ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGÔ BẢO LONG MỐI QUAN HỆ GIỮA CHỈ SỐ CHÍNH QUY VÀ HỆ SỐ HILBERT Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS CAO HUY LINH Thừa Thiên Huế, năm 2017 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi, số liệu kết nghiên cứu nêu luận văn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa công bố cơng trình khác Ngơ Bảo Long ii LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình, nghiêm túc thầy Cao Huy Linh, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến thầy, người dẫn, động viên suốt q trình làm luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Huế, Phòng Đào tạo Sau đại học - Đại học Huế, q thầy giáo, người giúp tơi có kiến thức tạo điều kiện để tơi hoàn thành việc học tập nghiên cứu Cuối cùng, tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè động viên giúp đỡ suốt thời gian học tập vừa qua Ngô Bảo Long iii MỤC LỤC Trang phụ bìa i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục Lời nói đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Vành phân thức 1.2 Độ sâu chiều vành môđun 1.3 Iđêan nguyên sơ iđêan tham số 1.4 Vành môđun phân bậc 1.5 Hàm Hilbert hệ số Hilbert môđun phân bậc 11 1.6 Đối đồng điều địa phương 13 1.7 Chỉ số quy Castelnuovo-Mumford 16 Chương Mối quan hệ số quy hệ số Hilbert 2.1 Hàm Hilbert-Samuel hệ số Hilbert-Samuel 17 17 2.2 Mối quan hệ hệ số Hilbert-Samuel hệ số Hilbert môđun phân bậc liên kết 18 2.3 Phần tử lọc quy 20 2.4 Chỉ số Hilbert 21 2.5 Chỉ số quy vành phân bậc liên kết số Hilbert 22 2.6 Chặn cho số quy vành phân bậc liên kết theo hệ số Hilbert 24 Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 34 LỜI NÓI ĐẦU Cho (R, m) vành Noether địa phương chiều d q iđêan tham số qn /qn+1 gọi vành phân bậc liên kết R ứng với R Lúc đó, Gq (R) = n≥0 iđêan q Kí hiệu λ(_) độ dài R-môđun, hàm Hilbert-Samuel R ứng với iđêan q hàm Hq, R : Z −→ N xác định   λ(R/qn ) n > Hq, R (n) = 0 n ≤ Samuel chứng minh tồn đa thức Pq, R (x) ∈ Q[x] có bậc d cho Hq, R (n) = Pq, R (n) n đủ lớn Chúng ta viết Pq, R (n) dạng Pq, R (n) = e0 (q, R) n+d−1 n+d−2 − e1 (q, R) + · · · + (−1)d ed (q, R), d d−1 e0 (q, R), e1 (q, R), , ed (q, R) số nguyên, gọi hệ số Hilbert R ứng với q Mục đích luận văn thiết lập chặn cho số quy Gq (R) theo hệ số Hilbert Năm 2003, Rossi - Trung - Valla [13] thiết lập chặn cho số quy vành phân bậc liên kết ứng với iđêan cực đại theo bậc mở rộng Năm 2005, Linh [8] mở rộng kết lớp iđêan m-nguyên sơ Năm 2006, Linh - Trung [9] thiết lập chặn phổ dụng cho số quy vành phân bậc liên kết ứng với iđêan tham số vành Cohen-Macaulay suy rộng Năm 2007, Linh [10] đưa chặn cho số quy vành phân bậc liên kết ứng với iđêan m-nguyên sơ theo bậc lũy linh Năm 2014, Brodmann - Linh [4] thiết lập chặn cho số quy vành phân bậc liên kết ứng với iđêan m-nguyên sơ theo số quan hệ Trong luận văn này, thiết lập chặn cho số quy vành phân bậc liên kết ứng với iđêan tham số vành hầu Cohen-Macaulay theo hệ số Hilbert e1 (q, R), cụ thể định lý sau: Định lý 2.6.7 Cho (R, m) vành hầu Cohen-Macaulay, dimR = d > 0, R/m vô hạn, q = (x1 , , xd ) iđêan tham số Lúc đó, ta có reg(Gq (R)) ≤ max{−e1 (q, R) − 1, 0} d = 1, reg(Gq (R)) ≤ max{(−4e1 (q, R))(d−1)! + e1 (q, R) − 1, 0} d ≥ Đây kết mà đạt được, phương pháp mà sử dụng dùng hàm Hilbert để ước lượng số quy Phương pháp lần đưa Rossi - Trung - Valla [13] Cuối cùng, có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi có sai sót Chúng tơi mong nhận góp ý cần thiết quý thầy bạn đọc để luận văn hồn thiện Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong luận văn này, vành xét vành giao hốn Kiến thức trình bày chương tìm thấy tài liệu tham khảo [1], [3], [5], [11], [14], [16], [17], [19] 1.1 Vành phân thức Định nghĩa 1.1.1 Một tập hợp S vành R gọi tập nhân đóng ∈ S với x, y ∈ S xy ∈ S Trên tích S × R ta xét quan hệ hai ∼ xác định bởi: với (s, a), (t, b) ∈ S × R, (s, a) ∼ (t, b) ⇔ Tồn u ∈ S cho u(at − sb) = a lớp tương s đương phần tử (s, a) S −1 R tập hợp tất lớp tương đương này, Lúc đó, quan hệ hai ngơi ∼ quan hệ tương đương Kí hiệu có định lý sau: Định lý 1.1.2 Tập hợp S −1 R vành giao hoán với phép toán a b xác định sau: với , ∈ S −1 R s t a + s a · s b at + bs = , t st b ab = · t st Vành giao hoán S −1 R gọi vành phân thức vành R ứng với tập nhân đóng S Ví dụ 1.1.3 Cho R miền nguyên S = R \ {0} tập nhân đóng Khi S −1 R trường, gọi trường phân thức miền nguyên R Cho p iđêan nguyên tố R tập hợp S = R \ p tập nhân đóng Lúc này, vành phân thức S −1 R kí hiệu Rp gọi vành địa phương hóa R iđêan p, với iđêan cực đại a / p} pRp = { ∈ Rp | a ∈ p, s ∈ s 1.2 Độ sâu chiều vành môđun Một dãy iđêan nguyên tố phân biệt R : p0 ⊂ p1 ⊂ ⊂ pn gọi dãy nguyên tố có độ dài n Từ đó, có định nghĩa sau: Định nghĩa 1.2.1 Chiều Krull (hay gọi đơn giản chiều) vành R cận độ dài tất dãy nguyên tố R, kí hiệu dimR Tức là, dimR = sup{n | n độ dài dãy nguyên tố R} Ví dụ 1.2.2 Xét miền nguyên Z, ta có ⊂ pZ (p số nguyên tố) dãy nguyên tố có độ dài lớn Z nên dimZ = Mệnh đề 1.2.3 [14, Hệ 5.6.5] Nếu R vành Noether dimR[x1 , , xn ] = n + dimR Đặc biệt, k trường dimk[x1 , , xn ] = n Tiếp theo, cho vành R M R-mơđun Lúc đó, annR M = {r ∈ R | rx = 0, ∀ x ∈ M } = {r ∈ R | rM = 0} iđêan R (gọi linh hóa tử M ) Chiều mơđun M định nghĩa sau: Định nghĩa 1.2.4 Chiều R-môđun M chiều vành thương R/annR M , kí hiệu dimR M dimM Tức là, dimR M = dim(R/annR M ) Nhận xét 1.2.5 Ta có dimM ≤ dimR Nếu M R-mơđun trung thành annR M = nên dimM = dimR Với I iđêan vành R, xem R/I R-mơđun annR (R/I) = I nên dimR (R/I) = dim(R/I) Tiếp theo trình bày khái niệm liên quan đến độ sâu R-môđun M Phần tử r ∈ R gọi ước không M tồn m ∈ M, m = cho rm = Tập tất phần tử R ước không M kí hiệu ZDVR (M ) Tức là, ZDVR (M ) = {r ∈ R | ∃ m ∈ M, m = : rm = 0} Phần tử r ∈ R gọi phần tử quy M (hay M -chính quy) khơng ước khơng M Nói cách khác, r ∈ R M -chính quy với m ∈ M, m = rm = hay rm = m = Tập tất phần tử M -chính quy R kí hiệu N ZDR (M ) Tức là, N ZDR (M ) = {r ∈ R | ∀ m ∈ M, m = : rm = 0} Một dãy có thứ tự r1 , , rn ∈ R gọi M -dãy quy yếu r1 M quy, r2 M/(r1 )M -chính quy, , rn M/(r1 , , rn−1 )M -chính quy Định nghĩa 1.2.6 Một dãy có thứ tự r1 , , rn ∈ R gọi M -dãy quy M -dãy quy yếu M/(r1 , , rn )M = (hay (r1 , , rn )M = M ) Lúc này, n gọi độ dài dãy Nhận xét 1.2.7 Nếu r1 , , rn M -dãy quy r1t1 , , rntn M -dãy quy, với số nguyên dương t1 , , tn (xem [11, Định lý 16.1]) Cho I iđêan R r1 , , rn ∈ I M -dãy quy Lúc đó, r1 , , rn gọi M -dãy quy cực đại I với rn+1 ∈ I r1 , , rn , rn+1 khơng M -dãy quy Nói cách khác, phần tử I ước không M/(r1 , , rn )M Cho R vành Noether, M R-môđun hữu hạn sinh, I iđêan R cho IM = M Lúc đó, M -dãy quy cực đại I có độ dài (xem [5, Định lý 1.2.5]) Cho (R, m) vành Noether địa phương M R-mơđun hữu hạn sinh Lúc đó, hốn vị M -dãy quy M -dãy quy (xem [5, Mệnh đề 1.1.6]) Lưu ý với M = điều kiện mM = M thỏa mãn theo bổ đề Nakayama nên từ nhận xét có định nghĩa sau: Định nghĩa 1.2.8 Cho R vành Noether, M R-môđun hữu hạn sinh I iđêan R cho IM = M Lúc đó, độ sâu M ứng với iđêan I độ dài M -dãy quy cực đại I, kí hiệu depth(I, M ) Cho (R, m) vành Noether địa phương M R-môđun hữu hạn sinh Lúc đó, depth(m, M ) gọi độ sâu M kí hiệu depthM Nhận xét 1.2.9 Cho (R, m) vành Noether địa phương M = R-môđun hữu hạn sinh Ta có depthM ≤ dimM (xem [5, Mệnh đề 1.2.12]) Nếu depthM = dimM M gọi mơđun Cohen-Macaulay Vành R gọi vành Cohen-Macaulay R R-môđun Cohen-Macaulay (Ngồi ra, M = gọi M Cohen-Macaulay) M N1 ∪ N2 ∪ ∪ Nt M Định lý 2.3.4 [20, Định lý 5.5] Cho (R, m) vành địa phương với R/m vô hạn I iđêan m-nguyên sơ R Lúc đó, tồn x ∈ I \ I phần tử siêu bề mặt I, đó, tồn x∗ = x + I phần tử lọc quy GI (R) Chứng minh Xét (0) = Q1 ∩ ∩ Qs ∩ Qs+1 ∩ ∩ Qg phân tích nguyên √ sơ (0) vành phân bậc liên kết GI (R) Đặt Pi = Qi với i = 1, , g Giả sử G1 ⊆ Pi với i = 1, , s G1 ⊆ Pj với j = s + 1, , g Khi đó, G1 ∩ P1 , , G1 ∩ Ps G0 -môđun thực G1 Theo bổ đề trên, tồn x ∈ I \ I cho x∗ = x + I ∈ I/I = G1 x∗ ∈ s Pi Ta chứng i=1 minh x phần tử siêu bề mặt I Để chứng minh điều ta chứng minh x∗ phần tử lọc quy GI (R), tức :GI (R) x∗ :GI (R) x∗ ∩ Gn = 0, ∀ n n = 0, ∀ n hay Với y ∗ ∈ :GI (R) x∗ , ta có y ∗ x∗ = Do x∗ ∈ Pi với i = 1, , s nên y ∗ ∈ Qi với i = 1, , s (vì y ∗ x∗ = ∈ Qi , √ y ∗ ∈ Qi x∗ ∈ Qi = Pi (mâu thuẫn)) Vậy :GI (R) x∗ ⊆ Q1 ∩ ∩ Qs (1) Mặt khác, Qj Pj -nguyên sơ, với j = 1, , g nên tồn m m cho Pjm ⊆ Qj , với j = 1, , g Ta có Gm = I m /I m+1 = Gm ⊆ Pj ⊆ Qj , với j = s + 1, , g Do đó, Gn ⊆ Qs+1 ∩ ∩ Qg , với n ≥ m (2) Từ (1) (2) ta có: :GI (R) x∗ ∩ Gn ⊆ Q1 ∩ ∩ Qs ∩ Qs+1 ∩ ∩ Qg = (0), ∀ n Vậy x∗ phần tử lọc quy GI (R) nên x phần tử siêu bề mặt I 2.4 Chỉ số Hilbert Cho HM hàm Hilbert môđun phân bậc M , biết với PM (x) ∈ Q[x] đa thức Hilbert M HM (n) = PM (n) n Do đó, n khơng đủ lớn HM (n) khác PM (n), từ có định nghĩa sau: 21 Định nghĩa 2.4.1 Cho HM hàm Hilbert môđun phân bậc M Lúc đó, số nguyên n lớn mà HM (n) khác PM (n) gọi số Hilbert mơđun phân bậc M , kí hiệu p(M ) Vậy p(M ) = sup{n ∈ Z | HM (n) = PM (n)} Đối với hàm Hilbert-Samuel có định nghĩa tương tự Định nghĩa 2.4.2 Cho HI, M hàm Hilbert-Samuel môđun M ứng với iđêan I Lúc n(I, M ) = sup{n ∈ Z | HI, M (n) = PI, M (n)} gọi số Hilbert môđun M ứng với iđêan I Nhận xét 2.4.3 Cho (R, m) vành Noether địa phương, I iđêan m-nguyên sơ GI (R) vành phân bậc liên kết R Chỉ số Hilbert vành phân bậc liên kết GI (R) p(GI (R)) = sup{n ∈ Z | HGI (R) (n) = PGI (R) (n)} Chỉ số Hilbert vành R ứng với iđêan I n(I, R) = sup{n ∈ Z | HI, R (n) = PI, R (n)} kí hiệu n(I) 2.5 Chỉ số quy vành phân bậc liên kết số Hilbert Mối quan hệ số quy vành phân bậc liên kết số Hilbert phần dùng để thiết lập chặn cho số Hilbert sau thiết lập chặn cho số quy vành phân bậc liên kết ứng với iđêan tham số phần 22 Từ định nghĩa số quy chương trước ta có reg(GI (R)) = max{ai (GI (R)) + i | ≤ i ≤ dimGI (R)}, (GI (R)) = sup{n ∈ Z | HGi I (R)+ (GI (R))n = 0} Mệnh đề cho thấy mối quan hệ số Hilbert (GI (R)), từ suy mối quan hệ số Hilbert số quy vành phân bậc liên kết Mệnh đề 2.5.1 Cho (R, m) vành Noether địa phương chiều d I iđêan m-nguyên sơ Lúc đó, ta có p(GI (R)) ≤ max{a0 (GI (R)), , ad (GI (R))} Chứng minh Từ công thức Serre (xem [4, Bổ đề 2.2]) d (−1)i λ(HRi + (M )n ), HM (n) − PM (n) = i=0 xét M = GI (R), dimGI (R) = dimR = d, ta có d (−1)i λ(HGi I (R)+ (GI (R))n ) HGI (R) (n) − PGI (R) (n) = i=0 Ngoài ra, từ cách đặt (GI (R)) = sup{n ∈ Z | HGi I (R)+ (GI (R))n = 0} suy với n > max{a0 (GI (R)), , ad (GI (R))} HGi I (R)+ (GI (R))n = nên HGI (R) (n) = PGI (R) (n) Vậy p(GI (R)) ≤ max{a0 (GI (R)), , ad (GI (R))} Hệ 2.5.2 Cho (R, m) vành Noether địa phương chiều d I iđêan m-nguyên sơ Lúc đó, ta có p(GI (R)) ≤ reg(GI (R)) Chứng minh Ta có p(GI (R)) ≤ max{a0 (GI (R)), , ad (GI (R))} ≤ max{a0 (GI (R)), a1 (GI (R)) + 1, , ad (GI (R)) + d} = reg(GI (R)) Mệnh đề sau khẳng định số Hilbert vành R ứng với iđêan I số Hilbert vành phân bậc liên kết 23 Mệnh đề 2.5.3 Cho (R, m) vành Noether địa phương chiều d I iđêan m-nguyên sơ Lúc đó, ta có n(I) = p(GI (R)) Chứng minh Nếu n > n(I) HGI (R) (n) = HI, R (n + 1) − HI, R (n) = PI, R (n + 1) − PI, R (n) = PGI (R) (n) nên n(I) ≥ p(GI (R)) Giả sử n(I) > p(GI (R)), đặt m = n(I) PGI (R) (m) = HGI (R) (m) = HI, R (m + 1) − HI, R (m) = PI, R (m + 1) − HI, R (m) Từ suy HI, R (m) = PI, R (m) (mâu thuẫn) Vậy n(I) = p(GI (R)) Hệ 2.5.4 Cho (R, m) vành Noether địa phương chiều d I iđêan m-nguyên sơ Lúc đó, ta có n(I) ≤ reg(GI (R)) Chứng minh Xem Hệ 2.5.2 Mệnh đề 2.5.3 2.6 Chặn cho số quy vành phân bậc liên kết theo hệ số Hilbert Trong phần này, với (R, m) vành hầu Cohen-Macaulay, dimR = d > 0, R/m vô hạn, q iđêan tham số, thiết lập chặn cho số quy Gq (R) hàm theo e1 (q, R) d Bổ đề 2.6.1 [2, Định lý 2.4.9] Cho (R, m) vành Cohen-Macaulay chiều d > với R/m vô hạn q iđêan tham số Lúc đó, với n ≥ 1, ta có λ(R/qn ) = n+d−1 e0 (q, R) d Mệnh đề 2.6.2 [6, Hệ 2.5] Cho (R, m) vành Noether địa phương chiều d > q iđêan tham số Lúc đó, ta có e1 (q, R) ≤ 24 Bổ đề 2.6.3 Cho (R, m) vành hầu Cohen-Macaulay, dimR = d > 0, R/m vô hạn q iđêan tham số R Lúc đó, ta có λ(R/qn ) ≤ n+d−1 n+d−2 e0 (q, R) − e1 (q, R) d d−1 Chứng minh Trường hợp d = 1: Đặt L = Hm (R) R/L vành Cohen-Macaulay có chiều Từ dãy khớp ngắn −→ (qn + L)/qn −→ R/qn −→ R/(qn + L) −→ ta có λ(R/qn ) = λ(R/(qn + L)) + λ((qn + L)/qn ) = λ((R/L)/qn (R/L)) + λ(L/(qn ∩ L)) n e0 (q, R/L) + λ(L) = = n.e0 (q, R) + λ(L) (khi n 0) (xem [18, Trang 6]) = n.e0 (q, R) − e1 (q, R) (xem [15, Định lý 1]) Trường hợp d ≥ 2: Giả sử q = (x1 , , xd ) với x = x1 phần tử siêu bề mặt q Lúc đó, từ [20, Hệ 5.10] ta có dim(R/(x)) = dimR − = d − Mặt khác, R/(x) qk (R/(x)) = (qk R/(x) R ∼ = k + (x))/(x) q + (x) Bằng cách quy nạp theo d giả sử λ R/(qk + (x)) ≤ k+d−2 k+d−3 e0 (q, R/(x)) − e1 (q, R/(x)) d−1 d−2 Do đó, từ [12, Mệnh đề 3.1] suy λ R/(qk + (x)) ≤ k+d−2 k+d−3 e0 (q, R) − e1 (q, R) d−1 d−2 Ngoài ra, từ dãy khớp −→ (qk+1 : x)/qk −→ R/qk −→ R/qk+1 −→ R/(qk+1 , x) −→ 25 ta có λ((qk+1 : x)/qk ) − λ(R/qk ) + λ(R/qk+1 ) − λ(R/(qk+1 , x)) = ⇒ λ(R/qk+1 ) − λ(R/qk ) = λ(R/(qk+1 , x)) − λ((qk+1 : x)/qk ) ⇒ λ(R/qk+1 ) − λ(R/qk ) ≤ λ(R/(qk+1 , x)) ⇒ λ(qk /qk+1 ) ≤ λ(R/(qk+1 , x)) = λ R/(qk+1 + (x)) Do λ(R/qn ) = Hq, R (n) n−1 = HGq (R) (k) k=0 n−1 λ(qk /qk+1 ) = k=0 n−1 λ R/(qk+1 + (x)) ≤ k=0 n−1 ≤ k=0 =∗ k+d−1 k+d−2 e0 (q, R) − e1 (q, R) d−1 d−2 n+d−1 n+d−2 e0 (q, R) − e1 (q, R) d d−1 Kiểm tra dấu =∗ , ta có n−1 k=0 k+d−1 d−1 = = = = d−1 d d+1 d+2 n+d−2 + + + + ··· + d−1 d−1 d−1 d−1 d−1 d d + + d d−1 d+1 d+1 + d d−1 d+2 d+2 + d d−1 d+1 d+2 n+d−2 + + ··· + d−1 d−1 d−1 d+2 n+d−2 + + ··· + d−1 d−1 n+d−2 + ··· + d−1 = = n+d−2 n+d−2 + d d−1 n+d−1 d 26 Tương tự n−1 k=0 k+d−2 d−2 = n+d−2 d−1 Vậy có chặn cho hàm Hilbert-Samuel vành R ứng với iđêan tham số q Bây giờ, với (R, m) vành Noether địa phương chiều d > q iđêan tham số R ta ln có λ(R/q) ≥ e0 (q, R) (xem [11, Định lý 14.10]) Đặt I(q, R) = λ(R/q) − e0 (q, R) I(R) = sup I(q, R), với q chạy tập iđêan q tham số R Lúc đó, R vành Cohen-Macaulay I(q, R) = (xem [11, Định lý 17.11]) Chúng ta có định lý sau: Định lý 2.6.4 Cho (R, m) vành hầu Cohen-Macaulay, dimR = d ≥ 2, R/m vô hạn, q = (x1 , , xd ) iđêan tham số J = (x1 , , xd−1 ) Lúc đó, ta có I(R/J n ) ≤ − n+d−3 e1 (q, R) d−2 Chứng minh Với x1 , , xd hệ tham số R dim(R/J) = (xem [11, Định lý 14.1]), suy dim(R/J n ) = Do I((xd ), R/J n ) = λ R/J n xd (R/J n ) − e0 ((xd ), R/J n ) Hơn nữa, R/J n R R/J n ∼ = = n n n xd (R/J ) (xd , J )/J (xd , J n ) nên I((xd ), R/J n ) = λ(R/(xd , J n )) − e0 ((xd ), R/J n ) Mặt khác, R/(xd ) R/(xd ) R ∼ = = J n (R/(xd )) (J n , xd )/(xd ) (J n , xd ) nên λ(R/(xd , J n )) = λ 27 R/(xd ) J n (R/(xd )) Lúc này, dim(R/(xd )) = d − 1, J = (x1 , , xd−1 ) iđêan tham số R/(xd ) depth(R/(xd )) ≥ d − Vì ei (J, R/(xd )) = ei (q, R/(xd )), i = 0, nên áp dụng Bổ đề 2.6.3 ta R/(xd ) n J (R/(xd )) λ n+d−2 n+d−3 e0 (q, R/(xd )) − e1 (q, R/(xd )) d−1 d−2 ≤ Từ [12, Mệnh đề 3.1] suy λ R/(xd ) n J (R/(xd )) ≤ n+d−2 n+d−3 e0 (q, R) − e1 (q, R) d−1 d−2 Ngoài ra, theo công thức liên kết số bội (xem [5, Hệ 4.7.8]) e0 ((xd ), R/J n ) = λ(Rp /J n Rp ).e0 ((xd ), R/p) (với dim(R/p) = 1) p Với R/m vô hạn, giả sử x1 , , xd−1 dãy siêu bề mặt cho (xd ) Lúc đó, dim(Rp ) ≤ d − x1 , , xd−1 dãy quy nên Rp vành CohenMacaulay chiều d − Do đó, theo Bổ đề 2.6.1 ta có λ(Rp /J n Rp ) = n+d−2 e0 (J, Rp ) d−1 Suy e0 ((xd ), R/J n ) = = = = n+d−2 d−1 n+d−2 d−1 e0 (J, Rp ).e0 ((xd ), R/p) p λ(Rp /JRp ).e0 ((xd ), R/p) p n+d−2 e0 ((xd ), R/J) d−1 n+d−2 e0 (q, R) (xem [20, Định lý 5.13]) d−1 Vậy n+d−3 e1 (q, R) d−2 n+d−3 I(R/J n ) ≤ − e1 (q, R) d−2 I((xd ), R/J n ) ≤ − ⇒ 28 Hệ 2.6.5 Cho (R, m) vành hầu Cohen-Macaulay, dimR = d ≥ 2, R/m vô hạn, q = (x1 , , xd ) iđêan tham số J = (x1 , , xd−1 ) Lúc đó, với m ≥ ta có n+d−3 e1 (q, R) d−2 λ((J n : xm )/J n ) ≤ − Chứng minh Với x = xd I((x), R/J n ) = λ(R/(x, J n )) − e0 ((x), R/J n ) Mặt khác, theo [5, Định nghĩa 4.7.3] e0 ((x), R/J n ) = λ(R/(x, J n )) − λ((J n : x)/J n ) Do λ((J n : x)/J n ) = I((x), R/J n ) ≤ I(R/J n ) Suy λ((J n : xm )/J n ) = I((xm ), R/J n ) ≤ I(R/J n ) ≤− n+d−3 e1 (q, R) d−2 Hệ 2.6.6 Cho (R, m) vành hầu Cohen-Macaulay, dimR = d ≥ 2, R/m vô hạn, q = (x1 , , xd ) iđêan tham số Lúc đó, với m ≥ ta có λ((qn+m : xm )/qn ) ≤ − n+d−2 e1 (q, R) d−2 Chứng minh Với x = xd J = (x1 , , xd−1 ) qn+m ⊆ J n+1 + xm qn ⇒ qn+m : xm ⊆ J n+1 : xm + qn ⇒ J n+1 : xm + qn qn+m : xm ⊆ qn qn 29 Do λ qn+m : xm qn J n+1 : xm + qn qn J n+1 : xm =λ n q ∩ (J n+1 : xm ) J n+1 : xm ≤λ J n+1 n+d−2 ≤− e1 (q, R) d−2 ≤λ Định lý 2.6.7 Cho (R, m) vành hầu Cohen-Macaulay, dimR = d > 0, R/m vô hạn, q = (x1 , , xd ) iđêan tham số Lúc đó, ta có reg(Gq (R)) ≤ max{−e1 (q, R) − 1, 0} d = 1, reg(Gq (R)) ≤ max{(−4e1 (q, R))(d−1)! + e1 (q, R) − 1, 0} d ≥ Chứng minh Trường hợp d = 1: q = (x), đặt L = Hm (R) R/L vành Cohen-Macaulay chiều 1, Gq (R/L) đẳng cấu với vành đa thức R/(L, q) nên reg(Gq (R/L)) = (xem [5, Định lý 1.1.8]) Chúng ta có dãy khớp −→ K −→ Gq (R) −→ Gq (R/L) −→ 0, K= n≥0 qn+1 + qn L ∼ = qn+1 n≥0 qn L ∼ = n+1 n q ∩q L n≥0 xn L xn+1 L Vì L có độ dài hữu hạn nên với n ≥ λ(L) Kn = Suy reg(K) ≤ λ(L) − Từ [8, Bổ đề 2.1] ta có reg(Gq (R)) ≤ max{reg(K), reg(Gq (R/L))} ≤ max{λ(L) − 1, 0} = max{−e1 (q, R) − 1, 0} Trường hợp d ≥ 2: q = (x1 , , xd ), chọn x = xd phần tử siêu bề mặt q x∗ phần tử lọc quy Gq (R) Lúc depthR > nên 30 theo [8, Bổ đề 4.2] ta có reg(Gq (R)) = reg1 (Gq (R)) Ngồi ra, theo [8, Bổ đề 4.1] reg1 (Gq (R)/(x∗ )) = reg1 (Gq (R/(x))) Mặt khác, R vành CohenMacaulay reg(Gq (R)) = nên khơng tính tổng qt giả sử R khơng Cohen-Macaulay, từ suy e1 (q, R) < (xem [6, Hệ 2.5]) Bây giờ, đặt reg(Gq (R/(x))) = n reg1 (Gq (R)/(x∗ )) = reg1 (Gq (R/(x))) ≤ reg(Gq (R/(x))) = n Áp dụng [9, Định lý 2.1 Bổ đề 2.2] tồn m cho qn+1 : x reg(Gq (R)) = reg (Gq (R)) ≤ n + λ qn qn+m+1 : xm +λ qn+1 Hơn nữa, từ Hệ 2.6.6 suy reg(Gq (R)) ≤ n − n+d−2 n+d−1 e1 (q, R) − e1 (q, R) d−2 d−2 Nếu d = dim(R/(x)) = nên reg(Gq (R/(x))) = reg(Gq/(x) (R/(x))) ≤ −e1 (q/(x), R/(x)) − ≤ −e1 (q, R) − Do đó, đặt n = −e1 (q, R) − 1, vào công thức ta reg(Gq (R)) ≤ −3e1 (q, R) − = (−4e1 (q, R))(2−1)! + e1 (q, R) − Nếu d ≥ cách quy nạp theo d giả sử reg(Gq (R/(x))) = reg(Gq/(x) (R/(x))) ≤ (−4e1 (q/(x), R/(x)))(d−2)! + e1 (q/(x), R/(x)) − = (−4e1 (q, R))(d−2)! + e1 (q, R) − Đặt n = (−4e1 (q, R))(d−2)! + e1 (q, R) − 1, lưu ý n ≥ −e1 (q, R) ≥ 1, ta có reg(Gq (R)) ≤ n − n+d−2 n+d−1 e1 (q, R) − e1 (q, R) d−2 d−2 ≤† n + (n + 1)d−2 (−e1 (q, R)) + (n + 2)d−2 (−e1 (q, R)) d−2 = n + (n + 1) d−2 (−e1 (q, R)) + i=0 31 d−2 (n + 1)d−2−i (−e1 (q, R)) i d−2 ≤n+ j=1 d−2 (n + 1)d−1−j (−e1 (q, R)) j d−2 d−2 (n + 1)d−2−i (−e1 (q, R)) i + i=0 d−1 =n+ i=1 d−1 ≤n+ i=1 d−1 (n + 1)d−1−i (−e1 (q, R)) i d−1 (n + 1)d−1−i (−e1 (q, R))i i = (n + − e1 (q, R)) d−1 − (n + 1)d−1 + n d−1 − (n + 1)2 + n d−1 −n−1 d−1 + e1 (q, R) − ≤ (n + − e1 (q, R)) ≤ (n + − e1 (q, R)) ≤ (n + − e1 (q, R)) = (−4e1 (q, R)) (d−1)! + e1 (q, R) − (d−1)! Do đó, với d ≥ reg(Gq (R)) ≤ max{(−4e1 (q, R)) + e1 (q, R) − 1, 0} Kiểm tra dấu ≤† , với d ≥ n+d−2 d−2 n+1 n+2 n+d−2 · ··· d−2 n+1 n+1 n+1 ≤ · ··· 1 = = (n + 1)d−2 Tương tự n+d−1 d−2 ≤ (n + 2)d−2 Từ Hệ 2.5.2 Mệnh đề 2.5.3 có hệ sau: Hệ 2.6.8 Cho (R, m) vành hầu Cohen-Macaulay, dimR = d > 0, R/m vô hạn, q = (x1 , , xd ) iđêan tham số Lúc đó, ta có n(q) = p(Gq (R)) ≤ max{−e1 (q, R) − 1, 0} d = 1, n(q) = p(Gq (R)) ≤ max{(−4e1 (q, R))(d−1)! + e1 (q, R) − 1, 0} d ≥ 32 KẾT LUẬN Cho (R, m) vành hầu Cohen-Macaulay chiều d > 0, trường thặng dư R/m vô hạn, q iđêan tham số, thiết lập chặn cho số quy vành phân bậc liên kết Gq (R) hàm theo hệ số Hilbert e1 (q, R) chiều d, cụ thể là: reg(Gq (R)) ≤ max{−e1 (q, R) − 1, 0} d = 1, reg(Gq (R)) ≤ max{(−4e1 (q, R))(d−1)! + e1 (q, R) − 1, 0} d ≥ Từ kết này, đưa chặn cho số Hilbert Hiện tại, với (R, m) vành Noether địa phương q iđêan tham số, chưa thiết lập chặn cho số quy Gq (R) theo hệ số Hilbert Đây toán mở vấn đề quan tâm thời gian tới 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO I Tiếng Việt [1] Nguyễn Tự Cường (2002), Giáo trình Đại số đại, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Văn Đức Trung (2013), Hệ số Hilbert iđêan m-nguyên sơ, Luận văn Thạc sĩ Toán học, Đại học Sư phạm Huế II Tiếng Anh [3] M Brodmann and R Y Sharp (1998), Local cohomology - An algebraic introduction with geometric applications, Cambridge University Press [4] M Brodmann and C H Linh (2014), “Castelnuovo-Mumford regularity, postulation numbers and relation types”, Journal of Algebra, 419, 124-140 [5] W Bruns and J Herzog (1993), Cohen-Macaulay rings, Cambridge University Press, Cambridge [6] L Ghezzi, S Goto, J Hong, K Ozeki, T T Phuong and W V Vasconcelos (2010), “Cohen-Macaulayness versus the vanishing of the first Hilbert coefficient of parameter ideals”, Journal of the London Mathematical Society, 81, 679-695 [7] L T Hoa and S Zarzuela (1994), “Reduction number and a-Invariant of good filtrations”, Communications in Algebra, 22(14), 5635-5656 [8] C H Linh (2005), “Upper bound for Castelnuovo-Mumford regularity of associated graded modules”, Communications in Algebra, 33, 1817-1831 [9] C H Linh and N V Trung (2006), “Uniform bounds in generalized CohenMacaulay rings”, Journal of Algebra, 304, 1147-1159 34 [10] C H Linh (2007), “Castelnuovo-Mumford regularity and Degree of nilpotency”, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 142(3), 429-437 [11] H Matsumura (1986), Commutative Ring Theory, Cambridge University Press, Cambridge [12] L McCune (2013), “Hilbert coefficients of parameter ideals”, Journal of Commutative Algebra, 5(3), 399-412 [13] M E Rossi, N V Trung, G Valla (2003), “Castelnuovo-Mumford regularity and extended degree”, Transactions of the American Mathematical Society, 355(5), 1773-1786 III Website [14] R B Ash (2006), “A Course In Commutative Algebra”, www.math.uiuc.edu/∼r-ash, 1/2006 [15] S Goto, M Manda, J Verma (2012), “Negativity of the Chern number of parameter ideals”, arXiv:1205.6770 [math.AC], 30/5/2012 [16] T Marley (1993), “Graded rings and modules”, www.math.unl.edu/∼tmarley1, 1993 [17] T Marley (1999), “Introduction to local cohomology”, www.math.unl.edu/∼tmarley1, 1999 [18] M E Rossi (2009), “Hilbert Functions of Cohen-Macaulay local rings”, fermat.dima.unige.it/∼rossim, 8/2009 [19] K Shultis (2015), “Systems of parameters and the Cohen-Macaulay property”, digitalcommons.unl.edu/mathstudent/66, 8/2015 [20] J K Verma (2008), “Hilbert Coefficients and Depth of the Associated Graded Ring of an Ideal”, arXiv:0801.4866 [math.AC], 31/1/2008 35 ... g-reg(M ) gọi số quy hình học M 16 Chương MỐI QUAN HỆ GIỮA CHỈ SỐ CHÍNH QUY VÀ HỆ SỐ HILBERT Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm hệ số HilbertSamuel, phần tử lọc quy, số Hilbert Cuối... hiệu n(I) 2.5 Chỉ số quy vành phân bậc liên kết số Hilbert Mối quan hệ số quy vành phân bậc liên kết số Hilbert phần dùng để thiết lập chặn cho số Hilbert sau thiết lập chặn cho số quy vành phân... Hàm Hilbert hệ số Hilbert môđun phân bậc 11 1.6 Đối đồng điều địa phương 13 1.7 Chỉ số quy Castelnuovo-Mumford 16 Chương Mối quan hệ số quy hệ số Hilbert