ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HỒ THỊ MAI HƯƠNG SỰ TRIỆT TIÊU CỦA HỆ SỐ HILBERT VÀ ĐỘ SÂU CỦA VÀNH PHÂN BẬC LIÊN KẾT Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PSG TS CAO HUY LINH Thừa Thiên Huế, năm 2017 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tôi, số liệu kết nghiên cứu ghi luận văn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa cơng bố cơng trình khác Hồ Thị Mai Hương ii LỜI CẢM ƠN Với lòng biết ơn sâu sắc, xin chân thành cảm ơn Thầy giáo, PSG.TS Cao Huy Linh tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi suốt q trình học tập hồn thành luận văn Tơi xin trân trọng cảm ơn q Thầy Cơ giáo khoa Tốn - trường Đại học Sư phạm - Đại Học Huế giảng dạy, giúp đỡ, góp ý, truyền đạt cho tơi kiến thức bổ ích làm tảng cho việc nghiên cứu đề tài tạo điều kiện tốt để tơi hồn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Huế, phòng Đào tạo Sau Đại học phòng ban trường Đại Học Sư Phạm Huế tạo điều kiện thuận lợi cho suốt thời gian học tập trường Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, bạn bè tập thể lớp Cao học Tốn khóa XXIV (2015-2017) trường Đại học Sư phạm - Đại Học Huế động viên, giúp đỡ tơi vượt qua khó khăn thời gian học tập thực luận văn Huế, tháng năm 2017 Tác giả Hồ Thị Mai Hương iii MỤC LỤC Trang phụ bìa i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục Lời nói đầu Một số kiến thức sở 1.1 Vành thương địa phương hóa 1.2 Chiều vành môđun 1.3 Dãy quy độ sâu 10 1.4 Iđêan m-nguyên sơ iđêan tham số 12 1.5 Vành môđun phân bậc 13 1.5.1 Vành phân bậc 13 1.5.2 Môđun phân bậc 14 1.6 Vành môđun Cohen-Macaulay 15 1.7 Hàm Hilbert hệ số môđun phân bậc 16 1.8 Đối đồng điều địa phương 18 1.9 Chỉ số quy Castelnuovo-Mumford 20 Mối quan hệ tính triệt tiêu hệ số Hilbert độ sâu vành phân bậc liên kết 2.1 23 Hàm Hilbert-Samuel hệ số Hilbert-Samuel 23 2.2 Mối quan hệ hệ số Hilbert-Samuel hệ số Hilbert môđun phân bậc liên kết 24 2.3 Dãy phần tử siêu bề mặt 26 2.4 Tính khơng dương hệ số Hilbert iđêan tham số 29 2.5 d-dãy 33 2.6 Mối quan hệ tính triệt tiêu hệ số Hilbert độ sâu trường hợp d-dãy 2.7 34 Mối quan hệ tính triệt tiêu hệ số Hilbert độ sâu trường hợp số quy đủ nhỏ 38 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 LỜI NÓI ĐẦU Cho (A, m) vành địa phương Noether, I iđêan m-nguyên sơ A Giả sử M A-mơđun hữu hạn sinh có chiều d Khi hàm số HM : Z −→ N0   (M/I n M ) n −→ HM (n) = 0 n ≥ 0; n < gọi hàm Hilbert-Samuel M ứng với I Samuel chứng minh tồn đa thức PM ∈ Q [x] có bậc d cho HM (n) = PM (n) với n Đa thức gọi đa thức Hilbert-Samuel M ứng với iđêan I viết dạng d (−1)i PM (n) = i=0 n+d−i−1 ei (I, M ) , d−i ei (I, M ) với i = 1, , d số nguyên chúng gọi hệ số Hilbert M ứng với I Đặc biệt, hệ số dẫn đầu e0 (I, M ) gọi số bội hệ số e1 (I, M ) gọi hệ số Chern M ứng với iđêan I Việc nghiên cứu hệ số Hilbert cho nhiều thông tin cấu trúc vành môđun tương ứng Cho (A, m) vành Noether địa phương, I iđêan m-nguyên sơ Kí hiệu I n /I n+1 GI (A) = n≥0 Người ta gọi GI (A) vành phân bậc liên kết A ứng với I Vấn đề thiết lập mối quan hệ tính triệt tiêu hệ số Hilbert độ sâu vành phân bậc liên kết khơng hồn tồn đơn giản, thu hút nhiều nhà tốn học ngồi nước quan tâm Chẳng hạn, S.Goto, M.Manda, J.Verma chứng minh kết đáng ý hệ số Chern " Nếu q iđêan tham số vành địa phương Noether e1 (q) ≤ 0" ([8], [9], ) Trong [15] Lori Mccune chứng minh depth(Gq (A)) ≥ d−1 với q iđêan tham số vành A ei (q) ≤ 0, ∀i = 1, , d Trong [3] Linh-Trung chứng minh mối quan hệ tính triệt tiêu hệ số Hilbert độ sâu vành phân bậc liên kết trường hợp d-dãy Một cách cụ thể là, cho q iđêan tham số sinh d-dãy; lúc đó, ei (q) = depth(Gq (A)) ≥ d − i − Ta biết rằng, q iđêan tham số sinh d-dãy reg(Gq (A)) = Ta xét trường hợp tổng quát hơn, q iđêan tham số cho reg(Gq (A)) ≤ Khi đạt kết sau: Định lý: Giả sử (A, m) vành Noether địa phương có chiều d ≥ depth(A) ≥ k với ≤ k ≤ d − Giả sử q iđêan tham số A cho reg(Gq (A)) ≤ Khi đó, (i) depth(Gq (A)) ≥ k; (ii) ed−k+2 (q) = ed−k+3 (q) = = ed (q) = Từ định lý này, ta thu hệ sau cho vành hầu Cohen-Macaulay Hệ quả: Cho (A, m) vành hầu Cohen-Macaulay có chiều d ≥ Giả sử q iđêan tham số cho reg(Gq (A)) ≤ Khi đó, (i) depth(Gq (A)) ≥ d − 1; (ii) e3 (q) = e4 (q) = = ed (q) = Đây kết mà chúng tơi đạt Phương pháp mà sử dụng áp dụng kết Hoa [10] để đánh giá độ sâu vành phân bậc liên kết từ suy tính triệt tiêu hệ số Hilbert Luận văn chia làm hai chương Trong chương 1, chúng tơi trình bày số kiến thức Đại số giao hoán nhằm mục đích hổ trợ cho chứng minh chương sau Trong chương 2, chúng tơi trình bày số kết liên quan đến mối quan hệ tính triệt tiêu hệ số Hilbert độ sâu vành phân bậc liên kết Mặc dù có nhiều cố gắng, song trình nghiên cứu trình bày khó tránh khỏi sai sót, mong nhận góp ý q Thầy Cơ giáo bạn để luận văn hoàn thiện Chương Một số kiến thức sở Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức đại số giao hốn như: vành nhân tử hóa địa phương hóa, chiều vành mơđun, dãy quy độ sâu, iđêan nguyên sơ iđêan tham số, vành môđun phân bậc, vành môđun Cohen-Macaulay, hàm Hilbert hệ số môđun phân bậc, đối đồng điều địa phương, số quy Castelnuovo-Mumford Các kiến thức trình bày nhằm tham khảo cho nội dung chương sau Một số kết chương kinh điển, trích dẫn từ tài liệu tham khảo cách tóm tắt lại kết chính, chúng tơi trình bày nội dung mà khơng trình bày phần chứng minh (phần chứng minh tham khảo tài liệu [1], [5], [14], [7], [13]) 1.1 Vành thương địa phương hóa Định nghĩa 1.1.1 Một tập S vành R gọi tập nhân đóng, ∈ S xy ∈ S, ∀x, y ∈ S Trên tập R × S ta xét quan hệ ∼ xác định bởi: (a, s) ∼ (b, t) ⇔ ∃u ∈ S : u(at − bs) = 0, với s, t ∈ S, a, b ∈ R Dễ dàng kiểm tra quan hệ quan hệ tương đương Ta kí hiệu a/s lớp tương đương phần tử (a, s) S −1 R tập tất lớp tương đương này, tức S −1 R = {a/s | a ∈ R, s ∈ S} Trên tập S −1 R ta định nghĩa hai phép toán: (a/s) + (b/t) = (at + bs)/st, (a/s)(b/t) = ab/st Từ đó, có định nghĩa vành phân thức sau Định nghĩa 1.1.2 Tập S −1 R với hai phép toán trở thành vành giao hốn có phần tử đơn vị 1S −1 R = s/s (s ∈ S) phần tử s/t với s, t ∈ S khả nghịch Vành S −1 R gọi vành thương R S Cho I iđêan vành giao hoán R S tập nhân đóng R Khi đó, dễ kiểm tra tập hợp a S −1 I = { | a ∈ I, s ∈ S} s iđêan S −1 R Mệnh đề 1.1.3 [1, Mệnh đề 4.5] Cho S tập nhân đóng I iđêan R Khi đó, S −1 I = S −1 R I ∩ S = ∅ Chứng minh Giả sử S −1 I = S −1 R Khi đó, S −1 I chứa phần tử đơn vị 1/1 S −1 R, tức tồn phần tử a ∈ I s ∈ S cho 1/1 = a/s Suy tồn t ∈ S để t(a − s) = Điều chứng tỏ phần tử ta = ts thuộc vào I ∩ S Hay I ∩ S = ∅ Ngược lại, giả sử tồn s ∈ I ∩ S Khi đó, s/s = 1/1 ∈ S −1 I, suy S −1 I = S −1 R Ví dụ 1.1.4 (i) Cho R vành S tập hợp tất phần tử khả nghịch R Rõ ràng S tập nhân đóng trường hợp ta có S −1 R = R (ii) Cho R miền nguyên S = R \ {0} tập nhân đóng Khi S −1 R trường, gọi trường thương miền nguyên R Trường thương miền nguyên R S −1 R = a | a ∈ R, s ∈ S \ {0} s (iii) Cho p iđêan nguyên tố vành R Dựa vào tính nguyên tố p, ta có tập S = R \ p tập nhân đóng với phép nhân Trong trường hợp này, vành thương R S kí hiệu Rp Tập hợp tất phần tử Rp có dạng a/s với a ∈ p, s ∈ / p lập thành iđêan m Rp Nếu a/s ∈ / m a ∈ / p, tức a/s khả nghịch Rp Nghĩa m iđêan cực đại Rp Qúa trình từ R đến Rp gọi địa phương hóa R iđêan p Các iđêan Rp có dạng IRp = a | a ∈ I, s ∈ /p , s I iđêan R Đặc biệt, iđêan nguyên tố Rp có dạng qRp , với q iđêan nguyên tố R thỏa mãn q ⊆ p Trong trường hợp này, ta kí hiệu mơđun phân thức M S Mp gọi mơđun địa phương hóa M ứng với p Ta có định nghĩa vành địa phương hóa sau Định nghĩa 1.1.5 Vành R gọi vành địa phương có iđêan cực đại m, ta thường kí hiệu (R, m) Nhận xét 1.1.6 (i) Với iđêan nguyên tố p R vành Rp vành địa phương với iđêan cực đại pRp = a | a ∈ p, s ∈ /p s (ii) Nếu M R-môđun mơđun địa phương hóa M ứng với p Mp ta có Mp = { m | m ∈ M, s ∈ / p} s (iii) Cho M R-môđun Tập hợp tất iđêan nguyên tố p ∈ Spec(R) cho Mp = 0, gọi giá M, kí hiệu SuppR M , tức SuppR M = {p ∈ Spec(R) | Mp = 0} Ví dụ 1.1.7 Cho p số nguyên tố Vành Zp = { địa phương m | (n, p) = 1} vành n Từ suy (0 : x1 ) ∩ I c ⊆ I n−1 với n > c Do đó, theo Định lý Krull [14, Theorem 8.9] ta có (0 : x1 ) ∩ I c = Mặt khác, depth A = depth I ≥ nên tồn x ∈ I c phần tử quy A Ta có (0 : x1 ).x ⊆ (0 : x1 ) ∩ I c = Do đó, (0 : x1 ) = nên x1 phần tử quy A Trường hợp k ≥ 2, x2 , , xk dãy siêu bề mặt I/(x1 ) depth A−1 ≥ k − nên theo giả thiết quy nạp x2 , , xk dãy quy A/(x1 ) Vậy x1 , , xk dãy quy A Mệnh đề 2.3.7 [11, Lemma 2.2] Cho (A, m) vành địa phương Noether I iđêan m-nguyên sơ A Giả sử x1 , , xk dãy siêu bề mặt I Đặt I = I/(x1 , , xk ) A = A/(x1 , , xk ) Khi đó, depth(GI (A)) ≥ depth(GI (A)) ≥ k + Định nghĩa 2.3.8 Cho A vành J ⊆ I iđêan A Khi J gọi rút gọn I ∃n ∈ N : JI n = I n−1 Bổ đề 2.3.9 [17, Lemma 5.8] Cho J ⊆ I iđêan vành địa phương (A, m) Giả sử a ∈ I phần tử siêu bề mặt I Khi đó, J/(a) rút gọn I/(a) J rút gọn I Chứng minh Do J/(a) rút gọn I/(a) nên JI n + (a) = I n−1 + (a) với n đủ lớn Từ suy I n+1 ⊆ JI n + (a) ∩ I n = JI n + aI n = JI n , ∀n Vậy J rút gọn I 2.4 Tính khơng dương hệ số Hilbert iđêan tham số Cho (A, m) vành địa phương Noether có chiều d M A-mơđun hữu hạn sinh có chiều d ≥ Giả q iđêan tham số M Đặt L = Hm (M ) M = M/L Các hệ số ei (I, M ) ei (I, M ) có mối quan hệ sau đây: Bổ đề 2.4.1 [2, Bổ đề 2.3] Nếu d = dim(M ) ≥ (i) ei (I, M ) = ei (I, M ) với i = 0, , d − 1; 29 (ii) ed (I, M ) = ed (I, M ) + (−1)d (L) Nếu d = I = q iđêan tham số M mơđun Cohen-Macaulay Lúc đó, e1 (I, M ) = Ta có hệ sau Hệ 2.4.2 [2, Hệ 2.2] Nếu d = dim(M ) = q iđêan tham số M e1 (q, M ) = − (L) Giả sử x ∈ I \ mI cho dạng khởi đầu x∗ GI (A) GI (M )lọc quy Phần tử x gọi phần tử siêu bề mặt M ứng với iđêan I Đặt N = M/xM, ta có mối quan hệ ei (M ) ei (N ) với i = 1, , d − Bổ đề 2.4.3 [2, Bổ đề 2.3] Cho M A-môđun hữu hạn sinh có chiều d ≥ I idêan m-nguyên sơ Khi (i) ei (I, M ) = ei (I, N ) với i = 0, , d − 2; (ii) ed−1 (I, M ) = ed−1 (I, N ) + (−1)d (0 :M x) Định lý sau cho biết hệ số Chern iđêan tham số không dương Định lý 2.4.4 [2, Định lý 2.5] Cho (A, m) vành Noether địa phương M A-môđun hữu hạn sinh có chiều d ≥ Giả sử q iđêan tham số M Lúc đó, e1 (q, M ) ≤ Chứng minh Trường hợp d = 1, Định lý theo Hệ 2.4.2 Trường hợp d = 2, giả sử q = (x1 , x2 ) Không tính tổng quát ta giả sử trường A/m vô hạn x1 phần tử siêu bề mặt A ứng với iđêan I Đặt N = M/x1 M Theo Bổ đề 2.4.3, e1 (q, M ) = e1 (q, N ) + (−1)d (0 :M x) Vì dim(N ) = nên theo Hệ 2.4.2, ta có e1 (q, N ) = − (Hm (N )) Do (M ) x) ≤ e1 (q, M ) = − (Hm (N )) + (0 :M x) = − (0 :Hm 30 Trường hợp d > 2, giả sử q = (x1 , , xd ) đặt Ni = M/(x1 , , xd )M Khơng tính tổng quát, ta giả sử x1 , , xd dãy siêu bề mặt M ứng với iđêan I Lúc dim(Nd−2 ) = Lập luận trường hợp d = 2, ta có e1 (q, M ) = e1 (q, Nd−2 ) = − (Hm (Nd−1 )) + (0 :Nd−2 xd−2 ) (N = − (0 :Hm xd−1 ) ≤ d−2 ) Ta kí hiệu hệ số Hilbert iđêan q vành A ei (q) với i = 0, , d Trong phần trước, ta biết e1 (q) ≤ Trong [15], McCune ví dụ chứng tỏ hệ số Hilbert iđêan tham số nhận giá trị dương Ví dụ 2.4.5 Cho A = k[z, y, z, u, v, w]/I I = (x + y, z − u, w) ∩ (z, u − v, y) ∩ (x, u, w) q = (u − y, z + w, x − v) Khi A vành khơng trộn lẫn có chiều độ sâu 1, q iđêan tham số với Pq (n) = n+3 n+2 +2 + n Nói riêng, e2 (q) = > Định nghĩa 2.4.6 Cho f : Z −→ Z hàm số Khi đó, hàm hiệu ∆ f hàm ∆(f ) : Z −→ Z xác định ∆(f )(n) = f (n + 1) − f (n) Ta kí hiệu ∆((f )(n)) thay cho ∆(f )(n) Bổ đề 2.4.7 [2, Bổ đề 3.1] Cho hàm f : Z −→ Z thỏa mãn tính chất sau: (i) f (n) = 0, ∀n 0; (ii) ∃k ∈ Z : ∆((f )(n)) ≥ 0, ∀n ≥ k (tương ứng ∆((f )(n)) ≤ 0, ∀n ≥ k) Khi đó, f (n) ≤ 0, ∀n ≥ k (tương ứng f (n) ≥ 0, ∀n ≥ k) Trong trường hợp dim A = 1, McCune [15] chứng minh kết sau: Mệnh đề 2.4.8 [2, Mệnh đề 3.2] Cho (A, m) vành Noether địa phương chiều q = (x) iđêan tham số A Khi đó, Pq (n) − Hq (n) ≥ ∆(Pq − Hq (n) ≤ 0, ∀n ≥ −1 Xét trường hợp dim A ≥ Linh-Trung [2] chứng minh 31 Mệnh đề 2.4.9 [2, Mệnh đề 3.3] Cho (A, m) vành Noether địa phương có chiều d > depth A ≥ d − Giả sử q iđêan tham số A cho depth(Gq (A)) ≥ d − Khi đó, (i) (−1)d+1 (Pq (n) − Hq (n)) ≥ với n ≥ −d; (ii) (−1)d ∆(Pq (n) − Hq (n)) ≥ với n ≥ −d Với giả thiết Mệnh đề 2.4.9, thu hệ sau Hệ 2.4.10 [2, Hệ 3.4] Nếu tồn k ≥ −d cho Pq (k) − Hq (k) = n(q) < k Chứng minh Theo Mệnh đề 2.4.9 ta có (−1)d (Pq (n) − Hq (n)) ≤ (−1)d (Pq (n + 1) − Hq (n + 1)), ∀n ≥ k Hay dãy an = (−1)d (Pq (n) − Hq (n)) dãy giảm với n ≥ k Do ak = an = 0, ∀n nên ta có an = (−1)d (Pq (n) − Hq (n)) = 0, ∀n ≥ Vậy n(q) < k Hệ 2.4.11 [2, Hệ 3.6] Nếu tồn ei (q) = với ≤ i ≤ d − ei+1 (q) = = ed (q) = Định lý sau kết mục Định lý 2.4.12 [2, Định lý 3.7] Cho (A, m) vành Noether địa phương có chiều d ≥ depth A ≥ d − Giả sử q iđêan tham số A cho depth(Gq (A)) ≥ d − Khi đó, với i = 1, , d ta có (i) ei (q) ≤ (ii) ei (q) = n(q) < i − d − Chứng minh (i) Trước hết ta chứng minh ed (q) ≤ Theo Mệnh đề 2.4.9, ta có (−1)d+1 (Pq (n) − Hq (n)) ≥ 0, ∀n ≥ −d 32 Thay n = −1 vào bất đẳng thức ta có (−1)d+1 ((−1)d (q) − Hq (−1)) ≥ Từ suy ed (q) ≤ Vậy định lý với i = d Bây ta chứng minh ei (q) ≤ với ≤ i ≤ d − Ta chứng minh quy nạp theo d Rõ ràng khẳng định với d = Trường hợp d ≥ 3, depth(Gq (A)) ≥ d − ≥ nên ta chọn x ∈ q \ q2 phần tử siêu bề mặt q cho x∗ ∈ q/q2 phần tử quy Gq (A) Đặt A = A/(x) q = q/(x), ta có q iđêan tham số vành A Do dim(A) = d − nên áp dụng giả thiết quy nạp, ta có ei (q) = ei (q) ≤ với ≤ i ≤ d − (ii) Giả sử n(q) < i − d − Khi đó, ta có Pq (n) = với n = i − d − 1, i − d − 2, , −1 Lần lượt thay n = −1, −2, , i − d − vào phương trình Pq (n) = ta thu ed (q) = ed−1 (q) = = ei (q) = Ngược lại, giả sử ei (q) = Khi đó, theo Hệ 2.4.11, ta có ei+1 (q) = = ei (q) = Do đó, Pq (i − d − 1) = = Hq (i − d − 1) Hệ 2.4.10 ta có n(q) < i − d − 2.5 d-dãy Định nghĩa 2.5.1 Cho (A, m) vành địa phương Noether x1 , , xs dãy phần tử A Khi đó, dãy x1 , , xs gọi d-dãy thỏa mãn hai điều kiện tương đương sau: (i) (x1 , , xi−1 ) : xi xk = (x1 , , xi−1 ) : xk với ≤ i ≤ k ≤ s (ii) [(x1 , , xi−1 ) : xi ] ∩ q = (x1 , , xi−1 ) với ≤ i ≤ s q = (x1 , , xs ) Bổ đề 2.5.2 [16, Corollary 1.2] Cho (A, m) vành địa phương Noether Nếu q iđêan tham số sinh d-dãy reg(Gq (A)) = Ta có kết cơng thức tính hệ số ed (q) iđêan tham số q sinh d-dãy sau: Bổ đề 2.5.3 [3, Bổ đề 4.2] Cho (A, m) vành địa phương Noether có chiều 33 d Nếu q iđêan tham số sinh d-dãy ed (q) = (−1)d (L), L = Hm (A) Một số kết tương tự cho hệ số ei (q) với i = 1, , d thể qua bổ đề sau Bổ đề 2.5.4 [3, Bổ đề 4.3] Cho (A, m) vành địa phương Noether có chiều d ≥ Nếu q iđêan tham số sinh d-dãy (−1)d−1 ed−1 (q) ≥ Bổ đề 2.5.5 [3, Bổ đề 4.4] Cho (A, m) vành địa phương Noether có chiều d ≥ Nếu q iđêan tham số A sinh d-dãy (−1)i ei (q) ≥ 0, ∀i = 1, , d 2.6 Mối quan hệ tính triệt tiêu hệ số Hilbert độ sâu trường hợp d-dãy Bây giờ, chúng tơi tìm hiểu mối quan hệ hệ số Hilbert độ sâu vành phân bậc liên kết Gq (A) Đầu tiên, mối quan hệ tính triệt tiêu hệ số ei (q) độ sâu vành A xác định mệnh đề sau Mệnh đề 2.6.1 [3, Bổ đề 5.1] Cho (A, m) vành địa phương Noether có chiều d ≥ q iđêan tham số A sinh d-dãy Với ≤ i ≤ d ta có ej (q) = 0, ∀j ≥ i depth A ≥ d − i − Chứng minh Theo Bổ đề 2.5.3, ed (q) = (L) = Điều tương đương depth A ≥ Vì vậy, mệnh đề trường hợp i = d Bằng quy nạp, ta giả sử mệnh đề với i = k, k + 1, , d − (k ≤ d − 1) Ta cần chứng minh mệnh đề trường hợp i = k − 1, tức ej (q) = 0, ∀j ≥ k − depth A ≥ d − k + 34 Thật vậy, giả sử ek−1 (q) = ek (q) = = ed (q) = Bằng giả thiết quy nạp, ta có depth A ≥ d − k − Khi đó, tồn dãy x1 , , xd−k−1 dãy quy A Đặt q = q/(x1 , , xd−k−1 ) A = A/(x1 , , xd−k−1 ), ta có q iđêan tham số sinh d-dãy vành A chiều k − Hơn nữa, ek−1 (q) = ek−1 (q) = nên depth A ≥ Vì vậy, depth A = depth A + d − k + ≥ d − k + Ngược lại, giả sử depth A ≥ d − k + Bằng giả thiết quy nạp, ta có ek (q) = = ed (q) = Giả sử x1 , , xd−k−1 dãy quy A đặt A = A/(x1 , , xd−k−1 ) Mặt khác, depth A = depth A − (d − i + 1) ≥ dim A = k − Do đó, ek−1 (q) = ek−1 (q) = Trong trường hợp vành A khơng trộn lẫn (unmixed), có kết quan trọng sau Mệnh đề 2.6.2 [3, Bổ đề 5.2] Cho (A, m) vành địa phương Noether không trộn lẫn có chiều d ≥ q iđêan tham số A sinh d-dãy Với ≤ i ≤ d ta có ei (q) = depth A ≥ d − i − Chứng minh Theo Mệnh đề 2.6.1, mệnh đề cho i = d Vì vậy, cần chứng minh trường hợp i < d Với i ≤ d − 1, ta chọn a ∈ q/mq cho dạng khởi đầu a∗ a Gq (A) lọc quy Đặt A = A/(a) q = qA Theo Bổ đề 2.4.1, ta có ed−1 (q, A) = ed−1 (q, A) Theo Mệnh đề 2.6.1, ta có ed−1 (q, A) = depth A ≥ Điều tương đương depth A = depth A+1 ≥ Do đó, mệnh đề với i = d−1 Ta giả sử mệnh đề với i = d − k, k = 1, , d − Ta cần chứng minh mệnh đề với i = d − k − Theo [8, Proposition2.2], ta chọn a ∈ q/mq phần tử siêu bề mặt cho Ass(A/(a)) ⊆ Assh(A/(a)) ∪ m Đặt S = A/(a) Q = qS, ta có Q iđêan tham số sinh d-dãy S (S không thiết không trộn lẫn) Đặt U = US (0) S = S/U, Q = QS, ta 35 có Q iđêan tham số sinh d-dãy môđun hữu hạn sinh không trộn lẫn S chiều d − Ta có ed−k−1 (Q, S) = ed−k−1 (Q, S) = ed−k−1 (q, A) = nên theo giả thiết quy nạp ta có depth S ≥ (d − 1) − (d − k − 1) + = k + i Do Hm (S) = 0, ∀i = 0, 1, , k Từ dãy khớp ngắn −→ U −→ S −→ S −→ 0, ta có dãy khớp dài đối đồng điều địa phương 1 0 (U ) −→ Hm (S) −→ Hm (S) −→ · · · −→ Hm (U ) −→ Hm (S) −→Hm (S) −→ Hm k k k · · · −→ Hm (U ) −→ Hm (S) −→ Hm (S) −→ · · · i Do Ass(A/(a)) ⊆ Assh(A/(a)) ∪ m, Hm (S) = U Do Hm (U ) = 0, ∀i ≥ i Từ dãy khớp ta có Hm (S) = 0, ∀i = 1, , k Xét dãy khớp ngắn a −→ A −→ A −→ S −→ 0, ta có dãy khớp dài a a 0 1 −→ Hm (A) −→ Hm (A) −→ Hm (S) −→ Hm (A) −→ Hm (A) −→ −→ · · · Do A không trộn lẫn, Hm (A) hữu hạn sinh Ngoài ra, từ dãy khớp 1 ta có Hm (A) = aHm (A) Áp dụng Bổ đề Nakayama, ta có Hm (A) = Suy Hm (S) = 0, ∀i = 0, 1, , k Vậy depth S ≥ k + depth A = depth S + ≥ k + Chúng ta tiếp tục thiết lập mối quan hệ tính triệt tiêu hệ số Hilbert độ sâu vành phân bậc liên kết Gq (A) Mệnh đề 2.6.3 [3, Bổ đề 5.3] Cho (A, m) vành địa phương Noether có chiều d ≥ q iđêan tham số A sinh d-dãy Khi đó, ed (q) = depth(Gq (A)) ≥ 36 Chứng minh Giả sử depth(Gq (A)) ≥ Khi depth A ≥ nên L = Hm (A) = Theo Bổ đề 2.5.3, ta có ed (q) = Ngược lại, giả sử ed (q) = Theo Mệnh đề 2.6.1, ta có depth A > 0, nên ta chọn a ∈ q/mq phần tử quy cho dạng khởi đầu a∗ a Gq (A)-lọc quy Theo [15, Lemma 3.2], ta có ∞ ∞ d ((qk : y)/qk−1 ) (Hq (k) − Pq (k)) − (−1) ed (q) = k=0 k=0 Do q iđêan tham số A = A/(a) sinh d-dãy nên n(q) = p(Gq (A)) ≤ hay Hq (k) − Pq (k) = 0, ∀k ≥ Do ((qk : y)/qk−1 ) = 0, ∀k ≥ Vì vậy, a∗ phần tử quy Gq (A) Suy depth(Gq (A)) ≥ Định lý 2.6.4 [3, Định lý 5.5] Cho (A, m) vành địa phương Noether không trộn lẫn có chiều d ≥ q iđêan tham số A sinh d-dãy Với ≤ i ≤ d ta có ei (q) = depth(Gq (A)) ≥ d − i − Chứng minh Giả sử depth(Gq (A)) ≥ d − i − Vì depth A ≥ depth(Gq (A)) nên suy depth A ≥ d − i − Theo Mệnh đề 2.6.2, ta có ei (q) = Vì ta cần chứng minh depth(Gq (A)) ≥ d − i − ei (q) = Theo Mệnh đề 2.6.3, định lý cho i = d Giả sử định lý với i = d − k (k > 0), ta cần chứng minh khẳng định với i = d − k − Do ed−k−1 (q) = theo Mệnh đề 2.6.2, ta có depth A ≥ k + Gọi x1 , , xk+1 dãy quy A Đặt q = q/(x1 , , xk+1 ) A = A/(x1 , , xk+1 ), ta có q iđêan tham số A sinh d-dãy dim A = d − k − Do ed−k−1 (q) = ed−k−1 (q) nên depth(Gq (A)) ≥ (Theo Mệnh đề 2.6.3) Áp dụng Mệnh đề 2.3.7, ta có depth(Gq (A)) ≥ + (k + 1) = k + 37 2.7 Mối quan hệ tính triệt tiêu hệ số Hilbert độ sâu trường hợp số quy đủ nhỏ Mục đích phần chúng tơi thiết lập mối quan hệ tính triệt tiêu hệ số Hilbert độ sâu vành phân bậc liên kết lớp iđêan tham số thỏa mãn điều kiện số quy đủ nhỏ, mục xét trường hợp reg(Gq (A)) ≤ Trước tiên, để thuận tiện cho việc chứng minh, chúng tơi trình bày phương trình thể mối quan hệ số Hilbert số quy CastelnuovoMumford vành liên kết Gq (A) iđêan tham số q Brobmann-Linh thiết lập [6] Định lý 2.7.1 [6, Theorem 3.5] Cho (A, m) vành Noether địa phương có chiều d ≥ 2, q iđêan tham số A depth A = d − Nếu depth(Gq (A)) ≥ d − reg(Gq (A)) = n(q) + d − Chúng tơi có hệ sau đây: Hệ 2.7.2 Cho (A, m) vành Noether địa phương có chiều d ≥ depth A ≥ d − Giả sử q iđêan tham số reg(Gq (A)) ≤ Khi đó, depth(Gq (A)) ≥ d − e3 (q) = e4 (q) = = ed (q) = Chứng minh Theo Định lý 2.7.1 ta có, reg(Gq (A)) = n(q) + d − Suy n(q) = reg(Gq (A)) + − d Do n(q) ≤ − d (do reg(Gq (A)) ≤ 1) Từ suy n(q) < − d Với n(q) < − d depth(Gq (A)) ≥ d − Khi đó, ta có Pq (n) = với n = − d, , −2, −1, Lần lượt thay n = 0, −1, −2, , − d vào phương trình Pq (n) = ta thu ed (q) = ed−1 (q) = = e3 (q) = Mệnh đề 2.7.3 Cho (A, m) vành hầu Cohen-Macaulay có chiều d ≥ Giả sử q iđêan tham số sinh d-dãy x1 , , xd Khi đó, (i) depth(Gq (A)) ≥ d − 1; 38 (ii) e2 (q) = e3 (q) = e4 (q) = = ed (q) = Chứng minh (i) Nếu d = depth(A) ≥ Do reg(Gq (A)) = nên (Gq (A))+ i ≤ Suy a1 (Gq (A)) ≤ −1 Từ giả thiết, depth(A) ≥ nên áp dụng [10, Theorem 5.2], ta depth(Gq (A)) ≥ Nếu d > 2, ta chọn phần tử quy x1 , , xd−2 cho x∗1 , , x∗d−2 dãy lọc quy Gq (A) Đặt A = A/(x1 , , xd−2 ) q = qA Lúc dim(A) = depth(A) ≥ Theo trường hợp d = depth(Gq (A)) ≥ Từ suy depth(Gq (A)) ≥ + d − = d − (ii) Do depth(Gq (A)) ≥ d − nên (Gq (A)) = −∞, ∀i ≤ d − Mặt khác, reg(Gq (A)) = nên aj (Gq (A)) + j ≤ với j = d − 1, d Suy aj (Gq (A)) < − d, ∀j ≥ Do n(q) ≤ max{a0 (Gq (A)), , ad (Gq (A))} < − d Từ suy e2 (q) = e3 (q) = e4 (q) = = ed (q) = Khi q iđêan tham số sinh d-dãy reg(Gq (A)) = Ta xét trường hợp tổng quát q iđêan tham số cho reg(Gq (A)) ≤ Định lý 2.7.4 Giả sử (A, m) vành Noether địa phương có chiều d ≥ depth(A) ≥ k với ≤ k ≤ d − Giả sử q iđêan tham số A cho reg(Gq (A)) ≤ Khi đó, (i) depth(Gq (A)) ≥ k; (ii) ed−k+2 (q) = ed−k+3 (q) = = ed (q) = Chứng minh (i) Trường hợp d = 3, depth(A) ≥ Ta cần chứng minh: depth(Gq (A)) ≥ Gọi x = x1 phần tử siêu bề mặt q cho x∗ phần tử quy Gq (A) Ta có dim(A/(x1 )) = d − = q = qA iđêan tham số A với A = A/(x1 ) Ta biết reg(Gq (A)) ≤ reg(Gq (A)/(x∗ )) ≤ reg(Gq (A)) ≤ 39 Suy a1 (Gq (A)) + ≤ Dẫn đến a1 (Gq (A)) ≤ Áp dụng [10, Theorem 5.2], ta a0 (Gq (A)) < a1 (Gq (A)) ≤ Từ suy depth(Gq (A)) ≥ Vậy depth(Gq (A)) ≥ Trường hợp d > 3, ta lập luận tương tự Mệnh đề 2.7.3 Gọi x1 , , xk−1 dãy phần tử siêu bề mặt q Ta có dim(A/(x1 , , xk−1 )) = d − k + ≥ depth(A/(x1 , , xk−1 )) ≥ Đặt A = A/(x1 , , xk−1 ), q = qA Ta có reg(Gq (A)) ≤ reg(Gq (A)) ≤ Suy a1 (Gq (A)) + ≤ Dẫn đến a1 (Gq (A)) ≤ Áp dụng [10, Theorem 5.2], ta a0 (Gq (A)) < a1 (Gq (A)) ≤ Suy depth(Gq (A)) ≥ Vậy depth(Gq (A)) ≥ + k − = k (ii) Do depth(Gq (A)) ≥ k nên HGi + (Gq (A)) = 0, ∀i < k Do reg(Gq (A)) = max{ai (Gq (A)) + i|i ≥ k} ≤ Suy (Gq (A))+i ≤ Dẫn đến (Gq (A)) ≤ 1−k, ∀i ≥ Suy (Gq (A)) < − k Do n(q) ≤ max{ai (Gq (A))|i ≥ 0} < − k Từ suy ed−k+2 (q) = ed−k+3 (q) = = ed (q) = Hệ 2.7.5 Cho (A, m) vành hầu Cohen-Macaulay có chiều d ≥ Giả sử q iđêan tham số cho reg(Gq (A)) ≤ Khi đó, (i) depth(Gq (A)) ≥ d − 1; (ii) e3 (q) = e4 (q) = = ed (q) = 40 KẾT LUẬN Trong luận văn này, thu kết sau đây: - Tổng quan lại kết liên quan đến hệ số Hilbert độ sâu vành phân bậc liên kết trường hợp d-dãy - Thiết lập mối quan hệ tính triệt tiêu hệ số Hilbert độ sâu vành phân bậc liên kết lớp iđêan tham số thỏa mãn điều kiện số quy đủ nhỏ Cụ thể trường hợp, q iđêan tham số cho reg(Gq (A)) ≤ depth(Gq (A)) ≥ k ed−k+2 (q) = ed−k+3 (q) = = ed (q) = Đây kết mà đạt Trong trường hợp reg(Gq (A)) ≤ k với k đủ nhỏ, chúng tơi chưa có thời gian để nghiên cứu Chúng tơi hy vọng tương lai tiếp tục nghiên cứu có kết 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Tự Cường (2003), Giáo trình đại số đại, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội [2] Cao Huy Linh, Văn Đức Trung (2013), "Hệ số Hilbert iđêan tham số", Tạp chí khoa học Đạị Học Huế, 87(9), 93-102 [3] Cao Huy Linh, Văn Đức Trung, Nguyễn Thị Mai Thuy (2015), "Hệ số Hilbert độ sâu vành phân bậc liên kết", Tạp chí khoa học Đại học Huế, 110(11) Tiếng Anh [4] M F Atiyah and I G Macdonald (1969), Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley Publishing Company [5] M Brodmann and R.Y Sharp (1980), Local cohomology - an algebraic introduction with geometric applications, Cambridge University Press [6] M Brodmann and C H Linh (2014), "Castelnuovo-Mumford regularity, postulation numbers and relation types", J Algebra, 419, 124–140 [7] W Bruns and J Herzog (1993), Cohen-Macaulay rings, Cambridge University Press [8] L Ghezzi, S Goto, J Hong, K Ozeki, T T Phuong and W V Vasconcelos (2010), "Cohen-Macaulayness versus the vanishing of the first Hilbert coefficient of parameter ideals", J London Math.Soc, 81, 679-695 42 [9] S Goto, M Manda, J Verma, "Negativity of the Chern number of parameter ideals", arXiv:1205.6770v1[math.AC], 30 May 2012 [10] L T Hoa (1996), "Reduction numbers of equimultiple ideals", J Pure Appl Algebra, 109, 111-126 [11] S Huckaba and T Marley (1997), "Hilbert coefficients and the depths of associated graded rings",J London Math Soc, 56(2), 64-76 [12] C H Linh (2005), "Upper bound for Castelnuovo-Mumford regularity of associated graded modules", Comm in Algebra, 33, 1817-1831 [13] T Marley, "Graded rings and modules", math.unl.edu/ tmarley1/905notes [14] H Matsumura (1986), Commutative Ring Theory, Cambridge University Press, Cambridge [15] L Mccune (2013), "Hilbert coefficients of parameter ideals",J Commutative Algebra, 5(3), 399-412 [16] N V Trung (1998), "The Castelnuovo-Mumford regularity of the Rees algebra and the associated graded ring", Trans Amer Math Soc, 350, 28132832 [17] J K Verma (2008), "Hilbert coefficients and depth of the associated graded ring of an ideal", arXiv:0801.4866v1 [math AC], 31 Jan 43 ... thu kết sau đây: - Tổng quan lại kết liên quan đến hệ số Hilbert độ sâu vành phân bậc liên kết trường hợp d-dãy - Thiết lập mối quan hệ tính triệt tiêu hệ số Hilbert độ sâu vành phân bậc liên kết. .. ta có Chương Mối quan hệ tính triệt tiêu hệ số Hilbert độ sâu vành phân bậc liên kết Mục đích chương tổng quan lại kết liên quan đến hệ số Hilbert độ sâu vành phân bậc liên kết trường hợp d-dãy... tính triệt tiêu hệ số Hilbert độ sâu trường hợp d-dãy Bây giờ, chúng tơi tìm hiểu mối quan hệ hệ số Hilbert độ sâu vành phân bậc liên kết Gq (A) Đầu tiên, mối quan hệ tính triệt tiêu hệ số ei