NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến tốn tương giao CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN XÉT SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ Dạng 1: Biết đồ thị BBT hàm số y = f ( x ) , xét tốn liên quan đến phương trình có NHĨ M TỐ N VD – VDC dạng f ( x ) = a , f ( u ( x ) ) = a Dạng 2: Biết đồ thị BBT hàm số y = f ( x ) , xét toán liên quan đến phương trình có dạng f ( x ) = g ( m ) , f ( u ( x ) ) = g ( m ) Dạng 3: Biết đồ thị BBT hàm số y = f ( x ) , xét toán liên quan đến phương trình có dạng f ( x ) = f ( m ) , f ( u ( x ) ) = f ( m ) Dạng 4: Biết đồ thị BBT hàm số y = f ( x ) , xét toán liên quan đến phương trình có ( ) dạng f ( x ) = a ; f ( x ) = a ; f u ( x ) = a ; f ( u ( x ) ) = a Dạng 5: Biết đồ thị BBT hàm số y = f ( x ) , xét tốn liên quan đến phương trình có ( ) dạng f ( x ) = g ( m ) ; f ( x ) = g ( m ) ; f u ( x ) = g ( m ) ; f ( u ( x ) ) = g ( m ) Dạng 6: Biết đồ thị BBT hàm số y = f ( x ) , xét toán liên quan đến phương trình có dạng f ( x ) = g ( x ) ; f ( u ( x ) ) = g ( v ( x ) ) bất phương trình chứa f ' ( x ) ; f '' ( x ) NHĨ M TỐ N VD – VDC Dạng 7: Biết đồ thị BBT hàm số y = f ( x ) , xét tốn liên quan đến phương trình, Dạng 8: Biết đồ thị BBT hàm số y = f ' ( x ) , xét tốn liên quan đến phương trình có dạng f ( x ) = 0; f ( u ( x ) ) = 0; f ( x ) = g ( x ) ; f ( u ( x ) ) = g ( v ( x ) ) Dạng 9: Biết đồ thị BBT hàm số y = f ' ( x ) , xét tốn liên quan đến phương trình có dạng f ( x ) = m ; f ( u ( x ) ) = m ; f ( x ) = g ( m ) ; f ( u ( x ) ) = g ( m ) Dạng 10: Biết số nghiệm phương trình f ( x ) = , xét toán liên quan đến phương trình có chứa f ' ( x ) ; f '' ( x ) Dạng 11: Biết đồ thị BBT hàm số y = f ( x ) , xét toán liên quan đến BẤT PHƯƠNG TRÌNH có dạng f ( x ) ≥ g ( x ) ; f ( u ( x ) ) ≥ g ( x ) ( > , < , ≤ ) có tham số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến toán tương giao Dạng 12: Biết đồ thị BBT hàm số y = f ' ( x ) , xét toán liên quan đến BẤT PHƯƠNG TRÌNH có dạng f ( x ) ≥ g ( x ) ; f ( u ( x ) ) ≥ g ( x ) ( > , < , ≤ ) có tham số NHĨ M TỐ N VD – VDC NHĨ M TỐ N VD – VDC https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến tốn tương giao CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN XÉT SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ (PHẦN Từ dạng đến dạng 4) Dạng 1: Biết đồ thị BBT hàm số y = f ( x ) , xét tốn liên quan đến phương trình có dạng f ( x ) = a , f ( u ( x ) ) = a Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ NHĨ M TỐ N VD – VDC Câu Số nghiệm thuộc khoảng ( 0; π ) phương trình f ( sin x ) = −4 B A C Lời giải D Chọn C NHĨ M TỐ N VD – VDC sin x = α ∈ ( −1;0 ) Xét phương trình: f ( sin x ) = −4 ⇔  sin x = β ∈ ( 0;1) Vì x ∈ ( 0; π ) ⇒ sin x ∈ ( 0;1] Suy với x ∈ ( 0; π ) f ( sin x ) = −4 ⇔ sin x = β ∈ ( 0;1) Vậy phương trình cho có nghiệm x ∈ ( 0; π ) (thỏa mãn) Vậy chọn Câu C Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ có bảng biến thiên sau: https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến tốn tương giao 13 có nghiệm thuộc khoảng A B C Lời giải  π π  − ; ÷?  2 D NHĨ M TỐ N VD – VDC Phương trình f ( cos x ) = Chọn C  π π Đặt t = cos x , x ∈  − ; ÷ ⇒ t ∈ ( 0;1]  2 13 13 Phương trình f ( cos x ) = trở thành f ( t ) = 3 13 có nghiệm t ∈ ( 0;1) Với nghiệm t ∈ ( 0;1) , thay vào phép đặt ta phương trình cosx = t có hai nghiệm Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình f ( t ) =  π π phân biệt thuộc thuộc khoảng  − ; ÷  2 13 Vậy phương trình f ( cos x ) = có hai nghiệm phân biệt thuộc thuộc khoảng Cho hàm số y = f ( x ) xác định ¡ \ { 0} có bảng biến thiên sau NHĨ M TỐ N VD – VDC Câu  π π  − ; ÷  2 Số nghiệm phương trình f ( x − ) − = A C Lời giải B D Chọn C f ( 3x − ) − = ⇔ f ( 3x − ) = Đặt t = 3x − , phương trình trở thành f ( t ) = Với nghiệm t có nghiệm x = t +5 nên số nghiệm t phương trình f ( t ) = số nghiệm phương trình f ( 3x − 5) − = https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến toán tương giao Dựa vào bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) suy phương trình f ( t ) = có nghiệm phân biệt nên phương trình f ( x − ) − = có nghiệm phân biệt Câu f ( x ) = lim f ( x ) = −∞ có Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ thỏa mãn điều kiện xlim →−∞ x →+∞ đồ thị hình NHĨ M TỐ N VD – VDC ) ( Với giả thiết, phương trình f − x + x = a có nghiệm Giả sử tham số a thay đổi, phương trình cho có nhiều m nghiệm có n nghiệm Giá trị m + n A B C Lời giải D Chọn C Đặt t = − x + x ( 1) ⇒ t ∈ (−∞;1] Dễ thấy phương trình ( 1) ln có nghiệm ∀t ∈ ( −∞;1] Phương trình cho có dạng: f ( t ) = a (2), t ≤ NHĨ M TỐ N VD – VDC Dễ thấy điều kiện phương trình cho x ≥ Số nghiệm phương trình cho số nghiệm (2) Đồ thị hàm số y = f ( t ) , t ≤ có dạng: https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến tốn tương giao NHĨ M TỐ N VD – VDC Do đó: (2) vơ nghiệm a > (2) có hai nghiệm −3 ≤ a < (2) có nghiệm a = a < −3 Vậy m = 2, n = ⇒ m + n = Câu Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ có đồ thị hình vẽ Gọi m số nghiệm ( ) phương trình f f ( x ) = Khẳng định sau đúng? B m = C m = Lời giải Chọn B https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc D m = NHĨ M TỐ N VD – VDC A m = Trang NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến toán tương giao  x = x1 ∈ ( − 1;0 )  Ta có: f ( x ) = ⇔  x = x2 ∈ ( 0;1) x = x >  +) Xét (1): f ( x ) = x1 ∈ ( −1;0 ) , ta có đường thẳng y = x1 cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) điểm phân biệt nên phương trình ( 1) có nghiệm phân biệt +) Xét ( ) : f ( x ) = x2 ∈ ( 0;1) , ta có đường thẳng y = x2 cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) NHĨ M TỐ N VD – VDC  f ( x ) = x1 ( 1)  Suy ra: f ( f ( x ) ) = ⇔  f ( x ) = x2 ( ) f x =x 3( )  ( ) điểm phân biệt nên phương trình ( ) có nghiệm phân biệt +) Xét ( 3) : f ( x ) = x3 > , ta có đường thẳng y = x3 cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) điểm nên phương trình ( 3) có nghiệm Do nghiệm khơng trùng nên tổng số nghiệm là: m = + + = Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ sau Số nghiệm phương trình f ( 2sin x ) = đoạn [ 0; 2π ] A B C Lời giải D NHĨ M TỐ N VD – VDC Câu Chọn C Đặt t = 2sin x , t ∈ [ −2; 2] Xét phương trình f ( t ) = , dựa vào đồ thị ta thấy https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến toán tương giao = −3 = −2 = −1 =5 ( l) ( n )  sin x = −2 sin x = −1 ⇔ ⇔ ( n )  2sin x = −1 sin x = −  ( l) Với sin x = −1 ⇔ x = − π 3π + k 2π , x ∈ [ 0; 2π ] ⇒ x = 2 NHĨ M TỐ N VD – VDC t  t f ( t) = ⇔  t t  π   x = − + k 2π 5π 4π Với sin x = − ⇔  , x ∈ [ 0; 2π ] ⇒ x = , 3  x = 4π + k 2π  Vậy phương trình có nghiệm Câu Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ có đồ thị hình vẽ Phương trình f ( f ( x ) ) = có nghiệm B C Lời giải D Chọn D NHĨ M TỐ N VD – VDC A  x = a ( a ∈ ( −2; −1) )  f x = Phương trình ( ) có ba nghiệm phân biệt là:  x = b ( b ∈ ( 0;1) )   x = c ( c ∈( 1;2 ) ) Các phương trình f ( x ) = a, f ( x ) = b, f ( x ) = c có nghiệm phân biệt https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến toán tương giao Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ Số nghiệm phương trình f ( x) − = A B C Lời giải D NHĨ M TỐ N VD – VDC Câu Chọn B Ta có f ( x ) − = ⇔ f ( x ) = ( 1) Phương trình ( 1) phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số y = f ( x ) đường Số nghiệm ( 1) số giao điểm hai đồ thị hàm số Dựa vào đồ thị hai hàm số y = f ( x ) , y = NHĨ M TỐ N VD – VDC thẳng y = ta thấy hai đồ thị cắt điểm phân biệt nên phương trình ( 1) có nghiệm phân biệt Vậy phương trình ban đầu có nghiệm phân biệt Câu Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau Số nghiệm thực phương trình f ( x ) − = https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến toán tương giao A C Lời giải B Phương trình f ( x ) − = ⇔ f ( x ) = D Số nghiệm phương trình cho số giao điểm đồ thị hàm số y = f ( x ) với đường NHĨ M TỐ N VD – VDC thẳng y = Từ bảng biến thiên suy số nghiệm thực phương trình f ( x ) − = Câu 10 Cho hàm số f ( x ) liên tục ¡ có đồ thị y = f ( x ) hình vẽ bên Phương trình f ( − f ( x ) ) = có tất nghiệm phân biệt A B C D Lời giải Chọn B  x = a ( −2 < a < −1)  f ( x ) = ⇔  x = b ( < b < 1) ⇒ f ( − f ( x) ) = ⇔ x = c < c < ( )  2 − f ( x ) = a  2 − f ( x ) = b ⇔ 2 − f x = c ( )  NHĨ M TỐ N VD – VDC Theo đồ thị:  f ( x ) = − a ( 1)   f ( x ) = − b ( 2)  f x = 2−c ( )  ( ) Nghiệm phương trình (1); (2); (3) giao điểm đường thẳng y = − a ; y = − b ; y = − c với đồ thị hàm số f ( x )  a ∈ ( −2;1) ⇒ − a ∈ ( 3; ) suy phương trình (1) có nghiệm  b ∈ ( 0;1) ⇒ − b ∈ ( 1; ) suy phương trình (2) có nghiệm  c ∈ ( 1;2 ) ⇒ − c ∈ ( 0;1) suy phương trình (3) có nghiệm phân biệt Kết luận: Có tất nghiệm phân biệt Câu 11 Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 10 NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến toán tương giao  x − x = a1 , ( −2 < a1 < )  3 * Phương trình f ( x − x ) = ⇔  x − x = a2 , ( < a2 < )   x − x = a3 , ( a3 > ) ) ⇔ x − 3x = a4 , ( a4 < −2 ) Đồ thị hàm số y = x3 − 3x có dạng hình vẽ sau: NHĨ M TỐ N VD – VDC ( * Phương trình f x − 3x = − Dựa vào đồ thị ta có: - Phương trình x − x = a1 có nghiệm phân biệt - Phương trình x3 − x = a3 có nghiệm - Phương trình x3 − x = a4 có nghiệm ( ) Vậy phương trình f x − 3x = Câu có nghiệm phân biệt NHĨ M TỐ N VD – VDC - Phương trình x3 − x = a2 có nghiệm phân biệt Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ bên Số nghiệm thực phương trình f ( x − x ) = https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 46 NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến tốn tương giao NHĨ M TỐ N VD – VDC A B C Lời giải D 10 Chọn A Phương trình f ( x − x )  f ( x4 − x2 ) = =2⇔   f ( x − x ) = −2  NHĨ M TỐ N VD – VDC * Phương trình f ( x − x ) (  x − x = b, ( −1 < b < )  = ⇔  x − x = c, ( < c < 1)   x − x = d , ( < d < 3) ) 4 * Phương trình f x − x = −2 ⇔ x − x = a, ( −2 < a < −1) https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 47 NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến toán tương giao Đồ thị hàm số y = x − x hình vẽ sau: NHĨ M TOÁ N VD – VDC Dựa vào đồ thị ta có: - Phương trình x − x = a , ( −2 < a < −1) khơng có nghiệm thực - Phương trình x − x = b, ( −1 < b < ) có nghiệm thực phân biệt - Phương trình x − x = c, ( < c < 1) có nghiệm thực phân biệt - Phương trình x − x = d , ( < d < 3) có nghiệm thực phân biệt Câu NHĨ M TỐ N VD – VDC Vậy phương trình f ( x − x ) = có nghiệm thực phân biệt Cho hàm số trùng phương y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ bên Số nghiệm thuộc [ 0; 2p) phương trình f ( cos x) = A B C D Lời giải https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 48 NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến toán tương giao Chọn D NHĨ M TỐ N VD – VDC f Ta có f ( cos x ) =1 ⇔   f cos x =  cos x = a > ( VN ) ( cos x ) =  cos x = ⇔ ⇔ ⇔ sin x = ( cos x ) = −1 cos x = b < −1 ( VN ) sin x = cos x = ±1 Phương trình sin x = có nghiệm thuộc [ 0; 2p) Câu Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ bên ( ) Số nghiệm thực phương trình f x − 3x = B A C Lời giải D Chọn B ( 1) Đặt t = x − 3x , ta có: t ′ = 3x − ; t ′ = ⇔ x = ±1 Bảng biến thiên: ( ) Xét phương trình: f x − x = NHĨ M TỐ N VD – VDC với t ∈ ¡ Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) ban đầu, ta suy đồ thị hàm số y = f ( t ) sau: Phương trình ( 1) trở thành f ( t ) = https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 49 NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến tốn tương giao NHĨ M TỐ N VD – VDC có nghiệm t1 < −2 < t2 < t3 < < t4 Từ bảng biến thiên ban đầu ta có: +) x − x = t1 có nghiệm x1 +) x − x = t4 có nghiệm x2 Suy phương trình f ( t ) = +) x − x = t2 có nghiệm x3 , x3 , x5 +) x − 3x = t3 có nghiệm x6 , x7 , x8 Vậy phương trình f x − 3x = có nghiệm Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) hình vẽ: Câu ) Tìm số nghiệm phương trình f ( x ) = A B NHĨ M TỐ N VD – VDC ( C Lời giải D Chọn D Cách 1: Đồ thị hàm y = f ( x ) gồm phần: + Phần đồ thị y = f ( x ) nằm Ox (Kể giao điểm trục Ox ) + Phần đồ thị lấy đối xứng qua Ox đồ thị y = f ( x ) nằm Ox Từ ta có đồ thị của hàm số y = f ( x ) https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 50 NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến tốn tương giao y -2 -1 NHÓ M TOÁ N VD – VDC x -1 -2 Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) nên f ( x ) = có nghiệm Cách 2:  f ( x ) = − ( *)  f ( x) = ⇔   f ( x ) = ( **)  y -2 -1 -1 -2 y= NHĨ M TỐ N VD – VDC x y=− Dựa vào đồ thị trên: -Phương trình f ( x ) = − : có nghiệm -Phương trình f ( x ) = Vậy f ( x ) = Câu : có nghiệm có nghiệm Đồ thị hàm số y = −2 x3 + x − 12 x + hình vẽ Phương trình x − x + 12 x − = có nghiệm phân biệt? https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 51 NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến toán tương giao y NHĨ M TỐ N VD – VDC O x −1 A C Lời giải B D Chọn C Xét phương trình x − x + 12 x − =0 ⇔ −2 x + x − 12 x + = 17 (*) Số nghiệm phương trình (*) số giao điểm đồ thị hàm số y = −2 x + x − x + đường thẳng y = 17 Hình vẽ đồ thị hàm số y = −2 x + x − x + (C) Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng y = 17 cắt đồ thị (C ) nghiệm phân biệt y −1 O NHĨ M TỐ N VD – VDC −2 x −1 Câu Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục ¡ có bảng biến thiên Số nghiệm phương trình f ( x − x − 1) = A B C https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc D Trang 52 NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến toán tương giao Lời giải Chọn D Đặt t = x − x − , t ≥ −2 Khi đó, phương trình thành f ( t ) = Từ bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) suy phương trình f ( x ) = có nghiệm là: NHĨ M TỐ N VD – VDC x1 , x2 , x3 , x4 thỏa mãn x1 < −2 < x2 < < x3 < < x4 Ta có bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) Từ bảng biến thiên suy phương trình f ( t ) = có nghiệm phân biệt t1 , t2 , t3 , t4 , t5 , t6 thỏa mãn t1 < x1 < t2 < −2 < t3 < x2 < < x3 < t4 < < t5 < x4 < t6 Xét hàm số y = x − x − có y′ = x − = ⇔ x = Ta có bảng biến thiên NHĨ M TOÁ N VD – VDC 2 Từ bảng biến thiên có phương trình x − x − = t1 x − x − = t2 vơ nghiệm Mỗi phương trình x − x − = t với t ∈ { t3 , t , t5 , t6 } có hai nghiệm phân biệt nghiệm phân biệt Vậy phương trình f ( x − x − 1) = có nghiệm phân biệt Câu Cho hàm số y = f ( x ) = ax + b có đồ thị hình vẽ bên cx + d https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 53 NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến toán tương giao Tất giá trị m để phương trình f ( x ) = m có hai nghiệm phân biệt A < m B m ≥ m ≤ C m > m < Lời giải D < m < Chọn C Hàm số y = f ( x ) hàm số chẵn nên nhận Oy làm trục đối xứng Đồ thị hàm số y = f ( x ) gồm phần: + Phần 1: Đồ thị hàm số y = f ( x ) với x ≥ NHĨ M TỐ N VD – VDC Số nghiệm phương trình f ( x ) = m (1) số giao điểm đồ thị hàm số y = f ( x ) đường thẳng y = m + Phần 2: Lấy đối xứng đồ thị hàm số y = f ( x ) với x ≥ qua trục Oy Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt đường thảng y = m cắt đồ thị y = f ( x ) điểm phân biệt Từ đồ thị ta có m > 2; m < NHĨ M TỐ N VD – VDC Câu Cho hàm số y = f ( x ) = ax + bx + cx + d , ( a, b, c, d ∈ ¡ , a ≠ ) , có bảng biến thiên hình sau Phương trình f ( x ) = có nghiệm dương phân biệt? A B C Lời giải D Chọn D Ta có: y ( ) = y ( −1) + y ( 1) = 2 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 54 NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến toán tương giao Bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) là: NHĨ M TỐ N VD – VDC Từ bảng biến thiên ta có: Phương trình f ( x ) = có nghiệm dương Câu 10 Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị ( C ) hình vẽ bên Phương trình f ( x + 1) = có nghiệm âm phân biệt? A B C Lời giải D Chọn D Đồ thị ( C1 ) hàm số y = f ( x + 1) vẽ cách tịnh tuyến đồ thị ( C ) sang trái đơn vị ta đồ thị hình vẽ bên NHĨ M TỐ N VD – VDC Đồ thị ( C2 ) hàm số y = f ( x + 1) vẽ cách + Giữ nguyên phần đồ thị ( C1 ) nằm phía trục hoành điểm trục hoành ta đồ thị ( C3 ) + Lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị ( C1 ) nằm phía trục hồnh ta đồ thị ( C4 ) + Khi ( C2 ) = ( C3 ) ∪ ( C4 ) có đồ thị hình vẽ https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 55 NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến tốn tương giao NHĨ M TOÁ N VD – VDC Từ đồ thị ( C2 ) dễ thấy phương trình f ( x + 1) = có nghiệm âm phân biệt Câu 11 Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên hình vẽ Phương trình f ( − 3x ) + = có nghiệm? A B C D Lời giải Chọn A f ( x ) = m , m tham số sau:  m < −3 +/ Nếu  phương trình có nghiệm  m>  m = −3 +/ Nếu  phương trình có nghiệm phân biệt  m= NHĨ M TỐ N VD – VDC Cách 1: Dựa vào BBT đồ thị hàm số y = f ( x ) ta có số nghiệm phương trình +/ Nếu −3 < m< phương trình có nghiệm phân biệt  f ( − 3x ) + =  f ( − 3x ) = ⇔ Ta có phương trình f ( − x ) + = ⇔   f ( − x ) + = −3  f ( − x ) = −4 1 − x = a1 1 − x = a Từ kết ta suy  1 − x = a3  1 − x = a4 (a4 < f ( α ) < a1 < −1 < a2 < < a3 ; f ( α ) = f ( 3) = −3) https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 56 NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến tốn tương giao Vậy phương trình f ( − 3x ) + = có nghiệm phân biệt  x = −1 ⇒ f ( −1) = Cách : Dựa vào BBT ta có: f ′ ( x ) = ⇔   x = ⇒ f ( 3) = −3  x=  1 − x = −1 ⇔ g ′ ( x ) = −3 f ′ ( − 3x ) Suy g ′ ( x ) = ⇔ f ′ ( − x ) = ⇔  1 − x = x = −  2  2 g  ÷ = f ( −1) + = ; g  − ÷ = f ( 3) + = −2 3  3 NHĨ M TỐ N VD – VDC Xét hàm số g ( x ) = f ( − 3x ) + Ta có: Mặt khác f ′ ( x ) < ⇔ −1 < x < Do f ′ ( − x ) < 2 ⇔ −1 < − x < ⇔ −2 < −3 x < ⇔ − < x < 3 2 Suy ra: g ′ ( x ) = −3 f ′ ( − x ) > ⇔ − < x < nên ta có bảng biến thiên sau 3 NHĨ M TOÁ N VD – VDC Dựa vào bảng biến thiên suy phương trình f ( − 3x ) + = có nghiệm Câu 12 Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên hình vẽ https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 57 NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến toán tương giao Hỏi phương trình f ( x + 2017 ) − 2018 = 2019 có nghiệm? A B C Lời giải D Chọn C Xét đồ thị hàm số y = f ( x + 2017 ) − 2018 có cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = f ( x ) NHĨ M TỐ N VD – VDC song song với trục Ox sang trái 2017 đơn vị, sau tịnh tiến song song với trục Oy xuống 2018 đơn vị Ta bảng biến thiên hàm số y = g ( x ) = f ( x + 2017 ) − 2018 sau Khi đồ thị hàm số y = f ( x + 2017 ) − 2018 gồm hai phần: + Phần đồ thị hàm số y = g ( x ) = f ( x + 2017 ) − 2018 nằm phía trục hồnh + Và phần đối xứng đồ thị y = g ( x ) = f ( x + 2017 ) − 2018 nằm phía trục hồnh Do ta có bảng biến thiên hàm số y = g ( x ) sau NHĨ M TỐ N VD – VDC Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, phương trình f ( x + 2017 ) − 2018 = 2019 có nghiệm Câu 13 Cho hàm số y = f ( x ) xác định ¡ f ( x−2) = − có đồ thị hình bên Hỏi phương trình có nghiệm? https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 58 NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến toán tương giao y x -1 O -1 C Lời giải D Chọn A + Trước tiên tịnh tiến đồ thị sang phải đơn vị để đồ thị hàm số y = f ( x − ) ( C1 ) NHĨ M TỐ N VD – VDC B A + Tiếp theo xóa bỏ phần đồ thị phía bên trái đường thẳng x = + Cuối lấy đối xứng phần đồ thị lại qua đường thẳng x = Ta toàn phần đồ thị hàm số y = f ( x − ) (hình vẽ bên dưới) ( C2 ) y y y  f  x  2 y  f  x 2 O -1 x 1 O x -1 y  + Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x − ) , ta thấy đường thẳng y = − y = f ( x − ) điểm phân biệt  → phương trình f ( x − ) = − cắt đồ thị hàm số có nghiệm phân biệt Câu 14 Cho hàm số y = f ( x ) xác định ¡ và có bảng biến thiên sau: NHĨ M TỐ N VD – VDC Số nghiệm phương trình f ( x − x ) = A B C Lời giải D Chọn C  f ( x2 − 2x ) = Ta có f ( x − x ) = ⇔   f ( x − x ) = −3  Dựa vào đồ thị ta thấy: https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 59 NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến toán tương giao 2 + Phương trình f ( x − x ) = ( 1) ⇔ x − x = a ( a > 1) ⇔ x − x − a = Vì ∆ = + a > nên phương trình ( 1) có nghiệm phân biệt 2 + Phương trình f ( x − x ) = −3 ( ) ⇔ x − x = b ( b < −1) ⇔ x − x − b = Vì ∆ = + b < nên phương trình ( ) vơ nghiệm Câu 15 Cho hàm số f ( x ) = ax + bx + cx + d ( a, b, c, d ∈ ¡ ) có đồ thị hình vẽ Tìm tất giá trị thực tham số m đề phương trình f ( x ) + m = có nghiệm thực phân biệt A − < m < B −1 < m < NHĨ M TỐ N VD – VDC Vậy số nghiệm phương trình f ( x − x ) = C −2 < m < Lời giải D −6 < m < Chọn D −m f ( x ) hàm chẵn nên đồ thị hình bên: NHĨ M TỐ N VD – VDC Ta có: f ( x ) + m = ⇔ f ( x ) = Từ đồ thị ta có phương trình f ( x ) + m = có nghiệm thực phân biệt khi: −1 < −m < ⇔ − 6< m < https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 60 ... TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến tốn tương giao CÁC DẠNG TỐN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN XÉT SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ (PHẦN Từ dạng đến dạng 4) Dạng 1: Biết đồ thị BBT hàm số y =... VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến toán tương giao Dạng 3: Biết đồ thị BBT hàm số y = f ( x ) , xét toán liên quan đến phương trình có dạng f ( x ) = f ( m ) , f ( u ( x ) ) = f ( m ) Câu Cho hàm số... 15 NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến toán tương giao Số nghiệm phương trình f ( x ) = số giao điểm đồ thị hàm số y = f ( x ) đường thẳng y = Dựa vào đồ thị ta thấy số giao điểm Vậy phương