ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN THỊ YẾN MAI TÍNH CHẤT ĐẶC TRƯNG CỦA HÀM TỰA LỒI LIPSCHITZ ĐỊA PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN THỊ YẾN MAI TÍNH CHẤT ĐẶC TRƯNG CỦA HÀM TỰA LỒI LIPSCHITZ ĐỊA PHƯƠNG Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS ĐỖ VĂN LƯU Thái Nguyên - Năm 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mục lục i Mở đầu Nội dung ĐẶC TRƯNG CỦA ÁNH XẠ K- TỰA LỒI VÔ HƯỚNG 1.1 Các khái niệm kết bổ trợ 1.2 Đặc trưng ánh xạ tựa đơn điệu 13 1.3 Các ánh xạ đơn điệu tựa đơn điệu 17 1.4 Đặc trưng tính tựa lồi vơ hướng tính lồi ánh xạ Lipschitz địa phương 28 ĐẶC TRƯNG CỦA TÍNH TỰA LỒI CHO HÀM LIPSCHITZ ĐỊA PHƯƠNG VÉC TƠ 35 2.1 Các khái niệm kết bổ trợ 35 2.2 Tính chất hình học hàm tựa lồi 38 2.3 Đặc trưng hàm tựa lồi ngôn ngữ đạo hàm theo phương suy rộng 39 2.4 Đặc trưng hàm tựa lồi ngôn ngữ Jacobian suy rộng Clarke 42 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Lý thuyết giải tích lồi có nhiều ứng dụng tốn học ứng dụng việc nghiên cứu tốn mơ hình hóa kinh tế kĩ thuật Ta biết hàm f giá trị thực lồi tập mức f lồi, điều ngược lại khơng Từ nhận xét người ta lớp hàm f : Rm → R tựa lồi tập mức f lồi Như f tựa lồi f (λx1 + (1 − λ)x2 ) ≤ max{f (x1 ), f (x2 )}, với x1 , x2 ∈ Rm λ ∈ [0, 1] Lớp hàm tựa lồi có nhiều ứng dụng lý thuyết tối ưu hóa Nhiều nghiên cứu cho ta tính chất phong phú hàm tựa lồi, đặc biệt tính chất đặc trưng qua tính tựa đơn điệu đạo hàm, đạo hàm suy rộng jacobian suy rộng P H Sach [10] nghiên cứu tính chất đặc trưng để hàm véc tơ Lipschitz địa phương f : Rm → Rn K- tựa lồi vô hướng theo nghĩa: ∀η ∈ K + (nón cực khơng âm nón lồi đóng K), η T f hàm tựa lồi giá trị thực Tác giả thiết lập điều kiện cần đủ để f K- tựa lồi vô hướng ngôn ngữ khái niệm tựa đơn điệu Jacobian suy rộng Clarke f ánh xạ đa trị xây dựng từ nón tiếp tuyến Bouligand, Clarke nón tiếp tuyến trung gian (intermediate tangent cone) đồ thị f (.) + K J Benoist [3] thiết lập tính chất đặc trưng để hàm véc tơ Lipschitz địa phương f : C → Y K- tựa Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn lồi theo nghĩa: với y ∈ Y , tập mức {x ∈ C : f (x) ≤K y} lồi không gian Banach, K nón lồi đóng Y Các tiêu chuẩn thiết lập ngôn ngữ khái niệm K- tựa đơn điệu đạo hàm theo phương suy rộng jacobian suy rộng Clarke Luận văn trình bày tính chất đặc trưng để hàm véc tơ Lipschitz địa phương f K- tựa lồi vô hướng Sach [10] ngôn ngữ khái niệm tựa đơn điệu jacobian suy rộng Clarke f ánh xạ đa trị xây dựng từ nón tiếp tuyến Bouligand, trung gian, Clarke đồ thị hàm f (.) + K , tính chất đặc trưng để hàm véc tơ Lipschitz địa phương f K- tựa lồi của Benoist [3] ngôn ngữ K- tựa đơn điệu đạo hàm theo phương suy rộng jacobian suy rộng Clarke f Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương trình bày điều kiện đủ để hàm véc tơ Lipschitz địa phương f : Rm → Rn K- tựa lồi vô hướng Sach [10] ngôn ngữ khái niệm tựa đơn điệu jacobian suy rộng Clarke f ánh xạ đa trị xây dựng từ nón tiếp tuyến Bouligand, trung gian Clarke đồ thị hàm f (.) + K Tính K- lồi f đặc trưng qua khái niệm i- đơn điệu s- đơn điệu thích hợp Chương trình bày tính chất đặc trưng để hàm véc tơ Lipschitz địa phương K- tựa lồi Benoist [3] Các tiêu chuẩn trình bày ngôn ngữ khái niệm K- tựa đơn điệu đạo hàm theo phương suy rộng jacobian suy rộng Chú ý hàm K- tựa lồi vô hướng K- tựa lồi Nhân dịp tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Đỗ Văn Lưu hướng dẫn bảo tận tình suốt trình làm luận văn Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn suốt trình làm luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, phịng Đào tạo, khoa Tốn - Tin Trường Đại học Khoa Học, Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi suốt trình học tập trường Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp thành viên lớp cao học toán K3b quan tâm, động viên, giúp đỡ suốt thời gian học tập trình làm luận văn Tuy thân có nhiều cố gắng, song thời gian lực thân có hạn nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Rất mong đóng góp ý kiến thầy tồn thể bạn đọc Thái Ngun, 20 tháng 10 năm 2011 Tác giả Trần Thị Yến Mai Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương ĐẶC TRƯNG CỦA ÁNH XẠ KTỰA LỒI VƠ HƯỚNG Chương trình bày điều kiện cần đủ để hàm véc tơ Lipschitz địa phương f : Rm → Rn K- tựa lồi vơ hướng Các tiêu chuẩn trình bày ngôn ngữ khái niệm tựa đơn điệu jacobian suy rộng f ánh xạ đa trị xây dựng từ nón tiếp tuyến Bouligand, trung gian, Clarke đồ thị hàm đa trị f (·) + K Các kết trình bày chương P H Sach [10] 1.1 Các khái niệm kết bổ trợ Trong chương này, ta sử dụng kí hiệu kết sau Một phần tử không gian Euclide Rm đồng với véc tơ cột (tức m × 1- ma trận) Tích vơ hướng ξ ∈ Rm u ∈ Rm kí hiệu ξ T u T phép chuyển vị Cho ánh xạ đa trị f : Rm ⇒ Rn ; domF grF kí hiệu miền hữu hiệu đồ thị F: domF = {x ∈ Rm : F (x) = ∅}, grF = {(x, y) ∈ Rm × Rm : y ∈ F (x)} Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ta sử dụng kí hiệu intB ; coB ; clB để kí hiệu phần trong, bao lồi, bao đóng tập B ⊂ Rm Nếu K ⊂ Rn nón lồi đóng y , y , hai điểm Rn , ta đặt [y, y , ] = co{y, y , } viết S(y, y , ) ≤ min{η T y, η T y , } ≤ với tất η ∈ K + Theo [ 12, Hệ 11.4.2], ta có S(y, y , ) ≤ ⇔ [y, y , ] ∩ (−K) = ∅ (1.1) Cho A ⊂ Rm , B ⊂ Rm α ∈ R := R1 Ta định nghĩa A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B}, A = ∅ B = ∅, αA = {αa : a ∈ A}, A = ∅, Ta đặt A + ∅ = ∅ + A = ∅ α∅ = ∅ Khi A tập khơng rỗng R, kí hiệu supA infA cận cận A Ta đặt supA = −∞ infA = +∞, A = ∅ Nếu F : Rm ⇒ R ánh xạ đa trị từ Rm vào tập số thực R infF hàm giá trị thực mở rộng định nghĩa bởi: (infF )(x) = infF (x) (∀x ∈ Rm ) Tương tự supF Cho f : Rm → R hàm Lipschitz địa phương Kí hiệu ∂ fx vi phân Clarke f x (xem [2]): ∂ fx = {ξ ∈ Rm : ξ T u ≤ f (x, u) ∀u ∈ Rm }, (1.2) f (x, u) = lim sup t−1 [f (x + tu) − f (x )] (1.3) x →x t↓0 Theo [2], Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn f (x, u) = max{ξ T u : ξ ∈ ∂ fx } (1.4) Từ ta giả sử f : Rm → Rn hàm Lipschitz địa phương Jacobian suy rộng Clarke f x, kí hiệu Jfx định nghĩa [2] bao lồi tập: {lim fxi : xi → x, f khả vi Freschet xi }, fxi kí hiệu Jacobian thơng thường f xi giới hạn fxi lấy không gian (m × n)- ma trận Chú ý phần tử A Jfx m × n- ma trận Khi n = 1, Jfx vi phân Clarke f x ( xem [4, Mệnh đề 2.6.2]) Với η ∈ Rn ta có [4, Định lý 2.6.6] √ ∂ (η T f )x = [Jfx ]T η := {AT η : A ∈ Jfx }, b2 − 4ac (1.5) AT η kí hiệu tích m × n- ma trận AT (chuyển vị ma trận A) n × 1- ma trận η Cho K ⊂ Rn nón lồi đóng Đồ thị ánh xạ f (.) + K gọi K- đồ thị f kí hiệu epiK f (Sau ta bỏ kí hiệu K cho đơn giản) Khi n = 1, K = R+ (nửa đường thẳng không âm) epif quy định nghĩa thông thường đồ thị hàm số Ta cần kết hệ đơn giản định lý tách [12, Hệ 11.4.2]: y ∈ K ⇔ η T y ≥ 0(∀η ∈ K + ) ⇔ η T y ≥ 0(∀η ∈ K + \ {0}) (1.6) Kí hiệu T (epif, (x, f (x))) (tương ứng T (epif, (x, f (x)) ) nón tiếp tuyến Clarke ( tương ứng nón Bouligand) epif (x, f (x)) Ta sử dụng nón tiếp tuyến trung gian (intermediate tangent cone) T b (epif, (x, f (x))) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 33 (η T v) = η¯iT v i (¯ ηiT f )0 (x, u) = i (¯ ηiT f ) (x, u) (do tính quy của) η¯i Tf = i η¯iT f ) (x, u) =( i η¯iT f )0 (x, u) (do tính quy tổng hàm quy) =( i T = (η f )0 (x, u) = sup η T Jfx (u) (do (1.4) (1.5)), tức (1.51) Bổ đề tính K- lồi biểu diễn qua tính Ktựa lồi vô hướng Bổ đề 1.7 Ánh xạ f : Rm → Rn K- lồi với E ∈ L(Rm , Rn ), f + E K- tựa lồi vô hướng Chứng minh Điều kiện cần: Lấy E ∈ L(Rm , Rn ) Nếu f K- lồi F + E K- lồi Từ suy η T (f + E) lồi, đó, tựa lồi với η ∈ K + Điều kiện đủ: Theo nhận xét [12, trang 16], g : Rm → R lồi với ξ ∈ Rm , hàm g + ϕ tựa lồi, ϕ(x) = ξ T x(x ∈ Rm ) Để chứng minh tính K- lồi f , ta cần với η ∈ K + \ {0}, η T f hàm lồi Lấy ξ ∈ Rm E ∈ L(Rm , Rn ) xây dựng từ ξ η chứng minh Bổ đề 1.5 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 34 Chú ý từ định nghĩa E ϕ η T E(x) = ξ T x = ϕ(x) (x ∈ Rm ) Ta thấy η T f + ϕ = η T f + η T E = η T (f + E) Từ giả thiết f + E K- tựa lồi vô hướng, η ∈ K + , η T (f + E) tựa lồi Do đó, với ξ ∈ Rm , η T f + ϕ tựa lồi Theo nhận xét η T f lồi Bây ta phát biểu tính chất đặc trưng tính K- lồi f Định lý 1.4 Các phát biểu tương đương: (I) f K- lồi (II) Df i- đơn điệu (III) Jf s- đơn điệu (IV) Db f i- đơn điệu (V) Cf i- đơn điệu Chứng minh (I) ⇔ (II): Một chứng minh trực tiếp kết có [31] Sử dụng mối quan hệ tính K- lồi tính K- tựa lồi, tính đơn điệu tính tựa đơn điệu, ta thấy kết hệ trực tiếp Định lý 1.1 (I) ⇔ (III): sử dụng Bổ đề 1.7 , 1.6 Định lý 1.1 (V ) ⇒ (IV ) ⇒ (II): suy từ Mệnh đề 1.3 bao hàm thức Cf ⊂ Db f ⊂ Df (I) ⇒ (V ): Do (I) ⇒ (II) Df = Cf với f K- lồi (xem (1 7’)) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 35 Chương ĐẶC TRƯNG CỦA TÍNH TỰA LỒI CHO HÀM LIPSCHITZ ĐỊA PHƯƠNG VÉC TƠ Chương trình bày tính chất đặc trưng để hàm véc tơ Lipschitz địa phương K- tựa lồi Các tiêu chuẩn trình bày ngơn ngữ K- tựa đơn điệu đạo hàm thep phương suy rộng jacobian suy rộng Các kết trình bày chương J Benoist [3] 2.1 Các khái niệm kết bổ trợ Giả sử Y không gian Banach thực, K ⊂ Y nón lồi đóng khơng rỗng Với y, z ∈ Y , kí hiệu y ≤K z hiểu z − y ∈ K Thơng thường ta kí hiệu K + := {l ∈ Y ∗ : l(y) ≥ 0, ∀y ∈ Y } nón cực K khơng gian đối ngẫu tôpô Y ∗ Y extd K + tập phương cực biên Nhắc lại l ∈ extd K + l ∈ K + \ {0} với l1 , l2 ∈ K + cho l = l1 + l2 ta có l1 , l2 ∈ R+ l Ta giả sử K thỏa mãn điều kiện đây: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 36 (C1): Y = K − K; (C2) : K + bao lồi đóng yếu∗ extdK + Nói riêng, điều kiện K có phần khơng rỗng Với tập lồi không rỗng C ⊂ Y y ∈ Y, TC (y) kí hiệu nón tiếp tuyến C y Nhắc lại σ(Y,Y ∗) TC (y) = R+ (C − y) = R+ (C − y) (Bao đóng tập lồi Y trùng với bao đóng yếu nó) Với y, y ∈ Y., ta đặt (z − K) K(y, y ) := (2.1) y,y ≤K z K(y, y ) tập lồi đóng Y chứa y y Bổ đề 2.1 Cho u, u ∈ K Các khẳng định sau tương đương: (A1 ) (u − K) ∩ (u − K) ⊂ −K; (A2 ) Với l ∈ extd K + , min(l(u), l(u )) ≤ 0; (A3 ) Tồn (y, y ) ∈ Y cho u ∈ TK(y,y ) (y) u ∈ TK(y,y ) (y ) Chứng minh (A1 ) ⇒ (A3 ): Giả sử (A1 ) Ta lấy y := −u; y := −u Lấy z ∈ Y cho y ≤K z y ≤K z Khi đó, −z ≤K u −z ≤K u Điều kéo theo (từ điều kiện (A1 )) −z ≤K tương đương ∈ z − K Do đó, ta chứng minh ∈ K(y, y ) Từ định nghĩa nón tiếp tuyến, đẳng thức u = − y kéo theo u ∈ TK(y,y ) (y) Tương tự, u ∈ TK(y,y ) (y ) Do (A3 ) thỏa mãn (A3 ) ⇒ (A2 ): Với suy luận này, ta sử dụng kết Bổ đề 2.2 [3] Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 37 Giả sử Y không gian Banach thỏa mãn điều kiện (C1) Giả sử l ∈ extd K + y1 , y2 ∈ Y cho l(y1 ) ≤ l(y2 ) ≤ Khi đó, với > 0, tồn z ∈ Y thỏa mãn y1 ≤K z ; y2 ≤K z l(z ) ≤ Chứng minh Giả sử (A3 ) Lấy l ∈ extdK + Khơng tính tổng qt ta giả sử max(l(y), l(y )) = l(y) Bởi u ∈ TK(y,y ) (y), tồn dãy {ti } R+ dãy {yi } K(y, y ) hội tụ đến y cho u = lim ti (yi − y) Cho i→+∞ > Chú ý l(y − y) ≤ l(0) ≤ 0, sử dụng Bổ đề 2.2 với cặp (y − y, 0) ≤ 0, ta suy tồn z ∈ Y thỏa mãn y − y ≤K z , ≤K z l(z ) ≤ Khi đó, y, y ≤K y + z theo (2.1) ta nhận yi ∈ (y + z ) + K , với số nguyên i Do l(yi ) ≤ l(y + z ) ≤ l(y) + Cho → 0+ ta nhận l(yi ) ≤ l(y), với số nguyên Ta có l(u) = lim ti l(yi − y) ≤ 0, min(l(u), l(u )) ≤ Vì (A2 ) thỏa i→=∞ mãn (A2 ) ⇒ (A1 ): Ta chứng minh phản chứng Giả sử ta có (u − K) ∩ (u − K) −K Khi tồn (u − K) ∩ (u − K) cho z ∈ / −K Tách z với −K , ta suy tồn l ∈ K + cho l(z) > Theo điều kiện (C2) khơng tính tổng qt ta giả l ∈ extd K + Nhưng theo định nghĩa z ta có z ≤K u z ≤K u Do min(l(u), l(u )) > Bổ đề 2.1 chứng minh Nhận xét 2.1 Sử dụng Bổ đề 2.1 ta có kết sau đây: cặp (u, u ) ∈ Y thỏa mãn bao hàm thức (u − K) ∩ (u − K) ⊂ −K , t, t ∈ R+ cặp (tu, t u ) thỏa mãn bao hàm thức (tu − K) ∩ (t u − K) ⊂ −K Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn 38 2.2 Tính chất hình học hàm tựa lồi Dưới đây, f : C → Y kí hiệu hàm xác định tập lồi không rỗng C không gian véc tơ định chuẩn X Nhắc lại f gọi K - tựa lồi với y ∈ Y, tập mức {x ∈ C : f (x) ≤K y} lồi Với x ∈ C phương d X , ta định nghĩa f (x + td) − f (x) t t→0+ f o (x, d) = σ − lim sup tập đạo hàm theo phương suy rộng Véc tơ v ∈ Y thuộc f o (x, d) giới hạn yếu dãy {(f (x + ti d) − f (x))/ti }, ti → 0+ , tức v = σ − lim ((f (x + ti d) − f (x))/ti ) i→+∞ Ta đặt f o (x, x ) := f (x, x − x) với tất x, x ∈ C Giả sử f K− tựa lồi x, x ∈ C Theo (2.1) định nghĩa tính K− tựa lồi ta có ∀t ∈ [0, 1], f (x + t(x − x)) = f (tx + (1 − t)x ) ∈ K(f (x), f (x )) Theo định nghĩa nón tiếp tuyến, ta có f (x, x ) ⊂ TK(f (x),f (x )) (f (x)) Ta có kết luận tương tự hốn đổi vai trị x x Khi sử dụng suy luận (A3 ) ⇒ (A1 ) Bổ đề 2.1 ta nhận điều kiện cần để hàm véc tơ K− tựa lồi Mệnh đề 2.1 [3] Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 39 Nếu f K− tựa lồi, với x, x ∈ C ta có ∀u ∈ f o (x, x ), ∀u ∈ f o (x , x) : (u − K) ∩ (u − K) ⊂ −K Trong phần sau ta điều kiện điều kiện đủ thêm giả thiết yếu 2.3 Đặc trưng hàm tựa lồi ngôn ngữ đạo hàm theo phương suy rộng Trong phần này, ta giả sử Y không gian Banach phản xạ f : C ⊂ X → Y hàm giá trị véc tơ Lipschitz địa phương, tức với x ∈ C tồn > M > cho với x1 , x2 ∈ C ∩ B(x, ), f (x2 ) − f (x1 ) ≤ M x2 − x1 Với giả thiết trên, với x, x ∈ C , tập f (x, x ) khác ∅ f o (x, x ) = σ − lim sup d →x −x t→0+ f (x + td ) − f (x) t (Chú ý dãy bị chặn khơng gian Banach phản xạ có điểm tụ) Định lý sau cho ta tính chất đặc trưng hàm véc tơ Lipschitz địa phương K- tựa lồi ngôn ngữ đạo hàm theo phương suy rộng Định lý 2.1 Cho Φ : C → Y lát cắt ánh xạ đa trị f o Khi đó, khẳng định sau tương đương: (B1) f K- tựa lồi; Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 40 (B2) Với x, x ∈ C, (Φ(x, x ) − K) ∩ (Φ(x , x) − K) ⊂ −K Chứng minh Ta sử dụng kết Mệnh đề 2.2 [3] Giả sử Y không gian Banach thỏa mãn điều kiện (C1) (C2) Khi đó, f K- tựa lồi l ◦ f tựa lồi với phương cực biên l K + Nếu x, x ∈ C , tồn dãy {ti } ⊂ (0, 1) hội tụ đến cho Φ(x, x ) = σ − lim ((f (x + ti (x − x)) − f (xi ))/ti ) i→+∞ Khi đó, với tất l ∈ Y ∗ ta có (l ◦ f )(x + ti (x − x)) − (l ◦ f )(x) i→+∞ ti ∈ [D+ (l ◦ f )(x, x − x), D+ (l ◦ f )(x, x − x)], l(Φ(x, x )) = lim (2.2) D+ g(x, d) = lim inf+ ((g(x + td) − g(x))/t) t→0 Đạo hàm Dini D+ g(x, d) = lim sup ((g(x + td) − g(x))/t) t→0+ đạo hàm Dini hàm g := l ◦ f x theo phương d = x − x Kết hệ trực tiếp điều kiện tương đương đây: (B1) ⇔ ∀l ∈ extd K + , l ◦ f tựa lồi (theo mệnh đề 2.2 ) ⇔ ∀l ∈ extd K + , ∀(x, x ) ∈ C , min(l(Φ(x, x )), l(Φ(x , x))) ≤ ⇔ ∀(x, x ) ∈ C , ∀l ∈ extd K + , min(l(Φ(x, x )), l(Φ(x , x))) ≤ ⇔ ∀(x, x ) ∈ C , (Φ(x, x ) − K) ⊂ (Φ(x , x) − K) ∩ −K tựa lồi (theo Bổ đề 2.1 ) Định nghĩa 2.1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 41 Ta nói ánh xạ đa trị U : C → Y K- tựa đơn điệu với ∀x, x ∈ C ta có ∀u ∈ U (x, x ), ∀u ∈ U (x , x), (u − K) ∩ (u − K) ⊂ −K Khi Y = R, U R+ - tựa đơn điệu có nghĩa với x, x ∈ C ta có ∀u ∈ U (x, x ), ∀u ∈ U (x , x), min(u, u ) ≤ Nhận xét 2.2 Khái niệm K- tựa đơn điệu đưa vào Định nghĩa 2.1 liên quan đến tập đạo hàm theo phương suy rộng Trong tài liệu tham khảo khái niệm tựa lồi khác liên quan với đạo hàm trường hợp trơn vi phân trường hợp không trơn đưa vào Quan hệ hai khái niệm cho Nhận xét 2.3 ( trường hợp trơn) Nhận xét 2.4 ( trường hợp không trơn) Từ Định lý 2.1 Định nghĩa 2.1 , ta có hệ Hệ 2.1.1 Các khẳng định tương đương: (B’1) f K-tựa lồi; (B’2) f o K- tựa đơn điệu Chứng minh (B 1) ⇒ (B 2) Đây hệ trực tiếp Định lý 2.1 (B 2) ⇒ (B 1) Ta có f ◦ (x, x ) = ∅ với x, x ∈ C Khi đó, ta áp dụng Định lý 2.1 với lát cắt ϕ f ◦ Nhận xét 2.3 Nếu f khả vi tập lồi mở C Y khơng cần phải giả sử Y không gian Banach phản xạ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 42 Thật vậy, ta có f o (x, x ) = {f (x)(x − x)}, với x, x ∈ C , f (x) kí hiệu cho đạo hàm f x Trong trường hợp ta có kết sau Hệ 2.1.2 Các phát biểu sau tương đương: (B”1) f K- tựa lồi; (B”2) Với x, x ∈ C, (f (x)(x − x) − K) ∩ (f (x )(x − x ) − K) ⊂ −K Khi n = 1, ta nhận kết quả: f R+ - tựa lồi và với x, x ∈ C min(f (x)(x − x), f (x )(x − x )) ≤ Đây định nghĩa tựa đơn điệu cổ điển cho hàm f (xem [8]) 2.4 Đặc trưng hàm tựa lồi ngôn ngữ Jacobian suy rộng Clarke Giả sử hàm f = (f1 , , fn )T : Rm → Rn Rn thứ tự nón lồi K đóng có phần khơng rỗng Giả sử f Lipschitz địa phương Rm ”Jacobian suy rộng Clarke” f x ∈ Rm tập ma trận Mn,m (R) định nghĩa sau J f (x) = co{lim Jf xi : xi → x, xi ∈ Df }, (2.3) Df tập điểm Rm mà f khả vi Jf (xi ) kí hiệu cho ma trận Jacobi f xi Định lý đưa đặc trưng thứ hai hàm véc tơ giá trị Ktựa lồi Lipschitz địa phương ngôn ngữ jacobian suy rộng Clarke Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 43 Định lý 2.2 Giả sử J : R2m → Rn ánh xạ đa trị xác định với cặp (x, x ) ∈ R2m công thức J(x, x ) := J f (x)(x − x) = {M (x − x) : M ∈ J f (x)} (2.4) Khi đó, khẳng định sau tương đương: (1) f K-tựa lồi; (2) J K- tựa đơn điệu Chứng minh Kết hệ trực tiếp điều kiện tương đương đây: (1) ⇔ ∀l ∈ extd K + , l ◦ f (là tựa lồi theo Mệnh đề 2.2 ) ⇔ ∀l ∈ extd K + , ∀(x, x ) ∈ C , ∀x∗ ∈ ∂(l ◦ f )(x) ∀x ∗ ∈ ∂(l ◦ f )(x ) min(x∗ (x − x), x ∗ (x − x )) ≤ ⇔ ∀l ∈ extd K + , ∀(x, x ) ∈ C , ∀u ∈ J(x, x ), ∀u ∈ J(x , x), min(l(u), l(u )) ≤ (theo [4, Định lý 2.6.6 ]) ⇔ ∀(x, x ) ∈ C , ∀u ∈ J(x, x ), ∀u ∈ J(x , x) ∀l ∈ extdK + , min(l(u), l(u )) ≤ ⇔ ∀(x, x ) ∈ C , ∀u ∈ J(x, x ), ∀u ∈ J(x , x) (u − K) ∩ (u − K) ⊂ −K (theo bổ đề 2.1 ) ⇔ J K- tựa đơn điệu Nhận xét 2.4 Khi n = 1, J R+ - tựa lồi có nghĩa với x, x ∈ Rm , ∀x∗ ∈ ∂f (x), ∀x ∗ ∈ ∂f (x ), min(x∗ (x − x), x ∗ (x − x )) ≤ Đây định nghĩa tựa đơn điệu cổ điển ∂f Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 44 Nhận xét 2.5 Nhắc lại: hàm véc tơ f : Rm → Rn K- tựa lồi vô hướng với l ∈ K + hàm giá trị thực l ◦ f tựa lồi Ta có nhận xét (xem [3]): hàm K- tựa lồi vô hướng K- tựa lồi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 45 Kết luận Luận văn trình bày tính chất đặc trưng để hàm véc tơ Lipschitz địa phương f K- tựa lồi vô hướng Sach [10] K- tựa lồi Benoist [3] Các tính chất để f K- tựa lồi vô hướng Sach [10] cho hàm Lipschitz địa phương f : Rm → Rn trình bày ngơn ngữ khái niệm tựa đơn điệu jacobian suy rộng f ánh xạ đa trị xây dựng từ nón tiếp tuyến Bouligand, nón tiếp tuyến trung gian nón tiếp tuyến Clarke đồ thị hàm đa trị f (·) + K Các tính chất đặc trưng để f K- tựa lồi Benoist [3] cho hàm véc tơ Lipschitz địa phương xác định không gian định chuẩn trình bày ngơn ngữ khái niệm K- tựa đơn điệu đạo hàm theo phương suy rộng jacobian suy rộng Các tính chất hàm K- tựa lồi K- giả lồi không trơn đề tài nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Xin trân trọng cảm ơn! Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 46 Tài liệu tham khảo Tài liệu tiếng Việt [1] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2000),Giải tích lồi , NXB Khoa học kỹ thuật Hà nội [2] Đỗ Văn Lưu (1999), Giải tich Lipschitz, NXB Khoa học kĩ thuật Tài liệu tiếng Anh [3] Benoist, J (2003), Characterization of quasiconvexity for locally Lipschitz vector- valued functions, Optimization 52, 145-152 [4] Clarke, F H (1983), Optimization and Nonsmooth Analysis, Wiley, New York [5] Crouzeix, J P (1977), Contributions l’étude des fonction quasiconvexes Thèse d’État, Université de Clermont- Ferrand II [6] Ioffe, A D (1984), Calculus of Dini subdifferential of functions and contingent coderivatives of set- valued maps, Nonlinear Analysis, Theory, Methods and Applications, 8,517- 539 [7] Komlosi, S (1995), Monotonicity and quasimonotonicity in Nonsmooth Analysis, In: Du, D.Z.,Qi,L and Womersley,R.s.(Eds), Recent Advances in Nonsmooth Optimization,World Scientific, 193- 214 [8] Luc, D.T (1993), Characterization of quasiconvex functions, Bull Austral Math Soc,48,343- 405 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 47 [9] Sach, P H and Craven, B D (1991), Invexity in multifunction optimization, Numer Funct Anal Optim,12,383-394 [10] Sach, P H (1999), Characterization of Scalar quasiconvexity and convexity of locally Lipschitz vector- valued maps, Optimization 46,283310 [11] Sach, P H (1996), Sufficient conditions for generalized convex setvalued maps, Optimization,37,293- 304 [12] Rockafellar, R.T (1970), Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton, New Jersey Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... điệu 17 1.4 Đặc trưng tính tựa lồi vơ hướng tính lồi ánh xạ Lipschitz địa phương 28 ĐẶC TRƯNG CỦA TÍNH TỰA LỒI CHO HÀM LIPSCHITZ ĐỊA PHƯƠNG VÉC TƠ 35 2.1 Các... trình bày tính chất đặc trưng để hàm véc tơ Lipschitz địa phương f K- tựa lồi vô hướng Sach [10] K- tựa lồi Benoist [3] Các tính chất để f K- tựa lồi vơ hướng Sach [10] cho hàm Lipschitz địa phương. .. tính chất phong phú hàm tựa lồi, đặc biệt tính chất đặc trưng qua tính tựa đơn điệu đạo hàm, đạo hàm suy rộng jacobian suy rộng P H Sach [10] nghiên cứu tính chất đặc trưng để hàm véc tơ Lipschitz