB′ = 3B′N Mặt phẳng ( C ′MN ) chia khối lăng trụ cho thành hai phần Gọi V1 thể tích khối chóp C ′ A′B′NM , V2 thể tích khối đa V diện ABCMNC ′ Tính tỉ số V Lời giải: Đặt V = VABC A′B′C ′ Lấy điểm E CC ' cho CC ′ = 3C ′E Suy A′M B′N C ′E = = = ⇒ ( MNE ) // ( ABC ) A′A B′B C ′C 3 Ta có: VC ′.MNE = VA′B′C ′.MNE ⇒ V1 = VA′B′C ′.MNE 3 Mặt khác: VA′B′C ′.MNE = V V 2 2 Suy V1 = V = V ⇒ V2 = V − V = V ⇒ V = 3 9 Tổng quát: Cho lăng trụ ABC A′B′C ′ , cạnh AA′ , BB′ lấy điểm M , N cho AA′ = k A′M , BB′ = k B′N ( k > 1) Mặt phẳng ( C ′MN ) chia khối lăng trụ cho thành hai phần Gọi V1 thể tích khối chóp C ′ A′B′MN , V2 thể tích khối đa V diện ABCMNC ′ Tỉ số V bằng: V V A V = 3k − 2 B V = 3k − V 1 C V = 3k − V D V = 3k − Bài tập trắc nghiệm Bài Cho lăng trụ ABC A′B′C ′ tích Gọi M , N hai điểm nằm hai cạnh AA′ BB′ cho M trung điểm AA′ B′N = BB′ Đường thẳng CM cắt đường thẳng A′C ′ P đướng thẳng Thể tích khối đa diện lồi A′MPB′NQ CN cắt đường thẳng B′C ′ Q 32 Một số phương pháp tính thể tích khối lăng trụ A 13 18 B 23 C 18 D Bài Cho hình lăng trụ ABC A′B′C ′ tích V Gọi M trung điểm cạnh BB′ , điểm N thuộc cạnh CC ′ cho CN = 2C ′N Tính thể tích khối chóp A.BCNM theo V A VA.BCNM = 7V 12 B VA BCNM = 7V 18 C VA.BCNM = 5V 18 D VA.BCNM = V Bài Cho khối lăng trụ ABC.A′B′C ′ Gọi E , F trung điểm AA′ , CC ′ Mặt phẳng ( BEF ) chia khối lăng trụ thành hai phần Tỉ số thể tích hai phần A B C D Bài Cho khối lăng trụ ABC A′B′C ′ Gọi M , N trung điểm đoạn thẳng AA′ BB ' Tính tỉ số thể tích khối tứ diện CMNC ' với khối lăng trụ cho A B C D Bài Cho khối lập phương ABCD A′B′C ′D′ cạnh a Các điểm E , F trung điểm C ¢B¢ C ¢D ¢ Mặt phẳng ( AEF ) cắt khối lập phương cho thành phần, V gọi V1 thể tích khối chứa điểm A¢ V2 thể tích khối chứa điểm C ¢ Khi V là: A 25 47 B C 17 D 17 25 Bài Cho lăng trụ tam giác ABC A′B′C ′ có tam giác ABC tam giác vng cân B , AB = BC = ; A′A = A′B = A′C = Gọi M , N trung điểm AC BC Trên hai cạnh A ' A A ' B lấy điểm P Q tương ứng cho A′P = , A′Q = Tỉ số VPQMN VABC A′B′C ′ A 36 B 12 C 24 D 48 33 Một số phương pháp tính thể tích khối lăng trụ Bài Cho khối hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' tích 48 Gọi M trung điểm cạnh AB Mặt phẳng ( MB ' D ') chia khối hộp ABCD A ' B ' C ' D ' thành hai khối đa diện Tính thể tích khối đa diện chứa đỉnh A khối phân chia từ khối hộp ABCD A ' B ' C ' D ' mặt phẳng ( MB ' D ') bằng: A 24 B 12 C D 14 Bài Cho khối lăng trụ ABC A′B′C ′ Gọi E , F trung điểm đoạn thẳng CC ′ BB′ Đường thẳng A 'E cắt đường thẳng AC K , đường thẳng A 'F cắt đường thẳng AB H Tính tỉ số thể tích khối đa diện lồi BFHCEK khối chóp A 'ABC A B C D Bài Cho hình lập phương ABCD A′B′C ′D′ có cạnh Gọi V1 thể tích phần khơng gian bên chung hai hình tứ diện ACB′D′ A′C ′BD , V2 phần không gian bên hình lập phương cho mà khơng bị chiếm chỗ hai khối tứ diện V2 nêu Tính tỉ số V ? A B C D Bài 10 Cho khối lăng trụ ABC A′B′C ′ tích V Gọi điểm M trung điểm AA′ điểm N thuộc cạnh BB′ cho BN = BB ' Đường thẳng C ′M cắt đường thẳng CA D , đường thẳng C ′N cắt đường thẳng CB E Tỉ số thể tích khối đa diện lồi AMDBNE khối lăng trụ ABC A′B′C ′ A 13 18 B 18 C 12 D 15 Bài 11 Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh Gọi V1 thể tích phần khơng gian bên chung hai hình tứ diện ACB ' D ' A ' C ' BD ; V2 phần khơng gian bên hình lập phương cho mà không bị chiếm chỗ hai khối tứ V2 diện nêu Tính tỉ số V 34 Một số phương pháp tính thể tích khối lăng trụ B A C D 2 Bài 12 Cho khối đa diện hình vẽ bên Trong ABC A ' B ' C ' khối lăng trụ tam giác có tất cạnh 1, S ABC khối chóp tam giác có cạnh bên SA = Mặt phẳng ( SA ' B ') chia khối đa diện cho thành hai phần Gọi V1 thể tích phần khối đa diện chứa đỉnh A , V2 thể tích phần khối đa diện khơng chứa đỉnh A Mệnh đề sau đúng? A 72V1 = 5V2 B 3V1 = V2 C 24V1 = 5V2 D 4V1 = 5V2 Bài 13 Cho khối lăng trụ tam giác ABC A′B′C ′ Gọi G trọng tâm tam giác ABC , M , N , P trung điểm CC ′ , A′C ′ , A′B′ Biết thể tích khối tứ diện GMNP , tính thể tích khối lăng trụ ABC A′B′C ′ ? A 24 B 72 C 18 D 17 IV Bài tốn thực tế cực trị Ví dụ Ông A dự định sử dụng hết 6,7m kính để làm bể cá kính có dạng hình hộp chữ nhật khơng nắp, chiều dài gấp đơi chiều rộng (các mối ghép có kích thước khơng đáng kể) Bể cá có dung tích lớn (làm tròn đến hàng phần trăm) Lời giải: Gọi x chiều rộng, ta có chiều dài 2x Do diện tích đáy mặt bên 6, 7m2 nên có chiều cao h = ta có h > nên x < 6,7 − x , 6x 6, 35 Một số phương pháp tính thể tích khối lăng trụ Thể tích bể cá V ( x ) = 6, x − x 6,7 − x 6, =0 ⇔ x= V ′ ( x ) = 3 Bảng biến thiên Bể cá có dung tích lớn 1,57m3 Ví dụ Ông A dự định sử dụng hết 5,5 m2 kính để làm bể cá có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước khơng đáng kể) Bể cá có dung tích lớn (kết làm tròn đến hàng phần trăm)?: Lời giải: Gọi x, x, h chiều rộng, dài, cao bể cá 5,5 − x 5,5 Ta có x + ( xh + xh ) = 5,5 ⇔ h = ( Điều kiện < x < ) 6x 5,5 − x = (5,5 x − x3 ) 6x 5,5 V / = (5,5 − x ) V / = ⇒ x = 11 33 Lập BBT suy Vmax = ≈ 1,17 m3 54 Thể tích bể cá V = x Ví dụ Người ta cần xây dựng bể bơi có dạng hình hộp chữ nhật tích 125m3 Đáy bể bơi hình chữ nhật có chiều dài gấp ba lần chiều rộng Tính chiều rộng đáy bể bơi để thi công tiết kiệm nguyên vật liệu (kết làm tròn đến hai chữ số thập phân)? Lời giải: Thể tích bế cá: V = 3ab = 72 dm3 ⇔ b = 72 24 = , với a, b > 3a a Diện tích kính để làm bể cá hình vẽ: S = 3.3a + 2.3b + ab = 9a + S = 96 ⇔ 9a = 24 24 144 144 + a = 9a + + 24 ≥ 9a + 24 ⇔ S ≥ 96 a a a a 144 ⇔ a =4⇒b =6 a Vậy để bể cá tốn ngun liệu a = dm ; b = dm 36 Một số phương pháp tính thể tích khối lăng trụ Ví dụ Xét khối tứ diện ABCD có cạnh AB = x cạnh lại Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn Lời giải: Gọi M , N trung điểm CD AB CD ⊥ MB  CD ⊥ MN  ⇒ CD ⊥ ( MAB ) ⇒  CD ⊥ MA  CD ⊥ AB Tam giác MAB cân M nên MN ⊥ AB 1 VABCD = AB.CD.d ( AB, CD ) sin ( AB, CD ) = x.2 3.MN sin 90° 6 Ta có 2 3  x + ( 36 − x )  x 2  = 3 Dấu " = " xảy = x.2 3 −  ÷ = x 36 − x ≤  6  2   ⇔ x = 36 − x ⇔ x = Bài tập trắc nghiệm Bài Người ta muốn thiết kế bể cá kính khơng có nắp với thể tích 72 dm3 , chiều cao 3dm Một vách ngăn (cùng kính) giữa, chia bể cá thành hai ngăn, với kích thước a, b (đơn vị dm ) hình vẽ Tính a, b để bể cá tốn nguyên liệu (tính kính giữa), coi bề dày kính khơng ảnh hưởng đến thể tích bể A a = 24 dm ; b = 24 dm C a = dm ; b = dm B a = dm ; b = dm D a = dm ; b = dm Bài Xét khối chóp S ABC có đáy tam giác vng cân A , SA vng góc với mặt phẳng đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) Gọi α góc hai mặt phẳng ( SBC ) ( ABC ) , giá trị cos α thể tích khối chóp S ABC nhỏ A B C D Bài Cho hình hộp chữ nhật ABCD A′B′C ′D′ có AB = x , AD = Biết góc đường thẳng A′C mặt phẳng ( ABB′A′ ) 30° Tìm giá trị lớn Vmax thể tích khối hộp ABCD A′B′C ′D′ 37 Một số phương pháp tính thể tích khối lăng trụ A Vmax = 3 B Vmax = C Vmax = D Vmax = Bài Nhân ngày quốc tế Phụ nữ – năm 2019 Ông A mua tặng vợ quà đặt hộp chữ nhật tích 32 (đvtt) có đáy hình vng khơng nắp Để q trở nên đặc biệt xứng tầm với giá trị nó, ơng định mạ vàng hộp, biết độ dày lớp mạ điểm hộp không đổi Gọi chiều cao cạnh đáy hộp h x Để lượng vàng hộp nhỏ giá trị h x là? A h = , x = B h = ,x = C h = , x = D h = , x = Bài Xét tứ diện ABCD có cạnh AB = BC = CD = DA = AC , BD thay đổi Giá trị lớn thể tích khối tứ diện ABCD A 27 B 27 C D Bài Cho hình chóp SABC có SA = x, SB = y , AB = AC = SB = SC = Thể tích khối chóp SABC đạt giá trị lớn tổng x + y A B C D Bài Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có tổng diện tích tất mặt 36, độ dài đường chéo AC ' Hỏi thể tích khối hộp lớn bao nhiêu? A B 6 C 24 D 16 Bài Cho hình chóp S ABCD có SC = x ( < x < a ) , cạnh lại a a m Biết thể tích khối chóp S ABCD lớn x = n Mệnh đề sau đúng? A m + 2n = 10 B m − n = 30 4m − n = −20 C 2n − 3m < 15 ( m, n ∈ ¥ ) * D Bài Cho tứ diện ABCD có AB = x , CD = y , tất cạnh lại Khi thể tích tứ diện ABCD lớn tính xy A B C 16 D Bài 10 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tích V Điểm P trung điểm SC , mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SD SB M N Gọi V1 thể tích khối chóp S AMPN Giá trị lớn V1 thuộc V khoảng sau đây? 38 Một số phương pháp tính thể tích khối lăng trụ   A  0; ÷   1 1 B  ; ÷  3 1 1 1  ; ÷ 3 2 C  D  ;1÷ 2  Bài 11 Trong thi làm đồ dùng học tập trường phát động, bạn An nhờ bố làm hình chóp tứ giác cách lấy mảnh tơn hình vng ABCD có cạnh 5cm (tham khảo hình vẽ) Cắt mảnh tôn theo tam giác cân AEB , BFC , CGD , DHA sau gị tam giác AEH , BEF , CFG , DGH cho bốn đỉnh A , B , C , D trùng tạo thành khối chóp tứ giác Thể tích lớn khối chóp tứ giác tạo thành A 10 B 10 C 10 D 10 Bài 12 Cho khối lập phương ABCD A′B′C ′D′ cạnh a Các điểm M , N di động tia AC , B′D′ cho AM + B′N = a Thể tích khối tứ diện AMNB′ có giá trị lớn A a3 12 B a3 C a3 D a3 12 Bài 13 Cho tứ diện SABC có G trọng tâm tứ diện, mặt phẳng quay quanh AG cắt V S AMN cạnh SB, SC M , N Giá trị nhỏ tỉ số V là? S ABC A B C D 7.2 Khả áp dụng sáng kiến Kết đạt Năm học 2019 – 2020 sử dụng sáng kiến vào giảng dạy lớp 12, năm học 2020 – 2021 sử dụng sáng kiến vào giảng dạy lớp 12 thu kết đáng khích lệ Kết chuyển biến phong cách học tập học sinh Các em học tập tích cực, chủ động hơn, sơi hơn, thảo luận nhiều hơn, hăng hái học tập Các em học sinh nắm bắt nhận cách tính thể tích cách dễ dàng 39 Một số phương pháp tính thể tích khối lăng trụ Sự hứng thú ham học hỏi học sinh giúp giáo viên có thêm động lực hứng khởi để tiếp tục tìm tịi, sáng tạo, mang đến học bổ ích, lý thú Kết học tập mơn Toán lớp 12 năm học 2019 – 2020 lớp 12 năm học 2020 – 2021 khả quan với tỉ lệ giỏi cao: Lớp 12 (năm 2019-2020) 12 (năm 2020-2021) Giỏi Khá Loại khác 15% 35% 50% 20% 45% 35% Những thông tin cần bảo mật: Không Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến Đòi hỏi giáo viên phải chuẩn bị cơng phu vất vả Trình độ nhận thức học sinh phải từ mức TB trở lên, đồng Thể tích nội dung quan trọng, đòi hỏi học sinh phải biết cách tư duy, biến đổi, lựa chọn phương pháp giải phù hợp Cơ sở vật chất, thiết bị dạy học đảm bảo 10 Đánh giá lợi ích thu theo ý kiến tác giả Sáng kiến nêu lên dạng khối lăng trụ, phương pháp giải phù hợp Tuy nhiên, nội dung khó, nên việc đưa phương pháp đơi cịn mang tính tương đối Hi vọng qua viết phần giúp cho học sinh có tư tốt hơn, thành thạo kỹ giải toán số kiến thức liên quan Các kiến thức sáng kiến áp dụng với học sinh lớp dạy thu số kết khả quan Tuy nhiên, kiến thức cá nhân có 40 Một số phương pháp tính thể tích khối lăng trụ hạn, kinh nghiệm giảng dạy nhiều hạn chế viết chưa áp dụng nhiều đối tượng nên chắn cịn nhiều thiếu sót Hi vọng nhận góp ý thầy cô, anh chị đồng nghiệp để sáng kiến hồn thiện có ứng dụng rộng rãi 41 Một số phương pháp tính thể tích khối lăng trụ 11 Danh sách tổ chức/cá nhân tham gia áp dụng sáng kiến Số TT Tên Địa áp dụng sáng kiến tổ chức/cá nhân Lớp 12 (năm 2019-2020) Lớp 12 (năm 2020-2021) Phạm vi/Lĩnh vực Trường THPT Bình Sơn –Một số phương pháp tính thể Sơng Lơ – Vĩnh Phúc tích khối lăng trụ Trường THPT Bình Sơn –Một số phương pháp tính thể Sơng Lơ – Vĩnh Phúc tích khối lăng trụ …,ngày…tháng năm 2021 …,ngày…tháng năm 2021 Sông Lô, ngày 20 tháng năm 2021 Thủ trưởng đơn vị/ CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG Tác giả sáng kiến Chính quyền địa phương SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ (Ký, ghi rõ họ tên) (Ký tên, đóng dấu) (Ký tên, đóng dấu) Nguyễn Bá Huy 42 ... túng vẽ hình tính thể tích khối lăng trụ Thể tích khối lăng trụ có nhiều cách giải nhiều dạng Nên chọn đề tài ? ?Một số phương pháp tính thể tích khối lăng trụ? ?? Ở đưa số dạng khối lăng trụ cách giải... góc 600 Tính thể tích lăng trụ Đs: V = abc 23 Một số phương pháp tính thể tích khối lăng trụ Bài Cho lăng trụ tam giác ABC.A¢B¢C ¢có đáy ABC tam giác cạnh a 2a Tính thể tích lăng trụ điểm... đáy) Một số phương pháp tính thể tích khối lăng trụ B NỘI DUNG I Lăng trụ đứng Phương pháp: + Xác định chiều cao khối chóp cần tính thể tích + Tìm diện tích đáy cơng thức quen biết Lăng trụ đứng