ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HỒNG HÀ BÀI TỐN BÙ TUYẾN TÍNH SUY RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên – 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HỒNG HÀ BÀI TỐN BÙ TUYẾN TÍNH SUY RỘNG Chuyên nghành : TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học : PGS.TS Nguyễn Năng Tâm Thái Nguyên – 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HỒNG HÀ BÀI TOÁN BÙ TUYẾN TÍNH SUY RỘNG Chun nghành : TỐN ỨNG DỤNG Mã số : 60 46 01 12 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên – 2014 Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu Một số kí hiệu Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Hilbert 1.2 Khái niệm không gian Hilbert 1.3 Tôpô yếu không gian Hilbert 14 1.4 Tốn tử khơng gian Hilbert 14 Bài tốn bù tuyến tính suy rộng 19 2.1 Giới thiệu tốn bù tuyến tính 19 2.2 Một số kết cho nón đa diện 20 2.3 Kết tồn trường hợp nón tổng quát 22 2.4 Ví dụ 26 2.5 Một số kết nhiễu 27 2.6 Một đặc trưng nón đa diện không gian hữu hạn chiều 30 Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 33 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Năng Tâm Trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn bảo tận tình để tơi hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Thầy cô trường Đại học Thái Nguyên truyền thụ kiến thức cho tơi suốt q trình học tập vừa qua Tôi xin cảm ơn quan, bạn bè đồng nghiệp, gia đình chia sẻ, giúp đỡ, động viên, tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thiện luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2014 Nguyễn Thị Hồng Hà CÁC KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG H Không gian Hilbert Rn không gian Hilbert n-chiều chuẩn khơng gian Hilbert x, y tích vơ hướng hai véc tơ x; y x⊥y x trực giao với y S⊥ phần bù trực giao S khơng gian phiếm hàm tuyến tính liên tục H∗ RanT = {T x : x ∈ H} ảnh toán tử T KerT = {x ∈ H : T x = 0} hạt nhân toán tử T A∗ tốn tử liên hợp tốn tử A K∗ nón đối ngẫu nón K GLCP(T, K, q) tốn bù tuyến tính suy rộng Mở đầu Bài tốn bù tuyến tính có vị trí quan trọng Nhiều tác giả nước nghiên cứu thu kết quan trọng k không gian hữu hạn chiều không gian vơ hạn chiều Luận văn trình bày cách có hệ thống nội dung tốn bù tuyến tính suy rộng Luận văn gồm chương Chương 1: trình bày kiến thức khơng gian Hinbert tốn tử không gian Hilbert, tập lồi hàm lồi Chương 2: trình bày tốn bù tuyến tính tồn nghiệm Chương Một số kiến thức chuẩn bị Nội dung chương bao gồm số kiến thức sở không gian Hilbert thực tốn tử đơn tuyến tính không gian Hilbert 1.1 Không gian Hilbert Những nội dung trình bày chương chủ yếu lấy từ [1] [2] 1.2 Khái niệm không gian Hilbert Cho H không gian vector trường số thực R Định nghĩa 1.1 Ta gọi ánh xạ , : H × H → R; (x, y) → x, y tích vơ hướng H điều kiện sau thỏa mãn: Với x, y, z ∈ H α ∈ R i) x, y = y, x , ii) αx, y = α x, y , iii) x, y + z = x, y + x, z , iv) x, x ≥ 0, x, x = x = Số x, y gọi tích vơ hướng x y Không gian véc tơ H với tích vơ hướng xác định gọi khơng gian có tích vơ hướng thường viết (H, , ) Mệnh đề 1.1 Cho khơng gian véc tơ H với tích vơ hướng , xác định Khi cơng thức x = x, x xác định chuẩn H Định nghĩa 1.2 Nếu khơng gian có tích vơ hướng (H, , ) với chuẩn xác định khơng gian đủ, ta gọi (H, , ) không gian Hilbert Ta gọi số chiều H số chiều không gian Hilbert (H, , ) Ví dụ 1.1 Lấy H = Rn Với x = (x1 , , xn ), y = (y1 , , yn ) ∈ H biểu thức n x, y = xi yi i=1 xác định tích vơ hướng không gian Rn với chuẩn x = x, x Rn trở thành không gian Hilbert hữu hạn chiều Định nghĩa 1.3 Tập S ⊂ H gọi lồi với x, y ∈ S , đoạn thẳng nối x, y nằm S Nói cách khác, S ⊂ H tập lồi khi: ∀x, y ∈ S, ∀λ ∈ [0, 1] ta có x = λx1 + (1 − λ) x2 ∈ S 21 Chứng minh Nếu dimH < ∞ thì, cách sử dụng phép biến đổi bảo tồn tích hướng, ta giả sử H = Rn với n sử dụng tích vơ hướng thơng thường Rn Vì K nón đa diện, tồn số nguyên dương m ) = K Dễ dàng thấy m ánh xạ tuyến tính B : Rm → Rn cho B(R+ m Vì tốn bù T = B ∗ T B toán tử đồng dương cộng R+ tuyến tính suy rộng GLCP(T, K, q) chấp nhận được, tồn x0 ∈ K cho T x0 + q, k với k ∈ K m thỏa mãn B x = x ta có Với phần tử x0 ∈ R+ 0 T x0 + B ∗ q, x = B ∗ (T x0 + q), x = (T x0 + q), Bx m Như vậy, GLCP(T,R∗ , B ∗ q) chấp nhận Theo Định với x ∈ R+ + m cho lý Lemke [16], tồn x ∈ R+ T x + B ∗ q, x m (x ∈ R+ ) T x + B ∗ q, x = (2.1) m (x ∈ R+ ) T (B x) + q, B x = (2.2) Rút gọn (2.1) ta T (B x + q, Bx ta thấy B x nghiệm GLCP(T, K, q) Trong trường hợp tổng quát, giả sử X không gian hữu hạn chiều H chứa K Kí hiệu P phép chiếu vng góc từ H lên X đặt S = P T Khi đó, S : X → X toán tử đồng dương cộng K Sx0 + P q, k = T x0 + q, k ∀k ∈ K Như vậy, toán GLCP(S, K, P q) chấp nhận K Theo trường hợp hữu hạn chiều xét trên, tồn x ∈ K cho Sx + P q, k ∀k ∈ K Sx + P q, x = (2.3) 22 Vì Sx + P q, k = T x + q, k với k ∈ K , chứng tỏ x nghiệm GLCP(T, K, q) 2.3 Kết tồn trường hợp nón tổng quát Định lý 2.2 Giả sử i) T toán tử đồng dương cộng K , ii) Ánh xạ x → T x, x nửa liên trục yếu K , iii) K nón mỏng, iv) k ∈ K | T k ∈ K ∗, T k, k = < q, k >= = {0} Khi đó, GLCP(T, K, q) chấp nhận tập nghiệm GLCP(T, K, q) khác rỗng compact yếu Chứng minh Trước tiên tồn nghiệm Lấy x0 chấp nhận GLCP(T, K, q) Ta giả sử x0 = K = 0; trái lại, nghiệm tốn Khi đó, theo (iii), tập { x0 ∈ K | x = 1} khác rỗng khả li Kí hiệu {ε0 , ε1 , ε2 } tập trù mật {x ∈ K | x = 1} với ε0 = x0 / x0 kí hiệu Kn nón lồi đóng sinh {ε0 , ε1 , ε2 , , εn } Ta có Kn nón đa diện chứa x0 Vì Kn ⊂ K , theo (i) T đồng dương cộng Kn với n = 1, 2, 3, Bây ta cố định n Vì x0 chấp nhận GLCP(T, Kn , q), theo định lý 2.1 tồn xn ∈ Kn cho T xn + q, k (k ∈ Kn ) T xn + q, xn = (2.4) Ta khẳng định rằng, dãy {xn } bị chặn n → ∞ Thật vậy, {xn } khơng bị chặn thì, khơng giảm tổng qt, ta giả sử xn → ∞ 23 Khi đó, từ (3.1) ta có (2.5) T un + qn , un = (n = 1, 2, ) với un := xn / xn qn := q/ xn → Vì {u ∈ K | xn 1} tập lồi đóng, bị chặn khơng gian Hinbert H , ta có {un } (hoặc dãy nó) hội tụ yếu đến phần tử d ∈ K Theo (ii) (3.2), ta nhận T d, d theo (i) suy T d = −T ∗ d (2.6) Bây giờ, từ (2.1)và theo (i), suy q, xn = −T xn , xn Điều cho q, d (2.7) Vì k ∈ K viết dạng: k = lim kn với kn Kn , n→∞ từ (2.1) ta có T d, k với k ∈ K , nghĩa T d ∈ K ∗ (2.8) Vì GLCP(T, K, q) chấp nhận được, ta suy T x0 + q, d Từ sử dụng (2.3) (2.5) ta có q, d − T x0 , d = − x0 , T T d Từ (2.4) ta nhận q, d = Như vậy, d ∈ {x ∈ K | T x ∈ K ∗ , q, x = 0} 24 Theo (iv) điều suy d = 0, nghĩa ∈ [bao đóng yếu {x ∈ K : x = 1}] Điều mâu thuẫn với (iii) Như vậy, dãy {xn } (hoặc dãy nó) bị chặn Khơng giảm tổng quát, ta giả sử {xn } hội tụ yếu đến phần tử x0 ∈ K Bây (2.1), theo (ii), cho ta T x0 + q, x0 Hơn thế, sử dụng cách viết k = lim kn với kn ∈ Kn , (2 1) T x0 + q, k với tùy ý k ∈ K Vì , x0 nghiệm toán GLCP(T, K, q) Cuối cùng, cách lập luận tương tự ta tập nghiệm toán GLCP(T, K, q) bị chặn: giả sử khơng bị chặn, cách tương tự thực hiện, ta xây dựng phần tử d ∈ K thoả mãn (2.3); (2.4); (2.5) và, theo (iii), dẫn đến mâu thuẫn Vì tập nghiệm GLCP(T, K, q) đóng yêu K ta suy tập compact yếu Nhận xét giả thiết định lí 2.1: 1) Điều kiện (i) (ii) thỏa mãn T đơn điệu H 2) Tính chấp nhận GLCP(T, K, q) tương đương với q ∈ [K ∗ − T (K)] Khi có (i), q ∈ int [K ∗ − T (K)] suy (iv) thỏa mãn (xem [4], Proposition 2.3) 3) Nếu int(K ∗ ) khác rỗng q ∈ int [K ∗ − T (K)] (T x + q) ∈ int(K ∗ ) với x ∈ K (so sánh với [4, p 349]) 4) Nếu K compact địa phương theo chuẩn điều kiện (iii) thỏa mãn 25 Theo nhận xét (1) (2) định lí (2.1) khái qt kết sau Borwein [4] : Nếu T đơn điệu H , K compact địa phương theo chuẩn K ∗ − T (K) = H tập nghiệm toán GLCP(T, K, q) khác rỗng bị chặn với q (so sánh với [4, p 353] Corollary 2.1) 5) Khơng có điều kiện (iii) (iv) kết sai 6) Khi T tự liên hợp, điều kiện (iv) (khi có (i)) trở thành K ∗ ∩ KerT ∩ {q}⊥ = {0} 7) Khi dim H < ∞ điều kiện (ii) (iii) luôn Định lý 2.3 Cho dim H < ∞ giả sử T , K , q thỏa mãn: i) T tự liên hợp, ii) T đồng dương cộng K , iii) (T + q ⊗ q)(K) đóng Nếu GLCP(T, K, q) chấp nhận có nghiệm Chứng minh Đặt M := KerT ∩ {q}⊥ Nếu M = {0} theo định lí (2.1) ta có kết luận (xem nhận xét 6) 7)), ta giả sử M = {0} Kí hiệu P phép chiếu trực giao từ H lên M ⊥ RanT + Span {q} Vì T x + q, k = T P x + q, P k (x, k ∈ K), ta nhận thấy tồn nghiệm GLCP(T, K, q) tương đương với tồn nghiệm GLCP(T, P (K), q) Theo iii) tập K + Ker(T + q ⊗ q) = K + KerT ∩ q ⊥ = K + KerP 26 đóng , P (K) đóng Từ ii) dễ thấy T đồng dương cộng P (K) cuối ta có P (K) ∩ KerT ∩ q ⊥ ⊂ RanP ∩ KerP = {0} Như vậy, tất điều kiện định lí ( 2.1) thỏa mãn cho toán GLCP(T, P (K), q) có nghiệm Điều suy tốn GLCP(T, K, q) có nghiệm 2.4 Ví dụ Ví dụ 2.1 Ví dụ rằng, bỏ qua điều kiện (iii) Định lí 2.1 GLCP(T, K, q) khơng có nghiệm Lấy ∞ H= = x2n < ∞ x = (x1 , x2 , x3 , ) | xn ∈ R, n=1 với tích vơ hướng cho : x, y = ∞ n n n=1 x y Lấy + với x = (x1 , x2 , ) ∈ ( nghĩa là, xn nón dương + ⊂ ) Đặt v = α(1, 14 , 19 , ) u = β(γ, 12 , 31 , ), α, β, γ chon cho α, β > 0, u = v = u, v = Chúng ta xác định toán tử chiếu P : → điệu P đồng dương cộng P : x → x, u u + x, v v Vì phép chiếu, P đơn + Cũng từ tính đơn điệu P suy tính nửa liên tục yếu tốn tử x → P x, x Nếu = x ∈ KerP x, v = thành phần x phải phủ số âm Điều ∩ KerP = {0} Tuy thuộc bao đóng yếu x ∈ + + khả li, ta có: | x = Kí hiệu en phần tử 27 với thành phần thứ n, thành phần lại Đặt q := −u Khi với n > n P ( en ) = β Vì v ∈ ∗ (= ) 2 n en , u u + β ta có P n β n α1 en , v v = u + v β βn + ∗ en + q ∈ Như GLCP(P, (2.9) + , q) chấp nhận ta kiểm tra tất điều kiện Định lí 2.1 ngoại trừ tính mỏng nón với tất x ∈ + Giả sử có a ∈ + với P a + q, x P a + q, a = Bất đẳng thức P P a + q, a, u + vậy, a, u + α1 βn n β en a, u u − (n = 1, 2, 3, ) cho 0 (n = 2, 3, ) Bây P a + q, a = trở thành | a, u |2 + | a, v |2 − a, u = và, a, u 2.5 ta có a, v = Một số kết nhiễu Định lý 2.4 Nếu dim H < ∞ giả sử T đồng dương cộng K phát biểu sau tương đương (a) Tập hợp nghiệm GLCP(T, K, q) khác rỗng compact (b) {x ∈ K : T x ∈ K ∗ , T x, x = 0, q, x 0} = {0} (c) q ∈ int(K ∗ − T (K)) (d) GLCP(T,K,q) chấp nhận {x ∈ K : T x ∈ K ∗ , T x, x = 0, q, x = 0} = {0} Chứng minh a⇒b 28 Giả sử GLCP(T, K, q) không rỗng compact Theo Mangasrian ([?]) ta phải b Giả sử tồn x ∈ K cho T x ∈ K ∗ , T x, x = q, x = q, x để x0 giả thiết toán GLCP(T, K, q) với t > có x0 + tx ∈ K T (x0 + tx) + q ∈ K ∗ Hơn T (x0 + tx) + q, x0 + tx = = T (x0 + q, x0 ) + T (x0 + q, tx) + T (tx), x0 + tx = + t q, x + t x0 , T ∗ x + t x0 , T x + t2 T x, x 0, T ∗ x + T x = T x, x = Từ q, x Từ T (x0 + tx) + q ∈ K ∗ ta có T (x0 + tx) + q, x0 + tx b⇒c Giả sử b) không suy c) , q ∈ (K ∗ − T (K)) q ∈ ∂ (K ∗ − T (K)) hai trường hợp ∃ {qn } cho q ∈ / ∂ (K ∗ − T (K)) qn → q(n → ∞) thay đổi n tồn ξn với ξn = α ∈ R cho qn, ξn α ξn , k ∗ − ξn , T k (k ∈ K; k ∗ ∈ K ∗ ) Từ K ∗ − T (K) nón ta đặt α = qn, ξn ξn , k ∗ − ξn , T k (k ∈ K; k ∗ ∈ K ∗ ) Đặt k = ta có ξn , k ∗ 0; k ∗ ∈ K ∗ ta ξn ∈ K − ξ, T k đặt T ξn , ξn ∗ Lại đặt k ∗ = ta có T ξn , ξn = qn , ξn để Từ ξn = với (n = 1,2, ) ta cho ξn (hoặc dãy ) hội tụ đến phần tử ξ Khi ξn = 1, ξ ∈ K, tξ ∈ K ∗ , T ξ, ξ = mâu thuẫn với điều giả sử Vậy b ⇒ c 29 c⇒d Giả sử c) rõ ràng GLCP(T, K, q) chấp nhận Giả sử có ξ = cho ξ ∈ K, tξ ∈ K ∗ , T ξ, ξ = q, ξ = Với z ∈ K ∗ − T (K) z = k ∗ − T k(k ∗ ∈ K ∗ ; k ∈ K) ta có ξ, z = ξ, k ∗ − ξ, T k = ξ, k ∗ − ξ, T k + 0(ξ ∈ K, −T ∗ ξ = T ξ ∈ K ∗ ) = q, ξ Điều cho thấy siêu phẳng {x ∈ H x, ξ = 0} tách q từ K ∗ − T (K) Từ int (K ∗ − T (K)) ta có ξ = Vậy c ⇒ d d ⇒ a theo định lí (2.1) Nhật xét định lí 2.4 i) Khi H = Rn K = Rn+ tương đương a) b) trùng với kết của Mangasrian ([?]) ii) Giả sử rẳng K ∗ có phần khác rỗng T đồng dương cộng K Giả sử rẳng tồn x ∈ K cho T x + q ∈ intK ∗ Borwein ([3]) tốn GLCP(T, K, q) có tập nghiệm compact, rỗng Vì T x + q ∈ intK ∗ suy q ∈ int[K ∗ − T (K)], định lý 2.4 chất GLCP(T, K, q) có tập nghiệm khác rỗng iii) Với khơng gian hữu hạn chiều tính compact tập nghiệm tương đương với tính bị chặn, tập nghiệm tốn GLCP(T, K, q) ln đóng 30 iv) Trong [10] chứng minh kết nhiễu tốn tử đơn điệu xác định khơng gian phản xạ 2.6 Một đặc trưng nón đa diện không gian hữu hạn chiều Định lý 2.5 Với dimH < ∞ mệnh đề sau tương đương i) Tồn toán tử S : H → H cho S(H) khơng đóng; ii) Tồn phép chiếu trực giao P : H → H cho P(K) khơng đóng iii) Tồn tốn tử P : H → H đồng dương cộng K q ∈ K cho GLCP(T,K,q) chấp nhận khơng có nghiệm; iv) K khơng phải đa diện; v) Tồn toán tử chiếu P : H → H với dim(RanP ) = mà P(K) khơng đóng Chứng minh i) ⇒ ii): Giả sử i) Vì H/KerS đẳng cấu với Ran S (vì dimH < ∞) Π : H → H/KerS ánh xạ thương nên tập K + KerS không đóng H Kí hiệu P phép chiếu trực giao lên (KerS)⊥ Vì KerP = KerS nên K + KerP khơng đóng Vì P (K) khơng đóng H Ta có ii) ii) ⇒ iii): Giả sử P phép chiếu lên H cho P (K) khơng đóng H Kí hiệu u điểm giới hạn P (K) mà không thuộc P (K) Đặt q = −u kí hiệu I toán tử đồng H Ta P (K)∗ − P (K) = H 31 Kí hiệu L nón lồi đóng (khơng thiết P (K)), Giả sử phản chứng L∗ − L = H Lấy x ∈ H mà x ∈ / L∗ − L theo định lý tách ([?]) tồn a = 0, a ∈ H α ∈ R cho a, x ≤ α ≤ a, w − a, v v ∈ L, w ∈ L∗ (2.10) Vì L∗ − L nón ta lấy α = Cho w = (2.10) ta nhận ≤ − a, v v ∈ L suy −a ∈ L∗ Cho w = −a, v = nhắc lại ta lấy α = 0, (2.10) cho ≤ a, −a suy a = 0, mâu thuẫn với a = Như P (K ∗ ) − P (K) = H với toán GLCP(I, P (K), q) chấp nhận Giả sử GLCP(I, P (K), q) có nghiệm Khi tồn tạo p ∈ P (K) cho p + q, v ≥ 0; với v ∈ P (K) p + q, p = Với q = −u, ta có với v ∈ P (K): v−v = v−p + p−u + v − p, p − u ≥ p − u , v − p, p − u = v, p − u − p, p − u ≥ Vì u thuộc bao đóng tập [P (K)]\P (K), điều khơng thể xảy ra, GLCP(I, P (K), q) khơng thể có nghiệm Vì q ∈ RanP P phép chiếu, toán GLCP(I, P (K), q) chấp nhận (tương ứng có nghiệm) tương đương bái toán GLCP(P, K, q) chấp nhận (tương 32 ứng có nghiệm) Như ta thấy tốn GLCP(P, K, q) chấp nhận khơng có nghiệm Cuối cùng, P đồng dương cộng K phép chiếu đơn điệu iii) ⇒ iv) suy từ định lý 2.1 iv) ⇒ v) theo kết [9] v) ⇒ i) hiển nhiên Kết luận chương Trong chương 2, trình số kết tốn bù tuyến tính suy rộng khơng gian Hilbert Kết luận Luận văn trình bày tổng quan số vấn đề toán bù tuyến tính suy rộng khơng gian Hilbert như: • Những định lý tồn nghiệm Kết đạt luận văn là: • Trình bày cách có hệ thống số kết cho tốn bù tuyến tính suy rộng khơng gian Hilbert Một số kết tổng quát diễn giải tính tốn lại cách chi tiết 34 Tài liệu tham khảo Tài liệu tiếng Việt [1] Đậu Thế Cấp (2000), Giải tích hàm, NXB Giáo dục [2] Lê Dũng Mưu, Nguyễn Văn Hiền,Nguyễn Hữu Hiền, Nhập môn giải tích lồi ứng dụng, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội Tài liệu tiếng Anh [3] J M Borwein (1984), Generalized linear complemetality problems treated without the fixed point theory, JOTA 43 p 343-356 [4] R W Cottle, J.-S Pang, R E Stone (1992), The Linear Complementarity Problem, Acad Press, New York [5] M S Gowda, T I Seidman (1990), Generalized Linear Complementarity Probrems, Mathematic Programming 46, p.329-340 [6] M S Gowda (1986), A Characterization of Positive Semidefinite Operators on a Hilbert space, J.Optim Theory and Appl 48, p 419-425 [7] O L Mangasrian (1969), Nonlinear Programming, McGraw-Hill, NewYork [8] L Mangasrian (1982), Characterizations of bounded solutions of linear complemetality problems, Math Programming study 19, p 153-166 35 [9] H Mirkil (1957), New Characterizations of polyhedral cones, Canadian Jounal of Mathematics IX(1), p [10] L McMinden (1984), Stable monotone variational inequalities, Technical Report #, Mathematics Research, Univertsity of Wisconsin (madison, WI) ... 19 Chương Bài tốn bù tuyến tính suy rộng Chương trình bày số kết tốn bù tuyến tính suy rộng khơng gian Hilbert Các kết trình bày chương lấy từ báo [5] 2.1 Giới thiệu toán bù tuyến tính Có nhiều... nón lồi H Bài tốn bù tuyến tính khơng gian Hilbert là: Tìm x ∈ K cho T x + q, k 0, (∀k ∈ K) T x + q, x = 0, T tốn tử tuyến tính H q phần tử H Bài toán gọi tốn bù tuyến tính suy rộng khơng gian... quan số vấn đề tốn bù tuyến tính suy rộng khơng gian Hilbert như: • Những định lý tồn nghiệm Kết đạt luận văn là: • Trình bày cách có hệ thống số kết cho toán bù tuyến tính suy rộng khơng gian Hilbert