BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN CƠNG NGUN PHÉP TỐN GẦN KỀ TRONG KHÔNG GIAN HILBERT VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN CƠNG NGUN PHÉP TỐN GẦN KỀ TRONG KHƠNG GIAN HILBERT VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học PGS.TS Nguyễn Năng Tâm Hà Nội, 2018 Lời cảm ơn Tác giả xin chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Năng Tâm, thầy hướng dẫn tận tình, chu tác giả hoàn thành luận văn cách tốt Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy giáo Khoa Tốn, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, tận tình trang bị kiến thức, giúp đỡ tác giả trình học tập nghiên cứu, giúp tác giả hoàn thành luận văn cách thuận lợi Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp động viên, cổ vũ, tạo điều kiện tốt để tác giả hoàn thành khóa học Hà Nội, tháng năm 2018 Tác giả Nguyễn Công Nguyên i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, luận văn thạc sĩ chuyên ngành Tốn giải tích với đề tài "Phép tốn gần kề khơng gian Hilbert ứng dụng" hồn thành hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Năng Tâm nhận thức thân tác giả Trong suốt trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2018 Tác giả Nguyễn Công Nguyên ii Mục lục Lời cảm ơn i Lời cam đoan ii Một số kí hiệu thường dùng Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Hilbert 1.2 Tập lồi, hàm lồi 1.3 Một số đạo hàm cổ điển 12 Chương Phép toán gần kề 17 2.1 Điểm gần nón pháp gần kề 17 2.2 Dưới gradient gần kề 21 2.3 Định lý trù mật nguyên lý cực tiểu 27 2.3.1 Định lý trù mật 27 2.3.2 Nguyên lý cực tiểu 32 2.4 Hàm chập toàn phương, hàm khoảng cách hàm Lipschitz 33 2.4.1 Hàm chập toàn phương 33 2.4.2 Hàm khoảng cách 38 2.4.3 Hàm Lipschitz 42 2.5 Quy tắc cộng gradient giới hạn gần kề 47 2.5.1 Quy tắc cộng 47 2.5.2 Dưới gradient giới hạn gần kề 53 Chương Ứng dụng 56 3.1 Bài tốn tối ưu với ràng buộc tập đóng 56 3.2 Bài toán tối ưu với ràng buộc đẳng thức 59 3.3 Bài toán tối ưu với ràng buộc bất đẳng thức 65 Kết luận 68 Tài liệu tham khảo 69 Một số kí hiệu thường dùng projS (x) phép chiếu điểm x lên tập S; dS (x) khoảng cách từ điểm x tới tập S; NSP (x) nón pháp tuyến gần kề x S; ∂P f (x) gradient gần kề f x; domf miền xác định hàm f ; epif tập đồ thị hàm f ; F(U ) tập tất hàm f : U → (−∞, ∞] nửa liên tục không đồng +∞; ∂L f (x) gradient giới hạn gần kề; NS (x) nón pháp tuyến S điểm x; NSL (x) nón pháp tuyến giới hạn f x; f (x; v) đạo hàm theo hướng v hàm f điểm x; fG (x) đạo hàm Gâteaux f điểm x; f (x) đạo hàm Fréchet f x; IS (·) hàm tập S; ∇f (x) vectơ gradient f x; L(X, Y ) tập tất toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y ; Mở đầu Lý chọn đề tài Giải tích biến phân phận toán học, hình thành phát triển nhằm trang bị cơng cụ để nghiên cứu toán tối ưu vấn đề có liên quan Một mặt, toán tối ưu thường xuyên xuất khoa học ứng dụng Mặt khác, giải vấn đề dựa vào tối ưu phương pháp hiệu tốn học Điều làm cho giải tích biến phân trở thành lĩnh vực đáng quan tâm xét theo góc độ lý thuyết lẫn góc độ ứng dụng Phép toán gần kề phận Giải tích biến phân có nhiều ứng dụng lý thuyết thực tiễn Việc nghiên cứu Phép toán gần kề ứng dụng chủ đề nhiều tác giả ngồi nước quan tâm Vì vậy, sau học nghiên cứu kiến thức Toán giải tích, với mong muốn tìm hiểu sâu kiến thức học ứng dụng chúng, định hướng thầy hướng dẫn, chọn đề tài nghiên cứu: “Phép tốn gần kề khơng gian Hilbert ứng dụng” để thực luận văn tốt nghiệp chương trình đào tạo Thạc sĩ chuyên ngành Tốn giải tích 2 Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu Phép tốn gần kề ứng dụng Qua thấy tầm quan trọng kiến thức học ứng dụng chúng Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu nghiên cứu Phép tốn gần kề ứng dụng Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Phép tốn gần kề ứng dụng Phạm vi nghiên cứu: Trong không gian Hilbert Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp Giải tích hàm, Giải tích khơng trơn Lý thuyết tối ưu Thu thập tài liệu để nghiên cứu, phân tích tổng hợp để giải vấn đề luận văn đề cập tới Dự kiến đóng góp luận văn Dựa tài liệu [5], luận văn trình bày cách có hệ thống phép tốn gần kề khơng gian Hilbert số ứng dụng tốn tối ưu có ràng buộc Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, nhắc lại số kết dùng cho chương sau Cụ thể, phần đầu chương nhắc lại số kiến thức không gian Hilbert giải tích lồi Phần sau đó, chúng tơi nhắc lại số khái niệm đạo hàm kết liên quan Nội dung chương trích dẫn chủ yếu từ tài liệu tham khảo [1, 2, 3] 1.1 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.1 ([3]) Cho H không gian vectơ trường R Ta gọi tích vơ hướng xác định H ánh xạ xác định sau: ·, · : H × H −→ R (x, y) −→ x, y thỏa mãn điều kiện sau đây: a) x, y = y, x với x, y ∈ H; b) x + y, z = x, z + y, z với x, y, z ∈ H; c) λx, y = λ x, y với x, y ∈ H, λ ∈ R; d) x, x ≥ với x ∈ H x, x = x = Số x, y gọi tích vơ hướng hai vectơ x y Cặp (H, ·, · ) gọi không gian tiền Hilbert Kết luận chương Trong chương chúng tơi trình bày số niệm tính chất phép tốn gần kề khơng gian Hilbert Các nội dung chương bao gồm: • Các khái niệm điểm gần nhất, nón pháp tuyến gần kề, vi phân gần kề; • Các quy tắc tính tốn phép tốn gần kề; • Các định lý trù mật, hàm khoảng cách, hàm chập toàn phương hàm Lipschitz 55 Chương Ứng dụng Trong mục này, chúng tơi trình bày số ứng dụng vi phân gần kề tốn tối ưu có ràng buộc Nội dung chủ yếu tham khảo từ mục chương chương tài liệu [5] 3.1 Bài toán tối ưu với ràng buộc tập đóng Xét toán tối ưu ràng buộc sau f (x), x∈S (3.1) f ∈ F hàm cho trước S tập đóng cho trước Phương pháp ta sử dụng chuyển toán tối ưu ràng buộc (3.1) toán tối ưu không ràng buộc f (x) + KdS (x) (3.2) dS hàm khoảng cách S K hệ số Lipschitz hàm khoảng cách dS Khi đó, điều kiện phù hợp ràng buộc loại bỏ với K đủ lớn Nhưng đổi lại, hàm khoảng cách khơng khả vi điểm biên S nên ta phải làm việc với toán thu toán tối ưu khơng trơn tốn gốc có f S trơn Ta có kết sau Định lí 3.1 ([5, tr 50]) Giả sử S tập đóng X, f hàm 56 Lipschitz có hệ số Lipschitz K tập U mở chứa S Giả sử s ∈ S nghiệm (3.1) Khi hàm x → f (x) + KdS (x) đạt giá trị nhỏ U x = s, tức x nghiệm toán (3.2) Ngược lại, K > K x → f (x) + K dS (x) đạt nhỏ U x = s, s thuộc S nghiệm (3.1) Chứng minh Giả sử x ∈ U > Cho s ∈ S cho x−s ≤ dS (x) + Vì f cực tiểu S s sử dụng tính chất Lipschitz f , ta có f (s) ≤ f (s ) ≤ f (x) + K s − x ≤ f (x) + KdS (x) + K Cho → ta thấy f + KdS đạt cực tiểu U x = s Để chứng minh điều ngược lại, giả sử K > K điểm s ∈ / S làm cực tiểu hàm f + K dS U Khi đó, chọn s ∈ S cho s −s < K dS (s) K Vì f Lipschitz hạng K, nên ta có f (s ) ≤ f (s) + K s − s Ta giả sử s làm cực tiểu x → f (x) + K dS (x) U , s ∈ S ⊂ U , nên ta kết luận f (s) + K dS s ≤ f (s ) ≤ f (s) + K s − s < f (s) + K dS (s), 57 điều mâu thuẫn Vì s ∈ S s nghiệm (3.1) Mệnh đề chứng minh Nhờ định lý ta có đặc trưng sau nón pháp tuyến gần kề tập S s Định lí 3.2 ([5, tr 51]) Giả sử S đóng s ∈ S Khi NSP (s) = {tζ : t ≥ 0, ζ ∈ ∂P dS (s)} Chứng minh Giả sử ζ ∈ NSP (s) Theo bất đẳng thức pháp tuyến gần kề, tồn σ > cho ζ, s − s ≤ σ s − s với s ∈ S Khi hàm x → −lζ, x + σ x − s (3.3) thuộc C đạt giá trị nhỏ S x = s Vì hàm Lipschitz địa phương, nên từ Mệnh đề 3.1 với số K đó, hàm x → − ζ, x + σ x − s + KdS (x) có cực tiểu địa phương x = s Suy ζ/K ∈ ∂P dS (s) Để chứng minh chiều ngược lại, giả sử ζ ∈ ∂P dS (s) Theo bất đẳng thức gradient gần kề, tồn số σ cho dS (x) − ζ, x − s + σ x − s ≥ dS (s) = với x gần s Đặc biệt, tồn δ > cho (3.3) thỏa mãn với s ∈ S ∩ {s + δB}, điều tương đương với ζ ∈ NSP (s) Hơn nữa, NSP (s) nón nên ta có điều phải chứng minh 58 3.2 Bài toán tối ưu với ràng buộc đẳng thức Xét toán tối ưu ràng buộc sau f (x) với ràng buộc h(x) = 0, (3.4) f : Rn → R h : Rn → Rm hàm cho trước Bài tốn tối ưu ràng buộc đưa toán tối ưu với họ ràng buộc P (α) với tham số α ∈ Rm sau: f (x) với ràng buộc h(x) + α = (3.5) Khi đó, hàm giá trị V (·) liên kết với toán (3.5) hàm có giá trị α cực tiểu (hoặc cận đúng) toán (3.5), nghĩa V (α) := inf{f (x) : h(x) + α = 0} Trong trường hợp tổng quát, hàm V nhận giá trị [−∞, ∞], V nhận giá trị +∞ ứng với trường hợp tập chấp nhận toán (3.5) rỗng, tức tập Φ(α) := {x ∈ Rn : h(x) + α = 0} = ∅ Từ định nghĩa V, ta thấy với x ∈ Rn , ta có f (x) ≥ V (−h(x))) Nếu (α) kí hiệu tập nghiệm (có thể rỗng) toán (3.5), tức tập hợp x ∈ Φ(α) cho V (α) = f (x)), đẳng thức thỏa mãn với x0 ∈ (0) Do đó, V (0) tồn tại, ta có f (x0 ) + ∇V (0)∗ h (x0 ) = 0, 59 đẳng thức gọi quy tắc nhân tử Lagrange Ở đây, h (x0 ) ma trận Jacobi cỡ m × n h, ∇V gradient V ∇V phần tử Rm ; V (0)∗ chuyển vị ma trận V (0) Từ Định lý 2.1 bất đẳng thức gradient gần kề khẳng định rằng, với σ ≥ 0, với α đủ gần 0, ta có V (α) − V (0) + σ α Cho trước x0 ∈ ≥ ζ, α (3.6) (0) thỏa mãn f (x0 ) = V (0) Nếu x gần x0 , h(x) gần với h(x0 ) = 0, đó, chọn α = −h(x) f (x) ≥ V (−h(x)) Thay vào bất đẳng thức (3.6), ta có f (x) + ζ, h(x) + σ h(x) ≥ f (x0 ), bất đẳng thức với x gần x0 , hay nói cách khác, hàm x → f (x) + ζ, h(x) + σ h(x) đạt cực tiểu địa phương x = x0 f (x0 ) + ζ ∗ h (x0 ) = Bây giờ, tương nhự trên, ta khôi phục quy tắc nhân tử Lagrange cách thay V (0) phần tử ζ ∂P V (0) Khi khó khăn xuất ∂P V (0) = ∅ ta khơng thể chọn ζ ∈ ∂P V (0) Tuy nhiên, khó khăn khắc phục cách sử dụng Định lý trù mật mục trước để tìm điểm αi gần mà tại ∂P V (αi ) = ∅, cho qua giới hạn αi → Cách tiếp cận đòi hỏi V (·) nửa liên tục dưới, mà khơng u cầu tính khả vi V Đổi 60 lại ta cần giả thiết sau độ tăng trưởng hàm f Với r, s ∈ R, tập hợp {x ∈ Rn : f (x) ≥ r, h(x) ≤ s} bị chặn (G) Khi ta có kết sau Mệnh đề 3.1 ([5, tr 105]) Nếu điều kiện tăng trưởng (G) đúng, ta có: (a) V (α) < ∞ Φ(α) = ∅, (α) khác rỗng; (b) V : Rm → (−∞, ∞] nửa liên tục dưới, V ∈ F(Rm ) V hữu hạn hầu khắp nơi Để đạt tính giải tốn (3.5), ta sử dụng định lý nhờ định lý ta thu điều kiện cần tính giải Định lí 3.3 ([5, tr 105]) Cho f, h C , giả sử điều kiện (G) thỏa mãn V (0) < +∞ Khi tồn dãy {αi } hội tụ tới 0, với V (αi ) → V (0), điểm ζi ∈ ∂P V (αi ), xi ∈ (αi ), cho f (xi )) + ζi∗ h (xi ) = 0, i = 1, 2, Chứng minh Từ Định lý 2.2 suy tồn dãy {αi } cho αi → 0, V (αi ) → V (0), ∂P V (αi ) = ∅ Chọn ζi ∈ ∂P V (αi ) xi ∈ (αi ), tập khác rỗng Mệnh đề 3.1 Khi đó, áp dụng bất đẳng gradient gần kề cho V αi , ta có f (x) + ζi , h(x) + σi h(x) − h(xi ) ≥ f (xi ) + ζi , αi với x gần xi Lấy đạo hàm cho đạo hàm suy điều phải chứng minh 61 Tiếp theo, ta định nghĩa tập nhân tử M (x) tương ứng với x tập M (x) := {ζ ∈ Rm : f (x) + ζ ∗ h (x) = 0} Khi đó, giả thuyết Định lý 3.3 ta có hệ sau Hệ 3.1 ([5, tr 106]) Giả sử với x ∈ (0), ma trận Jacobi h (x) có hạng cực đại Khi V (·) Lipschitz gần 0, ta có ∅ = ∂L V (0) ⊂ M (x) x∈ (0) Chứng minh Xét {xi } dãy Định lý 3.3, nhờ điều kiện f (xi ) → V (0), h(xi ) = αi → 0, theo điều kiện tăng trưởng (G), dãy {xi } bị chặn Do đó, ta trích dãy mã kí hiệu {xi } hội tụ tới x0 Từ tính liên tục f h suy f (x0 ) = V (0), h(x0 ) = 0, x0 ∈ (0) Ta trích dãy {ζi } cho ζi → ∞ ζi → ζ0 ∈ Rm Nếu ζi → ∞, ta chia cho ζi phương trình f (xi ) + ζi∗ h (xi ) = 0, hội tụ đến λ ∈ Rm \ {0}, và lại lấy dãy cho ζi / ζi λ∗ h (x0 ) = 0, điều mâu thuẫn với giả thiết hạng cực đại h (x0 ) Do {ζi } phải bị chặn, dãy gradient gần kề tùy ý có V (αi ) → V (0), từ suy với > K > đó, với α ∈ B(0, ) mà |V (α)−V (0)| < với ζ ∈ ∂P V (α), ta có ζ ≤ K Hay V Lipschitz lân cận Hơn nữa, với ζ0 ∈ ∂L V (0) giới hạn dãy ζi trên, nên với dãy này, ta có f (xi ) + ζi∗ h (xi ) = 62 Qua giới hạn ta thấy ζ0 ∈ M (x0 ) Hệ chứng minh Tiếp theo ta nới lỏng giả thiết trơn f h Như chứng minh Hệ 3.1, ta thấy ta mở rộng cho trường hợp f, g khơng trơn đủ để qua giới hạn ∈ ∂P {f (·) + ζi , h(·) }(xi ) Từ Mệnh đề 2.12 ta có mệnh đề sau Mệnh đề 3.2 ([5, tr 107]) Giả sử θ : Rn → Rk Lipschitz địa phương, cho {λi } ⊂ Rk {xi } ⊂ Rn dãy tương ứng hội tụ tới λ x Khi đó, ∈ ∂L { λi , θ (·)}(xi ) với i, ∈ ∂L { λ, θ (·)}(x) Khác với trường hợp f, g trơn, trường hợp không trơn, ta định nghĩa lại tập M (x) sau, đặt M (x) = {ζ ∈ Rm : ∈ ∂L {f (·) + ζ, h(·) }(x)} Khi đó, ta nói x chuẩn tắc (normal) ∈ ∂L ζ, h(·) (x) kéo theo ζ = 0, lưu ý điều tương đương với hạng h (x) cực đại h C Trái lại, ta gọi x không chuẩn tắc (abnormal) Định lí 3.4 ([5, tr 107]) Cho f h Lipschitz địa phương, giả thiết tăng trưởng (G) thỏa mãn Giả sử V (0) < ∞, với x∈ (0) chuẩn tắc Khi V (·) Lipschitz gần 0, ∅ = ∂L V (0) ⊂ M (x) x∈ (0) Kết sau rằng, giả thiết chuẩn tắc loại bỏ, cụ thể ta có 63 Định lí 3.5 ([5, tr 107]) Cho x0 nghiệm toán (3.5) với α = 0., Giả sử f h hàm Lipschitz địa phương giả thiết tăng trưởng (G) Khi tồn (λ0, ζ) ∈ R × Rm với (λ0 , ζ) = (0, 0) λ0 hoặc 1, cho ∈ ∂L {λ0 f (·) + ζ, h(·) }(x0 ) Từ Định lý 3.4 cho ta thông tin tính giải tốn (3.5) sau: V (·) Lipschitz gần 0, V (α) hữu hạn với α gần 0, đó, tập chấp nhận Φ(α) khác rỗng α gần Tức là, α gần phương trình h(x) = −α có nghiệm Định lí 3.6 ([5, tr 108]) Cho f h Lipschitz địa phương Giả sử x0 điểm chuẩn tắc thỏa mãn h(x0 ) = Khi đó, với số K > 0, với α đủ gần 0, phương trình h(x) + α = có nghiệm xα thỏa mãn xα − x0 ≥ K α Chứng minh Xét toán (3.5) cực tiểu phiếm hàm x − x0 với ràng buộc h(x) + α = Rõ ràng x0 nghiệm (3.5) với α = 0, giả thiết tăng trưởng thỏa mãn Nên áp dụng Định lý 3.4, cho K số Lipschitz, V (·) lân cận B(0; ) Khi đó, α < xα nghiệm (3.5), ta có h(xα ) + α = xα − x0 = V (α) ≥ V (0) + K α = K α Định lý chứng minh 64 3.3 Bài toán tối ưu với ràng buộc bất đẳng thức Trong mục ta xét toán tối ưu với ràng buộc bất đẳng thức Cụ thể, ta xét toán f (x) với ràng buộc g(x) ≤ 0, (3.7) g : Rn → R hàm Lipschitz địa phương Định nghĩa P (β): g(x) + β ≤ 0, xét toán nhiễu tương ứng f (x) với ràng buộc g(x) + β ≤ 0, (3.8) Kí hiệu tập chấp nhận (3.8) tập Φ(β), tập nghiệm (β), hàm giá trị V (β) Tương như giả thiết (G), ta cần giả thiết tăng trưởng: Tập {x : f (x) ≤ r, g(x) ≤ s} bị chặn với r s ∈ R (IG) Khác với trường hợp ràng buộc đẳng thức mục trước ta phân tích bất đẳng thức gradient gần kề cho hàm V Ở đây, ta thấy với γ ∈ ∂P V (0), với x0 ∈ (0) Khi đó, tương tự trước ta có V (β) − V (0) + σ|β|2 ≥ γ, β = γβ với β gần Lưu ý hàm V không giảm nên V (β) ≤ V (0) với β ≤ 0, γ, β ≤ σ|β|2 với β ≤ nhỏ Suy γ ≥ Bây giờ, ta giả sử g(x0 ) < 0, suy V (β) = V (0) với β ∈ [g(x0 ), 0], bất đẳng thức gradient gần kề cho ta γ, β ≤ σ|β|2 với β gần 0, γ = Tóm lại, ta γ = g(x0 ) = 0, γg(x0 ) = 65 Nếu g(x0 ) < 0, x0 cực tiểu địa phương f ∈ ∂L f (x0 ) Ngược lại, ta thay β = −g(x) vào bất đẳng thức gradient gần kề, với x gần x0 Nhờ vậy, ta có f (x) + σ|g(x)|2 + γg(x) ≥ f (x0 ), dấu xảy x = x0 Suy ∈ ∂L {f (·) + γg(·)}(x0 ) Tiếp theo, ta định nghĩa nhân tử Lagrange tập M (x) = {γ ≥ : γg(x) = ∈ ∂L {f (·) + γg(·)}(x)} Điểm x thỏa mãn g(x) ≤ gọi chuẩn tắc γ ≥ 0, γg(x) = 0, ∈ ∂L {γg(·)}(x) =⇒ γ = Tương tự Định lý 3.4 ta có kết sau Định lí 3.7 ([5, tr 109]) Với f , g trên, giả sử V (0) < ∞, với x ∈ (0) chuẩn tắc Khi V (·) Lipschitz gần ∅ = ∂L V (0) ⊂ M (x) x∈ (0) Tương tự điều kiện cần tối ưu Định lý 3.5 tính giải Định lý 3.6 ta có kết sau cho trường hợp ràng buộc bất đẳng thức Định lí 3.8 ([5, tr 110]) Cho x0 nghiệm toán (3.7) với β = Giả sử f, g hàm Lipschitz địa phương điều kiện tăng trưởng (IG) Khi đó, tồn (λ0 , γ) = (0, 0) với λ0 γ ≥ cho γg(x0 ) = ∈ ∂L {λ0 f (·) + γg(·)}(x0 ) 66 Định lí 3.9 ([5, tr 110]) Cho f, g hàm Lipschitz địa phương Giả sử x0 điểm chuẩn tắc thỏa mãn g(x0 ) ≤ Khi với K > đó, với β đủ gần 0, bất đẳng thức g(x) + β ≤ có nghiệm xβ thỏa mãn xβ − x0 ≤ K max{0, β} Kết luận chương Trong chương chúng tơi trình bày số ứng dụng phép toán gần kề vào nghiên cứu số tốn tối ưu có ràng buộc Các kết chương bao gồm: • Nếu ràng buộc tập đóng tốn tối ưu với ràng buộc tập S chuyển tốn tối ưu khơng có ràng buộc (xem Định lý 3.1); • Nếu ràng buộc tốn đẳng thức tính giải thu qua Định lý 3.6; • Nếu ràng buộc bất đẳng thức tính giải tốn tối ưu trình bày Định lý 3.9 67 Kết luận Luận văn trình bày vấn đề sau: Trình bày số nội dung giải tích lồi khơng gian Hilbert số khái niệm đạo hàm Trình bày nội dung Phép toán gần kề Cụ thể khái niệm điểm gần nón pháp gần kề khơng gian Hilbert, gradient gần kề kết liên quan Ngồi trình bày định lý trù mật, nguyên lý cực tiểu, hàm khoảng cách, hàm Lipschitz quy tắc cộng gradient gần kề gradient giới hạn gần kề Trình bày số ứng dụng Phép toán gần kề nghiên cứu tính giải tốn tối ưu có ràng buộc Dựa tài liệu [5], luận văn dừng lại mức độ trình bày xếp lại cách có hệ thống nội dung phép toán gần kề khơng gian Hilbert Luận văn trình bày số ứng dụng phép toán gần kề vào giải toán tối ưu ràng buộc Các nội dung mở rộng sang cho không gian Banach tổng quát (xem [5, Chapter 2]) Xin chân thành cảm ơn! 68 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Đỗ Văn Lưu Phan Huy Khải (2000), “Giải tích lồi”, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật Hà Nội [2] Lê Dũng Mưu Nguyễn Văn Hiền (2000), “Nhập mơn giải tích ứng dụng”, Nhà xuất Khoa học tự nhiên công nghệ [B] Tài liệu tiếng Anh [3] Heinz H Bauschke and Patrick L Combettes (2011), " Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Space", Springer [4] M Bounkhel (2012), "Regularity Concepts in Nonsmooth Analysis”, Springer [5] F H Clarke, Yu S Ledyaev , R J Stern and P R Wolenski (1998), ”Nonsmooth Analysis and Control Theory”, Springer-Verlag, New York, Inc [6] F H Clarke (1983), ”Optimization and Nonsmooth Analysis”, Wiley- Interscience, New York 69 ... đích nghiên cứu Nghiên cứu Phép toán gần kề ứng dụng Qua thấy tầm quan trọng kiến thức học ứng dụng chúng Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu nghiên cứu Phép toán gần kề ứng dụng Đối tượng phạm vi nghiên... tổng hợp để giải vấn đề luận văn đề cập tới Dự kiến đóng góp luận văn Dựa tài liệu [5], luận văn trình bày cách có hệ thống phép tốn gần kề không gian Hilbert số ứng dụng tốn tối ưu có ràng buộc...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN CƠNG NGUN PHÉP TỐN GẦN KỀ TRONG KHÔNG GIAN HILBERT VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn giải