BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI - - - - - - - - - - -o0o- - - - - - - - - - - NGUYỄN MINH PHƯƠNG TÍCH CHẬP SUY RỘNG ĐỐI VỚI CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN Chuyên ngành: Toán Tin LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGÀNH: TOÁN TIN NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS NGUYỄN XUÂN THẢO Hà Nội - 2014 Mục lục Lời cảm ơn iii Mở đầu iv Danh mục kí hiệu chữ viết tắt ix Chương Kiến thức bổ sung 1.1 Biến đổi Fourier 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Tính chất 1.1.3 Bổ đề Riemann-Lebesgue 1.2 Tích chập Fourier 1.2.1 Định nghĩa tích chập Fourier 1.2.2 Định lí tích chập Fourier 1.2.3 Tính chất đại số tích chập Fourier 1.2.4 Đẳng thức Parseval’s 1.3 Phép biến đổi Fourier Cosine Sine 1.3.1 Một số định nghĩa 1.3.2 Tính chất biến đổi Fourier Cosine Sine 1.3.3 Định lí tích chập biến đổi Fourier Cosine 1.4 Ví dụ i Chương Phép biến đổi Laplace ứng dụng thực tế 2.1 Phép biến đổi Laplace 10 10 2.1.1 Định nghĩa 10 2.1.2 Tính chất 11 2.1.3 Định lý Tauberian 13 2.1.4 Bổ đề Watson 14 2.2 Ứng dụng phép biến đổi Laplace 14 2.2.1 Phương trình vi phân cấp hai 15 2.2.2 Dao động điều hịa khơng chịu tác động mơi trường 16 2.2.3 Dịng điện điện tích mạch điện đơn giản 18 2.2.4 Phương trình vi phân với độ trễ 22 2.2.5 Phương trình vi- tích phân 24 Chương Tích chập suy rộng Fourier-Laplace ứng dụng 26 3.1 Một số tích chập biết 26 3.2 Định nghĩa, định lí không gian hàm 28 3.3 Tính chất toán tử 35 3.4 Phương trình hệ phương trình tích phân 39 3.5 Phương trình vi - tích phân 44 Tài liệu tham khảo ii 53 Lời cảm ơn Đầu tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo, người tận tình hướng dẫn, bảo để luận văn hoàn thành, giúp ngày khắc sâu niềm đam mê nghiên cứu khoa học tốn học Tơi xin chân thành cảm ơn Viện Toán ứng dụng Tin học, Viện Đào tạo Sau Đại học, trường Đại học Bách khoa Hà Nội, tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập nghiên cứu trường Tôi xin cảm ơn dạy dỗ, bảo quan tâm thầy Viện Tốn ứng dụng Tin học suốt thời gian theo học nghiên cứu Tôi xin chân thành cảm ơn Bộ mơn Tốn Viện Tốn ứng dụng Tin học nơi theo học, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi có hội học tập nghiên cứu Tôi xin chân thành cảm ơn anh, chị em nhóm seminar giải tích PGS.TS Nguyễn Xn Thảo chủ trì có trao đổi hữu ích giúp cho luận văn hồn thiện Cuối cùng, tơi muốn gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đồng nghiệp, người ln động viên khích lệ giúp tơi hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Học viên: Nguyễn Minh Phương Lớp: 12BTT-KH iii Mở đầu Lí chọn đề tài Tích chập biến đổi tích phân nghiên cứu sớm vào đầu năm kỉ 20, tích chập biến đổi Fourier(xem [4,13,17]), biến đổi Laplace(xem[2,4,12,17,28-31]), biến đổi Mellin(xem [12,17]), biến đổi Hilbert(xem [4,5]), biến đổi Fourier Cosine Sine (xem [7,9,17,19]) Các loại tích chập có nhiều ứng dụng quan trọng xử lý ảnh, phương trình vi phân, phương trình tích phân, toán truyền nhiệt ngược(xem [4-6,12,15-17,25,28-30]) Các phép biến đổi tích phân đời sớm có vai trị đặc biệt quan trọng thân phép biến đổi Fourier đời từ toán thực tế, Fourier nghiên cứu trình truyền nhiêt Phép biến đổi Fourier có dạng ( xem [3,27]) ∞ (F f )(x) = F [f ](x) = √ 2π e−ixy f (y)dy, f ∈ L1 (R) −∞ N (F f )(x) = F [f ](x) = lim N →∞ −N e−ixy f (y)dy, f ∈ Lp (R), ≤ p ≤ Nếu g(x) = (F f )(x) ∈ L1 (R) ta có phép biến đổi Fourier ngược sau ( xem [3,27]) f (x) = (F −1 g)(x) = F −1 [g](x) = √1 2π ∞ e−ixy g(y)dy, −∞ Nếu g(x) = (F f )(x) ∈ Lp (R) ta có phép biến đổi Fourier ngược sau ( xem [3,27]) f (x) = (F −1 g)(x) = F −1 [g](x) = limN →∞ √12π iv N −N e−ixy g(y)dy Cùng với lý thuyết phép biến đổi tích phân, tích chập phép biến đổi tích phân xuất vào khoảng đầu kỉ 20 Tích chập xây dựng tích chập phép biến đổi Fourier, cụ thể tích chập hai hàm f g phép biến đổi Fourier có dạng sau (xem [18]) ∞ (f ∗ g)(x) = √ F 2π f (y)g(x − y)dy, x ∈ R −∞ mà thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa sau (xem [18]) F [f ∗ g](y) = (F f )(y)(F g)(y), ∀y ∈ R, f, g ∈ L1 (R) F Trong năm 1998, [8] tác giả giới thiệu phương pháp chung định nghĩa tích chập suy rộng hàm trọng γ với biến đổi tích phân tùy ý K1 , K2 K3 cho đẳng thức nhân tử hóa thỏa mãn sau: γ K1 [f ∗ g](y) = γ(y)(K2 f )(y)(K3 g)(y) Ý tưởng mở nhiều nghiên cứu nhiều tích chập với tính chất xuất [9], có loại tích chập biến đổi Laplace xác định sau(xem [4,31]): x (f ∗ g)(x) = f (x − t)g(t)dt, x > 0, L mà thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa sau L(f ∗ g)(y) = (Lf )(y)(Lg)(y) L v L kí hiệu biến đổi Laplace ∞ f (x)e−yx dx, y > (Lf )(y) = Ngoài ra, chúng tơi giới thiệu loại tích chập suy rộng với hàm trọng biến đổi Fourier Cosine-Laplace biến đổi Fourier Sine-Laplace có vài chuẩn bất đẳng thức tích chập tính chất đại số tốn tử tích chập L1 (R+ ) Lα,β p (R+ ) Việc vận dụng tích chập cho việc giải lớp tốn phương trình tích phân giống hệ phương trình tích phân, phương trình vi- tích phân giải cho nghiệm dạng đóng Với lí nêu trên, chúng tơi lựa chọn đề tài để viết luận văn với tên gọi " Tích chập suy rộng phép biến đổi tích phân" Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng với hàm trọng nhóm phép biến đổi Fourier, Fourier Cosine Laplace Chúng tơi nghiên cứu tính chất tốn tử tích phân xây dựng khơng gian L1 (R+ ) Từ đó, chúng tơi đưa ứng dụng cụ thể để đánh giá nghiệm toán phương trình, hệ phương trình tích phân phương trình vi- tích phân có nghiệm dạng đóng Phương pháp nghiên cứu Phương pháp luận văn chúng tơi sử dụng kĩ thuật phép biến đổi tích phân, kĩ thuật phép biến đổi Fourier, Fourier Cosine, Fourier Sine Laplace để giải toán phương trình hệ phương trình tích phân, phương trình vi -tích phân vi Nội dung luận văn Trong luận văn đưa chương sau: Chương 1: Kiến thức bổ sung Mục đích nhắc lại kiến thức định nghĩa phép biến đổi Fourier, tính chất chúng; tiếp đến định nghĩa tích chập Fourier, có tìm hiểu định lí tính chất đại số tích chập Fourier, đẳng thức Parseval’s ; ngồi cịn tìm hiểu cụ thể định nghĩa biến đổi Fourier Cosine Sine, từ đưa tính chất biến đổi Fourier Cosine Sine Với kiến thức cốt lõi tìm hiểu số ví dụ minh họa để khắc sâu kiến thức Kiến thức chương tảng để nghiên cứu sâu chương Chương 2: Phép biến đổi Laplace ứng dụng thực tế Trong chương nghiên cứu hai vấn đề phép biến đổi Laplace ứng dụng; thông qua phép biến đổi Laplace nhắc lại loại định nghĩa Laplace xuôi ngược, từ đưa tính chất chúng; bên cạnh khơng thể khơng nhắc đến định lí kinh điển định lí Taberian bổ đề Watson Vì , ứng dụng thực tiễn cho thấy việc vận dụng kiến thức phép biến đổi Laplace hữu ích tảng cho nhiều lĩnh vực thực tế Nội dung chương sở để vận dụng cho chương Chương 3: Tích chập suy rộng Fourier-Laplace ứng dụng Trong chương nghiên cứu sâu tích chập FourierLaplace, đưa định nghĩa, định lí hệ tích chập, nhắc lại số tích chập biết; từ nghiên cứu phương trình hệ vii phương trình tích phân có nghiệm dạng đóng Trên sở nghiên cứu chương 1,2 trên, chúng tơi tìm hướng nghiên cứu để giải tốn phương trình vi- tích phân có nghiệm dạng đóng kết hội đồng phản biện tạp chí khoa học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đánh giá tốt chuẩn bị đăng tạp chí Luận văn hồn thành Viện Tốn ứng dụng Tin học, trường Đại học Bách khoa Hà Nội, hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo Mặc dù cố gắng, song luận văn không tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận góp ý thầy cô bạn Xin chân thành cảm ơn Hà Nội, ngày 05 tháng 09 năm 2014 viii Danh mục kí hiệu chữ viết tắt R tập số thực R+ tập số thực dương L1 (R+ ) tập hợp hàm số f (x) xác định R+ ∞ |f (x)|dx < +∞ cho L1 (R+ , ρ) tập hợp hàm số f (x) xác định R+ , ρ hàm trọng dương, ∞ |f (x)|ρ(x)dx < +∞ cho Lp (R+ ) tập hợp hàm số f (x) xác định R+ ∞ |f (x)|p dx < +∞ cho Lα,β p (R+ ) tập hợp hàm số f (x) xác định R+ ∞ cho xα e−βx |f (x)|p dx < +∞ Co (R+ ) tập hợp hàm hội tụ R+ tính liên tục ∞ (· ∗ ·) tích chập phép biến đổi Laplace (· ∗ ·) tích chập phép biến đổi Fourier Cosine (· ∗ ·) tích chập với hàm trọng γ(y) = sin y phép L Fc γ Fs biến đổi Fourier Sine (· ∗ ·) tích chập suy rộng phép biến đổi Fourier Sine Fourier Cosine (· ∗ ·) tích chập suy rộng phép biến đổi Fourier Cosine Fourier Sine γ (· ∗ ·) tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y) = e−µy phép biến đổi Fourier Cosine-Laplace Fourier Sine-Laplace ix γ (F{cs } f )(y) = (F{cs } g)(y) − (F{cs } g)(y) Fc (ψ ∗ ϕ)1 (y) γ (3.30) + Fc (ψ ∗ ϕ)1 (y) γ Với điều kiện + Fc (ψ ∗ ϕ)1 (y) = ∀y > 0, suốt định lý WienerLevy (xem [11,p.63]), có tồn hàm số q ∈ L1 (R+ thỏa mãn (3.26) Kết hợp với (3.30), có: (F{cs } f )(y) = (F{cs } g)(y) − (F{cs } g)(y)(Fc q)(y) = (F{cs } g)(y) − F{cs } (g ∗{F1 c } q)(y) Do có (3.25) Định lý chứng minh (c) Chúng ta xét hệ hai phương trình tích phân ∞ f (x) + g(t)M (x, t)dt = p(x), ∞ f (t)N (x, t)dt = q(x), ∀x > g(x) + (3.31) H1 (x, u, v)[k(|u − x|) + k(u + x)]ϕ(v)dudv M (x, t) = R2+ H1 (x, u, v)[l(|u − x|) + l(u + x)]ψ(v)dudv N (x, t) = R2+ Và H1 xác định (3.24) Định lí Giả sử ϕ(x), ψ(x), p(x), q(x) ∈ L1 (R+ ) cho γ γ − Fc ((k ∗ ϕ)1 ∗ (l ∗ ψ)1 (y) = ∀y > Thì hệ phương trình (3.31) có Fc nghiệm (f, g) thuộc (L1 (R+ ), L1 (R+ )) đưa công thức: γ γ f (x) = p(x) − (q ∗ (k ∗ ϕ)1 )(x) + (p ∗ ξ)(x) − ((q ∗ (k ∗ ϕ)1 ) ∗ ξ)(x) Fc Fc Fc Fc (3.32) 42 γ γ g(x) = q(x) − (p ∗ (l ∗ ψ)1 )(x) + (q ∗ ξ)(x) − ((p ∗ (l ∗ ψ)1 ) ∗ ξ)(x) Fc Fc Fc Fc (3.33) ξ ∈ L1 (R+ ) cho γ γ Fc ((k ∗ ϕ)1 ∗ (l ∗ ψ)1 (y) (Fc ξ)(y) = Fc γ γ (3.34) − Fc ((k ∗ ϕ)1 ∗ (l ∗ ψ)1 (y) Fc Chứng minh Chúng ta viết lại hệ hai phương trình (3.31) sau: γ f (x) + ((g ∗ k) ∗ ϕ)1 )(x) = p(x) Fc γ g(x) + ((f ∗ l) ∗ ψ)1 )(x) = q(x) (3.35) Fc Sử dụng tính chất nhân tử hóa (3.9),(3.2) cho (3.35), có (Fc f )(y) + e−µy (Fc g)(y)(Fc k)(y)(Lϕ)(y) = (Fc p)(y) (Fc g)(y) + e−µy (Fc f )(y)(Fc l)(y)(Lψ)(y) = (Fc q)(y) γ (Fc f )(y) + (Fc g)(y)Fc (k ∗ ϕ)1 (y) = (Fc p)(y) γ (Fc g)(y) + (Fc f )(y)Fc (l ∗ ψ)1 (y) = (Fc q)(y) (3.36) Nghiệm hệ hai phương trình tuyến tính (3.36), có: γ (Fc p)(y) − Fc (q ∗ (k ∗ ϕ)1 )(y) (Fc f )(y) = Fc γ γ − Fc ((k ∗ ϕ)1 ∗ (l ∗ ψ)1 (y) Fc γ γ Fc ((k ∗ ϕ)1 ∗ (l ∗ ψ)1 (y) γ (Fc f )(y) = [(Fc p)(y)−Fc (q ∗ (k ∗ ϕ)1 )(y)]× 1+ Fc Fc γ γ − Fc ((k ∗ ϕ)1 ∗ (l ∗ ψ)1 (y) Fc (3.37) 43 Trong định lý Wiener-Levy( xem[11,p.63]), có tồn hàm số ξ ∈ L1 (R+ ) thỏa mãn (3.34) Kết hợp với (3.37) có γ (Fc f )(y) = [(Fc p)(y) − Fc (q ∗ (k ∗ ϕ)1 )(y)][1 + (Fc ξ)(y)] Fc γ = (Fc p)(y) − Fc (q ∗ (k ∗ ϕ)1 )(y) + Fc (p ∗ ψ)(y) Fc Fc γ − Fc ((q ∗ (k ∗ ϕ)1 ) ∗ ξ)(y) Fc Fc Do (3.32) Tương tự có (3.33) Định lý chứng minh Bây xét hệ (3.31) với H2 (x, u, v)[k(|u − x|) − k(u + x)]ϕ(v)dudv M (x, t) = R2+ H2 (x, u, v)[l(|u − x|) − l(u + x)]ψ(v)dudv N (x, t) = R2+ Và H2 xác định (3.24) Hệ Dưới giả thiết định lý 7, hệ (3.31) có nghiệm (f, g) thuộc (L1 (R+ ), L1 (R+ )) đưa công thức: γ γ f (x) = p(x) − (q ∗(k ∗ ϕ)1 )(x) + (p ∗ ξ)(x) − ((q ∗(k ∗ ϕ)1 ) ∗ ξ)(x) 1 γ γ g(x) = q(x) − (p ∗(l ∗ ψ)1 )(x) + (q ∗ ξ)(x) − ((p ∗(l ∗ ψ)1 ) ∗ ξ)(x) 1 1 ξ ∈ L1 (R+ ) xác định (3.34) 3.5 Phương trình vi - tích phân Trong chương đưa kết đạt đăng tạp chí khoa học Đại học Sư phạm Hà Nội với hỗ trợ 44 nhiệt tình Thầy giáo hướng dẫn nên xét góc độ phạm vi nhỏ, hai phương trình vi - tích phân sau: ∞ f (x) − λ2 f (x) + θ(x, u)f (u)du = h(x), x > 0, λ = (3.38) ∞ f (x) + θ(x, u)f (u)du = h(x), x > (3.39) Ở ∞ θ(x, u) = π g(v) v+µ v+µ + dv, µ > (v + µ)2 + (x − u)2 (v + µ)2 + (x + u)2 g(x), h(x) hàm biết cịn f (x) ẩn hàm Mệnh đề Cho hàm f (x) khả vi cấp hai thuộc L(R+ ), thỏa mãn giả thiết f (0) = f (0) = f (0) = f (x), f (x), f (x) → x → ∞ có: (Fc f )(y) = y(Fs f )(y) (3.40) (Fc f )(y) = −y (Fc f )(y) (3.41) Định lí Cho g(x), h(x) ∈ L1 (R+ ) −y − λ2 + γ(Lg)(y) = ∀y > 0, λ = , điều kiện ban đầu f (0) = f (0) = f (x), f (x) → x → ∞ Khi phương trình (3.38) có nghiệm L1 (R+ ) dạng f (x) = − π −λx ∗ h) + ((e−λx ∗ h) ∗ l)](x), [(e Fc Fc Fc 45 với l(x) ∈ L1 (R+ ) xác định bởi: (Fc l)(y) = γ π −λx ∗ F (e g)(y) c 1− γ π −λx ∗ g)(y) F (e c (3.42) Chứng minh Phương trình (3.38) viết thành: v+à v+à + ì (v + à)2 + (x − u)2 (v + µ)2 + (x + u)2 f (x) − λ2 f (x) + π 0 ×g(v)f (u)dvdu = h(x), x > (3.43) Từ ta viết lại phương trình (3.43) dạng: γ f (x) − λ2 f (x) + (f ∗ g)(x) = h(x) (3.44) Biến đổi Fourier Cosine hai vế cho phương trình (3.44) ta γ (Fc f )(y) − λ2 (Fc f )(y) + Fc (f ∗ g)(y) = (Fc h)(y) Từ (3.40),(3.41) (3.9) ta được: −y (Fc f )(y) − λ2 (Fc f )(y) + γ(Fc f )(y)(Lg)(y) = (Fc h)(y) ta có : (Fc h)(y) −y − λ2 + γ(Lg)(y) −1 = (Fc h)(y) γ y + λ2 − y2 +λ (Lg)(y) −λ = (Fc h)(y) y + λ2 − y2γλ +λ2 (Lg)(y) (Fc f )(y) = Sử dụng công thức Fc (e−λx )(y) = (Fc f )(y) = − 1−γ λ π y +λ2 [1] Do đó, ta được: π −λx )(y)(Fc h)(y) Fc (e π −λx )(y)(Lg)(y) Fc (e 46 Từ (3.2) (3.9) ta có: − (Fc f )(y) = π −λx ∗ Fc (e F h)(y) c 1− = − γ π −λx ∗ g)(y) F (e c π Fc (e−λx ∗ h)(y) + Fc 1− γ π −λx ∗ F (e g)(y) c γ π −λx ∗ g)(y) F (e c Theo định lí Wiener-Levy[11] tồn hàm số l ∈ L1 (R+ ) thỏa mãn (3.42), nên ta có: (Fc f )(y) = − = − = − π Fc (e−λx ∗ h)(y)(1 + (Fc l)(y)) Fc π [Fc (e−λx ∗ h)(y) + Fc (e−λx ∗ h)(y)(Fc l)(y)] Fc Fc π [Fc (e−λx ∗ h)(y) + Fc ((e−λx ∗ h) ∗ l)(y)] Fc Fc Fc Từ tính biến đổi Fourier Cosine, ta có nghiệm khả vi cấp hai f (x) = − π −λx ∗ h)(x) + ((e−λx ∗ h) ∗ l)(x)] ∈ L1 (R+ ) [(e Fc Fc Fc Định lý chứng minh Định lí Cho g(x), h(x) ∈ L1 (R+ ) −y + γ(Lg)(y) = 0, ∀y > 0, điều kiện ban đầu f (0) = f (0) = f (x), f (x) → x → ∞ Phương trình (3.39) có nghiệm L1 (R+ ) dạng f (x) = − π −x [e ∗ h + (e−x ∗ h) ∗ l](x), Fc Fc Fc 47 với l ∈ L1 (R+ ) xác định bởi: (Fc l)(y) = π −x Fc (e 1− γ + e−x ∗ g)(y) π −x Fc (e + γ e−x ∗ g)(y) (3.45) Chứng minh Phương trình (3.39) viết rõ sau: ∞ ∞ f (x) + v+à v+à + ì (v + µ)2 + (x − u)2 (v + µ)2 + (x + u)2 0 ×g(v)f (u)dvdu = h(x), x > (3.46) Từ ta viết lại phương trình (3.46) dạng: γ f (x) + (f ∗ g)(x) = h(x) Biến đổi Fourier Cosine hai vế cho phương trình (3.47) ta γ (Fc f )(y) + Fc (f ∗ g)(y) = (Fc h)(y) Từ (3.40),(3.41) (3.9) ta được: −y (Fc f )(y) + γ(Fc f )(y)(Lg)(y) = (Fc h)(y) ta có : (Fc h)(y) −y + γ(Lg)(y) (Fc h)(y) = −1 − y + + γ(Lg)(y) −1 = (Fc h)(y) γ + y − 1+y2 − 1+y (Lg)(y) (Fc f )(y) = Sử dụng công thức Fc (e−x )(y) = (Fc f )(y) = π 1+y π −x (Fc h)(y).Fc (e )(y) π π −x −x Fc (e )(y) − γ Fc (e )(y)(Lg)(y) − 1− [1] Ta có: 48 (3.47) Từ đó, sử dụng (3.2) (3.9) ta có − (Fc f )(y) = π −x ∗ Fc (e F h)(y) c π −x Fc (e )(y) 1− − π −x ∗ Fc (e F γ π −x ∗ F (e c F − g)(y) c h)(y) c = π −x Fc (e 1− = − γ + e−x ∗ g)(y) Fc π Fc (e−x ∗ h)(y) + Fc 1− π −x Fc (e γ + e−x ∗ g)(y) Fc π −x Fc (e γ + e−x ∗ g)(y) Fc Theo định lí Wiener-Levy [11] tồn hàm số l ∈ L1 (R+ ) thỏa mãn (3.45) nên ta có: (Fc f )(y) = − = − = − = − π Fc (e−x ∗ h)(y)[1 + (Fc l)(y)] Fc π [Fc (e−x ∗ h)(y) + Fc (e−x ∗ h)(y)(Fc l)(y)] Fc Fc π [Fc (e−x ∗ h)(y) + Fc ((e−x ∗ h) ∗ l))(y)] Fc Fc Fc π [Fc (e−x ∗ h + (e−x ∗ h) ∗ l)(y)] Fc Fc Fc Từ tính biến đổi Fourier Cosine, ta có nghiệm phương trình (3.39) khả vi, thuộc L1 (R+ ) f (x) = − π −x ∗ [e F c h+(e−x ∗ h) ∗ l](x) Fc Fc Định lý chứng minh Kết luận Chương nhắc lại loại tích chập biết, trình bày tích chập suy rộng Fourier-Laplace số định lí với số 49 mệnh đề hệ đưa Bên cạnh tơi trình bày cụ thể hai loại phương trình tích phân hệ phương trình tích phân giải tập đóng Kết luận văn trình bày chương 3, cụ thể kết ứng dụng cho tốn phương trình vi-tích phân giải có nghiệm dạng đóng Các định lí 8, cơng bố cơng trình có tên "phương trình vi tích phân Toeplitz - Hankel " tạp chí khoa học Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội thời gian gần Các kết chương lấy từ tài liệu [4,7,9,11,17,26] 50 Kết luận chung Trong luận văn nghiên phép biến đổi tích phân liên quan đến tích chập tích chập suy rộng có hàm trọng nhóm phép biến đổi Fourier, Fourier Cosine, Fourier Sine Laplace Các kết nhận luận văn là: - Hệ thống kết phép biến đổi tích phân kiểu Fourier, phép biến đổi tích phân kiểu tích chập Fourier, phép biến đổi tích phân kiểu tích chập Fourier Cosine Fourier Sine, phép biến đổi tích phân kiểu tích chập Fourier Cosine, Fourier Sine với hàm trọng dựa tích chập suy rộng nhóm phép biến đổi Fourier, Fourier Cosine, Fourier Sine nghiên cứu trước (Xem [10,20,21,22,23,24]) - Hệ thống kết phép biến đổi tích phân Laplace số ứng dụng chúng vào dạng tốn Tốn-lý -Nghiên cứu tích chập suy rộng biến đổi tích phân Fourier, Laplace tính chất tốn tử, ứng dụng để giải tốn phương trình, hệ phương trình tích phân; nhờ mà mở hướng nghiên cứu phương trình vi-tích phân giải có nghiệm dạng đóng cơng bố tạp chí khoa học Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội thời gian gần 51 Kiến nghị số phướng hướng nghiên cứu Tiếp theo kết luận văn chúng tơi nhân thấy có số vấn đề cần nghiên cứu tiếp theo, là: - Nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng phép biến đổi khác biến đổi Harley, Fourier Sine để xây dựng lớp tốn phương trình vi- tích phân tương ứng mà giải nghiệm dạng đóng - Nghiên cứu tiếp phương trình vi- tích phân với trễ phép biến đổi luận văn phép biến đổi tích phân Fourier Cosine Laplace phép biến đổi khác để xây dựng lớp tốn mà giải nghiệm dạng đóng 52 Tài liệu tham khảo [1] A Erdelyi and H Bateman, Table of Integeral Transforms, Vol I, McGraw-Hill Book Co.,New York, 1954 [2] Biryukov,L.: Some thoerem on integrability of Laplace transforms and their applications Integeral Transforms Spec.Funct.18,459-469 (2007) [3] Bochner S and Chandrasekharan K (1949), Fourier Transforms, Princeton Univ Press [4] Debnath,L.,Bhatta,D.: Integral Transforms and their Applications Chapman and Hall/CRC, Boca Raton (2007) [5] Glaeske,J.,Tuan,V.K.: Some applications of the convolution theorem of the Hilbert transform Integral Transforms Spec.Funct.3,263268(1995) [6] Gakhov, F.D., Cherskii, Yu.I.: Equation of Convolution Type Nauka, Moscow (1948) [7] Kakichev, V.A.: On the convolution for integral transforms Izv Vyss U cebn Zaved., Mat.2, 53–62 (1998) (in Russian) 53 [8] Kakichev, V.A., Thao, N.X.: On the design method for the generalized integral convolutions Izv Vyss U cebn Zaved., Mat.1, 31–40 (1998) (in Russian) [9] Kakichev, V.A., Thao, N.X., Tuan, V.K.: On the generalized convolutions for Fourier cosine and sine transforms East-West J Math.1, 85–90 (1998) [10] Khoa N.M (2009), "On the generalized convolution with a weight function for Fourier cosine, Fourier and Fourier sine transforms", Southeast Asian Bulletin of Mathematics Vol.33, pp.285-298 [11] M.A.Naimark, Normed Algebras, Wolters-Noordhoff Publishing, Groningen, The Netherlands, 1972 [12] Nair, V.C., Samar, M.S.: A relation between the Laplace transform and the Mellin transform with applications Port Math.34, 149–155 (1975) [13] Paley, R.C., Wiener, N.: Fourier Transforms in the Complex Domain Am Math Soc., Providence (1949) [14] Ryzhik, I.M., Gradshteyn, I.S.: Tables of Integrals, Sum, Series and Products Nauka, Moscow (1951) [15] Saitoh, S., Tuan, V.K., Yamamoto, M.: Conditional stability of a real inverse formula for the Laplace transform Z Anal Anwend.20, 131–142 (2001) 54 [16] Saitoh, S., Tuan, V.K., Yamamoto, M.: Reverse convolution inequalities and applications to inverse heat source problem J Inequal Pure Appl Math.3, 80 (2003) [17] Sneddon, I.N.: Fourier Transforms McGraw-Hill, New York (1951) [18] Sneddon I.N (1972), The Use of Integral Transforms, McGray-Hill, New York [19] Thao, N.X., Tuan, V.K., Khoa, N.M.: A generalized convolution with a weight-function for the Fourier Cosine and Sine transforms Fract Calc Appl Anal.7, 323–337 (2004) [20] Thao N.X and Khoa N.M (2004), "On the convolution with a weightfunction for the cosine-Fourier integral transform", Acta Mathematica Vietnamica Vol.29(2), pp.149-162 [21] Thao N.X and Khoa N.M (2005), "On the generalized convolution with a weight-function for Fourier, Fourier cosine and sine transforms", Vietnam Journal of Mathematics Vol.33(4), pp.421-436 [22] Thao N.X., Khoa N.M (2006), "On the generalized convolution with a weight-function for the Fourier sine and cosine transforms", Integral Transforms and Special Function Vol.17(9), pp.673-685 [23] Thao N.X and Khoa N.M (2008), "On the generalized convolution for Fourier sine, Fourier and Fourier cosine transforms", Function Spaces in Complex and Clifford Analysis, National University Publisher, Hanoi, pp.223-240 55 [24] Thao N.X., Tuan V.K., Khoa N.M (2004), "On the generalized convolution with a weight-function for the Fourier cosine and sine transforms", Frac Cal and Appl Anal Vol.7(3), pp.323-337 [25] Thao, N.X., Hai, N.T.: Convolutions for Integral Transform and Their Application Computer Centre of the Russian Academy, Moscow (1997), 44 pp (in Russian) [26] Thao, N.X., Tuan,T.,Huy,L.X,.: The Fourier – Laplace Generalized Convolutions and Applications to Integral.Equations Vietnam J.Math(2003), V41,No.4, pp.451-464 [27] Titchmarsh E.C (1986), Introduction to the Theory of Fourier Integrals , Third Edition Chelsea Publishing Co., New York [28] Tuan, V.K.: Modified Laplace transforms and a multidimensional H-transform Dokl Akad Nauk SSSR 313, 1299–1302 (1990) (in Russian) [29] Tuan, V.K., Tuan, T.: A real-variable inverse formula for the Laplace transform Integral Transforms Spec Funct.23, 551–555 (2012) [30] Yakubovich, S.B.: Certain isometrics related to the bilateral Laplace transforms Math Model Anal.11, 331–346 (2006) [31] Widder, D.V.: The Laplace Transforms Princeton University Press, Princeton (1941) 56 ... với lý thuyết phép biến đổi tích phân, tích chập phép biến đổi tích phân xuất vào khoảng đầu kỉ 20 Tích chập xây dựng tích chập phép biến đổi Fourier, cụ thể tích chập hai hàm f g phép biến đổi. .. ·) tích chập phép biến đổi Laplace (· ∗ ·) tích chập phép biến đổi Fourier Cosine (· ∗ ·) tích chập với hàm trọng γ(y) = sin y phép L Fc γ Fs biến đổi Fourier Sine (· ∗ ·) tích chập suy rộng phép. .. rộng phép biến đổi Fourier Sine Fourier Cosine (· ∗ ·) tích chập suy rộng phép biến đổi Fourier Cosine Fourier Sine γ (· ∗ ·) tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y) = e−µy phép biến đổi Fourier