Giáo án Đại số 11 chương 3 bài 4: Cấp số nhân

- Tư duy các vấn đề toán học một cách logic và hệ thống.. I.Định nghĩa : 1, Định nghĩa Cấp số nhân là một dãy số hữu hạn hoặc vô hạn, trong đó kể từ sốhạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tí

TIẾT 43: §4 CẤP SỐ NHÂN

I MỤC TIÊU BÀI DẠY:

1.Về kiến thức:

- Nắm chắc khái niệm cấp số nhân

1 1, 2

k k k

u u  u  k

- Số hạng tổng quát u n

- Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân S n

2.Về kỹ năng:

- Tìm được các yếu tố còn lại khi biết 3 trong 5 yếu tốu u n q S1, , , ,n n

- Tính đượcu q1,

- Tính đượcu S n, n

3.Về thái độ, tư duy:

- Tự giác, tích cực học tập

- Tư duy các vấn đề toán học một cách logic và hệ thống

II CHUẨN BỊ CỦA GV VÀ HS

1 Giáo viên: + SGK, TLHDGD, Giáo án.

2 Học sinh: + SGK, vở ghi, đồ dùng học tập.

+ Chuẩn bị bài ở nhà

III TIẾN TRÌNH BÀI GIẢNG:

1 Ổn định tổ chức: 1’

- Nắm tình làm bài, học bài của học sinh ở nhà.

2 Kiểm tra bài cũ (Lồng vào các hoạt động)

3 Dạy bài mới

Hoạt động 1: ĐỊNH NGHĨA CẤP SỐ NHÂN (15’) Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng - trình chiếu

Cho học sinh thực hiện

hoạt động :

Cho biết số hạt thóc ở

các ô từ thứ nhất đến

thứ 6 của bàn cờ?

Phát biểu định nghĩa ?

ô 1 có 1 hạt

ô 2 có 2 hạt

ô 3 có 6 hạt

ô 4 có 8 hạt

ô 5 có 16 hạt

ô 6 có 32 hạt Học sinh phát biểu khái niệm

I.Định nghĩa :

1, Định nghĩa

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ sốhạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước

nó với một số không đổi d.

Số q được gọi là công bội của cấp

Khi q = 0 thì cấp số

nhân có dạng như thế

nào ?

Khi q = 1 thì cấp số

nhân có dạng như thế

nào ?

Khi u 1 0thì cấp số

nhân có dạng như thế

nào ?

Xét ví dụ/98

Biểu diễn các số hạng

2

u qua u1 và q?

tương tự biểu diễn u3,u4

,u5lần lượt qua các số

hạng đứng trước nó?

Kết luận gì về dãy số đã

cho?

Khi q = 0 thì cấp số nhân có dạng u1,0, ,0,

Khi q=1 cấp số nhân có dạng

1, , , , , 1 1 1

Khi u 1 0thì với mọi q, cấp

số nhân có dạng 0,0,0, ,0,

2

1

1 ( 4).( );

4

3

1.( ) ;

16  4  4  64 16  4

số nhân.

Nếu (u n)là cấp số nhân với công bội d, ta có hệ thức truy hồi:

1 

n n

Khi q = 0 thì cấp số nhân có dạng

1,0, ,0,

u

là một dãy số không đổi

Khi q=1 cấp số nhân có dạng

1, , , , , 1 1 1

Khi u 1 0thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0,0,0, ,0,

Ví dụ 1:chứng minh dãy số hữu hạn sau là một cấp số nhân:

4 ,1, , ,

4 16 64

    

Giải : vì : 1 ( 4).( 1); 1 1.( ) ;1

     

16 4  4  64 16  4

4 16 64

    

4

q 

Hoạt động 2: SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA CẤP SỐ NHÂN (10’) Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng - trình chiếu

Cho HS thực hiện HĐ2

Nêu câu hỏi:

Bằng cách thực hiện

như vậy ta có dẽ dàng

tính được số thóc ở ô

thứ 64 không?

Có cách tính nào đơn

giản hơn không? Dựa

Thực hiện HĐ2:

Dự kiến:

HS tính lần lượt số hạt thóc từ

ô số 1 đến ô số 11

Kết quả: số thóc ở ô số 11 là:

1024

II Số hạng tổng quát:

vào công thức nào?

Giáo viên giải thích các

đại lượng có mặt trong

công thức và cách sử

dụng công thức đó, ghi

bảng

Hướng dẫn HS cách

chứng minh

Lấy ví dụ áp dụng:

Nêu Ví dụ 2 trang 100

? Để tính u ta sử dụng 7

công thức nào? Ta phải

thay các yếu tố nào vào

công thức?

256

là một số hạng của CSN

thì ta phải có điều gì xảy

ra?

Cho HS phát biểu ND định lý 1

Nhận và tìm hiểu đề bài

Suy nghĩ và tìm cách giải cho từng yêu cầu của bài ra

Ta sử dụng công thức (2) để tính u 7

của CSN thì phải tồn tại số n

để thỏa mãn công thức (2)

Tức là pt:

1

3

n

có nghiệm

Định lý 1:

d thì SHTQ u n u p1 n1

Ví dụ 2:

2

u  q

a Tính u 7

Lời giải

a Áp dụng công thức (2) ta có:

6 6

u u q    

b Theo công thức (2), ta có:

1 1

n n

n



Hoạt động 3: LUYỆN TẬP (13’) Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng - trình chiếu

Câu hỏi 1:

Em hãy đọc công thức

tính số hạng tổng quát?

Nêu công thức tính u3,

u5 và tính q?

Câu hỏi 2: Em hãy tính

u1 ?

Câu hỏi 3:

Em hãy tìm các số hạng

của cấp số nhân đó?

Đọc nội dung của nhiệm vụ Gợi ý trả lời câu hỏi 1:

1

1 n n

u u q 

 nên

3 3 1 5 27 1

u  u q va u  u q

vì

1

27 u q .q nên q2=9 hay q=3

Gợi ý trả lời câu hỏi 2:

chứa u3 ta có 1

1 3

u 

Gợi ý trả lời câu hỏi3:

1

1 n n

u u q 

 nên

3 3 1 5 27 1

u  u q va u  u q vì

1

27 u q .q nên q2=9 hay q=3 Thay q2=9 vào công thức chứa u3 ta có

1

1 3

u 

1 ,1,3,9, 27 3

1 , 1,3, 9, 27

3  

GV Gọi HS đọc

đề 3b

nhân:

1 ,1,3,9, 27 3

nhân

1 , 1,3, 9, 27

3  

b) ta có

3

2

25 50

u q u q

u q u





 



hay

2 1 2 1

u q q

u q





 



Thay (2) vào (1) ta được 50q=25, suy ra q=

25 1

502 từ (2) có

1 2

50 50 200

1

4

u q



có cấp số nhân:

200 100 50 25 25

b) ta có

3

2

25 50

u q u q

u q u





 

2 1 2 1

u q q

u q





 



Thay (2) vào (1) ta được 50q=25,

502 từ (2) có

1 2

50 50 200

1

4

u q

* Củng cố, luyện tập (3’)

- Trình bày định nghĩa cấp số nhân?

- Trình bày định lí 1, 2 và 3?

4 Hướng dẫn học bài và làm bài tập ở nhà (3’)

- Xem lại lí thuyết:

- Làm bài tập 2,3 sách giáo khoa trang 103, 104

- Chuẩn bị phần III và IV

* Rút kinh nghiệm:

TIẾT 44: §4 CẤP SỐ NHÂN (tiếp theo)

I MỤC TIÊU BÀI DẠY:

1.Về kiến thức:

- Nắm chắc khái niệm cấp số nhân

1 1, 2

k k k

u u  u  k

- Số hạng tổng quát u n

- Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân S n

2.Về kỹ năng:

- Tìm được các yếu tố còn lại khi biết 3 trong 5 yếu tốu u n q S1, , , ,n n

- Tính đượcu q1,

- Tính đượcu S n, n

3.Về thái độ, tư duy:

- Tự giác, tích cực học tập

- Tư duy các vấn đề toán học một cách logic và hệ thống

II CHUẨN BỊ CỦA GV VÀ HS

1 Giáo viên: + SGK, TLHDGD, Giáo án.

2 Học sinh: + SGK, vở ghi, đồ dùng học tập.

+ Chuẩn bị bài ở nhà

III TIẾN TRÌNH BÀI GIẢNG:

1 Ổn định tổ chức: 1’

- Nắm tình làm bài, học bài của học sinh ở nhà.

2 Kiểm tra bài cũ (Lồng vào các hoạt động)

3 Dạy bài mới

Hoạt động 1: Tính chất các số hạng của CSN (10’) Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng - trình chiếu

Cho học sinh phát biểu

định lí

Hướng dẫn học sinh

chứng minh?

Phát biểu định lí 2

  

2

k k k

u với k 2 (3)

Giả sử (u n) là cấp số nhân với công sai d.áp dụng công thức

1 ta có:

u  u  d u  u d suy ra

2

k k



III Tính chất các số hạng của CSN.

Định lí 2:

Trong một cấp số nhân, bình phương mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số hạng cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là

 



2

1 1

k k k

u u u với k 2 (3) (hay u k  u k1.u k1 )

Chứng minh:sử dụng công thức (2) với 2

k  , ta có:









 

2

1 1

1 1

k k

k k

suy ra    

1 1  12 2k 2  1 k 1 2  2

Hoạt động 2: Tổng n số hạng đầu tiên của CSN (15’)

Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng - trình chiếu

Cho hs phát biểu định lí

Viết dạng khai triển của

cấp số nhân ?

Đặt:

1 2 3

S u u u  u

Biểu diễn S qua n u q1,

Xét ví dụ :

tính tổng của 10 số hạng

đầu tiên

Với q=1 thì cấp số nhân

có tổng bằng bao nhiêu?

Ví dụ 3/102

tính tổng của mười số

hạng đầu tiên?

tìm q=?

với q=3 ta có S=?

với q=-3 ta có S= ?

Phát biểu định lí 3

Đặt S n u1u2u3 u n thì







1(1 ) 1

n n

S

q

1, 1 , 1 , 1 n ,

u u q u q u q 

 

n

u u q u q u q 

vì q=1 thì cấp số nhân là

1, , , , , 1 1 1

u u u u u khi đó S n nu1

sử dụng công thức của số hạng tổng quát ta tính được q

q=3, ta có:

10 10

2(1 3 )

59048

1 3

 q=-3 ta có:

10 10

2(1 ( 3) )

29524

1 ( 3)

 

IV, Tổng n số hạng đầu tiên của CSN.

Cấp số nhân (u ) với công bội q có thể viết n

dưới dạng:

u u q u q1, 1 , 1 2, u q1 n1,

  Khi đó:

1 2 3

(4)

n

u u q u q u q 

    

nhân hai vế của biểu thức(4) với q

ta được :

n

qS u q u q u q  u q 

Trừ tương ứng từng vế của các đẳng thức(4) và (5) ta được

1

(1 ) (1 n)

n

Ta có định lí:

Định lí 3:

Cho cấp số nhân ( u n ).với công bội q 1

Đặt S n u1u2u3 u n Khi đó :  



1(1 ) 1

n n

S

q (4)

Chú ý :

vì q=1 thì cấp số nhân là u u u u1, , , , , 1 1 u1

khi đó S n nu1

Ví dụ 3: cho cấp số nhân ( u n ) biết

1 2, 3 18

u   u tính tổng của mười số hạng đầu tiên

Giải :

theo giải thiết u1  2,u3 18ta có:

 2  2   

vậy có hai trường hợp:

q=3, ta có:

10 10

2(1 3 )

59048

1 3

 q= -3 ta có:

10 10

2(1 ( 3) )

29524

1 ( 3)

 

Hoạt động 3: LUYỆN TẬP (14’)

Bài 4 SGK/104 Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng - trình chiếu

GV gọi HS đọc đề bài

Tìm cấp số nhân có sáu

số hạng biết S5=31 và

S10-S5=62

Câu hỏi 1:

Em hãy lập hệ phương

trình từ giả thiết của bài

toán?

Câu hỏi 2:

Em hãy tính số hạng đầu

của cấp số nhân đó?

Câu hỏi 3 :

Em hãy liệt kê các số

hạng của cấp số nhân

đó?

Đọc nội dung của nhiệm vụ Gợi ý trả lời câu hỏi 1:

U1+u2+u3+u4+u5=31 (1)

Và u2+u3+u4+u5+u6 =62 (2) Nhân hai vế của (1) với q ta được:

u1q+u2q+u3q+u4q+u5q=31q hay

u2+u3+u4+u5+u6 =31q suy ra 62=31q hay q=2

Gợi ý trả lời câu hỏi 2:

Theo công thức tính tổng các

số hạng đầu của cấp số nhân

ta có

1 5

1 2 31

1 2

u

Gợi ý trả lời câu hỏi 3:

Ta có cấp số nhân:

1,2 4,8,16,32

Tìm cấp số nhân có sáu số hạng biết

S5=31 và S10-S5=62

62

62

u q u q u q u q u q q

q q

ïï

íï + + + + = ïî

ïï

Û íï

ïî

Theo công thức tính tổng các số hạng đầu của cấp số nhân ta có

1 5

1 2 31

1 2

u

Ta có cấp số nhân:

1,2 4,8,16,32

Bài 5 SGK/104

Câu hỏi 1: gọi số dân của tỉnh

đó là N

Em hãy cho biết sau một năm

số dân của tỉnh đó sẽ là bao

nhiêu?

Câu hỏi 2: Em hãy cho biết

số dân tỉnh đó sau mỗi năm sẽ

là như thế nào?

Câu hỏi 3:

Với N=1,8 triệu sau 5 năm,

10 năm số dân tỉnh đó sẽ là

Gợi ý trả lời câu hỏi 1:

N+1,4%.N=101,4%N

Gợi ý trả lời câu hỏi 2:

Số dân tỉnh đó sau mỗi năm lập thành cấp số nhân:

101, 4 101, 4 101, 4

N N   N   N

Gợi ý trả lời câu hỏi3:

Sau 5 năm là

5

101, 4

.1,8 1,9 100



N+1,4%.N=101,4%N

Số dân tỉnh đó sau mỗi năm lập thành cấp số nhân:

101, 4 101, 4 101, 4

N N   N   N

Sau 5 năm là

5

101, 4

.1,8 1,9 100



  (triệu) Sau 10 năm là

10

101, 4

.1,8 2,1 100



bao nhiêu? (triệu)

Sau 10 năm là

10

101, 4

.1,8 2,1 100



  (triệu)

(triệu

* Củng cố, luyện tập (3’)

Cấp số nhân là dãy số có công thức số hạng tổng quát là

Un+1= un qn-1

Tính chất của cấp số nhân là:  u k 2 u k1.u k1 voi k2

1

n n

S

q







4 Hướng dẫn học bài và làm bài tập ở nhà (2’)

- Xem lại lí thuyết:

- Làm bài tập còn lại sách giáo khoa trang 103, 104

- Chuẩn bị Ôn tập chương III

* Rút kinh nghiệm:

………

………

………

………

………