ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HỒNG HÀ BÀI TOÁN BÙ TUYẾN TÍNH SUY RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên – 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HỒNG HÀ BÀI TOÁN BÙ TUYẾN TÍNH SUY RỘNG Chuyên nghành : TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học : PGS.TS. Nguyễn Năng Tâm Thái Nguyên – 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HỒNG HÀ BÀI TOÁN BÙ TUYẾN TÍNH SUY RỘNG Chuyên nghành : TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60 46 01 12 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên – 2014 1 Mục lục Lời cảm ơn 3 Mở đầu 5 Một số kí hiệu 6 1 Một số kiến thức chuẩn bị 6 1.1 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Khái niệm về không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Tôpô yếu trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . 14 1.4 Toán tử trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . 14 2 Bài toán bù tuyến tính suy rộng 19 2.1 Giới thiệu bài toán bù tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Một số kết quả cho nón đa diện . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3 Kết quả tồn tại trong trường hợp nón tổng quát . . . . . . 22 2.4 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.5 Một số kết quả nhiễu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.6 Một đặc trưng của nón đa diện trong các không gian hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2 Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 33 3 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS. Nguyễn Năng Tâm - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã hướng dẫn và chỉ bảo tận tình để tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn các Thầy cô của trường Đại học Thái Nguyên đã truyền thụ kiến thức cho tôi trong suốt quá trình học tập vừa qua. Tôi xin cảm ơn cơ quan, bạn bè đồng nghiệp, gia đình đã chia sẻ, giúp đỡ, động viên, tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thiện luận văn này. Thái Nguyên, tháng 8 năm 2014 Nguyễn Thị Hồng Hà 4 CÁC KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG H Không gian Hilbert R n không gian Hilbert n-chiều . chuẩn trong không gian Hilbert x, y tích vô hướng của hai véc tơ x; y x⊥y x trực giao với y S ⊥ phần bù trực giao của S H ∗ không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục RanT = {T x : x ∈ H} ảnh của toán tử T KerT = {x ∈ H : T x = 0} hạt nhân của toán tử T A ∗ toán tử liên hợp của toán tử A K ∗ nón đối ngẫu của nón K GLCP(T, K, q) bài toán bù tuyến tính suy rộng 5 Mở đầu Bài toán bù tuyến tính có một vị trí rất quan trọng. Nhiều tác giả trong và ngoài nước đã nghiên cứu và thu được những kết quả quan trọng của nó trong k trong không gian hữu hạn chiều và không gian vô hạn chiều. Luận văn này trình bày một cách có hệ thống những nội dung cơ bản nhất về bài toán bù tuyến tính suy rộng. Luận văn gồm 2 chương. Chương 1: trình bày những kiến thức cơ bản về không gian Hinbert và toán tử trong không gian Hilbert, tập lồi và hàm lồi. Chương 2: trình bày về bài toán bù tuyến tính và sự tồn tại nghiệm của nó. 6 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Nội dung chính của chương bao gồm một số kiến thức cơ sở về không gian Hilbert thực và toán tử đơn tuyến tính trên không gian Hilbert. 1.1 Không gian Hilbert Những nội dung trình bày trong chương này chủ yếu lấy từ [1] và [2]. 1.2 Khái niệm về không gian Hilbert Cho H là không gian vector trên trường số thực R. Định nghĩa 1.1. Ta gọi mỗi ánh xạ ., . : H × H → R; (x, y) → x, y là một tích vô hướng trên H nếu các điều kiện sau đây thỏa mãn: Với mọi x, y, z ∈ H và α ∈ R i) x, y = y, x, ii) αx, y = α x, y, 7 iii) x, y + z = x, y + x, z, iv) x, x ≥ 0, x, x = 0 khi và chỉ khi x = 0. Số x, y được gọi là tích vô hướng của x và y. Không gian véc tơ H cùng với một tích vô hướng xác định được gọi là không gian có tích vô hướng và thường được viết là (H, ., .). Mệnh đề 1.1. Cho không gian véc tơ H cùng với một tích vô hướng ., . xác định. Khi đó công thức x =  x, x xác định một chuẩn trên H. Định nghĩa 1.2. Nếu không gian có tích vô hướng (H, ., .) với chuẩn xác định như trên là một không gian đủ, thì ta gọi (H, ., .) là một không gian Hilbert. Ta gọi số chiều của H là số chiều của không gian Hilbert (H, ., .). Ví dụ 1.1. Lấy H = R n . Với x = (x 1 , . . . , x n ), y = (y 1 , . . . , y n ) ∈ H biểu thức x, y = n  i=1 x i y i xác định một tích vô hướng trên không gian R n và với chuẩn x =  x, x R n trở thành một không gian Hilbert hữu hạn chiều. Định nghĩa 1.3. Tập S ⊂ H được gọi là lồi nếu với mọi x, y ∈ S, đoạn thẳng nối x, y đều nằm trong S. Nói cách khác, S ⊂ H là tập lồi khi và chỉ khi: ∀x, y ∈ S, ∀λ ∈ [0, 1] ta có x = λx 1 + (1 − λ) x 2 ∈ S. [...]... các kết quả cơ bản sẽ dùng trong những phần sau 19 Chương 2 Bài toán bù tuyến tính suy rộng Chương 2 sẽ trình bày một số kết quả về bài toán bù tuyến tính suy rộng trong không gian Hilbert Các kết quả trình bày trong chương này được lấy từ bài báo [5] 2.1 Giới thiệu bài toán bù tuyến tính Có rất nhiều kết quả liên quan đến bài toán bù tuyến tính trong các không gian hữu hạn chiều cũng như trong không... chương 2, đã trình một số kết quả về bài toán bù tuyến tính suy rộng trong không gian Hilbert Kết luận Luận văn trình bày tổng quan về một số vấn đề của bài toán bù tuyến tính suy rộng trên không gian Hilbert như: • Những định lý về sự tồn tại nghiệm Kết quả đạt được trong luận văn là: • Trình bày được một cách có hệ thống một số kết quả cho bài toán bù tuyến tính suy rộng trên không gian Hilbert Một... (cho) bài toán GLCP(T, K, q) Định nghĩa 2.3 Ta nói bài toán GLCP(T, K, q) chấp nhận được nếu tồn tại x chấp nhận cho bài toán GLCP(T, K, q) và T x + q, x = 0 Ta sẽ nghiên cứu sự tồn tại nghiệm và tính ổn định của bài toán bù tuyến tính suy rộng 2.2 Một số kết quả cho nón đa diện Định lý 2.1 Cho K là một đa diện và T là một toán tử đồng dương tăng cường trên K Nếu bài toán bù tuyến tính suy rộng GLCP(T,... Hilbert, K là một nón lồi trong H Bài toán bù tuyến tính trong không gian Hilbert là: Tìm x ∈ K sao cho T x + q, k 0, (∀k ∈ K) và T x + q, x = 0, trong đó T là một toán tử tuyến tính trên H và q là một phần tử của H Bài toán trên được gọi là bài toán bù tuyến tính suy rộng trên không gian Hilbert và được kí hiệu GLCP(T, K, q) Định nghĩa 2.2 Bài toán GLCP(T, K, q) được gọi là chấp nhận được nếu tồn... Rn với một n nào đó và sử dụng tích vô hướng thông thường trên Rn Vì K là một nón đa diện, tồn tại số nguyên dương m m và ánh xạ tuyến tính B : Rm → Rn sao cho B(R+ ) = K Dễ dàng thấy m rằng T = B ∗ T B là một toán tử đồng dương cộng trên R+ Vì bài toán bù tuyến tính suy rộng GLCP(T, K, q) chấp nhận được, tồn tại x0 ∈ K sao cho T x0 + q, k với k ∈ K 0 m Với phần tử x0 ∈ R+ bất kì thỏa mãn B x0 = x0... đó) Bài toán bù tuyến tính trong không gian hữu hạn chiều được phát biểu như sau: Tìm vectơ z ∈ Rn sao cho M z + q, z 0, ∀z ∈ Rn , M z + q, z = 0, + trong đó M là ma trận vuông cấp n×n, q ∈ Rn , Rn = {x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ + Rn | xi ≥ 0 ∀i = 1, 2, , n} Khái quát khái niệm trên trong không gian Hilbert: 20 Định nghĩa 2.1 Cho H là một không gian Hilbert, K là một nón lồi trong H Bài toán bù tuyến. .. ra rằng bài toán GLCP(T, K, q) có tập nghiệm compact, có thể rỗng Vì T x + q ∈ intK ∗ suy ra q ∈ int[K ∗ − T (K)], định lý 2.4 về bản chất đã chỉ ra rằng GLCP(T, K, q) có tập nghiệm khác rỗng iii) Với không gian hữu hạn chiều tính compact của tập nghiệm tương đương với tính bị chặn, bởi vì tập nghiệm của bài toán GLCP(T, K, q) luôn đóng 30 iv) Trong [10] chứng minh kết quả nhiễu đối với các toán tử... 1.4 Toán tử trong không gian Hilbert Cho A là toán tử tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert H Với mỗi 15 y ∈ H cố định ta xét phiếm hàm f : H → R được xác định như sau: f (x) = Ax, y , x ∈ H Định nghĩa 1.9 Cho A là một toán tử trong không gian Hilbert H, ánh xạ A∗ : H → H được xác định như sau: ∀y ∈ H, A∗ y = y ∗ trong đó Ax, y = x,A∗ y = x, y ∗ Khi đó A∗ được gọi là toán tử liên hợp của toán. .. đóng S = {0} là một toán tử tuyến tính liên tục Chứng minh Với x1 , x2 ∈ H, α ∈ R, theo định lý 1.4 ta có x1 = P x1 + z1 ; x2 = P x2 + z2 , trong đó z1 , z2 ∈ S ⊥ Vì vậy x1 + x2 = P x1 + P x2 + z1 + z2 , 12 trong đó P x1 + P x2 ∈ S, z1 + z2 ∈ S ⊥ Từ tính duy nhất của sự biểu diễn trong định lý trên ta suy ra P (x1 + x2 ) = P x1 + P x2 Tương tự P (αx1 ) = αP (x1 ) Vậy P tuyến tính Mặt khác, với x... thể có nghiệm Vì q ∈ RanP và P là một phép chiếu, bài toán GLCP(I, P (K), q) chấp nhận được (tương ứng có nghiệm) tương đương bái toán GLCP(P, K, q) chấp nhận được (tương 32 ứng có nghiệm) Như vậy ta thấy rằng bài toán GLCP(P, K, q) chấp nhận được nhưng không có nghiệm Cuối cùng, P đồng dương cộng trên K vì các phép chiếu luôn là đơn điệu iii) ⇒ iv) suy ra từ định lý 2.1 iv) ⇒ v) theo kết quả của [9] . . . . . . . . . . . . 14 1.4 Toán tử trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . 14 2 Bài toán bù tuyến tính suy rộng 19 2.1 Giới thiệu bài toán bù tuyến tính . . . . . . . . . . . tử liên hợp của toán tử A K ∗ nón đối ngẫu của nón K GLCP(T, K, q) bài toán bù tuyến tính suy rộng 5 Mở đầu Bài toán bù tuyến tính có một vị trí rất quan trọng. Nhiều tác giả trong và ngoài nước. BÀI TOÁN BÙ TUYẾN TÍNH SUY RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên – 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HỒNG HÀ BÀI TOÁN