Câu Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau: f ( x) + f ( x) +1 có tổng số tất đường tiệm cận đứng f ( x) − Đồ thị hàm số y = g ( x ) = đường tiệm cận ngang A B C D Lời giải Chọn C g ( x ) = lim Ta có xlim →−∞ x →−∞ 1+ 2 + 1+ + f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) = lim g ( x ) = lim = x →−∞ x →−∞ 9 1− 1− f ( x) f ( x) Suy đường thẳng y = tiệm cận ngang đồ thị y = g ( x ) ( f ( x ) + 1) y = g ( x) = ( f ( x ) − 3) ( f ( x ) + ) x =  Dựa vào BBT ta có f ( x ) = ⇔  x = a < −1  x = b > ( f ( x ) + 1) lim g ( x ) = lim = −∞ suy đường thẳng ( f ( x ) − 3) ( f ( x ) + ) Với x > ⇒ f ( x ) < , x →0+ x → 0+ x=0 tiệm cận đứng ( f ( x ) + 1) lim g ( x ) = lim = −∞ ( f ( x ) − 3) ( f ( x ) + 3) Với x > a ⇒ f ( x ) < , x →a + x →a+ suy đường thẳng x = a tiệm cận đứng ( f ( x ) + 1) x > b ⇒ f ( x ) > , lim g ( x ) = lim = +∞ ( f ( x ) − ) ( f ( x ) + 3) Với x →b + x →a+ tiệm cận đứng x = c ,0 < c < Dựa vào BBT ta có f ( x ) = −3 ⇔  x = d , d > suy đường thẳng x = b ( f ( x ) + 1) lim g ( x ) = lim = +∞ ( f ( x ) − 3) ( f ( x ) + 3) Với x > c ⇒ f ( x ) < −3 , x →c + x →c + suy đường thẳng x = c tiệm cận đứng ( f ( x ) + 1) lim g ( x ) = lim = +∞ ( f ( x ) − 3) ( f ( x ) + 3) Với x > d ⇒ f ( x ) > −3 , x →c + x →c + suy đường thẳng x = d tiệm cận đứng Vậy tổng số đường tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị y = g ( x ) Dạng 8: Biết BBT hàm số y = f ( x ) , tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = g ( x ) , toán tham số Câu Cho hàm số y = f ( x ) bảng biến thiên sau: Số giá trị m ∈ ¢ , m ∈ [ −10;10] để đồ thị hàm số y = g ( x ) = f ( x) có đường tiệm cận f ( x) − m +1 là: A B C 10 D 21 Lời giải Chọn A g ( x ) = lim + Ta có xlim →−∞ x →−∞ lim g ( x ) = lim x →+∞ x →+∞ f ( x) = f ( x) − m +1 − m f ( x) = f ( x) − m +1 − m - Xét với m = đồ thị hàm số y = g ( x) nhận đường thẳng có phương trình y = − TCN Khi phương trình: f ( x ) = m − = có nghiệm phân biệt ⇒ ĐTHS có TCĐ ⇒ ĐTHS có đường tiệm cận ⇒ m = (không thỏa mãn) - Xét m = ⇒ ĐTHS y = g ( x ) nhận đường thẳng có phương trình y = TCN Khi phương trình: f ( x ) = m − = có nghiệm ⇒ ĐTHS có TCĐ ⇒ ĐTHS có đường tiệm cận ⇒ m = (không thỏa mãn) - Với m ≠ m ≠ đồ thị hàm số y = g ( x ) nhận đường thẳng có phương trình y= ; y= TCN 6−m 3− m Xét phương trình: f ( x ) − m + = ⇔ f ( x ) = m − ( *) Để ĐTHS y = g ( x ) có đường tiệm cận ( *) có nghiệm phân biệt ⇒ m ∈ ( 2;3) U{ 4} U [ 6; + ∞ ) Do ĐK nên m ∈ ( 2;3) U{ 4} U ( 6; + ∞ ) Vậy m ∈ ( 2;3) U{ 4} U ( 6; + ∞ ) m ∈ ¢ , m ∈ [ −10;10] nên m ∈ { 4;7;8;9;10} Câu Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau Hỏi có giá trị nguyên m để đồ thị hàm số y = g ( x ) = f ( x) có tiệm f ( x) − m cận đứng A B C D Lời giải Chọn B Ta có: lim− g ( x ) = lim− x →2 x→2 f ( x) = +∞ nên ∀m , đồ thị hàm số y = g ( x ) ln có tiệm cận đứng f ( x) − m x = Mặt khác, từ bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) phương trình f ( x ) − m = tối đa nghiệm Vậy để đồ thị hàm số y = g ( x ) có tiệm cận đứng điều kiện cần phương trình f ( x ) = m có nghiệm phân biệt x1 , x2 khác ⇔ < m < f ( x) f ( x) = +∞ , lim+ g ( x ) = lim+ = +∞ nên đồ thị hàm số Khi lim+ g ( x ) = lim+ x → x1 x → x1 f ( x ) − m x → x2 x → x2 f ( x ) − m y = g ( x ) có tiệm cận đứng đường thẳng x = x1 x = x2 Vậy với < m < đồ thị hàm số y = g ( x ) có tiệm cận đứng Do m nguyên nên có giá trị m thỏa mãn toán m = m = Câu Cho hàm số y = f ( x ) = ax + bx + c có bảng biến thiên sau: dx + e Có số m nguyên thuộc khoảng ( −10;10 ) để đồ thị hàm số y = g ( x ) = x +1 có f ( x) − m đường tiệm cận? A 15 B C D 14 Lời giải Chọn C • • x + có nghĩa x ≥ −1 g ( x ) = ⇒ đồ thị hàm số y = g ( x ) ln có Từ bảng biến thiên suy xlim →+∞ • đường tiệm cận ngang y = , ∀m ∈ ¡ lim+ g ( x ) = • Khi đó, để đồ thị hàm số y = g ( x ) có đường tiệm cận phải có đường tiệm Ta có x →0 cận đứng ⇒ phương trình f ( x ) = m phải có nghiệm phân biệt ∈ [ −1; + ∞ ) m∈Z , m∈[ −10;10] → m ∈ { −1; 4;5;6;7;8;9} Từ bảng biến thiên suy m ∈ ( 3; + ∞ ) ∪ { −1}  Vậy, có tất giá trị m thỏa mãn Câu Cho hàm số y = f ( x ) xác định ¡ \ { 0} có bảng biến thiên Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = x3 + x + x có ba ( x + 1)  f ( x ) − m đường tiệm cận A m > B không tồn m C m ≤ D m < Lời giải Chọn D Điều kiện xác định hàm số y =  x > x3 + x + x là:  ( x + 1)  f ( x ) − m  f ( x ) ≠ m y = ⇒ đồ thị hàm số y = Ta có xlim →+∞ Để đồ thị hàm số y = x3 + x + x ln có tiệm cận ngang y = ( x + 1)  f ( x ) − m x3 + x + x có ba đường tiệm cận đồ thị hàm số ( x + 1)  f ( x ) − m x3 + x + x y= có hai tiệm cận đứng ( x + 1)  f ( x ) − m Suy phương trình f ( x ) − m = có hai nghiệm phân biệt ( 0; +∞ ) Từ bảng biến thiên suy m < Câu Cho hàm số y = f ( x ) xác định ¡ \ { −2} , liên tục khoảng xác định có bảng biến thiên sau Có giá trị m nguyên, khác để đồ thị hàm số g ( x ) = f ( x) − m có tiệm cận ngang f ( x) + m mà khơng có tiệm cận đứng A B C D Lời giải Chọn A - TXĐ: D = { x ∈ ¡ | f ( x ) ≠ − m} g ( x ) = lim g ( x ) = nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = , nghiệm - Với m ≠ , xlim →+∞ x →−∞ x0 (nếu có) phương trình f ( x ) = −m nghiệm phương trình f ( x ) = m - Do đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng phương trình f ( x ) = −m vô nghiệm ⇔ −2 < −m < ⇔ −2 < m < Ta có m = ±1 Vậy có giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán Câu Hàm số y = f ( x ) xác định ¡ có bảng biến thiên hình vẽ sau Với giá trị m đồ thị hàm số y = g ( x ) = ( f ( x) ) −m có tiệm cận đứng Chọn đáp án A < m < B < m ≤ C m = D m = Lời giải Chọn A Xét phương trình ( f ( x ) ) − m = ⇔ ( f ( x ) ) = m 2 ( *) TH1: m < phương trình ( *) vơ nghiệm nên đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng TH2: m = phương trình ( *) ⇔ f ( x ) = vô nghiệm Nên đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng  f ( x) = m  * ⇔ TH3: m > phương trình ( )  f ( x) = − m ( 1) ( 2) Với ( 1) : < m < ( 1) có nghiệm; m = ( 1) có nghiệm Với ( ) : m > nên − m < ⇒ f ( x ) = − m vô nghiệm Vậy để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng < m < Chọn đáp án A Câu Cho hàm số y = ax + bx + cx + d có đồ thị hình vẽ bên Gọi S tập hợp chứa tất giá trị nguyên tham số m để đồ thị hàm số y = Số phần tử tập S m−x có tất đường tiệm cận f ( x) − m A B C D Lời giải Chọn D y = đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = Với điều kiện x ≤ m xlim →−∞ Để đồ thị hàm số y = m−x có đường tiệm cận đồ thị phải có đường tiệm cận f ( x) − m đứng, suy phương trình f ( x ) − m = có nghiệm phân biệt x thỏa mãn x ≤ m Từ đồ thị, phương trình f ( x ) = m có nghiệm < m < Do m ∈ ¢ ⇒ m ∈ { 2;3; 4} + Trường hợp 1: Với m = : Từ đồ thị, phương trình f ( x ) − = có nghiệm x1 < x2 < < x3 , suy m = không thỏa mãn + Trường hợp 2: Với m ∈ { 3; 4} : Từ đồ thị, phương trình f ( x ) − m = có nghiệm x1 < x2 < x3 < , suy m = , m = thỏa mãn Vậy tập S gồm phần tử Câu Cho hàm số y = f ( x ) liên tục khoảng ( −∞ ;1) , ( 1; + ∞ ) có bảng biến thiên hình vẽ Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số y = g ( x ) = cận đứng khơng có tiệm cận ngang m = A m = B   m = −2 C m = Lời giải Chọn D f ( x) + m có tiệm f ( x ) − 4m 2 m = D   m = −1 Xét hàm số y = g ( x ) = f ( x) + m f ( x ) − 4m 2 Điều kiện cần: g ( x ) = lim Nếu m ≠ ±1 xlim →±∞ x →±∞ ⇒ đồ thị hàm số y = g ( x ) = f ( x) + m 2+m = f ( x ) − 4m − 4m 2 f ( x) + m 2+m có tiệm cận ngang đường thẳng y = f ( x ) − 4m − 4m 2 Do đó, điều kiện cần để đồ thị hàm số y = g ( x ) = f ( x) + m khơng có tiệm cận ngang f ( x ) − 4m m =  m = −1   f ( x ) = 2m ( 1) 2 Điều kiện đủ: Phương trình f ( x ) − 4m = ⇔   f ( x ) = −2m ( ) +) Với m = , phương trình ( 1) vơ nghiệm, phương trình ( ) có nghiệm x = x0 > lim g ( x ) = lim x → x0 x → x0 f ( x) + m = +∞ ( −∞ ) (do f ( x0 ) + m = − m = −1 ≠ ) f ( x ) − 4m 2 ⇒ đồ thị hàm số y = g ( x ) = f ( x) + m có tiệm cận đứng đường thẳng x = x0 f ( x ) − 4m 2 +) Với m = −1 , phương trình ( ) vơ nghiệm, phương trình ( 1) có nghiệm x = x0 > lim g ( x ) = lim x → x0 x → x0 f ( x) + m = +∞ ( −∞ ) (do f ( x0 ) + m = − m = ≠ ) f ( x ) − 4m 2 ⇒ đồ thị hàm số y = g ( x ) = f ( x) + m có tiệm cận đứng đường thẳng x = x0 f ( x ) − 4m m = Vậy  thỏa mãn toán  m = −1 Câu Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau Có giá trị nguyên thuộc [ −10;10] m để đồ thị hàm số y = cận đứng A C B f ( x ) −m có tiệm D Lời giải Chọn C Đồ thị hàm số y = f ( x ) −m 2 có tiệm cận đứng phương trình f ( x ) = m có nghiệm x phân biệt Đặt t = x , t ≥ Từ bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) ta thấy, phương trình f ( t ) = m có nghiệm dương t phân biệt −1 < m < Với giá trị t > cho ta giá trị đối x , nên với điều kiện −1 < m < , phương trình f ( x ) = m có nghiệm x phân biệt Vậy đồ thị hàm số y = f ( x ) −m có tiệm cận đứng −1 < m < Vì m ∈ ¢ nên m ∈ { 0;1; 2} Câu 10 Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên hình vẽ có tiệm cận f ( x) − m C D Số giá trị nguyên m để đồ thị hàm số y = g ( x ) = A B Lời giải Chọn C Xét PT f ( x ) − m = có nhiều nghiệm < m < y = g ( x ) có tử số ln khác với giá trị m nên đồ thị y = g ( x ) có nhiều TCĐ g ( x ) = lim g ( x ) = Có xlim →+∞ x →−∞ m = 1 nên đồ thị y = g ( x ) có TCN m ≠ , TCN 1− m Vậy đồ thị y = g ( x ) có TC < m < Kết hợp m ∈ Z m = Suy có giá trị nguyên m tmđb Phần 3: Biết giới hạn hàm số y = f ( x ) điểm vô cực Dạng 9: Biết giới hạn hàm số y = f ( x ) điểm vơ cực, tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = f ( x ) , tốn khơng chứa tham số Câu f ( x ) = , lim f ( x ) = +∞ Khẳng định sau khẳng Cho hàm số y = f ( x ) có xlim →+∞ x →−∞ định đúng? A Đồ thị hàm số cho có tiệm cận ngang B Đồ thị hàm số cho có hai tiệm cận ngang phân biệt C Đồ thị hàm số cho có tiệm cận ngang đường thẳng x = D Đồ thị hàm số cho khơng có tiệm cận ngang Lời giải Chọn B Áp dụng định nghĩa tiệm cận ngang ta suy A đáp án Câu y = −∞ , lim y = +∞ Mệnh đề Cho hàm số y = f ( x ) có tập xác định D = ( 0; + ∞ ) xlim x →+∞ →0+ sau đúng? A Đồ thị hàm số y = f ( x ) khơng có tiệm cận đứng có tiệm cận ngang B Đồ thị hàm số y = f ( x ) có tiệm cận đứng có tiệm cận ngang C Đồ thị hàm số y = f ( x ) có tiệm cận đứng khơng có tiệm cận ngang D Đồ thị hàm số y = f ( x ) khơng có tiệm cận đứng khơng có tiệm cận ngang Lời giải Chọn C y = −∞ nên đường thẳng x = ( trục Do x = 0+ đầu mút tập xác định xlim →0+ Oy ) tiệm cận đứng đồ thị hàm số Với D = ( 0; + ∞ ) , ta kiểm tra giới hạn hàm số +∞ (khơng có giới hạn −∞ ) Theo giả thiết, lim y = +∞ nên đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang x →+∞ Câu Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị đường cong ( C) f ( x) = ; giới hạn xlim → 2+ lim f ( x ) = ; lim f ( x ) = ; lim f ( x ) = Hỏi mệnh đề sau đúng? x →−∞ x →+∞ x → 2− A Đường thẳng y = tiệm cận ngang ( C ) B Đường thẳng y = tiệm cận ngang ( C ) C Đường thẳng x = tiệm cận ngang ( C ) D Đường thẳng x = tiệm cận đứng ( C ) Lời giải Chọn A Vây có tiệm cận ngang Câu 15 Cho hàm số y = f ( x ) = x + Tìm số tiệm cận hàm số f ( x) + y = g ( x) = 1+ f ( x) + A + f ( x) + f ( x) + + + B 2020 f 2020 ( x ) + 2020 f ( x ) + 2020 C 2019 D 2021 Lời giải Chọn D TXĐ: D = ¡ \ { −3; −4; −5; ; −2021} g ( x ) = +∞; lim g ( x ) = −∞ Ta có đồ thị hàm số +) Với xi ∈ { −3; −4; −5; ; −2021} ta có xlim →x x→x + i − i y = g ( x ) có 2019 tiệm cận đứng k +) Ta có: lim x →+∞   lim  x→−∞    xlim →−∞  k f k ( x) + k f ( x) + k f k ( x) + k f ( x) + k k ( x) + k f ( x) + k f = ⇒ lim g ( x ) = 2020 ; x →+∞ = 1, k chan ⇒ lim g ( x ) = x →−∞ k = −1, k le => có tiệm cận ngang Vây tổng số tiệm cận 2021 Dạng 10: Biết giới hạn hàm số y = f ( x) cận ngang đồ thị hàm số Câu điểm vơ cực, tìm tiệm cận đứng, tiệm y = f ( x) Cho hàm số f ( x ) liên tục ¡ , toán chứa tham số lim f ( x ) = ; lim f ( x ) = +∞ Có giá trị x → +∞ x → −∞ nguyên tham số m thuộc [ −2020; 2020] để đồ thị hàm số g ( x ) = có tiệm cận ngang nằm bên đường thẳng y = −1 A 4041 B 2019 C x + 3x + x f ( x) − f ( x) + m D 10 Lời giải Chọn C f ( x ) = +∞ nên x → + ∞ f ( x ) − f ( x ) → −∞ Do xlim →+∞ g ( x) có nghĩa nên khơng tồn xlim →+∞ f ( x ) − f ( x ) không g ( x) Xét xlim →−∞ f ( x ) = nên lim f ( x ) − f ( x ) = Trước hết xlim → −∞ x → −∞ lim x → −∞ ( x + 3x + x ) ( = lim Từ có lim g ( x ) = x → −∞ y= x + 3x + x x → −∞ )( lim  f ( x ) − f ( x )  = x →−∞ ) x + 3x − x = lim x + 3x − x x →−∞ 3x   − x  − + 1÷ x   =− −3 nên đồ thị hàm số g ( x ) có tiệm cận ngang đường thẳng 2m + −3 2m + Để tiệm cận ngang tìm nằm đường thẳng y = −1 điều kiện cần đủ 3 > 2m + −3 Tức có giá trị nguyên < −1 ⇔ >1 ⇔  ⇔ −1 < m < 2m + 2m + 2  2m + > m = thỏa mãn toán Câu f ( x ) = lim f ( x ) = Gọi S tập hợp giá trị Cho hàm số f ( x ) liên tục ¡ có xlim →−∞ x →+∞ tham số m để đồ thị hàm số ( x − 1)  f ( x ) + 3 g ( x) = x + ( m − 1) x + m − tiệm cận ngang Tính tổng phần tử S A − B −2 C −3 có tổng số tiệm cận đứng D Lời giải Chọn A ( x − 1)  f ( x ) + 3 ( x − 1)  f ( x ) + 3 = , lim g ( x ) = lim =0 Do lim g ( x ) = lim x →+∞ x →+∞ x + ( m − 1) x + m − x →−∞ x →−∞ x + ( m − 1) x + m − nên đồ thị hàm số g ( x ) có tiệm cận ngang đường thẳng y = 2 Đặt h ( x ) = x + ( m − 1) x + m − Yêu cầu toán thỏa mãn đồ thị hàm số g ( x ) có tiệm cận đứng, điều xảy h ( x ) = có nghiệm phân biệt có nghiệm x = h ( x ) = có nghiệm kép    ( m − 1) − ( m − ) >  m < m =  ∆′ >       1 + ( m − 1) + m − = ⇔ h ( 1) = ⇔   ⇔ m = 1; m = −3 ⇔  m = −3    ∆′ =  3  m =  m= m =     Vậy, tổng phần tử S − Câu f ( x ) = +∞ ; lim f ( x ) = −∞ Tập hợp tất giá Cho hàm số f ( x ) liên tục ¡ , có xlim →+∞ x →−∞ trị thực tham số m để đồ thị hàm g ( x ) = A ¡ \ { 0} f ( x) +1 m f ( x ) + B ( 0; +∞ ) có hai đường tiệm ngang C ( −∞;0 ) D { 0} Lời giải Chọn B TH1: m = lim g ( x ) = lim x →±∞ x →±∞ f ( x) +1 = ±∞ Suy đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang TH2: m < lim f ( x ) = +∞ x →±∞ m f ( x ) + ) = −∞ ( Suy xlim →±∞ g ( x ) không tồn Suy xlim →±∞ TH3: m > lim g ( x ) = lim   f ( x ) 1 + ÷ f ( x)  f ( x) +1  = lim = lim x →+∞ m f ( x ) + x →+∞ f x m + ( ) f ( x) lim g ( x ) = lim     f ( x ) 1 + − 1 + ÷ ÷ f ( x)  f ( x)  f ( x) +1   = lim = lim =− x →−∞ x →−∞ 2 m m f ( x ) + f ( x) m + m+ f ( x) f ( x) x →+∞ x →−∞ x →+∞ x →−∞   1 + ÷ f ( x)   = m m+ f ( x) Đồ thị hàm số g ( x ) có hai tiệm cận ngang hai đường thẳng y = 1 , y=− m m Tóm lại, tập hợp cần tìm ( 0; + ∞ ) Câu f ( x ) = +∞ , lim f ( x ) = −∞ Có giá trị Cho hàm số f ( x ) liên tục ¡ , xlim →+∞ x →−∞ nguyên m ( −2019; 2019 ) để đồ thị hàm số g ( x ) = cận ngang A B 2018 C 4036 4036 f ( x ) + mf ( x ) + có hai đường tiệm D 25 Lời giải Chọn B  mf ( x ) + 3 = −∞ , tức lim g ( x ) không tồn Đồ thị hàm số g ( x ) -Với m < ta có xlim x →±∞ →±∞  khơng có tiệm cận ngang g ( x ) = lim ( 4036 f ( x ) + ) = ±∞ Đồ thị hàm số g ( x ) khơng có tiệm cận -Với m = xlim →±∞ x →±∞ ngang -Với m > , tập xác định hàm số g ( x ) D = ¡ Khi đó:  f ( x )  4036 + f ( x)  lim g ( x ) = lim x →+∞ x →+∞ f ( x) m + f ( x)  4036 + ÷ f ( x ) 4036  = lim = x →+∞ m m+ f ( x)   f ( x )  4036 + 4036 + ÷ f ( x)  f ( x) 4036  lim g ( x ) = lim = lim =− x →−∞ x →−∞ x →−∞ 3 m − f ( x) m + − m+ f ( x) f ( x) Đồ thị hàm số g ( x ) có tiệm cận ngang hai đường thẳng y = 4036 4036 , y=− m m m >  Từ tất ta có  m ∈ ( −2019; 2019 ) ⇔ m ∈ { 1; 2;3; ; 2018} m ∈ ¢  Vậy, có 2018 giá trị nguyên m Câu f ( x ) = lim f ( x ) = +∞ Có Cho hàm số f ( x ) đồng biến ¡ thỏa mãn xlim →−∞ x →+∞ số nguyên dương m để đồ thị hàm số g ( x ) = cận A B (x ( ) 3x + − f ( x ) − 4x + m) C f ( x) +1 có đường tiệm D Vô số Lời giải Chọn B Điều kiện xác định hàm số g ( x ) : x ≥ − ; x − x + m ≠ Vì x ≥ − g ( x) nên không tồn giới hạn xlim →−∞ f ( x ) = ⇒ f ( x ) > 1, ∀x ∈ ¡ Vì hàm số f ( x ) đồng biến ¡ xlim →−∞ Ta có: lim g ( x ) = lim x →+∞ = lim x→+∞ x →+∞ 1+ f f lim f ( x) x→+∞ ( x) ( 3x + − ( x ) + 1.( x ) − 4x + m) + − x x x = 1.0 = m 1− + x x ⇒ Đường thẳng y = tiệm cận ngang đồ thị hàm số g ( x ) Ta có g ( x ) = (x ( ) 3x + − f ( x ) − 4x + m) f ( x) +1 = (x ( 3x − 3) f ( x ) − 4x + m) ( 3x + + ) f ( x ) +1 Đồ thị hàm số g ( x ) có hai tiệm cận khỉ có tiệm cận đứng, tức phương trình x − x + m = có nghiệm kép x0 , x0 ≥ − x1 = 1, x2 ≠ 1, x2 ≥ − có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 có hai nghiệm phân biệt x3 , x4 1 x3 < − , x4 ≥ − , x4 ≠ 3 Xét bảng biến thiên hàm số h ( x ) = − x + x : 2 Ta có x − x + m = ⇔ m = − x + x ( 1)  m =  Từ bảng biến thiên suy  m = Do m số nguyên dương nên m ∈ { 3;4}  13 m < −  Câu f ( x ) = +∞ , lim f ( x ) = −∞ Trên đoạn Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ xlim →+∞ x →−∞ [ −2020; 2020] có số nguyên m để đồ thị hàm số g ( x ) = f ( x) + ( m + 1) f ( x ) + 2020 có hai tiệm cận ngang A 2020 B 2021 C 4041 D 2000 Lời giải Chọn B Nếu m + < − − 2020 2020 < f ( x) < − ∀x ∈ ¡ , điều mâu thuẫn với giả thiết m +1 m +1 Nếu m + = lim g ( x ) = lim x →±∞ x →±∞ f ( x) + 2020 = ±∞ Tức đồ thị hàm số g ( x ) khơng có tiệm cận ngang Nếu m + > ⇔ m > −1 lim x →+∞ 1+ = xlim →+∞ Và lim x →−∞ f ( x) m +1+ 2020 f ( x) =   f ( x ) 1 + ÷ f ( x)  f ( x) +  = lim x →+∞ 2020 m + f x + 2020 ( ) ( ) f ( x) m +1+ f ( x) 1 Do đường thẳng y = tiệm cận ngang ĐTHS m +1 m +1  2  1+ f ( x ) 1 + ÷ f ( x) −1 f ( x)  f ( x) +  = lim = = lim x →−∞ 2020 m +1 ( m + 1) f ( x ) + 2020 x →−∞ − f ( x ) m + + 2020 − m + 1+ f ( x) f ( x) Do đường thẳng y = −1 tiệm cận ngang ĐTHS m +1 Vậy đoạn [ −2020; 2020] có 2021 số nguyên m thỏa mãn Phần 4: Biết biểu thức đồ thị BBT hàm số y = f ' ( x ) , tìm tiệm cận hàm số y = g ( x) Dạng 11: Biết biểu thức đồ thị BBT hàm số y = f ' ( x ) , tìm tiệm cận hàm số y = g ( x) Câu Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ y = f ′ ( x ) có bảng biến thiên sau Đồ thị hàm số g ( x ) = 2020 có nhiều đường tiệm cận đứng ? f ( x) − m A C B D Lời giải Chọn D Để đồ thị hàm số g ( x ) = 2020 có đường tiệm cận đứng phương trình f ( x ) − m = f ( x) − m phải có nghiệm  −1 < a < < b Từ bbt hàm số y = f ′ ( x ) suy tồn a, b cho   f ′( a) = f ′( b) = Từ ta có bbt hàm số y = f ( x ) sau Suy phương trình f ( x ) − m = có nhiều nghiệm phân biệt Vậy đồ thị hàm số g ( x ) = Câu Cho hàm số g ( x) = 2020 có nhiều đường tiệm cận đứng f ( x) − m 2019 với h( x) = mx + nx + px + qx (m, n, p, q ∈ ¡ ), h(0) = h( x ) − m − m Hàm số y = h '( x) có đồ thị hình vẽ bên : Có giá trị nguyên m để đồ thị hàm số g ( x) có tiệm cận đứng ? A B 10 C 71 D 2019 Lời giải Chọn B Từ đồ thị suy h '( x) = m( x + 1)(4 x − 5)( x − 3) = m(4 x − 13 x − x + 15) m <  13  Ta h( x) = m  x − x − x + 15 x ÷   Đồ thị g ( x) có đường tiệm cận đứng phương trình h( x) = m − m có nghiệm phân biệt ⇔ f ( x) = x − 13 x − x + 15 x = m + có nghiệm phân biệt Ta có bảng biến thiên f ( x )  −32   −35  ;0 ÷ ⇔ m ∈  ; −1÷ Vậy có 10 số nguyên m Do m + ∈      Câu Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục ¡ đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) hình vẽ sau: Xét hàm số y= x2 Đặt g ( x ) = f ( x ) − , tìm điều kiện để đồ thị hàm số x f (x) − 2 y= f (x) − x2 có đường tiệm cận đứng  g ( 0) >  B  g ( 1) <   g ( 1) g ( −2 ) >  g ( ) > A   g ( 1) <  g ( ) > C   g ( −2 ) >  g ( 0) >  D  g ( −2 ) ≤   g ( 1) ≤ Lời giải Chọn B Đồ thị hàm số y= x2 ⇒ Phương trình f (x) − = phải x có đường tiệm cận đứng f (x) − 2 có nghiệm phân biệt ⇔ Đồ thị hàm số g( x) = f (x) − x2 cắt trục hoành điểm phân biệt Ta có: g ′ ( x ) = f ′ ( x ) − x g ′ ( ) = f ′ ( ) − = , g ′ ( 1) = f ′ ( 1) − = , g ′ ( −2 ) = f ′ ( −2 ) + = Từ đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) suy • f ′ ( x ) < x , ∀x ∈ ( 0;1) ∪ ( −∞ ; − ) ⇒ g ′ ( x ) < , ∀x ∈ ( 0;1) ∪ ( −∞ ; − ) • f ′ ( x ) > x ; ∀x ∈ ( 1; + ∞ ) ∪ ( −2;0 ) ⇒ g ′ ( x ) > 0, ∀x ∈ ( 1; + ∞ ) ∪ ( −2;0 ) Bảng biến thiên hàm số y = g ( x ) Từ bảng biến thiên suy đồ thị hàm số y = g ( x ) cắt trục hoành điểm phân biệt  g ( 0) >  ⇔  g ( 1) < Vậy chọn B   g ( −2 ) < Câu Cho hàm số y = f ( x ) hàm số bậc Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) hình vẽ f (−1) < 20 Giá trị m đề đồ thị hàm số g ( x ) = A m < f (3) C m > f (−1) f ( x) − 20 có tiệm cận f ( x) − m B f ( 3) < m < f ( −1) D f (3) ≤ m ≤ f ( −1) Lời giải Chọn B Ta có bảng biến thiên ĐK: f ( x ) ≠ m Nếu m ≠ 20 đồ thị hàm số khơng có tiệm cận Nếu m ≠ 20 lim x →±∞ f ( x ) − 20 = ⇒ Đường thẳng y = TCN đồ thị hàm số f ( x) − m Phương trình f ( x) = 20 có nghiệm x = a > f (−1) < 20 Suy đồ thị hàm số g ( x) có tiệm cận phương trình f ( x) = m có nghiệm phân biệt khác a Suy Câu f (3) < m < f (−1) Cho hàm số y = f ( x ) hàm đa thức liên tục R thỏa mãn f (1) − < f ( a) − a3 + 3a > 0, ∀a > Đồ thị hàm số y = f ¢( x) hình vẽ Đồ thị hàm số g ( x ) = A x +1 có có số tiệm cận đứng f ( x + 2) − x3 + x B C D Lời giải Chọn B Phương trình f ( x) = 20 có nghiệm x = a > f (−1) < 20 f ( x) = +∞ Từ đồ thị f ′ ( x ) suy f ( x ) đa thức bậc xlim →±∞ ĐK: h( x ) = f ( x + 2) − x + 3x ≠ Số tiệm cận đứng đồ thị hàm g ( x) số nghiệm h( x ) khác −1 Ta tìm số nghiệm phương trình h( x) = h '( x) = f '( x + 2) − 3x + Đặt t = x + ⇒ h '( x) = k (t ) = 3( f '(t ) − t + 4t − 3) Khi k (t ) = 3( f '(t ) − t + 4t − 3) = ⇔ f '(t ) = t − 4t + 3(*) Sử dụng đồ thị nhận thấy (*) có nghiệm t = 1; t = 3; t = a > ⇒ x = −1; x = 1; x = a − = b > Ta có bảng biến thiên h( x ) sau : Ta có: h(−1) = f (1) − < 0; h(b) = f (a) − a + 3a > 0; a > Dựa vào bảng biến thiên h( x ) ta thấy h( x) = có nghiệm phân biệt khác −1 Vậy g ( x) có tiệm cận đứng Câu Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ −3;3] đồ thị hàm số y = f ' ( x ) hình vẽ Đặt h ( x ) = Biết f ( 1) = −24 Hỏi đoạn [ −3;3] đồ thị hàm số f ( x ) + x2 + y = h ( x ) có đường tiệm cận đứng ? A Chọn D B C Lời giải D  x = −3  Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) + x + ⇒ g ' ( x ) = ( f ' ( x ) + x ) = ⇔ f ' ( x ) = − x ⇔  x =  x = Lập bảng biến thiên g ( x ) ta được: Gọi a nghiệm phương trình f ' ( x ) = Ta có: a −3 a ∫ f ' ( x ) dx < ∫ f ' ( x ) dx ⇔ f ( a ) − f ( −3) < − ( f ( 3) − f ( a ) ) ⇔ f ( −3) > f ( 3) ⇔ g ( −3) > g ( 3) Lại có: ∫ g ' ( x ) dx < ⇔ g ( 3) − g ( 1) < ⇔ g ( 3) < g ( 1) + ⇔ g ( 3) < −39 ⇒ g ( 3) < S ABCD diện tích hình chữ nhật giới hạn đường thẳng: x = −3; x = 1; y = −5; y = Mặt khác: ∫ ( − g ' ( x ) ) dx < S ABCD = 32 ⇔ g ( −3) − g ( 1) < 32 ⇔ g ( −3 ) < −11 −3 Do phương trình g ( x ) = vô nghiệm, đồ thị hàm số cho khơng có tiệm cân đứng Câu Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm R, thỏa f (1) = đồ thị hàm số y = f '( x ) có dạng hình vẽ bên Hỏi đồ thị hàm số g ( x) = A.3 B.2 2020 x có tiệm cận đứng? f ( x) + f ( x ) C.5 D.4 Lời giải Chọn C  f ( x) = f ( x) − f ( x) = ⇔   f ( x ) = −1 Từ đồ thị hàm số f '( x) ta có:  x = −2  x < −2 f '( x ) = ⇔  x = , f '( x ) > ⇔  1 < x <  x = Ta lập bảng biến thiên hàm số Từ bảng biến thiên ta có: Phương trình f ( x) = có nghiệm phân biệt khác Phương trình f ( x ) = −1 có hai nghiệm phân biệt khác Vậy đồ thị hàm số g ( x) = 2020 x có tiệm cận đứng f ( x) + f ( x ) ... thị hàm số y = f ( x ) khơng có tiệm cận đứng có tiệm cận ngang B Đồ thị hàm số y = f ( x ) có tiệm cận đứng có tiệm cận ngang C Đồ thị hàm số y = f ( x ) có tiệm cận đứng khơng có tiệm cận ngang... →( ? ?3) x →( ? ?3) x → ( ? ?3) x +3 x +3 lim − y = lim − x →( ? ?3) x → ( ? ?3) x + f ( x ) + 10 f ( ? ?3 ) + = lim − = ±∞ x → ( ? ?3) x +3 x +3 ⇒ x = ? ?3 tiệm cận đứng Câu f ( x ) = lim f ( x ) = +∞ Cho hàm số... 3) khẳng định đúng: A Đồ thị hàm số y = g ( x ) khơng có tiệm cận ngang tiệm cận đứng B Đồ thị hàm số y = g ( x ) có tiệm cận ngang y = khơng có tiệm cận đứng C Đồ thị hàm số y = g ( x ) có tiệm