ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN TRƯỜNG GIANG CÁC QUY TẮC TỔNG TÍNH DƯỚI VI PHÂN VÀ DƯỚI VI PHÂN XẤP XỈ Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Dương Thị Việt An THÁI NGUYÊN - 2020 Mục lục Danh mục ký hiệu Mở đầu Lời cảm ơn Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tập lồi hàm lồi 1.2 Dưới vi phân Dưới vi phân xấp xỉ 1.3 Một số kết bổ trợ 12 Quy tắc tổng tính vi phân hàm lồi 15 2.1 Định lý Moreau-Rockafellar phiên cổ điển 15 2.2 Định lý Moreau-Rockafellar phiên hình học 20 2.3 Áp dụng 21 Quy tắc tổng tính vi phân xấp xỉ hàm lồi 24 3.1 Quy tắc tổng cho vi phân xấp xỉ 24 3.2 Áp dụng 30 Kết luận 34 Danh mục ký hiệu R trường số thực R tập số thực suy rộng R+ tập số thực không âm ∅ tập rỗng ∀x với x ∃x tồn x M ∩N giao hai tập hợp M N |x| giá trị tuyệt đối x ||x|| chuẩn véctơ x BX hình cầu đơn vị đóng X int A phần tập A R+ (A) nón sinh tập A inf f (x) infimum tập số thực {f (x) | x ∈ K} x∈K sup f (x) supremum tập số thực {f (x) | x ∈ K} x∈K N (¯ x; Ω) nón pháp tuyến theo nghĩa giải tích lồi Ω x ¯ Nε (¯ x; Ω) tập ε- pháp tuyến Ω x¯ f∗ hàm liên hợp hàm f f ∗∗ hàm liên hợp hàm f ∗ δΩ (.) hàm tập Ω epi f đồ thị hàm f dom f miền hữu hiệu hàm f x∗ , x giá trị phiếm hàm x∗ x ∂f (x) vi phân hàm lồi f x ∂ε f (x) vi phân xấp xỉ hàm lồi f x A:X→Y tốn tử tuyến tính liên tục từ X vào Y A∗ : Y ∗ → X ∗ toán tử liên hợp toán tử A Mở đầu Giải tích lồi mơn giải tích đại, nghiên cứu tập lồi hàm lồi với vấn đề liên quan Bộ mơn có vai trị quan trọng nhiều lĩnh vực khác toán ứng dụng, đặc biệt tối ưu hóa, bất đẳng thức biến phân, toán cân bằng, Các hàm giá trị tối ưu đóng vai trị quan trọng giải tích biến phân, tối ưu có ràng buộc, lý thuyết điều khiển, nhiều ứng dụng khác lý thuyết Song song với việc đưa điều kiện đủ để hàm giá trị tối ưu liên tục Lipschitz địa phương tham số cho trước, khoảng 50 năm trở lại đây, người ta quan tâm nghiên cứu tính ổn định vi phân toán tối ưu theo nghĩa nghiên cứu tính chất khả vi khả vi theo hướng hàm giá trị tối ưu tốn Vai trị tính lồi nghiên cứu tính ổn định vi phân khó đánh giá thấp Vào thập niên sáu mươi kỷ trước, cơng thức tiên phong dùng để tính tốn vi phân tổng hai hàm lồi đưa J.-J Moreau R.T Rockafellar Cùng với nghiên cứu trước đó, kết dẫn đến lý thuyết đẹp đẽ giải tích lồi [5] Các quy tắc tính tốn vi phân có vai trị quan trọng giải tích lồi quy hoạch lồi Năm 1965, Brøndsted Rockafellar [4] đưa khái niệm ε-dưới vi phân (hay gọi vi phân xấp xỉ) hàm lồi, khái niệm mở rộng cho khái niệm đạo hàm hàm không khả vi Điều cho thấy vai trị vi phân nói chung vi phân xấp xỉ nói riêng giải tích đại có tầm quan trọng vai trị đạo hàm giải tích cổ điển Luận văn gồm phần mở đầu, phần kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, ba chương có nội dung sau: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị nhắc lại định nghĩa tính chất tập lồi, hàm lồi, vi phân vi phân xấp xỉ hàm lồi Cuối chương chúng tơi trình bày số kết hàm liên hợp định lý tách để phục vụ cho việc chứng minh kết hai chương sau Chương 2: Quy tắc tổng tính vi phân hàm lồi nghiên cứu hai phiên khác Định lý Moreau-Rockafellar, kết tiếng Giải tích lồi việc tính tốn vi phân tổng hai hàm lồi, thường Nội dung cuối chương phần áp dụng quy tắc tổng việc nghiên cứu điều kiện cần đủ tối ưu tốn tối ưu lồi có ràng buộc tập Các kết chương tổng hợp từ tài liệu [1], [2] [6] Chương 3: Quy tắc tổng tính vi phân xấp xỉ hàm lồi trình bày quy tắc tổng để tính tốn vi phân xấp xỉ hai hàm lồi, thường Nội dung chương dịch xếp lại từ Mục báo [3] Các kết điều kiện cần đủ tối ưu sử dụng vi phân xấp xỉ nghiên cứu cuối chương Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình TS Dương Thị Việt An Em xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới Cơ hướng dẫn hiệu truyền cho em kinh nghiệm nghiên cứu trình em học tập hoàn thiện luận văn Em xin chân thành cảm ơn thầy Khoa Tốn Tin, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho em suốt trình em học tập trường Luận văn chắn không tránh khỏi khuyết điểm, em mong góp ý quý thầy cô để luận văn hoàn chỉnh Thái Nguyên, ngày 16 tháng năm 2020 Học viên Nguyễn Trường Giang Chương Kiến thức chuẩn bị Chương nhắc lại kiến thức tập lồi, hàm lồi, vi phân vi phân xấp xỉ hàm lồi Nội dung chương tham khảo từ tài liệu [1], [2], [6] 1.1 Tập lồi hàm lồi Cho X khơng gian tuyến tính trường số thực Đoạn thẳng nối hai điểm a, b X tập hợp véctơ x có dạng [a, b] := {x ∈ X | x = λa + (1 − λ)b, λ ∈ [0, 1]} Định nghĩa 1.1 (Xem [1, trang 3]) Một tập C ⊆ X gọi tập lồi C chứa đoạn thẳng qua hai điểm Tức là, C lồi ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C Ví dụ 1.1 Đoạn thẳng, tam giác, hình trịn ví dụ đơn giản tập lồi mặt phẳng Giả sử X không gian lồi địa phương C ⊆ X tập lồi Cho hàm f : C → R = R ∪ {±∞} Ta ký hiệu miền hữu hiệu hàm f y x x y Hình 1: Ví dụ tập lồi tập không lồi dom f , định nghĩa sau: dom f := {x ∈ C | f (x) < +} Tp epi f := {(x, à) C ì R | f (x) ≤ µ} gọi đồ thị hàm f Bằng cách cho f (x) = +∞ x∈ / C , ta coi f xác định tồn khơng gian dom f = {x ∈ X | f (x) < +∞}, epi f = {(x, µ) ∈ X × R | f (x) ≤ µ} Do phải làm việc với hàm số nhận giá trị −∞ +∞ nên thường lệ ta quy ước λ = λf (x) = với x Định nghĩa 1.2 (Xem [1, trang 39]) Cho ∅ = C ⊆ X f : C → R Ta nói f hàm lồi C epi f tập lồi X × R Về sau, ta chủ yếu làm việc với hàm f : X → R ∪ {+∞} Trong trường hợp này, ta có kết sau: Định lý 1.1 (Xem [1, trang 40]) Giả sử C tập lồi X , hàm f : C → (−∞, +∞] Khi đó, f hàm lồi C với λ ∈ [0, 1], ta có f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ C Ví dụ 1.2 Cho C tập lồi X Hàm tập C định nghĩa δC (x) =    0 x ∈ C   +∞ x ∈ C, hàm lồi Thật vậy: Ta cần với x, y ∈ X, λ ∈ [0, 1] δC (λx + (1 − λ)y) ≤ λδC (x) + (1 − λ)δC (y) (1.1) • Với x, y ∈ C, λ ∈ [0, 1] Khi δC [λx + (1 − λ)y] = λδC (x) + (1 − λ)δC (y) = Suy (1.1) • Với x ∈ C, y ∈ / C, λ ∈ [0, 1] (tương tự cho trường hợp với x∈ / C, y ∈ C ) ta có δC (x) = 0, δC (y) = +∞ Khi (1.1) tầm thường • Với x, y ∈ / C, λ ∈ [0, 1] Khi δC (x) = δC (y) = +∞ Do bất đẳng thức (1.1) 1.2 Dưới vi phân Dưới vi phân xấp xỉ Trong chương trình giải tích phổ thơng, ta biết hàm lồi khả vi điểm tiếp tuyến điểm ln nằm đồ thị Tuy nhiên, hàm lồi khơng khả vi, ví dụ hàm lồi biến f (x) = |x| không khả vi x = Trong trường hợp này, người ta mở rộng khái niệm đạo hàm vi phân, cho có tính chất đạo hàm hàm khả vi Đặt X = Y , A = I , từ Định lý 2.2 ta thu phiên hình học Định lý Moreau–Rockafellar sau: Định lý 2.3 (Xem [2]) Nếu f, g : X → R hàm lồi, đóng, thường điều kiện quy ∈ int(dom f − dom g) (2.4) thỏa mãn, với x ∈ (dom f ) ∩ (dom g) ta có ∂(f + g)(x) = ∂f (x) + ∂g(x) (2.5) Ví dụ sau tính đóng f g khơng thể bỏ Định lý 2.3 Ví dụ 2.2 (Xem [2]) Cho X không gian Banach vô hạn chiều Khi ta xây dựng phiếm hàm tuyến tính khơng liên tục f : X → R Đặt g := −f , ta có dom f = dom g = X , điều kiện quy (2.4) thỏa mãn Vì f g phiếm hàm tuyến tính khơng liên tục, chúng khơng đóng Một mặt, ∂f (x) = ∂g(x) = ∅ với x ∈ X Mặt khác, f (x)+g(x) ≡ 0, ta có ∂(f +g)(x) = {0} Vì vậy, (2.5) khơng Như ta thấy điều kiện quy (2.4) khơng thể đảm bảo cho (2.5), f g không đóng 2.3 Áp dụng Trong mục này, chúng tơi áp dụng kết hai mục trước để nghiên cứu điều kiện cần đủ cực trị cho tốn tối ưu lồi (cả trường hợp khơng ràng buộc trường hợp ràng buộc tập) Cho X không gian vectơ tôpô lồi địa phương Hausdorff với không gian đối ngẫu X ∗ , hàm ϕ : X → R hàm lồi X Xét 21 tốn tối ưu khơng có ràng buộc: ϕ(x) → inf (2.6) Ta có quy tắc Fermat cho tốn tối ưu lồi (2.6) sau Định lý 2.4 (Xem [6, Mệnh đề 1, tr 81]) Điểm x ¯ ∈ X cực tiểu hàm lồi ϕ ∈ ∂ϕ(¯ x) Chứng minh Theo định nghĩa vi phân ta có ∈ ∂ϕ(¯ x) ⇔ 0, x − x¯ ≤ ϕ(x) − ϕ(¯ x), x ∈ X ⇔ ϕ(¯ x) ≤ ϕ(x), x ∈ X Chứng tỏ x ¯ cực tiểu hàm lồi ϕ X Bằng cách sử dụng Định lý 2.4 phiên Định lý Moreau-Rockafellar Mục 2.1 Mục 2.2, ta thu quy tắc Fermat cho tốn tối ưu lồi có ràng buộc ϕ(x) → inf, (2.7) x ∈ C, C tập lồi khác rỗng X Định lý 2.5 Cho x ¯ ∈ X Nếu điều kiện sau thỏa mãn (a) int C ∩ dom ϕ = ∅, (b) ϕ liên tục điểm thuộc miền tập C Khi x ¯ nghiệm toán (2.7) ∈ ∂ϕ(¯ x) + N (¯ x; C) 22 (2.8) Chứng minh Xét hàm Φ(x) = ϕ(x) + δC (x), δC (·) hàm tập lồi C Khi ta thấy, x ¯ nghiệm tốn (2.7) Φ(·) đạt cực tiểu x ¯ Khi theo Định lý 2.4, x¯ nghiệm toán (2.7) ∈ ∂Φ(¯ x) = ∂ ϕ + δC (·) (¯ x) (2.9) Vì C tập lồi nên δC (.) hàm lồi Hiển nhiên δC (.) liên tục điểm thuộc phần tập C Khi đó, điều kiện (a) thỏa mãn δC (·) liên tục điểm thuộc miền hữu hiệu hàm ϕ Theo Định lý 2.1, từ (2.9) ta có ∈ ∂Φ(¯ x) = ∂ ϕ + δC (·) (¯ x) = ∂ϕ(¯ x) + ∂δC (¯ x) = ∂ϕ(¯ x) + N (¯ x; C) Xét trường hợp điều kiện (b) thỏa mãn Vì dom δC (·) = C ϕ liên tục điểm thuộc dom δC (·) nên theo Định lý 2.1 ta thu (2.8) từ (2.9) Định lý 2.6 Cho X khơng gian Banach, C tập đóng ϕ : X → R hàm lồi, đóng, thường Xét x ¯ ∈ X cho ∈ int (dom ϕ − C) (2.10) thỏa mãn Khi đó, x ¯ nghiệm tốn (2.7) ∈ ∂ϕ(¯ x) + N (¯ x; C) Chứng minh Chứng minh tương tự Định lý 2.5 Cụ thể, điều kiện (2.10) thỏa mãn, thay sử dụng Định lý 2.1 ta dùng Định lý 2.3 Chú ý rằng, dom δC = C C tập lồi, đóng nên hàm δC hàm lồi, đóng 23 Chương Quy tắc tổng tính vi phân xấp xỉ hàm lồi Trong chương chúng tơi trình bày quy tắc để tính tốn vi phân xấp xỉ tổng hai hàm lồi, thường Phần cuối chương chúng tơi có nghiên cứu điều kiện cần đủ cực trị cho toán tối ưu lồi tổng quát toán tối ưu lồi có ràng buộc tập Nội dung chương tham khảo từ Mục báo [3] 3.1 Quy tắc tổng cho vi phân xấp xỉ Trong Giải tích lồi, Định lý Moreau–Rockafellar kết quen thuộc cho ta quy tắc tính tốn vi phân tổng hai hàm lồi, thường Bằng cách sử dụng kết tổng chập (infimal convolution) hai hàm lồi, thu quy tắc tính tổng vi phân xấp xỉ sau Định lý 3.1 Giả sử f1 , f2 : X → R hàm lồi, thường 24 khơng gian tôpô lồi địa phương Hausdorff X điều kiện quy (f1 + f2 )∗ (x∗ ) = f1∗ (x∗1 )+f2∗ (x∗2 ) | x∗1 , x∗2 ∈ X ∗ , x∗1 + x∗2 = x∗ } (∀x∗ ∈ X ∗ ) (3.1) thỏa mãn Khi đó, với x ¯ ∈ dom f1 ∩ dom f2 ε > 0, ta có ∂ε (f1 + f2 )(¯ x) = ∂ε1 f1 (¯ x) + ∂ε2 f2 (¯ x) ε1 ≥0, ε2 ≥0, ε1 +ε2 =ε Ta phân tích chi tiết điều kiện quy (3.1) Đầu tiên ta nhận thấy điều kiện (3.1) có nghĩa với x∗ ∈ X ∗ , ta có (f1 +f2 )∗ (x∗ ) = inf f1∗ (x∗1 ) + f2∗ (x∗2 ) | x∗1 , x∗2 ∈ X ∗ , x∗1 + x∗2 = x∗ }, (3.2) infimum đạt được, hay nói cách khác, tồn x ¯∗1 , x¯∗2 thuộc X ∗ mà x ¯∗1 + x¯∗2 = x∗ cho f1∗ (¯ x∗1 ) + f2∗ (¯ x∗2 ) = inf f1∗ (x∗1 ) + f2∗ (x∗2 ) | x∗1 + x∗2 = x∗ } (3.3) Để hiểu sâu điều kiện (3.1), ta tìm hiểu thêm khái niệm "Tổng chập" [6, tr 168] hàm lồi Tổng chập f1 ⊕ f2 hai hàm lồi thường f1 : X → R f2 : X → R định nghĩa (f1 ⊕ f2 )(x) := inf f1 (x1 ) + f2 (x2 ) | x1 + x2 = x} (x ∈ X) Bây ta áp dụng công thức cho hàm f1∗ : X ∗ → R f2∗ : X ∗ → R, ta (f1∗ ⊕ f2∗ )(x∗ ) = inf f1∗ (x∗1 ) + f2∗ (x∗2 ) | x∗1 + x∗2 = x∗ } 25 Cách viết (f1∗ ⊕ f2∗ )(x∗ ) = f1∗ (x∗1 ) + f2∗ (x∗2 ) | x∗1 + x∗2 = x∗ } có nghĩa tồn x ¯∗1 , x¯∗2 thuộc X ∗ mà x∗ = x¯∗1 + x¯∗2 (f1∗ ⊕ f2∗ )(x∗ ) = f1∗ (¯ x∗1 ) + f2∗ (¯ x∗2 ) Theo định nghĩa hàm liên hợp, ta có (f1 + f2 )∗ (x∗ ) = sup x∈X x∗ , x − (f1 + f2 )(x) Bằng cách viết x∗ = x∗1 + x∗2 với x∗1 ∈ X ∗ x∗2 ∈ X ∗ ta (f1 + f2 )∗ (x∗ ) = sup x∈X = sup x∈X ≤ sup x∈X x∗1 + x∗2 , x − f1 (x) − f2 (x) x∗1 , x − f1 (x) + x∗2 , x − f2 (x) x∗1 , x − f1 (x) + sup x∈X x∗2 , x − f2 (x) Vậy, bất đẳng thức (f1 + f2 )∗ (x∗ ) ≤ f1∗ (x∗1 ) + f2∗ (x∗2 ) (3.4) với x∗ , x∗1 , x∗2 ∈ X ∗ với x∗ = x∗1 + x∗2 Với x∗ ∈ X ∗ , lấy infimum hai vế (3.4) theo (x∗1 , x∗2 ) mà x∗1 + x∗2 = x∗ , ta (f1 + f2 )∗ (x∗ ) ≤ (f1∗ ⊕ f2∗ )(x∗ ); (3.5) xem [6, tr 181] Vì (3.2) viết lại sau (f1 + f2 )∗ (x∗ ) = (f1∗ ⊕ f2∗ )(x∗ ), (3.6) điều kiện (3.1) thỏa mãn với hàm f1 f2 giả thiết, bất đẳng thức (3.5) nghiệm dấu với x∗ ∈ X ∗ May mắn thay, yêu cầu thỏa mãn số điều kiện Sau đây, tổng hợp số điều kiện 26 Định lý 3.2 Giả sử f1 , f2 hàm lồi thường Nếu    một hai hàm f1 , f2 liên tục điểm (3.7)    thuộc miền hữu hiệu hàm đẳng thức (f1 + f2 )∗ (x∗ ) = (f1∗ ⊕ f2∗ )(x∗ ) với x∗ ∈ X ∗ Hơn nữa, với x∗ ∈ dom (f1 + f2 )∗ , tồn x ¯∗i ∈ dom fi∗ , i = 1, 2, cho x ¯∗1 + x¯∗2 = x∗ f1∗ (¯ x∗1 ) + f2∗ (¯ x∗2 ) = (f1 + f2 )∗ (x∗ ) Nhận xét 3.1 Dưới điều kiện Định lý 3.2, điều kiện quy (3.1) thỏa mãn Thật vậy, giả sử hai hàm lồi thường f1 , f2 liên tục điểm x0 thuộc vào miền hữu hiệu hàm lại Khi đó, ta có x0 ∈ dom (f1 + f2 ) Điều suy (f1 + f2 )∗ (x∗ ) lớn −∞ với x∗ ∈ X ∗ Nếu x∗ ∈ / dom (f1 + f2 )∗ , (f1 + f2 )∗ (x∗ ) = +∞ Chọn x ¯∗1 , x¯∗2 ∈ X ∗ cho x∗ = x¯∗1 + x¯∗2 Từ (3.4), +∞ = (f1 + f2 )∗ (x∗ ) ≤ f1∗ (¯ x∗1 ) + f2∗ (¯ x∗2 ) x∗2 ) > −∞ f1 , f2 hai hàm x∗1 ) > −∞ f2∗ (¯ Chú ý f1∗ (¯ x∗2 ) thường, từ ta thấy giá trị f1∗ (¯ x∗1 ) f2∗ (¯ phải +∞ Kết hợp điều với (3.4) ta (3.3) Vì (3.2) tương đương với (3.6), đẳng thức cuối nghiệm Theo Định lý 3.2, ta chứng minh (3.1) thỏa mãn với x∗ ∈ / dom (f1 + f2 )∗ Nếu x∗ ∈ dom (f1 + f2 )∗ , đẳng thức (3.1) suy từ Định lý 3.2 Khi xét X khơng gian Banach, ta có phiên khác 27 Định lý 3.2, f1 f2 giả thiết đóng Nhắc lại R+ (A) := {ta ∈ X | t ∈ R+ , a ∈ A} nón sinh tập A Định lý 3.3 Giả sử hàm f1 , f2 : X → R lồi, thường xác định không gian Banach X Giả sử thêm R+ (dom f1 − dom f2 ) khơng gian đóng khác rỗng X (3.8) Khi đó, với x∗ ∈ X ∗ , ta có (f1 + f2 )∗ (x∗ ) = (f1∗ ⊕ f2∗ )(x∗ ) Hơn nữa, với x∗ ∈ dom (f1 + f2 )∗ tồn x∗1 , x∗2 ∈ X ∗ cho x∗ = x∗1 + x∗2 (f1 + f2 )∗ (x∗ ) = f1∗ (x∗1 ) + f2∗ (x∗2 ) Sau phiên khác Định lý 3.2, dùng điều kiện quy hình học Định lý 3.4 Cho f1 , f2 : X → R hàm lồi, đóng, thường xác định không gian Banach X Nếu điều kiện quy ∈ int (dom f1 − dom f2 ) (3.9) thỏa mãn, (f1 + f2 )∗ (x∗ ) = (f1∗ ⊕ f2∗ )(x∗ ) với x∗ ∈ X ∗ Hơn nữa, x∗ điểm cho (f1 + f2 )∗ (x∗ ) hữu hạn, tập điểm x∗1 thỏa mãn (f1∗ ⊕ f2∗ )(x∗ ) = f1∗ (x∗1 ) + f2∗ (x∗ − x∗1 ) khác rỗng, compắc yếu ∗ Nhận xét 3.2 Dưới giả thiết Định lý 3.3 (tương ứng, Định lý 3.4), điều kiện quy (3.1) thỏa mãn Thật vậy, giả sử f1 , f2 : X → R hàm lồi, đóng, thường xác định không gian Banach X , (3.8) (tương ứng, (3.9)) thỏa mãn Ta có 28 ∈ dom f1 − dom f2 Vì vậy, tồn x0 ∈ X mà x0 ∈ dom f1 ∩ dom f2 Khi x0 ∈ dom (f1 +f2 ) Áp dụng Định lý 3.3 (tương ứng, Định lý 3.4) lập luận Nhận xét 3.1, ta (3.1) Bây giờ, nghiên cứu mối quan hệ điều kiện quy (3.7), (3.8) (3.9) Mệnh đề 3.1 Cho f1 , f2 : X → R hàm lồi, đóng, thường xác định không gian tôpô lồi địa phương Hausdorff X Khi đó, (3.7) suy (3.8) (3.9) Chứng minh Không giảm tổng quát, giả sử f1 liên tục điểm x ¯ ∈ dom f2 Khi đó, tồn lân cận U cho x¯ + U ⊂ dom f1 Vì vậy, U = (¯ x + U ) − x¯ ⊂ dom f1 − dom f2 Điều suy (3.9) đẳng thức R+ (dom f1 − dom f2 ) = X, chứng tỏ (3.8) thỏa mãn Điều kiện (3.9) ⇒ (3.8) hiển nhiên Sau đây, chúng tơi đưa hai ví dụ đơn giản để (3.8) ⇒ (3.9) (3.9) ⇒ (3.7) khơng Ví dụ 3.1 Cho X = R2 , f1 (x) = x21 với x = (x1 , 0), f1 (x) = +∞ với x = (x1 , x2 ) mà x1 = 0, lấy f2 ≡ f1 Khi đó, R+ (dom f1 − dom f2 ) = dom f1 − dom f2 = R × {0} khơng gian đóng X Tuy nhiên, hai điều kiện (3.7) (3.9) bị vi phạm Ví dụ 3.2 Cho X f1 tương tự Ví dụ 3.1 Đặt f2 (x) = x22 29 với x = (0, x2 ), f2 (x) = +∞ với x = (x1 , x2 ) mà x2 = Khi (3.9) thỏa mãn, (3.7) không nghiệm 3.2 Áp dụng Cho X không gian vectơ tôpô lồi địa phương Hausdorff với không gian đối ngẫu X ∗ , hàm ϕ : X → R hàm lồi X Xét tốn tối ưu khơng có ràng buộc: ϕ(x) → inf Cho trước ε ≥ 0, điểm x ¯ ∈ dom ϕ gọi ε-nghiệm (nghiệm xấp xỉ) ϕ ϕ(¯ x) ≤ ϕ(x) + ε, ∀x ∈ X Trong mục này, trình bày kết điều kiện cần đủ để điểm x ¯ nghiệm xấp xỉ tốn tối ưu lồi khơng có ràng buộc tốn tối ưu lồi có ràng buộc Đầu tiên ta có kết sau: Định lý 3.5 Với ε ≥ 0, điểm x ¯ ∈ X nghiệm xấp xỉ hàm lồi ϕ ∈ ∂ε ϕ(¯ x) Chứng minh Với ε ≥ cho trước Giả sử x ¯ nghiệm xấp xỉ hàm ϕ X Khi ϕ(¯ x) ≤ ϕ(x) + ε, ∀x ∈ X, hay ta viết 0, x − x¯ ≤ ϕ(x) − ϕ(¯ x) + ε, ∀x ∈ X 30 Bất đẳng cuối có nghĩa ∈ ∂ε ϕ(¯ x) Ngược lại, giả sử ∈ ∂ε ϕ(¯ x), ta cần chứng minh x¯ nghiệm xấp xỉ ϕ Thật vậy, theo định nghĩa vi phân xấp xỉ, ta có ∈ ∂ε ϕ(¯ x) ⇒ 0, x − x¯ ≤ ϕ(x) − ϕ(¯ x) + ε, x ∈ X Từ bất đẳng thức cuối ta có ϕ(¯ x) ≤ ϕ(x) + ε, x ∈ X Chứng tỏ x¯ nghiệm xấp xỉ hàm lồi ϕ X Bằng cách sử dụng Định lý 3.5 quy tắc tổng cho vi phân xấp xỉ Mục 3.1 (Định lý 3.1), ta thu kết sau cho tốn tối ưu lồi có ràng buộc ϕ(x) → inf, (3.10) x ∈ C, C tập lồi khác rỗng X Định lý 3.6 Cho x ¯ ∈ X Nếu điều kiện sau thỏa mãn (a) int C ∩ dom ϕ = ∅, (b) ϕ liên tục điểm thuộc miền tập C Khi x ¯ nghiệm xấp xỉ toán (3.10) 0∈ ε1 ≥0, ε2 ≥0, ε1 +ε2 =ε {∂ε1 ϕ(¯ x) + Nε2 (¯ x; C)} Chứng minh Xét hàm Φ(x) = ϕ(x) + δC (x), δC (·) hàm tập lồi C Khi ta thấy, x ¯ nghiệm xấp xỉ toán (3.10) x ¯ nghiệm xấp xỉ hàm Φ(·) Khi theo Định lý 31 3.5, x ¯ nghiệm xấp xỉ toán (3.10) ∈ ∂ε Φ(¯ x) = ∂ε ϕ + δC (·) (¯ x) (3.11) Vì C tập lồi nên δC (·) hàm lồi Hiển nhiên δC (·) liên tục điểm thuộc phần tập C Khi đó, điều kiện (a) thỏa mãn δC (·) liên tục điểm thuộc miền hữu hiệu hàm ϕ Xét trường hợp điều kiện (b) thỏa mãn Vì dom δC (·) = C ϕ liên tục điểm thuộc dom δC (·) Theo Định lý 3.1, từ (3.11) ta có ∈ ∂ε Φ(¯ x) = ∂ε ϕ + δC (.) (¯ x) = ε1 ≥0, ε2 ≥0, ε1 +ε2 =ε = ε1 ≥0, ε2 ≥0, ε1 +ε2 =ε {∂ε1 ϕ(¯ x) + ∂ε2 δC (¯ x)} {∂ε1 ϕ(¯ x) + Nε2 (¯ x; C)} Định lý 3.7 Cho X không gian Banach, C tập đóng ϕ : X → R hàm lồi, đóng, thường Xét x ¯ ∈ X cho R+ (dom ϕ − C) không gian đóng khác rỗng X, điều kiện ∈ int (dom ϕ − C) thỏa mãn Khi đó, x ¯ nghiệm xấp xỉ toán (3.10) 0∈ ε1 ≥0, ε2 ≥0, ε1 +ε2 =ε {∂ε1 ϕ(¯ x) + Nε2 (¯ x; C)} 32 Chứng minh Chứng minh tương tự Định lý 3.6 Chú ý rằng, dom δC = C C tập lồi, đóng nên hàm δC hàm lồi, đóng 33 Kết luận Luận văn trình bày nội dung sau: - Hai phiên khác Định lý Moreau - Rockafellar dùng để tính tổng vi phân hàm lồi, thường - Áp dụng quy tắc tổng tính vi phân vào nghiên cứu điều kiện cần đủ cực trị cho toán tối ưu lồi có ràng buộc tập - Quy tắc tổng tính vi phân xấp xỉ tổng hai hàm lồi, thường - Áp dụng quy tắc tổng tính vi phân xấp xỉ vào nghiên cứu điều kiện cần đủ cực trị cho toán tối ưu lồi tổng quát toán tối ưu lồi với ràng buộc tập 34 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải, Giải tích lồi, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội (2000) Tiếng Anh [2] D.T.V An and J.-C Yao, Further results on differential stability of convex optimization problems, Journal of Optimization Theory and Applications 170, 28–42 (2016) [3] D.T.V An and J.-C Yao, Differential stability of convex optimization problems with empty solution sets, Journal of Optimization Theory and Applications 181, 126–143 (2019) [4] A Brøndsted and R.T Rockafellar, On the subdifferentiability of convex functions, Proceedings of the American Mathematical Society 16(4), 605–605 (1965) [5] R.T Rockafellar, Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton (1970) [6] A.D Ioffe and V.M Tihomirov, Theory of Extremal Problems, North-Holland Publishing Company, Amsterdam-New York (1979) 35 ... dùng để tính tổng vi phân hàm lồi, thường - Áp dụng quy tắc tổng tính vi phân vào nghiên cứu điều kiện cần đủ cực trị cho tốn tối ưu lồi có ràng buộc tập - Quy tắc tổng tính vi phân xấp xỉ tổng. .. ưu lồi có ràng buộc tập Các kết chương tổng hợp từ tài liệu [1], [2] [6] Chương 3: Quy tắc tổng tính vi phân xấp xỉ hàm lồi trình bày quy tắc tổng để tính tốn vi phân xấp xỉ hai hàm lồi, thường... lồi, đóng nên hàm δC hàm lồi, đóng 23 Chương Quy tắc tổng tính vi phân xấp xỉ hàm lồi Trong chương chúng tơi trình bày quy tắc để tính tốn vi phân xấp xỉ tổng hai hàm lồi, thường Phần cuối chương