B GIO DC V O TO TRNG I HC s PHM H NI NGUYN TH HUYN BI TON IU KHIN CHO MT LP PHNG TRèNH VI PHN PHI TUYEN CP HAI LUN VN THC S TON HC Chuyờn ngnh: Toỏn Gii Tớch Mó s : 60 46 01 02 Ngi hng dn khoa hc TS. Trn ỡnh K H Ni, 2014 Li cm n Lun c hon thnh ti trng i hc S phm H Ni di s hng dn ca TS. Trn ỡnh K. Tụi xin by t lũng bit n sõu sc ti TS. Trn ỡnh K, ngi ó nh hng chn ti v tn tỡnh hng dn tụi cú th hon thnh lun ny. Tụi cng xin by t lũng bit n chõn thnh ti phũng sau i hc, cỏc GS, TS dy cao hc chuyờn ngnh Toỏn gii tớch, trng i hc S phm H Ni 2, cựng cỏc bn hc viờn lp cao hc K16 ó giỳp tụi sut quỏ trỡnh hc v thc hin lun vn. Nhõn dp ny tụi cng xin c gi li cm n chõn thnh ti Ban Giỏm hiu trng Cao ng ngh C khớ Nụng Nghip - Bỡnh Xuyờn - Vnh Phỳc ó to mi iu kin thun li cho tụi thi gian hc cao hc. Qua õy tụi cng by t lũng bit n ti gia ỡnh, bn bố ng nghip ó luụn ng viờn, c v, to mi iu kin thun li cho tụi sut quỏ trỡnh hc v hon thnh lun vn. H Ni, thỏng 06 nm 201 Tỏc gi Nguyn Th Huyn Li cam oan Tụi xin cam oan, di s hng dn ca TS. Trn ỡnh K, lun Thc s chuyờn ngnh Toỏn gii tớch vi ti Bi toỏn iu khin cho mt lp phng trỡnh vi phõn phi tuyn cp hai c hon thnh bi nhn thc ca riờng tụi. Trong quỏ trỡnh nghiờn cu thc hin lun vn, tụi ó k tha nhng thnh tu ca cỏc nh khoa hc vi s trõn trng v bit n. H Ni, thỏng 06 nm 201 Tỏc gi Nguyn Th Huyn Mc lc Kin thc chun b o khụng compact v ỏnh x a tr 1. H hm Cụ-sin v tớnh iu khin c ca phng trỡnh cp M u . hai tuyn tớnh Tớnh iu khin c ca h phi tuyn Chng 1.Chng 2. 1.1. Thit 2.1.lp cỏc gi thit Chng 2. minh tớnh iu khin c ng dng Chng 3. Kt lun Ti liu tham kho 6 6 M u 1. Lớ chn ti Xột bi toỏn iu khin x"(t) Ax(t) Bu(t) F(ớ, x(t),u(t)), t Ê J := [0, T], (0.0.1) x(0) + g(x) = x , a/(0) + h(x ) = a?!, (0.0.2) ú hm trng thỏi X ly giỏ tr khụng gian Hilbert X, hm iu khin u L (J;V), vi V l mt khụng gian Hilbert. Toỏn t tuyn tớnh A l phn t sinh ca mt h hm Cụ-sin {(ớ)}R, toỏn t iu khin B : V > X l tuyn tớnh, b chn v hm phi tuyn F:JxXxVoXỡ mt ỏnh x a tr. Cỏc hm g, h : C{J]X ) > X v giỏ tr ban u (x0,xi) G X c cho trc. H iu khin tuyn tớnh tng ng vi h (0.0.1 )-(0.0.2) l: x"(t ) = Ax(t ) + Bu(t), t e J, (0.0.3) x(0) = x , a/(0) = X . (0.0.4) Nghim tớch phõn X C{J\X ) ca (0.0.3)-(0.0.4) ng vi iu khin u c cho bi x(t) = C(t)x0 + S(t)xi + S(t s)Bu(s)ds, J vi {^(^ớeR l h hm Sin ng vi h Cụ-sin {(ớ)}R. i vi h phi tuyn (0.0.1 )-(0.0.2), hm X G C{J\X ) c gi l nghim tớch phõn ng vi iu khin u nu tn ti mt hm / e L l \X) cho f(t ) G F(t,x(t),u(t)) vi hu khp t E J v x(t) = C(t)[x0 g(x)] + S(t)[x h(x)] + S(t s)[Bu(s) + f(s)]ds. J0 Nhng c bn liờn quan n cỏc phng trỡnh vi phõn cp hai v h hm Cụ-sin cú th tỡm thy 14. Vic nghiờn cu tớnh gii c ca phng trỡnh cp hai vi iu kin khụng cc b ó c tin hnh bi nhiu tỏc gi, ú cú cỏc kt qu tiờu biu trỡnh by p, m H C|. t w(x0, X i , u)(t) = C(t)x0 + S(t)xi + S(t s)Bu(s)ds, J0 v ký hiu Ti(x ,xi,u ) l nghim ca h (0.0.1 )-(0.0.2) ng vi iu khin u v d kin ban u (X ,XI ). Chỳ ý rng cú mt s khỏi nim khỏc v tớnh iu khin c cho h phng trỡnh vi phõn cp hai (xem [3]). õy, ta quan tõm n khỏi nim iu khin c dc theo qu o: h tuyn tớnh (0.0.3)-(0.0.4) c gi l iu khin c chớnh xỏc nu vi (x xi) Ê X 2, ta cú WT = X, ú WT := {W(x,xuu)(T) : u -,v)}. Tng t, ta núi rng h (0.0.1 )-(0.0.2) l iu khin c chớnh xỏc nu vi (a^o,ớCi) X , ta cú Yi T = X, ú := {y{T) : y e ^{x0,xi,u),u e L2(J;V)}. Trong p, ID, kt qu v tớnh iu khin c cho phng trỡnh vi tớch phõn bc hai phi tuyn ó c thit lp vi iu kin hm phi tuyn tha iu kin Lipschitz. Bi toỏn iu khin i vi bao hm thc vi phõn hm dng trung tớnh ó c nghiờn cu |23 Cú th tỡm thy cỏc kt qu iu khin cho phng trỡnh vi phõn cha xung hoc bao hm thc vi phõn trung tớnh cha xung cỏc cụng trỡnh p, [241 [26]. i vi bi toỏn iu khin cú iu kin ban u phi a phng, mt s kt qu gn õy c thit lp cỏc cụng trỡnh mmmTrong cỏc cụng trỡnh k trờn, cỏc tỏc gi ó s dng mt gi thit quan trng, ú l toỏn t B T U S(T - s)Bu{s)di cú nghch o b chn B T l : X ằ L2(J; y)/ker BT- Gi thit ny ũi hi BT phi l ton ỏnh v ú WT = X. Ta bit rng i vi h (0.0.3)-(0.0.4), ớch W T khụng th trựng vi X nu, S (-) l toỏn t compact v X l khụng gian vụ hn chiu (xem [281 [20]). Trong trng hp ny, W T l khụng gian thc s ca X. Do vy gi thit B T l ton ỏnh khụng thc t, c vi lp phng trỡnh súng c in (xem vớ d chng cui). Do hn ch núi trờn, khỏi nim iu khin c chớnh xỏc n khụng gian t hu dng. Ta mụ t khỏi nim ny nh sau. Gi s x l mt khụng gian úng ca I v s0 cl X I. H tuyn tớnh c gi l iu khin c chớnh xỏc t E n x (hay (Ê0, -Xo)-iu khin c) nu vi mi (a:0,a:i) E ,x T x , tn ti u L (J; V ) cho W(x ,X,u)(T) = X T Gi s rng {C(T)x0 + S(T)xi : {XQ,XI) G Ê0} c XQ. Khi ú iu kin R[B T ] = x tng ng vi (E , x0)-iu khin c cho h (0.0.3)-(0.0.4), ú R[B T ] l nh ca B T . Mc tiờu ca lun l i tỡm cỏc iu kin cho hm phi tuyn F v cỏc hm g, h cho h phi tuyn (0.0.1 )-(0.0.2) l (i^o,x0)-iu khin c h tuyn tớnh tng ng (0.0.3 )-(0.0.4) cú tớnh cht ny, So sỏnh vi cỏc kt qu ó cú, h iu khin ang xột cho phộp cú nhiu iu khin, tc l, hm phi tuyn khụng ch ph thuc hm trng thỏi X m cũn ph thuc u. Ngoi ra, ta khụng gi thit hm F,g,h tha iu kin Lipschitz. Thay vo ú, ta yờu cu mt iu kin yu hn, iu kin ny c din t qua o khụng compact (MNC) (xem Chỳ ý 2.1.1 v 2.1.2 cú so sỏnh chi tit). chng minh kt qu iu khin c, ta ỏp dng lý thuyt im bt ng cho ỏnh x a tr nộn (xem [19|). C th, ta s xõy dng cỏc o khụng compact phự hp v s dng cỏc c lng theo o chng minh tớnh nộn ca toỏn t nghim, t ú ỏp dng nh lý im bt ng thớch hp. Cỏch tip cn ca lun l phng phỏp ph dng dựng nghiờn cu cỏc bao hm thc vi phõn (xem [dừi v cỏc cụng trỡnh p, [T2, 2T, 122]). Trong Chng 1, chỳng tụi gii thiu mt s kin thc c bn liờn quan n o khụng compact, gii tớch a tr v cỏc kt qu iu khin i vi phng trỡnh cp hai tuyn tớnh. Chng trỡnh by kt qu chớnh: tớnh iu khin c (nh lý 2.2.2) cho h phi tuyn (0.0.1) (0.0.2). Chng cui trỡnh by mt ng dng cho bi toỏn iu khin i vi phng trỡnh truyn súng phi tuyn. 2. Mc ớch nghiờn cu Nghiờn cu bi toỏn iu khin phi tuyn vụ hn chiu thụng qua mt lp bi toỏn iu khin phi tuyn cp hai khụng gian Hilbert. Chng minh chi tit cỏc kt qu bi bỏo [20]. 3. Nhim v nghiờn cu 1. Tỡm hiu lý thuyt phng trỡnh vi phõn cp hai tuyn tớnh tng quỏt; 2. Tỡm hiu bi toỏn iu khin i vi phng trỡnh cp hai tuyn tớnh; 3. Tỡm hiu lý thuyt im bt ng ca ỏnh x a tr nộn; 4. Chng minh tớnh iu khin c cc b ca mt lp bi toỏn vi phng trỡnh cp hai phi tuyn. 4. i tng v phm vi nghiờn cu i tng nghiờn cu l bi toỏn iu khin liờn quan n phng trỡnh vi phõn cp hai. Phm vi nghiờn cu: tớnh iu khin c cc b. 5. Phng phỏp nghiờn cu Lun s dng mt s phng phỏp v cụng c ca gii tớch bao gm: Lý thuyt h hm Cụ-sin; o khụng compact v lý thuyt im bt ng ca ỏnh x a tr nộn; Lý thuyt iu khin cỏc h vi phõn tuyn tớnh. 6. úng gúp mi ca lun Chng minh chi tit cỏc kt qu bi bỏo pn Chng Kin thc chun b 1.1. o khụng compact v ỏnh x a tr Gi s s l mt khụng gian Banach. Ký hiu C (Ê) = { 'PE) : A l úng}, K{S) = {G ?>{Ê) : A l compact}, Kv {Ê) = { K{Ê) A l li}. Ta cú nh ngha sau õy. nh ngha 1.1.1. Gi s (A, >) l sp th t b phn. Mt hm 13 : V{Ê) > A c gi l o khụng compact (MNC) trờn Ê nu ( c ớ) = /3(f) v i m i G v(Ê)i úcừn l bao li úng ca ớ. Mt MNC /3 c gi l i) n iu, nu ^0,^1 v(Ê), ớo c kộo theo /3(fo) < /3(^i); ) khụng k d, nu /3({a } u ) = /?(ớỡ) vi mi a G Ê, f G V(Ê); Ui) bt bin i vi nhiu compact, nu /3(K u ri) = 3() vi mi compact tng i K c Ê v $} Ê V(Ê); Nu A l mt nún khụng gian nh chun, ta núi 13 l iv) na cng tớnh i s, nu /3(ớ0 + ^1) < òfọo) + òis^i) vi mi f2o; ^1 v(Ê); V) chớnh quy, nu ò(ỹ) = tng ng vi l compact tng i. Vớ d quan trng v MNC l o khụng compact Hausdorff, tha tt c cỏc tớnh cht nh ngha núi trờn: x(f) inf{e : ớỡ cú mt e-li hu hn}. Da trờn o Hausdorff X trờn Ê , ta cú o t h e o d y Xo nh sau: Xo(fỡ) = sup{ x { D ) : D e A(fỡ)}, (1-1.1) vi A(fỡ) l cỏc khụng quỏ m c ca ri (xem []). Ta bit rng x{tỡ) < Xo(fỡ) < x(fỡ), (1-1-2) vi mi b chn c Ê. Tớnh cht sau l hin nhiờn: Mnh 1.1.1. Gi s X l o Hausdorff trờn Ê v ri c Ê l mt b chn. Khi ú vi mi e > 0; tn ti mt dy {xn} c f cho x(ft) < 2x({zn}) + 6. Nhc li rng X v V l cỏc khụng gian Hilbert cha qu o cỏc hm trng thỏi v hm iu khin tng ng. Ký hiu Xx v Xv l cỏc o Hausdorff tng ng trờn cỏc khụng gian ny. t J = [0, T], Xcx v Xcv l cỏc o Hausdorff tng ng trờn cỏc khụng gian C(J;X ) v C(J]V). Ta cú cỏc kt qu sau (xem JH, [E]): vi mi b chn D c C{J]X), x(D(t)) < Xcx{), vi mi te J, õy D) := {x{t) : X e D}. Bõy gi ta thc hin c lng cho X C X { K i F ( A ) ) . Ta cú th vit Xcx (TTIHA)) = Xcx ((D) + C[BTr2F(A) + sj.(.4)]) < Xcx(Q{D)) + Xcx(CB^T(A)) + Xcx(CS{A)). (2.2.36) Tng t nh (2.2.33), ta cú Xcx(G{D)) < {mg + mh)xcx(D). (2.2.37) Hn na, tớnh b chn ca Br J-() v Mnh l liờn tc ng bc. Do ú CB'K J-{) 2.2.1 Xcx (CB72J7(A)) = SMpxx^BiTi)). teJ cú c c lng cho s hng cui, ta thy Xx{B^F(A)(t)) < \\BXx,Xrxv(^H){t)) ^ IIB \ \ X x , X y x c v * i F ( A ) ) < \\B\\XxiXvM*(kXcx() + QoXcv (Ê))> (2.2.35). Theo Mnh 1.1 ta Xcx (CBi^A)) < iMT\\B\\Xx,XvM'(kXcx(D) + QoXcv (Ê)) (2.2.38) Do 5^,(.) l b chn tớch phõn, nờn CSp(A) l mt liờn tc ng bc v s hng cui (2.2.36) c c lng tng t nh (2.2.34): Xcx(ÊSlF(A)) = 8VLpxx(ÊS]r(A)(t)) tj < s u p x x ( S(t - s)f(s)ds : f e L1(J;X),/(s) G F(s, D(s),C{s)) tj ' < M ( x c x { D ) k(s)ds + Xcv{C) q{s)ds (2.2.39) T fl2.2.36D-(|2.2.39D ta c X C X ( T I ^ ( ) ) < ( m g + m + i M M ' k T \ \ B \ \ X X t X r + 4M0 J k ( s ) d s ^ x c x D ) + (iM 0MqIT\B\XxM'kT\\B\\XX:XV)xcx(D) + ( n, (2.2.41) vi (y n ,z n) G ( , ). Ly f n e s ( x n , u n ) cho Vn = {xn) + Ê{Bzn + /n), zn = B*S*(T- -xrr1^ - ụ(đ) - QÊ(/n)]. i vi z n , ta cú \\z n \\c < M* |zr||x + \\C{T) [ổ0 g(xn)] \\x) + M* (||S(T) [ X l - h ( x n ) ] IU + II j S ( T - s ) n ( s ) d s \ x ) M-(||xT|U + l| C(T)|| [||x||g(r) + MQCh^h(r) + MQ^(r + C ) ớ{s)ds. JQ Theo (2.2.43D v (2.2.44) ta cú Iknllc < C" + M*A|;r||(7, ||U||C), 11 < ; + M T\\B\\\\z n \\c + (||||, IK Ile). Do ú || + ll^nllc < Cq + ^1 + M0T||5^ \\z n \\c + ^||||, ||wnc^ < c* + (l + M T\\B\\^C* (2.2.45) "l + M*( + 0||||)](|, K l l c ) . (2.2.46) Thay vo (2.2.40 )-(2.2.4ip v s dng (2.2.46) ta cú (wic + IMc) < -(c0* + (1 + Mr||B||)C*) < + M*( n+ MT||B||)] -A(|MC, Ikllc). + Khi ú I + M.(I!M0T||B||) - SA(ll*-ll' II-ằđ) < lim ^ - ( N C g W g ( n ) + M0Ch^h(n) + M^{n) [ i(s)ds). n-> 00 n \ J ' õy l iu mõu thun vi gi thit ca nh lý. nh lý |2.2.2| c chng minh. Chng ng dng Xột h iu khin sau d2x(t,) d2x(t,) < = o + ,r n _ r n u t S ( ' ) + / ( i , ) , ớ ( i , ) ) , e [O,T],0 [0,tt], (3.0.1) x(t, 0) = x(t, 7r) = 0, (3.0.2) z(o,0) = x (9) - ^2 [ 9k{v)x{tk,v)dv, t k e [0,T],k = k= J (3.0.3) d = Xớ(0) - ^2 ớ hk(9, r])x(s, ])d]ds. (0,0) d (3.0.4) k=i J J õy hm iu khin u e Ê2(0, T; L2(0,7r)). Ly X = L2(0,7r). nh ngha toỏn t A : X > X bi Ay y" vi xỏc nh D(A) = H {Q,7)nHè{0,T). Ta bit rng A l phn t sinh ca h hm Cụ-sin liờn tc mnh {(ớ)}ớeR trờn X. C th ta cú ('C(t)y)(9) = õy {n{9) \J^smnQ : ^ J y{])smn]dr^j cosrisinn. n = 1,2, .} l c s trc chun ca L ( 0,7) v cỏc phn t ca h l cỏc hm riờng ng vi cỏc giỏ tr riờng {An = n : n = 1,2, .} ca A. Chun L2(0,7r) c xỏc nh Di: \\y\\ = 2~( y(e)sỡnn8dố) . Ngoi ra, h hm sin {.S^ớeR ng vi h hm Cụ-sin núi trờn c cho bi (S(t)y)(9) = ^ J y(]) sinnrdr]^ n=1 sinnớsinn. (3.0.5) đ Chỳ ý rng A l toỏn t xỏc nh dng v t liờn hp, ta cú th xỏc nh toỏn t (bc khụng nguyờn) (A) ,a e M nh sau: 00 ( - A y ( e ) = J 2k 71= = T ú /2/(77)sin 77,77^77^ sin 710. ( 00 9^4ô. P . II {-A)ay\\2 = ^2 ( j y{?i) sin nr]dr]j n=1 Mt khỏc 1 \\y\\ H^) = ( Av > v ) l > { , * ) = ( ( - A ý y, ( - A ) 2y ) L { ) = \ \ { - A ) 2y \ \ * . Khi ú ll^ll^avr) = Z ) ~ ( / yivỡsinnrỡdr n= J v, hn na, ta cú D ( { 4)2) = Hq( 0,7r). Ký hiu H~ l l khụng gian i ngu ca H(0,7). Khi ú ta d dng thy H~ l = v chun H~ x c cho bi \\y\\2H-i = n= y siỡnrỡdv) Chỳ ý rng S(t ) l compact. Tht vy, phộp nhỳng #0(0,71") c L2(0,7t) l compact, ta cn ch rng S(t)D l b chn HQ(0,7) D l b chn L2(0,7r). T (3.0.5) cú / vi y(v)smnd) 71=1 < sin nt l l y | l . ( , . ) . Vy e D. Vỡ vy, ta c S(t)D b chn HQ(0,7t). Gi s x = Hq(Q,t) v E H(0,7r) X L2(0,7r). Khi ú ta cú th kim tra tớnh (Eq, x )-iu khin c vi h tuyn tớnh d2x(t,Q) d2x(t,Q) _________________________ p QÊ2 ----- = QQ2 --------^ e [0? Ai x(t, 0) = x(t, 7r) = 0, z(O,0) = X Q (0), ^ X ( , ) = X (). Tht vy, ta cú \B*S*(T - M I ^ X ) = lls'(r - -)#llW> = l|S(T - 8)yfxda J0 n=i 00 / />7r \2 f T s nnr = 2~( / v i v ) i l d ỡ ) / ' ) 00 = (T- ốsin2nT) 2n n2 y^si sin2 n(T s)dớ sin biu din ca (S(ớ) (3.0.5). Do ú, nu T > , ta cú th tỡm mt s > cho \\B*S*(T s)y\\2L . X j > tIMI#-1Nh (3.0.5) ta cú S(t)y #(0,7) vi mi y G L ( 0,7r). Hn na, nu y G (0,7) thỡ C(t)y e #(0,7) . Do ú {C(t)x0 + S(t)x : (0,X) #,5(0,7) X L2(0,7)} #,5(0,7) v tớnh cht (SA)(1) c tha món. i vi / e L^o, T; L2(0,7r)), ta cú S ( T- ) f ( , - ) e H i ( , v ) vi hu khp s [0,T]. Vỡ vy /QT S(T s ) f ( s , )ds èq(0,7t) v iu kin (SA) (2) c thc hin. i vi h phi tuyn (3.0.1 )-(3.0.4), ta gi s rng (N1) Toỏn t phi tuyn / : [ , T ] x M - > R l liờn tc. Ngoi ra, tn ti mt hm i e L1(0,T) cho |/(ớ,Ê, 77)1 < /i(ớ)(|Ê| + I77I) vi mi (N2) Vi mi A: = , m , g E L ( 0,7r) v hk G Ê2([0,7r]2). D dng kim tra rng / tha (F1)-(F3) cú (N1). Do S(t ) l compact v X l tỏch c, ta cú th b iu kin (F4) nh ó cp Nhn xột |2.2.1 t m I>g 9(x)(0) = ^2 9k{v)x{tk:v)dv: k = l J h(x)(d) = ^2 / hk(9,r)x(s,r)drds, k=1J J ta thy rng g,h : ([0, T]; L2(0,7r)) > L (0,7r) l cỏc hm Lipschitz. Tht vy, m /*7T \g(x)(6) - g{y){d) < / \9 k{)\\x(tk,T}) - y(tk,r})\dr} k=1 J ^ llfe|U2(0,7r)||^(^, y { t k , ') 1|l2(0,7t) fc=l m < (Sllfc||Lằ(0,W))lk-y||cfc=l Do ú l|y(đ) - { y ) IIl2(0,7t) < m llfciu*(0,w)) lk - y||fc=l (3.0.6) Vi hm h , ta cú 1> Iô/J UCII \h(x)(9) - h(y){9)\ [...]... 0 vi mi f Ê Ll{J] X ) i vi hm phi tuyn F, ta gi s: (Fl) F : J X X X V ằ Kv(X) sao cho F(-,x(-),v(-)) o cmnh vi mi phn t (X, V) E C(J;X) X L2(J; V); (F2) Vi hu khp t Ê J, F(t, , ) : X X V Ơ Kv(x) lna liờn tc trờn; (F3) Tn ti M+ sao mt hm iờn tc khụng gim ty : M+ > cho \\F(t:V:0\\ = supdHl* : 2 e F(t, ], C)} < vi hu (F) (\\r)\\x + HCllv), khp t G J, (77, C) G X X V, y n G Tn ti cỏc hm k,q Ê Lx) sao cho. .. ng: 1 R[Q] RQx], 2 tn ti 7 > 0 sao cho /ẻùlụoVllv < lier^llvv, vi mi z* G z\ p dng b trờn vi V = x ,w = L 2 (J-,V), z = X, l phộp nhỳng x vo X v Q\ = B T, iu kin m bo tớnh iu khin c tng ng vi bt ng thc \\BT \\L'(J;V) > V\\z\\x;, 1 > 0, Z (1.2.1) vi mi z Ê Xq õy Bp : X > L2(J; V) l toỏn t liờn hp ca B T Bt ng thc cui suy ra rng ( B T B ^ Z , z)x > 7lkllx*j vi mi z G X Hn na, sa dng lý lun trong... rj\\v, (2.1.1) thỡ (F4) tha món Tht vy, do nh ngha ca o khụng compact Hausdorff, cho trc 6 > 0, ta cú th chn {yi,-.-,y m } X v {??!,)} V sao cho 171 p ớ l U B ( y i , X x { i ù ) + e), Q u B ( ] k , X v { Q ) + ộ ) i= 1 k= 1 Vi mi z Ê F(t : f, Q ), tn ti ( , ( ) e ớ ỡ x Q sao cho z Ê F(t, X , Ê) Ly v sao cho IIđ - Vi\ \x < Xx{tỡ) + e, - rjk\\v < Xv(Q ) + e, Ta c Ik - zk\\x < k(t)\\x - yix + (t)|Ê... tỡm Mi > 0 sao cho \\QQ{x)\\x < M , vi mi X G D (2.2.13 Ngoi ra, do (F3), ta cú ll 0 sao cho \\QÊ)\\x < M2, (2.2.14 vi mi ( x , ự ) G A Do ú thay (2.2.13) v (2.2.14) vo bt ng thc (2.2.12), ta c l liờn tc ng bc trong C(J; V) Ta s s dng cỏc kt qu sau B 2.2.1 (| B 5.1.1]) Cho F tha món... /ớ(7-nộn Phn cũn li ta ch ra s tn ti s R > 0 sao cho ^(BR) B r, õy BR = {(x, ) G C{ J; X) X c- V) : IMIc + \\u\\c < R} Gi s ngc li vi mi n N, tn ti (x n ,u n) Ê C(J;X ) X C(J;V) sao cho xnc + \\un\\c < n (2.2.40) hnc + \\zn\\c > n, (2.2.41) vi (y n ,z n) G ( , ) Ly f n e s ( x n , u n ) sao cho Vn = {xn) + Ê{Bzn + /n), zn = B*S*(T- -xrr1^ - ụ(đ) - QÊ(/n)] i vi z n , ta cú \\z n \\c < M* |zr||x + \\C{T)... hm n gin sao cho lim G{t )) = 0 vi hu khp ớ J, trong ú ớ l khong cỏch Hausdorff trờn K(Ê) Ta bit rng nu khụng gian s l tỏch c thỡ cỏc khỏi nim o c v o c mnh trựng nhau, v nú tng ng vi iu kin ỏnh x ớ dist(x,G(t)) l o c vi mi X G s Ngoi ra, nu G o c v b chn tớch phõn thỡ nú kh tớch Khi ú ta cú hm a tr ớ G(s ) ds xỏc nh bi Ta cú kt qu sau õy liờn quan n c lng theo o Hausdorff (x-c lng) cho tớch phõn... q(t)(xv{Q) + e Bt ng thc cui suy ra (F4) i vi cỏc hm g v h, ta gi s rng: (GHl) g , h : C( ô7; X) > X l cỏc ỏnh x liờn tc sao cho vi X e C( ô7; X), (g(x),h(x)) Ê0; (GH2) Tn ti cỏc hng s Cg,Ch > 0 v cỏc hm khụng gim ,/ : R+ Ơ M+ sao cho Il(z)||* < 5(||||), )* < C'A(IMIc), trong ú = |M|c(J;X); (GH3) Ta cú X c x ( C { - ) g { D ) ) < m g x c x ( D ), Xcx{S(-)h(D)) < mhcx(D), vi mi tp con b chn D C(J',X), õy... phõn v kh tớch sao cho vi mi t J Núi riờng, nu G : J Ơ K(S) o c v b chn tớch phõn thỡ hm kh tớch v ta cú X(Jo G^ds) - x((s))s vụi mi t J Xet toan tijf tuyen tinh L : L l (J\Ê) > C(J;Ê) thoa man cac dieu kien sau: (LI) ton tai hang so C > 0 sao cho \\L{f){t)-L{g){t)\\s . dụng cho bài toán điều khiển đối với phương trình truyền sóng phi tuyến. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu bài toán điều khiển phi tuyến vô hạn chiều thông qua một lớp bài toán điều khiển phi tuyến. tính điều khiển được cho phương trình vi tích phân bậc hai phi tuyến đã được thiết lập với điều kiện hàm phi tuyến thỏa mãn điều kiện Lipschitz. Bài toán điều khiển đối với bao hàm thức vi phân. phương trình cấp hai phi tuyến. 4.Đối tượng và phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu là bài toán điều khiển liên quan đến phương trình vi phân cấp hai. • Phạm vi nghiên cứu: tính điều khiển