CHUYÊN ĐỀ: CHINH PHỤC BÀI TOÁN PHÂN SỐ Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu CHUYÊN ĐỀ: CHINH PHỤC BÀI TOÁN PHÂN SỐ TỪ LÝ THUYẾT ĐẾN CÁC DẠNG BÀI TẬP A PHÂN SỐ - PHÂN SỐ BẰNG NHAU I Lý thuyết Với a, b  N, b ≠ ta có a/b gọi phân số Trong a tử số, b mẫu số phân số Phân số Ai cập phân số có dạng 1/n (có tử 1) Mọi số tự nhiên viết dạng phân số, VD: = 8/1 = 16/2 = …… * Muốn viết số tự nhiên dạng phân số có mẫu số ta viết tử số số tự nhiên đó, mẫu số VD = 9/1 TQ A = A/1 * Muốn viết số tự nhiên dạng phân số có mẫu số số cho trước ta viết mẫu số số cho trước, cịn tử số tích số tự nhiên với mẫu số cho trước VD = x/3, ta có phân số: 4.3/3 = 12/3 TQ: A = x/B = A.B/B Phân số thập phân phân số có mẫu 10, 100, 1000,…… Các phân số coi giá trị, giá trị số biểu diễn phân số Tập hợp số biểu diễn phân số kí hiệu Q+ VD : 2/3 = 4/6 = 6/9 = …… TQ: a/b = c/d  a.d = b.c * Tính chất: (1) Phản xạ: a/b = b/a (2) Đối xứng: Nếu a/b = c/d c/d = a/b (3) Bắc cầu: Nếu a/b = c/d c/d = e/f a/b = e/f II Bài tập Bài 1: Định nghĩa hai phân số Cho VD? Bài 2: Dùng số sau 2, 3, để viết thành phân số (tử số mẫu số khác nhau) Hướng dẫn Có phân số: 2 35 ; ; ; ; 5 22 Bài 3: 1/ Số nguyên a phải có điều kiện để ta có phân số? a/ 32 a −1 b/ a 5a + 30 2/ Số ngun a phải có điều kiện để phân số sau số nguyên: TRỌN BỘ WORD TOÁN THCS CHỈ TỪ 150K http://bit.ly/VIP-word-THCS CHUYÊN ĐỀ: CHINH PHỤC BÀI TOÁN PHÂN SỐ Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu a/ a +1 b/ a−2 3/ Tìm số nguyên x để phân số sau số nguyên: a/ 13 x −1 b/ x+3 x−2 Hướng dẫn b/ a  −6 1/ a/ a  2/ a/ a +1  Z a + = 3k (k  Z) Vậy a = 3k – (k  Z) b/ a−2  Z a - = 5k (k  Z) Vậy a = 5k +2 (k  Z) 3/ 13  Z x – ước 13 x −1 Các ước 13 1; -1; 13; -13 Suy ra: b/ x-1 x -1 -13 -12 13 14 x−2+5 x−2 5 x+3 = + = 1+ =  Z x – ước x−2 x−2 x−2 x−2 x−2 x-2 x -1 1 -5 -3 Bài 4: Tìm x biết: a/ x = 5 b/ = x c/ x = 27 d/ = x e/ −4 = x−5 x+ f/ x −8 = −2 x Hướng dẫn a/ 5.2 x =2 = x= 5 b/ 8.6 = x= = 16 x d/ 6.4 = x= =3 x e/ −4 = x−5 x+ f/  ( x + 2).3 = ( x − 5).(−4)  3x + = −4 x + 20 x=2 TRỌN BỘ WORD TOÁN THCS CHỈ TỪ 150K c/ 27.1 x x= =3 = 9 27 x −8 = −2 x  x.x = −8.(−2)  x = 16  x = 4 http://bit.ly/VIP-word-THCS CHUYÊN ĐỀ: CHINH PHỤC BÀI TOÁN PHÂN SỐ Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu Bài 5: 1/ Chứng minh 2/ Tìm x y biết a ac a c = = b bd b d x y = x + y = 16 Hướng dẫn a/ Ta có b/ Ta có: a c =  ad = bc  ad  ab = bc  ab  a (b  d ) = b(a  c ) b d x y x + y 16 = = = =2 8 Bài 6: Cho Suy ra: a ac = b bd Suy x = 10, y = 2a − 3c 2a + 3c a c = , chứng minh = 2b − 3d 2a + 3d b d Hướng dẫn a c 2a − 3c 2a + 3c = = = b d 2b − 3d 2b + 3d Áp dụng kết chứng minh ta có Bài 7: Một người xe đạp với vận tốc a km/h Hỏi 30 phút người km? Trong phút người km? (ĐS: a/2 km; a/60 km) Bài 8: Sau a giờ, kim quay vòng? (ĐS: a/12 vòng) Bài 9: Một nến cháy từ 7h12/ → 7h25/ Hỏi thời gian nến cháy phần 1h? Bài 10: Một người lien lạc phải đường dài 132km Mỗi ngày 35 km Hỏi sau ngày người phần đường? Bài 11: Một vòi nước chảy vào bể từ 10h đêm → 6h sáng hơm sau Mỗi vịi chảy vào bể 360 lít nước Bể chứa 4m3 lúc đầu chứa 1100 lít Hỏi đến 6h sang khối nước bể chiếm phần bể? Bài 12: Tìm số tự nhiên x biết a) Phân số x/15 có giá trị = b) Phân số 132/x có giá trị = 11 Bài 13: Tìm phân số biết a) 1/3 = 1/4 số (ĐS: 4/3) b) 1/4 = 1/3 số (ĐS: 3/4) Bài 14: Viết số 100 dạng tổng số tự nhiên phân số cách dung: a) chữ số giống b) chữ số khác Hướng dẫn TRỌN BỘ WORD TOÁN THCS CHỈ TỪ 150K http://bit.ly/VIP-word-THCS CHUYÊN ĐỀ: CHINH PHỤC BÀI TOÁN PHÂN SỐ Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu a) 100 = 99 + 99/99 b) Có nhiều đáp số Ví dụ: 100 = 91 + 5742/638 = 92 + 5104/638 = 93 + 1456/208 94 + 1578/263 = 95 + 1380/276 = 97 + 1602/534 = 98 + = 1072/536 = …v.v Bài 15: Dùng chữ số khác khác để viết phân số có giá trị 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Hướng dẫn Có nhiều cách viết: 15846/7923 = ; 31485/6297 = 17496/5832 = ; 15768/4392 = ; 34182/5697 =6 ; 31689/4527 = ; 47328/5916 = ; 57249/8361 = Bài 16: CMR phân số sau nhau: a/ 23/99 = 2323/9999 = 232323/999999 c/131313/151515 = 13026/15030 b/ 29/43 = 2929/4343 d/ (27425 – 27)/99900 = (27425425 - 27425)/99900000 e/ (29700 – 54)/(30800 - 56) = (59400 – 108)/(61600 - 112) f) 9909/8808 = 29727/26424 = 39636/35232 Hướng dẫn a/ * 2323/9999 = 23.101/99.101 = 23/29 * 232323/999999 = 23.10101/99.10101 = 23/99 d/ * (27425425 - 27425)/99900000 = (27425000 + 425 - 27000 - 425)/99900000 = [(27425 - 27).1000]/99900 1000 = (27425 – 27)/99900 e/ (29700 – 54)/(30800 - 56) = [(29700 – 54).2]/[(30800 – 56).2] = (59400 – 108)/(61600 - 112) f/ 9909/8808 = 9909.3/8808.3 = 29727/26424 = 39636/35232 Bài 17: Điền số thích hợp: a/ 4/5 = ?/60 b/ ?/9 = 12/54 c/ 63/72 = 7/? d/ 65/? = 5/9 Bài 18: Tìm phân số phân số 13/17 biết tổng tử mẫu 900? Bài 19: Tìm phân số phân số 188887/211109 biết tổng tử mẫu 108? Bài 20: Tìm x, y biết rằng: (3 + x)/(5 + y) = 3/5 x + y = 16 Bài 21: CMR phân số a/b; c/d ; e/f phân số (a.m + c.n + e.f)/(b.m + d.n + f.p) (m, n, p số tự nhiên khác 0) phân số cho TRỌN BỘ WORD TOÁN THCS CHỈ TỪ 150K http://bit.ly/VIP-word-THCS CHUYÊN ĐỀ: CHINH PHỤC BÀI TOÁN PHÂN SỐ Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu B TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN SỐ RÚT GỌN PHÂN SỐ I Lý thuyết Tính chất - Nếu nhân tử số mẫu số phân số với số tự nhiên, số nguyên khác ta phân số phân số cho TQ: a/b = a.m/b.m ( m  N m  Z, m ≠ 0) - Nếu chia tử số mẫu số phân số với số tự nhiên, số nguyên khác ta phân số phân số cho TQ: a/b = a:m/b:m ( m  N m  Z, m ≠ 0) Rút gọn phân số - Là chia tử mẫu chúng cho số (ước chung) khác ±1 chúng để phân số đơn giản phân số cho - Một phân số rút gọn gọi phân số tối giảnTQ:a/b tối giản ƯCLN(a,b)= (a b nguyên tố nhau) Phương pháp rút gọn phân số - Rút gọn bước dựa vào dấu hiệu chia hết VD 30/105 = 30: 5/ 105: = 2/7 - Chia tử mẫu cho ƯCLN chúng để rút gọn hoàn toàn VD ƯCLN(30,105) = 15 => 30: 15/ 105: 15 = 2/7 II Bài tập Bài 1: 1/ Chứng tỏ phân số sau nhau: a/ 252525 25 2525 ; 535353 53 5353 b/ 2/ Tìm phân số phân số 373737 37 3737 ; 414141 41 4141 11 biết hiệu mẫu tử 13 Hướng dẫn 1/ a/ Ta có: * 2525 25.101 25 = = 5353 53.101 53 * 252525 25.10101 25 = = 535353 53.10101 53 b/ Tương tự 2/ Gọi phân số cần tìm có dạng 11 x x (x  -6), theo đề = x+6 x + 13 TRỌN BỘ WORD TOÁN THCS CHỈ TỪ 150K http://bit.ly/VIP-word-THCS CHUYÊN ĐỀ: CHINH PHỤC BÀI TOÁN PHÂN SỐ Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu Từ suy x = 33, phân số cần tìm 33 39 Bài 2: Điền số thích hợp vào ô vuông a/ = b/ = −7 = Hướng dẫn a/ = = = = b/ −10 −15 −20 = = = =  −7 28 14 21 Bài Giải thích phân số sau nhau: a/ −22 −26 = ; 55 65 b/ 114 5757 = 122 6161 Hướng dẫn a/ * −22 −21:11 −2 = = ; 55 55 :11 * −26 13 −2 = = 65 65 :13 b/ HS giải tương tự Bài Rút gọn phân số sau: 125 198 103 ; ; ; 1000 126 243 3090 Hướng dẫn 125 198 11 103 = ; = ; = ; = 1000 126 243 81 3090 30 Rút gọn phân số sau: a/ 23.34 24.52.112.7 ; 22.32.5 23.53.7 2.11 b/ 121.75.130.169 39.60.11.198 c/ 1998.1990 + 3978 1992.1991 − 3984 Hướng dẫn 23.34 23−2.34−2 18 = = 22.32.5 5 a/ 2 11 22 = 23.53.7 2.11 35 b/ 121.75.130.169 112.52.3.13.5.2.132 11.52.132 = = 39.60.11.198 3.13.22.3.5.11.2.32 22.33 1998.1990 + 3978 (1991 − 2).1990 + 3978 = 1992.1991 − 3984 (190 + 2).1991 − 3984 c/ 1990.1991 − 3980 + 3978 1990.1991 − = = =1 1990.1991 + 3982 − 3984 1990.1991 − TRỌN BỘ WORD TOÁN THCS CHỈ TỪ 150K http://bit.ly/VIP-word-THCS CHUYÊN ĐỀ: CHINH PHỤC BÀI TOÁN PHÂN SỐ Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu Bài Rút gọn a/ 310.(−5)21 (−5)20 312 b/ −115.137 115.138 c/ 210.310 − 210.39 29.310 d/ 511.712 + 511.711 512.712 + 9.511.7 11 Hướng dẫn a/ 310.(−5) 21 −5 = (−5) 20 312 c/ 210.310 − 210.39 = 29.310 Bài Tổng tử mẫu phân số 4812 Sau rút gọn phân số ta phân số Hãy tìm phân số chưa rút gọn Hướng dẫn Tổng số phần 12 Tổng tử mẫu 4812 Do đó: tử số 4811:12.5 = 2005 Mẫu số 4812:12.7 = 2807 Vậy phân số cần tìm 2005 2807 Bài Mẫu số phân số lớn tử số 14 đơn vị Sau rút gọn phân số ta Hãy tìm phân số ban đầu Hướng dẫn Hiệu số phần mẫu tử 1000 – 993 = Do tử số (14:7).993 = 1986 Mẫu số (14:7).1000 = 2000 Vạy phân số ban đầu 1986 2000 Bài 8: a/ Với a số nguyên phân số b/ Với b số nguyên phân số c/ Chứng tỏ a tối giản 74 b tối giản 225 3n ( n  N ) phân số tối giản 3n + Hướng dẫn TRỌN BỘ WORD TOÁN THCS CHỈ TỪ 150K http://bit.ly/VIP-word-THCS 993 1000 CHUYÊN ĐỀ: CHINH PHỤC BÀI TOÁN PHÂN SỐ Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu a/ Ta có b/ a a = phân số tối giản a số nguyên khác 37 74 37.2 b b = 2 phân số tối giản b số nguyên khác 225 c/ Ta có ƯCLN(3n + 1; 3n) = ƯCLN(3n + – 3n; 3n) = ƯCLN(1; 3n) = Vậy 3n ( n  N ) phân số tối giản (vì tử mẫu hai số nguyên tố nhau) 3n + Bài 9: Rút gọn phân số sau: a/ 103/3090 ; 7314/18126 b/ 9/(33 – 6) ; ; 68952/148512 ; 17.(1993 – 45)/(1993 – 45) (52 – 18) 121.75.130.169/39.60.11.198 ; 7/( 102 + 102 ) Bài 10: Rút gọn phân số sau: a/ A = (31995 – 81)/(42660 – 108) => A = 81.(395 – 1)/108.(395 – 1) = 3/4 b/ B = (3.5.7.11.13.37 - 10101)/(1212120 - 41414) => B = (5.11.10101 - 10101)/(10101.120 + 10101.4) = 10101.(5.11 - 1)/10101.(120 + 4) = 54/124 = 27/62 Bài 11: Phân số (5n + 6)/(8n + 7) (n  N ) rút gọn cho phân số nào? Hướng dẫn G.S (5n + 6)/(8n + 7) rút gọn cho k (k  N, k > ) Tức (5n + 6) (8n + 7) chia hết cho k Do dó: 8.(5n + 6) – 5.(8n + 7) ℅ k Hay 13 ℅ k Vì k > => k = 13 Bài 12: Tìm số tự nhiên n để phân số (18n + 3)/(21n + 7) rút gọn được? Hướng dẫn • (18n + 3)/(21n + 7) = 3.(6n + 1)/7.(3n + 1) • Nhận thấy: 7, (3n + 1), (6n + 1) (3n + 1) cá số ngun tố • Do đó: (6n + 1) ℅ phân số (18n + 3)/(21n + 7) rút gọn • Vì 7n ℅ nên (6n + 1) ℅ 7n – (6n + 1) = (n – 1) ℅ • => n = 7k + (k  N) phân số (18n + 3)/(21n + 7) rút gọn • Ví dụ: k = 0, n = ta có: (18n + 3)/(21n + 7) = 3/4 k = 1, n = ta có: (18n + 3)/(21n + 7) = 21/25 Bài 13: Cho phân số: x/y có (x + y) = 316293 (y – x) = 51015 TRỌN BỘ WORD TOÁN THCS CHỈ TỪ 150K http://bit.ly/VIP-word-THCS CHUYÊN ĐỀ: CHINH PHỤC BÀI TOÁN PHÂN SỐ Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu a/ Hãy xác định phân số rút gọn b/ Nếu thêm 52 vào tử phân số trước tối giản phải thêm vào mẫu để giá trị phân số không đổi? Hướng dẫn a/ 132639/183654 = 13 (10000 + 200 + 3)/18 (10000 + 200 + 3) = 13/18 b/ Thêm 72 vào Bài 14: CMR Phân số sau tối giản a/ (12n + 1)/(30n + 2) b/ (21n + 4)/(14n + 3) (n  N) Hướng dẫn a/ Gọi d ước chung (12n + 1) (30n + 2) Ta có 5.(12n + 1) – 2.(30n + 2) = ℅ d Vậy d = nên (12n + 1) (30n + 2) nguyên tố b/ Tương tự câu a Bài 15: Cho phân số (n + 9)/(n – 6) (n > 6, n  N) a/ Tìm giá trị n để phân số có giá trị số tự nhiên? b/ Tìm giá trị n để phân số số tối giản? Hướng dẫn a/ Phân số (n + 9)/(n – 6) có giá trị số tự nhiên (n + 9) ℅ (n – 6) hay 15 ℅ (n – 6) (n – 6) = → n = (n – 6) = → n = (n – 6) = → n = 11 (n – 6) = 15 →n = 21 Vậy n  (7, 9, 11, 21) phân số (n + 9)/(n – 6) có giá trị số tự nhiên b/ (n + 9; n – 6) = (n- 6; 15) Vậy muốn (n + 9; n – 6) = để phân số cho tối giản phải có (n- 6; 15) = => (n – 6) ℅ (n – 6) ℅ Do n ≠ 3k n ≠ (5k + 1) Bài 16: Tìm số tự nhiên n nhỏ để phân số sau tối giản: 7/(n + 9) ; 8/(n + 10) ; 9/(n + 11) ; …… ; 31/(n + 33) Hướng dẫn Các phân số cho có dạng a/a + (n + 2) Vì phân số tối giản nên (a + 2) a phải nguyên tố Vậy (n + 2) phải nguyên tố với 7, 8, 9, … , 31 (n +2) số nhỏ Vậy (n + 2) phải số nguyên tố nhỏ lớn 31, tức (n +2) =37 → n = 35 TRỌN BỘ WORD TOÁN THCS CHỈ TỪ 150K http://bit.ly/VIP-word-THCS CHUYÊN ĐỀ: CHINH PHỤC BÀI TOÁN PHÂN SỐ Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Tốn học Hữu 10 10 Bài 17:Tìm phân số theo thứ tự phân số 6/10, 44/77, 30/55 cho mẫu phân số thứ tử phân số thứ hai, mẫu phân số thứ hai tử phân số thứ ba? Hướng dẫn * Rút gọn phân số cho: 6/10 = 3/5 ; 44/77 = 4/7 ; 30/55 = 6/11 Vì 3/5 ; 4/7 ; 6/11 tối giản nên phân số phải tìm có dạng : 3m/5m ; 4n/7n ; 6p/11p (m, n, p  N* ) Theo đề ta có: 5m = 4n 7n = 6p => Nên n ℅ n ℅ 4n ℅ 7n ℅ (4,5) = 1, (7, 6) =1 Vậy n ℅ 30 Đặt n = 30k (k  N* ), ta có m = 4n/5 = 4.30k/5 = 24k ; p = 7n/6 = 7.30k/6 =35 Vậy phân số phải tìm là: 3m/5m = 3.24k/5.24k = 72k/120k 4n/7n = 4.30k/7.30k = 120k/210k 6p/11p = 6.35k/11.35k = 210k/385k C QUY ĐỒNG MẪU PHÂN SỐ - SO SÁNH PHÂN SỐ I Lý thuyết Qui đồng mẫu số phân số - Là biến đổi phân số cho chúng giữ nguyên giá trị có chung mẫu - Qui tắc: + Rút gọn phân số đến tối giản + Tìm bội chung mẫu (BCNN) + Tìm thừa số phụ mẫu tương ứng VD quy đồng 5/8 ; + Nhân tử mẫu phân số với thừa số phụ 4/25 ; 7/42 So sánh phân số - Cùng mẫu số: Phân số có tử lớn lớn hơn, có tử bé bé hơn, tử số - Cùng tử số: Phân số có mẫu số lớn bé - Tử số mẫu số khác nhau: Quy đồng để đưa tử số mẫu số so sánh - Ba cách để so sánh phân số: + Qui đồng mẫu so sánh tử với sánh mẫu với + Qui đồng tử so + Chọn phân số làm trung gian - So sánh phân số với 1: * a/b <  a < b * a/b =  a = b * a/b >  a > b II Bài tập TRỌN BỘ WORD TOÁN THCS CHỈ TỪ 150K http://bit.ly/VIP-word-THCS CHUYÊN ĐỀ: CHINH PHỤC BÀI TOÁN PHÂN SỐ Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu 20 20 Bài 29: Hai can đựng 13 lít nước Nếu bớt can thứ lít thêm vào can thứ hai thứ nhiều can thứ hai lít, can lít Hỏi lúc đầu can đựng lít nước? Hướng dẫn - Dùng sơ đồ đoạn thẳng để dể dàng thấy cách làm - Ta có: Số nước can thứ nhiều can thứ hai là: 1 + + = 7(l ) 2 Số nước can thứ hai (13-7):2 = (l ) Số nước can thứ +7 = 10 (l ) Bài 30: Nêu cách viết phân số sau thành tổng phân số có tử = 1, mẫu khác a/ 1/8 b/ 1/10 Hướng dẫn Gọi phân số cần tìm 1/x, 1/y (x, y  N*) Ta có: 1/x + 1/y = 1/8 (1) Do x y có vai trị nên ta giả sử rằng: x < y Từ (1) => 1/x < 1/y hay x > (2) Do x < y nên 1/x > 1/y => Do 1/x > 1/16 Từ (2), (3) ta có: hay 1/x + 1/x > 1/y + 1/x hay 2/x > 1/8 x< 16 (3) < x < 16 Thay x = 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 vào (1) => x = 9, y = 72; x = 10, y = 40 ; x = 12, y = 24 Vậy có tất cách viết 1/8 = 1/9 + 1/72; 1/8 = 1/10 + 1/40 ; 1/8 = 1/12 + 1/24 b/ 1/10 = 1/11 + 1/110 = 1/12 + 1/60 = 1/14 + 1/35 = 1/15 + 1/30 Bài 31: Tính tổng phân số sau cách nhanh chóng a/ 1/5.6 + 1/6.7 + 1/7.8 + ….+ 1/24.25 b/ 2/1.3 + 2/3.5 + 2/5.7 + ….+ 2/99.101 c/ 3/1.3 + 3/3.5 + 3/5.7 + ….+ 3/49.51 d/ 1/7 + 1/91 + 1/247 + 1/475 + 1/775 + 1/ 1147 Hướng dẫn Ta dễ dàng chứng minh công thức sau: a/n.(n +a) = 1/n - 1/(n + a) Áp dụng ct để tính TRỌN BỘ WORD TOÁN THCS CHỈ TỪ 150K http://bit.ly/VIP-word-THCS CHUYÊN ĐỀ: CHINH PHỤC BÀI TOÁN PHÂN SỐ Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu a/ 4/25 b/ 100/101 c/ 1.8/17 21 21 d/ 6/37 Bài 32: CMR:  n  N ta có: 1/1.3 + 1/3.5 + 1/5.7 …+ 1/(2n + 1).(2n + 3) = (n +1)/(2n + 3) Bài 33: Tính tổng a/ 1/1.2 + 1/2.3 + 1/3.4 + …+ 1/18.19 + 1/19.20 b/ 1/20 + 1/30 + 1/42 + 1/56 + 1/72 + 1/90 + 1/110 + 1/132 c/ 52/1.6 + 52/6.11 + 52/11.16 + 52/16.21 + 52/21.26 + 52/26.31 Bài 34: Hai vòi nước chảy vào bể Vòi chảy 8h, vòi chảy 6h đầy bể Vòi tháo 4h bể cạn Bể cạn mở vịi sau 1h chảy phần bể? (1/24 bể) Bài 35: Tìm số tự nhiên x biết rằng: 1/3 + 1/6 + 1/10 + …+ 2/x.(x + 1) = 1999/2001 Hướng dẫn Viết vế trái dạng: 2/2.3 + 2/3.4 + 2/4.5 + + 2/x.(x + 1) => x = 2000 Bài 36: CMR: 1/5 + 1/13 + 1/25 + 1/41 + 1/61 + 1/85 + 1/113 < 1/2 Hướng dẫn Gọi tổng vế trái S ta có: S < 1/5 + (1/12 + 1/12 + 1/12) + (1/60 + 1/60 + 1/60) S < 1/5 + (3/12 + 3/60 S < 1/5 + 1/4 + 1/20 = (4 + + 1)/20 = 1/20 Bài 37: CMR: 1/4 + 1/16 + 1/36 + 1/64 + 1/100 + 1/144 + 1/196 < 1/2 Gỉai toán trường hợp tổng quát Hướng dẫn * 1/4 + 1/16 + 1/36 + 1/64 + 1/100 + 1/144 + 1/196 = 1/22 + 1/42 + 1/62 + 1/82 + 1/102 + 1/122 + 1/142 = 1/4 + (1 + 1/22 + 1/32 + 1/42 + 1/52 + 1/62 + 1/72 ) < 1/4 (1 + 1) = 1/2 * Trường hợp tổng quát: 1/22 + 1/42 + 1/62 +… + 1/(2n)2 < 1/2 Tương tự câu Bài 38: CMR: 1/22 + 1/32 + 1/42 +… + 1/n2 < Hướng dẫn Vì 1/k2 < 1/(k – 1).k = 1/(k – 1) - 1/k nên 1/22 + 1/32 + 1/42 +… + 1/n2 < (1- 1/2) + (1/2 – 1/3) + (1/3 – 1/4) + ….+ [1/(n – 1) - 1/n] < – 1/n < TRỌN BỘ WORD TOÁN THCS CHỈ TỪ 150K http://bit.ly/VIP-word-THCS CHUYÊN ĐỀ: CHINH PHỤC BÀI TOÁN PHÂN SỐ Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu 22 22 PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA PHÂN SỐ Bài 1: Thực phép nhân sau: a/ 14  b/ 35 81  c/ 28 68  17 14 d/ 35 23  46 205 Hướng dẫn a/ b/ 45 c/ d/ Bài 2: Tìm x, biết: a/ x - 10 =  15 b/ x + 27 11 =  22 121 c/ 46  −x= 23 24 d/ − x = 49  65 Hướng dẫn a/ x - 10 =  15 + 25 10 14 15 x= + 50 50 29 x= 50 x= b/ x + 27 11 =  22 121 c/ 46  −x= 23 24 46 − 23 24 x= − 3 x= 3 − 11 22 x= 22 x= x= d/ − x = 49  65 49 65 7 x = 1− 13 x= 13 x = 1− Bài 3: Lớp 6A có 42 HS chia làm loại: Giỏi, khá, Tb Biết số HSG 1/6 số HS khá, số HS Tb 1/5 tổng số HS giỏi Tìm số HS loại Hướng dẫn Gọi số HS giỏi x số HS 6x, số học sinh trung bình (x + 6x) = x + 6x Mà lớp có 42 học sinh nên ta có: x + x + 7x = 42 Từ suy x = (HS) Vậy số HS giỏi học sinh Số học sinh 5.6 = 30 (học sinh) TRỌN BỘ WORD TOÁN THCS CHỈ TỪ 150K http://bit.ly/VIP-word-THCS CHUYÊN ĐỀ: CHINH PHỤC BÀI TOÁN PHÂN SỐ Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Tốn học Hữu 23 23 SÁơ học sinh trung bình (5 + 30):5 = (HS) Bài 4: Tính giá trị cắc biểu thức sau cach tính nhanh nhất: a/ 21 11 25 b/ 29 c/  −    29  17 + 23 26 23 26 Hướng dẫn a/ 21 11 21 11 11 = ( ) = 25 25 15   29 29 b/ 29 29 17 17 + = ( + )= 23 26 23 26 23 26 26 23 16 c/  −   = − = − = 29 45 45 45  29 15  Bài 5: Tìm tích sau: a/ 16 −5 54 56 15 14 24 21 b/ −5 15 21 −5 Hướng dẫn a/ 16 −5 54 56 −16 = 15 14 24 21 b/ −5 15 10 = 21 −5 Bài 6: Tính nhẩm a/ b 7 + 9 Bài 7: Chứng tỏ rằng: c/ 5 + + 9 1 1 + + + + 2 63 Hướng dẫn Đặt A = 1 1 + + + + 63 Vậy TRỌN BỘ WORD TOÁN THCS CHỈ TỪ 150K 121 d/ 4.11 http://bit.ly/VIP-word-THCS CHUYÊN ĐỀ: CHINH PHỤC BÀI TOÁN PHÂN SỐ Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu 24 24 1 1 H + = + + + + + 63 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = (1 + ) + ( + ) + ( + + + ) + ( + + + ) + ( + + + ) + ( + + + ) − 10 11 16 17 18 32 33 34 64 64 1 1 1 H +  + + + + 16 + 32 − 16 32 64 64 1 1 1 H +1  1+ + + + + − 2 2 64 H +1  + 64 Do H > Bài 8: Tìm A biết: A= 7 + + + 10 10 10 Hướng dẫn Ta có (A - 7 ).10 = A VẬy 10A – = A suy 9A = hay A = 10 Bài 9: Lúc 50 phút bạn Việt xe đạp từ A đến B với vận tốc 15 km/h Lúc 10 phút bạn Nam xe đạp từ B đến A với vận tốc 12 km/h/ Hai bạn gặp C lúc 30 phút Tính quãng đường AB Hướng dẫn Thời gian Việt là: 30 phút – 50 phút = 40 phút = Quãng đường Việt là: 15  =10 (km) Thời gian Nam là: 30 phút – 10 phút = 20 phút = 3 Quãng đường Nam 12 = (km) Bài 10: Tính giá trị biểu thức: TRỌN BỘ WORD TOÁN THCS CHỈ TỪ 150K A= −5 x −5 y −5 z + + biết x + y = -z 21 21 21 http://bit.ly/VIP-word-THCS CHUYÊN ĐỀ: CHINH PHỤC BÀI TOÁN PHÂN SỐ Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu 25 25 Hướng dẫn A= −5 x −5 y −5 z −5 −5 + + = ( x + y + z) = (− z + z ) = 21 21 21 21 21 Bài 11: Tính gí trị biểu thức A, B, C tìm số nghịch đảo chúng 2002 2003 a/ A = − b/ B = 179  59  − −  30  30  46 c/ C =  −  11  11  Hướng dẫn 2002 = nên số nghịch đảo A 2003 2003 2003 a/ A = − b/ B = 179  59  23 nên số nghịc đảo cảu B − −  = 23 30  30  501 46 501 c/ C =  −  11 = nên số nghịch đảo C  11  5 Bài 12: Thực phép tính chia sau: a/ 12 16 : ; 15 b/ : c/ 14 : 25 d/ : 14 Bài 13: Tìm x biết: a/ 62 29 x = : 56 b/ 1 :x= + 5 c/ 2a + :x=2 Hướng dẫn a/ c/ 62 29 5684 x = : x= 56 837 2a + :x=2 x= b/ 1 :x= +  x= 5 2(2a + 1) Bài 14: Đồng hồ Hỏi sau kim phút kim lại gặp nhau? Hướng dẫn Lúc hai kim phút cách 1/ vòng tròn Vận tốc kim phút là: (vịng/h) 12 TRỌN BỘ WORD TỐN THCS CHỈ TỪ 150K http://bit.ly/VIP-word-THCS CHUYÊN ĐỀ: CHINH PHỤC BÀI TOÁN PHÂN SỐ Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu Hiệu vận tốc kim phút kim là: 1Vậy thời gian hai kim gặp là: 26 26 11 = (vòng/h) 12 12 11 : = (giờ) 12 11 Bài 16: Một canơ xi dịng từ A đến B ngược dòng từ B A 30 phút Hỏi đám bèo trôi từ A đến B bao lâu? Hướng dẫn Vận tốc xi dịng canơ là: AB (km/h) Vân tốc ngược dịng canơ là:  AB AB (km/h) 2, AB  Vận tốc dòng nước là:  − : =  2,5  AB − AB AB :2= (km/h) 20 10 Vận tốc bèo trơi vận tốc dịng nước, nên thời gian bèo trôi từ A đến B là: AB: AB 20 = AB : = 20 (giờ) AB 20 SỐ THẬP PHÂN PHẦN TRĂM Bài 1: Hai ô tô xuất phát từ Hà Nội Vinh Ơ tơ thứ đo từ 10 phút, ô tô thứ hai đia từ lúc 15 phút a/ Lúc 11 ngày hai ôtô cách km? Biết vận tốc ôtô thứ 35 2 km/h Vận tốc ôtô thứ hai 34 km/h b/ Khi ôtô thứ đến Vinh ơtơ thứ hai cách Vinh Km? Biết Hà Nội cách Vinh 319 km Hướng dẫn: a/ Thời gian ô tô thứ đi: 1 1 1 11 − = + − = + = (giờ) 6 3 Quãng đường ô tô thứ được: TRỌN BỘ WORD TOÁN THCS CHỈ TỪ 150K http://bit.ly/VIP-word-THCS CHUYÊN ĐỀ: CHINH PHỤC BÀI TOÁN PHÂN SỐ Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu 35.7 27 27 = 256 (km) Thời gian ô tô thứ hai đi: 1 11 − = (giờ) 4 Quãng đường ô tô thứ hai đi: 1 34 − = 215 (km) Lúc 11 30 phút ngày hai ô tô cách nhau: 256 − 215 = 41 (km) 24 b/ Thời gian ô tô thứ đến Vinh là: 319 : 35 = (giờ) 35 Ơtơ đến Vinh vào lúc: 59 + = 13 (giờ) 35 210 Khi ơtơ thứ đến Vinh thời gian ôtô thứ hai đi: 13 59 269 538 105 433 −5 = 7+ − = 7+ − =7 (giờ) 210 210 420 420 420 Quãng đường mà ôtô thứ hai được: 433 34  277 (km) 420 Vậy ôtô thứ đến Vinh ơtơ thứ hai cách Vinh là: 319 – 277 = 42 (km) Bài 2: Tổng tiền lương bác công nhân A, B, C 2.500.000 đ Biết 40% tiền lương bác A 50% tiền lương bác B 4/7 tiền lương bác C Hỏi tiền lương bác bao nhiêu? Hướng dẫn 40% = 40 = , 50% = 100 Quy đồng tử phân số 4 4 , , được: = , = , 10 TRỌN BỘ WORD TOÁN THCS CHỈ TỪ 150K http://bit.ly/VIP-word-THCS CHUYÊN ĐỀ: CHINH PHỤC BÀI TOÁN PHÂN SỐ Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu Như vậy: Suy ra, 28 28 4 lương bác A lương bác B lương bác C 10 1 lương bác A lương bác B lương bác C Ta có sơ đồ 10 sau: Lương bác A : 2500000 : (10+8+7) x 10 = 1000000 (đ) Lương bác B : 2500000 : (10+8+7) x = 800000 (đ) Lương bác C : 2500000 : (10+8+7) x = 700000 (đ) TÌM GIÁ TRỊ PHÂN SỐ CỦA MỘT SỐ CHO TRƯỚC Bài 1: Tìm x, biết: a/ x −  50 x 25 x  +  = 11  100 200  b/ ( x − ) 30 200 x = +5 100 100 Hướng dẫn a/ x −  50 x 25 x  +  = 11  100 200   100 x + 25 x   x −  = 11 200    75x = b/ ( x − ) 45 200 = 2250  200 x − 100 x − 25 x = 11 200  x = 2250: 75 = 30 30 200 x = +5 100 100 Áp dụng tính chất phân phối phép nhân phép trừ ta có: 30 x 150 20 x − = +5 100 100 100 Áp dụng mối quan hệ số bị trừ, số trừ hiệu ta có: 30 x 20 x 150 = +5+ 100 100 100 Áp dụng quan hệ số hạng tổng tổng ta có: 10 x 650  650  =  x= 100  :10  x = 65 100 100  100  Bài 2: Trong trường học số học sinh gái 6/5 số học sinh trai a/ Tính xem số HS gái phần số HS toàn trường b/ Nếu số HS toàn trường 1210 em trường có HS trai, HS gái? TRỌN BỘ WORD TOÁN THCS CHỈ TỪ 150K http://bit.ly/VIP-word-THCS CHUYÊN ĐỀ: CHINH PHỤC BÀI TOÁN PHÂN SỐ Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu 29 29 Hướng dẫn a/ Theo đề bài, trường phần học sinh nam có phần học sinh nữ Như vậy, học sinh tồn trường 11 phần số học sinh nữ chiếm phần, nên số học sinh nữ số 11 học sinh toàn trường Số học sinh nam số học sinh toàn trường 11 b/ Nếu tồn tường có 1210 học sinh thì: Số học sinh nữ là: 1210  = 660 (học sinh) 11 Số học sinh nam là: 1210  = 550 (học sinh) 11 Bài 3: Một miếng đất hình chữ nhật dài 220m, chiều rộng ¾ chiều lài Người ta trông xung quanh miếng đất, biết cách 5m góc có Hỏi cần tất cây? Hướng dẫn: Chiều rộng hình chữ nhật: 220 = 165 (m) Chu vi hình chữ nhật: ( 220 + 165) = 770 (m) Số cần thiết là: 770: = 154 (cây) Bài 4: Ba lớp có 102 học sinh Số HS lớp A 8/9 số HS lớp B Số HS lớp C 17/16 số HS lớp A Hỏi lớp có học sinh? Hướng dẫn Số học sinh lớp 6B 18 học sinh lớp 6A (hay ) 16 Số học sinh lớp 6C 17 học sinh lớp 6A 16 Tổng số phần lớp: 18+16+17 = 51 (phần) Số học sinh lớp 6A là: (102 : 51) 16 = 32 (học sinh) Số học sinh lớp 6B là: (102 : 51) 18 = 36 (học sinh) Số học sinh lớp 6C là: (102 : 51) 17 = 34 (học sinh) TRỌN BỘ WORD TOÁN THCS CHỈ TỪ 150K http://bit.ly/VIP-word-THCS CHUYÊN ĐỀ: CHINH PHỤC BÀI TOÁN PHÂN SỐ Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu Bài 5: 1/ Giữ nguyên tử số, thay đổi mẫu số phân số 30 30 275 soa cho giá trị giảm 24 289 giá trị Mẫu số bao nhiêu? Hướng dẫn Gọi mẫu số phải tìm x, theo đề ta có: 275 275 275 275   275 17 275 = − = = 1 −  = x 289 24 289 289  24  289 24 408 Vậy x = 275 408 Bài 6: Ba tổ công nhân trồng tất 286 công viên Số tổ trồng tổ số tổ trồng số 10 24 số tổ Hỏi tổ trồng cây? 25 Hướng dẫn 90 cây; 100 cây; 96 TÌM MỘT SỐ BIẾT GIÁ TRỊ PHÂN SỐ CỦA NÓ Bài 1: 1/ Một lớp học có số HS nữ số HS nam Nếu 10 HS nam chưa vào lớp số HS nữ gấp lần số HS nam Tìm số HS nam nữ lớp 2/ Trong chơi số HS ngồi 1/5 số HS lớp Sau học sinh vào lớp số số HS ngồi bừng 1/7 số HS lớp Hỏi lớp có HS? Hướng dẫn: 1/ Số HS nam 3 số HS nữ, nên số HS nam số HS lớp Khi 10 HS nam chưa vào lớp số HS nam Vậy 10 HS biểu thị 1 số HS nữ tức số HS lớp 1 - = (HS lớp) 8 Nên số HS lớp là: 10 : = 40 (HS) TRỌN BỘ WORD TOÁN THCS CHỈ TỪ 150K http://bit.ly/VIP-word-THCS CHUYÊN ĐỀ: CHINH PHỤC BÀI TOÁN PHÂN SỐ Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu Số HS nam : 40 Số HS nữ : 40 31 31 = 15 (HS) = 25 (HS) 2/ Lúc đầu số HS 1 số HS lớp, tức số HS số HS lớp Sau em vào lớp số HS ngồi số HS lớp Vậy HS biểu thị 1 - = (số HS lớp) 48 Vậy số HS lớp là: : = 48 (HS) 48 Bài 2: Ba vải có tất 542m Nết cắt thứ , thứ hai , thứ ba chiều 14 dài chiều dài cịn lại ba Hỏi vải mét? Hướng dẫn Ngày thứ hai hợp tác xã gặt được:  13 7  (diện tích lúa) 1 −  = =  18  13 18 13 18 Diện tích cịn lại sau ngày thứ hai:  15  1 −  +  = (diện tích lúa)  18 18  diện tích lúa 30,6 a Vậy trà lúa sớm hợp tác xã gặt là: 30,6 : = 91,8 (a) Bài 3: Một người có xồi đem bán Sau án 2/5 số xoài trái cịn lại 50 trái xồi Hỏi lúc đầu người bán có trái xồi Hướng dẫn Cách 1: Số xồi lức đầu chia phần bắn phần trái Như số xoài lại phần bớt trsi tức là: phần 51 trái Số xồi có 5 = 85 trái 31 Cách 2: Gọi số xồi đem bán có a trái Số xồi bán TRỌN BỘ WORD TOÁN THCS CHỈ TỪ 150K a +1 http://bit.ly/VIP-word-THCS CHUYÊN ĐỀ: CHINH PHỤC BÀI TOÁN PHÂN SỐ Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Tốn học Hữu Số xồi cịn lại bằng: 32 32 a − ( a + 1) = 50  a = 85 (trái) TÌM TỈ SỐ CỦA HAI SỐ Bài 1: 1/ Một ô tô từ A phía B, xe máy từ B phía A Hai xe khởi hành lúc gặp qng đường ơtơ lớn quãng đường xe máy 50km Biết 30% quãng đường ô tô 45% quãng đường xe máy Hỏi quãng đường xe phần trăm quãng đường AB 2/ Một ô tô khách chạy với tốc độ 45 km/h từ Hà Nội Thái Sơn Sau thời gian ôtô du lịch xuất phát từ Hà Nội đuổi theo ô tô khách với vận tốc 60 km/h Dự định chúng gặp thị xã Thái Bình cách Thái Sơn 10 km Hỏi quãng đường Hà Nội – Thái Sơn? Hướng dẫn 1/ 30% = 9 = ; 45% = 10 30 20 9 quãng đường ôtô quãng đường xe máy 20 30 Suy ra, 1 quãng đường ôtô quãng đường xe máy 20 30 Quãng đường ôtô được: 50: (30 – 20) x 30 = 150 (km) Quãng đường xe máy được: 50: (30 – 20) x 20 = 100 (km) 2/ Quãng đường từ N đến Thái Bình dài là: 40 – 10 = 30 (km) Thời gian ôtô du lịch quãng đường N đến Thái Bình là: 30 : 60 = (h) 2 Trong thời gian ơtơ khách chạy quãng đường NC là: 40 = 20 (km) Tỉ số vận tốc xe khách trước sau thay đổi là: 40 = 45 Tỉ số lầ tỉ số qng đường M đến Thái Bình M đến C nên: M → TB = MC TRỌN BỘ WORD TOÁN THCS CHỈ TỪ 150K http://bit.ly/VIP-word-THCS CHUYÊN ĐỀ: CHINH PHỤC BÀI TOÁN PHÂN SỐ Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu M → TB – MC = MC – MC = MC 8 Vậy quãng đường MC là: 10 : Vì M → TS = - 33 33 = 80 (km) 10 = (H → TS) 13 13 Vậy khoảng cách Hà Nội đến Thái Sơn (HN → TS) dài là: 100 : 10 13 = 100 = 130 (km) 10 13 Bài 2: Nhà em có 60 kg gạo đựng hai thùng Nếu lấy 25% số gạo thùng thứ chuyển sang thùng thứ hai số gạo hai thùng Hỏi số gạo thùng kg? Hướng dẫn: Nếu lấy số gạo thùng thứ làm đơn vị số gạo thùng thứ hai ) 1 (đơn vị) (do 25% = số gạo thùng thứ số gạo thùng thứ hai + số gạo thùng thứ 4 Vậy số gạo hai thùng là: + = (đơn vị) 3 đơn vị 60 kg Vậy số gạo thùng thứ là: 60 : = 60 = 40 (kg) 2 Số gạo thùng thứ hai là: 60 – 40 = 20 (kg) Bài 3: Một đội máy cày ngày thứ cày 50% ánh đồng thêm Ngày thứ hai cày 25% phần lại cánh đồng cuối Hỏi diện tích cánh đồng ha? 2/ Nước biển chưa 6% muối (về khối lượng) Hỏi phải thêm kg nước thường vào 50 kg nước biển hỗn hợp có 3% muối? Hướng dẫn 1/ Ngày thứ hai cày được: : = 12 (ha) 2/ Lượng muối chứa 50kg nước biển: Diện tích cánh đồng là: (12 + 3) : 50 = 30 (ha) 100 50  = (kg) 100 Lượng nước thường cần phải pha vào 50kg nước biển để hỗn hợp cho 3% muối: 100 – 50 = 50 (kg) TRỌN BỘ WORD TOÁN THCS CHỈ TỪ 150K http://bit.ly/VIP-word-THCS CHUYÊN ĐỀ: CHINH PHỤC BÀI TOÁN PHÂN SỐ Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu Bài 4: Trên đồ có tỉ lệ xích 1: 500000 Hãy tìm: a/ Khoảng cách thực tế hai điểm đồ cách 125 milimet b/ Khoảng cách đồ hai thành phố cách 350 km (trên thực tế) Hướng dẫn a/ Khảng cách thực tế hai điểm là: 125.500000 (mm) = 125500 (m) = 62.5 (km) b/ Khảng cách hai thành phố đồ là: 350 km: 500000 = 350000:500000 (m) = 0.7 m TRỌN BỘ WORD TOÁN THCS CHỈ TỪ 150K http://bit.ly/VIP-word-THCS 34 34 ... tử số mẫu số phân số với số tự nhiên, số nguyên khác ta phân số phân số cho TQ: a/b = a.m/b.m ( m  N m  Z, m ≠ 0) - Nếu chia tử số mẫu số phân số với số tự nhiên, số nguyên khác ta phân số phân. .. Nhân tử mẫu phân số với thừa số phụ 4/25 ; 7/42 So sánh phân số - Cùng mẫu số: Phân số có tử lớn lớn hơn, có tử bé bé hơn, tử số - Cùng tử số: Phân số có mẫu số lớn bé - Tử số mẫu số khác nhau:... phân số có tử số phân số nsị có mssũ nhỏ 8 lớn hơn) B/ Cộng phân số Cộng phân số mẫu ta cộng tử giữ nguyên mẫu số TQ a/m + b/m = (a +b)/m Cộng phân số không mẫu ta quy đồng mẫu số cộng phân số