BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TÔN NỮ SINH NHÃ MẶT CỰC TIỂU KIỂU ĐỒ THỊ TRONG KHƠNG GIAN R ×ω R2 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Huế, Năm 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TÔN NỮ SINH NHÃ MẶT CỰC TIỂU KIỂU ĐỒ THỊ TRONG KHƠNG GIAN R ×ω R2 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC CHUN NGÀNH HÌNH HỌC TƠ PÔ Mã số: 60.46.01.05 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS ĐOÀN THẾ HIẾU Huế, Năm 2016 Lời cảm ơn Được hướng dẫn tận tâm, nhiệt tình đầy kiên nhẫn thầy giáo, PGS.TS Đồn Thế Hiếu, tơi hồn thành luận văn Lời đầu tiên, tơi xin gửi đến Thầy lịng tơn kính tri ân sâu sắc điều tâm huyết mà Thầy truyền dạy thời gian qua Tôi xin trân trọng tỏ lịng biết ơn đến q thầy tham gia giảng dạy cho hệ cao học viên K23, chun ngành Tốn học, trường ĐHSP Huế tận tình truyền đạt kiến thức quý báu suốt thời gian khóa học Bên cạnh đó, xin gửi lời cảm ơn đến Ban Giám Hiệu, Khoa Tốn Phịng Đào tạo Sau đại học, trường Đại Học Sư Phạm Huế hỗ trợ tạo điều kiện học tập thuận lợi, đảm bảo hiệu để chúng tơi hồn thành khóa học cách tốt đẹp Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành lịng kính trọng đến mẹ tất yêu thương, quan tâm mà tơi đón nhận; gửi lịng tri ân đến gia đình ln ủng hộ dành lời động viên cho suốt chặng đường dài khơng khó khăn vừa qua Và lời nữa, xin dành cho bạn bè, thành viên lớp Hình Học Tơ-pơ K23 niên khóa 2014-2016 anh chị nhóm Seminar Hình Học Huế biết ơn thật nhiều nhiệt tình giúp đỡ tơi suốt q trình học thực đề tài luận văn Tp.Huế, ngày 10 tháng 10 năm 2016 Tôn Nữ Sinh Nhã Lời cam đoan Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng tơi, số liệu kết luận văn trung thực đồng tác giả cho phép sử dụng Tp.Huế, ngày 10 tháng 10 năm 2016 Tôn Nữ Sinh Nhã Mục lục Lời nói đầu Mặt cực tiểu kiểu đồ thị R3 1.1 Kiến thức chuẩn bị 1.1.1 Mặt quy-Dạng thứ 1.1.2 Mặt định hướng 1.1.3 Ánh xạ Gauss dạng thứ hai 1.2 Bài toán Plateau 1.3 Nhát cắt chuẩn tắc Độ cong Gauss, độ cong trung bình Các ví dụ 1.3.1 Độ cong pháp Nhát cắt chuẩn tắc Độ cong Cơng thức Euler 1.3.2 Độ cong Gauss - Độ cong trung bình 1.3.3 Các ví dụ 1.4 Mặt cực tiểu 1.5 Mặt cực tiểu kiểu đồ thị 1.5.1 Phương trình Lagrange 1.5.2 Tính cực tiểu diện tích 1.5.3 Định lý Bernstein 6 7 9 11 13 14 17 17 18 20 Mặt cực tiểu kiểu đồ thị không gian R ×ω R2 2.1 Khơng gian tích cong R ×ω R2 2.1.1 Định nghĩa 2.1.2 Các phép toán 2.2 Mặt cực tiểu kiểu đồ thị khơng gian tích cong R ×ω R2 2.2.1 Mặt kiểu đồ thị 2.2.2 Bài toán biến phân 2.2.3 Diện tích Biến phân thứ phiếm hàm diện tích 2.2.4 Độ cong trung bình Mặt cực tiểu 2.2.5 Phương trình Lagrange 2.2.6 Một số ví dụ điển hình: 2.2.7 Độ cong thớ 24 24 24 25 27 27 27 29 30 30 31 34 Kết luận 35 Phụ lục 36 Lời nói đầu Trong nghiên cứu đối tượng hình học, người ta dành nhiều quan tâm đến việc khảo sát tìm kiếm lớp mặt cực tiểu R3 không gian quen thuộc gắn liền với nhiều ứng dụng thực tế, đó, người ta mong muốn biểu diễn đối tượng hình học khơng gian để từ đó, dựa vào cơng cụ giải tích, ta khảo sát tính tốn dễ dàng Khơng gian R ×ω R2 khơng gian tích R × R2 , trang bị tích vơ hướng xác định dựa tích vơ hướng R R2 hàm dương ω R thông qua biểu thức viết ngắn gọn sau: g = gR + ω gR2 Với không gian định nghĩa vậy, vấn đề đặt liệu khái niệm, kết mà ta có khảo sát không gian R3 thay đổi có cịn đảm bảo tính đắn? Cụ thể việc khảo sát mặt cực tiểu không gian nào? Xuất phát từ mong muốn tìm hiểu làm rõ vấn đề trên, hướng dẫn Thầy giáo, PGS TS Đồn Thế Hiếu, tơi nhận làm đề tài: “Mặt cực tiểu kiểu đồ thị không gian R ×ω R2 ” luận văn Đề tài góp phần làm rõ khái niệm, kết liên quan đến mặt cực tiểu kiểu đồ thị khơng gian R ×ω R2 sở đối chiếu với đối tượng tương đương không gian R3 , từ giúp cho vừa tìm hiểu khơng gian R ×ω R2 có nhìn tổng quan gần gũi Luận văn trình bày theo bốn phần: • Lời nói đầu: Giới thiệu nội dung nghiên cứu luận văn • Phần nội dung • Phần kết luận: Tổng kết kết đạt được, đồng thời nêu số vấn đề chưa giải luận văn • Phần phụ lục: Bổ sung chứng minh chi tiết số kết có tính dẫn dắt phục vụ cho việc đưa kết luận phần nội dung Phần nội dung luận văn bao gồm hai chương: Chương 1: Mặt cực tiểu kiểu đồ thị R3 Chương 2: Mặt cực tiểu kiểu đồ thị khơng gian R ×ω R2 Chương Mặt cực tiểu kiểu đồ thị R3 1.1 Kiến thức chuẩn bị Trong phần này, ta củng cố lại vài khái niệm nhằm hỗ trợ cho việc tiếp cận kiến thức thuộc nội dung chương dễ dàng đạt hiệu 1.1.1 Mặt quy-Dạng thứ Định nghĩa 1.1.1 Một tập S ⊂ R3 gọi mặt quy ∀p ∈ S tồn lân cận V ⊂ R3 p, tập mở U ⊂ R2 với ánh xạ X : U −→ V ∩ S cho: X(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)); (u, v) ∈ S, với x, y, z hàm có đạo hàm riêng cấp Khi đó, ta nói X ánh xạ khả vi X đồng phôi từ U vào V ∩ S Điều có nghĩa X song ánh liên tục, có ánh xạ ngược X −1 : V ∩ S −→ U liên tục Hay, hiểu X −1 hạn chế ánh xạ liên tục F : Ω ⊂ R3 −→ R2 , với (V ∩ S) ⊂ Ω (Tính quy) Với p, đạo hàm dXp : R2 −→ R3 đơn ánh Khi đó, X gọi tham số hóa địa phương S; cặp (U, V ) gọi hệ tọa độ địa phương đồ S; V ∩ S lân cận p S gọi lân cận tọa độ Định nghĩa 1.1.2 Một mặt tham số cặp (X, S) với X : R2 ⊃ U −→ R3 ánh xạ khả vi xác định U mở S = X(U ) Khi đó: S gọi vết mặt tham số; X gọi tham số hóa mặt Định nghĩa 1.1.3 Trong R3 , xét mặt S cho hàm vector sau: X : Ω −→ R3 (u, v) → X(u, v) := (u, v, f (u, v)) Trong đó, f hàm hai biến lớp C; f : Ω ⊂ R2 −→ R, Ω miền mở liên thông với bao đóng compact có biên trơn R2 Khi đó, S đồ thị hàm f R3 , đồ thị có dạng mặt không gian ba chiều Mặt S gọi mặt kiểu đồ thị Định nghĩa 1.1.4 Một vector tiếp xúc mặt quy S điểm p ∈ S vector tiếp xúc cung tham số khả vi có vết nằm S α : (− ; ) −→ S cho α(0) = p Tập gồm tất vector tiếp xúc S p gọi không gian tiếp xúc S đặt p ký hiệu Tp S Ta thấy khơng gian tiếp xúc Tp S không gian vector 2-chiều Với điểm q(u, v) ∈ Ω, ta có X(q) = p ∈ S, ta kiểm chứng hệ {Xu (q), Xv (q)} gồm vector tiếp xúc với đường tọa độ qua p sở Tp S Do vậy, Tp S làm không gian phương cho mặt phẳng tiếp xúc S p Khi không quan tâm đến điểm tiếp xúc, ta đồng khơng gian tiếp xúc mặt phẳng tiếp xúc Ta đưa định nghĩa sau: Định nghĩa 1.1.5 Xét q(u, v) ∈ Ω, ta có X(q) = p ∈ S Khi đó, mặt phẳng qua p nhận Xu (q), Xv (q) làm cặp vector phương gọi mặt phẳng tiếp xúc S p Định nghĩa 1.1.6 Cho S ⊂ R3 mặt quy Tích vơ hướng mặt phẳng tiếp xúc Tp S cảm sinh từ tích vô hướng R3 xác định sau: ω1 , ω2 p = ω1 ω2 , ∀ω1 , ω2 ∈ Tp S Khi đó, với mặt phẳng tiếp xúc Tp S, dạng toàn phương Ip (ω) = ω, ω Tp S gọi dạng thứ mặt S điểm p 1.1.2 p = |ω|2 , với ω ∈ Mặt định hướng Trong phần này, cho S mặt quy V ⊂ S tập mở Định nghĩa 1.1.7 Một trường vector V định nghĩa ánh xạ F : V −→ R3 Trường vector gọi liên tục, khả vi ánh xạ ánh xạ F có tính chất Ta nói F trường vector tiếp xúc V ∀p ∈ V, F (p) ∈ Tp S Nếu ∀p ∈ V, F (p)⊥Tp S F gọi trường vector pháp V Nếu |F (p)| = 1, ∀p ∈ V , F gọi trường vector đơn vị V Định nghĩa 1.1.8 Xét mặt quy S, có trường pháp vector đơn vị liên tục N xác định toàn mặt mặt gọi định hướng Khi đó, trường pháp vector N gọi định hướng S Một mặt quy định hướng mặt quy định hướng hướng xác định N 1.1.3 Ánh xạ Gauss dạng thứ hai Cho (S, N ) mặt quy định hướng Ở đây, ta giả thiết định hướng N mặt khả vi Do |Np | = 1, ∀p ∈ S nên ta coi N ánh xạ khả vi từ mặt quy S vào mặt cầu đơn vị S , biến điểm p mặt S thành điểm vector pháp Np thuộc mặt S Định nghĩa 1.1.9 (Ánh xạ Gauss) Ánh xạ N : S −→ S mô tả gọi ánh xạ Gauss mặt định hướng S Ta có ánh xạ Gauss khả vi đạo hàm p ∈ S ánh xạ tuyến tính: dNp : Tp S −→ TNp S Vì Tp S⊥Np , TNp S ⊥Np , ∀p ∈ S, nên ta thường đồng Tp S TNp S p ∈ S Nói cách khác, dNp tự đồng cấu tuyến tính Tp S Mệnh đề sau nêu lên tính chất quan trọng ánh xạ dNp Mệnh đề 1.1.10 Ánh xạ dNp : Tp S −→ Tp S tự liên hợp, tức là: ∀α, β ∈ Tp S, dNp (α), β = α, dNp (β) (1.1) Chứng minh Việc chứng minh mệnh đề xem phần phụ lục (2.2.10) Định nghĩa 1.1.11 (Dạng thứ hai) Dạng toàn phương IIp (α) := − dNp (α), α gọi dạng thứ hai mặt S điểm p 1.2 Bài toán Plateau Bài tốn đặt câu hỏi liệu có hay không tồn mặt cực tiểu diện tích họ mặt biên cho trước Mặc dù toán đưa Joseph-Louis Lagrange vào năm 1760 thường gọi toán Joseph Plateau, hay ngắn gọn toán Plateau, lấy theo tên người miệt mài quan sát thí nghiệm màng xà phịng rút quy luật để từ đưa phát biểu liên quan đến tốn Cũng lẽ mà tốn cịn biết đến tốn bong bóng xà phịng Bài tốn Plateau xem mảng nghiên cứu Phép tính biến phân Các vấn đề liên quan đến việc tồn tính quy lấy từ Lý thuyết độ đo hình học Có thể hình dung tốn thơng qua tượng thực tế sau: Ta có màng xà phịng với biên cố định Ban đầu, trạng thái xem mặt phẳng Thổi nhẹ vào màng xà phòng khiến dao động; q trình làm cho mặt phẳng ban đầu có hình thù biến dạng liên tục tạo họ mặt mà ta xem biến phân mặt ban đầu theo thời gian t chạy khoảng (−ε; ε) Tại thời điểm, ta có màng xà phịng với diện tích tương ứng Điều có nghĩa diện tích mặt biến đổi theo thời gian t nói trên, dẫn tới việc ta thu biến phân theo thời gian t hàm diện tích Ta có ánh xạ A : (−ε; ε) −→ R t → A(t) Trong trình tìm mặt cực tiểu diện tích (Area Minimal Surface-AMS) họ màng xà phịng nói trên, ta thu lớp mặt cực tiểu (Minimal Surface-MS) mặt thỏa điều kiện A (t) = lớp mặt cực tiểu diện tích địa phương cịn gọi mặt ổn định (Stable Minimal Surface-SMS) thỏa điều kiện A (t) ≥ Mục tiêu toán Plateau khảo sát tồn AMS tức mặt cực tiểu diện tích xét toàn cục Một số trường hợp đặc biệt tốn có lời giải phải đến năm 1930, nghiệm tổng qt tốn tìm thấy hai nhà toán học nghiên cứu độc lập Jesse Douglas Tibor Radó Trong cơng trình Tibor Radó phát triển sở kế thừa nghiên cứu René Garnier áp dụng trường hợp đường cong đơn đóng hiệu chỉnh được, Jesse Douglas lại giải tốn theo hướng hoàn toàn mẻ lời giải đưa với đường cong đơn đóng Douglas trở thành hai người đoạt giải thưởng Field vào năm 1936, cho cống hiến ơng Bài tốn sau mở rộng lên không gian nhiều chiều (cụ thể xét mặt k-chiều không gian n chiều) thật không đơn giản để nghiên cứu Trong nghiệm tìm cho tốn cổ điển có tính quy người ta lời giải cho toán mở rộng lại xuất trường hợp kỳ dị k ≤ n − trường hợp khảo sát siêu mặt có số chiều k = n − nghiệm kỳ dị xảy n ≥ Để giải toán mở rộng số trường hợp đặc biệt, Lý thuyết chu vi (De Giorgi) áp dụng cho đối chiều Lý thuyết dòng hiệu chỉnh (Federer Fleming) cho đối chiều cao phát triển Bài toán Plateau nhiều chiều lớp mặt phổ (các mặt tham số hóa phổ đa tạp có biên cố định) giải vào năm 1969 A T Fomenko 1.3 Nhát cắt chuẩn tắc Độ cong Gauss, độ cong trung bình Các ví dụ 1.3.1 Độ cong pháp Nhát cắt chuẩn tắc Độ cong Cơng thức Euler Định nghĩa 1.3.1 (Độ cong pháp đường cong) Xét C đường cong quy mặt S, qua p Khi đó, np pháp vector (đơn vị) đường cong C p, Np pháp vector (đơn vị) mặt S p Gọi k(p) độ cong C p Lúc này, ta có: kn (p) = k(p) np , Np , số gọi độ cong pháp đường cong C p Có thể thấy độ cong pháp độ dài hình chiếu k(p)np lên pháp tuyến mặt S Dấu phụ thuộc vào hướng pháp vector Np k(p)np gọi vector độ cong trung bình đường cong C p Giả sử ω ∈ Tp S, |ω| = Gọi α đường tham số (với tham số hóa độ dài cung) α : (− ; ) −→ S B × q = σ −1 (q) gọi leaf Theo đó, R ×ω R2 đa tạp tích cong cho base R fiber R2 2.1.2 Các phép tốn Tích vơ hướng Khơng gian tích cong R ×ω R2 khơng gian tích R × R2 với tích vơ hướng cho bởi: g(x, y) = x1 y1 + ω (p)(x2 y2 + x3 y3 ), với x = (x1 , x2 , x3 ) y = (y1 , y2 , y3 ) tùy ý thuộc T(p,q) R × R2 Theo metric tương ứng xác định: g(x, x) = x1 x1 + ω (p)(x2 x2 + x3 x3 ) = x21 + ω (x22 + x23 ) = dx21 + ω (dx22 + dx23 ) Ví dụ 2.1.1 Xét R, R2 với metric thơng thường, M = R ×ω R2 với ω : R −→ R+ , ω(x) = x2 + Khi đó, điểm (p, q) ∈ M , với vector X(x, y, z) ∈ T(p,q) M tùy ý, ta có: g|(p,q) (X, X) = gR|p (dπ(X), dπ(X)) + ω (p)gR2 |q (dσ(X), dσ(X)) = x2 + ω (p).(y + z ) = x2 + (p2 + 1)2 (y + z ) Ta thường dùng ký hiệu ω để thay cho g(, ) thực tính tốn liên quan đến tích vơ hướng phần luận văn Theo đó, ta có x ω dùng để ký hiệu cho chuẩn vector x tính theo tích vơ hướng Tích Trong khơng gian R ×ω R2 , xét hai vector x = (x1 , x2 , x3 ) y = (y1 , y2 , y3 ) đặt điểm (p, q) Khi đó, tích x y tính tốn định thức mang tính hình thức sau: ω (p)e1 e2 e3 x1 x2 x3 x ∧ω y := y1 y2 y3 (2.1) Cần lưu ý ta giữ nguyên thứ tự trục, base B = R để trục Ox nên ω (p) nhân vào e1 Nếu ta chọn lại base B = R trục Oz ω (p) nhân vào e3 Ta kiểm tra công thức thỏa mãn tính chất tích vector: Xét x = (x1 , x2 , x3 ); y = (y1 , y2 , y3 ) đặt điểm (p, q), đó: 1) x ∧ω y, x ω = 0; x ∧ω y, y ω = 2) det(x, y, x ∧ω y) ≥ 3) x ∧ω y ω + x, y ω = x ω y ω 25 Chứng minh ω (p)e1 e2 e3 x1 x2 x3 x ∧ω y = y1 y2 y3 ω (p) 0 0 x1 x2 x3 ; x1 x2 x3 ; x1 x2 x3 y1 y2 y3 y1 y2 y3 y1 y2 y3 = = ω (p)(x2 y3 − x3 y2 ); x3 y1 − x1 y3 ; x1 y2 − x2 y1 Từ đó, suy ra: x ∧ω y, x ω = ω (p)x1 (x2 y3 − x3 y2 ) + ω (p).(x2 x3 y1 − x1 x2 y3 + x1 x3 y2 − x2 x3 y1 ) = ω (p).(x1 x2 y3 − x1 x3 y2 ) + ω (p).(x1 x3 y2 − x1 x2 y3 ) = Hoàn toàn tương tự, ta có x ∧ω y, y ω = x1 y1 ω (p).(x2 y3 − x3 y2 ) x3 y − x1 y det(x, y, x ∧ω y) = x2 y2 x3 y3 x1 y − x2 y = x1 y2 (x1 y2 − x2 y1 ) + x3 y1 (x3 y1 − x1 y3 ) + x2 y3 ω (p).(x2 y3 − x3 y2 ) − x3 y2 ω (p).(x2 y3 − x3 y2 ) − x2 y1 (x1 y2 − x2 y1 ) − x1 y3 (x3 y1 − x1 y3 ) = (x1 y2 − x2 y1 )2 + (x3 y1 − x1 y3 )2 + ω (p).(x2 y3 − x3 y2 )2 ≥ Vậy, ta vừa chứng minh det(x, y, x ∧ω y) ≥ Ta có: x, y ω = x1 y1 + ω (p).(x2 y2 + x3 y3 ); x ∧ω y = ω (p).(x2 y3 − x3 y2 ); x3 y1 − x1 y3 ; x1 y2 − x2 y1 Suy ra: x, y ω = [x1 y1 + ω (p).(x2 y2 + x3 y3 )]2 = (x1 y1 )2 + ω (p).(x22 y22 + x23 y32 + 2x2 y2 x3 y3 ) + 2ω (p).(x1 y1 x2 y2 + x1 y1 x3 y3 ) x ∧ω y ω = x ∧ω y; x ∧ω y ω = ω (p).(x2 y3 − x3 y2 )2 + ω (p).[( x3 y1 − x1 y3 )2 + ( x1 y2 − x2 y1 )2 ] = ω (p).(x22 y32 + x23 y22 − 2x2 y3 x3 y2 ) + ω (p).[x23 y12 + x21 y32 + x21 y22 + x22 y12 − 2x3 y1 x1 y3 − 2x1 y2 x2 y1 ] x ω = x, x ω 26 = x21 + ω (p).(x22 + x23 ); y ω = y, y ω = y12 + ω (p).(y22 + y32 ); Từ đó, dẫn đến: x ω y ω = x21 y12 + ω (p).[x21 (y22 + y32 ) + y12 (x22 + x23 )] + ω (p).(x22 + x23 ).(y22 + y32 ) Tiến hành so sánh, đối chiếu kết liên quan tính trên, ta thu x ∧ω y 2ω + x, y ω = x 2ω y 2ω 2.2 2.2.1 Mặt cực tiểu kiểu đồ thị khơng gian tích cong R ×ω R2 Mặt kiểu đồ thị Trong khơng gian R ×ω R2 , xét mặt tham số hóa X(y, z) = (u(y, z), y, z), có dạng đồ thị biểu diễn không gian Γu = {(u(y, z), y, z)|(y, z) ∈ R2 } Ta có: Xy = (uy , 1, 0); Xz = (uz , 0, 1); Xyy = (uyy , 0, 0); Xyz = (uyz , 0, 0); Xzz = (uzz , 0, 0) Khi đó: Xy ∧ω Xz = (ω , −uy , −uz ) Suy N= Xy ∧ω Xz Xy ∧ ω Xz = (ω , −uy , −uz ) ω + ω (u2y + u2z ) ω Chú ý 2.2.1 Khi khảo sát mặt kiểu đồ thị, thông thường ta chọn trục x, y, z cho z = u(x, y) Khi khơng gian R ×ω R2 có base B = R trục z, fiber F = R2 mặt phẳng Oxy Metric tương ứng viết lại là: g = ω (p)(dx2 + dy ) + dz , ∀X = (x, y, z) ∈ T(p,q) R ×ω R2 Như đảm bảo định nghĩa hàm ω : B −→ R ω đóng vai trò trọng số cho metric F Khác với khơng gian tích cong R2 ×ω R metric tương ứng là: g = (dx2 + dy ) + ω (p)dz , ∀X = (x, y, z) ∈ T(p,q) R2 ×ω R Sau đây, để khỏi đổi trục, ta giữ nguyên thứ tự trục đồ thị biểu diễn dạng đồ thị hàm x = u(y, z) Metric lúc là: g(X, X) = dx2 + ω (p).(dy + dz ), ∀X = (x, y, z) ∈ T(p,q) R ×ω R2 2.2.2 Bài tốn biến phân Xét u = u(x, y) hàm khả vi theo hai biến x y Hàm L = L(x, y, u, ux , uy ) gọi hàm Lagrange giả thiết hàm khả vi đến cấp cần thiết Khi đó, ta xét hàm cho bởi: J[u] = L(x, y, u, ux , uy )dxdy Ω 27 Hàm có dạng tích phân hai lớp hàm L lấy miền cho trước Ω ⊂ R2 Ta cần phải tìm hàm u∗ cho lớp hàm thỏa điều kiện biên u(x, y) = f (x, y), ∀(x, y) ∈ ∂Ω, u∗ = u∗ (x, y) làm cực tiểu hàm J[u] Hàm biến phân v(x, y) u(x, y) thỏa mãn điều kiện biên v(x, y) = 0, ∀(x, y) ∈ ∂Ω Với ∈ R, ta đặt: h( ) = J[u + v] = L(x, y, u + v, ux + vx , uy + vy )dxdy Ω gọi biến phân hàm J[u] Khi đó, u∗ nghiệm cực tiểu J[u] hàm h( ) đạt cực tiểu = 0, tức h (0) = = ω1 , ∂L = ω2 , đó: Để thuận tiện việc tính tốn, ta ký hiệu: ux = p, uy = q, ∂L ∂p ∂q h( ) = L(x, y, u + v, ux + vx , uy + vy )dxdy := Ω L dxdy Ω h( )= d d L dxdy Ω v = Ω ∂L ∂L ∂L + vx + vy dxdy ∂u ∂p ∂q d J[u + v]| =0 d ∂L ∂L ∂L = v + vx + vy dxdy ∂u ∂p ∂q Ω ∂L + vx ω1 + vy ω2 dxdy = v ∂u Ω h (0) = Ta có: ∂ω2 ∂ω1 dydx + vx ω1 + v dxdy ∂y ∂x ∂ω1 ∂ω2 = vx ω1 − vy ω2 + v − v dxdy ∂x ∂y d(v.ω2 dx) + d(v.ω1 dy) = vy ω2 + v ∂ω1 ∂ω2 + v dxdy ∂x ∂y ∂ω1 ∂ω2 ⇒ vx ω1 + vy ω2 dxdy = d(−v.ω2 dx) + d(v.ω1 dy) − v + v dxdy ∂x ∂y ∂ω1 ∂ω2 ⇒ vx ω1 + vy ω2 dxdy = d(−v.ω2 dx + v.ω1 dy) − v + dxdy ∂x ∂y Ω Ω Ω ⇒ d(−v.ω2 dx) + d(v.ω1 dy) = vx ω1 + vy ω2 + v Ta cần lưu ý, v(x, y) = 0, ∀(x, y) ∈ ∂Ω, nên Theo định lý Stoke: ∂Ω d(−v.ω2 dx + v.ω1 dy) = Ω v(−ω2 dx + ω1 dy) = ∂Ω 28 v(−ω2 dx + ω1 dy) = Do đó: vx ω1 + vy ω2 dxdy = − ∂ω1 ∂ω2 + dxdy ∂x ∂y v Ω Ω Vậy ∂L + vx ω1 + vy ω2 dxdy ∂u Ω ∂L ∂ω1 ∂ω2 v −v + dxdy ∂u ∂x ∂y Ω ∂L ∂ω1 ∂ω2 v − − dxdy ∂u ∂x ∂y Ω ∂L ∂ ∂L ∂ ∂L v − − dxdy ∂u ∂x ∂p ∂y ∂q Ω h (0) = v = = = Như phân tích trước đó, u∗ nghiệm cực tiểu J[u] h (0) = Suy ra, nghiệm cực tiểu u∗ (x, y) J[u] phải thỏa mãn phương trình sau: ∂ ∂L ∂ ∂L ∂L − − = ∂u ∂x ∂p ∂y ∂q 2.2.3 (2.2) Diện tích Biến phân thứ phiếm hàm diện tích Định nghĩa 2.2.2 Trong khơng gian R ×ω R2 , cho S mặt quy Xét R ⊂ S miền bị chặn chứa lân cận tọa độ xác định tham số hóa X : U −→ S, U ⊂ R2 (y, z) → X(y, z) Số dương Xy ∧ω Xz A(R) := Q = X −1 (R) ω, (2.3) Q gọi diện tích R Do Xy ∧ω Xz ω + Xy , Xz ω ω = Xy Xz ω nên Xy ∧ω Xz ω Xy = ω Xz ω − Xy , Xz Hơn nữa, ta lại có: Xy ∧ω Xz = (ω , −uy , −uz ), nên Xy ∧ω Xz ω = ω + ω (u2y + u2z ) Từ đó, cơng thức tính diện tích (2.3) viết lại: A(R) = Xy ω Xz ω ω + ω (u2y + u2z )dydz (2.4) − Xy , Xz dydz = Q Q 29 Xy ω Xz ω − Xy , Xz gọi phần tử diện tích mặt tham số S xét khơng gian R ×ω R2 Áp dụng tốn biến phân với hàm ω + ω (u2y + u2z ) = ω L(y, z, u, uy , uz ) = ω + (u2y + u2z ) Khi đó, ta gọi J[u] phiếm hàm diện tích, h( ) biến phân J[u] h (0) biến phân thứ phiếm hàm diện tích 2.2.4 Độ cong trung bình Mặt cực tiểu Định nghĩa 2.2.3 Khi ta xét toán biến phân cho phiếm hàm diện tích J[u] vừa đề cập trên, ta có h (0) = v Ω ∂ ∂L ∂ ∂L ∂L − − ∂u ∂y ∂p ∂z ∂q dydz với uy = p, uz = q Khi h (0) = 2vHdydz Ω với H độ cong trung bình mặt tham số kiểu đồ thị X(y, z) = (u(y, z), y, z) Như ∂L ∂ ∂L ∂ ∂L H= − − ∂u ∂y ∂p ∂z ∂q Cũng tương tự nêu Chương 1, ta có định nghĩa mặt cực tiểu sau Định nghĩa 2.2.4 Mặt M mặt cực tiểu vector độ cong trung bình (triệt tiêu) điểm Ta có H(N ) = H.N nên mặt M mặt cực tiểu độ cong trung bình điểm Theo đó, phương trình mặt cực tiểu cho bởi: ∂ ∂L ∂L ∂ ∂L − − = (2.5) ∂u ∂y ∂p ∂z ∂q với L = L(y, z, u, uy , uz ) = 2.2.5 ω + ω (u2y + u2z ) = ω ω + (u2y + u2z ) Phương trình Lagrange Trong khơng gian R ×ω R2 , xét mặt tham số hóa X(y, z) = (u(y, z), y, z), có dạng đồ thị biểu diễn không gian Γu = {(u(y, z), y, z)|(y, z) ∈ R2 } Ta tiến hành tính tốn cụ thể phương trình (2.5) ∂L ∂ = ω ∂u ∂u = ωu = ω + (u2y + u2z ) ω + (u2y + u2z ) + ω ω.ωu ω + (u2y + u2z ) ωu ω + (u2y + u2z ) + ω ωu ω + (u2y + u2z ) 30 = 2ω ωu + ωu (u2y + u2z ) ω + u2y + u2z ∂L = ∂p ∂ ∂L ∂ = ∂y ∂p ∂y ω.uy + u2y + u2z ω.uy ω + u2y + u2z (ωu u2y + ωuyy ) +uz uyz ω + u2y + u2z − ωuy ωωu u√y +u2 y uyy 2 = = ω2 ω +uy +uz ω2 (ωu u2y + ωuyy )(ω + + u2y + u2z u2y + u2z ) − ω ωu u2y − ω + u2y + u2z ωu2y uyy − ωuy uz uzy Tính tốn tương tự, ta có (ωu u2z + ωuzz )(ω + u2y + u2z ) − ω ωu u2z − ωu2z uzz − ωuz uy uyz ∂ ∂L = ∂z ∂q ω + u2y + u2z Thay vào (2.5), ta đươc: ω2 ⇔ + u2y ω2 + ω + u2z u2y + ω ωu (2ω + 3u2y + 3u2z ) − ωuyy (ω + u2z ) − ωuzz (ω + u2y ) + 2ωuy uz uyz = u2z − (ω + u2z )uyy − (ω + u2y )uzz + ωωu (3u2y + 3u2z + 2ω ) + 2uy uz uyz = ⇔ (ω + u2z )uyy + (ω + u2y )uzz − ωωu (3u2y + 3u2z + 2ω ) − 2uy uz uyz = Phương trình thu cuối trình tính tốn gọi phương trình Lagrange mặt tham số kiểu đồ thị không gian R ×ω R2 Hơn nữa, mặt tham số thỏa mãn phương trình Lagrange mặt cực tiểu Theo đó, khơng gian R ×ω R2 , độ cong trung bình mặt tham số kiểu đồ thị X(y, z) = (u(y, z), y, z) cho bởi: ∂L ∂ ∂L ∂ ∂L − − (2.6) ∂u ∂y ∂p ∂z ∂q ω 2 2 2 = − (ω + uz )uyy − (ω + uy )uzz + ωωu (3uy + 3uz + 2ω ) + 2uy uz uyz 2 ω + uy + uz (2.7) H= 2.2.6 Một số ví dụ điển hình: Trong phần này, ta tiến hành tìm hiểu tính cực tiểu diện tích số mặt kiểu đồ thị, xét với trường hợp hàm warp cho dạng hàm Khi ω = a = const với a = 0, ta thu phương trình Lagrange tương ứng sau: (a2 + u2z )uyy + (a2 + u2y )uzz − 2uy uz uyz = 31 (2.8) Mặt phẳng: Định lý 2.2.5 Trong khơng gian R ×ω R2 , với hàm ω = a = const = 0, mặt phẳng mặt cực tiểu Chứng minh Mặt phẳng cho tham số kiểu đồ thị X(y, z) = (αy + βz; y; z) Ta có: u(y, z) = αy + βz nên uyy = uzz = uyz = Do đó, mặt phẳng thỏa mãn phương trình Lagrange Theo nhận xét trên, ta có mặt phẳng mặt cực tiểu Mặt Catenoid: Định lý 2.2.6 Trong khơng gian R ×ω R2 , với hàm ω = a = const = 0, mặt Catenoid cho tham số hóa kiểu đồ thị X(y, z) = u(y, z), y, z = b cosh−1 y + z ; y; z mặt cực tiểu b = a Chứng minh Xét mặt X(y, z) = u(y, z), y, z = b cosh−1 u(y, z) = b cosh−1 y + z = b ln y2 + z2 + y + z ; y; z Ta có: y2 + z2 − Khi đó: uy = uz = by y2 + z2 y2 + z2 − bz y2 + z2 y2 + z2 − uyz = −byz b(z − y − z ) ; uyy = y2 + z2 b(y − z − y ) ; uzz = y2 + z2 2y + 2z − y2 + z2 y2 + z2 − y2 + z2 − y2 + z2 − 3; 3; Từ đó: (a2 + u2z )uyy = a2 + b2 z (y + z ).(y + z − 1) (a2 + u2y )uzz = a2 + b2 y (y + z ).(y + z − 1) −2uy uz uyz = by y2 + z2 y2 + z2 − 32 b(z − y − z ) y2 + z2 b(y − z − y ) y2 + z2 bz y2 + z2 y2 + z2 − y2 + z2 − y2 + z2 − byz.(2y + 2z − 1) y2 + z2 y2 + z2 − Tiến hành cộng vế theo vế, ta thu vế trái (2.8) trở thành: (a2 + u2z )uyy + (a2 + u2y )uzz − 2uy uz uyz = y2 + z2 y2 + z2 −1 a2 (y + z )(y + z − 1) + b2 z b(z − y − z ) + a2 (y + z )(y + z − 1) + b2 y b(y − z − y ) + 2b3 y z 2(y + z ) − − a2 b(y + z )2 (y + z − 1) + b3 (y + z ) + 3y z (y + z ) − (y + z ) − 2y z = y2 + z2 y2 + z2 − − a2 b(y + z )2 (y + z − 1) + b3 (y + z )(y + z + 2y z ) − (y + z + 2y z ) = y2 + z2 y2 + z2 − −a2 b (y + z )2 (y + z − 1) + b3 (y + z )2 (y + z − 1) = y2 + z2 y2 + z2 − (−a2 b + b3 ) (y + z )2 (y + z − 1) = y2 + z2 y2 + z2 − Theo đó, dấu phương trình Lagrange (2.8) xảy a = b Ta có điều cần chứng minh Mặt Helicoid: Định lý 2.2.7 Trong không gian R ×ω R2 , với hàm ω = a = const = 0, mặt Helicoid cho tham số hóa kiểu đồ thị z X(y, z) = u(y, z), y, z = tan−1 ( ); y; z y mặt cực tiểu Chứng minh Xét mặt Helicoid cho bởi: X(y, z) = u(y, z), y, z = tan−1 ( yz ); y; z , ta có: z z u(y, z) = tan−1 ( ) = arctan( ) y y Khi đó: uy = uz = −z 2yz ; uyy = ; +z (y + z )2 y2 y2 −2yz y ; uzz = ; +z (y + z )2 33 uyz = z2 − y2 (y + z )2 Thay vào vế trái phương trình Lagrange (2.8), ta có: (a2 + u2z )uyy + (a2 + u2y )uzz − 2uy uz uyz y2 2yz z2 −2yz 2yz.(z − y ) + a + + (y + z )2 (y + z )2 (y + z )2 (y + z )2 (y + z )4 2yza2 (y + z )2 − 2yza2 (y + z )2 + 2yz(z − y ) − 2yz(z − y ) = = (y + z )4 = a2 + Vậy, mặt Helicoid cho thỏa mãn phương trình Lagrange (2.8) nên mặt cực tiểu 2.2.7 Độ cong thớ Trong khơng gian R ×ω R2 , thớ (fibers) điểm (p, q) cho p × R2 = π −1 (p) Ta xem chúng mặt tham số kiểu đồ thị X(y, z) = u(y, z), y, z = (p, y, z) tức u(y, z) xem hàm Lúc này, áp dụng công thức tính độ cong (2.7), ta có: H = ω(p).ωu (p) (2.9) cơng thức tính độ cong thớ p × R2 = π −1 (p) Nhận xét 2.2.8 • Tại điểm (p, q) ∈ R ×ω R2 , ta có ω(p) = const, ωu (p) = const, nên H = const Nghĩa là, không gian R ×ω R2 , fiber mặt có độ cong • Khi ω = a = const = 0, thớ mặt cực tiểu 34 Kết luận Thơng qua luận văn này, tơi trình bày số nội dung mà thân tìm hiểu học hỏi từ buổi thảo luận với Thầy giáo hướng dẫn thành viên nhóm Hình Học Huế, tóm tắt sau: • Trình bày số kiến thức mặt, mặt cực tiểu không gian R3 Đồng thời, dẫn dắt q trình xây dựng số cơng thức tính toán độ cong sở liên hệ với khái niệm “nhát cắt chuẩn tắc”, theo đó, ta áp dụng để tính nhanh độ cong số mặt quen thuộc • Giới thiệu tổng quan khơng gian R ×ω R2 , kèm theo số ví dụ • Làm rõ số khái niệm, kết liên quan đến mặt cực tiểu kiểu đồ thị khơng gian R ×ω R2 sở đối chiếu với đối tượng tương đương không gian R3 Chẳng hạn Độ cong trung bình, Phương trình Lagrange, Mặt cực tiểu kiểu đồ thị, • Tính tốn thu số kết cụ thể với trường hợp hàm tích cong hàm Do hạn định mặt thời gian lực thân cịn nhiều thiếu sót, nên thành thu qua luận văn hạn chế Cụ thể việc khảo sát vài ví dụ điển hình cho khơng gian R ×ω R2 , tơi làm cho trường hợp hàm warp mà chưa thể tiến hành tính tốn cho trường hợp có tính tổng qt Hay, tơi chưa sâu khảo sát thêm tính cực tiểu diện tích mặt cực tiểu kiểu đồ thị, tìm hiểu định lý Bernstein khơng gian Bên cạnh đó, dù cố gắng tránh khỏi sai sót mặt trình bày, lỗi đánh máy Rất mong nhận góp ý từ quý thầy bạn đọc nhằm hồn thiện luận văn Kính chân thành cảm ơn ! 35 Phụ lục Bài toán 2.2.9 Xét mặt X(x1 , x2 ) = (x1 , x2 , f (x1 , x2 )), với hàm f (x1 , x2 ) thỏa mãn phương trình mặt cực tiểu: (1 + |fx1 |2 ).fx1 x1 − 2fx1 fx2 fx1 x2 + (1 + |fx2 |2 ) = Khi đó, ta thu được: 1) Ma trận dạng I: G= + (fx1 )2 f x1 f x2 f x1 f x2 + (fx2 )2 2) detG = [1 + (fx1 )2 ].[1 + (fx2 )2 ] − (fx1 )2 (fx2 )2 = + (fx1 )2 + (fx2 )2 hay thuận tiện tính tốn sau, ta viết lại: detG = + fx21 + fx22 3) + fx22 √ detG x1 fx fx = √1 detG ; x2 f f √x1 x2 detG x1 + f2 = √ x1 detG (2.10) x2 Suy tồn hàm g h cho: fx , fx fx , fx + f2 + f2 gx1 = √ x1 ; gx2 = √1 ; hx1 = √1 ; hx2 = √ x2 detG detG detG detG (2.11) Chứng minh Bằng tính tốn đơn giản, ta có 1) 2) Để làm rõ 3), (2.10), ta tiến hành tính tốn cụ thể phương trình đầu tiên, phần cịn lại hoàn toàn tương tự + fx22 √ detG x1 fx fx = √1 detG 36 x2 Thật vậy, xét vế trái: + fx22 √ detG + fx22 + fx21 + fx22 = x1 = + fx22 x1 x1 + fx21 + fx22 − + fx21 + fx22 x1 + fx22 + fx21 + fx22 2fx2 fx1 x2 + fx21 + fx22 − 2fx2 fx1 x2 +2fx1 fx1 x1 √ = 1+fx21 +fx22 (1 + fx22 ) + fx21 + fx22 2fx2 fx1 x2 (1 + fx21 + fx22 ) − (fx2 fx1 x2 + fx1 fx1 x1 )(1 + fx22 ) = (1 + fx21 + fx22 ) + fx21 + fx22 fx2 fx1 x2 + fx32 fx1 x2 + 2fx2 fx1 x2 fx21 − fx1 fx1 x1 − fx22 fx1 fx1 x1 = (1 + fx21 + fx22 ) + fx21 + fx22 Xét vế phải: f f √x1 x2 detG = x2 f x1 f x2 x2 + fx21 + fx22 − + fx21 + fx22 f x1 f x2 + fx21 + fx22 (fx1 x2 fx2 + fx1 fx2 x2 ) + fx21 + fx22 − = = x2 2fx2 fx2 x2 +2fx1 fx1 x2 √ 1+fx21 +fx22 f x1 f x2 + fx21 + fx22 fx1 x2 fx2 + fx1 fx2 x2 + fx21 + fx22 − fx2 fx2 x2 + fx1 fx1 x2 fx1 fx2 + fx21 + fx22 + fx21 + fx22 fx1 x2 fx2 (1 + fx22 ) + fx21 fx1 x2 fx2 + fx1 fx2 x2 + fx1 fx22 fx2 x2 + fx31 fx2 x2 − fx1 fx22 fx2 x2 − fx21 fx2 fx1 x2 + fx21 + fx22 + fx21 + fx22 fx fx x (1 + fx22 ) + fx1 fx2 x2 (1 + fx21 ) = 2 + fx1 + fx22 + fx21 + fx22 = Vậy, ta có: + fx22 fx fx √ − √1 detG x1 detG x2 2fx2 fx1 x2 fx1 − fx1 fx1 x1 (1 + fx22 ) − fx1 fx2 x2 (1 + fx21 ) = + fx21 + fx22 + fx21 + fx22 = −fx1 fx1 x1 (1 + fx22 ) − 2fx2 fx1 fx1 x2 + fx2 x2 (1 + fx21 ) =0 + fx21 + fx22 + fx21 + fx22 Từ đây, xác định hai trường vector: + fx21 fx1 fx2 fx1 fx2 + fx22 V = √ ;√ ; W = √ ;√ detG detG detG detG 37 Theo công thức Green, với miền D liên thông đơn: D f f √x1 x2 detG D + fx22 √ detG V = ∂D W = ∂D x1 + f2 − √ x1 detG x2 x1 fx fx − √1 detG x2 =0 =0 Theo đó, V W có hàm vị, tức tồn hàm g h cho ∇g = V ∇h = W , ta có: gx1 fx1 , fx2 fx1 , fx2 + fx21 + fx22 √ √ √ = ; g x2 = ; hx1 = ; hx2 = √ detG detG detG detG Chứng minh 2.2.10 Xét X(u, v) mặt tham số hóa mặt S p, {Xu , Xv } sở Tp S Ta có: N ◦X = dNp (Xu ) = Xu ∧ Xv |Xu ∧ Xv | ∂ ∂ (N ◦ X) = Nu ; dNp (Xv ) = (N ◦ X) = Nv ∂u ∂v Vậy, với α, β ∈ Tp S, nghĩa α = mXu + nXv ; β = sXu + tXv ta có: dNp (α), β = mNu + nNv , sXu + tXv = ms Nu , Xu + mt Nu , Xv + ns Nv , Xu + nt Nv , Xv ; tương tự: α, dNp (β) = mXu + nXv , sNu + tNv = ms Xu , Nu + mt Xu , Nv + ns Xv , Nu + nt Xv , Nv Mà N, Xu = N, Xv = nên: Nv , Xu + N, Xuv = (2.12) Nu , Xv + N, Xuv = (2.13) Từ (2.12) (2.13), suy Nv , Xu = Nu , Xv Thay vào khai triển dNp (α), β α, dNp (β) , ta thu được: dNp (α), β = α, dNp (β) 38 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Thị Mỹ Duyên (2016), Không gian tích cong R ×F R2 , Báo cáo gửi hội thảo khoa học Nghiên cứu sinh, Đại Học Sư Phạm, Đại Học Huế [2] Nguyễn Minh Hoàng (2009), Một số tính chất đường mặt khơng gian với mật độ tuyến tính, Khóa luận tốt nghiệp, Đại Học Sư Phạm, Đại Học Huế [3] Trương Thị Thùy Trang (2009), Mặt cực tiểu khơng gian tích với nhân tử có mật độ Gauss, Khóa luận tốt nghiệp, Đại Học Sư Phạm, Đại học Huế Tiếng Anh [4] Carmo, Manfredo P., (1976), Differential geometry of curves and surfaces Translated from the Portuguese Prentice- Hall, Inc., Englewood Cliffs, N.J., [5] B.O’Neil, (1983), Semi- Riemannian Geometry with Applications to Relativity, Academic Press, London [6] R.Osserman, (2002), A survey of minimal surfaces,Courier Dover Publications, 39 ... 2.2 2.2.1 Mặt cực tiểu kiểu đồ thị khơng gian tích cong R ×? ? R2 Mặt kiểu đồ thị Trong không gian R ×? ? R2 , xét mặt tham số hóa X(y, z) = (u(y, z), y, z), có dạng đồ thị biểu diễn không gian Γu... gồm hai chương: Chương 1: Mặt cực tiểu kiểu đồ thị R3 Chương 2: Mặt cực tiểu kiểu đồ thị khơng gian R ×? ? R2 Chương Mặt cực tiểu kiểu đồ thị R3 1.1 Kiến thức chuẩn bị Trong phần này, ta củng cố... (Định lý Bernstein) Mặt tham số cực tiểu kiểu đồ thị xác định toàn mặt phẳng mặt phẳng Chứng minh Điều suy trực tiếp từ Bổ đề (1.5.8) 23 Chương Mặt cực tiểu kiểu đồ thị không gian R ×? ? R2 2.1 2.1.1