Bình luận. Ở bài toán này, phần a) khá dễ nhiều học sinh sẽ có điểm ở phần này. Sang phần b) có lẽ đoán được điểm Lemoine là rất đơn giản nhưng để chứng minh thì không đơn giản tí nào, c[r]
(1)Nguyễn Đăng Khoa - Trường THPT chuyên Hùng Vương Ngày 30/3/2019
Bài toán (VNTST 2019, P3)
Cho tam giác nhọnABC không cân nội tiếp đường trịn(O)cóM trung điểmBC, trực tâm
H Gọi D điểm thuộc tia đối tia HA cho M D = BC D
0 đối xứng với D qua BC. Giả sử AO cắt M D X
(a) Chứng minh AM qua trung điểm D0X
(b) Định nghĩa điểm E, F tương tự điểm D, điểm Y, Z tương tự X Gọi S giao điểm hai tiếp tuyến B, C (O) Gọi G hình chiếu trung điểm AS lên AO Chứng minh tồn điểm có phương tích với đường tròn (SGO), (BY E), (CZF)và (O)
Trước hết ta cần hai bổ đề sau
Bổ đề Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Hai tiếp tuyến B, C cắt
S.D chân đường cao hạ từ Axuống BC, Lđối xứng với D qua trung điểmM BC Lấy K
là hình chiếu S lên AO Khi AM kKL
A
B C
S D
M O
H J
(2)Chứng minh Kẻ đường kínhAH (O)cắt BC điểmX Gọi N trực tâm tam giác ABC LấyCH giao AB I, BH giao AC J
Khi ta có cấu hình quen thuộc I, S, K, J thẳng hàng H trực tâm tam giácAIJ Ta có AM kKL⇐⇒ AX
AK = XM
M L = XM M D =
OX AO ⇐⇒
AK AO =
AX OX =
AD OM
⇐⇒ AK
AD = AO OM =
2AO
2OM = AH AN =
AK
AD (đúng 4ABC ∼ 4AJ I)
Vậy ta hoàn tất chứng minh
Bổ đề Cho tam giác ABC có đường cao AD, M trung điểm BC Khi điểm Lemoine tam giác ABC nằm đường thẳngM N với N trung điểm AD
A
B C
S
D M
O N
L
X
Chứng minh Gọi S giao điểm hai tiếp tuyến B C đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC AS cắt M N L cắt BC X Ta có
(AX, LS) =M(AX, LS) =M(AD, N S) =−1
Mà AS đường đối trung tam giác ABC nên ta có L điểm Lemoine tam giác
ABC hay ta có đpcm
Nhận xét Bổ đề phát sinh q trình tác giả giải tốn bổ đề bổ đề quan trọng đề cập đến nhiều tài liệu
(3)a)
A
B C
Ha
M O
D D0
X H
A0 N
Chứng minh Cách (Nguyễn Đăng Khoa)
Gọi Ha chân đường cao hạ từA xuống BC
Theo định lý Menelaus, để chứng minh AM chia đôi đoạn D0X ta chứng minh tỉ số
AD AD0 =
DM M X ⇐⇒
AD
AD0 + =
DM
M X + 1⇐⇒
2AHa
AD0 =
DX M X =
AD OM
⇐⇒AD·AD0 = 2OM ·AHa=AH·AHa (đúng) Cách (Nguyễn Văn Linh)
Kẻ đường kính AA0 đường trịn (O)
Ta có HaD2 =−HaD·HaD=−HaB·HaC =HaH·HaA
Từ suy (AH, D0D) =−1, chiếu chùm lênHA0, ý M trung điểmHA0 nên suy HA0 kD0X
Theo Thales ta có AM qua trung điểm đoạnD0X Hồn tất chứng minh b) Ta chứng minh điểm cần tìm điểm Lemoine tam giác ABC Kí hiệu làL Trước hết ta chứng minh Lcó phương tích với đường tròn(AXD),(BY E),(CZF) đường tròn (O)
Chứng minh Kẻ đường kínhAA0 đường trịn (O)
Ta định nghĩa lại điểm X giao (S, SB)với AO, điểmD giao XM với AH Lấy L0 giao điểm thứ hai XA0 với (BXC)
Lấy A1 giao điểm thứ hai AS với đường tròn (O) A1A0 cắt BC J Khi ta có tứ
giác M A1SJ nội tiếp
Mặt khác SM ·SO =SA1·SA nên tứ giác A1M OA nội tiếp
(4)A
B
C Ha M
O
D D0
X H
A0
S A1
J
L0
Ta có 4OXC ∼ 4OCL0 nên suy XM
M D = OX
AO = OX OC =
XC CL0 Mặt khác tứ giác XBL0C điều hòa nên4XCL0 ∼ 4XM B ⇒ XC
CL0 =
XM M B
Từ ta có M D =M B hay điểm X D ta định nghĩa lại điểm ban đầu Ta có ∠AA1X =∠XJ S = 90◦−∠XSJ = 90◦−∠XM J =∠ADX
Vậy từ ta có A1 nằm đường trịn (AXD) hay AA1 trục đẳng phương
(AXD) (O)
Mặt khác điểm Lemoine Lnằm trênAA1 nên điểm Lcùng phương tích với đường trịn(AXD)
và đường trịn (O)
Chứng minh tương tự điểmLcùng phương tích với đường trịn(AXD),(BY E),(CZF) đường tròn (O)
(5)A
B C
Ha M
O
D H
A0
S
L0 N
G
P R
Q
K
I
Gọi P trung điểm AHa P M cắt AO I
Dễ có M O·M S=M B·M C nên phương tích từM đến (SGO) (O)là Bây ta chứng minh I phương tích với hai đường tròn
Điều tương đương với
IG·IO=IA·IA0 ⇐⇒(AA0, GI) =−1⇐⇒OG·OI =OA2 =OM ·OS.
Hay ta chứng minh tứ giác GM SI nội tiếp
Ta dựng hình chữ nhật P HaM R điều cần chứng minh tương tương với tứ giác ARGS
nội tiếp
(6)Vậy suy P M trục đẳng phương hai đường tròn (OSG) và(O), kết hợp bổ đề điểm L có phương tích với hai đường trịn
Vậy điểm L điểm cần tìm Hồn tất chứng minh
Bình luận Ở tốn này, phần a) dễ nhiều học sinh có điểm phần Sang phần b) có lẽ đốn điểm Lemoine đơn giản để chứng minh khơng đơn giản tí nào, điểm rời rạc, đặc biệt điểm G Tác giả viết ngồi làm học sinh thi tiếng (chưa kể trình bày) Mong bạn thí sinh tiếp tục chiến đấu ngày
Reference
Trịnh Huy Vũ, TST 2019, P3
Nguyễn Văn Linh,Lời giải hình ngày đề thi chọn đổi tuyển IMO Việt Nam năm 2019
Trịnh Huy Vũ,TST 2019, P3. Nguyễn Văn Linh,Lời giải hình ngày đề thi chọn đổi tuyển IMO Việt Nam năm 2019. Lời giải thầy Nguyễn Lê Phước.