ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỖ ĐỨC ĐIỆP SỐ GIAO CỦA CÁC ĐƯỜNG CONG ĐẠI SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội Năm 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỖ ĐỨC ĐIỆP SỐ GIAO CỦA CÁC ĐƯỜNG CONG ĐẠI SỐ Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số : 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS PHÓ ĐỨC TÀI Hà Nội Năm 2012 Mục lục Lời nói đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Khái niệm điểm bội số g 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.2 Khái niệm điểm bội số g 1.2.1 1.2.2 Một số kết chứng minh lý thuyết số giao 2.1 Đường cong Hessian 2.2 Đường cong đối ngẫu Một phương pháp tìm song tiếp tuyến đường cong trơn bậc bốn Kết luận Lời nói đầu Số giao đường cong đại số phần kiến thức Hình học đại số Mục đích luận văn nghiên cứu tốn tìm phương trình song tiếp tuyến đường cong trơn Để giải tốn này, cơng cụ chúng tơi số giao Qua ánh xạ Gauss (là song ánh từ đường cong vào đường cong đối ngẫu nó), ta có tương ứng mộtmột đường song tiếp t uyến đường cong kì dị node (là kì dị đơn giản nhất) đường cong đối ngẫu Vì việc nghiên cứu đường song tiếp tuyến cho thơng tin kì dị node đường cong đối ngẫu Luận văn trình bày tóm tắt lại số kết lý thuyết số giao đường cong đại số ứng dụng để tìm song tiếp tuyến, cụ thể tìm cặp điểm chung tiếp tuyến, đường cong trơn Do việc tính tốn phức tạp, nên thực cho đường cong trơn bậc bốn (trường hợp có xuất song tiếp tuyến) Chúng tơi trình bày cụ thể hai ví dụ, đường cong Fermat x4 + y4 + z4 3 = đường cong Klein x y + y z + z x = Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia thành ba chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị, trình bày số kiến thức đường cong đại số, trọng tâm số giao Chương 2: Trên cở sở lý thuyết số giao, chứng minh số kết liên quan đến đường cong Hessian đường cong đối ngẫu Chương 3: Trong chương tập trung trình bày phương pháp tìm song tiếp tuyến cách tìm cặp điểm chung tiếp tuyến đường cong trơn Cụ thể áp dụng để tính tốn cho số đường bậc bốn Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới TS Phó Đức Tài, Thầy tận tình hướng dẫn tơi liên tục năm qua, để tơi hồn thành luận văn có thêm hiểu biết Tác giả xin chân thành cảm ơn Khoa Toán Cơ Tin học, Phòng Sau Đ ại Học trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt q trình học tập trường từ ngày cịn sinh viên Hà Nội, mùa hè năm 2012 Tác giả Đỗ Đức Điệp Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày khái niệm, tính chất định lí điểm bội, số giao hai đường cong điểm Tài liệu tham khảo chủ yếu [2] Trong luận văn này, khơng nói thêm ta ln giả thiết K 2 2 trường đóng đại số với đặc số 0, ký hiệu A = A (K) P = P (K) mặt phẳng affine mặt phẳng xạ ảnh K 1.1 Khái niệm điểm bội số giao mặt phẳng affine A2 1.1.1 Khái niệm điểm bội Trong A2, đường cong đại số tập không điểm đa thức khác số F ∈ K[x, y] Để đơn giản, chúng tơi dùng kí hiệu đường cong F , chung với đa thức định nghĩa Trong luận văn đề cập đến đường cong thu gọn, tức đường cong mà đa thức định nghĩa chúng có nhân tử có bội Định nghĩa 1.1.1 Cho F đường cong, điểm P ∈ F gọi điểm đơn Fx(P ) = Fy(P ) = Ngược lại, ta gọi P điểm bội điểm kì dị F Với đường cong F ta viết dạng F = Fm + Fm+1 + + Fn Trong m ≥ 0, Fi dạng bậc i (tức đa thức bậc i theo biến) Khi đó, số m gọi số bội điểm P (0, 0) đường cong F kí hiệu mp(F ) = m Dễ thấy m = P F , m = P điểm đơn F Vì K trường đóng đại số nên ta có phân tích Fm = dạng bậc Khi Li gọi tiếp tuyến bội ei F P Như điểm bội m, đường cong có đủ m tiếp tuyến (đếm bội) Trên ta vừa đưa khái niệm với điểm P (0, 0), với điểm Q(a, b) bội điểm Q đường cong F (x, y) định nghĩa bội điểm P (0, 0) đường cong F (x + a, y + b), Li(x, y) tiếp tuyến bội ei đường cong F (x + a, y + b) P Li(x − a, y − b) tiếp tuyến bội ei đường cong F (x, y) Q Nếu Q(a, b) điểm đơn đường cong F F có tiếp tuyến Q, xác định công thức: Fx(Q)(x − a) + Fy(Q)(y − b) = 1.1.2 Vành tọa độ vành địa phương đa tạp Giả sử S tập đa thức K[x1, , xn], ta kí hiệu n V (S) = {P ∈ A |F (P ) = 0, ∀F ∈ S}, tức V (S) = ∩F ∈S V (F ) n Một tập X ⊂ A (K) gọi tập đại số afin X = V (S) với S Một tập đại số gọi khả quy hợp hai hay nhiều tập đại số nhỏ Trong trường hợp ngược lại, ta gọi tập đại số bất khả quy hay đa tạp affine (xạ ảnh) Giả sử V đa tạp khác rỗng A n(K) Ký hiệu I(V ) tập đa thức triệt tiêu V Ta thấy iđêan nguyên tố K[x1, x2, , xn] Do vành thương (V ) = K[x1, x2, , xn]/I(V ) miền nguyên gọi vành tọa độ V n Với tập V ⊂ A (K), ta kí hiệu F(V, K) tập hợp tất hàm từ V tới K F(V, K) vành với phép toán định nghĩa sau: Nếu f, g ∈ F(V, K), (f + g)(x) = f (x) + g(x) (f.g)(x) = f (x).g(x) với x ∈ V Ta xem K vành F(V, K) đồng K với vành chứa tất hàm F(V, K) n Trở lại trường hợp V ⊆ A (K) đa tạp, hàm f ∈ F(V, K) gọi hàm đa thức V , tồn đa thức F ∈ K[x1, x2, , xn] với f (a1, , an) = F (a1, , an) với (a1, , an) ∈ V Khi ta nói đa thức F xác định hàm f Như vậy, hai đa thức F G xác định hàm đa thức f (F − G)(P ) = với P ∈ V (nghĩa F − G ∈ I(V )) Ta dễ dàng chứng minh rằng, tập hàm đa thức làm thành vành F(V, K), nữa, vành chứa K Trở lại với vành tọa độ đa tạp V Như nói trên, (V ) miền nguyên nên tồn trường thương trường gọi trường hàm hữu tỉ V, kí hiệu K(V ) Mỗi phần tử K(V ) hàm hữu tỉ V Nếu f hàm hữu tỉ V P ∈ V, ta nói f xác định P a tồn a, b ∈ (V ) cho f = b b(P ) = Còn P mà f khơng xác định ta nói P điểm cực f Có thể chứng minh tập hợp hàm hữu tỉ xác định điểm P ∈ V làm thành vành K(V ), vành gọi vành địa phương V P kí hiệu OP (V ) Hơn nữa, phần tử (V ) xác định với P ∈ V nên (V ) ⊂ OP (V ) ta có bao hàm thức K ⊂ (V)⊂OP(V)⊂K(V) 1.1.3 Số giao hai đường cong điểm Cho F G hai đường cong mặt phẳng A2 Số giao F G điểm P ∈ A kí hiệu IP (F, G) xác định thơng qua tính chất sau Các tính chất xác định số giao: IP (F, G) ≥ 0, IP (F, G) = ∞ F G có thành phần chung qua P IP (F, G) = P F ∩ G Nếu T phép thay đổi tọa độ affine mà T (Q) = P IP (F, G) = IQ(F T T , G ) IP (F, G) = IP (G, F ) IP (F, G) ≥ mP (F ).mP (G) Đẳng thức xảy F G khơng có tiếp tuyến chung P Giả sử F = IP (F, G) = IP (F, G + HF ), ∀H ∈ K[x, y] Ví dụ 1.1.1 Tính số giao F G điểm P (0, 0) với F = y − x , G = x + y(y − x ) (theo tính chất (7)) IP (F, G) = IP (y − x , x) = IP (y, x) (theo tính chất (7)) =1 (theo tính chất (5)) 3 Tính số giao A B điểm P (0, 0) với A = x + y − x , B = y − x IP (A, B) = IP (x, y − x ) (theo tính chất (7)) = IP (x, y ) (theo tính chất (7)) = 2IP (y, x) (theo tính chất (6)) = Tính đắn định nghĩa số giao cơng thức tính thể thông qua định lý sau: Định lý 1.1.1 (Xem [2], định lý 3, trang 37) Tồn số giao IP (F, G) xác định cho cặp đường cong F G điểm P ∈ A , thỏa mãn tính chất Ngoài IP (F, G) = dimK(OP (A )/(F, G)) Chứng minh Chứng minh tính tồn Giả sử IP (F, G) xác định theo tính chất Chúng ta xây dựng chương trình tính IP (F, G) mà sử dụng tính chất này, điều đủ để tính xác định IP (F, G) Ta giả thiết P (0, 0) (theo tính chất (3)) IP (F, G) < ∞ (theo (1)) Giả sử cần tính IP (F, G) = n > 0, cịn P F ∩ G IP (F, G) = (theo (2)) Dùng phương pháp quy nạp với giả thiết quy nạp IP (A, B) < n tính với A, B ∈ K[x, y] Gọi bậc đa thức bậc F (x, 0),G(x, 0) r s, giả thiết r ≤ s, không ta dùng (4) để đảo lại Trường hợp Nếu r = Vì F (0, 0) = F (P ) = nên F = yH với H thuộc K[x, y] Từ (6) suy IP (F, G) = IP (y, G) + IP (H, G) Vì G(0, 0) = nên ta m phân tích G(x, 0) = x (a0 + a1x + + as−mx s−m ) với a0 = 0, ≤ m ≤ s Khi IP (y, G) = IP (y, G(x, 0) + G.y) với G thuộc K[x, y] (vì G(0, 0) = nên tồn G để G = G(x, 0) + Gy) định phương trình: F = aFx + bFy + cFz = 0, đường cong gọi đường cực F P (theo [1]) Đường cong F đường cong bậc n − qua P có tính chất sau: Mệnh đề 3.0.1 P điểm đơn F Nếu gọi L tiếp tuyến F P L tiếp tuyến F P P điểm uốn F P điểm uốn F Giả sử Q điểm khác P Khi đó, Q ∈ F ∩ F tiếp tuyến F Q qua P Chứng minh Trước hết ta chứng minh công thức sau (công thức Euler): Nếu F (x1, x2, nF = m xj Fxj j=1 Thật vậy, ta viết F= i j=1 Khi α −1 aiαij x jij Fxj = x α ik k i Từ suy m xF =( j xj j=1 Chứng minh (1) Áp dụng công thức ta có Fx(a, b, c) = (n − 1)Fx(a, b, c), Fy(a, b, c) = (n − 1)Fy(a, b, c), Fz(a, b, c) = (n − 1)Fz(a, b, c) 28 Do P điểm đơn F P điểm đơn F Nhưng F đường cong trơn nên P điểm đơn F Vậy P điểm đơn F dễ thấy F F chung tiếp tuyến P xFx(P ) + yFy(P ) + zFz (P ) = Chứng minh (2) Ta có đường cong Hessian HF F xác định det Còn đường cong H e xác định F F F xx det xy F xz Fyx Fyy Fyz F zx F zy = F zz Theo cơng thức Euler ta có Fxx(a, b, c) = (n − 2)Fxx(a, b, c), Fyy(a, b, c) = (n − 2)Fyy(a, b, c), Fzz(a, b, c) = (n − 2)Fzz(a, b, c), Fxy(a, b, c) = (n − 2)Fxy(a, b, c), Fxz(a, b, c) = (n − 2)Fxz(a, b, c), Fyz(a, b, c) = (n − 2)Fyz(a, b, c) Từ suy H e(a, b, c) = HF (a, b, c) = Mặt khác P thuộc F F F , nên P điểm uốn F P điểm uốn F Chứng minh (3) Giả sử Q ∈ F ∩ F Q = P Tiếp tuyến F Q có phương trình xFx(Q) + yFy(Q) + zFz (Q) = Vì Q ∈ F nên tọa độ Q thỏa mãn phương trình F aFx(Q) + bFy(Q) + cFz(Q) = 29 Đẳng thức cuối suy tọa độ P (a : b : c) thỏa mãn phương trình tiếp tuyến F Q Vậy tiếp tuyến điểm giao F F qua P Bây ta tìm điều kiện P (thuộc Q ∈ F khác P , mà tiếp tuyến với F P Xét hệ phương trình sau F ) để cho tồn điểm Q trùng aF ( xF ) x x ∗ F=0 a, b, c tham số (P (a : b : c) ∈ F ), (x : y : z) tọa độ Gọi L đường thẳng có phương trình xFx(P ) + yFy(P ) + zFz(P ) = Dễ thấy L tiếp tuyến chung F F P Vậy nghiệm hệ tọa độ giao điểm đường gồm F, F L Rõ ràng P (a : b : c) nghiệm hệ phương trình (∗), điều đáng ý hệ phương trình thể mệnh đề sau: Mệnh đề 3.0.2 Giả sử Q(x : y : z) = P (a : b : c), Q(x : y : z) nghiệm hệ phương trình (∗) L tiếp tuyến F Q Chứng minh Nếu Q(x : y : z) nghiệm hệ (∗) Q(x : y : z) ∈ F ∩ F Theo mệnh đề 3.0.1 tiếp tuyến F Q qua P Nhưng Q(x : y : z) nghiệm hệ (∗) nên Q(x : y : z) ∈ L, mà P ∈ L, P = Q nên có đường thẳng qua P Q L, tiếp tuyến tuyến tiếp xúc với F P Q Điều ngược lại hiển nhiên Đặt B tập điểm F , cho ∀Q ∈ B ln tồn điểm Q′ ∈ F, Q′ = Q mà tiếp tuyến F Q Q′ trùng Qua mệnh đề ta thấy hệ phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt (trong P (a : b : c) 30 nghiệm) P ∈ B Như để tìm B ta tìm điều kiện P (a : b : c) để hệ phương trình (∗) có nghiệm khác P (a : b : c) Trong luận văn này, chúng tơi hồn thành với deg(F ) = n = Giả sử deg(F ) = deg(F ) = Khi hệ (∗) có nhiều nghiệm phân biệt Thật vậy, tổng số giao L F 3, IP (L, F ) ≥ (vì L tiếp xúc với F P ) nên L giao với F nhiều điểm phân biệt Vậy hệ (∗) có nhiều hai nghiệm phân biệt Cũng từ ta thấy để hệ (∗) có nghiệm phân biệt điều kiện L giao F hai điểm phân biệt, điều tương đương với P điểm uốn F hay P H e (để ý P F thuộc F F ) Theo Mệnh đề 3.0.1 P không thuộc HF Tới đây, đặt điều kiện P HF ta có L F phải giao hai điểm phân biệt Một điểm hiển nhiên P , điểm lại ta đặt Q, giả sử Q(x0 : y0 : 1) Khi đó, A điểm Q(x0, y0) giao điểm f(x, y) = F (x, y, 1) l(x, y) = L(x, y, 1) Cụ thể phương trình f(x, y) l tương ứng là: aFx(x : y : 1) + bFy(x : y : 1) + cFz(x : y : 1) = 0, xFx(a : b : c) + yFy(a : b : c) + Fz (a : b : c) = a b Ta giả sử c = 0, l tiếp xúc với f P ( c, c ) cắt f Q(x0, y0) Nếu Fx(a : b : c) Fy(a : b : c) kéo theo Fz(a : b : c) = mâu thuẫn với giả thiết F đường cong trơn Vì giả sử Fy(a : Fx(a : b : c) Fz(a : b : c) b : c) = 0, đưa phương trình l dạng y = − x− Fy(a : b : c) Fy(a : b : c) Ta biểu diễn tọa độ Q theo P F Trước hết ta cần đến bổ đề sau: Bổ đề 3.0.1 Trong mặt phẳng A , gọi C đường cong bậc d > 1, xác định phương trình F (x, y) = Giả sử L : y = ax + b tiếp xúc với C điểm 31 n A(p, q) Khi IA(C, L) = n F (x, ax + b) = (x − p) G Trong G ∈ K[x], G(p) = deg(G) = d − n Chứng minh Chuyển điểm A gốc tọa độ phép tịnh tiến x=X+p y=Y+q Khi phương trình L Y = aX A(0, 0) Giả sử IA(C, L) = n, mà L tiếp tuyến C A(0, 0) nên F (X, Y ) = (Y − aX)H + Fn + Fn+1 + + Fd Trong Fi dạng bậc i, Fn(X, aX) = 0, n n > deg(H) + Suy Fn(X, aX) = αnX với αn = 0, F (X, aX) = 0.H + α nX d n + .+αdX = X (αn + .+αdX d−n n ) Trở lại tọa độ cũ ta F (x, ax+b) = n (x − p) G, với G(p) = αn = n Chiều ngược lại, giả sử F (X, aX) = X G với G(0) = Suy F (X, aX) = n d αnX + + αdX với αn := G(0) = Vì Y = aX tiếp tuyến với F (X, Y ) A(0, n 0) nên F = (Y −aX)H +Fk +Fk+1 + .+Fd, với Fk(X, aX) = Để F (X, aX) = αnX + d +αdX , αn = k = n Vậy F (X, Y ) = (Y −aX)H +F n +Fn+1 + .+Fd, suy I(0,0)(F, L) = I(0,0)(Fn + Fn+1 + + Fd, L) = n, Fn(X, aX) = nên Fn không nhận L làm nhân tử Áp dụng bổ đề cho trường hợp l tiếp xúc với f P ( Q(x0, y0), IP (f , l) = ta có f (x, − Với h số khác Nếu a = b = suy P (0 : : 1), ta kiểm tra trực tiếp tiếp tuyến P có phải song tiếp tuyến hay khơng Nếu a b không đồng thời không, ta giả sử a = Khi từ 32 phương trình Fx (a:b:c) f(x, − a Fz (a:b:c) x− Fy (a:b:c) Fy (a:b:c) ) = h(x − )2(x − x ), c ta rút x0 Ta viết f(x, −Fx (a:b:c) x − Fz (a:b:c) ) = β3x3 + β2x2 + β1x + β0 Fy (a:b:c) Fy (a:b:c) Đồng hệ số ta có: β0 c x0 = − β3 a2 , y = Fx(a:b:c)2 β0c2 − Fz (a:b:c) (a:b:c) β3a Fy (a:b:c) Fy Với Q(x0 : y0 : 1), quy đồng khử mẫu cần, ta đưa tọa độ Q dạng Q xQ(a, b, c) : yQ(a, b, c) : zQ(a, b, c) với xQ, yQ, zQ đa thức a, b, c Khi đó, Q nghiệm hệ (∗) F (Q) = hay F (Q(a, b, c)) = Đặt BF (a, b, c) = F (Q(a, b, c)) , ta tìm tập điểm đường cong trơn bậc bốn F mà tiếp tuyến điểm song tiếp tuyến: B = BF (x, y, z) ∩ F HF ∩ F Tổng kết lại, cho trước đường cong trơn bậc bốn F , ta tìm B thông qua bước sau: Bước Kiểm tra điểm (0 : : 1), điểm F có tọa độ dạng (0 : y : 1) điểm thuộc F ∩ Fy, có thuộc tập B hay không Bước Đặt F = aFx + bFy + cFz Phân tích F (x, − Fx (a:b:c) Fy (a:b:c) x− Fz (a:b:c) , 1) = β3x + β2x + β1x + β0, Fy (a:b:c) 33 tính hệ số βi theo a, b, c Quy đồng khử mẫu cần để đưa x(a, b, c) : y(a, b, c) : z(a, b, c) , với x(a, b, c), y(a, b, c), z(a, b, c) đa thức theo (a, b, c) Đặt BF (a, b, c) = F x(a, b, c) : y(a, b, c) : z(a, b, c) , tập B BF ∩ F hợp với điểm thu từ bước (nếu có) loại trừ điểm uốn F 4 Ví dụ 3.0.2 Tìm song tiếp tuyến đường cong Fermat F = x + y + z Bước Kiểm tra trực tiếp điểm (0 : : 1), điểm F có tọa độ dạng (0 : y : 1) điểm thuộc F ∩ Fy, ta thấy chúng không thuộc tập B 3 Bước F = ax + by + cz Fx(a:b:c) F (x, − Fy (a:b:c) Ta tìm tọa độ Q: 3 8 3 8 3 8 b c (c − b ) : a c (a − c ) : a b (b − a ) Thay vào phương trình F , ta phương trình BF : 4 4 4 20 12 12 BF := F (xQ(a, b, c), yQ(a, b, c), zQ(a, b, c)) = (b + a )(c + b )(c + a )(−a b c − a16c16b12 − a36c4b4 − a12c8b24 + a4c12b28 + a20c16b8 − a24c12b8 − a4c36b4 + a16c20b8 − a4c4b36 − a16c12b16 + a16c8b20 − a20c20b4 − a20c4b20 − a4c20b20 + a4c28b12 − a8c8b28 −a24c8b12 +3 a20c8b16 −a12b32 +a36b8 −a32b12 −3 a16b28 +3 a20b24 −3 a28c8b8 + a28c12b4 + c8a36 − c16a28 + c24a20 − c32a12 − c28a16 − c12a32 + c20a24 + c8b36 − c12b32 − c16b28 + c20b24 + c24b20 − c28b16 − c32b12 + a8b36 − a28b16 + a24b20 − a12c16b16 −a12c12b20 + a12c4b28 + b8c36 + a28c4b12 −a12c20b12 −a12c24b8 + a12c28b4 − 12 24 a c b 16 20 +3a c b 20 16 +3a c b 24 12 −a c b 28 8 36 − a c b + a c ) Bây ta tìm tọa độ giao điểm BF F tọa độ điểm uốn (giao điểm F HF ) 34 2 Tìm điểm uốn thông qua đường cong Hessian HF = x y z Đường cong F có 12 điểm uốn điểm uốn bậc 2: (0:α:1);(0:α :1);(0:α :1);(0:α :1); (1:0:α);(1:0:α );(1:0:α );(1:0:α ); (α:1:0);(α :1:0);(α :1:0);(α :1:0), √ √ 2 α = + i ngun thủy bậc Qua tính tốn, ta tìm tọa độ giao điểm BF F , gồm 12 điểm uốn 16 cặp điểm sau chung tiếp tuyến: 5 (ω : ω : 1) (ω : ω : 1), song tiếp tuyến tương ứng : −x − y + z = (ω : ω : 1) (ω : ω : 1), song tiếp tuyến tương ứng : x − y + z = (ω : ω : 1) (ω : ω : 1), song tiếp tuyến tương ứng : −x + y + z = 2 (ω : ω : 1) (ω : ω : 1), song tiếp tuyến tương ứng : x + y + z = 5 (ω : θ : 1) (ω : θ : 1), song tiếp tuyến tương ứng : −x + iy + z = (ω : θ : 1) (ω : θ : 1), (ω : θ : 1) (ω : θ 11 : 1), (ω : θ : 1) (ω : θ 11 : 1), song tiếp tuyến tương ứng : x − iy + z = (θ : ω : 1) (θ : ω : 1), (θ : ω : 1) (θ 11 : ω : 1), song tiếp tuyến tương ứng : −ix + y + z = (θ : ω : 1) (θ : ω : 1), song tiếp tuyến tương ứng : ix − y + z = (θ : ω : 1) (θ (θ : θ 11 (θ : θ 11 : ω : 1), : 1) (θ : θ : 1), 11 11 : 1) (θ : θ : 1), song tiếp tuyến tương ứng : −ix − iy + z = (θ : θ : 1) (θ : θ : 1), song tiếp tuyến tương ứng : ix + iy + z = 11 (θ : θ : 1) (θ Trong θ = nguyên thủy bậc 35 Như ta biết xác cặp điểm chung tiếp tuyến, phương trình song tiếp tuyến đường cong Fermat, tọa độ điểm node đường cong đối ngẫu Ngồi ra, để tìm hiểu thêm cách tiếp cận khác với song tiếp tuyến này, xem [5] Ví dụ 3.0.3 Tiếp theo ta tìm song tiếp tuyến đường cong Klein F 3 = x y + y z + z x Bước Kiểm tra trực tiếp điểm (0 : : 1), điểm F có tọa độ dạng (0 : y : 1) (0 : : 1), điểm thuộc F ∩ Fy (0:0:1);(0:1:0);(ω:1:− 3ω ), với ω nghiệm phương trình z7 − 18 = Ta thấy chúng không thuộc tập B Bước Đặt F = aFx +bFy +cFz = a Ta phân tích: Fx (a:b:c) F (x, − Fy (a:b:c) + −3 a + Tọa độ điểm Q: xQ = (a + b − c) a + b c 4 5 5 10 yQ = −117 c a b + 81 c a b − 243 c a b − 81 c b a + 81 c a b − a b c 6 8 2 11 −9c a b − 27 c b a −27 a c b−243 c a b −27 c b a −27 c ab −54 a b c +27 c a b −288 c b a − 3 10 3 11 246 c b a +27 a b c −81 c a b +9 c a b +3 c a b−3 c ba −144 c a b +27 c a b − 27 a 12 10 c b − 10 c a 10 9 11 12 − 81 c b + c a + 27 c b − a b − a c 3 4 − 72 a b c zQ = (a + b c)(8 a b + 72 a b c + 54 a b c + c a + 45 c a b + 27 ac b − 27 b c + a bc + c )a 36 Thay tọa độ Q vào phương trình F , ta phương trình BF : 3 12 3 11 2 10 BF = (a + b − c) (a + b c) c (−27 c b a − 246 c b a − c a b + 27 a b c − 12 27 c ba 8 4 11 − 288 c b a − 54 a b c − 81 c a b − 243 c a b − 243 c a b + c a b + 5 7 4 6 27 c a b +81 c a b +81 c a b −144 c a b −117 c a b −27 c ab −3 c ba −27 c b a − 7 10 81 c b a + c a b + 27 c a b − 10 c a 10 72 a b c − a b c 12 27 c ba 9 11 12 − 81 c b + c a + 27 c b − a b − a c 3 11 2 10 − 27 a c b) + (−27 c b a − 246 c b a − c a b + 27 a b c − 8 4 11 − 288 c b a − 54 a b c − 81 c a b − 243 c a b − 243 c a b + c a − 5 7 4 + 6 27 c a b +81 c a b +81 c a b −144 c a b −117 c a b −27 c ab −3 c ba −27 c b a − 7 10 81 c b a + c a b + 27 c a b − 10 c a 10 72 a b c−a b c 5 3 9 11 12 4 3 − 81 c b + c a + 27 c b − a b − a c − −27 a c b) (a +3 b c)(8 a b+72 a b c+54 a b c +3 c a +45 c a b + 7 10 27 ac b − 27 b c + a bc + c )a + (a + b c) (8 a b + 72 a b c + 54 a b c + c a + 4 7 45 c a b + 27 ac b − 27 b c + a bc + c 10 ) a (a + b − c)c Tìm điểm uốn thơng qua đường cong Hessian HF : yx x 2 3z HF = det 2 5 Định thức ma trận Hessian 270 x y z − 54 xy − 54 x z − 54 z y, suy 2 5 HF = x y z − xy − x z − z y Từ ta tìm 24 điểm uốn thường đường Klein: (a) Ba điểm uốn có tọa độ là: (1 : : 0) , (0 : : 0) , (0 : : 1) (b) Ba điểm uốn có tọa độ dạng:(−α − α + : α : 1), với α nghiệm phương trình z + 2z − z − = 5 3 (c) Sáu điểm uốn có tọa độ dạng:(− 4β + 2β − 2β − β − 4β − : β : 1), với β nghiệm phương trình z − 3z + 2z + z + 4z + 2z + = (d) Sáu điểm uốn có tọa độ dạng: (−3γ + 7γ − 22β + 24γ − 16γ + : γ : 1), với γ nghiệm phương trình z − 3z + 9z − 13z + 11z − 5z + = 5 (e) Sáu điểm uốn lại có tọa độ dạng: (− δ − δ − δ + δ + : δ : 1), với δ nghiệm phương trình z + 4z + 9z + 8z + 4z + 2z + = 37 Tiếp theo ta phải tìm tọa độ giao điểm F BF Chúng thực hành phần mềm Maple để tìm giao điểm F BF Nhưng kết phức tạp để đưa vào văn bản, nên lựa chọn cặp điểm sau mà tiếp tuyến song tiếp tuyến: (− 1 +2 √ i Với song tiếp tuyến tương ứng là: x + y + z = l l l l 0,j 1,j 2,j 3,j : : : : Theo [7], phương trình 28 song tiếp tuyến là: j 3j z = −ω y − ω x, j 3j −2 j 3j −2 z = −ω γ1 y − ω γ3 x, z = −ω γ2 y − ω γ1 x, j 3j −2 z = −ω γ3 y − ω γ2 x, −1 j = 0, 6, ω nguyên thủy bậc 1, γ1 = ω + ω , γ2 = ω + ω −2 −4 , γ3 = ω + ω 38 Kết luận Bản luận văn câu chuyện nhỏ nhắn, kể hiểu biết suy nghĩ sơ khai tác giả lần làm quen với Hình học đại số Đóng góp luận văn đưa cách tiếp cận tìm đường song tiếp tuyến thơng qua việc tìm tiếp điểm có chung song tiếp tuyến Một số ví dụ tính tốn cho đường cong Fermat x4 + y4 + z4 = đường cong Klein x3y + y3z + z3x = trình bày luận văn cho thấy phức tạp toán Khó khăn mà chúng tơi gặp phải chưa tìm điều kiện P để hệ phương trình aF + bF + cF = x y z xFx(P ) + yFy(P ) + zFz (P ) = F=0 có hai nghiệm phân biệt, F đường cong trơn bậc Đó điều tác giả phải suy nghĩ thời gian tới Rất mong có góp ý, bảo bè bạn quý thầy cô 39 Ti liu tham kho [1] Egbert Briestkorn, Horst Knăorrer (1986), Plane Algebraic Curves, Birkhăauser Verlag, Boston [2] W Fulton (2008), Algebraic Curves, Springer [3] VIK.S Kulikov (2011), "A remark on classical Pluecker’s formulae", math AG 1101 5042V1 [4] Mutsuo Oka (2000), "Geometry of cuspidal sextics and their dual curves", In singularitiesSapporo, Adv.Studies in Pure Math 29, pp 245277 [5] Mutsuo Oka (2005), "On Fermat curves maximal nodal curves", Michigan Math J, vol 53, P.459477 [6] Daniel Plaumann, Bernd Sturmfels, Cythia Vizant (2011), "Quartic curves and their bitangents", Math AG 1008 4104V2 [7] Testsuji Shioda (1993), "Plane quartics and MordellWe il lacttices of type E7", Comment Math Univ St Pauli, vol 42 6179 [8] A M Vermeulen (1993), Weierstrass points of weight two on curves of genus three, PhD thesis, Universiteit van Amsterdam 40 ... nói đầu Số giao đường cong đại số phần kiến thức Hình học đại số Mục đích luận văn nghiên cứu tốn tìm phương trình song tiếp tuyến đường cong trơn Để giải toán này, cơng cụ chúng tơi số giao... niệm điểm bội số g 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.2 Khái niệm điểm bội số g 1.2.1 1.2.2 Một số kết chứng minh lý thuyết số giao 2.1 Đường cong Hessian 2.2 Đường cong đối ngẫu Một phương pháp... HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỖ ĐỨC ĐIỆP SỐ GIAO CỦA CÁC ĐƯỜNG CONG ĐẠI SỐ Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số : 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA