BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ——————————- CAO THỊ PHƯƠNG LOAN PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN TRÊN THANG THỜI GIAN LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC TOÁN ỨNG DỤNG NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Hà Nội - 2016 Mục lục Lời nói đầu ii Một số kiến thức thang thời gian 1.1 Các kí hiệu định nghĩa 1.2 Vi phân tích phân 1.3 Hàm đa thức hàm mũ 23 1.4 Phương trình động lực 33 Phép biến đổi tích phân Laplace thang thời gian 40 2.1 Định nghĩa ví dụ 40 2.2 Tính chất phép biến đổi Laplace thang thời gian 46 Tích chập Laplace thang thời gian 3.1 3.2 Định nghĩa tính chất Tích chập 55 55 Sự chuyển dịch 61 Kết luận 72 Tài liệu tham khảo 73 i Lời nói đầu Phép biến đổi tích phân nghiên cứu từ sớm phần quan trọng Giải tích tốn học Trong q trình phát triển, phép biến đổi tích phân tìm nhiều ứng dụng thú vị việc giải tốn tốn – lý Tích chập biến đổi tích phân nghiên cứu từ cuối kỷ 19 : tích chập Laplace, Fourier Năm 1967 nhà tốn học Nga Kakichev cho định nghĩa tích chập có hàm trọng phép biến đổi tích phân cho cách xác định (nếu có ) tích chập có hàm trọng [9] Đầu năm 50 90 kỷ trước, xuất loại tích chập mà đẳng thức nhân tử hóa có tham gia nhiều phép biến đổi tích phân, tích chập Fourier sine-cosine Sneddon [11], số tích chập phép biến đổi tích phân theo số Yakubovich [9] Năm 1998 Kakichev Nguyễn Xuân Thảo cho định nghĩa tích chập suy rộng có hàm trọng ba phép biến đổi tích phân cho cách xác định (nếu có ) tích chập suy rộng có hàm trọng [10] Từ xuất nhiều tích chập suy rộng nghiên cứu Các kết phát triển sang phép biến đổi tích phân rời rạc gần sang phép biến đổi tích thang thời gian (là cầu nối phép biến đổi tích phân rời rạc phép biến đổi tích phân) Tính tốn thang thời gian đề tài cịn mẻ, giới thiệu lần Stefan Hilger vào năm 1988 [3], [4] ii Mục đích phép tính tốn hợp kết giải tích liên tục giải tích rời rạc Đặc biệt, tính tốn thang thời gian chứng minh kết đồng thời cho phương trình vi phân phương trình sai phân Bên cạnh việc chứng minh kết cho phương trình vi phân xác định tập số thực R, phương trình sai phân xác định tập số nguyên Z ta cịn nghiên cứu phương trình động lực học thơng thường xác định thang thời gian T, tập đóng đường thẳng thực Do đó, chứng minh kết cho thang thời gian, không chứng minh kết cho R Z mà chứng minh cho nhiều thang thời gian khác Ban đầu, Hilger đưa phép biến đổi Laplace cho số thực R, biến đổi Z cho số nguyên Z Tuy nhiên, phép biến đổi mà ông xây dựng làm việc với thang thời gian đặc biệt không dễ dàng áp dụng cho thang thời gian thơng thường Sau đó, Martin Bohner Allan Peterson xây dựng phép biến đổi hợp L Z Phép biến đổi mà họ xây dựng ứng dụng nhiều chủ yếu để giải toán giá trị ban đầu phương trình động lực Theo hướng nghiên cứu này, luận văn tập trung nghiên cứu phép biến đổi Laplace thang thời gian số ứng dụng Bên cạnh đó, đưa ví dụ minh họa cho định lý so sánh kết để thấy khác tính tốn thang thời gian khác Ngoài phần mở đầu tài liệu tham khảo, luận văn gồm ba chương với nội dung sau: Chương 1: Trình bày kiến thức tính tốn thang thời gian Trong chương chủ yếu nghiên cứu đạo hàm, vi phân, tích phân iii thang thời gian thang thời gian hàm đa thức, hàm mũ để áp dụng xây dựng nghiệm cho toán giá trị ban đầu phương trình động lực Chương 2: Giới thiệu phép biến đổi Laplace thang thời gian trình bày số kết quan trọng Từ sử dụng biến đổi Laplace để giải toán giá trị ban đầu phương trình động lực Chương 3: Giới thiệu tích chập Laplace thang thời gian tính chất Ứng dụng tích chập việc giải toán giá trị ban đầu Luận văn báo cáo Seminar Giải tích ĐHBK Hà Nội Em xin trân trọng cảm ơn thầy PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo dành nhiều thời gian để hướng dẫn tận tình suốt trình em học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Em xin cảm ơn thành viên Seminar Giải tích đóng góp nhiều ý kiến, phương pháp để luận văn em hồn thiện Bên cạnh đó, em mong nhận đóng góp ý kiến từ thầy cô, bạn bè để em tiếp tục nghiên cứu đề tài để hoàn thiện kiến thức thang thời gian đưa ứng dụng hữu ích Em xin trân trọng cảm ơn! iv Chương Một số kiến thức thang thời gian 1.1 Các kí hiệu định nghĩa Định nghĩa 1.1 Thang thời gian tập đóng khác ∅ tập số thực, kí hiệu T Có vài thang thời gian quan tâm đặc biệt thang thời gian số thực R, số nguyên Z, thang thời gian hZ = {hz : z ∈ Z}, h số thực dương cố định Nhắc lại số kí hiệu : Tập số tự nhiên N = {1, 2, }, N0 = N ∪ {0}, q N0 = {q n : n ∈ N0 } , với q > Trong luận văn này, ta xét thang thời gian lấy tập số thực Xét tập số nguyên, Z, chọn t ∈ Z Ta biết số nguyên lớn t + Tiếp theo ta xét số thực R, chọn t ∈ R Trong trường hợp này, không xác định số thực lớn cho t Bây xét đến thang thời gian T = [−1; 0] ∪ N Nếu chọn t ∈ T cho t < 0, khơng có phần tử lớn T Tuy nhiên ta chọn t ∈ T cho t ≥ 0, phần tử lớn là t + Định nghĩa hợp lí hóa phát biểu có ý nghĩa thang thời gian tùy ý Định nghĩa 1.2 Cho t ∈ T, tốn tử nhảy phía trước σ : T → T xác định σ(t) := inf{s ∈ T : s > t} Tốn tử nhảy phía sau ρ : T → T xác định ρ(t) := sup{s ∈ T : s < t} hàm độ hạt µ : T → [0, ∞) xác định µ(t) := σ(t) − t Quy ước inf ∅ = sup T sup ∅ = inf T Tốn tử nhảy phía trước cho phần tử lớn t t T = R Tốn tử nhảy phía sau phần tử nhỏ Cuối cùng, hàm độ hạt µ(t) khoảng cách từ t đến phần tử lớn Định nghĩa sau sử dụng toán tử để phân loại điểm thang thời gian Định nghĩa 1.3 Nếu σ(t) > t, ta nói t tán xạ phải Nếu ρ(t) < t ta nói t tán xạ trái Nếu điểm vừa tán xạ phải vừa tán xạ trái điểm gọi điểm cô lập Nếu t < sup T σ(t) = t, t gọi trù mật phải Nếu t > inf T ρ(t) = t, t gọi trù mật trái Những điểm mà vừa trù mật phải vừa trù mật trái gọi trù mật Định nghĩa 1.4 Một hàm f : T → R gọi điều hòa tồn giới hạn phải điểm trù mật phải T tồn giới hạn trái điểm trù mật trái T, có nghĩa lúc có bước nhảy gián đoạn Ví dụ 1.1 Ta xét ví dụ sau hàm khơng điều hịa R Cho f : R → [−1, 1] xác định f := sin t t=0 t=0 Nhận thấy f liên tục với tất t ∈ R {0} không tồn giới hạn trái giới hạn phải 0, lim (sin(x)) không tồn lim (sin(x)) x→∞ x→−∞ không tồn Vậy hàm f khơng điều hịa R Tuy nhiên, hạn chế f thang thời gian N0 điều hịa N0 khơng có điểm trù mật trái trù mật phải Định nghĩa 1.5 Một hàm f : T → R gọi trù mật phải liên tục điểm t0 ∈ T t0 trù mật trái tồn giới hạn trái f t0 t0 trù mật phải f liên tục t0 , nghĩa hàm f điều hòa liên tục phải Nếu hàm trù mật phải liên tục điểm T gọi hàm trù mật phải liên tục T Ví dụ 1.2 Giả sử T := {0} ∪ { 1 : n ∈ N} ∪ {2} ∪ {2 − : n ∈ N} n n f : T → [0, 2) xác định t t=2 t=2 f := f hiển nhiên liên tục điểm lập T, tập trung quan tâm đến điểm trù mật phải điểm trù mật trái Tồn giới hạn phải f f (0) Nên f liên tục Ta thấy f gián đoạn 2, tồn giới hạn trái f khác f (2) = Từ ta thấy f khơng liên tục f trù mật phải liên tục Định lí 1.1 Giả sử f : T → R g : T → T Khi (i) Nếu f liên tục, f trù mật phải liên tục (ii) Nếu f liên tục g điều hòa trù mật phải liên tục, f ◦ g tương ứng điều hòa trù mật phải liên tục 1.2 Vi phân tích phân Định nghĩa 1.6 Tập hợp Tk xác định sau: Tk := T \ (ρ(sup T), sup T] sup T < ∞, T sup T = ∞ Đạo hàm thang thời gian hàm khơng xác định cho điểm thang thời gian Đặc biệt xác định chúng sup hữu hạn thang thời gian Tuy nhiên, xác định thang thời gian hàm đạo hàm điểm Tk Ta thấy định nghĩa tiếp theo, Tk điều kiện cần để đạo hàm thang thời gian có nghĩa Định nghĩa 1.7 Một hàm f : T → R gọi ∆ - khả vi t ∈ Tk giới hạn sau tồn tại: f (σ(t)) − f (s) , s→t σ(t) − s f ∆ (t) := lim s ∈ T \ {σ(t)} Kí hiệu f ∆ (t) ∆- đạo hàm f t Hàm f gọi ∆ - khả vi Tk f ∆ (t) tồn với t ∈ Tk f ∆ : Tk → R gọi ∆ đạo hàm f Tk Ví dụ 1.3 Cho f : T → R xác định f (t) = t2 với t ∈ T f (σ(t)) − f (s) s→t σ(t) − s (σ(t))2 − s2 = lim s→t σ(t) − s (σ(t) − t)(σ(t) + s) = lim σ(t) + s = lim s→t s→t σ(t) − s f ∆ (t) = lim Với T = R f ∆ (t) = 2t Với T = Z f ∆ (t) = 2t + Nhận thấy s khơng σ(t), xảy s = t Khi điểm t thang thời gian tán xạ phải, ∆ - đạo hàm t hệ số góc đường thẳng qua điểm (t, f (t)) (σ(t), f (σ(t))) Khi t trù mật phải, ∆ - đạo hàm t tương tự định nghĩa đạo hàm thơng thường Định lí 1.2 Giả sử f : T → R cho t ∈ Tk Nếu f ∆ - khả vi t : (i) f liên tục t (ii)f (σ(t)) = f (t) + µ(t)f ∆ (t) Chứng minh (i)Trước hết ta thấy rằng, với s ∈ T, σ(t) − s = (σ(t) − t) + (t − s) = µ(t) + (t − s) Giả sử ∈ (0, 1), xác định = [1+|f ∆ (t)|+2µ(t)]−1 Khi (1.1) ∈ (0, 1) ∈ (0, 1) tồn δ > cho Theo định nghĩa đạo hàm, cho Các chứng minh cho hàm lượng giác họ hyperbolic tương ứng chúng xác định số hạng hàm mũ từ tính chất tuyến tính thang thời gian tích phân Cuối ta thấy eα (t, 0) ∗ hk (t, 0) = hk (t, 0) ∗ eα (t, 0) Giả sử x(t) := eα (t, 0) ∗ hk (t, 0) y(t) := hk (t, 0) ∗ eα (t, 0) Vì hk (0, 0) = 0, k > x(0) = y(a) = (Nhắc lại h0 (t, s) = trường hợp tầm thường) Nên theo công thức biến đổi số cho định lý 1.16, ta có x(t) nghiệm toán giá trị ban đầu x∆ (t) − αx = hk (t, 0), x(0) = Lấy đạo hàm i lần ta x∆ i+1 i − αx∆ = hk−i (t, 0) với phép quy nạp hữu hạn i i x∆ (0) = 0, ≤ i ≤ k, x∆ k+1 (0) = Do x(t) nghiệm tốn giá trị ban đầu x∆ k+2 − αx∆ k+1 = 0, i x∆ (0) = 0, x∆ k+1 (0) = Tiếp theo, ta y(t) nghiệm toán giá trị ban đầu Theo định lý 1.14, việc hk (0, 0) = 0, k > có nghĩa i y ∆ (0) = 0, 0≤i≤k Nên theo biến thiên số cho định lý 1.17, y nghiệm toán giá trị ban đầu y∆ k+1 = eα (t, 0), i y ∆ (0) = 60 0≤i≤k Do y ∆ k+1 (0) = y∆ k+2 − αy ∆ k+1 i y ∆ (0) = 0, = 0, y∆ k+1 (0) = Nên x y nghiệm toán giá trị ban đầu giống chúng phải 3.2 Sự chuyển dịch Tiếp theo, ta tập trung vào chuyển dịch phép biến đổi Định lý chuyển dịch trả lời hai câu hỏi quan trọng sau: 1) Chúng ta cần làm để có hàm mà ảnh qua phép biến đổi Laplace bị chuyển dịch với hệ số α? 2) Làm để chuyển dịch hàm với hệ số α để ảnh qua phép biến đổi Laplace? Với T = R trả lời cho câu hỏi cho công thức L{eat f (t)}(z) = L{f }(z − a) Hai mệnh đề sau cho công thức thang thời gian tùy ý Mệnh đề 3.2 Tính chất trễ I Nếu α, β ∈ R(R) số β với điều kiện (z − α)2 + β lim eα (t, 0) sin β (t, 0) = lim eα (t, 0)(sin β (t, 0))∆ = 1+µα 1+µα t→∞ t→∞ β z−α (t, 0)} = (ii)L{eα (t, 0) cos 1+µα với điều kiện (z − α)2 + β lim eα (t, 0) cos β (t, 0) = lim eα (t, 0)(cos β (t, 0))∆ = 1+µα 1+µα t→∞ t→∞ β (iii) L{eα (t, 0) sinh β (t, 0)} = với điều kiện 1+µα (z − α)2 − β lim eα (t, 0) sinh β (t, 0) = lim eα (t, 0)(sinh β (t, 0))∆ = (i) L{eα (t, 0) sin t→∞ β 1+µα 1+µα (t, 0)} = t→∞ 61 1+µα β với điều kiện (z − α)2 − β (t, 0) = lim eα (t, 0)(cosh β (t, 0))∆ = z−α (t, 0)} = (iv)L{eα (t, 0) cosh 1+µα lim eα (t, 0) cosh t→∞ β 1+µα t→∞ 1+µα Chứng minh (i) Cho x(t) := eα (t, 0) sin β 1+µ(t)α (t, 0) Ta bắt đầu việc kiểm tra x(t) nghiệm toán giá trị ban đầu x∆∆ − 2αx∆ + (α2 + β )x = 0, x∆ (0) = β x(0) = 0, (3.4) Sử dụng quy tắc nhân, định lý 1.3 1.13, ta tính x∆ x∆∆ β eα (σ(t), 0) cos β (t, 0) 1+µ(t)α + µ(t)α β(1 + µ(t)α) = αeα (t, 0) sin β (t, 0) + eα (t, 0) cos β (t, 0) 1+µ(t)α 1+µ(t)α + µ(t)α x∆ = αeα (t, 0) sin = αeα (t, 0) sin β 1+µ(t)α β 1+µ(t)α (t, 0) + (t, 0) + βeα (t, 0) cos β 1+µ(t)α (t, 0) Ta ∆ - đạo hàm x∆ ta β eα (σ(t), 0) cos β (t, 0) 1+µ(t)α + µ(t)α β + αβeα (t, 0) cos β (t, 0) − β eα (σ(t), 0) sin β (t, 0) 1+µ(t)α 1+µ(t)α + µ(t)α β(1 + µ(t)α) =α2 eα (t, 0) sin β (t, 0) + α eα (t, 0) cos β (t, 0) 1+µ(t)α 1+µ(t)α + µ(t)α β(1 + µ(t)α) + αβeα (t, 0) cos β (t, 0) − β eα (t, 0) sin β (t, 0) 1+µ(t)α 1+µ(t)α + µ(t)α x∆∆ =α2 eα (t, 0) sin =α2 eα (t, 0) sin β 1+µ(t)α β 1+µ(t)α − β eα (t, 0) sin (t, 0) + α (t, 0) + 2αβeα (t, 0) cos β 1+µ(t)α (t, 0) 62 β 1+µ(t)α (t, 0) Nên x∆∆ − 2αx∆ = −α2 eα (t, 0) sin β 1+µ(t)α (t, 0) − β eα (t, 0) sin = −(α2 + β )eα (t, 0) sin β 1+µ(t)α β 1+µ(t)α (t, 0) (t, 0) = −(α2 + β )x Chú ý eα (0, 0) = 1, sin β 1+µ(t)α (0, 0) = 0, cos β 1+µ(t)α (0, 0) = 1, theo x(t) đáp ứng điều kiện ban đầu Tiếp theo ta áp dụng biến đổi Laplace cho hai vế phương trình động lực (2.12) hệ 2.1 để có z L{x} − zx(0) − x∆ (0) − 2µ[zL{x} − x(0)] + (α2 + beta2 )L{x} = Ta thấy trình sử dụng hệ 2.1, ta sử dụng giả định lim eµ (t, 0) sin t→∞ β 1+µα (t, 0) = lim eµ (t, 0)(sin t→∞ β 1+µα (t, 0))∆ = Sử dụng điều kiện ban đầu, ta đến z L{x} − β − 2αzL{x} + (α2 + β )L{x} = Bây ta giải L{x} L{x}(z − 2αz + α2 + β ) = β β z − 2αz + α2 + β β L{x} = (z − α)2 + β L{x} = Nên ta có L{x} = β (z − α)2 + β Nhắc lại định nghĩa x(t) ta tìm L{eα (t, 0) sin β 1+µα (t, 0)} = β (z − α)2 + β mong muốn Chứng minh phần (ii), (iii), (iv) làm tương tự 63 (3.5) Định nghĩa 3.2 Cho a ∈ T, a > xác định hàm bước nhảy ua t ∈ T ∩ (−∞, a) t ∈ T ∩ [a, ∞) ua (t) := Mệnh đề 3.3 Cho a ∈ T+ , a > Thì L{ua (t)} = e z(a,0) z với z ∈ R(R) cho lim e z (t, 0) = t→∞ Chứng minh ∞ L{ua (t)}(z) = ∞ ua (t)e z (σ(t), 0)∆t = e z(σ(t),0 ∆t a Theo hệ 1.1 ta viết lại sau ∞ z e z (t, 0)∆t = − [e z (t, 0)]∞ z z e z (a, 0) = − [0 − e z (a, 0)] = z z − a Bây ta xét đến tính chất trễ loại thứ 2, loại đề cập đến câu hỏi thứ phần đầu mục Với T = R tính chất trễ loại xác định L{ua (t)f (t − a)}(z) = e−az L{f }(z) Mặc dù, lần ta có tốn, đề cập trước mệnh đề tích chập, t a thuộc thang thời gian ta, không đảm bảo 64 t − a thuộc thang thời gian.Vì mà f (t − a) khơng xác định Tuy nhiên, ta kiểm tra kết tương tự cho vài hàm.Mệnh đề kết cho thang thời gian Mệnh đề 3.4 Tính chất trễ loại II Cho a ∈ T+ , a > Giả sử f hàm eα (t, a), coshα (t, a), sinhα (t, a), cosα (t, a), sinα (t, a) Nếu z, α ∈ R(R) hồi quy thỏa mãn lim eα z (t, a) = lim eiα z (t, a) = lim e−iα z (t, a) = t→∞ t→∞ t→∞ L{ua (t)f (t, a)} = e z (a, 0)L{f (t, 0)} Chứng minh Đầu tiên ta làm với trường hợp f (t, a) = eα (t, a) Sử dụng định lý 1.13 eα (t, a)e z (σ(t), 0) = = = = = eα (t, a)e z (t, 0) + µ(t)z eα z (t, a)e z (a, 0) + µ(t)z α−z eα z (t, a)e z (a, 0) α − z + µ(t)z (α z)eα z (t, a)e z (a, 0) α−z e z (a, 0)(α z)eα z (t, a) α−z 65 Nên ∞ L{ua (t)f (t, a)} = ua (t)eα (t, a)e z (σ(t), 0)∆t ∞ e z (a, 0) ua (t)(α z)(t)eα z (t, a)∆t = α−z ∞ = e z (a, 0) (α z)(t)eα z (t, a)∆t α−z e z (a, 0)[eα z (t, a)]t→∞ = t=a α−z =− e z (a, 0) = e z (a, 0)L{eα (t, 0)} α−z với điều kiện lim eα z (t, a) = t→∞ Tiếp theo ta xét trường hợp f (t, a) = cosα (t, a) cosα (t, a) = eiα (t, a) + e−iα (t, a) Nên eiα (t, a) + e−iα (t, a) } 1 = L{ua (t)eiα (t, a)} + L{ua (t)e−iα (t, a)} 2 L{ua (t) cosα (t, a)} = L{ua (t) với tuyến tính L Sử dụng trường hợp phần chứng minh 1 e z (a, 0)L{eiα (t, 0)} + e z (a, 0)L{e−iα (t, 0)} 2 (3.6) với điều kiện lim eiα z (t, a) = lim e−iα z (t, a) = Vận dụng (2.14) t→∞ t→∞ eiα (t, 0) + e−iα (t, 0) e z (a, 0) L{eiα (t, 0) + e−iα (t, 0)} = e z (a, 0)L{ } 2 Sử dụng định nghĩa cosα (t, 0) ta = e z (a, 0)L{cosα (t, 0)} 66 Chứng minh với coshα (t, a), sinhα (t, a), sinα (t, a) tương tự với cosα (t, a) chúng tổ hợp tuyến tính hàm mũ Tiếp theo ta tiến hành đưa hàm delta Dirac vào Xét hàm da, : T → R với tham số > a ∈ T, a + ∈ T cho  1 a ≤< a + da, (t) :=  trường hợp cịn lại Thì với b ∈ T, b ≥ a + ta có b a+ da, (t)∆t = ∆ a ∆t = a Chúng ta quan tâm da, (t) lực tác động lên khối khoảng thời gian ngắn chiều dài cho hiệu lực độc lập với Một hàm xung coi lực tác dụng ( giống trường hợp thực tế) tác động yếu khoảng thời gian ngắn cho phép với thang thời gian, δa (t) = lim da, (t) →µ(a) Ví dụ 3.2 Giả sử T = R, +∞ t = a trường hợp lại δa (t) = lim da, (t) = →0 Bây ta giả sử T = hZ, h >  1 δa (t) = lim da, (t) = h →h  t = a trường hợp lại Xét hàm liên tục f : T → R tích phân b a+ f (t)da, (t)∆t = a a+ f (t)da, (t)∆t = a f (t) ∆t a → µ(a) tích phân tiến đến f (a) Ta đến định nghĩa tiêp theo 67 Định nghĩa 3.3 Giả sử a, b ∈ T giả sử f : T → R liên tục Nếu δ0 (t) thỏa mãn hai điều kiện sau (i) b f (t)δ0 (t)∆t = f (0) a≤0 cho r1 = −b + √ √ b2 − 4ac −b − b2 − 4ac r2 = 2a 2a nghiệm az + bz + c Thì L{x}(z) = e z (α, 0) a(z − r1 )(z − r2 ) Tách phần ta aL{x}(z) = e z (α, 0) e z (α, 0) − (z − r2 )(r2 − r1 ) (z − r1 )(r2 − r1 ) Theo định lý 2.5 aL{x}(z) = 1 e z (α, 0)L{er2 (t, 0)} − e z (α, 0)L{er1 (t, 0)} r2 − r1 r2 − r1 Mệnh đề (3.4) L{x}(z) = 1 L{uα (t)r2 (t, 0)} − L{uα (t)r1 (t, 0)} a(r2 − r1 ) a(r2 − r1 ) Nên x(t) = 1 uα (t)r2 (t, 0) − uα (t)r1 (t, 0) a(r2 − r1 ) a(r2 − r1 ) 70 b Bây giả sử b2 − 4ac = Thì az + bz + c = a(z + 2a ) phương trình (2.18) trở thành L{x}(z) = e z (α, 0) = e z (α, 0) L{e− b (t, 0)} b 2a a a(z + 2a ) Theo định lý 2.5 Áp dụng mệnh đề (3.21) L{x}(z) = L{uα (t)e− b (t, α)}L{e− b (t, 0)} 2a 2a a Sau xét ua (t)e− b (t, α) điều hịa, ta đơn giản vế trái cách 2a sử dụng mệnh đề (3.16) L{x}(z) = L{e− b (t, α) ∗ (uα (t)e− b (t, α))} 2a 2a a Nên x(t) = e− b (t, α) ∗ (uα (t)e− b (t, α)) 2a a 2a 71 Kết luận Trong luận văn, tính tốn thang thời gian đề tài cịn có nhiều khác biệt so với tính tốn tập số thực Thang thời gian giúp giải toán liên quan đến tập số rời rạc để áp dụng giải phương trình động lực học thực tế Trong tương lai Thang thời gian có tiềm trở thành đề tài nghiên cứu nhiều nhà khoa học để tìm ứng dụng hữu ích Một số đóng góp luận văn : Nghiên cứu kiến thức Thang thời gian, đưa so sánh để đánh giá giống khác thang thời gian số thực Nghiên cứu biến đổi Laplace, tính chất phép biến đổi thang thời gian Chứng minh cụ thể định lý mệnh đề, đưa ví dụ minh họa cho định lý, định nghĩa 72 Tài liệu tham khảo Alan M Thomas (2003), Thesis of "Transforms on Time Scales" R.P Agarwal and M Bohner (1999), Basic Calculus on Time Scales and Some of its Applications Results Math.35 (1-2) : - 22, 1999 N Asmar (2000) Partial Differential Equations and Boundary Value Problems Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ Bohner and A Peterson, (2002) Advances in Dynamic Equations on Time Scales Birkhauser, Boston M Bohner and A Peterson, (2001) Dynamic Equations on Time Scales Birkhauser, Boston R Donahue (1987) The Development of Transforms Method for Use in Solving Difference Equations Honors thesis, University of Dayton C H Edwards Jr and D E Penney(1996), Differential Equations : Computing and Modeling Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ G Folland(1999), Real Analysis : Modern Techniques and Their Aplications John Wiley and Sons, Inc., New York, second edition 73 S Hilger (1999), Special Functions, Laplace and Fourier Transform on Measure Chains Dynamic Systems and Aplications pp.471-488 10 Kakichev V.A (1967) On the convolution for integral transforms, Izv Vyssh Uchebn Zaved Mat., 11 V.A and Thao N.X (1998), On the design method for the generalized integral convolutions, Izv Vyssh Uchebn Zaved Mat., (1), pp.31-40 (In Russian) 12 Sneddon I.N (1951), Fourier Transforms, McGray-Hill, New York 13 S.B (1990), On the construction method for construction of integral convolution, DAN BSSSR 74 ... biến đổi tích phân rời rạc gần sang phép biến đổi tích thang thời gian (là cầu nối phép biến đổi tích phân rời rạc phép biến đổi tích phân) Tính tốn thang thời gian đề tài mẻ, giới thiệu lần Stefan... 33 Phép biến đổi tích phân Laplace thang thời gian 40 2.1 Định nghĩa ví dụ 40 2.2 Tính chất phép biến đổi Laplace thang thời gian 46 Tích chập Laplace thang thời gian. .. Phép biến đổi tích phân Laplace thang thời gian 2.1 Định nghĩa ví dụ Trong chương này, chủ yếu giới thiệu phép biến đổi Laplace thang thời gian Mục tiêu để khai thác vài tính chất phép biến đổi