MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 6
Không gian L p và L p với hàm trọng
L p (Ω) = {f : Ω → R (hoặc C); f đo được và |f| p khả tích }.
L ∞ (Ω) = {f : Ω →R (hoặc C ); f đo được và ∃M : |f(x)| ≤M -h.k.n } Các không gian này có chuẩn tương ứng kfk p = R
Giả sử Ω1 ⊂ R d 1 , Ω2 ⊂ R d 2 ,(d1, d2 ∈ N) là hai tập mở và F : Ω1 ×Ω2 → R (hoặc C) là hàm đo được. Định lí 1.1.1 (Tonelli, [5]) Giả sử R
|F(x, y)|dy < +∞ Khi đó F khả tích trên Ω 1 ×Ω 2 Định lí 1.1.2 (Fubini, [5]) Cho F khả tích trên Ω 1 ×Ω 2 Khi đó, với hầu hết x ∈ Ω 1 , ta có F(x, ) : y 7→ F(x, y) khả tích trên Ω 2 và x 7→ R
F(x, y)dy khả tích trên Ω 1 Kết luận tương tự khi thay đổi vai trò của x cho y, Ω 1 cho Ω 2 Hơn nữa, ta có:
F(x, y)dxdy Định lí 1.1.3 (Bất đẳng thức Holder,[5] ) Cho f ∈ L p và g ∈ L p 0 với
Định lý 1.1.4 (Fischer-Riesz) khẳng định rằng không gian L p là không gian Banach với 1 ≤ p ≤ +∞ Nếu dãy f n hội tụ về f trong không gian L p, tức là ||f n − f|| → 0, thì tồn tại một dãy con f n k sao cho f n k hội tụ về f.
Ta biết, hàm Macdonald K ν (z) thỏa mãn phương trình vi phân z 2 d 2 u dz 2 +zdu dz −(z 2 +ν 2 )u = 0 (1.1) Hàm Macdonald có dáng điệu tiệm cận tại vô cực (xem [6])
Ta biết rằng (xem [13]), hàm biến dạng Bessel K ix (t) có thể biểu diễn bởi tích phân Fourier:
0 e −t cosh u cosxudu, t > 0, (1.5) ở đây x ∈ R,ix là chỉ số thuần ảo Hơn nữa, tích phân này có thể mở rộng trên một dải σ ∈ [0,π
Z iσ−∞ e −t cosh z+ixz dz, t > 0 (1.6) và có ước lượng chuẩn:
Từ công thức (1.5), ta có:
0 e −t cosh u du > 0, t ∈ (0;∞) (1.8) Định nghĩa 1.1.2 ([22]) Cho α ∈ R,0< β 6 1, ta định nghĩa L α,β p là không gian các hàm f(x) xác định trên R+ thỏa mãn
Chuẩn của một hàm trên không gian này được tính theo công thức kfk L α,β p
Từ định nghĩa không gian L α,β p với p = 1,2 và áp dụng bất đẳng thức Schwartz cùng với các tích phân hàm Bessel biến dạng (xem bổ đề 2.1 [19]), chúng ta dễ dàng nhận thấy các quan hệ bao hàm giữa các không gian Cụ thể, không gian L 0,1 1 chứa không gian L2(R +;dx) nhờ vào các ước lượng phù hợp.
Suy luận tương tự, ta được kết quả L α,1 1 chứa không gianL 2 (R + ;x α dx) và L 0,1 2
Nhận xét 1.1.2 Từ x α K 0 (βx) là bị chặn với α > 0; 0 < β ≤ 1, ta có thể nhúng: L p (R + ;dx) ⊂ L α,β p Định nghĩa 1.1.3 Kí hiệu L p (R + ;x α e −βx dx), p > 1, α ∈ R;β > 0 là không gian các hàm f(x) xác định trên R + thỏa mãn
Chuẩn của một hàm trên không gian này được tính theo công thức
Nhận xét 1.1.3 Sử dụng công thức 3.381.4 trong [7]
Do đó, với α > −1;β > 0, x α e −βx là bị chặn , ta có thể nhúng: L p (R + ;dx) ⊂
Các phép biến đổi tích phân
Trong luận văn này ta tập trung nghiên cứu một số phép biến đổi tích phân được xét trong [13, 19, 21] Phép biến đổi tích phân Fourier:
−∞ f(t)e −ixt dt (1.15) Phép biến đổi tích phân Fourier cosine (xem [14])
Phép biến đổi tích phân Fourier sine có dạng như sau (xem [14])
Phép biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev, kí hiệu là K, được M.J. Kontorovich và N.N Lebedev giới thiệu vào năm 1938 và có dạng (xem [6]):
Kix(t)f(t)dt, (1.18) có chứa nhân là hàm Macdonald K ν (z) với chỉ số thuần ảo ν = ix.
Các phép biến đổi tích phân Fourier cosine và Fourier sine được xác định trong không gian L1(R+; dt) Nếu g(x) = (Fcf)(x) hoặc g(x) = (Fsf)(x) thuộc L1(R+; dt), thì có công thức ngược tương ứng là f(x) = (Fcg)(x) và f(x) = (Fsg)(x).
Trong không gian L 2 (R + ;dt), các phép biến đổi Fourier cosine và Fourier sine hiểu theo nghĩa giá trị chính (xem [15])
Theo định lí kiểu Plancherel (xem [15, 13, 19, 21]) các phép biến đổi
F c , F s : L 2 (R + ;dt) → L 2 (R + ;dt) là đẳng cấu, đẳng cự với công thức nghịch đảo tương ứng xác định như sau: f(x) = lim
(F s f) sinxtdt, (1.22) và có đẳng thức Parseval kF c fk = kfk L 2 ( R + ;dx) ; kF s fk= kfk L 2 ( R + ;dx) Toán tử Kontorovich-Lebedev là đẳng cấu, đẳng cự
K : L 2 (R + ;tdt) → L 2 (R + ;xsinhπxdx), (1.23) trong đó tích phân ở vế phải của (1.18) nói chung không tồn tại theo nghĩa Lebesgue và ta hiểu chúng theo nghĩa:
Giới hạn ở trên là theo giá trị chính tương ứng với chuẩn của không gian
L2(R +;xsinhπxdx) Hơn nữa, đẳng thức Parseval
|f(t)| 2 dt, (1.25) đúng và toán tử ngược xác định bởi: f(t) = lim
0 xsinhπxK ix (t) t Kix[f]dx (1.26)
Tích chập và một số tích chập suy rộng
1.3.1 Sơ lược về tích chập đối với phép biến đổi tích phân
Giả sử K là một toán tử tuyến tính từ không gian tuyến tính U(X) vào đại số V(Y) K : U(X) →V(Y) Tích chập với hàm trọng γ đối với phép biến đổi
∗ : U(X)×U(X) −→ V(Y) (f, g) 7→ f ∗ γ g, sao cho đẳng thức nhân tử hóa sau đây thỏa mãn:
Khi đó U(X) cùng với phép nhân chập như trên xác định một đại số.
Lý thuyết tích chập của các phép biến đổi tích phân đã được nghiên cứu từ đầu thế kỷ 20, với sự khởi đầu là tích chập của phép biến đổi Fourier.
−∞ f(x−y)g(y)dy thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa:
Các tích chập tương ứng được phát triển dựa trên các phép biến đổi như Laplace, Mellin, Hilbert, Hankel, Kontorovich-Lebedev và Stieltjes.
Ví dụ 1.3.1 Tích chập của phép biến đổi Fourier cosine được xác định như sau (xem [14]):
0 f(y)[g(x+ y) +g(|x−y|)]dy, x > 0, (1.29) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa
Ví dụ 1.3.2 Xét phép biến đổi kiểu Mellin
0 k i (y t)f(t)dt t , i = 0,2, trong đó k i (t) là nhân của phép biến đổi Mellin K i tương ứng Khi đó ta có tích chập
0 f(y)[g(x+y) +g(|x−y|)]dy, x >0, (1.31) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa
Ví dụ 1.3.3 Đối với phép biến đổi Kontorovich-Lebedev ta có tích chập như sau:
0 Θ(x, u, v)f(u)g(v)dudv, x > 0, (1.33) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa
I iτ k (f ∗ k g)(y) = (I iτ k 1 f)(y)(I iτ k 2 g)(y), y > 0, (1.34) trong đó k và k 3 là cặp nhân liên hợp,
2(yz t + zt y + ty z )ik 3 (xy)k 1 (uz)k 3 (vt)
Các tích chập mặc dù có đẳng thức nhân tử hóa tổng quát hơn so với (1.28), nhưng vẫn chỉ dừng lại ở các phép biến đổi tích phân với chỉ số Năm 1998, V.A Kakichev và Nguyễn Xuân Thảo đã đề xuất sơ đồ kiến thiết tổng quát nhất với tích chập suy rộng và hàm trọng cho ba phép biến đổi tích phân bất kỳ (xem [8]).
1.3.2 Định nghĩa tích chập suy rộng
Cho các toán tử tuyến tính
Kj : Uj(Xj) →V(X), j = 1,2,3 trong đó U j (X j ) là các không gian tuyến tính còn V(X) là một đại số
Giả sử l, m, n là một hoán vị của tập hợp {1,2,3}, và γ l là một hàm số thuộc V(X) Tích chập suy rộng với hàm trọng γ l đối với các phép biến đổi tích phân K l, K m, K n được định nghĩa là một toán tử song tuyến tính.
(f m , f n ) 7→ f m ∗ γ f n sao cho đẳng thức nhân tử hóa sau được thỏa mãn:
Sau đây, ta sẽ đưa ra một số điều kiện cần để tồn tại tích chập suy rộng Giả sử các phép biến đổi K j có biến đổi ngược K j −1 f j (x j ) = (K j −1 F j )(x j ) Z
X k j −1 (x j , x)F j (x)dx ∈ U j (X J ), j = 1,3, (1.37) trong đó kj(x, xj) và k j −1 (xj, x) là nhân tương ứng của các phép biến đổi Kj và K j −1 Giả sử xảy ra đẳng thức γl(x)k l −1 (xl, x)km(x, xm) p
X k=0 cik n −1 (αi(xl, xm), x) thì tích chập suy rộng loại một của hai hàm f m , f n với hàm trọng γ l đối với phép biến đổi tích phân K l , K m và K n được xác định như sau:
X m fm(xm)fn(αi(xj, xm))dxm (1.38)
Nếu tồn tại tích phân Θ ( x l , x m , x n ) Z
X γ l (x)k l −1 (x l , x)k m (x, x m )k n (x, x n )dx thì tích chập suy rộng loại hai của hai hàm f m và f n với hàm trọng γ l đối với phép biến đổi tích phân K l , K m và K n được xác định như sau:
Nhận xét 1.3.1 Các tích chập (1.38) và (1.39) đều thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa (1.36).
Nhận xét 1.3.2 Tích chập (0.2) là tích chập loại một, còn tích chập (1.33) là tích chập loại hai.
Nhận xét 1.3.3 Trong các trường hợp riêng, ta có:
1) Nếu K i = K, j = 1,3 thì ta được tích chập (1.35), vậy với ba phép biến đổi tích phân K j , nói chung có ba tích chập khác nhau.
2) Nếu hai trong ba phép biến đổi tích phân trùng nhau, chẳng hạn K 1 = K 2 6K3 ta có thể có bốn biểu thức tích chập suy rộng (f1 γ l
∗ f3) thường gặp trong các hệ phương trình tích phân kiểu tích chập và các tích chập suy rộng (f 1 γ ∗ l g 3 ) ,(f 1 γ ∗ 3 g 3 ), (f 1 γ ∗ 3 g 1 ), (f 3 γ ∗ 1 g 3 ) tác dụng tương ứng theo sơ đồ sau:
3) Nếu các toán tử Ki, i= 1,3 là các toán tử đối xứng, nghĩa là Ki = K i −1 thì theo định nghĩa tích chập suy rộng ta suy ra các tích chập suy rộng hoặc cùng tồn tại hoặc cùng không tồn tại và chúng có cùng một nhân.
TÍCH CHẬP SUY RỘNG ĐỐI VỚI HAI PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN K, F C VÀ K, F S 17
Định nghĩa
Năm 2010, trong bài báo của mình (xem [22]), S B Yakubovich đã giới thiệu bốn tích chập suy rộng:
Cả bốn tích chập suy rộng được đề cập đều thuộc loại hai, trong đó tích chập suy rộng (2.1) và (2.2) có tính giao hoán, trong khi tích chập suy rộng (2.3) và (2.4) không có tính giao hoán Để dễ dàng trình bày các kết quả, chúng ta sẽ sử dụng ký hiệu thích hợp.
Nghiên cứu tính chất ánh xạ của các tích chập (2.5) và (2.6) trong không gian
L α,β p ta thu được đẳng thức nhân tử hóa sau đây:
Tính chất toán tử của các tích chập
Định lí 2.2.1 [22] Phép biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev K : L α,β p →
C 0 (R + ),1 < p < +∞, α < p−1,0 < β ≤ 1 là một toán tử tuyến tính liên tục với ước lượng chuẩn: ||K|| ≤C α,β,p với
Trường hợp riêng, ánh xạ K : L 0,β p → C 0 (R + ), ta có: ||K|| ≤ 2β π
1−p p Cuối cùng, khi β = 1, ta có đẳng thức ||K|| = π
2 p−1 p Chứng minh Vì f ∈ L α,β p nên kfk L α,β p ( R + ) =
1 p < +∞. Đặt g(x) = K ix [f], g(x) xác định ∀x > 0 Ta có sup x≥0
K 0 (βt)|f(t)|dt. Áp dụng bất đẳng thức Holder, ta có:
0 x α−1 K ν (cx)dx= 2 α−2 e −α Γ( α+ν 2 )Γ( α−ν 2 ) với điều kiện α < p− 1,0 < β 6 1,1 < p < ∞ Vậy g ∈ C 0 (R + ), hơn nữa
2 p−1 p Mặt khác, chọn f(t) ≡ 1 =⇒ K ix [f] = K ix [1] +∞
Với α = 0 và β = 1, ta có ||K|| = 2π Định lý 2.2.2 chỉ ra rằng nếu f(x) và g(x) thuộc L1(R+;dx), thì tích chập (2.5) trở thành một hàm số xác định và liên tục cho mọi x > 0 Hơn nữa, với điều kiện α > p - 1, 0 < β ≤ 1 và 1 ≤ p < ∞, ta có f*.
1 p (2.11) với 2 F1 x, y, z, t là hàm siêu hình học.
Trường hợp riêng, khi β = 1, p = 1, ta có:
. Ngoài ra, đẳng thức dạng Parseval tổng quát cho ta
Cuối cùng, nếu thêm giả thiết x −1 (F ( c s )g)(x) ∈ L 2 ((0; 1);dx) thì đẳng thức(2.7) đúng.
Chứng minh Dễ thấy coshx = e x +e −x
0 x α−1 e −px K ν (cx)dx = l α ν với giả thiết
Re(c+p) > 0;Re(α) > |Reν|, trong đó l ν α = p x−α c −ν
2; 1− c 2 p 2 ) Áp dụng với phép thế α := α + 1−p;ν := 0;c := β;p := p, ta có
Vậy (2.11) được chứng minh. β = 1, p = 1, ta có: ||(f ∗
Sử dụng biểu diễn tích phân (1.5) và công thức (2.16.48.19) trong [10]: e −t cosh b = 2 π
0 g(v)(cosvw sinvw)dv K iw (x)dw
Tiếp theo, ta sẽ chứng minh (2.7) đúng Trước hết, ta chỉ ra: π 2xsinhπx F ( c s )f (x) F ( c s )g (x) ∈ L 2 (R + ;xsinhπxdx).
Suy ra, |x −1 (F ( c s )g)(x)| 2 ≤ M 1 Lại có lim x→0 x sinhπx = lim x→0
Do đó, | x sinhπx| ≤M 2 Mặt khác,
Lại có, |(F ( c s )f)(x)| 2 x bị chặn trên (1;∞) Suy ra,
Nhận xét 2.2.1 Sử dụng bất đẳng thức quen thuộc |sinx| ≤ x, x > 0, dễ thấy điều kiệnx −1 (F ( c s )g)(x) ∈ L 2 (0; 1);dx được thỏa mãn, chẳng hạng(x) ∈
Nhận xét 2.2.2 Suy luận tương tự, sử dụng (2.13), ta thu được ước lượng chuẩn của (f ∗
( 1 2 ) g) trong một số không gian cụ thể:
( 1 2 ) g)|| L 1 ( R + ;xdx) ≤ 1 π||f|| L 1 ( R + ;dx) ||g|| L 1 ( R + ;dx) (2.15) Định lí 2.2.3 [22] Giả sử f(x) ∈ L2(R +;dx), g(x) ∈ L1(R +;dx) và x −1 (F ( c s )g)(x) =O(1), x → 0.
Khi đó, tích chập (2.5) là một hàm số xác định và liên tục với mọi x > 0 Hơn nữa,
( 1 2 ) g)|| L 2 ( R + ;x α dx ) ≤ C α ||f|| L 2 ( R + ;dx) ||g|| L 1 ( R + ;dx) , (2.16) trong đó, C α = Γ(α−1)
2 α−1 2 π 3 4 Γ 1 2 (α− 1 2 ), α > 1 Ngoài ra, đẳng thức dạng Parseval tổng quát (2.12) và đẳng thức nhân tử hóa (2.7) là đúng.
Chứng minh Ta có e −x cosh(u−v) > 0;e −x cosh(u+v) > 0 Do đó
Xét I 1 Đặt y = u−v ⇒ v = u−y ⇒ dv = −dy, ta có:
Xét I 2 Đặt y = u+v ⇒v = y −u ⇒dv = dy, ta có:
Sử dụng bất đẳng thức Schwartz, ta có:
0(x) πx ||f|| L 2 ( R + ;dx) ||g|| L 1 ( R + ;dx) (2.18) Vậy tích chập (2.5) là hàm số liên tục với mọi x > 0 Lại có
2 (2.19) Áp dụng công thức 2.16.6.4 trong [10],
0 x α−1 e −cx Kν(cx)dx = √ π(2c) −α Γ α+ν,α−ν α+1 2 với Re(c+p) > 0;Re(α) > |Reν| Áp dụng với phép thế α−1 := α−2;ν : 0;c := 1, ta có
Đẳng thức dạng Parseval (2.12) được chứng minh tương tự như Định lý 2.2.2, cho thấy rằng ||L2(R+;xα dx)|| ≤ Cα ||f||L2(R+;dx) ||g||L1(R+;dx) Γ(α −1) Ngoài ra, đẳng thức nhân tử hóa (2.7) cũng được chứng minh theo cách tương tự với sự chú ý rằng π^2 x sinh(πx) F(cs)f(x) F(cs)g(x) thuộc L2(R+;x sinh(πx)dx).
Thật vậy, từ f(x) ∈ L 2 (R + ;dx);g(x) ∈ L 1 (R + ;dx) và x −1 (F ( c s )g)(x) =O(1), x → 0
, ta có |(F ( c s )g)(x)| 2 xsinhπx |(F ( c s )g)(x)| bị chặn trên (0; +∞), do đó
Hệ quả 2.2.1 Với điều kiện của định lí 2.2.2 hoặc 2.2.3, tích chập (f ∗
( 1 2 ) g)(x) thuộc không gian L 2 (R + ;xdx) và đồng nhất thức sau là đúng
Kết quả này được suy ra từ đẳng thức nhân tử hóa (2.12) và đồng nhất thức (1.25) Định lý 2.2.4 [22] khẳng định rằng nếu f, g thuộc L2(R +;dx), thì tích chập (2.5) sẽ là hàm liên tục trên R+ Hơn nữa, với α > 1, chúng ta có những tính chất quan trọng liên quan đến hàm này.
( 1 2 ) g)|| L 2 ( R + ,x α dx) 6 C α ||f|| L 2 ( R + ;dx) ||g|| L 2 ( R + ;dx) (2.20) trong đó C α = 2 α 2 −2 Γ 2 ( α−1 2 ) Γ 1 2 (α−1) Cuối cùng, đẳng thức dạng Parseval (2.12) là đúng.
Chứng minh Tiếp tục sử dụng bất đẳng thức Schwartz và ước lượng (2.17), ta có
Sử dụng công thức 2.16.33.2 trong [10], ta có ước lượng (2.20) Đẳng thức
Trong phần này, chúng ta sẽ nghiên cứu các tích chập không giao hoán (2.6) liên quan đến ước lượng chuẩn, đẳng thức dạng Parseval và đẳng thức nhân tử hóa Theo định lý 2.2.5, nếu f thuộc L1(R+;dx) và g thuộc L0,β1 với 0 < β ≤ 1, thì tích chập (2.6) tồn tại cho mọi x > 0 và là hàm số thuộc L1(R+;dx).
Hơn nữa, đẳng thức nhân tử hóa (2.8) là đúng Ngoài ra, với β ∈ (0; 1) thì
( 3 4 ) g)(x) ∈ C 0 (R + ) và với x > 0 đẳng thức dạng Parseval sau đây là đúng:
(2.24) đúng do (1.7) đúng với ν = 0 Do đó, (f ∗
( 3 4 ) g)|| ∈ L 1 (R + ;dx).Tiếp theo ta sẽ chứng minh đẳng thức nhân tử hóa (2.8) là đúng Thật vậy, ta có:
R 2 + f(u)g(v)[e −v cosh(u−w) ±e −v cosh(u+w) ] coswx sinwx dw r2 π
0 cos(u+w)t K it (v)dt]dudv coswx sinwx dw r2 π
Kit(v)dudvdt coswx sinwx dw
Kit(v)g(v)dv coswt sinwt dt
Với điều kiện 0 < β 0 \), là hàm số bị chặn và liên tục Hơn nữa, với \( 1 < p < \infty \), \( \alpha > -1 \), và \( 0 < \gamma \leq 1 \), ta có \( (f \ast g) \).
1 α,γ r ||f|| L p ( R + ;dx) ||g|| L 00,β p (2.26) với C α,γ = (2γ) −1 ( γ 2 )Γ 2 ( α+1 2 ) Nếu giả thiết thêmf ∈ L 1 (R + ;dx)∩L p (R + ;dx),1 < p < ∞ thì tích chập (2.6) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa (2.8) Ngoài ra, với β ∈ (0; 1) thì (f ∗
( 3 4 ) g)(x) ∈ C 0 (R + ) và với x > 0 đẳng thức dạng Parseval (2.23) là đúng.
Chứng minh Sử dụng bất đẳng thức Holder, ta có:
Do đó, tích phân ở vế phải của tích chập suy rộng (2.6) hội tụ tuyệt đối và đều, tích chập suy rộng (2.6) là hàm liên tục trên R+ Ta có:
||f|| L p ( R + ;dx) ||g|| L 0,β p 0 , α > −1 vì theo công thức 2.16.2.2 trong [10] Nếu f ∈ L 1 (R + ;dx), ta có thể nhúng
L 0,β p ⊂ L 0,β 1 và sử dụng Định lí 2.2.5 ta có: (f ∗
( 3 4 ) g) ∈ L 1 (R + ;dx) Chứng minh tương tự Định lí 2.2.5, ta được đẳng thức nhân tử hóa (2.8) Với β ∈ (0; 1) thì
( 3 4 ) g)(x) ∈ C0(R +) và với x > 0 đẳng thức dạng Parseval (2.23) là đúng 2
TÍCH CHẬP SUY RỘNG ĐỐI VỚI BA PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN K, F C VÀ F S 36
Giới thiệu
Trong chương hai, chúng ta đã nghiên cứu các tích chập suy rộng của S B Yakubovich, với các điều kiện thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa có chứa hai phép biến đổi tích phân {K, F c } và {K, F s } Kết quả từ V A Kakichev và Nguyễn Xuân Thảo năm 1998 đã định nghĩa tích chập suy rộng với ba phép biến đổi tích phân bất kỳ, dẫn đến sơ đồ kiến thiết tổng quát cho các tích chập suy rộng này Tuy nhiên, các tích chập suy rộng có đẳng thức nhân tử hóa chứa ba phép biến đổi tích phân rất hiếm gặp Năm 2005, N X Thao và T Tuan đã giới thiệu một tích chập suy rộng với hàm trọng γ(x) = 1/sinh(πx) cho ba phép biến đổi tích phân F c, F s và Kontorovich-Lebedev ngược.
T(u, v, x)f(u)g(v)dudv, x > 0 (3.1) với thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa
Hàm g(x) = 1 sinh(πx)(K −1 f)(x)(F c g)(x) với ∀x > 0, f thuộc L(R + , 1 xdx), g thuộc L(R +) và K −1 là phép biến đổi Kontorovich-Lebedev ngược Trong luận án Tiến sĩ Toán học năm 2008, tác giả Nguyễn Minh Khoa đã trình bày ba tích chập suy rộng, trong đó có đẳng thức nhân tử hóa chứa ba phép biến đổi tích phân F, F c, F s Ví dụ, tích chập suy rộng được đề cập trong tài liệu.
(1 +iu) 2 + (x−v + 1) 2 thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa
Chúng tôi đã phát triển một tích chập suy rộng mới dưới tác động của phép biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev, trong đó áp dụng đẳng thức nhân tử hóa với sự tham gia của ba phép biến đổi tích phân khác nhau, bao gồm Kontorovich-Lebedev, Fourier sine và một phép biến đổi tích phân chưa được xây dựng.
Fourier cosine, đó là tích chập suy rộng với hàm trọng γ(w) = 1 sinh(πw) Tích chập suy rộng đó được xác định như sau:
Nghiên cứu tích chập (3.3) trong không gian mới L p (R + ;x α e −βx dx) ta nhận được đẳng thức dạng Parseval
0 w(F s f)(w)(F g )(w)K iw (x)dw, (3.4) đẳng thức nhân tử hóa
Tính chất của tích chập suy rộng
Định lý 3.2.1 cho biết rằng nếu f(x) và g(x) thuộc không gian L1(R+;dx), thì tích chập của chúng là một hàm số xác định và liên tục cho mọi x > 0 Hơn nữa, với các điều kiện p > 1, α ≥ −1 và β > 0, tích chập (f ∗ g) cũng thuộc không gian Lp(R+;x α e −βx dx) và có ước lượng chuẩn.
||(f ∗g)|| L p ( R + ;x α e −βx dx) ≤Cα||f|| L 1 ( R + ;dx) ||g|| L 1 ( R + ;dx) , trong đó,
Ngoài ra, ta có đẳng thức dạng Parseval (3.4) và đẳng thức nhân tử hóa (3.14) là đúng.
Chứng minh Với x cố định, xét hàm ϕ(y) = sinhye −x cosh y , y > 0.
= (−x)e −x cosh y [sinh 2 y − 1 xcoshy] = (−x)e −x cosh y [cosh 2 y− 1 xcoshy−1].
Từ đó suy ra ϕ(y) đạt giá trị nhỏ nhất khi y = y 0 với coshy 0 = 1 x + r 1 x 2 + 4 và ϕ(y 0 ) = sinhy 0 e −x cosh y 0 q cosh 2 y 0 −1e −x cosh y 0 6 v u u t
|sinh(u+v)e −x cosh(u+v) + sinh(u−v)e −x cosh(u−v) ||f(u)||g(v)|dudv
Sử dụng công thức 3.381.4 trong [7], ta có
[sinh(u+v)e −x cosh(u+v) + sinh(u−v)e −x cosh(u−v) ]f(u)g(v)dudv
0 wK iw (x) sin(u+v)w + sin(u−v)w f(u)g(v)dudvdw
Tích phân thứ nhất hội tụ do F s f, F c g và w sinhπw bị chặn Tích phân thứ hai hội tụ khi giới hạn w→∞ của (Fsf)(w) và (Fcg)(w) đều bằng 0, với w sinhπw xấp xỉ we −πw khi w tiến tới vô cùng Do đó, (F s f)(w)(F c g)(w) sinhπw thuộc không gian L 2 (R + ; sinhπwdw) Áp dụng công thức biến đổi ngược (1.26), chúng ta có được kết quả cần thiết.
Kết quả của tích chập K iw (f ∗g) được xác định bởi công thức 1 sinhπw(F s f)(w)(F c g)(w) Theo định lý 3.2.2, nếu f(x) và g(x) thuộc không gian L 2 (R + ;dx), thì tích chập (f ∗g) là một hàm liên tục và xác định cho mọi x > 0 Hơn nữa, với các tham số p > 1, α ≥ −1 và β > 0, ta có (f ∗g) thuộc không gian L p (R + ;x α e −βx dx) và có ước lượng chuẩn.
||(f ∗g)|| L p ( R + ;x α e −βx dx) ≤C α ||f|| L 2 ( R + ;dx) ||g|| L 2 ( R + ;dx) , trong đó,
Ngoài ra, ta có đẳng thức dạng Parseval (3.4) và đẳng thức nhân tử hóa (3.14) là đúng.
|sinh(u+v)e −x cosh(u+v) + sinh(u−v)e −x cosh(u−v) |du
0 sinhte −x cosh t dt= 2 xe −x cosh v
|sinh(u+v)e −x cosh(u+v) + sinh(u−v)e −x cosh(u−v) |du ≤ 2 xe −x cosh v (3.9)
Sử dụng bất đẳng thức Schwartz với hai hàm, ta có:
|sinh(u+v)e −x cosh(u+v) + sinh(u−v)e −x cosh(u−v) ||f(u)||g(v)|dudv
|sinh(u+v)e −x cosh(u+v) + sinh(u−v)e −x cosh(u−v) |du dv
Kết hợp công thức 2.16.6.3 trong [10]
Z wK (x)(F f)(w)(F g)(w)dw được chứng minh tương tự định lí 3.2.1 Từ giả thiết suy ra, (F s f)(w)(F c g)(w) sinhπw ∈
L 2 (R + ; sinhπwdw) Vậy ta có đẳng thức nhân tử hóa (3.14) Theo công thức biến đổi ngược, từ (1.26) ta có:
Vậy Kiw(f ∗g) = 1 sinhπw(Fsf)(w)(Fcg)(w) 2 Định lí 3.2.3 Giả sử f(x) ∈ L2(R +;dx), g(x) ∈ L1(R +;dx) Khi đó, tích chập (3.3) là một hàm số xác định và liên tục ∀x > 0 Hơn nữa,
Ngoài ra, ta có đẳng thức dạng Parseval(3.4) và đẳng thức nhân tử hóa (3.14) là đúng.
Chứng minh Từ (3.9), ta có:
|sinh (u+v)e −x cosh (u+v) + sinh (u−v)e −x cosh (u−v) |du
Sử dụng bất đẳng thức Schawart với hai hàm, ta có:
|sinh(u+v)e −x cosh(u+v) + sinh(u−v)e −x cosh(u−v) ||f(u)||g(v)|dudv
|sinh(u+v)e −x cosh(u+v) + sinh(u−v)e −x cosh(u−v) ||g(v)|dudv
|sinh(u+v)e −x cosh(u+v) + sinh(u−v)e −x cosh(u−v) ||f(u)| 2 |g(v)|dudv
|sinh(u+v)e −x cosh(u+v) + sinh(u−v)e −x cosh(u−v) |du ||g(v)|dv
= 2 π 2 rm(x) x e −x ||f|| L 2 ( R + ;dx) ||g|| L 1 ( R + ;dx) Suy ra
1 2 Đẳng thức nhân tử hóa (3.14) được chứng minh tương tự Định lí 3.2.1 Từ giả thiết, suy ra (F c g)(w) 2 w sinhπw bị chặn, F s f ∈ L 2 (R + ;dw).
Vậy 1 sinhπw(F s f)(w)(F c g)(w) ∈ L 2 (R + ;wsinhπwdw) Do đó, ta có đẳng thức nhân tử hóa (3.14) 2 Định lí 3.2.4 Giả sửf(x) ∈ L p (R + ;dx), g(x) ∈ L q (R + ;dx),0 < p, q < +∞;p −1 + q −1 = 1 Khi đó, tích chập (3.3) là một hàm số xác định và liên tục ∀x > 0. Hơn nữa, với β > 0; 1 6 r < α−1 , ta có f ∗g ∈ L r (R + ;x α e −βx dx) và ước lượng chuẩn
Ngoài ra, ta có đẳng thức dạng Parseval (3.4) là đúng Với điều kiện f, g ∈
L1(R +;dx) ta nhận được đẳng thức nhân tử hóa (3.14).
Chứng minh Từ (3.9), ta có:
|sinh(u+v)e −x cosh(u+v) + sinh(u−v)e −x cosh(u−v) |du 6 2 xe −x cosh v 6 2e −x x
|sinh(u+v)e −x cosh(u+v) + sinh(u−v)e −x cosh(u−v) |dv
|sinht|e −x cosh t dt = 2 xe −x cosh u < 2 xe −x
Sử dụng bất đẳng thức Holder với hai hàm, ta có:
|sinh(u+v)e −x cosh(u+v) + sinh(u−v)e −x cosh(u−v) ||f(u)| p dudv
|sinh(u+v)e −x cosh(u+v) + sinh(u−v)e −x cosh(u−v) ||g(v)| q dudv
|sinh(u+v)e −x cosh(u+v) + sinh(u−v)e −x cosh(u−v) |dv |f(u)| p du
|sinh(u+v)e −x cosh(u+v) + sinh(u−v)e −x cosh(u−v) |du |g(v)| q dv
||(f∗g)|| L p ( R + ;x α e −βx dx) ≤ 2 π 2 (r+β) r−α−1 r (Γ(α−r+ 1)) 1 r ||f|| L p ( R + ;dx) ||g|| L q ( R + ;dx) Đẳng thức dạng Parseval đẳng thức nhân tử hóa (3.14) được chứng minh tương tự Định lí 3.2.1 2
Nhận xét 3.2.1 Với các giả thiết tương tự Định lí (3.2.1), (3.2.2), (3.2.3), (3.2.4) ta dễ dàng chứng minh được f ∗g ∈ L α,β p (R + ) Do đó, ta nhận được các kết quả tương tự chương 2.
Nhận xét 3.2.2 Dễ thấy tích chập suy rộng mới (3.3) là không giao hoán, do đó thay đổi vai trò của u và v, ta có tích chập suy rộng
[sinh(u+v)e −x cosh(u+v) −sinh(u−v)e −x cosh(u−v) ]f(u)g(v)dudv, x > 0.
(3.13) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa
Mệnh đề 3.2.1 a)Với f ∈ L 2 (R + ;xdx), g ∈ L 1 (R + ;dx) ∩ L 2 (R + ;dx), h ∈
L 1 (R + ;dx) ta có đẳng thức sau: f ∗
(F s )h (3.15) b)Với f ∈ L 1 (R + ;xdx)∩ L 2 (R + ;dx), ϕ, ψ ∈ L 1 (R + ;dx) ta có đẳng thức sau: ϕ ∗ f ∗ψ = ϕ∗ ψ ∗ f (3.16)
Theo định lý 3.2.1 và các tính chất của phép biến đổi F s, chúng ta có thể chứng minh rằng với điều kiện đã nêu, sử dụng đẳng thức nhân tử hóa (3.15) và (3.16) Mệnh đề 3.2.2 chỉ ra rằng nếu f và g thuộc L 1 (R + ;dx), thì có những hệ quả quan trọng liên quan đến chúng.
Chứng minh Biểu diễn (3.17) nhận được nhờ biểu diễn (3.3), định lí 3.2.1 và do sinhte −x cosh t ∈ L 1 (R + ;dx) nên tích chập sinhte −x cosh t ∗
Ứng dụng tích chập suy rộng giải một lớp phương trình, hệ phương trình tích phân
lớp phương trình, hệ phương trình tích phân
Trong phần này, chúng ta sẽ áp dụng các tính chất của phép biến đổi Fourier và Kontorovich-Lebedev để giải quyết một loạt các phương trình tích phân liên quan đến tích chập và các tích chập suy rộng đã được nghiên cứu ở chương 2 Đầu tiên, chúng ta xem xét một số phương trình tích phân loại một, cụ thể là f ∗h = g và h∗f = g, trong đó g và h là các hàm số đã cho, còn f là hàm số cần tìm Theo định lý 3.3.1, nếu g thuộc L2(R +;tdt) và h thuộc L2(R +;dt), thì điều kiện cần và đủ để phương trình (3.18) có nghiệm trong không gian L2(R +;dt) là sinhπxK ix [g].
L 2 (R + ;dx) Hơn nữa, nghiệm f(t) là duy nhất và được biểu diễn bởi công thức: f(t) = lim
Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử f ∈ L 2 (R + ;dt), g ∈ L 2 (R + ;tdt), h ∈
L 2 (R + ;dt) thỏa mãn (3.18) Theo Định lí 3.2.2 ta có đẳng thức nhân tử hóa:
K ix [g] = K ix [f ∗h] = (Fsf)(x)(Fch)(x) sinhπx
K ix [g] sinhπx (Fch)(x) ∈ L 2 (R + ;dx) Điều kiện đủ Nếu K ix [g] sinhπx
Tìm hàm f ∈ L2(R +;dx) thỏa mãn điều kiện (3.18) trong không gian L2 Theo Định lý 3.2.2, ta có đẳng thức Kix(f ∗ h) = (F s f)(x)(F c h)(x) sinhπx Áp dụng phép biến đổi Kontorovich-Lebedev cho cả hai vế của đẳng thức này.
(3.18), ta được (F s f)(x)(F c h)(x) sinhπx = K ix [g], do đó (F s f)(x) = K ix [g] sinhπx
Từ công thức biến đổi Fourier sine ngược, f là duy nhất được xác định bởi công thức f(t) = lim
(F c h)(x) sinxtdx 2 Định lí 3.3.2 Giả sử g ∈ L 2 (R + ;tdt), h ∈ L 2 (R + ;dt) Điều kiện cần và đủ để phương trình (3.19) có nghiệm trong không gian L 2 (R + ;dt) là K ix [g] sinhπx
L2(R +;dx) Hơn nữa, nghiệm f(t) là duy nhất và được biểu diễn bởi công thức f(t) = lim
Tương tự định lý với nhận xét K ix (h∗f) = (F s h)(x)(F c f) sinhπx Sau đây, ta nghiên cứu một số phương trình tích phân loại hai chứa các tích chập: f(x) +
(x) = g(x), x > 0 (3.24) Định lí 3.3.3 Giả sử g ∈ L 2 (R + ;tdt), ϕ, ψ ∈ L 1 (R + ;dt) Điều kiện cần và đủ để phương trình (3.22) có nghiệm thuộc lớp L1(R +;dt) ∩ L1(R +;tdt) là
1 +K ix [ϕ∗ψ] ∈ L 2 (R + ;xsinhπx)dx Hơn nữa, nghiệm f(t) là duy nhất và được biểu diễn theo công thức f(t) = lim
Chứng minh Điều kiện cần Giả sử tồn tại các hàm ϕ, ψ ∈ L 1 (R + ;dt), g ∈
L2(R +;xdx), f ∈ L1(R +;dx)∩L1(R +;xdx) thỏa mãn phương trình (3.22).
Từ giả thiết, ta có:
K ix [f] + Fs(ϕ)Kix[f]Fc(ψ)(x) sinhπx
= K ix [g] ∈ L 2 (R + ;xsinhπxdx). Điều kiện đủ Với điều kiện đã cho, theo Định lí 3.2.1 và 3.2.2, từ (3.22), ta có:
Theo tính chất của phép biến đổi Kontorovich-Lebedev, (3.22) có nghiệm duy nhất và được xác định bởi công thức: f(t) = lim
Dựa trên cách suy luận đã nêu, chúng ta có thể xác định điều kiện cần và đủ để các phương trình (3.23) và (3.24) tồn tại nghiệm Cuối cùng, chúng ta sẽ xem xét một tập hợp các hệ phương trình liên quan đến các tích chập.
(3)f = h 2 (3.26) Định lí 3.3.4 Giả sửh 1 , ϕ 1 ∈ L 2 (R + ;dx)∩L 2 (R + ;xdx)vàh 2 , ϕ 2 ∈ L 2 (R + ;dx).
∆ = 1−K ix (ϕ 2 ∗ϕ 1 ) là bị chặn và ∆ 6= 0,∀x > 0 Điều kiện cần và đủ để hệ (3.26) có nghiệm duy nhất trong lớp L 2 (R + ;tdt)∩L 0,β 1 ;L 2 (R + ;dt) là
Hơn nữa, nghiệm được biểu diễn bởi công thức: f(t) = lim
Theo Định lý 2.2.5 và Định lý 3.2.2, từ giả thiết đưa ra, để tìm nghiệm (f;g) trong lớp hàm L²(R⁺;tdt) ∩ L⁰,β₁;L²(R⁺;dt), chúng ta có thể áp dụng phép biến đổi Kontorovich-Lebedev và Fourier sine vào hai vế của các phương trình trong (3.26).
Kix[f] + (F c ϕ 1 )(x) sinhπx (Fcg)(x) =Kix[h1] (F c ϕ 2 )(x)K ix [f] + (F c g)(x) = (F s h 2 )(x)
Nhận được hệ phương trình hai ẩn vớiK ix [f],(F c g)(x)ta có định thức Crammer
Vậy hệ (3.31) có nghiệm K ix [f],(F c g)(x) là duy nhất và được xác định bởi công thức:
Từ (3.27) và (3.28) ta có(f(t), g(t))được xác định duy nhất trong L 2 (R + ;tdt)∩
L 0,β 1 ;L 2 (R + ;dt) theo công thức: f(t) = lim
0 xsinhπxK ix (t) t K ix K ix [h 1 −ϕ 2 ∗ϕ 1 ]