Lời cảm ơn Sau thời gian nghiên cứu nghiêm túc khóa luận tốt nghiệp "Bài tốn truyền nhiệt phương pháp ứng dụng phần mềm Mathematica giải toán truyền nhiệt khơng gian chiều" hồn thành Tác giả xin thể lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dấn - TS Lê Hải Trung - có nhiều ý kiến đóng góp quý báu định hướng suốt trình thực đề tài Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy cô giáo khoa Toán, trường Đại học Sư Phạm - Đại học Đà Nẵng động viên tạo điều kiện để luận văn hoàn thành Em xin chân thành cảm ơn ! Đà Nẵng, tháng 05 năm 2012 Sinh viên thực Tạ Thị Kim Biển Mục lục Lời nói đầu Bài tốn truyền nhiệt 1.1 Phương trình khuếch tán 1.2 Bài tốn đầu cho phương trình truyền nhiệt 1.3 Giá trị max nghiệm phương trình 1.4 Định lý nghiệm toán đầu 1.5 Nghiệm tổng quát toán truyền nhiệt 10 1.6 Tích phân Fourier 12 1.7 Nghiệm toán đầu cho phương trình truyền nhiệt 14 1.8 Cơng thức Poisson 20 Phần mềm Mathematica cho toán truyền nhiệt 2.1 2.2 Sự đời phát triển Nghiệm phương trình truyền nhiệt R1 26 26 27 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 Lời nói đầu Bài tốn truyền nhiệt vấn đề tiêu biểu " Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng", mơn học khó thú vị bậc sinh viên ngành Toán Ý nghĩa toán truyền nhiệt thể việc miêu tả tiêu tán nhiệt, nhiều trình tiêu tán khác, tiêu tán hạt lan truyền phản ứng tế bào thần kinh Nó sử dụng để mô tượng xảy tài chính, Black-Scholes q trình Ornstein - Uhlenbeck Do độ khó tính quan trọng hấp dẫn tốn nên em lựa chọn toán truyền nhiệt để nghiên cứu khóa luận Khơng dừng đây, em muốn tìm hiểu ngồi phương thức giải tốn tay thường làm (đối với số ví dụ mang tính mẫu mực) liệu với cơng cụ máy tính (đối với ví dụ phức tạp, mà việc tính tốn tay khơng thể ) giải Có nhiều phần mềm hỗ trợ cho việc làm tốn Maple, Mathcad, Matlap bật ngơn ngữ Mathematica với ưu điểm vượt trội giao diện thân thiện, khả mô tả đồ thị siêu việt xử lý liệu Do em lựa chọn phần mềm Mathematica làm cơng cụ tìm kiếm lời giải cho tốn truyền nhiệt Và lý em chọn "Bài toán truyền nhiệt phương pháp ứng dụng phần mềm Mathematica giải tốn truyền nhiệt khơng gian chiều" làm đề tài cho khóa luận Song hành với ý nghĩa lý thuyết, đề tài cịn phát triển tính ứng dụng phần mềm Mathematica môi trường học tập sinh viên Và việc hoàn thiện đề tài hướng tới việc đáp ứng nhu cầu ngày cao học tập - thực nghiệm ứng dụng phần mềm mơn Tốn nói chung Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng nói riêng Bố cục khóa luận bao gồm chương phụ lục: • Chương 1: Bài tốn truyền nhiệt • Chương 2: Ứng dụng phần mềm Mathematica giải toán truyền nhiệt không gian chiều mô tả đồ thị nghiệm nhận ví dụ lệnh thực Mathematica Do thời gian thực khóa luận khơng nhiều, kiến thức cịn hạn chế nên làm khóa luận khơng tránh khỏi hạn chế sai sót nội dung lẫn hình thức Em mong nhận góp ý ý kiến phản biện quý thầy cô bạn đọc Em xin chân thành cảm ơn! Đà Nẵng, tháng 05 năm 2012 Sinh viên thực Tạ Thị Kim Biển Chương Bài toán truyền nhiệt 1.1 Phương trình khuếch tán Các trình phân bổ nhiệt độ khuếch tán hạt môi trường mơ tả phương trình khuếch tán sau đây: ρ ∂u = div(pgradu) − qu + F (x, t), ∂t (1.1) toán tử div gradu xác định bởi: n div(pgradu) = i=1 ∂ ∂u (p ) ∂xi ∂xi Ta cần xây dựng phương trình truyền nhiệt Kí hiệu u(x, t) nhiệt độ môi trường điểm x vào thời điểm t (x điểm không gian với số chiều hữu hạn tùy ý) Ta mặc định môi trường cho đẳng hướng kí hiệu ρ(x), c(x), k(x) mật độ, nhiệt dung riêng hệ số dẫn nhiệt điểm x F (x, t) cường độ nguồn nhiệt điểm x vào thời điểm t Ta coi lượng nhiệt cân thể tích V sau khoảng thời gian (t, t + ∆t) Kí hiệu S biên V n hướng truyền nhiệt S Theo định luật Furier qua mặt S vào V có lượng nhiệt truyền vào: Q1 = k S ∂u dS∆t = ∂n (kgradu, n)dS∆t, (1.2) S bằng, theo cơng thức Gauss–Osstragradxki: Q1 = div(kgradu)dx∆t (1.3) V Khi lượng nhiệt sinh V là: Q2 = F (x, t)dx∆t (1.4) V Khi nhiệt độ V sau khoảng thời gian (t, t + ∆t) là: ∂u ∆t ∂t u(x, t + ∆t) − u(x, t) Khi nhiệt độ cần thiết vật V thay đổi nhiệt độ là: Q3 = cρ V ∂u dx∆t ∂t (1.5) Nhưng Q3 = Q2 + Q1 , thế: [div(kgradu) + F − cρ V ∂u ]dx∆t = ∂t Do V lấy tùy ý nên ta nhận phương trình truyền nhiệt: cρ ∂u = div(kgradu) + F (x, t), ∂t (1.6) môi trường c, ρ, k số Khi (1.6) viết dạng: ∂u = a2 ∆u + f, ∂t với a = k cρ , f = F cρ , n ∆u = i=1 ∂2u ∂x2i (1.7) Khi phương trình (1.7) gọi phương trình truyền nhiệt 1.2 Bài tốn đầu cho phương trình truyền nhiệt Bài tốn đầu (hay cịn gọi tốn Cauchy) cho phương trình truyền nhiệt nằm việc xác định hàm u(x, t) ∈ C ((−∞, +∞) ⊗ (0, ∞)), thỏa mãn phương trình: ∂u 2∂ u −a = f (x, t), ∂t ∂x2 (1.8) u|t=0 = u0 (x) (1.9) điều kiện đầu: 1.3 Giá trị max nghiệm phương trình Định lý 1.3.1 Nếu hàm u(x, t) thỏa mãn phương trình truyền nhiệt ∂u 2∂ u −a = 0, ∂t ∂x2 (1.10) miền Gl,T = (−l, l)⊗(0, T ) liên tục Gl,T = [−l, l]⊗[0, T ], nhận giá trị lớn nhỏ phần biên Sl,T , cấu thành từ đoạn [−l, l] trục Ox đoạn {x = −l, ≤ t ≤ T } ∪ {x = l, ≤ t ≤ T } Chứng minh Kí hiệu M giá trị lớn u(x, t) Gl,T m giá trị lớn u(x, t) Sl,T (các giá trị hoàn toàn tồn mà u(x, t) liên tục Gl,T ) Nếu bất đẳng thức M > m xảy ra, tồn điểm (x0 , t0 ) cho u(x0 , t0 ) = M với x0 ∈ (−l, l) < t0 ≤ T Ta đưa vào hàm sau đây: v(x, t) = u(x, t) + M −m (x − x0 )2 24l tiến hành xem xét giá trị v(x, t) Sl,T : v|Sl,T ≤ m + M − m 5m = < M 6 Mặt khác v(x0 , t0 ) = u(x0 , t0 ) = M , hàm v(x, t) khơng nhận giá trị lớn Gl,T Sl,T Giả sử giá trị hàm v(x, t) đạt điểm (x1 , t1 ), với x1 ∈ (−l, l), < t1 ≤ T Điểm (x1 , t1 ) với t1 < T điểm cực đại địa phương hàm v(x, t) vậy: ∂ 2v ∂v ≤ 0; = ∂x2 ∂t Ngay t1 = T ; −l < x < l thì: ∂ 2v ∂v ≤ 0; ≥ ∂x2 ∂t Như điểm này: ∂v 2∂ v ( −a )|(x ,t ) ≥ ∂t ∂x2 1 Đồng thời: ∂v ∂u = , ∂t ∂t ∂ 2v ∂ 2u M − m = 2+ ∂x2 ∂x 12l2 Bởi thế: 2 ∂u ∂v 2∂ u 2∂ v 2M − m 2M − m ( −a )| = ( − a )| + a ≥ a > 0, (x ,t ) (x ,t ) ∂t ∂x2 1 ∂t ∂x2 1 12l2 12l2 phương trình (1.10) điểm (x1 , t1 ) không thỏa mãn Điều phi lý chứng tỏ M = m Tương tự ta chứng minh giá trị nhỏ hàm u(x, t) nhận Sl,T 1.4 Định lý nghiệm toán đầu Định lý 1.4.1 Nghiệm toán đầu lớp hàm hữu hạn với −∞ < x < ∞ t > Chứng minh Ta giả sử điều ngược lại: giả sử u1 (x, t) u2 (x, t) hai nghiệm hữu hạn khác tốn (1.23) - (1.24) Khi |u1 (x, t)| ≤ M ; |u2 (x, t)| ≤ M với −∞ < x < ∞; t > Xét hàm u(x, t) = u1 (x, t) − u2 (x, t), ta có: |u(x, t)| = |u1 (x, t) − u2 (x, t)| ≤ |u1 (x, t)| + |u2 (x, t)| ≤ 2M, chứng tỏ u(x, t) hữu hạn −∞ < x < ∞; t > thỏa mãn phương trình (1.10) (Do u1 (x, t)|t=0 = u0 (x), u2 (x, t)|t=0 = u0 (x) ⇒ u(x, t) = 0.) Tiếp theo ta sử dụng định lý giá trị lớn nhỏ cho nghiệm toán truyền nhiệt miền hữu hạn Gl,T : |x| ≤ l ≤ t ≤ T , l > T > Trong Gl,T ta đưa vào hàm: 4M x2 v(x, t) = ( + a2 t) l (1.11) Chứng tỏ v(x, t) nghiệm toán truyền nhiệt Thật vậy: ∂v 4M ∂ 2v 4M = a2 ; = ; ∂t l ∂x2 l2 ∂v 4M 2∂ v 4M −a = a − a = ∂t ∂x2 l2 l2 Mặt khác: 4M x2 v(x, t)|t=0 = ≥ 0; l 4M l2 4M l2 = 2M, v(x, t)|x=±l, t≥0 = ( + a t) ≥ l l v(x, 0) ≥ u(x, 0) v(±l, t) ≥ 2M ≥ u(±l, t) Áp dụng định lý giá trị lớn nhỏ cho hiệu hàm v(x, t) ±u(x, t) miền Gl,T , ta nhận được: v(x, 0) ≥ |u(x, 0)|, v(±l, t) ≥ |u(±l, t)| Khi Gl,T : |u(x, t)| < v(x, t) = 4M x2 ( + a2 t) l Bây ta cố định x = x0 , t = t0 > chọn (1.11) l đủ lớn, ta nhận |u(x0 , t0 )| ≤ ε với ε > Điều chứng tỏ u(x0 , t0 ) = Do cách chọn x0 ∈ (−∞, +∞) t0 > tùy ý nên ta suy u(x, t) = hay u1 (x, t) = u2 (x, t), t > 1.5 Nghiệm tổng quát tốn truyền nhiệt Xét phương trình sau đây: ∂u ∂ 2u − a2 = ∂t ∂x (1.12) Trước tiên ta tìm nghiệm riêng phương trình cho dạng: u(x, t) = X(x)T (t) 10 (1.13) Out[32] := 3t4 Nghiệm toán có dạng In[33] := u222[x− , t− ] = v0222[x, t] + v1222[x, t] Out[33] := 3t4 + e−t cos[x] Thực lệnh kiểm tra: In[34] := l[a222, f222[x1, t], u0222[x1], u222[x1,t] ] Out[34] := {0, 0} Để vẽ đồ thị nghiệm hàm trên, ta thực lệnh: 3t4 In[35] := Plot3D[ + e−t cos[x], {x, −5, 5}, {t, 0.1, 5}] Ta nhận đồ thị: Hình 2.2: Ví dụ 2.2.3 Quay trở lại ví dụ trình bày chương 1, ta thử so sánh khối lượng cơng việc tính tốn đáp số toán: ∂u ∂ u − = e−t ; u|t=0 = e−2x ∂t ∂x In[36] := f223[x− , t− ] = Exp[−t]; In[37] := u0223[x− ] = Exp[−2 ∗ x]; In[38] := a223 = 1; In[39] := v0223[x− , t− ] = vi[a223, u0223]; Out[39] := e4t−2x 32 In[40] := v1223[x− , t− ] = uio[a223, f223]; Out[40] := − e−t Như nghiệm toán viết dạng: In[41] := u223[x− , t− ] = v0223[x,t] + v1223[x,t]; Out[41] := − e−t + e4t−2x Kiểm tra: In[42] := l[a223, f223[x1, t], u0223[x1], u223[x1, t] ] Out[42] := {0, 0} Để vẽ đồ thị nghiệm hàm trên, ta thực lệnh: In[43] := Plot3D[1 − e−t + e4t−2x , {x, −5, 5}, {t, 0.1, 5}] Ta nhận đồ thị: Hình 2.3: Ví dụ 2.2.4 Tìm nghiệm tốn đầu sau (n = 1): ∂u ∂ u − = e−3t sinx; u|t=0 = sinx ∂t ∂x In[44] := f224[x− , t− ] = Exp[−3t] ∗ Sin[x]; In[45] := u0224[x− ] = Sin[x]; In[46] := a224 = 1; In[47] := v0224[x− , t− ] = vi[a224, u0224]; 33 Out[47] := e−t Sin[x] In[48] := v1224[x− , t− ] = uio[a224, f224]; Out[48] := 12 e−3t (−1 + e2t )Sin[x] Như nghiệm tốn tìm dạng: In[49] := u224[x− , t− ] = v0224[x,t] + v1224[x,t]; Out[49] := e−t Sin[x] + 12 e−3t (−1 + e2t )Sin[x] Thực lệnh kiểm tra: In[50] := l[a224, f224[x1, t], u0224[x1], u224[x1, t] ] Out[50] := {0, 0} Để vẽ đồ thị nghiệm hàm trên, ta thực lệnh: In[51] := Plot3D[e−t Sin[x]+ e−3t (−1+e2t )Sin[x], {x, −5, 5}, {t, 0.1, 5}] Ta nhận đồ thị: Hình 2.4: Ví dụ 2.2.5 Tìm nghiệm tốn đầu sau (n = 1): ∂u ∂ u − = t sin x; u|t=0 = e−x sin x ∂t ∂x In[52] := f225[x− , t− ] = In[53] := u0225[x− , t− ] = ∗ t ∗ Sin[x]; ∗ Exp[−x2 ] ∗ Sin[x]; In[54] := a225 = 13 ; 34 Thế vị nhiệt bề mặt tốn tìm hàm vi vo In[55] := v0225 → vi[ a225, u0225 ]; Out[55] := v0225 → −ie−x(i+x) (e t(i+2t)2 t(i−2x)2 9+4t +2ix −e 9+4t √ 9+4t In[56] := v0225 → vo[ a225,u0225 ]; (2t−9ix)2 (2t+9ix)2 8t2 −81x2 +36tx2 4t(9+4t) −36t−16t (2e Out[56] := v0225 → √ (ie − 2e 4t(9+4t) + 12 + 4t e (2t+9ix)2 4t(9+4t) Erf[ −2it − 9x t(9 + 4t) ] + ie (2t+9ix)2 4t(9+4t) Erfi[ 2t − 9ix t(9 + 4t) ])) Ta lựa chọn phương án đơn giản khơng chứa hàm Erf Erfi Rút gọn biểu thức cuối câu lệnh: In[57] := v0225[x, t] → ie −x(i+x) (e √−1 ComplexExpand[ 9+4t t(i−2x)2 9+4t +2ix −e t(i+2t)2 9+4t √ + 4t)] Ta nhận được: Out[57] := v0225 → − 6√11+t (−e −x2 + t(−1+4x 9+4t 2) 2) 4tx 4tx −x2 + t(−1+4x 9+4t cos[ ]sin[x] + e cos[2x − ]sin[x]+ + 4t + 4t 2) 4tx 4tx −x2 + t(−1+4x 9+4t e cos[x]sin[ ]−e cos[x]sin[2x − ]+ + 4t + 4t 2 4tx 4tx t(−1+4x ) t(−1+4x ) i(−e−x + 9+4t cos[x]cos[ ] + e−x + 9+4t cos[x]cos[2x − ]− + 4t + 4t 2 4tx 4tx t(−1+4x ) t(−1+4x ) e−x + 9+4t sin[x]sin[ ] + e−x + 9+4t sin[x]sin[2x − ])) + 4t + 4t −x2 + t(−1+4x 9+4t 2) Ta xác định vị nhiệt bề mặt: 35 In[58] := v0225[x− , t− ] = Simplify[PowerExpand[ − (−e−x + t(−1+4x 9+4t 2) cos[ √1 9+4t 4tx 4tx t(−1+4x ) ]sin[x] + e−x + 9+4t cos[2x − ]sin[x]+ + 4t + 4t 4tx 4tx t(−1+4x ) ] − e−x + 9+4t cos[x]sin[2x − ]+ + 4t + 4t 2) 2) 4tx 4tx −x2 + t(−1+4x −x2 + t(−1+4x 9+4t 9+4t ]+e ]− i(−e cos[x]cos[ cos[x]cos[2x − + 4t + 4t 2 4tx 4tx t(−1+4x ) t(−1+4x ) e−x + 9+4t sin[x]sin[ ] + e−x + 9+4t sin[x]sin[2x − ]))]] + 4t + 4t e−x + t(−1+4x 9+4t 2) cos[x]sin[ t+9x2 9x e −9−4t sin[ 9+4t ] √ Out[54] := + 4t Sử dụng hàm thực wio woi để so sánh việc tính tốn vị nhiệt thể tích: In[59] := wio[a225,f225] Out[59] := 19 e s−t s Sin[x] In[60] := woi[a225,f225] Out[60] := −s −ix (−1 ie 18 + e2ix )(s − t) Cũng sử dụng (cho vị nhiệt thể tích) hàm thực uio uoi: In[61] := uio[a225,f225] −t Out[61] := (−9 + 9e + t)sin[x] In[62] := uoi[a225,f225] t t Out[62] := − 12 ie− −ix (−1 + e2ix )(9 + e (−9 + t)) Ví dụ cho thấy việc tính tốn hàm uio ( wio) tỏ thích hợp chỗ khơng phải thực phép toán bổ sung việc rút gọn hàm số In[63] := v1225[x− , t− ] = uio[a225,f225] −t Out[63] := (−9 + 9e + t)sin[x] Cuối nghiệm toán cho biểu diễn dạng: 36 In[64] := u225[x− , t− ] = v0225[x,t] + v1225[x,t] t+9x2 Out[64] := (−9 + 9e −t + t)sin[x] + 9x e −9−4t sin[ 9+4t ] √ 9+4t In[65] := l[a225, f225[x1,t], u0225[x1], u225[x1,t] ] Out[65] := {0, 0} Để vẽ đồ thị nghiệm hàm trên, ta thực lệnh: t+9x2 9x ] e −9−4t sin[ 9+4t √ , {x, −5, 5}, {t, 0.1, 5}] In[66] := Plot3D[(−9+9e +t)sin[x]+ + 4t −t Ta nhận đồ thị: Hình 2.5: Ví dụ 2.2.6 Tìm nghiệm toán đầu sau (n = 1): x ∂u ∂ u x x −t −3t − 28 − 20 x − = 4(3e + e )e sin( ); u| = 12e cos( ) t=0 ∂t ∂x2 12 Bài toán cho có dạng sau đây: In[67] := f226[x− , t− ] = 4(3e−t + e−3t )Exp[−x/28] ∗ sin[x/12]; In[68] := u0226[x− ] = 12 ∗ Exp[− 20 ∗ x∧ 2] ∗ cos[x/4]; In[69] := a226 = √1 ; Để tìm vị nhiệt bề mặt ta sử dụng hai hàm thực vo vi: In[70] := vo[a226, u0226] 37 √ 5(t−6ix)2 5(t+6ix)2 −5t2 +90x2 −6tx2 8t(15+t) 16t(15+t) 15e (e + e 16t(15+t) ) √ Out[70] := 15 + t In[71] := vi[a226, u0226] √ − x(5i+x) t(5i−2x)2 t(5i+2x)2 + ix 80(15+t) 20 (3 15e (2(e + e 80(15+t) )− Out[71] := √ 15 + t e t(5i+2x)2 80(15+t) Erf[ −5i − 2x 5+ − ie t(5i+2x)2 80(15+t) Erfi 75 t − 2ix 5+ ])) 75 t Như trường hợp ta lựa chọn hàm thực thứ vo không chứa hàm đặc thù Erf Erfi Tiếp theo ta tiến hành rút gọn vo : In[72] := ”vo[a226, u0226]” → PowerExpand[Simplify [ComplexExpand[vo[a226, u0226]], t > 0]] √ 5(t2 −36x2 ) −5t2 +90x2 −6tx2 15x 12 15e 16t(15+t) + 8t(15+t) cos[ 4(15+t) ] √ Out[62] := vo[a226, u0226] → 15 + t Tiến hành giản ước biểu thức mũ hàm e: 5(t2 − 36x2 ) −5t2 + 90x2 − 6tx2 In[73] := FullSimplify[ + , t > 0, x ∈ Reals] 16t(15 + t) 8t(15 + t) 5t + 12x2 Out[73] := − 16(15 + t) Cuối ta nhận vị nhiệt bề mặt có dạng: √ 5t+12x2 15x 12 15e− 16(15+t) cos[ 4(15+t) ] √ In[74] := v0226[x− , t− ] = ; 15 + t 38 Để tìm vị nhiệt thể tích ta tiến hành tính tốn hai hàm thực woi wio: In[75] := woi[a226, f226] Out[75] := 2ies−3t+ (−20−21i)s−(378+882i)x 10584 is ix (e2s + 3e2t )(e 252 − e ) In[76] := wio[a226, f226] Out[76] := 2ie (−31732−21i)s−(20+21i)t−(378+882i)x 10584 it (1 + 3e2s )(e 252 − e 252 i(s+42x) ) Ta chọn tiến hành biến đổi phần thực phần ảo hàm woi: In[77] := woi → PowerExpand[ComplexExpand[woi[a226, f226 ]]] Out[77] := woi → −2e3s−3t+ 6es−t+ −20s−378x 10584 2e3s−3t+ 6es−t+ cos[ −20s−378x 10584 −20s−378x 10584 2e3s−3t+ 6es−t+ −20s−378x 10584 cos[ s −21s − 882x ]sin[ ]− 10584 252 s −21s − 882x ]sin[ ]− 10584 252 cos[ cos[ −20s−378x 10584 2e3s−3t+ −20s−378x 10584 s −21s − 882x ]sin[ ]− 252 10584 s −21s − 882x ]sin[ ]+ 252 10584 x −21s − 882x cos[ ]sin[ ]+ 10584 x −21s − 882x cos[ ]sin[ ]+ 10584 −20s−378x 10584 cos[ −21s − 882x x ]sin[ ]+ 10584 39 6es−t+ −20s−378x 10584 i(2e3s−3t+ 6es−t+ −20s−378x 10584 −20s−378x 10584 2e3s−3t+ 6es−t+ 2e3s−3t+ 6es−t+ −20s−378x 10584 −20s−378x 10584 −20s−378x 10584 2e3s−3t+ cos[ sin[ sin[ −20s−378x 10584 s −21s − 882x ]cos[ ]+ 252 10584 s −21s − 882x ]cos[ ]− 252 10584 cos[ −20s−378x 10584 −21s − 882x x ]sin[ ]+ 10584 cos[ cos[ −20s−378x 10584 6es−t+ cos[ x −21s − 882x ]cos[ ]− 10584 x −21s − 882x ]cos[ ]− 10584 s −21s − 882x ]sin[ ]− 252 10584 s −21s − 882x ]sin[ ]+ 252 10584 sin[ sin[ x −21s − 882x ]sin[ ]+ 10584 −21s − 882x x ]sin[ ]) 10584 Ta tìm biểu diễn phần ảo Im[woi]của biểu thức trên: In[78] := Im[woi] → FullSimplify[ −2e3s−3t+ 6es−t+ −20s−378x 10584 −20s−378x 10584 cos[ cos[ −21s − 882x s ]sin[ ]− 10584 252 −21s − 882x s ]sin[ ]− 10584 252 40 2e3s−3t+ 6es−t+ −20s−378x 10584 −20s−378x 10584 2e3s−3t+ 6es−t+ cos[ −20s−378x 10584 −20s−378x 10584 2e3s−3t+ cos[ s −21s − 882x ]sin[ ]− 252 10584 s −21s − 882x ]sin[ ]+ 252 10584 −21s − 882x x ]+ cos[ ]sin[ 10584 −21s − 882x x ]+ cos[ ]sin[ 10584 −20s−378x 10584 cos[ −21s − 882x x ]sin[ ]+ 10584 −21s − 882x x ]sin[ ], t > 0, x ∈ Reals] 10584 2641s x Out[78] := Im[w0i] → −4e 2646 −3t− 28 (e2s + 3e2t )sin[ (s − 42x)] 504 6es−t+ −20s−378x 10584 cos[ Ta tìm biểu diễn phần thực Re[woi]của biểu thức trên: In[79] := Re[woi] → Collect[ 2e3s−3t+ 6es−t+ −20s−378x 10584 −20s−378x 10584 2e3s−3t+ 6es−t+ 2e3s−3t+ cos[ cos[ −20s−378x 10584 −20s−378x 10584 −20s−378x 10584 s −21s − 882x ]cos[ ]+ 252 10584 s −21s − 882x ]cos[ ]− 252 10584 cos[ cos[ sin[ −21s − 882x x ]cos[ ]− 10584 −21s − 882x x ]cos[ ]− 10584 s −21s − 882x ]sin[ ]− 252 10584 41 6es−t+ −20s−378x 10584 2e3s−3t+ 6es−t+ −20s−378x 10584 sin[ sin[ −20s−378x 10584 s −21s − 882x ]sin[ ]+ 252 10584 sin[ −21s − 882x x ]sin[ ]+ 10584 −20s−378x −20s−378x x −21s − 882x ]sin[ ], {e3s−3t+ 10584 , es−t+ 10584 }] 10584 Out[79] := Re[woi] → 7933s x e 2646 −3t− 28 (2cos[ −2sin[ 2641s x s −21s − 882x −21s − 882x x ]sin[ ] + 2sin[ ]sin[ ])+ 252 10584 10584 e 2646 −t− 28 (6cos[ 6sin[ −21s − 882x −21s − 882x x s ]cos[ ] − 2cos[ ]cos[ ] 252 10584 10584 s −21s − 882x −21s − 882x x ]cos[ ] − 6cos[ ]cos[ ]− 252 10584 10584 s −21s − 882x −21s − 882x x ]sin[ ] + 6sin[ ]sin[ ]) 252 10584 10584 Như ta nhận biểu thức cho woi cách: 2641s x In[80] := woi[x− , s− , t− ] = −4e 2646 −3t− 28 (e2s +3e2t )sin[ 7933s (s−42x)]+ 504 x e 2646 −3t− 28 ∗ FullSimplify[ 2cos[ −2sin[ −21s − 882x −21s − 882x x s ]cos[ ] − 2cos[ ]cos[ ]− 252 10584 10584 s −21s − 882x −21s − 882x x ]sin[ ] + 2sin[ ]sin[ ], T rig ]+ 252 10584 10584 42 2641s x e 2646 −t− 28 ∗ FullSimplify[ 6cos[ −6sin[ −21s − 882x −21s − 882x x s ]cos[ ] − 6cos[ ]cos[ ]− 252 10584 10584 s −21s − 882x −21s − 882x x ]sin[ ] + 6sin[ ]sin[ ], T rig ] 252 10584 10584 2641s x Out[80] := −4e 2646 −3t− 28 (e2s + 3e2t )sin[ 504 (s − 42x)] Từ ta suy cơng thức vị nhiệt thể tích: In[81] := v1226[x− , t− ] = ints[woi[x,s,t]] Out[81] := ∗ 112370828449652305 x (42336e−3t− 28 (65779545972e7933t/2646 cos[ (t − 42x)]− 504 x ] − 4(8863140453616e7933t/2646 12 x sin[ (t − 42x)] + (885311194021 + 7977829259595e2t )sin[ ]))) 504 12 21(111598537 + 3020760795e2t )cos[ Cuối nghiệm tốn tìm dạng: In[82] := u226 [x− , t− ] = v0226[x,t] + v1226[x,t] √ 5t+12x2 15x 12 15e− 16(15+t) cos[ 4(15+t) √ Out[82] := + 112370828449652305 15 + t (t − 42x)]− 504 x 21(111598537 + 3020760795e2t )cos[ ]− 12 4(8863140453616e7933t/2646 sin[ (t − 42x)]+ 504 x (885311194021 + 7977829259595e2t )sin[ ]))) 12 x (42336e−3t− 28 (65779545972e7933t/2646 cos[ Kiểm tra: In[83] := l[a226, f226[x1,t], u0226[x1], u226[x1,t]] Out[83] := {0, 0} 43 Để vẽ đồ thị nghiệm hàm trên, ta thực lệnh: t+9x2 9x e −9−4t sin[ 9+4t ] √ In[84] := Plot3D[(−9+9e +t)sin[x]+ , {x, −5, 5}, {t, 0.1, 5}] + 4t −t Ta nhận đồ thị: Hình 2.6: 44 Kết luận Đề tài "Bài toán truyền nhiệt ứng dụng phần mềm Mathematica giải toán truyền nhiệt không gian chiều" thực số vấn đề sau đây: • Tìm hiểu tốn truyền nhiệt Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng • Sử dụng phần mềm Mathematica để giải tốn truyền nhiệt trường hợp n=1 • Có thể sử dụng đề tài tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành Toán đối tượng có chuyên ngành liên quan 45 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Minh Chương Phương trình đạo hàm riêng Nxb Giáo dục 2001 [2] Nguyễn Thừa Hợp Giáo trình phương trình đạo hàm riêng Hà Nội Đại học Quốc gia, 2001 [3] Nguyễn Mạnh Hùng Phương trình đạo hàm riêng Nhà xuất Đại học Sư phạm 2009 [4] Lê Hải Trung, Lê Văn Dũng, Huỳnh Thị Thúy Phượng Về tốn truyền nhiệt mơi trường Mathematica TCKH & CN Đại học Đà Nẵng 2011 [5] Lê Hải Trung, Huỳnh Thị Thúy Phượng, Nguyễn Văn Hiệu Ứng dụng phần mềm Mathematica cho lời giải toán truyền nhiệt không gian hai chiều TCKH & CN Đại học Đà Nẵng 2011 [6] Lê Hải Trung, Lê Văn Dũng Ứng dụng phần mềm Mathematica cho toán truyền nhiệt Đề tài NCKH – MS: Đ2011 – 03 – 07 2011 46 ... tài "Bài toán truyền nhiệt ứng dụng phần mềm Mathematica giải toán truyền nhiệt không gian chiều" thực số vấn đề sau đây: • Tìm hiểu tốn truyền nhiệt Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng • Sử dụng. .. Mathematica làm công cụ tìm kiếm lời giải cho tốn truyền nhiệt Và lý em chọn "Bài tốn truyền nhiệt phương pháp ứng dụng phần mềm Mathematica giải tốn truyền nhiệt khơng gian chiều" làm đề tài cho khóa... thuyết phương trình đạo hàm riêng nói riêng Bố cục khóa luận bao gồm chương phụ lục: • Chương 1: Bài tốn truyền nhiệt • Chương 2: Ứng dụng phần mềm Mathematica giải tốn truyền nhiệt khơng gian chiều