NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến tốn tương giao CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN XÉT SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ (PHẦN CUỐI: TỪ DẠNG 9-12) Dạng 9: Biết đồ thị BBT hàm số y = f ' ( x ) , xét toán liên quan đến phương trình có dạng f ( x ) = m ; f ( u ( x ) ) = m ; f ( x ) = g ( m ) ; f ( u ( x ) ) = g ( m ) Câu Cho hàm số y = f ( x ) Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) hình vẽ bên Tìm điều kiện m đề phương trình f ( x) = m có nghiệm x ∈ [ −2;6] ? y NHĨ M TỐ N VD – VDC −3 −2 −1 O x S4 x −2 A f ( −2 ) ≤ m ≤ f ( ) B f ( −2 ) ≤ m ≤ f ( ) C f ( ) ≤ m ≤ f ( ) D f ( ) ≤ m ≤ f ( ) Lời giải Chọn B y S1 −3 −2 −1 O −2 S3 S2 Gọi S1 , S , S3 , S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) với trục hoành Quan sát hình vẽ, ta có  ∫ −2 f ′ ( x ) dx > ∫ − f ′ ( x ) dx ⇔ f ( x ) 0 −2 > f ( x) ⇔ f ( ) − f ( −2 ) > f ( ) − f ( ) ⇔ f ( −2 ) < f ( ) NHĨ M TỐ NVD – VDC  ∫ − f ′ ( x ) d x < ∫ f ′ ( x ) dx ⇔ f ( x ) < f ( x ) ⇔ f ( ) − f ( ) < f ( 5) − f ( ) ⇔ f ( ) < f ( 5)  ∫ f ′ ( x ) dx > ∫ − f ′ ( x ) dx ⇔ f ( x ) > f ( x ) 5 ⇔ f ( 5) − f ( ) > f ( 5) − f ( ) ⇔ f ( ) < f ( ) Ta có bảng biến thiên https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến tốn tương giao NHĨ M TỐ N VD – VDC Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu toán ⇔ f ( −2 ) ≤ m ≤ f ( ) Câu Cho hàm số y = f ( x ) Hàm số y = f ′( x ) có bảng biến thiên sau: Phương trình f ( x) − cos π x − 2m = có nghiệm xo ∈ (2;3) 1 1 A f ( ) ≤ m ≤ f ( 3) B f ( 3) < m < f ( ) 2 2 1 1 C f ( ) < m < f ( 3) D f ( 3) ≤ m ≤ f ( ) 2 2 Lời giải Chọn C Ta có: 2m = f ( x) − cos π x Xét hàm số g ( x) = f ( x) − cos π x, ∀x ∈ (2;3) Ta có g ′( x) = f ′( x) + π sin π x Do ( 2;3) ⊂ ( 1;4 ) nên từ bảng biến thiên ta thấy f ′ ( x ) > 0, ∀x ∈ ( 2;3) Mặt khác x ∈ ( 2;3) ⇒ π x ∈ ( 2π ;3π ) ⇒ sin π x > Vậy g ′( x ) = f ′( x) + π sin π x > 0, ∀x ∈ (2;3) Bảng biến thiên hàm số g ( x) Câu Cho f ( x ) hàm số đa thức bậc 5, có f ( 1) = đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) đối xứng qua đường thẳng x = hình NHĨ M TỐ NVD – VDC Biết phương trình f ( x + 1) = m có nghiệm x ∈[ −1;1] m ∈[ a; b ] Khi a + b 1 A − B C D 5 Lời giải https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến toán tương giao Chọn D Từ đồ thị (C) cho hàm số y = f ′ ( x ) ta suy đồ thị (C’) hàm số y = f ′ ( x + 1) cách tịnh tiến (C) sang trái đơn vị Khi (C’) đối xứng qua trục Oy đồ thị hàm đa thức bậc 4, nên (C’) đồ thị hàm số trùng phương dạng y = ax + bx + c Ta có (C’) qua điểm ( 0; − 1) ; ( 2; 3) ; ( − 1; − 3) nên lập hệ giải ta y = x − 3x − Vậy f ( x + 1) = x5 − x − x + C Lại có f ( 1) = nên C = x5 − x3 − x NHÓ M TOÁ N VD – VDC Suy f '( x + 1) = x − x − từ f ( x + 1) = x5 − x − x nghịch biến đoạn [ −1;1] Do phương trình f ( x + 1) = m có nghiệm x ∈[ −1;1] Ta thấy f '( x + 1) = x − x − < ∀x ∈[ −1;1] nên hàm số f ( x + 1) = g ( x) =  m ∈[ g (1); g (−1)] hay m ∈  − ;  9 9 suy a = − ; b = ⇒ a + b =  5 5 Vậy g ( ) < 2m < g (3) ⇔ f (2) + sin 2π < 2m < f (3) + sin 3π ⇔ Câu 1 f ( ) < m < f ( 3) 2 Cho hàm số h ( x ) = mx + nx3 + px + qx ( m, n, p, q ∈ ¡ ) Hàm số y = h′ ( x ) có đồ thị hình vẽ bên Ta có h′ ( x ) = 4mx + 3nx + px + q Mặt khác dựa vào đồ thị y = h′ ( x ) suy 5 13 15    h′ ( x ) = 4m ( x + 1)  x − ÷( x − 3) = 4m  x − x − x + ÷ 4 4   13m , p = − m , q = 15m Đồng hệ số ta có: n = − 2 Xét phương trình h ( x ) = m + m ⇔ mx + nx + px + qx = m + m https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨ M TỐ NVD – VDC Có tất giá trị nguyên m để phương trình h ( x ) = m + m có hai ngiệm phân biệt? A B 10 C 71 D 2022 Lời giải Chọn B Dựa vào đồ thị có h′ ( x ) = có nghiệm phân biệt nên m ≠ m < NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến toán tương giao 13 13 x − x + 15x = m + Đặt f ( x ) = x − x − x + 15x 3 Bảng biến thiên: ⇔ x4 − Câu NHÓ M TOÁ N VD – VDC Dựa vào bảng biến thiên ta có để phương trình h ( x ) = m + m có nghiệm phân biệt −32 −35 < m +1 < ⇔ < m < −1 ⇒ m ∈ { −11; − 10; − 9; − 8; − ; − 6; − 5; − 4; − 3; − 2} TH 1: 3 8575 7807 ⇔m> TH 2: m + > ( loại m < ) Vậy ta có 10 giá trị m thỏa mãn 768 768 Cho hàm số y = f ( x ) = ax + bx + cx + dx + e với ( a, b, c, d , e ∈ ¡ ) Biết hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình vẽ, đạt cực trị điểm O ( 0;0 ) cắt truc hồnh A ( 3;0 ) Có giá trị nguyên m [ −5;5] để phương trình f ( − x + x + m ) = e có bốn nghiệm phân biệt y O A B x C D Lời giải Chọn B Quan sát đồ thị f ' ( x ) hình vẽ Ta thấy hàm bậc qua không đổi dấu qua đổi dấu lần Nên suy f ( x ) = −∞ nên k < ) f ' ( x ) = k x ( x − 3) ( k < ) (vì xlim →+∞ −1 → f ' ( x ) = − x3 + x 4 −1 1  x + x + e = − x3  x − 1÷+ e Suy f ( x ) = 16 4 4  Mà theo đề ta có phương trình  − x + 2x + m  f − x2 + x + m = e ⇔ − x2 + x + m  − 1÷ =   −x + 2x + m = ( 1) ⇔ − x + x + m − = ( ) Do f ' ( ) = ⇒ −4k = ⇔ k = ) ( https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc ) Trang NHĨ M TỐ NVD – VDC ( NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến tốn tương giao Để phương trình f ( − x + x + m ) = e có nghiệm phân biệt phương trình (1) (2) lần  ∆1 = + m > ⇔ m > lượt có nghiệm phân biệt ⇒  ∆ = + m − >  m∈¢ ⇒ m ∈ { 4;5} Vậy có giá trị nguyên m thoả mãn toán Mà  m ∈ − 5;5 [ ]  Cho hàm số mãn y = f ( x ) = ax + bx3 + cx + dx + e, ( a, b, c , d , e ∈ ¡ ; a ≠ ) f ( − 1) = −2 f ( 1) = f ( ) = −3 , , có đồ thị y = f '( x) Phương trình f ( x ) − m + 2019 = có nghiệm A m = 2016 B m = 2017 C m = 2018 Lời giải Chọn A Từ đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) giả thiết ta có bảng biến thiên: có đạo hàm ¡ thỏa hình vẽ sau: NHĨ M TỐ N VD – VDC Câu D m = 2019 Ta có f ( x ) − m + 2019 = ⇔ f ( x ) = m − 2019 ( *) Qua bảng biến thiên ta thấy để phương trình (*) có nghiệm m − 2019 = −3 ⇔ m = 2016 Câu f ( x ) = ax + bx + cx + dx + m ( a, b, c, d , m ∈ ¡ , a ≠ ) y = f ′( x) Cho hàm số Hàm số có đồ thị hình vẽ NHĨ M TỐ NVD – VDC Phương trình f ( x ) = m có nghiệm? https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến toán tương giao A B C Lời giải D Chọn C 5  Từ đồ thị hàm số có f ′ ( x ) == 4a ( x + 3)  x + ÷( x − 1) = 4ax + 13ax − 2ax − 15a 4  13 ⇒ f ( x ) = ax + ax − ax − 15ax + m 13 13 ax − ax − 15ax + m = m ⇔ ax + ax − ax − 15ax = 3 x =  13   ⇔ x  x + x − x − 15 ÷ = ⇔  x = 3     x = −3  NHĨ M TỐ N VD – VDC f ( x ) = m ⇔ ax + Vậy phương trình f ( x ) = m có nghiệm Câu ỉ Cho hàm s f ( x) tha f ỗ ỗ ỗ è tục ¡ có đồ thị sau: 3ö f = 3; f ( 1) = 0; f ( 2) > y = f ¢( x) ÷ £ 0; ( ) ÷ Hàm số liên ÷ 2ø Với m Ỵ ( 0;3) số nghiệm thực phương trình f ( x - 3) = m ; ( m tham số thực), A C B D Lời giải Chọn C Từ đồ thị hàm số y = f ¢( x) ta có bảng biến thiên sau: NHĨ M TỐ NVD – VDC https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến tốn tương giao ìï f ( t ) = m ï ( *) có nghiệm phân biệt, Đặt t = x - Þ t ³ - , ta có phương trình í ïï m Ỵ ( 0;3) ợ ổ 3ử ổ3 ỗ - ữ Ê 0; f > t , t , t Î - ; 2÷ * ( ) ( ) ÷ ữ f ỗ nờn phng trỡnh cú nghim phõn bit ỗ ỗ ữ ữ(tha ỗ ç è 2ø è ø ỉ3 ÷ mãn điều kiện) suy phương trình ti = x - ; ti ẻ ỗ ỗ- ; 2ữ ữ; i = 1, 2,3 u cú nghim ỗ è ø Câu NHĨ M TỐ N VD – VDC phân biệt Vậy phương trình f ( x - 3) = m có tất nghiệm phân biệt với m Ỵ ( 0;3) Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) xác định có đạo hàm ¡ Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị ( ) hình vẽ Số nghiệm nhiều phương trình f x = m ( m tham số thực) là? A B C Lời giải D Chọn C Dựa vào đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) ta có bảng biến thiên đồ thị hàm số y = f ( x ) sau: Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình f ( x ) = m có tối đa hai nghiệm dương, phương ( ) trình f x = m có tối đa nghiệm y = f ( x) f ( ) + f ( 5) = f ( 3) Câu 10 Cho hàm số liên tục ¡ , có bảng biến thiên hàm số y = f ′( x) sau: x −∞ +∞ −1 x1 x2 x3 0 0 Tập nghiệm phương trình f ( x − 1) = f ( 3) có phần tử? A B C Lời giải D Chọn A https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨ M TỐ NVD – VDC f ′( x) NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến tốn tương giao Từ BBT hàm số y = f ′ ( x ) suy dấu f ′ ( x ) có BBT hàm số y = f ( x ) sau: x −∞ +∞ −1 − − + + + 0 0 f ′( x) f ( −1) f ( 0) f ( 4) Lại có f ( ) + f ( ) = f ( 3) , mà f ( ) < f ( 3) nên f ( ) > f ( 3)  x2 −1 = Mặt khác với x ∈ ¡ ta có x − ≥ −1 , f ( x − 1) = f ( 3) ⇔   x − = a ( < a < )  x = ±2 ⇔ Vậy phương trình cho có nghiệm x = ± a +1 2 NHÓ M TOÁ N VD – VDC f ( x) f ( 3) Dạng 10: Biết số nghiệm phương trình f ( x ) = , xét tốn liên quan đến phương trình có chứa f ' ( x ) ; f '' ( x ) Câu 2 ' Cho hàm số y = f ( x ) = ( x +1) ( x - x )( x - 4)( x - 9) Hỏi phương trình f ( x ) = có nghiệm phân biệt? A B C Lời giải D Chọn D Ta có: f ( x ) = ( x +1) ( x - x )( x - 4)( x - 9) = ( x3 - x )( x - 13x + 36) = x - 14 x + 49 x - 36 x f ' ( x ) = x - 70 x +147 x - 36 Đặt t = x , ( t ³ 0) Xét hàm g ( t ) = 7t - 70t +147t - 36 Do phương trình g ' ( t ) = 21t - 140t +147 = có nghiệm dương phân biệt gCD gCT < 0, g ( 0) =- 36 < nên g ( t ) = có nghiệm dương phân biệt ' Do f ( x) = có nghiệm phân biệt Cho f ( x ) hàm đa thức bậc bốn có đồ thị hình https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc NHĨ M TỐ NVD – VDC Câu Trang NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến tốn tương giao Tập nghiệm phương trình  f ′ ( x )  = f ( x ) f ′′ ( x ) có số phần tử A B C D Lời giải Chọn A Xét phương trình  f ′ ( x )  = f ( x ) f ′′ ( x ) ( 1) Do f ( x ) = có ba nghiệm x1 , x2 , x2 ( x1 < x2 < x3 ) f ' ( x3 ) = suy x3 nghiệm (1) Ta có f ( x ) = a ( x − x1 ) ( x − x2 ) ( x − x3 ) , ( a ≠ ) NHÓ M TOÁ N VD – VDC ′  f ′ ( x ) ′  1  Với x ≠ x3 ⇒ ( 1) ⇔  = ⇔ + +  ÷ =0  f ( x) ÷ ÷ x − x x − x x − x     1 ⇔− − − = vô nghiệm 2 ( x − x1 ) ( x − x2 ) ( x − x3 ) Vậy, phương trình (1) có nghiệm x = x3 Câu Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ có đồ thị đường cong trơn (khơng bị gãy khúc), hình vẽ bên Gọi hàm g ( x ) = f  f ( x )  Hỏi phương trình g ′ ( x ) = có nghiệm phân biệt? B 12 C Lờigiải D 14 NHĨ M TỐ NVD – VDC A 10 g ( x ) = f  f ( x )  ⇒ g ′( x ) = f ′( x ) f ′  f ( x )  g ′( x) = ⇔ f ′( x) f ′  f ( x )  = https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến toán tương giao Câu Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm ¡ có đồ thị hình vẽ bên Đặt g ( x) = f  f ( x )  Tìm số nghiệm phương trình g ′ ( x ) = A B C Lời giải Chọn A Ta có: g ′( x) = f ′ ( x ) f ′  f ( x )  NHĨ M TỐ N VD – VDC  x = x1 ∈ ( −2; − 1)  x =  x = x ∈ ( 1;2 )  x =  f ′( x ) = ⇔ ⇔  f ( x ) = x1 ∈ ( −2; − 1) ⇔ x = x3 < −2  f ′  f ( x )  =  f ( x) = ⇔ x ∈ −2;0; { }   f ( x) = x ∈ ( 1;2 ) ⇔ x ∈ { x ; x ; x } , x < x < x < < < x 6   f ( x) = ⇔ x ∈ { x7 ; x8 ; x9 } , x4 < x7 < x8 < x5 < x6 < x9 Kết luận phương trình g ′ ( x ) = có 12 nghiệm phân biệt D (1)  f ′( x) = g ′ ( x ) = ⇔ f ′ ( x ) f ′  f ( x )  = ⇔  ′ f f ( x ) = (2) [ ]  Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x) có hai điểm cực trị nên f ′( x) = (1) có hai nghiệm phân biệt x1 = ; x2 với < x2 < https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 10 NHĨ M TỐ NVD – VDC  f ( x) = x1 = PT (2) : f ′ [ f ( x ) ] = ⇔   f ( x) = x2 ; < x2 <  Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x) f ( x) = có ba nghiệm phân biệt  Kẻ đường thẳng y = x2 cắt đồ thị hàm số y = f ( x) ba diểm phân biệt nên phương trình f ( x) = x2 có ba nghiệm phân biệt NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến toán tương giao Câu 15 Cho hố số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ Số nghiệm ngun bất phương trình (x − 4) ( x2 + 2x )  f ( x )  +  f ( x )  + f ( x ) + 3 ≤ NHÓ M TOÁ N VD – VDC A C Lời giải B Chọn B ( D ) * Ta có  f ( x )  +  f ( x )  + f ( x ) + = ( f ( x ) + )  f ( x )  + f ( x ) + = ⇔ a ( x − 2) 2 ( x + 2) 2 = 0, (với a > 0, a ∈ ¡ ) * Do bất phương trình cho ⇔ x ( x − 2) ( x + 2) 2 ≤0⇔ ( x − 2) ( x + 2) * Kết hợp điều kiện nghiệm nguyên nên có x ∈ { 0;1} x ≤0⇔ 0≤ x 0, ∀x [ −2;2] Khi quan sát đồ thị f ( x) , ta thấy: + TH1: với x ∈ [ 1;2] f ( x ) ≤ nên ( − x ) f ( x ) ≥ + TH2: với x ∈ [ −2;1] f ( x ) ≥ nên ( − x ) f ( x ) ≥ Do hai trường hợp ta ln có g ( x ) f ( x ) ≥ , ∀x ∈ [ −2; 2] NHÓ M TOÁ NVD – VDC Câu 18 Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 27 NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến toán tương giao với x ∈ ( −1;3) A m < −3 B m < −10 C m < −2 Lời giải NHĨ M TỐ N VD – VDC Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình f ( x ) + x > x + m nghiệm D m < Chọn B BPT cho nghiệm với với x ∈ ( −1;3) ⇔ f ( x ) > − x2 + 4x + m ∀x ∈ ( −1;3) − x2 + 4x + m < −3, ∀x ∈ ( −1;3 ) ⇔ − x + x + m + < 0, ∀x ∈ ( −1;3) 2 ⇔ m < x − x − 6, ∀x ∈ ( −1;3) ⇔ Xét hàm số h ( x ) = x − x − với x ∈ ( −1;3) h′ ( x ) = x − ⇒ h′ ( x ) = ⇔ x = Ta có bảng biến thiên sau: h ( x ) ⇔ m < −10 Từ BBT suy m < ( −1;3) Câu 19 Cho đồ thị ( C ) hàm số y = f ( x ) hình vẽ NHĨ M TỐ NVD – VDC https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 28 NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến tốn tương giao Có giá trị nguyên âm m để bất phương trình f ( x ) ≤ [ 0;3] ? A B 10 m có nghiệm x − 2x + C Lời giải D Chọn A 2 Ta có g ( x ) = x − x + f ( x ) ≤ 9.1 = 9, ∀x ∈ [ 0;3] (dấu xảy x = ) ⇒ g ( x ) = −9 [ 0;3] NHĨ M TỐ N VD – VDC m có nghiệm [ 0;3] ⇔ m ≥ ( x − x + ) f ( x ) có nghiệm x ∈ [ 0;3] x − 2x + Xét hàm số g ( x ) = ( x − x + ) f ( x ) với x ∈ [ 0;3] f ( x) ≤ Do bất phương trình cho có nghiệm [ 0;3] ⇔ m ≥ −9 Vì m nguyên âm nên −9 ≤ m ≤ −1 ⇒ có giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán Dạng 12: Biết đồ thị BBT hàm số y = f ' ( x ) , xét toán liên quan đến BẤT PHƯƠNG TRÌNH có dạng f ( x ) ≥ g ( x ) ; f ( u ( x ) ) ≥ g ( x ) ( > , < , ≤ ) có tham số Câu Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình Bất phương trình f ( x ) ≤ x − x + m với x ∈ ( −1;3) A m > f ( 3) Chọn D B m ≥ f ( 3) C m > f ( −1) + D m ≥ f ( −1) + 3 Ta có: f ( x ) ≤ x − x + m ⇔ f ( x) − x + x ≤ m với x ∈ ( −1;3) Xét g ( x) = f ( x) − x + x với x ∈ ( −1;3) Nghiệm phương trình g ′( x) = hoành độ giao điểm đồ thị y = f ′( x) parabol y = x2 − 2x https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 29 NHÓ M TỐ NVD – VDC 2 Khi đó: g ′( x) = f ′( x) − 3x + x =  f ′( x) − x + x  NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến tốn tương giao NHĨ M TỐ N VD – VDC Phương trình g ′( x) = có ba nghiệm x = −1; x = 3; x = đoạn [ −1;3] lim+ g ( x ) = lim+ 3 f ( x ) − x3 + x  = f ( −1) + ; x →−1 x →−1 lim− g ( x ) = lim− 3 f ( x ) − x + x  = f ( ) x →3 x →3 Ta có bảng biến thiên sau: x −1 g ′( x) - - g ( x) 3 f ( −1) + f ( 3) Bất phương trình f ( x ) ≤ x − x + m với x ∈ ( −1;3 ) m ≥ g ( x ) , ∀x ∈ ( −1;3) ⇔ m ≥ f (−1) + Câu Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm ¡ thoả mãn f ( ) = f ( −2 ) = đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) có hình dạng hình vẽ bên NHĨ M TỐ NVD – VDC Bất phương trình f ( x ) + 2m − ≤ với số thực x https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 30 NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến tốn tương giao A m < B m ≤ C m ≥ D m > Lời giải Từ đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) giả thiết ta có BBT hàm số y = f ( x ) sau: NHĨ M TỐ N VD – VDC Ta có f ( x ) + 2m − ≤ ⇔ − 2m ≥ f ( x ) ( *) Bất phương trình [*] với số thực x ⇔ − 2m ≥ m ax f ( x ) ¡ Câu Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục ¡ có đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) hình vẽ bên ) m ≥ sin a, b, c ∈ ¥ * c > 2b Tổng S = 2a + 3b − c A −9 B C Lời giải 3 Đặt g ( x ) = f ( x − x + 3) Ta có g ′ ( x ) = ( x − 1) f ′ ( x − x + 3) bπ , c D −   x − ≥  x −1 ≥   3   f ′ ( x − x + 3) ≥ 2 x − x + ≥  ⇒ Hàm số y = g ( x ) đồng biến g ′ ( x ) ≥ ⇒     x − < x − <     2 x − x + <    f ′ ( x − x + 3) <    x − ≥ x −1 ≥   2 x − x + ≥  2 x − x − ≥  ⇒ ⇒ ⇒ x ∈ ( −∞, −1,53) ∪ ( −1; −0,35 ) ∪ ( 1;1,88 ) 2   x − < x − >       2 x − x − < x − x + <    Ta thấy x ≈ 1,88 nghiệm lớn Để hàm số y = f ( x − x + 3) đồng biến với x > m ( m∈ ¡ ) m ≥ x ≈ 1,88 Ta tìm cách giải cụ thể giá trị x ≈ 1,88 nghiệm x − x − = phương pháp đổi biến lượng giác https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 31 NHĨ M TỐ NVD – VDC Để hàm số y = f ( x − x + 3) đồng biến với x > m ( m ∈ ¡ NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến toán tương giao π 2π ⇒t =± +k , với t ∈ [ 0;2π ] π 17π 17π b −25 = asin π = 2sin π (không thỏa mãn đk) ta t = t = Do 2cos 9 c 18 π b 2cos = asin π = 2sin π a = 2, b = 7; c = 18 ⇒ S = (thỏa mãn) c 18 ⇔ − 2m ≥ ⇔ m ≤ ⇒ Chọn B Đặt x = 2cost ⇒ 8cos t − 6cost − = ⇒ cos3t = Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình vẽ Bất phương trình f ( x ) ≥ f ( x ) −m +5 f ( x ) −m − + 27m 27 A f ( 3) ≤ m ≤ f ( 3) + B f ( −2 ) + ≤ m ≤ f ( 3) C f ( −2 ) − ≤ m ≤ f ( 3) NHĨ M TỐ N VD – VDC Câu nghiệm với x ∈ ( −2;3) D f ( 3) ≤ m ≤ f ( −2 ) − Lời giải Ta có với x ∈ ( −2;3) f ′ ( x ) < Ta có f ( 3) < f ( x ) < f ( −2 ) , ∀x ∈ ( −2;3) f ( 3) − 2m < f ( x ) − m < f ( −2 ) − m Đặt t = f ( x ) − m ⇒ f ( 3) − m < t < f ( −2 ) − m Ta có f ( x ) ≥ f ( x ) −m +5 f ( x ) −m 27 − + 27 m f ( x ) −m +5 f ( x ) −m − − 27 ( f ( x ) − m ) ≤ 2t + 5t − 27t − ≤ Vế trái có nghiệm t = 0; t = Xét dấu Câu NHĨ M TỐ NVD – VDC  f ( 3) − m ≥ ⇒ f ( −2 ) − ≤ m ≤ f ( 3) ⇒ Chọn Ta có ≤ t ≤ ⇒   f ( −2 ) − m ≤ C Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị sau: https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 32 NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến toán tương giao   f ′( x) < Ta có: g ′ ( x ) = f ′ ( x ) − x + < , ∀x ∈ ( 1; ) ∀x ∈ ( 1; ) ⇒   2 x − > Vậy ta có: g ( x ) = g ( ) = f ( ) ≥ m NHĨ M TỐ N VD – VDC Bất phương trình f ( x ) > x − x + m với x ∈ ( 1; ) A m ≤ f ( ) B m < f ( 1) − C m ≥ f ( ) − D m ≥ f ( 1) + Lời giải: Chọn A 2 Ta có: f ( x ) > x − x + m , ∀x ∈ ( 1; ) ⇒ g ( x ) = f ( x ) − x + x > m, ∀x ∈ ( 1; ) x∈( 1;2 ) Câu Cho hàm số y = f ( x) liên tục ¡ có bảng xét dấu đạo hàm sau Bất phương trình f ( x ) < e x + m với x ∈ ( −1;1) A m ≥ f ( ) − B m > f ( −1) − e C m > f ( ) − D m ≥ f ( −1) − e Lời giải Chọn A Đặt g ( x ) = e x Do x ∈ [ 0;1) ∀x ∈ ( −1;1) nên g ( x ) = e x ≥ e0 = f ( x ) = f ( ) , g ( x ) = g ( ) = Ta có xmax x∈( −1;1) ∈( −1;1) Bất phơng trình f ( x ) < e x + m với x ∈ ( −1;1) ⇔ f ( x ) − e x < m , ∀x ∈ ( −1;1) 2 ⇔ m ≥ max  f ( x ) − e x  = f ( ) −  x∈( −1;1)  Cho hàm số y = f ( x ) Hàm số y = f ′ ( x ) có bảng biến thiên sau  π cos x Bất phương trình f ( x ) > + 3m với x ∈  0; ÷  2 1 A m ≤  f ( ) − 2 B m <  f ( ) −  3 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 33 NHĨ M TỐ NVD – VDC Câu NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến toán tương giao  π   C m ≤  f  ÷− 1 3     π   D m <  f  ÷− 1 3    Lời giải Chọn A  π  π cos x cos x Ta có f ( x ) > + 3m ∀x ∈  0; ÷ ⇔ f ( x ) − > 3m ∀x ∈  0; ÷  2  2  π cos x Xét hàm g ( x ) = f ( x ) −  0; ÷  2 cos x Ta có g ′ ( x ) = f ′ ( x ) + sin x.ln NHĨ M TỐ N VD – VDC  π  π  π Vì f ′ ( x ) ≥ ∀x ∈  0; ÷; sin x > ∀x ∈  0; ÷ ⇒ 2cos x sin x.ln > ∀x ∈  0; ÷ nên ta suy  2  2  2  π g ′ ( x ) = f ′ ( x ) + 2cos x sin x.ln > ∀x ∈  0; ÷  2 Vậy ta có bảng biến thiên  π cos x Từ bảng biến thiên ta có bất phương trình f ( x ) > + 3m với x ∈  0; ÷  2 g ( ) ≥ 3m ⇔ 3m ≤ f ( ) − ⇔ m ≤  f ( ) −  Cho hàm số f ( x ) liên tục ¡ Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình vẽ Bất phương trình f ( 2sin x ) − 2sin x < m với x ∈ ( 0; π) 1 1 A m > f ( 1) − B m ≥ f ( 1) − C m ≥ f ( ) − D m > f ( ) − 2 2 Lời giải Chọn A Ta có: f ( 2sin x ) − 2sin x < m ( 1) Đặt 2sin x = t , x ∈ ( 0; π ) nên t ∈ ( 0; 2] https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 34 NHĨ M TỐ NVD – VDC Câu NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến toán tương giao Với t ∈ ( 0; 2] ( 1) trở thành: f ( t) − t2 tmax ∈( 0;2] với t2 g ( t) = f ( t) − NHĨ M TỐ N VD – VDC t =  Ta có g ′ ( t ) = f ′ ( t ) − t Từ đồ thị ta có: g ′ ( t ) = ⇔ f ′ ( t ) = t ⇔ t = t = Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên ta có m > max g ( 1) ⇔ m > f ( 1) − t∈( 0;2] bất phương trình f ( 2sin x ) − 2sin x < m với x ∈ ( 0; π) Cô Hương Bùi Cho hàm số y = f ( x ) Hàm số y = f ′ ( x ) có bảng biến thiên sau 1  Bất phương trình f ( x ) < ln x + m với x ∈  ;1÷ 3  1 1 A m > f  ÷+ ln B m < f ( 1) C m ≥ f  ÷+ ln D m ≥ f ( 1) 3 3 Lời giải Chọn C Điều kiện x > 1  1  f ( x ) < ln x + m , ∀x ∈  ;1÷ ⇔ m > f ( x ) − ln x , ∀x ∈  ;1÷ 3  3  https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 35 NHĨ M TỐ NVD – VDC Câu NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến toán tương giao Tìm tất giá trị tham số m để bất phương trình − NHĨ M TỐ N VD – VDC Đặt g ( x ) = f ( x ) − ln x ⇒ g ′ ( x ) = f ′ ( x ) − x 1   Xét đoạn  ;1 ta có: f ′ ( x ) ≤ − < ⇒ g ′ ( x ) < x 3  1  1 1  ⇒ Hàm số g ( x ) nghịch biến đoạn  ;1 ⇒ g  ÷ > g ( x ) , ∀x ∈  ;1÷ 3  3 3  1  1 1 Vậy m > f ( x ) − ln x , ∀x ∈  ;1÷ ⇒ m ≥ g  ÷ = f  ÷+ ln 3  3 3 Câu 10 Cho hàm số y = f ( x) liên tục ¡ hàm số y = f ′( x) có đồ thị hình vẽ f (−3 x − 8) ≥ x + 16 x − m với x ∈ [ −2; 0] : f (−2) − 14 C m ≥ f (−2) − A m ≤ 40 f (−4) − 3 40 D m ≥ f (−4) − 3 Lời giải B m ≤ Chọn D Bất phương trình cho tương đương với: f (−3x − 8) + x + 16 x ≤ m với x ∈ [ −2;0] Xét hàm số g ( x) = f (−3x − 8) + x + 16 x với x ∈ [ −2;0] Ta có: g ′( x) = − f ′( −3 x − 8) + x + 16 g ′( x) = ⇔ − f ′(−3 x − 8) + x + 16 = ⇔ f ′(−3 x − 8) = x + 16 (1) Đặt t = −3x − phương trình (1) trở thành: f ′(t ) = −3t − (2) Số nghiệm phương trình (2) số giao điểm ĐTHS y = f ′(t ) đường thẳng y = −3t − NHĨ M TỐ NVD – VDC https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 36 NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến tốn tương giao NHĨ M TỐ N VD – VDC −4  x= t = −4  −3 x − = −4  ⇔ ⇔ Từ đồ thị ta được: (2) ⇔   t = −2  −3 x − = −2  x = −2 Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên suy ra: Bất phương trình f (−3x − 8) + x + 16 x ≤ m với x ∈ [ −2;0] khi: 40 max g ( x) ≤ m ⇔ m ≥ f (−4) − [ −2;0] 3 Câu 11 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ có đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) hình vẽ (  π π sin x ≥ 5sin x + 10 x + m thỏa mãn ∀x ∈  − ; ÷ ?  2 ) https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 37 NHĨ M TỐ NVD – VDC Tìm m để bất phương trình f NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến toán tương giao Chọn B Ta có f (  ÷ 5  ÷ 5   B m ≤ f ( −1) + − 10 arcsin  − ÷ 5    D m ≤ f ( ) + − 10 arcsin  ÷  5 Lời giải ) sin x ≥ 5sin x + 10 x + m ⇔ m ≤ f Xét hàm số g ( x ) = f g ′ ( x ) = cos x f ′ ( ) ) ) ( = cos x  f ′ sin x − cos x     π π Do x ∈  − ; ÷ nên cos x = − sin x >  2 Khi g ′ ( x ) = ⇔ f ′ ) sin x − 5sin x − 10 x  π π sin x − 5sin x − 10 x  − ; ÷ ta có  2 sin x − 10 cos x − 10 = cos x f ′ sin x − 20 cos x ( ( ( ( ) sin x = cos x ⇔ f ′ ( ) NHÓ M TOÁ N VD – VDC  A m ≤ f ( 1) − + 10 arcsin    C m ≤ f ( ) − + 10 arcsin   ) sin x = − 5sin x Đặt t = sin x ta f ′ ( t ) = − t Xét hàm số y = − x có đồ thị nửa đường trịn tâm O bán kính hồnh nằm phía trục Dựa vào đồ thị suy f ′ ( t ) = − t ⇔ t ∈ { −1;1; 2}     x = arcsin  − ÷ = x1 5   sin x = −1      ⇔  sin x = ⇔  x = arcsin  ÷ = x2  5    sin x =     x = arcsin  ÷ = x3  5   π π Ta có bảng biến thiên g ( x )  − ; ÷ là:  2 NHĨ M TỐ NVD – VDC https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 38 NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến toán tương giao x = −1, x = Dựa vào đồ thị ta thấy diện tích hình ( H ) lớn Vì f ( ) − f ( −1) = ∫ f ′ ( x ) dx = S ( H ) NHĨ M TỐ N VD – VDC     Ta có g ( x1 ) = f ( −1) + − 10 arcsin  − ÷ g ( x3 ) = f ( ) − + 10 arcsin  ÷ 5   5 Gọi ( H ) hình phẳng giới hạn đồ thị y = f ′ ( x ) trục hoành hai đường thẳng nên f ( ) > f ( −1) + −1     Do g ( x3 ) = f ( ) − + 10 arcsin  ÷ > f ( −1) + 12 + 10 arcsin  ÷ > g ( x1 )  5  5    π π Vậy để m ≤ g ( x ) với ∀x ∈  − ; ÷ m ≤ g ( x1 ) = f ( −1) + − 10 arcsin  − ÷ 5  2  Câu 12 Cho hàm số y = f ( x ) Hàm số y = f ′ ( x ) có bảng biến thiên sau ( ) x 2x Bất phương trình f e < e + m nghiệm với x ∈ ( ln 2; ln ) A m ≥ f ( ) − B m ≥ f ( ) − 16 C m > f ( ) − Lời giải D m > f ( ) − 16 Chon A ( ) x 2x Ta có f e < e + m nghiệm với x ∈ ( ln 2;ln ) m > f ( e x ) − e x , ∀x ∈ ( ln 2; ln ) (*) NHĨ M TỐ NVD – VDC x Đặt t = e ⇒ t ∈ ( 2; ) Bất phương trình (*) trở thành : m > f ( t ) − t , ∀t ∈ ( 2; ) Xét hàm số g ( t ) = f ( t ) − t ( 2; ) Ta có g ′ ( t ) = f ′ ( t ) − 2t < ( f ′ ( t ) < 4, ∀t ∈ ( 2; ) ) Vậy g ( t ) = f ( t ) − t nghịch biến ( 2; ) https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 39 NHÓM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến tốn tương giao Suy : g ( t ) < g ( ) = f ( ) − Do để thỏa mãn u cầu tốn ta có m ≥ f ( ) − Câu 13 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình NHĨ M TỐ N VD – VDC Bất phương trình f ( x ) ≤ x − 3x + m với x ∈ ( −1;3) A m > f ( 3) Chọn D B m ≥ f ( 3) C m > f ( −1) + D m ≥ f ( −1) + 3 Ta có: f ( x ) ≤ x − 3x + m ⇔ f ( x ) − x + 3x ≤ m với x ∈ ( −1;3) Xét g ( x) = f ( x) − x + x với x ∈ ( −1;3) 2 Khi đó: g ′( x) = f ′( x) − 3x + x =  f ′( x) − x + x  Nghiệm phương trình g ′( x) = hoành độ giao điểm đồ thị y = f ′( x) parabol y = x2 − 2x NHĨ M TỐ NVD – VDC Phương trình g ′( x) = có ba nghiệm x = −1; x = 3; x = đoạn [ −1;3] lim g ( x ) = lim+ 3 f ( x ) − x3 + x  = f ( −1) + ; x →−1 x →−1+ https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 40 ... https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến toán tương giao Chọn D Từ đồ thị (C) cho hàm số y = f ′ ( x ) ta suy đồ thị (C’) hàm số y = f ′ ( x + 1) cách tịnh tiến (C) sang... TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến toán tương giao Dựa vào bảng biến thiến hàm số y = f ''( x) xét dấu hàm số y = g ''( x) Lưu ý: 1) Hàm số y = f ( x); y = g ( x ) đồng biến(nghịch biến) K hàm số y... https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 26 NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến toán tương giao Câu 17 Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình bên NHĨ M TỐ N VD – VDC Dựa vào đồ thị ta có tập nghiệm bất phương trình