Đường tròn nội tiếp ω của tam giác ABC lần lượt tiếp xúc với BC, CA và AB lần lượt tại D, E và F.. Đường tròn ngoại tiếp tam giác P CE cắt lại đường tròn ngoại tiếp tam giác P BF tại Q.[r]
(1)LỜI GIẢI BÀI HÌNH P6 IMO 2019 Nguyễn Đăng Khoa - 17/7/2019
Bài toán GọiI tâm đường tròn nội tiếp tam giác nhọnABC vớiAB 6=AC Đường tròn nội tiếpω tam giácABC tiếp xúc vớiBC, CAvàAB tạiD, E vàF Đường thẳng quaD vng góc vớiEF cắt lạiω R Đường thẳng ARcắt lạiω P Đường tròn ngoại tiếp tam giác P CE cắt lại đường tròn ngoại tiếp tam giácP BF Q Chứng minh đường thẳng DI P Q cắt điểm nằm đường thẳng qua A vng góc với AI
Chứng minh
Q L
K
J
S
H M
P R F
E
D I A
B C
Kẻ đường kính DS (I) Phân giác ngồi góc A tam giác ABC cắt DI J Ta chứng minh P, Q, J thẳng hàng
Lấy M, K, Llần lượt trung điểm EF, DF, DE Gọi H hình chiếu M lên DS Ta thấy tứ giác F REP tứ giác điều hòa nên ta có S, M, P thẳng hàng
Ta xét phép nghịch đảo tâm I phương tích ID2 ta có
P ↔P, F ↔F, E ↔E, B ↔K, C ↔L, J ↔H
Vậy ta chứng minh ba đường tròn (P KF), (P LE) (P IH)đồng trục
(2)Z
Y H X
P
S M
K
L I
F D
E
Ta để ý P chân đường cao D lên M S, H chân đường cao M DS
I trung điểmDS Từ suy đường trịn(P IH)là đường trịn Euler tam giác DM S Từ ta có (P IH)đi qua Y,Z trung điểm M S DM ta dễ có Z nằm KL Giả sử (P LE)cắt lại KL điểm X Khi ta có
∠P XL=∠P EL=∠P F K =∠P SD =∠P Y Z
Suy X thuộc (P KF)và (P ZY) Vậy ta hoàn tất chứng minh