BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN QUANG TÚ TÍNH ỔN ĐỊNH MŨ CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN PHI TUYẾN TRONG KHƠNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC HÀ NỘI, 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN QUANG TÚ TÍNH ỔN ĐỊNH MŨ CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN PHI TUYẾN TRONG KHƠNG GIAN BANACH Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Lê Văn Hiện HÀ NỘI, 2018 Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Lê Văn Hiện - Đại học Sư phạm Hà Nội tận tình hướng dẫn để em hoàn thành luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Tốn, thầy phòng Sau đại học thầy cô Trường Đại học Sư phạm Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập Trường Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè ln bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực luận văn tốt nghiệp Hà Nội, tháng năm 2018 Tác giả NGUYỄN QUANG TÚ Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn Thạc sĩ chun ngành Tốn giải tích với đề tài "Tính ổn định mũ lớp phương trình sai phân phi tuyến khơng gian Banach" hoàn thành hướng dẫn PGS.TS Lê Văn Hiện nhận thức thân, không trùng với luận văn khác Trong nghiên cứu viết luận văn, kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Tôi xin cam đoan thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, tháng năm 2018 Tác giả NGUYỄN QUANG TÚ MỤC LỤC Mở đầu Một số ký hiệu Chương Một số kết sơ 67 1.1 Giới thiệu sơ 76 1.2 Bất đẳng thức Halanay rời rạc 10 Chương Tính ổn định mũ lớp phương trình sai phân phi tuyến có trễ 13 14 2.1 Tính ổn định mũ tồn cục 13 14 2.2 Tính ổn định mũ địa phương 20 21 2.3 Một số ví dụ 23 24 28 Kết luận 27 29 Tài liệu tham khảo 28 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Các hệ phương trình vi phân có trễ (Delay differential equations, DDEs) đóng vai trò quan trọng việc mơ hình hóa tượng giới tự nhiên (xem [5, 14]) Các ví dụ điển hình tìm thấy q trình vật lý, hóa học, hệ thống truyền xử lí liệu, mơ hình sinh thái học, điều khiển robot hay mạng viễn thơng Các hệ thực tiễn thường mơ tả phương trình vi phân phi tuyến có trễ mà việc nghiên cứu định tính định lượng lớp phương trình thường gặp khó khăn nhiều so với phương trình vi phân thường tương ứng [7] Ngày nay, với phát triển mạnh mẽ kỹ thuật tính tốn dựa máy tính, phương trình sai phân thấy phù hợp cho việc mô phỏng, thử nghiệm tính tốn Điều đóng vai trò quan trọng ứng dụng thực tế Từ q trình rời rạc hóa, hệ rời rạc mơ tả phương trình sai phân thừa hưởng tính chất dáng điệu tương tự hệ liên tục Chính vậy, vấn đề nghiên cứu định tính hệ phương trình sai phân nói chung, phương trình sai phân phi tuyến nói riêng, nhận quan nhiều tác giả nước vài thập kỉ vừa qua [3, 17] Là toán quan trọng lý thuyết điều khiển hệ thống, tốn phân tích tính ổn định phương trìnhsai phân có trễ khơng có trễ chủ đề nghiên cứu sôi động thời gian gần (xem [6, 7, 12]) Trong kết công bố liên quan đến tính ổn định phương trình sai phân có trễ, cách tiếp cận sử dụng rộng rãi phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii (LKF) Tuy nhiên, phương pháp mặt phụ thuộc nhiều vào cách chọn (xây dựng) hàm LKF thích hợp điều thường dẫn đến khó khăn nghiêm trọng, đặc biệt phương trình phi tuyến không dừng Một cách tiếp cận hiệu khác sử dụng nguyên lí so sánh dựa số bất đẳng thức rời rạc bất đẳng Gronwall bất đẳng thức Halanay [1, 7, 15] Gần đây, báo [2], dựa kĩ thuật ước lượng bất đẳng thức Halanay rời rạc phương pháp đổi thang kiểu thuật toán Euclide, tác giả nghiên cứu tính ổn định mũ tồn cục địa phương lớp hệ sai phân phi tuyến có trễ Với mong muốn tìm hiểu sâu chủ đề này, chọn đề tài nghiên cứu “Tính ổn định mũ lớp phương trình sai phân phi tuyến không gian Banach” dựa báo [2] Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn nghiên cứu tính ổn định mũ hệ sai phân phi tuyến có trễ Đặc biệt, luận văn nghiên cứu trình bày kết từ báo [2] Nội dung nghiên cứu Các nội dung nghiên cứu luận văn bao gồm: a) Tìm hiểu lý thuyết ổn định hệ rời rạc mô tả phương trình sai phân b) Bất đẳng thức Hanalay rời rạc ứng dụng phân tích tính ổn định hệ rời rạc phi tuyến c) Phân tích, làm rõ kết nghiên cứu báo [2] Đối tượng phạm vi nghiên cứu Xét phương trình sai phân phi tuyến dạng sau đây: xn+1 = b(n) xn + F (n, xn−r1 , xn−r2 , , xn−rm ), + a(n) + a(n) n ≥ 0, (0.1) F (n, xn−r1 , , xn−rm ) hàm phi tuyến, a(n) , b(n) hàm hệ số cho trước a) Đối tượng nghiên cứu bất đẳng thức Halanay rời rạc lớp hệ sai phân có trễ dạng (0.1) b) Phạm vi nghiên cứu: Tính ổn định mũ toàn cục địa phương lớp hệ sai phân phi tuyến Phương pháp nghiên cứu Luận văn sử dụng nguyên lí so sánh số kĩ thuật giải tích cổ điển và phương trình vi-sai phân Bố cục luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo, luận văn chia thành hai chương Chương trình bày sơ lược phương trình vi phân có trễ phương pháp rời rạc hóa Chương nghiên cứu tính ổn định mũ toàn cục địa phương lớp hệ sai phân phi tuyến dạng (0.1) MỘT SỐ KÝ HIỆU R+ Tập tất số thực không âm Rn Khơng gian Euclide n−chiều với tích vơ hướng x, y = x y chuẩn vectơ x = ⊤ Z, Z+ Tập số nguyên số nguyên không âm Zr , r ∈ Z {m ∈ Z : m ≥ r} Z[r1, r2] m n i=1 xi {r1, r1 + 1, , r2} Z[1, m] for m ∈ Z+ Từ (2.1) ta lại có xn+1 ≤ |b(n)| xn + F (n, xn−r1 , , xn−rm ) + a(n) + a(n) |b(n)| ≤ xn + + a(n) + a(n) p m xn−rj λi (n) αij (2.7) j=1 i=1 Với dãy điều kiện φ, ta có xn ≤ φ với n ∈ Z[−rm, 0] Do đó, từ (2.7) suy x1 ≤ λ∗ = p + j=1 λj + b+λ∗ φ , + a+ Theo quy nạp, từ (2.7) ta thu xn ≤ + b+ λ∗ + a+ n + b+ λ∗ > Khi đó, (2.8), Giả sử + a+ Z[−rm, N0 − 1], β0 = max + b+λ∗ + a+ (2.8) φ , n ≥ N0 −1 xn ≤ β0 φ , ∀n ∈ ,1 + b+ λ∗ Chú ý đánh giá hiển nhiên ≤ Các đánh + a+ giá (2.7)-(2.8) cho (2.9) xn ≤ β0 ρ φ , ∀n ≥ N0 Tiếp theo, lấy ý tưởng từ thuật toán Archimède, ta chia lại thang ZN0 tập sau đây: Ik = {N0 + (k − 1)rm + s : s ∈ Z[0, rm − 1]} , k ≥ Khi đó, dễ thấy ZN0 = {n ∈ Z : n ≥ N0} = 16 ∞ k=1 Ik (2.10) Ta chứng minh quy nạp xn ≤ β0ρk φ , ∀n ∈ Ik , ∀k ∈ Z+ (2.11) Thật vậy, rõ ràng (2.11) với k = Giả sử (2.11) đến ≤ k ∈ Z+ Khi đó, với n = N0 +krm −1, ta có n−rj = N0 +(k−1)rm +rm −1−rj ∈ Ik Vì vậy, xn+1 |b(n)| ≤ xn + + a(n) + a(n) p m ≤ + |b(n)| + a(n) αij j=1 i=1 |b(n)| ≤ β0 ρk φ + + a(n) + a(n) m i=1 λi (n) xn−rj λi (n) p m αij β0ρk φ λi (n) j=1 i=1 β0 ρk φ ≤ β0 ρk+1 φ Với n ∈ Ik+1, ta viết n = N0 + krm + s, s ∈ Z[0, rm − 1] Bằng lập luận tương tự ta xn+1 |b(n)| xn + ≤ + a(n) + a(n) ≤ ≤ |b(n)| xn + + a(n) + a(n) p m β0 ρk+1 φ αij j=1 i=1 p xn−rj λi (k) p xn−rj β0 ρk φ λi (k) i=1 αij rj ≤s s 0, k(n), n ∈ Z, dãy bị chặn số nguyên không âm, k ∗ = sup k(n) số nguyên dương, ϕ(n), n ∈ [n0 − k ∗ , n0], dãy số thực, a ˜(n), ˜b(n) dãy số thực bị chặn Giả sử σ ˜ = inf (˜a(n) − ˜b(n)) > n∈Z (2.16) ˜ > cho Khi đó, tồn số thực λ x(n) ≤ sup n0 −k ∗ ≤j≤n0 ˜ −(n−n0) , n ≥ n0 x(j)λ (2.17) Chứng minh Ta suy trực tiếp từ Định lí 2.1.1 Nhận xét 2.1.2 ˜ cách đặt a(n) = h˜ a(n), b(n) = h˜b(n) σ = h˜ σ Khi đó, λ ˜ = 1− xác định λ − k1∗ h˜ σ + 1+h˜ a Nhận xét 2.1.3 Trong báo [13], cách sử dụng kỹ thuật ˜ gốc bất đẳng thức Halanay liên tục, tồn số λ xác định dựa tính liên tục hàm F (λ) = sup n∈Z ˜b(n)h λ ∗ + λk +1 − 1+a ˜(n)h + a˜(n)h σ ˜h Khác với [13], Hệ 2.1.1 chúng 1+a ˜+ h ˜ biểu thức hiển tốc độ hội mũ λ ˜ ≤− điều kiện F (λ) Định lí 2.1.1 bao hàm số kết gần đây, chẳng hạn [12, 15, 16] Hệ 2.1.2 (xem [16]) Phương trình sai phân phi tuyến xn+1 = (1 − p)xn + f (n, xn, xn−h1 , , xn−hm ), 19 (2.18) hi ∈ Z+ , p > 0, ổn định mũ toàn cục tồn số thực qi ≥ 0, qm > thỏa mãn m i=0 qi < p < m |f (n, xn, xn−h1 , , xn−hm )| ≤ i=0 qi|xn−hi | (2.19) Chứng minh Áp dụng Định lí 2.1.1 với dãy a(n) = p = m, λi (n) = p + q0 , − p − q0 qi 1−p−q0 , b(n) = 1, ∀n ∈ Z+ ∀n, αij = j = i αij = for j = i Khi đó, dễ thấy giả thiết (H1) (H2) thỏa mãn Điều kiện m i=0 qi < p suy m a(n) − b(n) i=1 p− m i=1 qi λi (n) ≥ σ := > 0, ∀n 1−p Theo Nhận xét 2.1.2, phương trình (2.18) ổn định mũ tồn cục Như ứng dụng, chúng tơi xét phương trình sai phân tuyến tính khơng dừng khơng gian Banach X sau k xn+1 = i=0 (2.20) Ai(n)xn−i, n ≥ 0, xn ∈ X Ai (n) ∈ L(X) tốn tử tuyến tính bị chặn với n ≥ Kết sau mở rộng Hệ 2.6 [12] Hệ 2.1.3 Giả sử k lim sup n→∞ (2.21) Ai (n) = α < i=0 Khi phương trình (2.20) ổn định mũ tồn cục Chứng minh Kí hiệu F (n, x1, , xk ) = k i=1 Ai (n)xi k k F (n, x1, , xk ) ≤ Ta có Ai(n) λi (n) xi , xi = i=1 i=1 20 λi (n) = Ai(n) Kí hiệu ǫ= 1−α , a(n) = − A0(n) − ǫ , A0 (n) + ǫ A0(n) + ǫ b(n) = Từ (2.21) ta có xn+1 b(n) xn + ≤ + a(n) + a(n) k (2.22) λi (n) xn−i i=1 Bằng tính tốn trực tiếp, ta thấy k lim inf a(n) − |b(n)| n→∞ i=1 − ǫ − ki=0 Ai(n) λi (n) = lim inf n→∞ A0(n) + ǫ 1−α ≥ = σ > 1+α Do vậy, theo Định lí 2.1.1, phương trình (2.20) ổn định mũ tồn cục 2.2 Tính ổn định mũ địa phương Như phân tích [12], nhiều mơ hình ứng dụng hàm phi tuyến F khơng thể thỏa mãn điều kiện tăng trưởng tuyến tính (H2) Trong mục chúng tơi trình bày kết [2] điều kiện F bao hàm trường hợp tăng trưởng tuyến tính Cụ thể, ta xét giả thiết sau đây: (H3) Tồn số nguyên dương p, q , hàm không âm bị chặn λi (n), m j=1 αij µk (n) số không âm αij , βkj cho m j=1 βkj > 1, k ∈ q , thỏa mãn điều kiện sau p F (n, x1, x2, , xm) ≤ q m xj λi (n) j=1 i=1 với n ∈ Z+, (x1, x2, , xm) ∈ Xm 21 = 1, i ∈ p, αij + m xj µk (n) k=1 j=1 βkj (2.23) Nhận xét 2.2.1 Giả thiết (H3) hiển nhiên yếu (H2) Cụ thể hơn, hàm phi tuyến F thỏa mãn (H2) F thỏa mãn (H3) Trong định lí chúng tơi giả thiết (H3), điều kiện (2.3) đảm bảo tính chất ổn định địa phương (2.1) khơng thể đảm bảo tính ổn định mũ tồn cục (2.1) Định lí 2.2.1 Với giả thiết (H1) (H3), giả sử điều kiện (2.3) thỏa mãn Khi đó, phương trình (2.1) ổn định mũ địa phương Chứng minh Giả sử điều kiện (2.3) thỏa mãn Khi đó, đánh giá (2.5) (2.6) Tương tự (2.7), ta có xn+1 p ≤ + a+ xn +b q m λ+ i + xn−rj αij j=1 i=1 m µ+ k + k=1 xn−rj j=1 βkj (2.24) Cố định số δ0 > φ < δ0 Bằng quy nạp ta từ (2.24) xn ≤ δn , n ∈ Z[0, N0], (δn), n ∈ Z[0, N0], dãy số dương xác định δn+1 Vì −1+ q = + b+λ∗ + b+ + a+ m j=1 βkj với δ0 đủ nhỏ m j=1 −1+ µ+ k δn βkj (2.25) δn k=1 > với k ∈ q , từ (2.25) suy δ supn∈Z[0,N0 ] xn ≤ Với n = N0 , ta có xn+1 b(n) ≤ xn + + a(n) + a(n) q + m xn−rj αij µk (n)δ −1+ m j=1 λi (n) j=1 i=1 m βij xn−rj µi (n) k=1 p j=1 1 + b(n) ≤ + a(n) q p λi (n) + i=1 22 k=1 βkj δ q σ b+ ≤ 1− + 2(1 + a+ ) + a+ m j=1 −1+ µ+ kδ βkj δ k=1 σ < −1 + m j=1 βkj > với k ∈ q , tồn + 2(1 + a ) số δˆ ∈ (0, 1] cho δ ≤ δˆ Vì < − q b+ σ + ρ=1− 2(1 + a+ ) + a+ −1+ µ+ kδ m j=1 βkj k=1 ∈ (0, 1) Do đó, sup 1+b(n) n≥N0 + a(n) q p m j=1 µi (n)δ −1+ λi (n)+ i=1 βkj ≤ ρ (2.26) k=1 Hơn nữa, theo quy nạp, ta có (2.27) xn ≤ δ, ∀n ≥ N0 Tiếp theo, định nghĩa hàm ϕ : R+ → R+ sau ϕ(η) = sup n≥N0 p b(n) η + + a(n) + a(n) + b(n) + a(n) λi (n)η 1+ m j=1 αij rj i=1 q µi (n)δ −1+ m j=1 βkj 1+ η m j=1 βkj rj k=1 Rõ ràng ϕ(.) hàm liên tục R+ , ϕ(1) ≤ ρ < (2.28) 1+ρ < ϕ(η) → ∞ η → ∞ Vì vậy, tồn số η0 > cho ϕ(η0) < ρˆ = 1+ρ Do (2.27), xN0 ≤ δ η0 xN0+1 ≤ ϕ(η0)δ ≤ ρˆδ < δ Một lần nữa, dùng phương pháp chứng minh quy nạp ta thu η0n xN0+n < δ, ∀n ≥ tức xN0+n < δη0−n , ∀n ≥ 23 (2.29) Đánh giá chứng tỏ phương trình (2.1) ổn định mũ địa phương Định lí chứng minh Nhận xét 2.2.2 Các kết Định lí 2.1.1 Định lí 2.2.1 mở rộng cho trường hợp trễ biến thiên rj = rj (k) thỏa mãn rj (k) ≤ rj+ , j ∈ m Các chứng minh lặp lại tương tự chứng minh trình bày Định lí 2.1.1 Định lí 2.2.1 nên chúng tơi bỏ qua 2.3 Một số ví dụ Trong mục chúng tơi trình bày số ví dụ minh họa cho điều kiện ổn định trình bày chương Ví dụ 2.3.1 Cho X khơng gian Banach hữu hạn chiều với sở {ek }N k=1 Xét phương trình sai phân sau xn+1 = b(n) xn−1+λ xn−1 xn + + a(n) + a(n) a(n) = + 2n , b(n) = + 3n−1 xn−2 e1 +µ xn−1 xn−3 , (2.30) λ, µ tham số thực Ta có a+ = 3, a+ = 2, b+ = 4, b+ = a(n) − b(n) = + 1 − ≤ − 2n 3n−1 3n−1 (a) Với λ = µ = 0, ý inf n≥0{a(n) − b(n)} ≤ −1, điều kiện đưa [11–13, 15] khơng thỏa mãn Tuy nhiên, thấy lim inf n→∞ {a(n) − b(n)} = Theo Định lí 2.1.1, phương trình (2.30) với λ = µ = ổn định mũ toàn cục (b) Với µ = 0, lim inf n→∞ {a(n) − b(n) p i=1 λi (n)} = − |λ| Trong trường hợp này, Định lí 2.1.1 đảm bảo tính ổn định mũ toàn cục (2.30) với điều kiện |λ| < 24 (c) Với µ = |λ| < 1, theo Định lí 2.2.1, phương trình (2.30) ổn định mũ địa phương Tuy nhiên, trường hợp này, (2.30) khơng ổn định mũ tồn cục Chẳng hạn, lấy X = R2 , λ = 0, µ = dãy điều kiện đầu φ(n) = [δ 0]T ∈ R2 , n ∈ Z[−3, 0], δ > số Ta thấy nghiệm tương ứng (2.30) thỏa mãn x(n) > với n ≥ Điều chứng tỏ (2.30) ổn định mũ tồn cục Ví dụ 2.3.2 Cho X = l2 khơng gian Hilbert dãy thực với tích vô hướng kiểu Cauchy (., )l2 chuẩn u l2 ∞ = j=1 |uj | l2 định nghĩa u = (uj )∞ j=1 ∈ l , Xét phương trình sai phân sau không gian l2 xk+1,j = q xk,j + j−1 xαk−1,j xβk−2,j , j ≥ 1, −k 2−e (2.31) q ∈ R, α > 0, β > tham số thực Phương trình (2.31) viết dạng (2.1) với a(k) = − e−k b(k) = q(2 − e−k ) Hàm phi tuyến vế phải (2.31) thỏa mãn F (k, u, v) l2 ≤ ∞ 1−j u α l2 j=1 v β l2 =√ u α l2 v β l2 , ∀u, v ∈ l2 (2.32) Do đó, (a) α + β ≤ 1, điều kiện (2.4) thỏa mãn |q| < √ Theo Định lí 2.1.1, phương trình (2.31) ổn định mũ toàn cục; (b) α + β > 1, theo Định lí 2.2.1, phương trình (2.31) ổn định mũ địa phương với q ∈ R 25 Ví dụ 2.3.3 Xét phương trình vi phân phi tuyến chứa trễ sau x′(t) = −α(t)x(t) + β(t)x(t − τ (t))e−γ(t)x(t−τ (t)) , (2.33) α, β , γ τ hàm liên tục R+ thỏa mãn α(t) > 0, γ(t) > β(t) ≥ với t ∈ R+ Phương trình (2.33) thường dùng để mơ tả mơ hình sinh thái học (mơ hình Nicholson’s blowflies) (xem [8] tài liệu trích dẫn đó) Tác giả [8] chứng minh với hàm ban đầu ϕ ∈ C([−τ +, 0], R+), tồn nghiệm không âm x(t, ϕ) của(2.33) khoảng [0, ∞) Giả sử tồn số dương α+ , η cho α(t) ≥ α+ , 0≤ β(t) ≤ η, ∀t ≥ γ(t) Cho trước bước xấp xỉ h > cho r = rời rạc hóa thành xn+1 = τ+ h ∈ Z+ Khi đó, (2.33) hβ(tn) xn + xn−r e−γ(tn )xn−r + hα(tn+1 ) + hα(tn+1) Trong trường hợp ta có |F (n, xn−r )| = xn−r e−γ(tn )xn−r ≤ phương trình (2.34) thỏa mãn điều kiện (2.3) với λ1 (n) = γ(tn )e (2.34) Do đó, γ(tn )e , λ2 (n) =0 a(n) − b(n) Nếu α+ > η e i=1 λi (n) = h α(tn+1) − β(tn ) ≥ h(α+ − η/e) γ(tn)e σ = h α+ − ηe > điều kiện (2.4) thỏa mãn Theo Định lí 2.1.1, phương trình (2.34) ổn định mũ toàn cục Để minh họa, lấy α(t) = 1.5+| sin(t)|, β(t) = 3| cos(2t)| γ(t) = 1+| cos(2t)| Ta có α+ = inf t≥0 α(t) = 1.5, α+ = supt≥0 α(t) = 2.5, β + = supt≥0 β(t) = η = supt≥0 β(t) γ(t) = 3/2 Do đó, α+ − 26 η e = 3/2(1 − 1/e) > phương trình (2.35) ổn định mũ tồn cục Điều chứng tỏ q trình rời rạc hóa (2.33) hội tụ cấp mũ với trễ bị chặn τ (t) Chú ý thêm rằng, với ví dụ này, điều kiện ổn định đưa [4, Định lí 5] đảm bảo nghiệm (2.33) hội tụ điểm cân x = điều kiện sau thỏa mãn α+ −α+ τ + β +2 + α+ β + e > ln β+ β +2 + α+ (2.35) Điều kiện (2.35) suy τ + < 0.2042, tức điều kiện [4] đảm bảo tính ổn định phương trình rời rạc với trễ nhỏ Điều chứng tỏ tính hiệu phương pháp đề xuất [2] trình bày Chương luận văn 27 KẾT LUẬN Luận văn trình bày số kết nghiên cứu tính ổn định mũ số lớp phương trình sai phân phi tuyến dạng trừu tượng không gian Banach dựa nội dung báo [2] Các kết trình bày luận văn bao gồm: Một số dạng bất đẳng thức Halanay rời rạc ứng dụng xét tính ổn định lớp hệ rời rạc phi tuyến có trễ (Bổ đề 1.2.2, 1.2.3, Định lí 1.2.1) Chứng minh điều kiện ổn định mũ tồn cục lớp phương trình sai phân phi tuyến chứa trễ khơng gian Banach (Định lí 2.1.1) số kết liên quan (Hệ 2.1.1-2.1.3) Chứng minh tính ổn định mũ địa phương hàm phi tuyến không thỏa mãn điều kiện tăng trưởng tuyến tính (Định lí 2.2.1) 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] R P Agarwal, Y H Kim, S K Sen, New discrete Halanay inequalities: stability of difference equations, Comm Appl Anal 12 (2008) 83–90 [2] N.S Bay, L.V Hien, H Trinh, Exponential stability of a class of nonlinear difference equations in Banach spaces, Commun Korean Math Soc 32 (2017) 851–864 [3] A Bellen and M Zennaro, Numerical Methods for Delay Differential Equations, Clarendon Press, Oxford, 2003 [4] L Berezansky, E Braverman, Stability conditions for scalar delay differential equations with a non-delay term, Appl Math Comput 250 (2015) 157–164 [5] T Erneux, Applied Delay Differential Equations, Springer, New York, 2009 [6] I Gyăori, F Hartung, Asymptotic behaviour of nonlinear difference equations, J Differ Equ Appl 18 (2012) 1485–1509 [7] L.V Hien, A novel approach to exponential stability of nonlinear non-autonomous difference equations with variable delays, Appl Math Lett 38 (2014) 7–13 29 [8] L V Hien, Global asymptotic behaviour of positive solutions to a non-autonomous Nicholson’s blowflies model with delays, J Biol Dyn (2014) 135–144 [9] A Ivanov, E Liz, S Trofimchuk, Halanay inequality, Yorke 3/2 stability criterion, and differential equations with maxima, Tohoku Math J 54 (2002) 277–295 [10] E Liz, J.B Ferreiro, A note on the global stability of generalized difference equations, Appl Math Lett 15 (2002) 655–659 [11] E Liz, A Ivanov, J.B Ferreiro, Discrete Halanay-type inequalities and applications, Nonlinear Anal 55 (2003) 669–678 [12] E Liz, Stability of non-autonomous difference equations: simple ideas leading to useful results, J Differ Equ Appl 17 (2011) 203–220 [13] S Mohamad, K Gopalsamy, Continuous and discrete Halanay-type inequalities, Bull Austral Math Soc 61 (2000) 371–385 [14] H Smith, An Introduction to Delay Differential Equations with Applications to the Life Sciences, Springer, 2011 [15] Y Song, Y Shen, Q Yin, New discrete Halanay-type inequalities and applications, Appl Math Lett 26 (2013) 258–263 [16] S Udpin, P Niamsup, New discrete type inequalities and global stability of nonlinear difference equations, Appl Math Lett 22 (2009) 856–859 [17] T Vyhlídal, J.F Lafay, R Sipahi, Delay Systems: From Theory to Numerics and Applications, Springer, Dordrecht, 2014 30 ... |xi|)λn0 Định lí chứng minh 13 Chương TÍNH ỔN ĐỊNH MŨ CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN PHI TUYẾN CĨ TRỄ Trong chương chúng tơi nghiên cứu tính ổn định mũ lớp hệ phương trình sai phân phi tuyến. .. cứu Tính ổn định mũ lớp phương trình sai phân phi tuyến không gian Banach dựa báo [2] Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn nghiên cứu tính ổn định mũ hệ sai phân phi tuyến có trễ Đặc biệt, luận. .. TÚ TÍNH ỔN ĐỊNH MŨ CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN PHI TUYẾN TRONG KHƠNG GIAN BANACH Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Lê Văn