ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HỒNG THỊ THANH TÂM MẶT KẺ CỰC ĐẠI TRONG KHÔNG GIAN LORENTZ-MINKOWSKI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU Thừa Thiên Huế, Năm 2017 ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HỒNG THỊ THANH TÂM MẶT KẺ CỰC ĐẠI TRONG KHƠNG GIAN LORENTZ-MINKOWSKI Chun ngành: HÌNH HỌC VÀ TƠPƠ Mã số: 60460105 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS ĐOÀN THẾ HIẾU Thừa Thiên Huế, năm 2017 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi, số liệu kết nghiên cứu ghi luận văn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa cơng bố cơng trình nghiên cứu khác Hồng Thị Thanh Tâm ii LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình chu đáo thầy giáo PGS.TS Đoàn Thế Hiếu Lời luận văn này, tơi xin phép gởi đến thầy kính trọng lòng biết ơn sâu sắc thầy thời gian hướng dẫn thực luận văn Nhân dịp này, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành đến thầy cô giáo tham gia giảng dạy khóa cao học K24, người giúp trang bị kiến thức cần thiết hai năm học vừa qua Đồng thời, xin gởi lời cám ơn chân thành đến Ban Giám Hiệu, Phịng Đào tạo Sau đại học Khoa Tốn trường Đại học Sư phạm Huế tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập thực luận văn Sau cùng, tơi xin gởi lời cám ơn đến gia đình, bạn bè, đặc biệt anh chị lớp "Hình học Tơpơ" khóa K22, K23, K24 nhiệt tình giúp đỡ suốt thời gian thực luận văn trình học tập Hồng Thị Thanh Tâm iii Mục lục Trang phụ bìa i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục Lời mở đầu Chương Mặt kẻ không gian R3 1.1 Mặt tham số không gian R3 1.2 Mặt kẻ không gian R3 1.3 Các tính chất 1.4 Đường thắt mặt kẻ 12 1.5 Mặt Helicoid 16 Chương Mặt kẻ cực đại không gian R31 20 2.1 Không gian R31 20 2.2 Mặt tham số kiểu không gian Mặt tham số kiểu thời gian 23 2.2.1 Mặt tham số kiểu không gian 23 2.2.2 Mặt tham số kiểu thời gian 24 2.2.3 Các độ cong địa phương 25 2.3 Mặt kẻ kiểu thời gian 30 2.4 Mặt kẻ cực đại 34 2.5 Mặt Helicoid Lorentz 41 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44 LỜI MỞ ĐẦU Mặt Helicoid H0 := {(x, y, z) ∈ R3 : x tan z = y} phát lần Jean Baptiste Meusnier vào năm 1776 Sau mặt phẳng mặt Catenoid, mặt Helicoid mặt cực tiểu thứ ba không gian Euclidean R3 biết đến Mặt Helicoid sinh chuyển động theo chiều xoắn ốc đường thẳng nằm ngang dọc theo chiều thẳng đứng, vậy, mặt Helicoid cịn gọi mặt kẻ hình đinh ốc Mặt Helicoid có hình dạng giống đinh ốc Archimedes có kích thước vơ hạn theo chiều Tương tự mặt cực tiểu không gian R3 , mặt cực đại không gian Lorentz-Minkowski 3-chiều R31 = {R3 , dx2 + dy − dz } mặt kiểu khơng gian có độ cong trung bình H = điểm mặt Mặt cực đại có ý nghĩa quan trọng thuyết tương đối cổ điển Mặt Helicoid Lorentz phần mặt Helicoid H0 cách bỏ phần thuộc khối trụ trục Oz bán kính (vì phần mặt kiểu không gian), xác định sau: H := {(x, y, z) ∈ R31 |x tan(z) = y, x2 + y > 1} Kobayashi chứng minh có mặt Helicoid Lorentz mặt phẳng kiểu không gian vừa mặt cực đại, vừa mặt cực tiểu Với mong muốn tìm hiểu tính chất, đặc trưng mặt kẻ, đặc biệt mặt kẻ cực đại không gian R31 Đồng thời tìm hiểu sâu mặt Helicoid mặt Helicoid Lorentz Được gợi ý PGS.TS Đoàn Thế Hiếu, nhận đề tài "Mặt kẻ cực đại không gian Lorentz-Minkowski" làm đề tài nghiên cứu luận văn Ngoài phần mở đầu kết luận, nội dung luận văn trình bày theo hai chương: Chương 1: Mặt kẻ không gian R3 Trong chương giới thiệu khái niệm mặt tham số khơng gian R3 , mặt kẻ tính chất, đưa ví dụ mặt kẻ, giới thiệu mặt Helicoid chứng minh tính cực tiểu Chương 2: Mặt kẻ cực đại không gian R31 Trong chương giới thiệu khái niệm không gian Lorentz-Minkowski R31 , đồng thời trình bày mặt tham số kiểu không gian thời gian, mặt kẻ kiểu thời gian, mặt kẻ cực đại mặt Helicoid Lorentz Dù có nhiều cố gắng hạn chế mặt thời gian kiến thức hạn hẹp nên luận văn khơng tránh khỏi sai xót Tơi mong nhận ý kiến đóng góp quý Thầy Cô bạn đọc để luận văn hoàn thiện Huế, tháng 10 năm 2017 Hồng Thị Thanh Tâm Chương MẶT KẺ TRONG KHÔNG GIAN R3 Trong chương giới thiệu khái niệm mặt tham số mặt kẻ không gian R3 , chứng minh tính chất, đường thắt mặt kẻ, đưa ví dụ mặt kẻ chứng minh tính cực tiểu mặt Helicoid Các kiến thức tham khảo từ tài liệu [1], [2] 1.1 Mặt tham số không gian R3 Mục nhằm giới thiệu mặt tham số không gian R3 , đưa cơng thức tính tốn độ cong địa phương trình bày ví dụ Định nghĩa 1.1.1 Mặt tham số cặp (X, S), X : U ⊂ R2 → R3 (u, v) → X(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), U mở, ánh xạ S = X(U ) X(U ) gọi vết mặt tham số, X gọi tham số hóa mặt S Mặt tham số X gọi liên tục, khả vi ánh xạ X liên tục, khả vi Mặt tham số X gọi quy {Xu (p), Xv (p)} độc lập tuyến tính Chú ý mặt tham số quy tự cắt Mệnh đề 1.1.2 Cho X : U ⊂ R2 → R3 mặt tham số quy q điểm thuộc U Khi tồn lân cận V q U cho X(V ) ⊂ R3 mặt quy Chứng minh Giả sử X(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) Từ tính quy, ta giả sử: x u yu xv y v = ∂(x, y) = ∂(u, v) Xét ánh xạ: F : U × R → R3 (u, v, t) → F (u, v, t) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v) + t), (u, v, t) ∈ U × R ∂(x, y) (q) = nên theo định lý hàm ngược, tồn lân cận ∂(u, v) W1 q lân cận W2 F (q) cho F : W1 → W2 vi phôi Đặt Do det(F (q)) = V = W1 ∩ U , ta có F |V = X|V Do X(V ) vi phôi với V nên X mặt quy Định nghĩa 1.1.3 Giả sử X : U ⊂ R2 → R3 mặt quy N trường pháp vector đơn vị xác định bởi: N := X u ∧ Xv |Xu ∧ Xv | Xét ánh xạ khả vi N : U ⊂ R2 → S ⊂ R3 Ánh xạ gọi ánh xạ Gauss mặt X Định nghĩa 1.1.4 Ánh xạ tuyến tính DNp : Tp S → Tp S biến vector tiếp xúc V = v1 Xu + v2 Xv thành vector tiếp xúc DNp (V ) = v1 Nu + v2 Nv gọi ánh xạ Weingarten điểm p Ta có DNp ánh xạ tuyến tính có tính chất tự liên hợp, nghĩa ∀α, β ∈ Tp S, DNp (α), β = α, DNp (β) Từ ta xác định dạng song tuyến tính đối xứng Tp S sau: Dạng thứ nhất: I(U, V ) = U, V , ∀U, V ∈ Tp S Dạng thứ hai: II(U, V ) = − DNp U, V = − U, DNp V , ∀U, V ∈ Tp S Độ cong Gauss: Độ cong Gauss mặt S điểm p, kí hiệu K(p), định nghĩa là: K(p) = det DNp Độ cong trung bình: Độ cong trung bình mặt S điểm p, kí hiệu H(p), định nghĩa là: H(p) = − tr DNp Độ cong chính: Các giá trị riêng ánh xạ Weingarten gọi độ cong mặt S điểm p, kí hiệu k1 , k2 , với vector riêng gọi phương Khi đó: H = (k1 + k2 ); K = k1 k2 Khi tìm ma trận ánh xạ DNp sở {Xu , Xv } ta cơng thức tính độ cong Gauss độ cong trung bình sau: H= eG − 2f F + gE ; 2(EG − F ) K= eg − f , EG − F E, G, F hệ số dạng thứ e, g, f hệ số dạng thứ hai Định nghĩa 1.1.5 Mặt tham số quy X : U → R3 gọi mặt cực tiểu độ cong trung bình H = điểm mặt Ví dụ 1.1.6 Mặt Helicoid có tham số hóa X(u, v) = (u cos v, u sin v, v) Ta có: Xu = (cos v, sin v, 0); Xv = (−u sin v, u cos v, 1); Xuu = (0, 0, 0); Xvv = (−u cos v, −u sin v, 0); Xuv = (− sin v, cos v, 0) Hệ số dạng I : E = 1; F = 0; G = + u2 Ta có: Xu ∧ Xv = (sin v, − cos v, u); |Xu ∧ Xv | = N= + u2 ; Xu ∧ Xv =√ (sin v, − cos v, u) |Xu ∧ Xv | + u2 Hệ số dạng II : e = 0; f = √ Các độ cong: H= −1 + u2 ; g = eG − 2f F + gE = 0; 2(EG − F ) eg − f −1 K= = EG − F (1 + u2 )3/2 Mặt Helicoid có độ cong trung bình H = nên mặt cực tiểu Mặt Catenoid có tham số hóa X(u, v) = (cosh v sin u, cosh v cos u, v) Ta có: Xu = (cosh v cos u, − cosh v sin u, 0); Xv = (sinh v sin u, sinh v cos u, 1); Các độ cong: H= eG − 2f F + gE = ; 2(EG − F ) K=− eg − f = EG − F Hình 2.5: Mặt trụ Hyperbolic kiểu thời gian 2.3 Mặt kẻ kiểu thời gian Trong phần này, khảo sát phân loại mặt kẻ không trụ không gian R31 đưa ví dụ mặt kẻ kiểu thời gian Các kiến thức tham khảo từ tài liệu [4] Với α = α(u) đường cong không gian R31 , ta có định nghĩa mặt kẻ không gian R31 tương tự không gian R3 Định nghĩa 2.3.1 Cho α đường cong không gian R31 Ta gọi α đường cong kiểu không gian (thời gian, ánh sáng) vector tiếp xúc α α vector kiểu không gian (thời gian, ánh sáng) Ta xét α đường cong kiểu không gian thời gian Trong trường hợp này, ω chọn cho trực giao với α Từ ta có loại mặt kẻ khác phù hợp với đặc trưng đường α ω sau: Nếu α ω có kiểu khơng gian, đó: a ω = S gọi có dạng S+1 ; b ω có kiểu ánh sáng S gọi có dạng S+2 30 Nếu α có kiểu khơng gian, ω có kiểu thời gian Khi ω kiểu khơng gian S gọi có dạng S+3 Nếu α có kiểu thời gian ω ln có kiểu khơng gian, đó: a ω = S gọi có dạng S−1 ; b ω có kiểu ánh sáng S gọi có dạng S−2 Định nghĩa 2.3.2 Mặt kẻ S gọi mặt kẻ kiểu thời gian S ba loại S+3 , S−1 S−2 Ví dụ 2.3.3 Conoid loại Cho hàm khả vi φ(u) cho φ = 0, mặt S không gian R31 xác định tham số hóa X(u, v) = (v cos u, v sin u, φ(u)), v < |φ (u)|, mặt kẻ không trụ dạng S−1 , gọi mặt Conoid loại không gian R31 Thật vậy: X(u, v) = (v cos u, v sin u, φ(u)) = (0, 0, φ(u)) + v(cos u, sin u, 0) = α(u) + vω(u) Ta có α(u) = (0, 0, φ(u)) suy α = (0, 0, φ ) Do α , α = −φ < Suy α kiểu thời gian hay α kiểu thời gian Mặt khác ω(u) = (cos u, sin u, 0) suy ω = (− sin u, cos u, 0) = Vậy Conoid loại mặt dạng S−1 Hình 2.6: Conoid loại 31 Conoid loại Cho hàm khả vi φ(u) cho φ = 0, mặt S không gian R31 xác định tham số hóa X(u, v) = (φ(u), v sinh u, v cosh u), mặt kẻ không trụ dạng S+3 , gọi mặt Conoid loại khơng gian R31 Hình 2.7: Conoid loại Thật vậy: X(u, v) = (φ(u), v sinh u, v cosh u) = (φ(u), 0, 0) + v(0, sinh u, cosh u) = α(u) + vω(u) Ta có α(u) = (φ(u), 0, 0) suy α = (φ , 0, 0) Do α , α = φ > Suy α kiểu không gian hay α kiểu không gian Mặt khác ω(u) = (0, sinh u, cosh u) suy ω = (0, cosh u, sinh u) Do ω , ω = > Suy ω kiểu không gian hay ω kiểu thời gian Vậy Conoid loại mặt dạng S+3 Helicoid loại Cho số a = 0, mặt S không gian R31 xác định tham số hóa X(u, v) = (v cos u, v sin u, au), 32 mặt kẻ không trụ dạng S−1 , gọi mặt Helicoid loại không gian R31 Thật vậy: X(u, v) = (v cos u, v sin u, au) = (0, 0, au) + v(cos u, sin u, 0) = α(u) + vω(u) Ta có α(u) = (0, 0, au) suy α = (0, 0, a) Do α , α = −a2 < Suy α kiểu thời gian hay α kiểu thời gian Mặt khác ω(u) = (cos u, sin u, 0) suy ω = (− sin u, cos u, 0) = Vậy Helicoid loại mặt dạng S−1 Hình 2.8: Mặt Helicoid loại Helicoid loại Cho số a = 0, mặt S không gian R31 xác định tham số hóa X(u, v) = (au, v sinh u, v cosh u), mặt kẻ không trụ dạng S+3 , gọi mặt Helicoid loại khơng gian R31 33 Hình 2.9: Mặt Helicoid loại Thật vậy: X(u, v) = (au, v sinh u, v cosh u) = (au, 0, 0) + v(0, sinh u, cosh u) = α(u) + vω(u) Ta có α(u) = (au, 0, 0) suy α = (a, 0, 0) Do α , α = a2 > Suy α kiểu không gian hay α kiểu không gian Mặt khác ω(u) = (0, sinh u, cosh u) suy ω = (0, cosh u, sinh u) Do ω , ω = > Suy ω kiểu không gian hay ω kiểu thời gian Vậy Helicoid loại mặt dạng S+3 2.4 Mặt kẻ cực đại Phần trình bày khái niệm mặt kẻ cực đại kiểu không gian số kết liên quan Các kiến thức tham khảo từ tài liệu [5],[7] Định nghĩa 2.4.1 Mặt kẻ S gọi mặt kẻ kiểu không gian S hai loại S+1 S+2 34 Ví dụ 2.4.2 Mặt phẳng kiểu khơng gian có độ cong trung bình H = điểm nên mặt kẻ cực đại Mặt Helicoid Lorentz mặt kiểu không gian có tham số hóa: X(u, v) = u, v, arctan v u Ta có: u v ; Xv = 0, 1, ; +v u + v2 2uv 2uv 0, 0, ; X = 0, 0, − vv (u + v )2 (u2 + v )2 Xu = 1, 0, − Xuu = u2 Xuv = 0, 0, −u2 + v (u2 + v )2 ; Hệ số I : E =1− u2 uv v2 ; G = − ; F = (u2 + v )2 (u2 + v )2 (u2 + v )2 Ta có: v u ,− , −1 ; |Xu ∧ Xv | = 2 u +v u + v2 Xu ∧ X v = N= Xu ∧ X v = |Xu ∧ Xv | u v ,− , −1 +v u + v2 u2 1−(u2 +v ) − (u2 + v ) ; u2 + v u2 +v Hệ số II : 2uv e= 1−(u2 +v ) u2 +v (u2 ; + v )2 2uv g=− ; 1−(u2 +v ) u2 +v (u f= + v )2 −u2 + v 1−(u2 +v ) u2 +v (u + v )2 Các độ cong: H=− K= eG − 2f F + gE = 0; 2(EG − F ) eg − f =− 2 EG − F 2(u + v ) − (u2 + v )2 − Mặt Helicoid Lorentz có độ cong trung bình H = nên mặt kẻ cực đại 35 Mặt S khơng gian R31 xác định tham số hóa: X(u, v) = 1 u + v, − u3 − uv + u, u3 + uv , 6 mặt kẻ không trụ kiểu không gian, gọi liên hợp mặt Enneper loại khơng gian R31 Hình 2.10: Liên hợp mặt Enneper loại Ta có: 1 Xu = u, − u2 − v + 1, u2 + v ; Xv = (1, −u, u); 2 Xuu = (1, −u, u); Xvv = (0, 0, 0); Xuv = (0, −1, 1) Hệ số I : E = − 2v; G = 1; F = Ta có: √ 1 Xu ∧ Xv = u, − u2 + v, u2 − v + ; |Xu ∧ Xv | = − 2v; 2 Xu ∧ Xv 1 N= =√ u, − u2 + v, u2 − v + |Xu ∧ Xv | 2 − 2v Hệ số II : e = 0; g = 0; f = − √ − 2v Các độ cong: eG − 2f F + gE = 0; 2(EG − F ) eg − f K= = − EG − F (1 − 2v)2 H=− Liên hợp mặt Enneper loại có độ cong trung bình H = nên mặt kẻ cực đại 36 Nhận xét 2.4.3 Mỗi mặt kẻ kiểu khơng gian S tham số hóa bởi: X(u, v) = α(u) + vω(u), u ∈ I, v ∈ J, cho: ω(u)ω(u) = 1; α (u)α (u) = 1; α (u)ω(u) = Thật vậy, đường tham số quy tồn tham số độ dài cung nên nhận xét (1) (2) hiển nhiên Bây giời xét S mặt kẻ xác định Xét đường cong ζ(u) = α(u) + r(u)ω(u), (6) r(u) hàm thực α(u), ω(u) thỏa ω(u)ω(u) = = α (u)α (u) cho ζ (u)ω(u) = Từ ω(u)ω(u) = 1, ta có: ω(u)ω(u) = ⇔ ω (u)ω(u) + ω(u)ω (u) = ⇔ 2ω (u)ω(u) = ⇔ ω (u)ω(u) = Đạo hàm (6) theo u ta có: ζ (u) = α (u) + r (u)ω(u) + r(u)ω (u) (7) Tích hai vế (7) với ω(u), ta có: ζ (u)ω(u) = α (u)ω(u) + r (u)ω(u)ω(u) + r(u)ω (u)ω(u) ⇔ = α (u)ω(u) + r (u)ω(u)ω(u) ⇔ = α (u)ω(u) + r (u) ⇔ r (u) = −α (u)ω(u) Nguyên hàm hai vế theo u, ta có: r (u) du = ⇔ r(u) = −α (u)ω(u) du −α (u)ω(u) du (8) Tiếp theo, ta xác định tham số w sau: w = v − r(u), r(u) xác định biểu thức (8) 37 Xét tham số hóa Y (u, w) = ζ(u) + wω(u) (9) Thay ζ(u), w vào (9) ta có: Y (u, w) = ζ(u) + wω(u) = α(u) + r(u)ω(u) + (v − r(u))ω(u) = α(u) + r(u)ω(u) + vω(u) − r(u)ω(u) = α(u) + vω(u) = X(u, v) Vậy mặt kẻ S tham số hóa bởi: Y (u, w) = ζ(u) + wω(u), với ζ (u)ω(u) = Định lý 2.4.4 Mọi mặt kẻ cực đại kiểu không gian không gian R31 đồng dạng với mặt sau: mặt phẳng (x, y); mặt Helicoid Lorentz; mặt Helicoid loại 2; liên hợp mặt Enneper loại Chứng minh Xét mặt kẻ cực đại kiểu không gian S xác định tham số hóa: X(u, v) = α(u) + vω(u), u ∈ I, v ∈ R, α(u) đường chuẩn, ω(u) đường sinh Từ nhận xét 2.4.3, ta ln chọn tham số hóa mặt S cho ω(u)ω(u) = = α (u)α (u) α (u)ω(u) = Tính tốn hệ số dạng I II ta có: Xu = α + vω ; Xv = ω; Xuu = α + vω ; Xvv = 0; Xuv = ω ; Xu ∧ Xv = (α + vω ) ∧ ω = α ∧ ω + vω ∧ ω; N= Xu ∧ Xv α ∧ ω + vω ∧ ω = ; |Xu ∧ Xv | |α ∧ ω + vω ∧ ω| E = (α + vω )2 = + 2v α , ω + v ω ; G = ω = 1; F = α + vω , ω = α , ω + v ω , ω = 0; 38 [α ∧ ω + vω ∧ ω](α + vω ) |α ∧ ω + vω ∧ ω| α ∧ ω, α + v[ ω ∧ ω, α + α ∧ ω, ω ] + v ω ∧ ω, ω = ; |α ∧ ω + vω ∧ ω| e= g = 0; f = α ∧ ω + vω ∧ ω, ω |α ∧ ω + vω ∧ ω| Vì S mặt cực đại nên H = H=0⇔− eG − 2f F + gE =0 2(EG − F ) ⇔ α ∧ ω, α + v[ ω ∧ ω, α + α ∧ ω, ω ] + v ω ∧ ω, ω = (10) Phương trình (10) đa thức bậc hai theo v nên từ kết định lý đại số, ta có:    α ∧ ω, α = (10a)   (10) ⇔ ω ∧ ω, α     ω ∧ ω, ω + α ∧ ω, ω =0 =0 (10b) (10c) Từ (10a) suy α , ω, α đồng phẳng Hơn α ⊥ α , α ⊥ ω nên ω α phương Suy ω ∧ ω, α = Do (10b) trở thành α ∧ ω, ω =0 (11) Ta kí hiệu L(α , ω) L(ω , ω) không gian sinh (α , ω) (ω , ω) theo thứ tự Từ (10c) (11) ta suy ω ∈ L(α , ω) ∩ L(ω , ω), mà L(α , ω) ∩ L(ω , ω) = ω nên ta xét hai trường hợp sau: Trường hợp ω không phương với ω Khi hai khơng gian L(α , ω) L(ω , ω) trùng Suy α ω phương, nghĩa α = a1 ω , a ∈ R Lúc này: Xu ∧ Xv = (α + vω ) ∧ ω = ( ω + vω ) ∧ ω a = ( + v)ω ∧ ω a (1 + av) = ω ∧ω a = (1 + av)α ∧ ω; N= Xu ∧ Xv (1 + av)(α ∧ ω) = = ±α ∧ ω, |Xu ∧ Xv | |(1 + av)||α ∧ ω| 39 (12) |α ∧ ω| = |ω| = |α | = + av = ±1 |1 + av| Nghĩa N vector pháp đơn vị không gian L(α , ω) ≡ L(ω , ω) Đạo hàm (12) theo u ta có: N = ±[α ∧ ω + α ∧ ω ] = ±[κ(ω ∧ ω) + (ω ∧ ω )] a = Do N vector Suy không gian L(α , ω) ≡ L(ω , ω) cố định Lại có b = (α ∧ ω) = α ∧ ω + α ∧ ω = = −τ n Mà |n| = suy τ = hay α đường cong phẳng Như vậy, L(α , ω) không gian cố định α đường cong phẳng nên S đồng dạng với mặt phẳng Trường hợp ω phương với ω Khi α ω không phương Do ω phương với ω mà α , ω = nên α , ω = Lại có α , ω = Suy ra: α ,ω = ⇔ α ,ω + α ,ω = ⇔ α ,ω = − α ,ω Suy κ = κ ω, ω = α , ω = − α , ω Do κ = − α ,ω = −[ α , ω + α , ω ] = Vậy κ số Mặt khác: τ = τ ω, ω = − ω, b = − ω, α ∧ ω + α ∧ ω = −[ α ∧ ω, ω + α ∧ ω , ω ] = − α ∧ ω ,ω = − α ∧ ω, ω Suy τ = −[ α ∧ ω, ω + α ∧ ω , ω + α ∧ ω, ω ] 40 Do α ∧ ω, ω = κω ∧ ω, ω = 0, α ∧ ω = α ∧ ω, ω = nên τ = Vậy τ số Từ ta có trường hợp sau: |τ | = |κ| = Rõ ràng mặt phẳng |τ | = |κ| = Trường hợp cho ta dạng đặc biệt Helicoid, gọi liên hợp mặt Enneper loại |τ | > |κ| > Đây mặt Helicoid loại |κ| > |τ | > Đây mặt Helicoid Lorentz < |τ | < |κ| Đây mặt kiểu ánh sáng nên ta không xét 2.5 Mặt Helicoid Lorentz Phần giới thiệu mặt Helicoid Lorentz kết định lý tính mặt Helicoid Lorentz Để chứng minh định lý này, người ta liệu Weierstrass mặt Helicoid Lorentz liệu Kết định lý tham khảo tài liệu [3] Định nghĩa 2.5.1 Mặt Helicoid Lorentz phần mặt Helicoid H0 cách bỏ phần thuộc khối trụ trục Oz bán kính (vì phần mặt kiểu không gian), xác định sau: H := {(x, y, z) ∈ R31 |x tan(z) = y, x2 + y > 1} Mặt Helicoid Lorentz có tham số hóa kiểu đồ thị xác định bởi: X(u, v) = u, v, arctan 41 v u Hình 2.11: (a) Mặt Helicoid; (b) Một phần mặt Helicoid Hình 2.12: Mặt Helicoid Lorentz Định lý 2.5.2 [3] (Tính mặt Helicoid Lorentz) Mặt ω ∗ -cực đại với biên liên thơng có số vịng quay vơ hạn nhúng hồn tồn không gian R31 mặt Helicoid Lorentz 42 KẾT LUẬN Qua luận văn này, tơi trình bày kết sau: Trong chương I, giới thiệu mặt kẻ khơng gian R3 tính chất đặc trưng nó, trình bày số ví dụ mặt kẻ chứng minh tính cực tiểu mặt Helicoid Mệnh đề 1.5.2 Trong chương II, giới thiệu khái quát không gian Lorentz-Minkowski R31 , mặt kiểu không gian thời gian, xây dựng cơng thức tính độ cong địa phương khơng gian Đồng thời, trình bày chứng minh số kết mặt kẻ cực đại không gian R31 Định lý 2.4.4 giới thiệu mặt Helicoid Lorentz Tuy nhiên, thời gian thực luận văn khơng nhiều, kiến thức cịn nhiều hạn chế nên khơng tránh khỏi thiếu xót Kính mong q thầy bạn đọc góp ý, bổ sung để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cám ơn! 43 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt Đồn Thế Hiếu (2008), Bài giảng Hình học vi phân, Đại học Sư phạm, Đại học Huế Tiếng Anh Carmo M.P (1976), Differential Geometry of Curves and Surfaces, Translated from the Portuguese, Prentice-Hall, Inc, Englewood Cliffs, N.J,viii+503pp Fernandez I., Lopez F.J (2014), On the uniqueness of the helicoid and Enneper’s surfaces in the Lorentz-Minkowski space R31 , Trans Amer Math Soc 363, no 9, 4603-4650 Kim Y.H., Yoon D.W (2004), Classification of ruler surfaces in Minkowski 3-space, J Geom Phys 49, no 1,89-100 Kobayashi O (1983), Maximal Surfaces in the 3-dimensional Minkowski space L3 , Tokyo J.Math., vol 6, no López R (2014), Differential Geometry of Curves and Surfaces in LorentzMinkowski space, Int Electron J Geom, vol 7, no 1, 44-107 Zeilinger J (2012), Maximal Surfaces in Lorentz-Minkowski 3-space L3 , MAM3000W PROJECT 44 ... trưng mặt kẻ, đặc biệt mặt kẻ cực đại không gian R31 Đồng thời tìm hiểu sâu mặt Helicoid mặt Helicoid Lorentz Được gợi ý PGS.TS Đồn Thế Hiếu, tơi nhận đề tài "Mặt kẻ cực đại không gian Lorentz- Minkowski" ... MẶT KẺ CỰC ĐẠI TRONG KHƠNG GIAN R31 Trong chương tơi giới thiệu khái niệm không gian LorentzMinkowski R31 , đồng thời trình bày mặt tham số kiểu không gian thời gian, mặt kẻ kiểu thời gian, mặt. .. đại không gian R31 Trong chương giới thiệu khái niệm khơng gian Lorentz- Minkowski R31 , đồng thời trình bày mặt tham số kiểu không gian thời gian, mặt kẻ kiểu thời gian, mặt kẻ cực đại mặt Helicoid