GIÁO ÁN ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11- NÂNG CAO Ngày soạn: 17/08/09 Tiết số: 1 Chương I. HÀM SỐ LƯNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC CÁC HÀM SỐ LƯNG GIÁC (t1) I. MỤC TIÊU 1. Về kiến thức: Học sinh biết được • Đònh nghóa hàm số lượng giác y = sinx, y = cosx (với x là số đo thực và là số đo radian của một góc (cung) lượng giác). • Tính chất tuần hoàn của các hàm số y = sinx, y = cosx. • Sự biến thiên và đồ thò của hàm số y = sinx. 2. Về kỹ năng: nhận biết hình dạng và vẽ đồ thò hàm số y = sinx. (thông qua tính tuần hoàn, chẵn lẻ, giá trò lớn nhất, nhỏ nhất, giao với các trục…) 3. Về tư duy và thái độ: quy lạ về quen; tư duy nhạy bén, thấy được ứng dụng thực tế của đồ thò HS sinx. II. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH 1. Chuẩn bò của học sinh: bài giảng, SGK, STK, các hình vẽ 1.1; 1.2; 1.3; 1.4; 1.5; 1.6. 2. Chuẩn bò của giáo viên: xem trước bài mới. III. TIẾN TRÌNH BÀI HỌC 1. Ổn đònh tổ chức ( 1‘): kiểm tra vệ sinh, tác phong, só số. 2. Kiểm tra bài cũ ( ‘): không kiểm tra. 3. Bài mới: giới thiệu ứng dụng thực tế của các hàm số lượng giác trong thực tiễn, khoa học và kó thuật. Thời lượn g Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng Hoạt động 1: chiếm lónh tri thức về hàm số y = sinx, và y = cosx. 1. Các hàm số y = sinx và y = cosx. 12’ HĐTP1: đònh nghóa hàm số sin, hàm số cos. • Giới thiệu hình 1.1 và yêu cầu Hs hoạt động nhóm H1. • Dẫn dắt đến quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với sin, cos của góc có số đo x là một hàm số. Cho học sinh tiếp cận đònh nghóa, phát biểu đònh nghóa. • Hoạt động nhóm H1, các nhóm đại diện trình bày, bổ sung. • Phát biểu đònh nghóa. • Thực hiện. a) Đònh nghóa: (SGK) • Sin : R  R x a sin x • Cos : R  R x a cosx Nhận xét: hàm số y = sinx là hàm số lẻ; hàm số y = cosx là hàm số chẵn. 1 GIÁO ÁN ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11- NÂNG CAO Thời lượn g Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng 12’ 12’ • Chính xác hoá kiến thức, khắc sâu bằng quy tắc. • Nhận xét tính chẵn, lẻ của các hàm số y = sinx, y= cosx. HĐTP2: tính chất tuần hoàn của các hàm số y = sinx, y = cosx. • Giới thiệu số T = k2 π , (với k là số nguyên) là số thoả mẵn sin(x+T)=sinx, cos(x+T)=cosx. Số T = 2 π là số dương nhỏ nhất vẫn thoả mãn. Từ đó kết luận hai hàm số tuần hoàn với chu kì 2 π . • Giải thích vấn đề: nếu biết giá trò của hàm số y = sinx và y = cosx trên đoạn có độ dài 2 π thì có thể tính được giá trò tại mọi x. (giải thích tính tuần hoàn). HĐTP3: sự biến thiên và đồ thò hàm số y = sinx. Do hàm số y = sinx tuần hoàn với chu kì 2 π , nên ta khảo sát trên đoan có độ dài 2 π , chẳng hạn: [ ] ; π π − . • Cho Hs xét các hình vẽ 1.2; 1.3; 1.4 và nhận xét sự biến thiên của hàm số trên đoạn [ ] ; π π − . (bằng cách áp dụng đònh nghóa hàm số chẵn, hàm số lẻ.) • Theo dõi, ghi nhận kiến thức. • Xem các hình vẽ, khảo sát sự biến thiên, lập bảng biến thiên trên đoạn [ ] ; π π − . • Trả lời câu hỏi GV, thực hiện vẽ. • Theo dõi, ghi nhận. b) Tính chất tuần hoàn của các hàm số y = sinx và y = cosx. Hàm số y = sinx và y = cosx tuần hoàn với chu kì 2 π . c) Sự biến thiên và đồ thò của hàm số y = sinx. (SGK) Nhận xét: 1. Hàm số y = sinx có tập giá trò là đoạn [ ] 1;1− 2. Hàm số y = sinx đồng biến trên khoảng ; 2 2 π π   −  ÷   nên đồng biến trên mỗi khoảng 2 ; 2 2 2 k k π π π π   − + +  ÷   , k Z ∈ 2 GIÁO ÁN ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11- NÂNG CAO Thời lượn g Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng • Hàm số y = sinx là hàm số lẻ nên đồ thò có tính chất như thế nào? có thể vẽ đồ thò trên [ ] 0; π sau đó vẽ như thế nào? • Tònh tiến phần đồ thò vừa vẽ sang trái, phải những đoạn có độ dài 2 π , 4 π , 6 π … để được toàn bộ đồ thò. • Có thể nhận xét gì khi vẽ đồ thò hàm số có tính tuần hoàn? • Giới thiệu: đồ thò là đường hình sin • Trả lời. 6’ Hoạt động 2: củng cố tính chất biến thiên, đọc đồ thò của hàm số sinx • Cho Hs hoạt động nhóm H3. • Khắc sâu kiến thức: tính chất biến thiên và tính tuần hoàn. • Dựa vào đồ thò hoặc đường tròn lượng giác để trả lời. Các nhóm trình bày, bổ sung. 4. Củng cố và dặn dò: (2’) Đònh nghóa hàm số y = sinx và y = cosx, tính chất tuần hoàn, đồ thò . 5. Bài tập về nhà: 1a, b, c); 2a, b, c). IV. RÚT KINH NGHIỆM Ngày soạn: 16/8/09 Tiết số: 2 CÁC HÀM SỐ LƯNG GIÁC (t2) I. MỤC TIÊU 1. Về kiến thức: Hs biết được: • Sự biến thiên và đồ thò của hàm số y = cosx. 3 GIÁO ÁN ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11- NÂNG CAO • Đònh nghóa các hàm số y = tanx và y = cotx. 2. Về kỹ năng: • Nhận biết và vẽ đồ thò của hàm số y = cosx; suy ra đồ thò hàm số y = cosx từ đồ thò hàm số y = sinx. Xét các tính chất: biến thiên, chẵn lẻ thông qua đọc đồ thò. • Nắm vững đònh nghóa hàm số y = tanx và y = cotx, tập xác đònh, tập giá trò của các hàm số đó. 3. Về tư duy và thái độ: • Rèn luyện tư duy lôgic, nhạy bén. Quy lạ về quen. • Thấy được ứng dụng của lượng giác trong thực tế cuộc sống. II. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH 1. Chuẩn bò của học sinh: bài cũ, xem trước bài mới. 2. Chuẩn bò của giáo viên: hình vẽ SGK, dụng cụ dạy học. III. TIẾN TRÌNH BÀI HỌC 1. Ổn đònh tổ chức (1‘): kiểm tra vệ sinh, tác phong, só số. 2. Kiểm tra bài cũ (5‘): 1. Đònh nghóa các hàm số y = sinx, y = cosx. 2. Tìm TXĐ của hàm số sin 1y x= + . 3. Bài mới: Thời lượn g Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng 22’ Hoạt động 1: chiếm lónh tri thức về sự biến thiên và đồ thò của hàm số y = cosx d. Sự biến thiên và đồ thò của hàm số y = cosx. HĐTP1: sự biến thiên và đồ thò hàm số y = cosx. • Để khảo sát sự biến thiên và đồ thò của hàm số y = cosx ta có thể xét tương tự như đối với hàm số y = sinx. Tuy nhiên có thể xét sự biến thiên và đồ thò của hàm số y= cosx thông qua mối quan hệ đối với hàm số sin. • Cho Hs chứng minh cos sin( ) 2 x x π = + . Từ đó theo phép tònh tiến đồ thò suy ra đồ thò hàm số y = cosx thông qua đồ thò hàm số y = sinx như thế nào? • Theo dõi, hình dung các bước cụ thể cần xét. • Chứng minh công thức. cos sin( ) 2 x x π = − sin( ) 2 x π = − − sin[ ( )] 2 x π π = + − sin( ) 2 x π = + . Tònh • Đồ thò hàm số y = cosx là một đường hình sin. • Ghi nhớ (SGK tr 9) 4 GIÁO ÁN ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11- NÂNG CAO Thời lượn g Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng • Cho Hs theo dõi hình vẽ 1.7 và giải thích. Hs lập bảng biến thiên trên [ ] ; π π − , hoạt động H4 để kiểm chứng. • Giới thiệu đồ thò cũng là một đường hình sin. Thông qua H4 cho Hs nhận xét về TGT, dựa vào đồ thò nhận xét tính chẵn, lẻ; biến thiên. HĐTP2: củng cố tính chất biến thiên hàm số cos và liên hệ tổng hợp với hàm số sin. • Cho Hs hoạt động H5 và xem bảng ghi nhớ để tổng hợp kiến thức. • Tổng hợp, khắc sâu. tiến đồ thò hàm số y = sinx sang trái một đoạn 2 π thì được đồ thò hàm số y= cosx. • Hoạt động H4. • Đọc đồ thò, nhận xét theo yêu cầu của Gv. • Hoạt động H5 và xem bảng ghi nhớ. 13’ Hoạt động 2: đònh nghóa các hàm số y = tanx và y = cotx. 2. Các hàm số y= tanx và y= cotx. • Cho Hs tiếp cận và phát biểu đònh nghóa các hàm số y = tanx và y = cotx. • Khắc sâu đònh nghóa bằng cách kiểm tra quy tắc tan sinx x cosx = , t sin cosx co x x = là một hàm số. (tính duy nhất của sinx, cosx dẫn đến tính duy nhất của tanx, cotx.) • Nhận xét tính chẵn, lẻ của các hàm số y= tanx và y= cotx. • Tiếp cận đònh nghóa, phát biểu. • Theo dõi. Kiểm tra. • Thực hiện. a. Các đònh nghóa. Đặt 1 \ / 2 D R k k Z π π   = + ∈     , { } 2 \ /D R k k Z π = ∈ . • tan : D 1  R x a tanx sinx cosx = • cot : D 2  R x a cotx sin cosx x = Nhận xét: các hàm số y= tanx và y=cotx là những hàm số lẻ. 4. Củng cố và dặn dò(4‘): tính chất biến thiên và đồ thò của hàm số y = cosx, đònh nghóa hàm số y= tanx và y= cotx. 5. Bài tập về nhà: 1d, 2d, 3. IV. RÚT KINH NGHIỆM 5 GIÁO ÁN ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11- NÂNG CAO Ngày soạn: 17/08/09 Tiết số: 3 CÁC HÀM SỐ LƯNG GIÁC (t3) I. MỤC TIÊU 1. Về kiến thức: • Tính chất tuần hoàn của các hàm số y = tanx và y = cotx. • Sự biến thiên và đồ thò của hàm số y = tanx và y = cotx. • Khái niệm hàm số tuần hoàn. 2. Về kỹ năng: • Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số y = tanx và y = cotx. • Đọc đồ thò, suy ra tính chất của hàm số. • Nhận biết đồ thò hàm số tuần hoàn. 3. Về tư duy và thái độ: • Tư duy logic, nhạy bén. • Thấy được ứng dụng của hàm số lượng giác (với tính tuần hoàn trong thực tiễn). II. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH 1. Chuẩn bò của học sinh: bài cũ, xem trước bài mới, dụng cụ học tập. 2. Chuẩn bò của giáo viên: bài giảng, hình vẽ 1.10; 1.11; 1.12; 1.13 SGK. III. TIẾN TRÌNH BÀI HỌC 1. Ổn đònh tổ chức (1‘): kiểm tra vệ sinh, tác phong, só số. 2. Kiểm tra bài cũ (6‘): 1. Nêu đònh nghóa các hàm số y = tanx và y = cotx, tính chẵn lẻ? 2. Tính π π 5 9 tan , cot(- ) 4 4 . 3. Bài mới: Thời lượn g Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng 5’ Hoạt động 1: tri thức tính tuần hoàn của hàm số y= tanx và y= cotx b) Tính chất tuần hoàn • Nhắc lại các công thức π + =tan( ) tan ,x k x π + =cot( ) cot .x k x Số dương nào nhỏ nhất trong các số π k còn thỏa mãn hai đẳng thức trên? ( ∈ k Z ) • Thông báo và cho Hs tiếp • Trả lời. • Tiếp nhận tính chất Các hàm số y= tanx và y= cotx tuần hoàn với chu kì π . 6 GIÁO ÁN ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11- NÂNG CAO Thời lượn g Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng nhận tính tuần hoàn của các hàm số y=tanx và y=cotx. tuần hoàn của các hàm số y=tanx và y = cotx. 15’ Hoạt động 2: tri thức sự biến thiên và đồ thò của hàm số y = tanx. c) Sự biến thiên và đồ thò của hàm số y = tanx. • Dựa vào tính chất tuần hoàn với chu kì π nên ta cần khảo sát và vẽ đồ thò hàm số y = tanx như thế nào? • Cho Hs xem hình 1.10 SGK xét tính chất biến thiên trên khoảng π π   −  ÷   ; 2 2 , từ đó cho Hs hoạt động nhóm H6 để củng cố tính chất biến thiên. • Giới thiệu đồ thò hàm số y = tanx. (hình 1.11 SGK). Cho Hs nhận xét: tập giá tri của hàm số, tính chất đối xứng của đồ thò. • Giới thiệu đường tiệm cận của đồ thò và ý nghóa của nó. ( đường thẳng π π = + 2 x k ) • Khảo sát và vẽ đồ thò của hàm số trên khoảng π π   −  ÷   ; 2 2 , sau đó tònh tiến sang trái, phải những đoạn có độ dài π , π 2 , π 3 … thì được toàn bộ đồ thò. • Xét tính chất biến thiên của hàm số trên khoảng π π   −  ÷   ; 2 2 , hoạt động nhóm H6. • Nhận xét. Nhận xét: a)Tập giá trò của hàm số y = tanx là R. b)Đồ thò hàm số y = tanx nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng. c)Với mỗi ∈k Z , đường thẳng đi qua ( π π + 2 k ; 0) gọi là một đường tiệm cận của đồ thò hàm số y=tanx. 8’ Hoạt động 3: tri thức sự biến thiên và đồ thò hàm số y = cotx. d) Sự biến thiên và đồ thò hàm số y = cotx. • Giới thiệu tính chất tương tự của hàm số y = cotx đối với hàm số y=tanx. • Cho Hs xét đồ thò hàm số y=cotx, nhận xét về tập giá trò, tính chất đối xứng, tiệm cận. • Tổng kết việc khảo sát hai hàm số y = tanx và y = cotx thông qua GHI NHỚ SGK • Xem đồ thò, nhận xét theo yêu cầu của Gv. • Xem GHI NHỚ SGK trang 13 GHI NHỚ (SGK trang 13) 7 GIÁO ÁN ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11- NÂNG CAO Thời lượn g Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng trang 13. 7’ Hoạt động 4: tri thức về khái niệm hàm số tuần hoàn. 3. Về khái niệm hàm số tuần hoàn: • Thông qua các hàm số lượng giác đã được xét, cho Hs tổng quát về Hàm số tuần hoàn. • Khắc sâu khái niệm, cho Hs xem một số ví dụ về đồ thò của hàm số tuần hoàn. (hình 1.13; 1.14; 1.15) • Thực hiện. • Xem đồ thò. Hàm số y = f(x) xác đònh trên tập hợp D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số ≠ 0T sao cho với mọi ∈x D ta có + ∈ − ∈,x T D x T D và f(x+T) = f(x). Nếu có số T dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì hàm số đó được gọi là một hàm số tuần hoàn với chu kì T. 4. Củng cố và dặn dò (3’): các kiến thức đã học. 5. Bài tập về nhà: 7  10 SGK IV. RÚT KINH NGHIỆM Ngày soạn: 22/08/09 Tiết số: 4 LUYỆN TẬP (t1) I. MỤC TIÊU 1. Về kiến thức: Hs được luyện tập các dạng toán • Tìm tập xác đònh, tập giá trò của hàm số. • Xét tính chất chẵn, lẻ của hàm số. • Chứng minh một số tính chất. 2. Về kỹ năng: • Biến đổi, tính toán, tìm TXĐ, TGT • Sử dụng đònh nghóa xét tính chẵn, lẻ của hàm số. 3. Về tư duy và thái độ: • Tư duy lôgic, nhạy bén. • Tập luyện khả năng tính toán, chứng minh, trình bày bài toán. II. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH 1. Chuẩn bò của học sinh: bài cũ, bài tập 8 GIÁO ÁN ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11- NÂNG CAO 2. Chuẩn bò của giáo viên: bài giảng, SGK, STK. III. TIẾN TRÌNH BÀI HỌC 1. Ổn đònh tổ chức (1‘): kiểm tra vệ sinh, tác phong, só số. 2. Kiểm tra bài cũ (8‘): 1. Nêu một số tính chất cơ bản của hàm số y = tanx và đồ thò. 2. Hàm số y = tanx đồng biến trên khoảmg nào sau đây: 1 ; 4 4 J π π   = −  ÷   ; 2 31 33 ; 4 4 J π π   =  ÷   ; 3 452 601 ; 3 4 J π π   = − −  ÷   3. Luyện tập: Thời lượn g Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng 14’ Hoạt động 1: dạng toán tìm tập xác đònh, tập giá trò của hàm số. • Giới thiệu BT1 câu a,c,d) SGK. Cách tìm TXĐ của một hàm số? (TXĐ của hàm số là tập hợp Như thế nào?) thông qua đó HD cho học sinh cách nhận xét, cách tìm. • Yêu cầu Hs lên bảng tìm cụ thể. • Chốt dạng toán vừa luyện tập. • Giới thiệu BT3 câu a,b) SGK. HD cho Hs đánh giá biểu thức và tìm GTLN, GTNN của hàm số. ( đối với câu b) y = sin(x 2 ) đạt GTLN bằng 1 khi 2 2 , k 2 x k π π = + nguyên không âm, đạt GTNN bằng -1 khi 2 2 , k 2 x k π π = − + nguyên dương. • Chốt lại dạng toán vừa luyện tập. • Đọc đề, trả lời câu hỏi, theo dõi hướng dẫn của giáo viên. • Lên bảng trình bày. • Theo dõi, thực hiện. a) 1 ( ) 1 3 cos x π − ≤ + ≤ 2 2 ( ) 2 3 cos x π ⇔ − ≤ + ≤ 1 2 ( ) 3 5 3 cos x π ⇔ ≤ + + ≤ b)… Bài tập 1/14 (SGK) a) D = R c) { } \ (2 1) ,D R k k Z π = + ∈ d) \ , 12 12 D R k k Z π π   = + ∈     Bài tập 3/14 (SGK) a) GTNN của hàm số là 1 GTLN của hàm số là 5 b) GTNN của hàm số là -1 GTLN của hàm số là 2 1− 10’ Hoạt động 2: xét tính chất chẵn, lẻ của hàm số. • Cho Hs nhắc lại đònh nghóa, • Nêu đònh nghóa hàm Bài tập 7/16 (SGK) 9 GIÁO ÁN ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11- NÂNG CAO Thời lượn g Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng hàm số chẵn, hàm số lẻ. Lưu ý về tính chất tập đối xứng. • Giới thiệu bài tập 7 (SGK), yêu cầu 3 Hs lên bảng giải 3 câu a, b, c. • Để ý rằng B’ là điểm đối xứng của B trên đường tròn lượng giác (qua Ox) và ngược lại nên \ , 2 D R k k Z π π   = + ∈     là tập đối xứng. • Khắc sâu kiến thức. số chẵn, hàm số lẻ. • 3 Hs lên bảng thực hiện. a)Hàm số không chẵn cũng không lẻ. b)Hàm số chẵn. c)Hàm số lẻ. 10’ Hoạt động 3: chứng minh các mệnh đề. • Giới thiệu bài tập 8 câu b, d). yêu cầu Hs chứng minh. Với HD thay x bởi x k π + vào hàm số, sử dụng kiến thức đã học để biến đổi. • Cho Hs lên bảng làm tương tự đối với BT9 SGK. • Thực hiện. • Một Hs lên bảng thực hiện. Bài tập 8/16 (SGK) Bài tập 9/17 (SGK) 4. Củng cố và dặn dò (2): các dạng toán vừa luyện tập. 5. Bài tập về nhà: 10  13 SGK IV. RÚT KINH NGHIỆM Ngày soạn: 20/08/09 Tiết số: 5 LUYỆN TẬP (t2) I. MỤC TIÊU 1. Về kiến thức: Hs được luyện tập các dạng toán • Từ đồ thò của hàm số y = sinx, y = cosx suy ra đồ thò của các hàm số khác (có liên quan). • Chứng minh một mệnh đề liên quan đến điểm trên đồ thò hàm số. 10 [...]... α ≈ 7 3 54.98 ≈ 7 03' 55'' c) ấn lần lượt các phím MODE MODE MODE 2 SHIFT tan-1 ( 3 − 1)= Kết quả: 0. 631 91 431 2, đó là giá trò gần đúng của arctan( 22 GIÁO ÁN ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11- NÂNG CAO Thời lượn g Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên của góc trong các trường hợp sau đây: a) Tìm số đo độ của góc α khi biết sinα = -0.5 b) Tìm số đo độ của góc α khi biết sinα = 0.1 23 c) Tìm số đo rian của... phương trình tan(3x+ )= - tan( -x) 3 3 Bài mới: Thời Hoạt động của học lượn Hoạt động của giáo viên sinh g 13 Hoạt động 1: công thức nghiệm phương trình cotx=m • Giới thiệu hình 1.9, từ đó cho Hs nhận xét tương tự công thức nghiệm của phương trình tanx=m suy ra công thức nghiệm của phương trình cotx=m (lưu ý ĐKXĐ) • Chính xác hóa kiến thức, cho ví dụ 4 (SGK) • Từ đồ thò hàm số y = cotx, xét số giao điểm... tính theo đơn vò radian • Cho Hs xét ví dụ 5 • Yêu cầu Hs hoạt động nhóm • Hoạt động nhóm H9 H9 Hoạt động 3: củng cố π π • Cho Hs giải các phương • Giải bài tập củng cố a)x= + k 30 3 trình để củng cố lí thuyết 0 b)x=-200 +k7200 2π a )cot3 x=tan 4π π 5 c)x= − và x= − x 9 9 0 b )cot( + 20 )= − 3 4 c )cot3 x= − 1 π với − . hàm số y= tanx và y= cotx b) Tính chất tuần hoàn • Nhắc lại các công thức π + =tan( ) tan ,x k x π + =cot( ) cot .x k x Số dương nào nhỏ nhất trong các số. Z π = ∈ . • tan : D 1  R x a tanx sinx cosx = • cot : D 2  R x a cotx sin cosx x = Nhận xét: các hàm số y= tanx và y=cotx là những hàm số lẻ. 4. Củng