BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN BÁ TRUNG Sự KẾT HỢp PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN VÀ NEWTON-KANTOROVICH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CAP MỘT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học PGS. TS. Khuất Văn Ninh HÀ NỘI, 2014 LỜI CẢM ƠN Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS. TS Khuất Văn Ninh, người thầy truyền thụ kiến thức hướng dẫn tận tình tác giả hoàn thành luận văn này. Tấm gương nghiên cứu khoa học nghiêm túc bảo ân cần thầy Khuất Văn Ninh suốt trình tác giả viết luận văn giúp cho tác giả có ý thức trách nhiệm tâm cao hoàn thành luận văn mình. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy cô giáo dậy cao học chuyên ngành Toán giải tích, Ban giám hiệu, phòng Sau đại học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội truyền thụ kiến thức, đóng góp ý kiến giúp đỡ tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn này. Đồng thời tác giả chân thành cảm ơn Sở GD-ĐT Hà Nội, Ban giám hiệu, Tổ Tự nhiên Trường THPT Xuân Giang tạo điều kiện thuận lợi để tác giả an tâm học tập hoàn thành tốt luận văn.Và qua cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè động viên giúp đỡ để tác giả hoàn thành luận văn này. Hà Nội, tháng năm 20lị Tác giả Nguyễn Bá Trung LỜI CAM ĐOAN Mở đ ầ u . . . Chương 1. Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn PGS. TS Khuất Văn Ninh. Trong nghiên cứu luận văn, kế thừa thành khoa học nhà 1.1. khoa học với trân trọng biết ơn. Một số kết đạt luận văn chưa công bố công trình khoa học khác. Hà Nội, tháng 07 năm 2014 Tác giả Nguyễn Bá Trung Mục lục 12 12 12 13 MỘT số KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Phương trình, hệ phương trình vi phân 5 1.1.1. Một số khái niệm 1.1.2. Một số phương trình, hệ phương trình vi phân biết cách giải 1.1.3. Bài toán Cauchy phương trình vi phân 1.1.4. Đưa phương trình vi phân cấp n hệ n phương trình vi phân cấp . 1.2. Sai phân 11 1.2.1. Định nghĩa sai phân 1.2.2. Tính chất sai phân 1.3. Đạo hàm Fréchet 1.4. Phương pháp Newton-Raphson, phương pháp Newton-Kantorovich 16 PHƯƠNG PHÁP NEWTON-RAPHSON 1.4.1. PHƯƠNG PHÁP NEWTON-KANTORO'V 1.4.2. IC H Chương 2. MỘT số PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 2.1. 23 Phương pháp sai phân giải toán Cauchy hệ phương trình vi phân cấp 23 2.2. Phương pháp Newton-Kantorovich giải toán Cauchy hệ phương trình vi phân cấp 25 42 3.3 . Giải hệ phương trình vi phân cấp kết hợp hai phương pháp 61 Kết luận 65 Tài liệu tham khảo 66 MỞ ĐẦU 1. Lí chọn đề tài Bài toán giải hệ phương trình vi phân nhiều nhà toán học quan tâm, có nhiều phương pháp giải đưa ra, chẳng hạn, phương pháp giải tích phương pháp giải xấp xỉ liên tiếp; phương pháp số phương pháp Euler, phương pháp Runge-Kutta, Mặt khác, phương pháp Newton-Kantorovich phương pháp giải tích cho ta tốc độ hội tụ cao. Vì luận văn này, với mong muốn tìm hiểu thêm ứng dụng phương pháp Newton-Kantorovich việc giải hệ phương trình vi phân cấp một, nên chọn đề tài Sự kết hợp phương pháp sai phân Newton-Kantorovich giải hệ phương trình vi phân cấp làm luận văn cao học mình. 2. Mục đích Đề tài nhằm nghiên cứu số phương pháp giải hệ phương trình vi phân cấp một, phương pháp sai phân (phương pháp Euler), phương pháp NewtonKantorovich giải hệ phương trình vi phân cấp một. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu cách giải hệ phương trình vi phân dựa hai phương pháp sai phân (phương pháp Euler) phương pháp Newton-Kantorovich. 4. Đối tượng nghiên cứu Luận văn tập trung chủ yếu vào nghiên cứu phương pháp sai phân, phương pháp Newton-Kantorovich kết hợp hai phương pháp để giải hệ phương trình vi phân cấp một. 5. Phương pháp nghiên cứu Sưu tầm, nghiên cứu tài liệu liên quan. Áp dụng số phương pháp Giải tích cổ điển, Giải tích hàm, Giải tích số, Phương trình vi phân. 6. Đóng góp luận văn Hệ thống hóa vấn đề nghiên cứu. Áp dụng giải số hệ phương trình vi phân cụ thể phương pháp sai phân, phương pháp Newton- Kantorovich kết hợp hai phương pháp đó. Chương MỘT số KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Phương trình, hệ phương trình vi phân 1.1.1. Một số khái niệm a. Phương trình vi phân Phương trình vi phân phương trình liên hệ biến độc lập, hàm phải tìm đạo hàm hay vi phân hàm phải tìm. Phương trình vi phân cấp N hệ thức có dạng: (1.1) Trong X biến độc lập, Y hàm số cần tìm, Y ' : Y " , Y đạo hàm hàm số Y = Y ( X ) . Ta gọi cấp phương trình vi phân cấp cao đạo hàm có mặt phương trình. Nghiệm phương trình vi phân hàm số thay vào phương trình ta đồng thức, b. H ệ p h n g t r ì n h v i p h â n Hệ phương trình vi phân hệ có dạng (1.2) X biến độc lập Y I , Y2, ■ , Y N hàm số phải tìm. Y = Giải hệ (1.2) tìm hàm số: 1.1.2. Một số phương trình vi 2/1 cho thỏa mãn (1.2) = Vi {x), .,y n = y n (x) phương trình, hệ phân biết cách giải a. Phương trình tách biến dy fx = h M■ (1.3) h (V) dy Jlầ = Iỉl{x)dx+c' Ỉ (Y ) c số tùy ý. Phương trình = /(|Wo. Đặt U — — ta có (1.4 ) X y dy’ dx \x du - tí ^ =ỉ { u ) - “• Giả sử / (lí) Ỷ ị du du J f(u)-u J với c số tùy ý. U [ dx — + c, X ta có (1.4) tương đương với Giả sử F ( U ) = U ta có (1.4) (c số tùy ý), b. Phương trình tuyến tính cấp Ỳ~ + p( x )y = Q ( x ) Q ( X ) 7^ (1.5 ) (1.5) gọi phương trình tuyến tính không cấp một. Q(X) = (1.5) gọi phương trình tuyến tính cấp một. Công thức nghiệm tổng quát c. Phương trình Bernoulli Dạng tổng quát ^ + pí.rịy = q{x)ý'. (1.6) Nếu A = (L6) phương trình tuyến tính. • Nếu A = (1.6) phương trình tuyến tính nhất. Nếu a / a / (1.6) chia hai vế cho Y a, đặt phương trình (1.6) trở thành phương trình tuyến tính mà biết cách giải. d. Phương trình vi phân toàn phần Dạng tổng quát p(x, y)dx + q(x, y)dy = ũ. e. Phương trình Clero Dạng tổng quát (1.7) 1.4 1.544899211 1.689540569 1.833831100 1.977663628 2.120913309 2.263434160 2.405055586 2.545578913 2.684773921 2.822375365 2.958079508 3.091540659 3.222367691 3.350120576 3.474306919 3.594378479 3.709727706 3.819684268 3.923511579 4.020403333 Ax 0.1 0.1048354147 0.110423719 0.116913837 0.124493447 0.133394362 0.143897938 0.156340450 0.171118483 0.188694327 0.209601361 0.234449448 0.263930321 0.298822976 0.339999056 0.388428250 0.445183674 0.511447261 0.588515160 0.677803117 0.780851867 Ay 0.100000000 0.105100789 0.110459431 0.116168900 0.122336372 0.129086691 0.136565840 0.144944414 0.154421087 0.165226079 0.177624635 0.191920492 0.208459341 0.227632309 0.249879424 0.275693081 0.305621521 0.340272294 0.380315732 0.426488421 0.479596667 [> w i t h ( p l o t s ) : [> with(plottools) : [> plot{[2*t+l, (191/100)*t+.9—(127/1000)*t2 — (4009/30000)*í3 (22379/120000) * í4 -(2155903/15000000) * t%t = 1/2, color [red, blue])', \fÕ2t đữs\gkiềm ckỉntt stãe, ntẩu xajtAs .VjAỉf'jn xấp xí Hình 3.5: Đồ thị nghiệm ÍC(Í). [> plot([3 * t + 3/2, (29/10) * t + 1.4 - (7/200) * í2 - (311/3000) * t3 (5807/120000) * í4 -(55523/600000) * í®], í = 1/2,color = [red, blue]); .Vầu đo .' Xgitiẽm Jf x âỉ, mdu xenk! Ag/iũĩm xáp xi Hình 3.6: Đồ thị nghiệm y (í). 3.3. Giải hệ phương trình vi phân cấp kết hỢp hai phương pháp Ví dụ 3.6. K ế t h ợ p p h n g p h ấ p N e w t o n - K a n t o r o v i c h v phương phấp sai phân giải hệ phương trình DX ọ/ \1 , , s —= -x ( t ) - - e yw( t )Y Y -J < DT 6 dy . . . . it= r{i)- 2y{t) + ị v i đ i ề u k i ệ n b a n đ ầ u x(0) = 0,y(0) = 0. Giải [> r e s t a r t ; [> X ( T ) := E X P ( T ) + 1.01; Y ( T ) := l/(2)exp(t) — 1.99; xO := T — > exp(í) + 1.01 yO := t —> (1/2) * exp(í) — 1.99 [> / :=' /'; g : = ' g ' \ t :=' t ' \ X :=' X - y :=' y ' ] h :=' t i : [> /1 := D I F F ( X O ( T ) , T ) — (l/6)*a;*(02)(í) + (l/3)*exp(í)*y0(í) + l/6; /1 := E X P ( T ) + 1/6 + (1/3) * exp(t) * ((1/2) * exp(t) — 1.99) [> G L : = DIFF(YO(T),T) + (1/2) * X O ( T ) - * 2/0(í) - 9/2; 0l := -0.15000000 [> DSOLVE({DIF F(ZL(T),T) (1/3) * EXP(T) EXP(T) * Z ( T ) 4- — 1.99), = (1/3 * (E X P ( T ) + 1.1)) * EXP(T) + 1/6 4- (1/3) * DIFF{Z2{T),T) EXP(T) ZL(T) — * ((1/2) * = -(1/2) * zl(í) + * *2(í) - 0.150000000e - 1,2 :1 (0 ) = 0, :2 (0 ) = 0}, (^l(í), :2 (í)}, type = S E R I E S ); {*l(i) = (67/100) * í + (143/250) * T + (35737/90000) * T +(894859/3600000) * T + (25932563/180000000) * T + 0(í6), Z2{T) = — (3/200) *í—(73/400)*í2 — (217/1000)*í3 — (113857/720000)* í4 - (1057333/12000000) * í5 + ( T ) } [> / := (ж, /, í) —)■ ((1/3) * E X P ( T ) + (1/3) * 1.1) * æ — (1/3) * exp (í) * y + E X P ( T ) + 1/6 + (1/3) * E X P ( T ) * ((1/2) * E X P ( T ) — 1.99); / := (æ, Y , EXP(T) 1.99) T) *y+ — > ((1/3) * EXP(T) EXP(T) + .3666666667) * Æ — (1/3) * + 1/6 + (1/3) * EXP(T) * ((1/2) * EXP(T) — [> G := (ж, Y , T ) — > —(1/2) * ж + * у — 0.150000000; ổ := (ж, у, í) —>■ —(1/2) * ж + * у — 0.150000000 [> H := 0.05; H [> í := П — > П := 0.05 * /ì; t : = п —»■ 71 * h [> а; := P R O C ( N ) O P T I O N R E M E M B E R ' , Х(П — 1) + H * F { X ( N — 1), /(гг — 1), T ( N — l))end; x := proc ( n ) option r e m e m b e r ' , x ( n — 1) + h * f { x ( n — 1), y ( n — ),£(n — l))end proc [> z(0) := : [> y := proc (n) option r e m e m b e r \ y { n — l ) + h * g ( x ( n — l ) , y ( n — 1), t ( n — 1)); end; y := proc (n) option remember', y{n — 1) + h * g(x(n — 1), y(n — l),i(n — 1)) end proc [> y(0) := : [> X ;=' X ' \ Y :=' Y ' \ T : = ' T : [> X ( T ) := exp(T) + 1; X := T exp(T) + [> y(T) := (l)/(2)(e)(T) - 2; Y :=T ->• (1/2) *exp(T) - [> arraj/([seg([i(*), #(*), e v a l f ( s u b s ( t = t ( i ) , X (t ) ) ) , y ( i ) , e v a l f ( s u b s (t = t(i),Y(t))),abs(x(i) — evalf(subs(t = t(i),X(t)))),abs(y(i) — evalf(subs (t = t(i),y(t))))],i = 20)]); t 0.0 x(t) x(t) y(t) Y (t) Ax Ay 2.0 -1.500000000 2.0 2.051271096 -0.000750000000 -1.474364452 2.017771096 2.105170918 -0.002412500000 -1.447414541 2.035217163 1.500000000 0.05 0.03350000002 1.473614452 0.10 0.06995375506 1.445002041 0.15 0.1096845920 2.161834243 -0.005152593876 -1.419082878 2.052149651 2.221402758 -0.009159968064 -1.389298621 2.068343886 2.284025417 -0.01465243668 -1.357987292 2.083532738 2.349858808 -0.02187999734 -1.325070596 2.097399128 2.419067549 -0.03112948908 -1.290466226 2.109567164 2.491824698 -0.04272994762 -1.254087651 2.119591616 2.568312185 -0.05705876942 -1.215843908 2.126945405 2.648721271 -0.07454881586 -1.175639364 2.131004704 2.733253018 -0.09569661160 -1.133373491 2.131031149 1.413930284 0.20 0.1530588723 1.380138653 0.25 0.2004926795 1.343334855 0.30 0.2524596804 1.303190599 0.35 0.3095003850 1.259336737 0.40 0.3722330818 1.211357703 0.45 0.4413667801 1.158785139 0.50 0.5177165665 1.101090548 0.55 0.6022218691 1.037676879 0.60 0.6959682346 2.822118800 -0.1210718195 -1.088940600 2.126150565 2.915540829 -0.1513282073 -1.042229586 2.115327469 3.013752707 -0.1872163620 -0.993123646 2.097334413 3.117000017 -0.2295984555 -0.941499992 2.070715096 3.225540928 -0.2794654241 -0.887229536 2.033739789 3.339646852 -0.3379569950 -0.830176574 1.984351417 3.459603111 -0.4063850804 -0.770198444 1.920100097 3.585709659 -0.4862611638 -0.707145170 1.838063502 3.718281828 -0.5793284341 -0.640859086 1.734749663 0.9678687805 0.65 0.8002133604 0.8909013787 0.70 0.9164182936 0.8059072840 0.75 1.046284921 0.7119015365 0.80 1.191801139 0.6077641119 0.85 1.355295435 0.4922195790 0.90 1.539503014 0.3638133636 0.95 1.747646157 0.2208840062 1.1 1.983532165 0.0615306519 Kết luận Luận văn giải số vấn đề sau đây: • Trình bày sở phương pháp Newton-Kantorovich; • Áp dụng phương pháp sai phân giải hệ phương trình vi phân cấp một; • ứng dụng phương pháp Newton-Kantorovich giải hệ phương trình vi phân cấp một; • Trình bày kết hợp hai phương pháp sai phân phương pháp NewtonKantorovich giải hệ phương trình vi phân cấp một; • Áp dụng giải số hệ phương trình vi phân cấp cụ thể giải số máy tính phần mềm Maple 17. Trong trình thực nghiên cứu luận văn, tận tình bảo thầy hướng dẫn, giúp đỡ nhiệt tình bạn bè, đồng nghiệp lực thân hạn chế, luận văn khó tránh khởi thiết sót, tác giả mong nhận góp ý để xây dựng luận văn hoàn thiện hơn. Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu Tiếng Việt 12 [1] Phạm Kỳ Anh (2005), G I Ả I TÍCH SỐ , NXB Đại học Quốc gia Hà Nội. [2] Nguyễn Minh Chương, Ya.D.Mamedov, Khuất Văn Ninh (1992), G I Ả I XỈ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ, NXB Khoa học kỹ thuật Hà Nội. [3] Phạm Huy Điển (chính biên) (2002), T Í N H DẠY TOÁN HỌC TRÊN TOÁN, LẬP TRÌNH VÀ GIẢNG M A P L E , NXB Khoa học kỹ thuật Hà Nội. [4] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu (2007), P H Ư Ơ N G THUYẾT ỔN ĐỊNH, TRÌNH VI PHẪN VÀ LÝ NXB Đại học Quốc gia Hà Nội. [5] Lê Đình Thịnh (chủ biên) (2001), P H Ư Ơ N G ỨNG DỤNG, XẤP TRÌNH SAI PHÂN VÀ MỘT SỐ NXB Giáo dục. [6] Hoàng Tụy (2005), H À M THỰC VÀ GIẢI TÍCH HÀM, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội. [B] Tài liệu Tiếng Anh [7] Kung Ching Chang (2005), M E T H O D S Verlag-Berlin Heidelberg. 13 IN N O N L I N E A R A N A L Y S I S , Springer- [...]... . Fréchet Phương pháp Newton- Raphson, phương pháp Newton- Kantorovich PHƯƠNG PHÁP NEWTON- RAPHSON PHƯƠNG PHÁP NEWTON- KANTORO'V IC H MỘT số PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT Phương pháp. nghiên cứu một số phương pháp giải hệ phương trình vi phân cấp một, đó là phương pháp sai phân (phương pháp Euler), phương pháp Newton- Kantorovich giải hệ phương trình vi phân cấp một. 3. Nhiệm. Newton- Kantorovich trong vi c giải hệ phương trình vi phân cấp một, nên tôi chọn đề tài Sự kết hợp phương pháp sai phân và Newton- Kantorovich giải hệ phương trình vi phân cấp một làm luận văn cao học của mình. 2.