ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỖ ĐỨC ĐIỆP SỐ GIAO CỦA CÁC ĐƯỜNG CONG ĐẠI SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỖ ĐỨC ĐIỆP SỐ GIAO CỦA CÁC ĐƯỜNG CONG ĐẠI SỐ Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số : 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS PHÓ ĐỨC TÀI Hà Nội - Năm 2012 Mục lục Lời nói đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Khái niệm điểm bội số giao mặt phẳng affine A2 1.1.1 Khái niệm điểm bội 1.1.2 Vành tọa độ vành địa phương đa tạp 1.1.3 Số giao hai đường cong điểm Khái niệm điểm bội số giao mặt phẳng xạ ảnh P2 15 1.2.1 Các định nghĩa 15 1.2.2 Định lý Bezout 16 Một số kết chứng minh lý thuyết số giao 19 2.1 Đường cong Hessian 19 2.2 Đường cong đối ngẫu 21 Một phương pháp tìm song tiếp tuyến đường cong trơn bậc bốn 27 Kết luận 39 Lời nói đầu Số giao đường cong đại số phần kiến thức Hình học đại số Mục đích luận văn nghiên cứu tốn tìm phương trình song tiếp tuyến đường cong trơn Để giải tốn này, cơng cụ chúng tơi số giao Qua ánh xạ Gauss (là song ánh từ đường cong vào đường cong đối ngẫu nó), ta có tương ứng một-một đường song tiếp tuyến đường cong kì dị node (là kì dị đơn giản nhất) đường cong đối ngẫu Vì việc nghiên cứu đường song tiếp tuyến cho thơng tin kì dị node đường cong đối ngẫu Luận văn trình bày tóm tắt lại số kết lý thuyết số giao đường cong đại số ứng dụng để tìm song tiếp tuyến, cụ thể tìm cặp điểm chung tiếp tuyến, đường cong trơn Do việc tính tốn phức tạp, nên thực cho đường cong trơn bậc bốn (trường hợp có xuất song tiếp tuyến) Chúng tơi trình bày cụ thể hai ví dụ, đường cong Fermat x4 + y + z = đường cong Klein x3 y + y z + z x = Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia thành ba chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị, trình bày số kiến thức đường cong đại số, trọng tâm số giao Chương 2: Trên cở sở lý thuyết số giao, chứng minh số kết liên quan đến đường cong Hessian đường cong đối ngẫu Chương 3: Trong chương tập trung trình bày phương pháp tìm song tiếp tuyến cách tìm cặp điểm chung tiếp tuyến đường cong trơn Cụ thể áp dụng để tính tốn cho số đường bậc bốn Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới TS Phó Đức Tài, Thầy tận tình hướng dẫn liên tục năm qua, để tơi hồn thành luận văn có thêm hiểu biết Tác giả xin chân thành cảm ơn Khoa Toán - Cơ - Tin học, Phòng Sau Đại Học trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt q trình học tập trường từ ngày cịn sinh viên Hà Nội, mùa hè năm 2012 Tác giả Đỗ Đức Điệp Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày khái niệm, tính chất định lí điểm bội, số giao hai đường cong điểm Tài liệu tham khảo chủ yếu [2] Trong luận văn này, khơng nói thêm ta ln giả thiết K trường đóng đại số với đặc số 0, ký hiệu A2 = A2 (K) P2 = P2 (K) mặt phẳng affine mặt phẳng xạ ảnh K 1.1 Khái niệm điểm bội số giao mặt phẳng affine A2 1.1.1 Khái niệm điểm bội Trong A2 , đường cong đại số tập không điểm đa thức khác số F ∈ K[x, y] Để đơn giản, chúng tơi dùng kí hiệu đường cong F , chung với đa thức định nghĩa Trong luận văn đề cập đến đường cong thu gọn, tức đường cong mà đa thức định nghĩa chúng có nhân tử có bội Định nghĩa 1.1.1 Cho F đường cong, điểm P ∈ F gọi điểm đơn Fx (P ) = Fy (P ) = Ngược lại, ta gọi P điểm bội điểm kì dị F Với đường cong F ta ln viết dạng F = Fm + Fm+1 + · · · + Fn Trong m ≥ 0, Fi dạng bậc i (tức đa thức bậc i theo biến) Khi đó, số m gọi số bội điểm P (0, 0) đường cong F kí hiệu mp (F ) = m Dễ thấy m = P ∈ F , m = P điểm đơn F Vì K trường đóng đại số nên ta có phân tích Fm = ei i Li với Li dạng bậc Khi Li gọi tiếp tuyến bội ei F P Như điểm bội m, đường cong ln có đủ m tiếp tuyến (đếm bội) Trên ta vừa đưa khái niệm với điểm P (0, 0), với điểm Q(a, b) bội điểm Q đường cong F (x, y) định nghĩa bội điểm P (0, 0) đường cong F (x + a, y + b), Li (x, y) tiếp tuyến bội ei đường cong F (x + a, y + b) P Li (x − a, y − b) tiếp tuyến bội ei đường cong F (x, y) Q Nếu Q(a, b) điểm đơn đường cong F F có tiếp tuyến Q, xác định công thức: Fx (Q)(x − a) + Fy (Q)(y − b) = 1.1.2 Vành tọa độ vành địa phương đa tạp Giả sử S tập đa thức K[x1 , , xn ], ta kí hiệu V (S) = {P ∈ An |F (P ) = 0, ∀F ∈ S}, tức V (S) = ∩F ∈S V (F ) Một tập X ⊂ An (K) gọi tập đại số afin X = V (S) với S Một tập đại số gọi khả quy hợp hai hay nhiều tập đại số nhỏ Trong trường hợp ngược lại, ta gọi tập đại số bất khả quy hay đa tạp affine (xạ ảnh) Giả sử V đa tạp khác rỗng An (K) Ký hiệu I(V ) tập đa thức triệt tiêu V Ta thấy iđêan nguyên tố K[x1 , x2 , , xn ] Do vành thương Γ(V ) = K[x1 , x2 , , xn ]/I(V ) miền nguyên gọi vành tọa độ V Với tập V ⊂ An (K), ta kí hiệu F (V, K) tập hợp tất hàm từ V tới K F (V, K) vành với phép toán định nghĩa sau: Nếu f, g ∈ F (V, K), (f + g)(x) = f (x) + g(x) (f.g)(x) = f (x).g(x) với x ∈ V Ta xem K vành F (V, K) đồng K với vành chứa tất hàm F (V, K) Trở lại trường hợp V ⊆ An (K) đa tạp, hàm f ∈ F (V, K) gọi hàm đa thức V , tồn đa thức F ∈ K[x1 , x2 , , xn ] với f (a1 , , an ) = F (a1 , , an ) với (a1 , , an ) ∈ V Khi ta nói đa thức F xác định hàm f Như vậy, hai đa thức F G xác định hàm đa thức f (F − G)(P ) = với P ∈ V (nghĩa F − G ∈ I(V )) Ta dễ dàng chứng minh rằng, tập hàm đa thức làm thành vành F (V, K), nữa, vành chứa K Trở lại với vành tọa độ đa tạp V Như nói trên, Γ(V ) miền nguyên nên tồn trường thương trường gọi trường hàm hữu tỉ V, kí hiệu K(V ) Mỗi phần tử K(V ) hàm hữu tỉ V Nếu f hàm hữu tỉ V P ∈ V, ta nói f xác định P a b(P ) = Cịn P mà f khơng xác b định ta nói P điểm cực f tồn a, b ∈ Γ(V ) cho f = Có thể chứng minh tập hợp hàm hữu tỉ xác định điểm P ∈ V làm thành vành K(V ), vành gọi vành địa phương V P kí hiệu OP (V ) Hơn nữa, phần tử Γ(V ) xác định với P ∈ V nên Γ(V ) ⊂ OP (V ) ta có bao hàm thức K ⊂ Γ(V ) ⊂ OP (V ) ⊂ K(V ) 1.1.3 Số giao hai đường cong điểm Cho F G hai đường cong mặt phẳng A2 Số giao F G điểm P ∈ A2 kí hiệu IP (F, G) xác định thông qua tính chất sau Các tính chất xác định số giao: IP (F, G) ≥ 0, ∀F, G ∀P ∈ A2 IP (F, G) = ∞ F G có thành phần chung qua P IP (F, G) = P ∈ F ∩ G Nếu T phép thay đổi tọa độ affine mà T (Q) = P IP (F, G) = IQ (F T , GT ) IP (F, G) = IP (G, F ) IP (F, G) ≥ mP (F ).mP (G) Đẳng thức xảy F G tiếp tuyến chung P Giả sử F = ei i Fi , G= s j Gj j IP (F, G) = i,j ei sj IP (Fi , Gj ) IP (F, G) = IP (F, G + HF ), ∀H ∈ K[x, y] Ví dụ 1.1.1 Tính số giao F G điểm P (0, 0) với F = y − x2 , G = x + y(y − x2 ) IP (F, G) = IP (y − x2 , x) (theo tính chất (7)) = IP (y, x) (theo tính chất (7)) =1 (theo tính chất (5)) Tính số giao A B điểm P (0, 0) với A = x + y − x3 , B = y − x3 IP (A, B) = IP (x, y − x3 ) (theo tính chất (7)) = IP (x, y 2) (theo tính chất (7)) = 2IP (y, x) (theo tính chất (6)) = Tính đắn định nghĩa số giao cơng thức tính thể thơng qua định lý sau: Định lý 1.1.1 (Xem [2], định lý 3, trang 37) Tồn số giao IP (F, G) xác định cho cặp đường cong F G điểm P ∈ A2 , thỏa mãn tính chất Ngồi IP (F, G) = dimK (OP (A2 )/(F, G)) Chứng minh Chứng minh tính tồn Giả sử IP (F, G) xác định theo tính chất Chúng ta xây dựng chương trình tính IP (F, G) mà sử dụng tính chất này, điều đủ để tính xác định IP (F, G) Ta giả thiết P (0, 0) (theo tính chất (3)) IP (F, G) < ∞ (theo (1)) Giả sử cần tính IP (F, G) = n > 0, P ∈ F ∩ G IP (F, G) = (theo (2)) Dùng phương pháp quy nạp với giả thiết quy nạp IP (A, B) < n tính với A, B ∈ K[x, y] Gọi bậc đa thức bậc F (x, 0),G(x, 0) r s, giả thiết r ≤ s, không ta dùng (4) để đảo lại Trường hợp Nếu r = Vì F (0, 0) = F (P ) = nên F = yH với H thuộc K[x, y] Từ (6) suy IP (F, G) = IP (y, G) + IP (H, G) Vì G(0, 0) = nên ta phân tích G(x, 0) = xm (a0 + a1 x + · · · + as−m xs−m ) với a0 = 0, ≤ m ≤ s Khi IP (y, G) = IP (y, G(x, 0) + G.y) với G thuộc K[x, y] (vì G(0, 0) = nên tồn G để G = G(x, 0) + Gy ) Vậy IP (F ∗ , HF ∗ ) = 22 v cụng thc th ca Plă ucker trường hợp F đường cong trơn bậc là: γ = = 3n′ (n′ − 2) − 6α′ − 8γ ′ − 22β Tóm lại, với F đường cong trơn bậc ta có kết sau: 1’) n′ = 12 2’) n = = n′ (n′ − 1) − 2α′ − 3γ ′ − 8β 3’) γ ′ = 3n(n − 2) − 2β 4’) γ = = 3n′ (n′ − 2) − 6α′ − 8γ ′ − 22β Từ công thức ta đưa vài nhận xét sau: a) Công thức (4’) trùng với cơng thức (2’), đem lại thêm cho ta thông tin số giao đường cong đối ngẫu F ∗ đường cong Hessian điểm kỳ dị F ∗ b) Thay (1’) (3’) vào (2’) ta có α′ = 28 − β Mặt khác, ta có đánh giá số deg(F ) deg(HF ) = 12 Chính xác theo [8] β nhận giá trị từ tới 12, ngoại trừ hai giá trị 10 11 điểm uốn bội F sau: ≤ β ≤ Từ ta thấy rằng, số song tiếp tuyến F α′ ∈ {16; 19; 20; 21; ; 28} Ví dụ trường hợp α′ = 16 đường cong Fermat x4 + y + z = 0, trường hợp α′ = 28 đường cong Klein x3 y + y z + z x = 0, tính tốn cụ thể song tiếp tuyến hai đường cong chúng tơi có trình bày chương Nội dung có liên quan tới báo [3], [4], [5], [6] [7] 26 Chương Một phương pháp tìm song tiếp tuyến đường cong trơn bậc bốn Như trình bày phần trước, đường cong trơn P2 , tiếp tuyến điểm uốn tiếp tuyến tiếp xúc với đường cong nhiều điểm, tương ứng điểm kì dị đường cong đối ngẫu Hay nói khác điểm uốn họ tập điểm chung tiếp tuyến hai loại điểm cần đề cập đường cong trơn Để tìm tọa độ điểm uốn, ta biết phương pháp tìm giao điểm đường cong với đường cong Hessian Cịn chương mong muốn tìm phương pháp tương tự, để tìm tọa độ tập điểm chung tiếp tuyến đường cong trơn bậc bất kì, mặt phẳng xạ ảnh phức Từ cho ta biết tọa độ điểm node đường cong đối ngẫu Phần đầu chương đưa phương hướng với đường cong trơn bậc bất kì, chứng minh trọn vẹn hoàn thành đường cong trơn bậc Như ta tìm tất điểm kì dị đường cong đối ngẫu đường cong trơn bậc bất kì, chưa biết phương trình Cho F đường cong trơn bậc n ≥ mặt phẳng xạ ảnh P2 Giả thiết P (a : b : c) điểm F , ta đặt F đường cong xác 27 định phương trình: F = aFx + bFy + cFz = 0, đường cong gọi đường cực F P (theo [1]) Đường cong F đường cong bậc n − qua P có tính chất sau: Mệnh đề 3.0.1 P điểm đơn F Nếu gọi L tiếp tuyến F P L tiếp tuyến F P P điểm uốn F P điểm uốn F Giả sử Q điểm khác P Khi đó, Q ∈ F ∩ F tiếp tuyến F Q qua P Chứng minh Trước hết ta chứng minh công thức sau (công thức Euler): Nếu F (x1 , x2 , · · · , xm ) dạng bậc n vành đa thức K[x1 , x2 , · · · , xm ] nF = m xj Fxj j=1 Thật vậy, ta viết m F = α xj ij , i với αi1 + αi2 + + αim = n j=1 Khi α −1 i Từ suy xαk ik αij xj ij Fxj = k=j m m αij )F = nF xj Fxj = ( j=1 j=1 Chứng minh (1) Áp dụng cơng thức ta có Fx (a, b, c) = (n − 1)Fx (a, b, c), Fy (a, b, c) = (n − 1)Fy (a, b, c), Fz (a, b, c) = (n − 1)Fz (a, b, c) 28 Do P điểm đơn F P điểm đơn F Nhưng F đường cong trơn nên P điểm đơn F Vậy P điểm đơn F dễ thấy F F chung tiếp tuyến P xFx (P ) + yFy (P ) + zFz (P ) = Chứng minh (2) Ta có đường cong Hessian HF F xác định   Fxx Fxy Fxz det Fyx Fyy Fyz  = Fzx Fzy Fzz Còn đường cong HF xác định   Fxx Fxy Fxz det Fyx Fyy Fyz  = Fzx Fzy Fzz Theo công thức Euler ta có Fxx (a, b, c) = (n − 2)Fxx (a, b, c), Fyy (a, b, c) = (n − 2)Fyy (a, b, c), Fzz (a, b, c) = (n − 2)Fzz (a, b, c), Fxy (a, b, c) = (n − 2)Fxy (a, b, c), Fxz (a, b, c) = (n − 2)Fxz (a, b, c), Fyz (a, b, c) = (n − 2)Fyz (a, b, c) Từ suy HF (a, b, c) = HF (a, b, c) = Mặt khác P thuộc F F , nên P điểm uốn F P điểm uốn F Chứng minh (3) Giả sử Q ∈ F ∩ F Q = P Tiếp tuyến F Q có phương trình xFx (Q) + yFy (Q) + zFz (Q) = Vì Q ∈ F nên tọa độ Q thỏa mãn phương trình F aFx (Q) + bFy (Q) + cFz (Q) = 29 Đẳng thức cuối suy tọa độ P (a : b : c) thỏa mãn phương trình tiếp tuyến F Q Vậy tiếp tuyến điểm giao F F qua P Bây ta tìm điều kiện P (thuộc F ) để cho tồn điểm Q ∈ F khác P , mà tiếp tuyến với F P Q trùng Xét hệ phương trình sau    aFx + bFy + cFz = (∗) xF (P ) + yFy (P ) + zFz (P ) = x   F = a, b, c tham số (P (a : b : c) ∈ F ), (x : y : z) tọa độ P2 Gọi L đường thẳng có phương trình xFx (P ) + yFy (P ) + zFz (P ) = Dễ thấy L tiếp tuyến chung F F P Vậy nghiệm hệ tọa độ giao điểm đường gồm F, F L Rõ ràng P (a : b : c) nghiệm hệ phương trình (∗), điều đáng ý hệ phương trình thể mệnh đề sau: Mệnh đề 3.0.2 Giả sử Q(x : y : z) = P (a : b : c), Q(x : y : z) nghiệm hệ phương trình (∗) L tiếp tuyến F Q Chứng minh Nếu Q(x : y : z) nghiệm hệ (∗) Q(x : y : z) ∈ F ∩ F Theo mệnh đề 3.0.1 tiếp tuyến F Q qua P Nhưng Q(x : y : z) nghiệm hệ (∗) nên Q(x : y : z) ∈ L, mà P ∈ L, P = Q nên có đường thẳng qua P Q L, tiếp tuyến tuyến tiếp xúc với F P Q Điều ngược lại hiển nhiên Đặt B tập điểm F , cho ∀Q ∈ B tồn điểm Q′ ∈ F, Q′ = Q mà tiếp tuyến F Q Q′ trùng Qua mệnh đề ta thấy hệ phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt (trong P (a : b : c) 30 nghiệm) P ∈ B Như để tìm B ta tìm điều kiện P (a : b : c) để hệ phương trình (∗) có nghiệm khác P (a : b : c) Trong luận văn này, hoàn thành với deg(F ) = n = Giả sử deg(F ) = deg(F ) = Khi hệ (∗) có nhiều nghiệm phân biệt Thật vậy, tổng số giao L F 3, IP (L, F ) ≥ (vì L tiếp xúc với F P ) nên L giao với F nhiều điểm phân biệt Vậy hệ (∗) có nhiều hai nghiệm phân biệt Cũng từ ta thấy để hệ (∗) có nghiệm phân biệt điều kiện L giao F hai điểm phân biệt, điều tương đương với P điểm uốn F hay P ∈ HF (để ý P thuộc F F ) Theo Mệnh đề 3.0.1 P khơng thuộc HF Tới đây, đặt điều kiện P ∈ HF ta có L F phải giao hai điểm phân biệt Một điểm hiển nhiên P , điểm lại ta đặt Q, giả sử Q(x0 : y0 : 1) Khi đó, A2 điểm Q(x0 , y0 ) giao điểm f (x, y) = F (x, y, 1) l(x, y) = L(x, y, 1) Cụ thể phương trình f (x, y) l tương ứng là: aFx (x : y : 1) + bFy (x : y : 1) + cFz (x : y : 1) = 0, xFx (a : b : c) + yFy (a : b : c) + Fz (a : b : c) = a b c c Q(x0 , y0 ) Nếu Fx (a : b : c) Fy (a : b : c) kéo theo Fz (a : b : c) = Ta giả sử c = 0, l tiếp xúc với f P ( , ) cắt f mâu thuẫn với giả thiết F đường cong trơn Vì giả sử Fy (a : b : c) = 0, đưa phương trình l dạng y = − Fz (a : b : c) Fx (a : b : c) x− Fy (a : b : c) Fy (a : b : c) Ta biểu diễn tọa độ Q theo P F Trước hết ta cần đến bổ đề sau: Bổ đề 3.0.1 Trong mặt phẳng A2 , gọi C đường cong bậc d > 1, xác định phương trình F (x, y) = Giả sử L : 31 y = ax + b tiếp xúc với C điểm A(p, q) Khi IA (C, L) = n F (x, ax + b) = (x − p)n G Trong G ∈ K[x], G(p) = deg(G) = d − n Chứng minh Chuyển điểm A gốc tọa độ phép tịnh tiến x=X +p y =Y +q Khi phương trình L Y = aX A(0, 0) Giả sử IA (C, L) = n, mà L tiếp tuyến C A(0, 0) nên F (X, Y ) = (Y − aX)H + Fn + Fn+1 + + Fd Trong Fi dạng bậc i, Fn (X, aX) = 0, n > deg(H) + Suy Fn (X, aX) = αn X n với αn = 0, F (X, aX) = 0.H + αn X n + .+αd X d = X n (αn + .+αd X d−n ) Trở lại tọa độ cũ ta F (x, ax+b) = (x − p)n G, với G(p) = αn = Chiều ngược lại, giả sử F (X, aX) = X n G với G(0) = Suy F (X, aX) = αn X n + + αd X d với αn := G(0) = Vì Y = aX tiếp tuyến với F (X, Y ) A(0, 0) nên F = (Y −aX)H +Fk +Fk+1 + .+Fd , với Fk (X, aX) = Để F (X, aX) = αn X n + .+αd X d , αn = k = n Vậy F (X, Y ) = (Y −aX)H +Fn +Fn+1 + .+Fd , suy I(0,0) (F, L) = I(0,0) (Fn + Fn+1 + + Fd , L) = n, Fn (X, aX) = nên Fn không nhận L làm nhân tử a b c c Áp dụng bổ đề cho trường hợp l tiếp xúc với f P ( , ) cắt f Q(x0 , y0 ), IP (f , l) = ta có F (a:b:c) f (x, − Fxy (a:b:c) x − Fz (a:b:c) Fy (a:b:c) ) =h x− a c (x − x0 ) Với h số khác Nếu a = b = suy P (0 : : 1), ta kiểm tra trực tiếp tiếp tuyến P có phải song tiếp tuyến hay không Nếu a b không đồng thời khơng, ta giả sử a = Khi từ 32 phương trình F (a:b:c) f (x, − Fxy (a:b:c) x − Fz (a:b:c) ) Fy (a:b:c) a = h(x − )2 (x − x0 ), c ta rút x0 Ta viết F (a:b:c) f (x, − Fxy (a:b:c) x − Fz (a:b:c) ) Fy (a:b:c) = β3 x3 + β2 x2 + β1 x + β0 Đồng hệ số ta có: x0 = − y0 = β0 c2 , β3 a2 Fx (a:b:c) β0 c2 Fy (a:b:c) β3 a2 − Fz (a:b:c) Fy (a:b:c) Với Q(x0 : y0 : 1), quy đồng khử mẫu cần, ta đưa tọa độ Q dạng Q xQ (a, b, c) : yQ (a, b, c) : zQ (a, b, c) với xQ , yQ , zQ đa thức a, b, c Khi đó, Q nghiệm hệ (∗) F (Q) = hay F (Q(a, b, c)) = Đặt BF (a, b, c) = F (Q(a, b, c)), ta tìm tập điểm đường cong trơn bậc bốn F mà tiếp tuyến điểm song tiếp tuyến: B = BF (x, y, z) ∩ F HF ∩ F Tổng kết lại, cho trước đường cong trơn bậc bốn F , ta tìm B thơng qua bước sau: Bước Kiểm tra điểm (0 : : 1), điểm F có tọa độ dạng (0 : y : 1) điểm thuộc F ∩ Fy , có thuộc tập B hay khơng Bước Đặt F = aFx + bFy + cFz Phân tích F (a:b:c) F (x, − Fxy (a:b:c) x − Fz (a:b:c) , 1) Fy (a:b:c) 33 = β3 x3 + β2 x2 + β1 x + β0 , tính hệ số βi theo a, b, c Quy đồng khử mẫu cần để đưa − ββ03 ac : Fx (a:b:c) β0 c2 Fy (a:b:c) β3 a2 F (a:b:c) − Fyz (a:b:c) : thành x(a, b, c) : y(a, b, c) : z(a, b, c) , với x(a, b, c), y(a, b, c), z(a, b, c) đa thức theo (a, b, c) Đặt BF (a, b, c) = F x(a, b, c) : y(a, b, c) : z(a, b, c) , tập B BF ∩ F hợp với điểm thu từ bước (nếu có) loại trừ điểm uốn F Ví dụ 3.0.2 Tìm song tiếp tuyến đường cong Fermat F = x4 + y + z Bước Kiểm tra trực tiếp điểm (0 : : 1), điểm F có tọa độ dạng (0 : y : 1) điểm thuộc F ∩ Fy , ta thấy chúng không thuộc tập B Bước F = ax3 + by + cz F (a:b:c) F (x, − Fxy (a:b:c) x − Fz (a:b:c) , 1) Fy (a:b:c) = a− a9 b8 x3 − c3 a6 x2 c6 a3 x c9 − − + c b8 b8 b Ta tìm tọa độ Q: b3 c3 (c8 − b8 ) : a3 c3 (a8 − c8 ) : a3 b3 (b8 − a8 ) Thay vào phương trình F , ta phương trình BF : BF := F (xQ (a, b, c), yQ (a, b, c), zQ (a, b, c)) = (b4 + a4 )(c4 + b4 )(c4 + a4 )(−a20 b12 c12 − a16 c16 b12 − a36 c4 b4 − a12 c8 b24 + a4c12 b28 + a20 c16 b8 − a24 c12 b8 − a4 c36 b4 + a16 c20 b8 − a4 c4 b36 − a16 c12 b16 + a16 c8 b20 − a20 c20 b4 − a20 c4 b20 − a4 c20 b20 + a4 c28 b12 − a8 c8 b28 −a24 c8 b12 +3 a20 c8 b16 −a12 b32 +a36 b8 −a32 b12 −3 a16 b28 +3 a20 b24 −3 a28 c8 b8 + a28 c12 b4 + c8 a36 − c16 a28 + c24 a20 − c32 a12 − c28 a16 − c12 a32 + c20 a24 + c8 b36 − c12 b32 − c16 b28 + c20 b24 + c24 b20 − c28 b16 − c32 b12 + a8 b36 − a28 b16 + a24 b20 − a12 c16 b16 −a12 c12 b20 + a12 c4 b28 + b8 c36 + a28 c4 b12 −a12 c20 b12 −a12 c24 b8 + a12 c28 b4 − a8 c12 b24 + a8 c16 b20 + a8 c20 b16 − a8 c24 b12 − a8 c28 b8 + a8 c36 ) Bây ta tìm tọa độ giao điểm BF F tọa độ điểm uốn (giao điểm F HF ) 34 Tìm điểm uốn thông qua đường cong Hessian HF = x2 y z Đường cong F có 12 điểm uốn điểm uốn bậc 2: (0 : α : 1) ; (0 : α3 : 1) ; (0 : α5 : 1) ; (0 : α7 : 1); (1 : : α) ; (1 : : α3 ) ; (1 : : α5 ) ; (1 : : α7 ); (α : : 0) ; (α3 : : 0) ; (α5 : : 0) ; (α7 : : 0), √ √ 2 α = + i nguyên thủy bậc 2 Qua tính tốn, ta tìm tọa độ giao điểm BF F , gồm 12 điểm uốn 16 cặp điểm sau chung tiếp tuyến: (ω : ω : 1) (ω : ω : 1), song tiếp tuyến tương ứng : −x − y + z = (ω : ω : 1) (ω : ω : 1), song tiếp tuyến tương ứng : x − y + z = (ω : ω : 1) (ω : ω : 1), song tiếp tuyến tương ứng : −x + y + z = (ω : ω : 1) (ω : ω : 1), song tiếp tuyến tương ứng : x + y + z = (ω : θ : 1) (ω : θ5 : 1), song tiếp tuyến tương ứng : −x + iy + z = (ω : θ : 1) (ω : θ5 : 1), song tiếp tuyến tương ứng : x + iy + z = (ω : θ7 : 1) (ω : θ11 : 1), song tiếp tuyến tương ứng : −x − iy + z = (ω : θ7 : 1) (ω : θ11 : 1), song tiếp tuyến tương ứng : x − iy + z = (θ : ω : 1) (θ5 : ω : 1), song tiếp tuyến tương ứng : ix + y + z = (θ7 : ω : 1) (θ11 : ω : 1), song tiếp tuyến tương ứng : −ix + y + z = (θ : ω : 1) (θ5 : ω : 1), song tiếp tuyến tương ứng : ix − y + z = (θ7 : ω : 1) (θ11 : ω : 1), song tiếp tuyến tương ứng : −ix − y + z = (θ : θ11 : 1) (θ5 : θ7 : 1), song tiếp tuyến tương ứng : ix − iy + z = (θ7 : θ11 : 1) (θ11 : θ7 : 1), song tiếp tuyến tương ứng : −ix − iy + z = (θ : θ5 : 1) (θ5 : θ : 1), song tiếp tuyến tương ứng : ix + iy + z = (θ7 : θ5 : 1) (θ11 : θ : 1), song tiếp tuyến tương ứng : −ix + iy + z = √ √ 3 Trong θ = + i nguyên thủy bậc 12 1, ω = θ2 = + i 2 2 nguyên thủy bậc 35 Như ta biết xác cặp điểm chung tiếp tuyến, phương trình song tiếp tuyến đường cong Fermat, tọa độ điểm node đường cong đối ngẫu Ngồi ra, để tìm hiểu thêm cách tiếp cận khác với song tiếp tuyến này, xem [5] Ví dụ 3.0.3 Tiếp theo ta tìm song tiếp tuyến đường cong Klein F = x3 y + y z + z x Bước Kiểm tra trực tiếp điểm (0 : : 1), điểm F có tọa độ dạng (0 : y : 1) (0 : : 1), điểm thuộc F ∩ Fy (0 : : 1) ; (0 : : 0) ; (ω : : − ω 3), với ω nghiệm phương trình z − 18 = Ta thấy chúng không thuộc tập B Bước Đặt F = aFx +bFy +cFz = a x2 y + z +b x3 + y 2z +c y + z x Ta phân tích: F (a:b:c) F (x, − Fxy (a:b:c) x − + Fz (a:b:c) , 1) Fy (a:b:c) −3 a + + = a a2 b + c3 c a2 b + c3 −3 + b − a3 + b2 c (a3 + b2 c) b a2 b + c3 (a3 2 + b2 c) −3 c a2 b + c3 (a3 x3 2 + b2 c) b a2 b + c3 a2 b + c3 + c −3 +3 a3 + b2 c a3 + b2 c x2 x + a + b − c Tọa độ điểm Q: xQ = (a + b − c) a3 + b2 c c yQ = −117 c7 a4 b4 + 81 c6a2 b7 − 243 c5 a2 b8 − 81 c7 b5 a3 + 81 c5 a5 b5 − a2 b3 c10 − c2 a11 b2 − 27 c6b3 a6 −27 a5 c9 b−243 c4 a5 b6 −27 c5 b7 a3 −27 c8 ab6 −54 a5 b8 c2 +27 c4a8 b3 −288 c4 b5 a6 − 246 c3b3 a9 +27 a2 b10 c3 −81 c3 a8 b4 +9 c7 a6 b2 +3 c3 a11 b−3 c5 ba9 −144 c6 a7 b2 +27 c8 a3 b4 − 27 a12 c2 b − 10 c5 a10 − 81 c8 b7 + c6 a9 + 27 c9b6 − a11 b4 − a3 c12 − 72 a8 b6 c zQ = (a3 + b2 c)(8 a9 b + 72 a6 b3 c + 54 a3 b5 c2 + c3 a7 + 45 c4a4 b2 + 27 ac5 b4 − 27 b7 c3 + a2 bc7 + c10 )a2 36 Thay tọa độ Q vào phương trình F , ta phương trình BF : BF = (a + b − c)3 (a3 + b2 c)12 c6 (−27 c5 b7 a3 − 246 c3b3 a9 − c2 a11 b2 + 27 a2 b10 c3 − 27 c2ba12 − 288 c4b5 a6 − 54 a5 b8 c2 − 81 c3 a8 b4 − 243 c4a5 b6 − 243 c5a2 b8 + c3 a11 b + 27 c4a8 b3 +81 c5a5 b5 +81 c6 a2 b7 −144 c6 a7 b2 −117 c7 a4 b4 −27 c8 ab6 −3 c5 ba9 −27 c6b3 a6 − 81 c7b5 a3 + c7 a6 b2 + 27 c8 a3 b4 − 10 c5 a10 − 81 c8 b7 + c6 a9 + 27 c9b6 − a11 b4 − a3 c12 − 72 a8 b6 c − a2 b3 c10 − 27 a5 c9 b) + (−27 c5 b7 a3 − 246 c3b3 a9 − c2 a11 b2 + 27 a2 b10 c3 − 27 c2ba12 − 288 c4 b5 a6 − 54 a5 b8 c2 − 81 c3 a8 b4 − 243 c4 a5 b6 − 243 c5a2 b8 + c3 a11 + 27 c4a8 b3 +81 c5a5 b5 +81 c6 a2 b7 −144 c6 a7 b2 −117 c7 a4 b4 −27 c8 ab6 −3 c5 ba9 −27 c6b3 a6 − 81 c7b5 a3 + c7 a6 b2 + 27 c8 a3 b4 − 10 c5 a10 − 81 c8 b7 + c6 a9 + 27 c9b6 − a11 b4 − a3 c12 − 72 a8 b6 c−a2 b3 c10 −27 a5 c9 b)3 (a3 +3 b2 c)(8 a9 b+72 a6b3 c+54 a3 b5 c2 +3 c3 a7 +45 c4 a4 b2 + 27 ac5 b4 − 27 b7 c3 + a2 bc7 + c10 )a2 + (a3 + b2 c)7 (8 a9 b + 72 a6 b3 c + 54 a3 b5 c2 + c3 a7 + 45 c4a4 b2 + 27 ac5 b4 − 27 b7 c3 + a2 bc7 + c10 )3 a6 (a + b − c)c2 Tìm điểm uốn thơng qua đường cong Hessian HF :   yx x2 z   2  HF = det   x yz y  z y xz Định thức ma trận Hessian 270 x2 y z − 54 xy − 54 x5 z − 54 z y, suy HF = x2 y z − xy − x5 z − z y Từ ta tìm 24 điểm uốn thường đường Klein: (a) Ba điểm uốn có tọa độ là: (1 : : 0) , (0 : : 0) , (0 : : 1) (b) Ba điểm uốn có tọa độ dạng:(−α2 − α + : α : 1), với α nghiệm phương trình z + 2z − z − = : β : 1), 4 với β nghiệm phương trình z − 3z + 2z + z + 4z + 2z + = (c) Sáu điểm uốn có tọa độ dạng:(− β + β − 2β − β − β − (d) Sáu điểm uốn có tọa độ dạng: (−3γ + 7γ − 22β + 24γ − 16γ + : γ : 1), với γ nghiệm phương trình z − 3z + 9z − 13z + 11z − 5z + = 1 : δ : 1), 2 2 với δ nghiệm phương trình z + 4z + 9z + 8z + 4z + 2z + = (e) Sáu điểm uốn cịn lại có tọa độ dạng: (− δ − δ − δ + δ + 37 Tiếp theo ta phải tìm tọa độ giao điểm F BF Chúng thực hành phần mềm Maple để tìm giao điểm F BF Nhưng kết phức tạp để đưa vào văn bản, nên lựa chọn cặp điểm sau mà tiếp tuyến song tiếp tuyến: 1 √ 1 √ (− + i : − − i : 1) 2 2 1 √ 1 √ (− − i : − + i : 1) 2 2 Với song tiếp tuyến tương ứng là: x + y + z = Theo [7], phương trình 28 song tiếp tuyến là: l0,j : z = −ω j y − ω 3j x, l1,j : z = −ω j γ12 y − ω 3j γ3−2 x, l2,j : z = −ω j γ22 y − ω 3j γ1−2 x, l3,j : z = −ω j γ32 y − ω 3j γ2−2 x, j = 0, 6, ω nguyên thủy bậc 1, γ1 = ω + ω −1, γ2 = ω + ω −2 , γ3 = ω + ω −4 38 Kết luận Bản luận văn câu chuyện nhỏ nhắn, kể hiểu biết suy nghĩ sơ khai tác giả lần làm quen với Hình học đại số Đóng góp luận văn đưa cách tiếp cận tìm đường song tiếp tuyến thơng qua việc tìm tiếp điểm có chung song tiếp tuyến Một số ví dụ tính toán cho đường cong Fermat x4 + y + z = đường cong Klein x3 y + y z + z x = trình bày luận văn cho thấy phức tạp tốn Khó khăn mà chúng tơi gặp phải chưa tìm điều kiện P để hệ phương trình    aFx + bFy + cFz = xF (P ) + yFy (P ) + zFz (P ) = x   F = có hai nghiệm phân biệt, F đường cong trơn bậc Đó điều tác giả phải ln suy nghĩ thời gian tới Rất mong có góp ý, bảo bè bạn quý thầy cô 39 Tài liệu tham khảo [1] Egbert Briestkorn, Horst Knăorrer (1986), Plane Algebraic Curves, Birkhăauser Verlag, Boston [2] W Fulton (2008), Algebraic Curves, Springer [3] VIK.S Kulikov (2011), "A remark on classical Pluecker’s formulae", math AG 1101 5042V1 [4] Mutsuo Oka (2000), "Geometry of cuspidal sextics and their dual curves", In singularities-Sapporo, Adv.Studies in Pure Math 29, pp 245-277 [5] Mutsuo Oka (2005), "On Fermat curves maximal nodal curves", Michigan Math J, vol 53, P.459-477 [6] Daniel Plaumann, Bernd Sturmfels, Cythia Vizant (2011), "Quartic curves and their bitangents", Math AG 1008 4104V2 [7] Testsuji Shioda (1993), "Plane quartics and Mordell-Weil lacttices of type E7 ", Comment Math Univ St Pauli, vol 42 61-79 [8] A M Vermeulen (1993), Weierstrass points of weight two on curves of genus three, PhD thesis, Universiteit van Amsterdam 40