ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN NHẬT MINH CHẶN CHO HỆ SỐ HILBERT CỦA IĐÊAN THAM SỐ Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS CAO HUY LINH Thừa Thiên Huế, năm 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tôi, số liệu kết nghiên cứu ghi luận văn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa cơng bố cơng trình khác Nguyễn Nhật Minh ii LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Cao Huy Linh, người thầy tận tâm hướng dẫn, giúp đỡ động viên tơi q trình học tập lớp cao học trình hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn q thầy khoa Tốn trường Đại học Sư phạm Huế, thầy cô Đại học Huế Viện Tốn học truyền đạt cho tơi kiến thức bổ ích, làm tảng để tơi hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường ĐHSP Huế, phòng Đào tạo Sau đại học, khoa Toán trường ĐHSP Huế tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt khóa học Tơi xin chân thành cảm ơn cao học viên Khóa XXVI nhiệt tình giúp đỡ tơi suốt q trình học tập Cuối cùng, tơi xin cảm ơn gia đình bạn bè ln động viên, giúp đỡ tơi vượt qua khó khăn q trình học tập, đặc biệt trình thực luận văn Huế, ngày tháng 10 năm 2019 Học viên thực Nguyễn Nhật Minh iii Mục lục Trang phụ bìa i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục Mở đầu KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Vành thương địa phương hóa 1.2 Dãy quy độ sâu 1.3 Chiều Krull vành Cohen-Macaulay 10 1.3.1 Chiều Krull 10 1.3.2 Vành môđun Cohen-Macaulay 12 1.4 Iđêan m-nguyên sơ iđêan tham số 14 1.5 Vành môđun phân bậc 15 1.6 Độ dài môđun 19 1.7 Hàm Hilbert hệ số Hilbert môđun phân bậc 20 1.8 Đối đồng điều địa phương 22 CHẶN CHO HỆ SỐ HILBERT CỦA IĐÊAN THAM SỐ 2.1 Hàm Hilbert-Samuel hệ số Hilbert-Samuel 2.2 Mối quan hệ hệ số Hilbert-Samuel hệ số Hilbert vành phân bậc liên kết 25 25 26 2.3 2.4 Dãy phần tử siêu bề mặt số quy CastelnuovoMumford 31 Thiết lập chặn cho hệ số Hilbert iđêan tham số theo e1 33 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 MỞ ĐẦU Cho (A, m) vành địa phương chiều d I iđêan m-nguyên sơ Khi đó, hàm Hilbert-Samuel, hay gọi tắt hàm Hilbert iđêan I hàm số học xác định HI : Z −→ Z n −→ HI (n) := λ(A/I n ), λ(A/I n ) độ dài môđun A/I n Samuel người tồn đa thức PI (x) với hệ số hữu tỷ bậc d cho HI (n) = PI (n) với n đủ lớn Đa thức gọi đa thức Hilbert (hay Hilbert-Samuel) iđêan I PI (n) viết dạng PI (n) = e0 (I) n+d−1 n+d−2 − e1 (I) + · · · + (−1)d ed (I) d d−1 Các hệ số ei = ei (I), i = 0, 1, · · · , d số nguyên gọi hệ số Hilbert iđêan I Vành Noether địa phương A gọi vành hầu Cohen-Macaulay depth A dim A − Đây lớp vành rộng vành Cohen-Macaulay Mục đích luận văn thiết lập chặn cho hệ số Hilbert iđêan tham số vành hầu Cohen-Macaulay Do hệ số Hilbert chứa nhiều thông tin cấu trúc vành môđun nên thu hút quan tâm nhiều nhà toán học Năm 1996, Srinivas-Trevidi [22] thiết lập chặn cho hệ số Hilbert theo số bội vành Cohen-Macaulay Năm 2003, Rossi-Trung-Valla [20] thiết lập chặn cho hệ số Hilbert iđêan cực đại theo bậc mở rộng vành địa phương Sau Linh [12] mở rộng kết tập iđêan m-nguyên sơ Năm 2011, Goto-Ozeki [7] dùng kết Linh-Trung [14] số quy vành phân bậc liên kết để thiết lập chặn phổ dụng (uniform bounds) cho hệ số Hilbert iđêan tham số vành Cohen-Macaulay suy rộng Gần Linh [13] thiết lập chặn cho số quy vành phân bậc liên kết theo hệ số e1 vành hầu Cohen-Macaulay Vấn đề đặt liệu có đưa chặn cho hệ số Hilbert ei với i = 2, , d theo hệ số e1 vành hầu Cohen-Macaulay? Kết luận văn đưa chặn cho hệ số Hilbert ei với i = 2, , d theo hệ số e1 iđêan tham số vành hầu Cohen-Macaulay Đây kết mà đạt Phương pháp mà sử dụng dùng chặn cho số quy Castelnuovo-Mumford vành phân bậc liên kết để ước lượng hệ số Hilbert Luận văn chia làm hai chương Trong Chương 1, chúng tơi trình bày số kiến thức Đại số giao hoán bao gồm khái niệm số bổ đề nhằm hỗ trợ cho chứng minh chương sau Trong Chương 2, chúng tơi tập trung vào nội dung luận văn thiết lập chặn cho hệ số Hilbert ei với i = 2, , d iđêan tham số theo hệ số e1 vành hầu CohenMacaulay Mặc dù thân cố gắng nhiều luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót, mong nhận góp ý từ q thầy giáo độc giả để luận văn hoàn thiện Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức đại số giao hoán vành thương địa phương hóa, dãy quy độ sâu, chiều Krull vành Cohen-Macaulay, iđêan m-nguyên sơ iđêan tham số, vành môđun phân bậc, độ dài môđun, hàm Hilbert hệ số Hilbert môđun phân bậc, đối đồng điều địa phương Các kiến thức trình bày nhằm chuẩn bị kiến thức cho chương sau Hầu hết kiến thức trình bày chương trích dẫn từ tài liệu [2], [3], [5], [6], [13], [18], [21], Trong suốt chương này, R vành giao hốn có đơn vị 1.1 Vành thương địa phương hóa Nếu D miền ngun ta có khái niệm trường thương miền nguyên D, kí hiệu FD khái niệm sau mở rộng trường thương Trước tiên, ta định nghĩa tập nhân đóng Định nghĩa 1.1.1 [2, Định nghĩa 1.1.1] Cho R vành giao hoán Một tập S R gọi tập nhân đóng 1R ∈ S ∀a, b ∈ S suy ab ∈ S Trên tập S × R = {(s, a) /s ∈ S, a ∈ R}, ta định nghĩa quan hệ ∼ sau (s, a) ∼ (t, b) ⇔ ∃u ∈ S : u (at − sb) = Quan hệ quan hệ tương đương Ta kí hiệu phần tử (s, a) (tức a s = b t a s lớp tương đương ⇔ (s, a) ∼ (t, b)) S −1 R tập hợp tất lớp tương đương Lúc S −1 R = a |a ∈ R, s ∈ S s Trên S −1 R, ta xây dựng hai phép toán xác định sau: ∀s, t ∈ S, a, b ∈ R (s, a) + (t, b) ∼ (st, at + bs) ; (s, a) (t, b) ∼ (st, ab) Lúc đó, S −1 R vành giao hốn có đơn vị Vành S −1 R gọi vành thương R ứng với S, có đơn vị 1S −1 R = (s, s) (s ∈ S) phần tử (s, t) với s, t ∈ S khả nghịch Cho M R-mơđun S tập nhân đóng với phép nhân R, tập thương S −1 M = x s |x ∈ M, s ∈ S S −1 R-môđun gọi môđun thương M S Ví dụ 1.1.2 Cho R = Z S := Z\ {0} tập nhân đóng R Ta có vành thương R ứng với S S −1 R = S −1 Z = n | n ∈ Z, m = = Q m Nhận xét 1.1.3 (1) Cho R miền nguyên Khi đó, S := R \ {0} tập nhân đóng R Do đó, ta có vành thương R ứng với S S −1 R = a | a ∈ R, s ∈ R \ {0} s Trong trường hợp này, ta có S −1 R trở thành trường gọi trường thương miền nguyên R ứng với S (2) Cho p ∈ Spec(R), S = R\p tập nhân đóng R Khi đó, vành thương R ứng với S kí hiệu Rp gọi địa phương hóa vành R ứng với iđêan nguyên tố p Rp = a | a ∈ R, s ∈ /p s Các iđêan Rp có dạng a | a ∈ I, s ∈ /p , s IRp = với I iđêan R (3) Cho M R-môđun S = R \ p mơđun S −1 M kí hiệu Mp gọi mơđun địa phương hóa p Mp = m | m ∈ M, s ∈ /p s Định nghĩa 1.1.4 Một vành R gọi vành địa phương có iđêan cực đại m kí hiệu (R, m) Ví dụ 1.1.5 (1) Với iđêan nguyên tố p R Rp vành địa phương với iđêan cực đại pRp = a | a ∈ p, s ∈ /p s (2) Trong vành Z, iđêan pZ (với p nguyên tố) iđêan cực đại Do Z khơng phải vành địa phương (3) Vành đa thức n biến R = k[x1 , , xn ] vành địa phương Nhận xét 1.1.6 Tập hợp tất iđêan nguyên tố p ∈ Spec(R) cho Mp = gọi giá M , kí hiệu Supp(M ), tức Supp(M ) = {p ∈ Spec(R) | Mp = 0} 1.2 Dãy quy độ sâu Cho M R-mơđun Khi đó, phần tử x ∈ R gọi phần tử M -chính quy ∀m ∈ M : xm = ⇒ m = Ta kí hiệu tập phần tử M -chính quy R N ZDR (M ) Mối liên hệ hệ số Hilbert-Samuel hệ số Hilbert vành phân bậc liên kết thể qua bổ đề sau Bổ đề 2.2.1 Cho (A, m) vành địa phương chiều d I iđêan m-nguyên sơ A Lúc đó, ei (G(I)) = ei (I) , ∀i = 0, , d − Chứng minh Theo tính chất độ dài mơđun, ta có λ(A/I n+1 ) = λ(A/I) + λ(I/I ) + + λ(I n /I n+1 ) Từ ta có mối liên hệ hàm Hilbert vành phân bậc liên kết G(I) hàm Hilbert-Samuel iđêan I vành A sau HI (n + 1) = hG(I) (0) + hG(I) (1) + + hG(I) (n), ∀n ≥ Từ đẳng thức suy hG(I) (n) = HI (n + 1) − HI (n), ∀n ≥ Do pG(I) (n) = PI (n + 1) − PI (n) Ta lại có  PI (n + 1) = e0 (I)  n+d d    −e1 (I)  n+d−1 d−1   + · · · + (−1)d ed (I)  PI (n) = e0 (I)  n+d−1 d    −e1 (I)  n+d−2 d−1   + · · · + (−1)d ed (I) Suy  PI (n + 1) − PI (n) = e0 (I)  n+d−1 d−1    −e1 (I)  (−1) d−1 n+d−2 d−2   + ···+ ed−1 (I) Đồng hệ số đẳng thức pG(I) (n) = PI (n + 1) − PI (n), ta có ei (G(I)) = ei (I), ∀i = 0, 1, , d − 27 Như vậy, hệ số Hilbert-Samuel e0 (I), , ed−1 (I) iđêan I vành A hệ số Hilbert vành phân bậc liên kết G(I) trùng Do để thuận tiện ta gọi hệ số Hilbert-Samuel iđêan I vành A hệ số Hilbert iđêan I vành A Bổ đề 2.2.2 Cho L môđun môđun A cho λ(L) < +∞, I iđêan m-nguyên sơ Lúc   ei (I, A/L) i = 0, , d − 1; ei (I, A) =  ed (I, A/L) + (−1)d λ (L) i = d Chứng minh Ta có λ (A/I n ) = λ (A/I n + L) + λ (I n + L/I n ) Đặt A¯ = A/L Lúc λ (A/I n ) = λ A¯ I n A¯ + λ (I n + L/I n ) = λ A¯ I n A¯ + λ (L/(I n ∩ L)) Mặt khác I ∩ L ⊃ I ∩ L ⊃ I ∩ L ⊃ Vì λ (L) < +∞ nên I n ∩ L = với n đủ lớn Từ suy ra, với n đủ lớn ta có λ (A/I n ) = λ A¯ I n A¯ + λ (L) Do ei (I, A) = ei I, A¯ , i = 0, , d − d d ⇒ (−1) ed (I, A) = (−1) ed I, A¯ + λ (L) d ⇒ ed (I, A) = ed I, A¯ + (−1) λ (L) Hệ 2.2.3 Cho L = Hm (A) dim (A) = Nếu Q iđêan tham số A ta có: e1 (Q, A) = −λ (L) < Tương tự chuỗi Hilbert môđun phân bậc, ta có chuỗi Hilbert vành phân bậc liên kết 28 Định nghĩa 2.2.4 Cho (A, m) vành Noether địa phương I iđêan mnguyên sơ A G (I) = ⊕ I n I n+1 n vành phân bậc liên kết A ứng với I Ta gọi hG(I) (n)tn HG(I) (t) = n≥0 chuỗi Hilbert G(I) Mệnh đề 2.2.5 [6, Corollary 4.1.8] Cho (A, m) vành Noether địa phương chiều d I iđêan m-nguyên sơ A Lúc đó, tồn đa thức h(t) ∈ Z[t] cho HG(I) (t) = h(t) (1 − t)d Mệnh đề 2.2.6 [6, Proposition 4.1.9] Từ Mệnh đề 2.2.5, ta có cơng thức sau ei (G(I)) = h(i) (1) , i! với i = 0, 1, , d − Ví dụ 2.2.7 Cho A = Q[x, y, z] I = (x3 , y , z , x2 y, xz , x2 z + yz , xyz) Sử dụng phần mềm Macaulay 2, ta tính depth(G(I)) = Mặt khác, chuỗi Hilbert HG(I) (t) G(I) λ(I n /I n+1 )tn = HG(I) (t) = n≥0 h(t) , (1 − t)3 h(t) = a0 + a1 t + + as ts ∈ Z[t] Từ ta có h(t) = a0 + a1 t + + as ts = (1 − 3t + 3t2 − t3 )HG(I) (t) Do a0 = λ(A/I)) a1 = λ(I/I ) − 3λ(A/I) a2 = λ(I /I ) − 3λ(I/I ) + 3λ(A/I) = λ(I i /I i+1 ) − 3λ(I i−1 /I i ) + 3λ(I i−2 /I i−1 ) − λ(I i−3 /I i−2 ) với i ≥ Sử dụng Macaulay 2, 29 30 Ta có a0 = 13, a1 = 7, a2 = 10, a3 = −3, a4 = a5 = = Tức h(t) = 13 + 7t + 10t2 − 3t3 Vậy e0 (G(I)) = h(1) = 27; e1 (G(I)) = h (1) = 18; e2 (G(I)) = h (1)/2! = 2.3 Dãy phần tử siêu bề mặt số quy CastelnuovoMumford Định nghĩa 2.3.1 (1) Cho (A, m) vành Noether địa phương I iđêan A Phần tử x ∈ I gọi phần tử siêu bề mặt I tồn số nguyên c cho I n+1 : x ∩ I c = I n với n c (2) Một dãy x1 , , xk gọi dãy siêu bề mặt I x1 phần tử siêu bề mặt I xi phần tử siêu bề mặt I/(x1 , , xi−1 ) với i k Nhận xét 2.3.2 (1) Nếu x phần tử siêu bề mặt Qn+1 : x ∼ Qn = (0:A x) , ∀n (2) Cho (A, m) vành Noether địa phương, A/m = ∞ ln tồn phần tử siêu bề mặt (Xem [23, Proposition 5.12]) (3) Nếu x phần tử siêu bề mặt A dim (A/(x)) = d − (Xem [23, Corollary 5.10]) Bổ đề 2.3.3 [16, Theorem 3.3] Cho (A, m) vành Noether địa phương chiều d, I iđêan m-nguyên sơ x phần tử siêu bề mặt I Đặt A¯ = A/(x) I¯ = I A¯ = I/(x) Lúc đó, 31 ¯ A¯ với i = 0, , d − 2; (1) ei (I) = ei I, ¯ A¯ + (−1)d λ (0 : x) (2) ed−1 (I) = ed−1 I, Mệnh đề 2.3.4 [19, Lemma 3.2] Giả sử (R, m) có chiều d Cho I iđêan m-nguyên sơ y phần tử siêu bề mặt I Đặt I¯ = I/(y), HI¯(k) = ¯ Lúc đó, với λ(A/(I k , y)) PI¯(k) đa thức Hilbert-Samuel I đủ lớn, ta có (−1)d ed (I) = λ(I k : y/I k−1 ) + λ(0 : y) (HI¯(k) − PI¯(k)) − k=1 k=1 Hơn nữa, y không ước A ∞ ∞ d λ(I k : y/I k−1 ) (HI¯(k) − PI¯(k)) − (−1) ed (I) = k=1 k=1 Cho (A, m) vành Noether địa phương I iđêan m-nguyên sơ Với n đủ lớn PI (n) = HI (n), với n, mối liên hệ đa thức Hilbert hàm Hilbert ứng với iđêan m-nguyên sơ thể qua bổ đề sau Bổ đề 2.3.5 [17, Lemma 1.3]Cho (A, m) vành Noether địa phương I iđêan m-nguyên sơ Lúc đó, d i (−1)i λ(HG(I) (G(I))n ) + PI (n) − HI (n) = i=0 Chỉ số quy Castelnuovo-Mumford định nghĩa mơđun phân bậc, nhiên phần này, ta trình bày số quy Castelnuovo-Mumford vành phân bậc liên kết Định nghĩa 2.3.6 Cho (A, m) vành Noether địa phương, I iđêan m-nguyên sơ A G (I) = ⊕ I n I n+1 vành phân bậc liên kết A ứng với I, n i (G(I)) = sup{n|HG(I) (G(I))n = 0}, + số quy Castelnuovo-Mumford G(I) định nghĩa sau reg(G(I)) := max{ai (G(I)) + i| i ≥ 0} 32 Bổ đề 2.3.7 Cho (A, m) vành Noether địa phương chiều d I iđêan m-nguyên sơ A Lúc đó, n(I) ≤ reg(G(I)) Bổ đề 2.3.8 [11, Lemma 4.1]Cho (A, m) vành Noether địa phương chiều d I iđêan m-nguyên sơ A Cho x ∈ I\mI phần tử siêu bề mặt I ¯ Lúc đó, Đặt A¯ = A/(x) I¯ = I A ¯ ≤ reg(G(I)) reg(G(I)) 2.4 Thiết lập chặn cho hệ số Hilbert iđêan tham số theo e1 Cho (A, m) vành Noether địa phương chiều d depth(A) ≥ d − Cho Q iđêan tham số A Trong phần này, ta thiết lập chặn cho hệ số Hilbert iđêan tham số Đầu tiên, ta nhắc lại chặn cho số quy vành phân bậc liên kết G(Q) theo hệ số e1 (Q) Bổ đề 2.4.1 [13, Lemma 4.1] Cho A vành Noether địa phương chiều d ≥ depth(A) ≥ d − Cho Q iđêan tham số A Với n ≥ 1, λ(A/Qn ) ≤ n+d−1 n+d−2 e(Q) − e1 (Q) d d−1 Hệ 2.4.2 [13, Corollary 4.3] Cho A vành Noether địa phương chiều d ≥ depth(A) ≥ d − Cho {x1 , x2 , , xd−1 } hệ tham số A J = (x1 , x2 , , xd−1 ) Với n ≥ t ≥ 1, λ(J n : xtd /J n ) ≤ − n+d−3 e1 (Q) d−2 Định lý 2.4.3 [13, Theorem 4.5] Cho A vành Noether địa phương chiều d ≥ depth(A) ≥ d − Cho Q iđêan tham số A Lúc đó,   max{−e1 (Q) − 1, 0} d = 1; reg(G(Q)) ≤  max{[−4e1 (Q)](d−1)! + e1 (Q) − 1, 0} d ≥ 33 Bổ đề 2.4.4 Cho A vành Noether địa phương chiều d ≥ depth(A) ≥ d − Cho Q iđêan tham số A x phần tử siêu bề mặt Q Với n ≥ 1, ta có λ(Qn+1 : x/Qn ) ≤ − n+d−3 e1 (Q) d−2 Chứng minh Giả sử Q = (x1 , , xd ) x = xd phần tử siêu bề mặt Q Đặt J = (x1 , , xd−1 ), ta có Qn+1 : x/Qn = ((xQn + J n Q) : x)/Qn = (Qn + (J n Q : x))/Qn ∼ = (J n Q : x)/(Qn ∩ (J n Q : x)) Vì J n ⊆ Qn ∩ (J n Q : x), ta có λ(Qn+1 : x/Qn ) ≤ λ(J n : x/J n ) Từ Hệ 2.4.2, λ(J n : x/J n ) ≤ − n+d−3 e1 (Q) d−2 Suy λ(Qn+1 : x/Qn ) ≤ − n+d−3 e1 (Q) d−2 Bổ đề 2.4.5 Cho A vành Noether địa phương chiều d ≥ depth(A) ≥ Cho I iđêan m-nguyên sơ A x phần tử siêu bề mặt I Lúc đó, r d r λ(I k+1 : x/I k ), (HI¯(k) − PI¯(k)) − (−1) ed (I) = k=0 k=0 ¯ r ≥ reg(G(I)) + 1, A¯ = A/(x) I¯ = I A Chứng minh Từ Mệnh đề 2.3.4, ta có ∞ d ∞ λ(I k+1 : x/I k ) (HI¯(k) − PI¯(k)) − (−1) ed (I) = k=0 k=0 ¯ ≤ reg(G(I)) ¯ ≤ reg(G(I)) < r Từ Bổ đề 2.3.7 Bổ đề 2.3.8, ta có n(I) λ(I k+1 : x/I k ) = λ(0 :A x) = với k ≥ r Do r d r λ(I k+1 : x/I k ) (HI¯(k) − PI¯(k)) − (−1) ed (I) = k=0 k=0 34 Sử dụng chặn cho số quy G(Q) Định lý 2.4.3, ta thiết lập chặn cho hệ số Hilbert ei (Q) Định lý 2.4.6 Cho A vành Noether địa phương chiều d ≥ depth(A) ≥ d − Cho Q iđêan tham số A Lúc đó, |ei (Q)| ≤ 3.2i−2 ri−1 |e1 (Q)| với i = 2, , d, r = max{[−4e1 (Q)](d−1)! + e1 (Q) − 1, 0} + Chứng minh Từ Bổ đề 2.4.5, ta có r r d λ(Qk+1 : x/Qk ) [HQ¯ (k) − PQ¯ (k)] − (−1) ed (Q) = k=0 r = k=0 ¯ k) − [λ(A/Q d−1 k+d−i−2 ei (Q)] − d−i−1 i (−1) i=0 k=0 r λ(Qk+1 : x/Qk ) k=0 Từ Bổ đề 2.4.1, ¯ ≤ − k + d − e1 (Q) ¯ ¯ k ) − k + d − e0 (Q) ≤ λ(A/Q d−1 d−2 Từ Bổ đề 2.4.4, k+d−3 |e1 (Q)| d−2 λ(Qk+1 : x/Qk ) ≤ Do r |ed (Q)| ≤ k=0 =3 =3 k+d−3 |e1 (Q)| + d−2 d−1 r+d−2 |e1 (Q)| + d−1 r k=0 i=2 r i=2 k=0 d−1 r+d−2 |e1 (Q)| + d−1 i=2 d−1 k+d−i−2 |ei (Q)| d−i−1 k+d−i−2 |ei (Q)| d−i−1 r+d−i−1 |ei (Q)| d−i Chú ý r+d−2 d−1 ≤ rd−1 35 r+d−i−1 d−i ≤ rd−i Vì d−1 |ed (Q)| ≤ 3.r d−1 rd−i ei (Q) |e1 (Q)| + i=2 Bằng phép quy nạp d, ta giả sử |ei (Q)| ≤ 3.2i−2 ri−1 |e1 (Q)| với i = 2, , d − Mà ei (Q) = ei (Q) với i = 1, , d − 1, từ Bổ đề 2.3.3 Điều suy ei (Q) = |ei (Q)| ≤ 3.2i−2 ri−1 |e1 (Q)| với i = 2, , d − Ta chặn cho ed (Q) Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có d−1 |ed (Q)| ≤ 3.r d−1 rd−i 3.2i−2 ri−1 |e1 (Q)| |e1 (Q)| + i=2 d−1 = 3.rd−1 |e1 (Q)| + 3.rd−1 2i−2 |e1 (Q)| i=2 d−1 = 3.r d−1 |e1 (Q)| + 3.r d−1 2i−2 ) |e1 (Q)|( i=2 = 3.rd−1 |e1 (Q)| + 3.rd−1 |e1 (Q)|.(2d−2 − 1) = 3.2d−2 rd−1 |e1 (Q)| 36 KẾT LUẬN Trong luận văn này, đạt số kết sau: - Tổng quan kết chặn cho số quy CastelnuovoMumford vành phân bậc liên kết - Thiết lập chặn cho hệ số Hilbert ei , với i = 2, , d theo hệ số e1 iđêan tham số vành hầu Cohen-Macaulay Đây kết mà đạt Mặc dù thân có nhiều cố gắng, song luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, mong nhận góp ý từ q thầy giáo bạn để luận văn hoàn thiện 37 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] N T Cường (2003), Giáo trình đại số đại, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội [2] T N T Duyên (2018), Tính khơng dương hệ số Hilbert iđêan tham số, Đại học Sư phạm Huế Tiếng Anh [3] M F Atiyah and I G Macdonald (1969), Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley Publishing Company [4] M Brodmann and C H Linh (2014), Castelnuovo-Mumford regularity, postulation numbers and relation types, J Algebra 419, 124-140 [5] M Brodmann and R.Y Sharp (1998), Local cohomology - an algebraic introduction with geometric applications, Cambridge University Press [6] W Bruns and J Herzog (1993), Cohen-Macaulay rings, Cambridge University Press [7] S Goto and K Ozeki (2011), Uniform bounds for Hilbert coefficients of parameters, Contemp Math 555, 97-118 [8] L T Hoa (1993), Reduction numbers and Rees algebra of powers of an ideal, Proc Amer Math Soc 119, no 2, 415-422 [9] L T Hoa (1996), Reduction numbers of equimultiple ideals , J Pure Appl Algebra 109, 111-126 38 [10] S Huckaba and T Marley (1979), Hilbert coefficients and the depths of associated graded rings, J London Math Soc (2) 56, 64-76 [11] C H Linh (2005), Upper bound for the Castelnuovo-Mumford regularity of associated graded modules, Communication in Algebra 33, 1817-1831 [12] C H Linh (2007), Castelnuovo-Mumford regularity and degree of nilpotency, Math Proc Cambridge Philos Soc 142, no 3, 429-437 [13] C H Linh (2019), Castelnuovo-Mumford regularity and Hilbert coefficients of parameter ideals, Taiwanese Journal of Mathematics 23(5), 1115-1131 [14] C H Linh and N V Trung (2006), Uniform bounds in generalized CohenMacaulay rings, J Algebra 304(2), 1147-1159 [15] C H Linh and V D Trung (2019), Hilbert coefficients and the depth of associated graded rings of parameter ideals, Vietnam Journal of Mathemmatics 47(2), 431-442 [16] M Mandal, B Singh and J K Verma (2011), On some conjectures about the Chern numbers of filtration, Journal of Algebra 325(1), 147-162 [17] T Marley (1993), The reduction number of an ideal and the local cohomology of the associated graded rings, Proc Amer Math Soc 117, 335-341 [18] H Matsumura (1986), Commutative Ring Theory, Cambridge University Press, Cambridge [19] L McCune (2013), Hilbert coefficients of parameter ideals, J Commutative Algebra 5, no 3, 399-412 [20] M.E Rossi, N.V Trung and G Valla (2003), Castelnuovo-Mumford regularity and extended degree, Trans Amer Math Soc 355, 1773-1786 [21] R Y Sharp (2000), Steps in Commutative Algebra, Cambridge University Press, Cambridge [22] V Srinivas and V Trivedi (1997), On the Hilbert functions of a CohenMacaulay ring, J Algebraic Geom 6, 733-751 39 [23] J K Verma (2008), Hilbert coefficients and depth of the associated graded ring of an ideal 40 XÁC NHẬN CỦA CÁN BỘ HƯỚNG DẪN Ý KIẾN CỦA HỘI ĐỒNG BẢO VỆ ĐỀ CƯƠNG Chủ tịch hội đồng ... phương 22 CHẶN CHO HỆ SỐ HILBERT CỦA IĐÊAN THAM SỐ 2.1 Hàm Hilbert- Samuel hệ số Hilbert- Samuel 2.2 Mối quan hệ hệ số Hilbert- Samuel hệ số Hilbert vành phân bậc liên... + 1} viết n(I) thay cho nM (I) 2.2 Mối quan hệ hệ số Hilbert- Samuel hệ số Hilbert vành phân bậc liên kết Trong mục này, ta xem xét mối liên hệ hệ số Hilbert- Samuel hệ số Hilbert vành phân bậc... iđêan tham số theo e1 Cho (A, m) vành Noether địa phương chiều d depth(A) ≥ d − Cho Q iđêan tham số A Trong phần này, ta thiết lập chặn cho hệ số Hilbert iđêan tham số Đầu tiên, ta nhắc lại chặn cho