Khóa luận tốt nghiệp Phạm trù mơđun    LỜI CẢM ƠN            Sau  một  thời gian  miệt  mài  nghiên  cứu  cùng với  sự giúp đỡ  tận  tình  của  các thầy  cơ  giáo  và  các bạn  sinh viên,  khóa  luận  của em  đã  được hoàn  thành.  Em xin  chân thành cảm ơn sự giúp  đỡ  quý  báu của các thầy  cơ  giáo  trong khoa Tốn, các thầy cơ trong tổ Đại số đã tạo điều kiện cho em trong  suốt thời gian em làm khóa luận. Đặc biệt em xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc  của mình tới thầy giáo, Thạc sĩ  Đỗ Văn Kiên – người đã giúp đỡ em tận tình  trong q trình chuẩn bị và hồn thành khóa luận.             Do lần đầu tiên làm quen với cơng tác nghiên cứu khoa học. Hơn nữa  do thời gian và năng lực bản thân cịn hạn chế nên khơng tránh khỏi những  thiếu sót.  Em kính  mong nhận được sự  đóng góp ý kiến  của các thầy cơ và  các bạn sinh viên để khóa luận của em được hồn thiện hơn.Một lần nữa em  xin chân thành cảm ơn.  Hà Nội, tháng 05 năm 2013                                                                        Sinh viên                                                                   Đàm Thị Thu Dung   Đàm Thị Thu Dung K35C – Toán     GVHD: Đỗ Văn Kiên Khóa luận tốt nghiệp Phạm trù mơđun    LỜI CAM ĐOAN                 Khóa  luận  của  em  được  hồn  thành  sau  một  thời  gian  miệt  mài  nghiên cứu cùng với sự giúp đỡ tận tình của thầy giáo, Thạc sĩ  Đỗ Văn Kiên.  Trong q trình làm khóa luận em có tham khảo một số tài liệu như đã nêu ở  mục tài liệu tham khảo.               Em xin cam đoan đề tài khóa luận này là kết quả nghiên cứu khoa học  của riêng em và nó khơng trùng với kết quả của bất kì tác giả nào khác.      Hà Nội, tháng 05 năm 2013                                                                        Sinh viên                                                                   Đàm Thị Thu Dung Đàm Thị Thu Dung K35C – Tốn     GVHD: Đỗ Văn Kiên Khóa luận tốt nghiệp Phạm trù môđun    MỤC LỤC A. MỞ ĐẦU  1  1. Lí do chọn đề tài  . 1  2. Mục đích nghiên cứu   1  3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu  . 1  4. Nhiệm vụ nghiên cứu  . 1  5. Phương pháp nghiên cứu   1  6. Cấu trúc của khóa luận  . 1  7.  Kế hoạch triển khai   2  B. NỘI DUNG  . 3  CHƯƠNG 1 : KIẾN THỨC CHUẨN BỊ  . 3  1.1.  Môđun và đồng cấu môđun   3  1.2 Bài tập   16  CHƯƠNG 2 : PHẠM TRÙ MÔĐUN  17  2.1. Phạm trù môđun   17  2.2 Tổng trực tiếp  . 19  2.3 Tích trực tiếp   21  2.4. Dãy khớp.   24  2.5. Môđun tự do   34  2.6. Bài tập   40  CHƯƠNG 3: BÀI TẬP ÁP DỤNG   42  KẾT LUẬN   45  DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO   46  Đàm Thị Thu Dung K35C – Toán     GVHD: Đỗ Văn Kiên Khóa luận tốt nghiệp Phạm trù mơđun    A MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài            Ngày nay, người ta coi đối tượng chủ yếu của Đại số là cấu trúc đại số  như : nhóm, vành, trường, mơđun…trong đó mơđun là một trong những khái  niệm  quan  trọng  nhất  của  Đại  số  hiện  đại,  có  ứng  dụng  trong  nhiều  ngành  tốn học như : phương trình đạo hàm riêng, hình học đại số…             Trên  cơ  sở  những  kiến  thức  đã  học  của  Đại  số  đại  cương,với  mong  muốn được tìm hiểu sâu hơn về một số vấn đề của Đại số hiện đại cùng với sự  giúp  đỡ  tận  tình  của  thầy  giáo  Đỗ  Văn  Kiên,  em  mạnh  dạn  thực  hiện  khóa  luận tốt nghiệp với tiêu đề : “ PHẠM TRÙ MƠĐUN ”.  Mục đích nghiên cứu Cung cấp các kiến thức về phạm trù Môđun.  Đối tượng phạm vi nghiên cứu +) Đối tượng: Các  kiến  thức  cơ  bản  về  phạm  trù  môđun,  đồng  cấu  môđun, dãy khớp và môđun tự do.  +) Phạm vi: Nội dung kiến thức trong phạm vi của đại số môđun.  Nhiệm vụ nghiên cứu      Tìm hiểu lí thuyết về phạm trù mơđun.  Phương pháp nghiên cứu +) Phân tích tài liệu có liên quan.  +) Tổng hợp kinh nghiệm của bản thân.   Cấu trúc khóa luận Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị.  Chương 2: Phạm trù mô đun.  Chương 3: Bài tập ứng dụng.  Đàm Thị Thu Dung K35C – Tốn 1    GVHD: Đỗ Văn Kiên Khóa luận tốt nghiệp Phạm trù môđun    Kế hoạch triển khai        Tháng 11-12: Nhận đề tài và hồn thành đề cương.         Tháng 12-2/2013: Tìm hiểu kiến thức liên quan tới đề tài.         Tháng 5/2013: Hồn thành đề tài nghiên cứu và bảo vệ.  Đàm Thị Thu Dung K35C – Toán 2    GVHD: Đỗ Văn Kiên Khóa luận tốt nghiệp Phạm trù mơđun    B NỘI DUNG CHƯƠNG : KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Môđun đồng cấu môđun Định nghĩa 1.1.1 (Định nghĩa môđun) Cho M nhóm cộng giao hốn, R vành có đơn vị 1R M gọi mơđun trái vành R có phép tốn gọi nhân ngồi hay nhân với vơ hướng RM  M (r,x)  r.x thỏa mãn điều kiện sau với r,s  R ; x,y  M : i) r(x  y)  rx  ry ii) (r  s).x  rx  sx iii) (r.s)x  r.(sx) iv) 1R.x  x Tương tự ta có khái niệm R - mơđun phải.  Chú ý 1.1.1   1) Một mơđun trái trên vành  R gọi là  R - mơđun trái  2) Nếu  M  giao hốn  thì hai khái niệm  R - mơđun phải và  R - môđun trái là  giống nhau. Từ nay trở đi một  R - môđun trái được gọi chung là  R - môđun.   3) Nếu  0M ,  0N tương ứng là các phần tử trung hịa của  M  và  R  thì ta có thể  dễ dàng suy ra từ định nghĩa rằng   (với mọi  m,m '  M , với mọi  r,r '  R ) :  0Mr  M ,   m0R  0M    m.r) = (  m)r = m(  r)                Đàm Thị Thu Dung K35C – Toán 3    GVHD: Đỗ Văn Kiên Khóa luận tốt nghiệp Phạm trù mơđun    Có  thế  nói  rằng  khái  niệm  mơđun  là  mở  rộng  của  khái  niệm  nhóm  aben  và  khái niệm khơng gian véctơ.  Ví dụ 1.1.1. Cho  R  là một vành giao hốn có đơn vị khi đó  R  là  R - mơđun.  Ví dụ 1.1.2.  Z  là vành có đơn vị 1,  M  là một nhóm cộng aben bất kì thì  M  là  Z - mơđun.  Ví dụ 1.1.3. Cho  V là  K - khơng gian véctơ thì  V  là  K - mơđun.  Ví dụ 1.1.4.  Tập  S   ,  R - mơđun  M                S, M     f : S  M : f  - ánh xạ        S, M   là  R - mơđun.  Tính chất 1.1.1  Cho M R - mơđun.Khi  ,   R ; x, y  M ta có: i) R.x  M   M ii)    x   x    x  iii)     x   x   x   x  y    x   y Chứng minh :  i) 1.x  M                              1.x        1  R  x                                1.x  R.x  R x  M                               M    M  M                                 M  M                                 M   M  M                                  M  M   ฀   ii)    x   x    Đàm Thị Thu Dung K35C – Tốn 4    GVHD: Đỗ Văn Kiên Khóa luận tốt nghiệp Phạm trù môđun          =         x         =  R.x         =  M              x   x      Tương tự có   x    x    ฀   iii)     x   x          =      x    x         =  x              x   x   x    Tương tự có :    x  y    x   y   ฀   Định nghĩa 1.1.2 (Định nghĩa môđun con)  Cho M R - môđun, N tập ổn định M với hai phép toán N gọi môđun M N R -môđun phép toán M thu hẹp vào N Định lí 1.1.1  (Điều kiện tương đương với định nghĩa môđun con)  Cho M R - môđun,   N  M Khi điều kiện sau tương đương : i) N R - môđun M ii)   R , x, y  N ta có x  y  N  x  N iii)  ,   R , x, y  N  x   y  N Ví dụ 1.1.5.  a) Một  R -  mơđun  M  bao  giờ  cũng  có  ít nhất  hai  mơđun  con là  M   và  tập  hợp   0  Gọi là hai môđun con tầm thường.   Đàm Thị Thu Dung K35C – Toán 5    GVHD: Đỗ Văn Kiên Khóa luận tốt nghiệp Phạm trù mơđun    b) Cho  N  là iđean trái của  R Nếu vành  R  được xem như là  R - mơđun thì  N  là môđun con của  R   Mệnh đề 1.1.1 Giao họ mơđun R - mơđun M mơđun M Ví dụ 1.1.6.    1)    2  3                              2)   pZ   với  P  là tập tất cả các số nguyên tố.  pP Mệnh đề 1.1.2 Giả sử A, B hai môđun R - mơđun M Thế A  B môđun M A  B  a  b / a  A, b  B Định nghĩa 1.1.3 (Định nghĩa tổng môđun)  Giả sử  A i / i  I  họ tùy ý môđun R - môđun M Khi mơđun sinh tập S   A i gọi tổng môđun A i , I kí hiệu  A i I Mệnh đề 1.1.3 Cho  A i / i  I  họ tùy ý mơđun M Khi  A i =   / a i  A i , i  J  I, J hữu hạn I J Định nghĩa 1.1.4 (Định nghĩa môđun sinh tập)  Giả sử M R - môđun, S  M , tồn môđun M chứa S chẳng hạn M Gọi  N i iI họ môđun M chứa S Đặt  S   N i theo mệnh đề 1.2,  S  R - môđun M I Đàm Thị Thu Dung K35C – Tốn 6    GVHD: Đỗ Văn Kiên Khóa luận tốt nghiệp Phạm trù môđun    Ta gọi  S  môđun M sinh S Ta thấy  S  S  S  N i , i  I ,  S  môđun ‘‘ bé nhất’’ M chứa S   Đặc biệt :  +) Nếu   S   M  thì ta nói  S  là tập sinh của  M   +) Nếu  M  và  S  là tập hữu hạn thì ta nói :  M  là một mơđun hữu hạn sinh hay  có kiểu hữu hạn.  +)  Nếu   x  M  :   x  M   thì    M   gọi là  một  môđun xyclic  và  x   là  một  phần tử sinh của  M   +) Nếu  S    thì ta có   S    - mơđun khơng.  +) Nếu  S  là mơđun con của  M  thì   S  S     n +) Nếu  S    thì   S        i x i \  i  R,  x i  S; i  0,n   i0 Định nghĩa 1.1.5  (Định nghĩa môđun thương)  Cho M R - môđun, M R - mơđun M Do N nhóm nhóm aben M nên tồn nhóm thương M / N  x  N / x  M với phép toán cộng  x  N    y  M   x  y  N nhóm cộng aben Trên nhóm ta xác định tích vơ hướng RM / N  M / N   (x, x  N)  rx  N Khi nhóm aben M / N với phép nhân vô hướng xác định R - môđun M / N gọi môđun thương R - môđun M theo môđun N Đàm Thị Thu Dung K35C – Toán 7    GVHD: Đỗ Văn Kiên Khóa luận tốt nghiệp Phạm trù mơđun      Bây  giờ  ta  hãy  xét  phần  tử  b  f(a)   của  mơđun  B   Do  tính  giao  hốn  của  hình vng trái, ta có        b  f(a)  (b)    f(a)  (b)  f '  (a)  b ' b '     Điều này kéo theo rằng phần tử  b  f(a)  bị chứa trong  Ker()  Mặt khác, ta  cũng có             g  b  f(a)  g(b)  g  f(a)  c   c    Điều này kéo theo  c  g  Ker()  Vì  c  là một phần tử tùy ý của  Ker(  ) , nên  ta được                                    g  Ker()  Ker(  )    Điều này hoàn thành phép chứng minh của  (b)      Điều khẳng định cuối cùng trong định lí là một hệ quả trực tiếp của  (a)  và  (b)   ฀      Kiểu chứng minh này thường gọi là “cuộc săn trên biểu đồ”.     Để nêu lên những hệ quả tức khắc của định lí 2.4.3 ta có hai hệ quả sau.  Hệ 2.4.7 (Bổ đề 5) Nếu biểu đồ sau đồng cấu môđun R g f A B h C   A'  C' g' E D  B' f' k  D' h' E' k' hai dịng khớp, bốn hình vng giao hoán,và đồng cấu , , ,  đẳng cấu, đồng cấu  phải đẳng cấu Hệ 2.4.8 (Bổ đề ngắn) Đàm Thị Thu Dung K35C – Toán 32    GVHD: Đỗ Văn Kiên Khóa luận tốt nghiệp Phạm trù môđun    Nếu biểu đồ sau đồng cấu môđun R g f A B   C A'  B' C' g' f' hai dịng khớp hai hình vng giao hốn, hai phát biểu sau : (a) Nếu   đơn cấu,  (b) Nếu   tồn cấu,  Do đó, đồng cấu  đẳng cấu   Định lí 2.4.4     Cho dãy khớp ngắn :  A  B  C  Khi dãy sau dãy khớp: * * 1)  Hom(M,A)  Hom(M, B)  Hom(M,C) 2) * *  Hom(C, M)  Hom(B, M)  Hom(A, M) Trong M R -môđun tùy ý, *  Hom(id M , ) *  Hom(, id M ) t­¬ng tù víi * , * Chứng minh :  1) Trước hết ta chứng minh  *   đơn cấu. Ta có :     Ker(* )  u : M  A / u  0    Do    đơn cấu nên  u   Vậy  Ker(* )     Bây giờ ta chứng minh  Im(* )  Ker(* )           **  Hom(id M , ).Hom(id M , )  Hom(id M , )  Hom(id M , 0)     Đàm Thị Thu Dung K35C – Tốn 33    GVHD: Đỗ Văn Kiên Khóa luận tốt nghiệp Phạm trù môđun            Bởi vậy  Im(* )  Ker(* )   Bây giờ lấy  u  Ker(* ) , khi đó   u : M  B  và  u     Theo định lí, giả sử   : A  B  là đồng cấu môđun và   : A  C  là tồn cấu,  ngồi ra  Ker()  Ker()  Khi đó tồn tại đồng cấu   : C  B   sao cho  i)       ii) Im()  Im() iii) đơn cấu Ker() Ker()   u  phân tích qua   , tức   v:M  A:u=v ,nghĩa là  u  Im(* )    bởi vậy  Ker(* )  Im(* )   2)  Ker(* )  u : C  M / u  0          Do     toàn cấu nên  u   Vậy    đơn cấu.  Bây giờ ta chứng minh  Im(* )  Ker(* )  Ta có :  * *    (như trên) nên :         Im(* )  Ker(* )    Lấy  u  Ker(* ) ,   u : B  M vµ u=0    Lại theo định lí trên,  u  được phân tích qua   , tức là tồn tại   v : C  M  sao  cho   u  v , nghĩa là  u  Im( * )  Bởi vậy  Ker(* )  Im(* )   ฀   2.5 Môđun tự Định nghĩa 2.5.1 (Định nghĩa môđun tự qua sở )  Giả sử U  a i / i  I tập R - mơđun A Ta nói U độc lập tuyến tính với tập hữu hạn J  I , a r i i  , ri  0,i  J  ri  víi mäi i  J Giả sử A R - môđun, U tập A Ta nói U sở A U hệ sinh độc lập tuyến tính A Khi A gọi R - mơđun tự với sở U Ta nói U tập sinh tự A Ví dụ 2.5.1.  Đàm Thị Thu Dung K35C – Toán 34    GVHD: Đỗ Văn Kiên Khóa luận tốt nghiệp Phạm trù mơđun    a)   là  R - môđun tự do với cơ sở rỗng.  b) Bản thân vành  R  là  R - mơđun tự do với cơ sở  1    c) Giả sử  I  là tập hợp nào đó. Khi đó  R( I ) (  R i , R i  R, i  I)   I     là  R - mô đun tự do với cơ sở  U  ei / i  I   trong đó  1 nÕu j=i                              ei  (ij ) jI           ij =   ij    nÕu j i  U   được gọi là cơ sở chính tắc của  R ( I )   d) Mỗi  Z -  mơđun  tự do được gọi là  nhóm aben tự do. Mọi nhóm  xyclic  cấp vơ hạn là aben tự do với cơ sở gồm một phần tử sinh, và đều đẳng  cấu với  Z   e) Nhóm  cộng  các số  hữu tỉ  Q   khơng là  nhóm  aben  tự  do.  Thật  vậy,  hệ    gồm một phần tử     là độc lập tuyến tính, cịn hệ  ,   là phụ  thuộc tuyến tính với mọi  ,   Do đó nếu  Q  có cơ sở thì cơ sở chỉ gồm  1 phần tử, nhưng hệ như vậy khơng thể sinh ra  Q   Mệnh đề 2.5.1 (Xây dựng môđun tự qua sở)   R - mô đun A tự với sở U phần tử A viết cách dạng : a  a 1r1  a r2   a m rm , a i  U , ri  R Chứng minh :  Dễ dàng suy ra từ định nghĩa.  Mệnh đề 2.5.2 Các điều kiện sau tương đương : (a) A R - môđun tự (b) A   A i , A i ฀ R , i  I , với tập số I Chứng minh :  Đàm Thị Thu Dung K35C – Toán 35    GVHD: Đỗ Văn Kiên Khóa luận tốt nghiệp Phạm trù mơđun     Trước hết ta thấy rằng  (a)  và  (b)  được thỏa mãn với  A   (khi đó cơ sở  A   là tập    và tập  I    ). Vì vậy ta giả thiết  A        (a)  (b)  Giả sử  U  u i / i  I  là cơ sở của  A  Khi đó ánh xạ                                   i : R  u i R, x  u i x    là tồn ánh. Từ tính chất của cơ sở suy ra rằng  u i x   kéo theo  x  , nghĩa  là  i  đẳng cấu.          Ta  khẳng  định  rằng  A   u i R   Vì  U   là  hệ  sinh  nên  hiển  nhiên  A   u i R  Giả sử với   u j  U  ta có  I                                a  u j R    u i R     I  Khi đó  a  u j x j   u i x i , x i  R  Từ đó suy ra  i j                                        u i x i   u j x j     i j       Do tính chất của hệ độc lập tuyến tính ta suy ra  x i   với  mọi hệ tử có  mặt trong hệ thức trên, nghĩa là                                        u j R    u i R      i j         Bởi vậy theo định nghĩa 2.2.3 ta có  A   u i R    I      (b)  (a)  Giả sử  i : R ฀ A i  là các đẳng cấu nói trong mệnh  đề. Ta  khẳng định rằng tập hợp  i (1) / i  I là một cơ sở của  A   Thật vậy, do                     A i  i R  i (1)R    nên            A   A i  i (1)R    I I Điều này chứng tỏ   i (1) / i  I  là hệ sinh của  A   Đàm Thị Thu Dung K35C – Toán 36    GVHD: Đỗ Văn Kiên Khóa luận tốt nghiệp Phạm trù môđun          Nếu  J  I ,  J  hữu hạn và   i (1)x i  i x i   với mọi  i  J   J     Do  i   đẳng  cấu  nên  x i    với  mọi  i  I   Vậy  i (1) / i  I   là  độc  lập  tuyến tính và do đó là cơ sở của  A ฀          Mệnh đề 2.5.3  (Xây dựng mô đun tự vật phổ dụng phạm trù (hay qua toán phổ dụng))   Cho  F  là  R - môđun tự do với cơ sở   U  ei / i  I   và  A  là   R -  mơđun. Khi đó  mọi  ánh  xạ    f : U  A  đều  mở  rộng  một cách duy  nhất  thành một đồng cấu   : F  A   Chứng minh:     Đồng cấu    : F  A  được xác định bởi hệ thức :    ( ei xi )   f (ei ) xi    Bây giờ nếu    : F  A   là một đồng cấu mở rộng của  f  thì :                                  (ei )  f(e i ),i  I                                      ei x i    (e i )x i   f(ei )x i  ( e i x i )   Điều này chứng tỏ        □.        Định lí dưới đây chứng tỏ tính chất phổ dụng là một đặc trưng của mơđun  tự do.  Định lí 2.5.1 Giả sử U tập R - môđun F , U F có tính chất : ánh xạ f từ U đến R - mơđun Y mở rộng thành đồng cấu  : F  Y Khi F tự với sở U Chứng minh :   Trước hết ta chứng minh  U  là hệ sinh. Gọi  X  là môđun con của  F  sinh bởi  tập  U  Khi đó đơn cấu chính tắc  i : U  X  mở rộng thành đồng cấu duy nhất                                          g : F  X           Xét đơn cấu chính tắc  h : X  F  Khi đó   Đàm Thị Thu Dung K35C – Tốn 37    GVHD: Đỗ Văn Kiên Khóa luận tốt nghiệp Phạm trù môđun                                             hg : F  F    là mở rộng của  i  Đồng thời đồng cấu đồng nhất  id F : F  F  cũng là một mở  rộng của  i  Bởi vậy  hg  id F  Điều này chứng tỏ  h  phải là toàn cấu, tức là  X  F          Bây giờ ta chứng minh tập  U  là độc lập tuyến tính. Giả sử  U  b i / i  I    Xét mơđun tự do  R ( I )  với cơ sở chính tắc  e i / i  I  Xét ánh xạ                                        f : U  R( I ) , b i  e i    Khi đó  f  được mở rộng thành đồng cấu duy nhất                                        g : F  R( I )                Giả sử   b i ri  , ri  R  và bằng 0 hầu hết trừ một số hữu hạn. Thế thì  I                      g   b i ri    g(b i )ri   e i ri   ri  0,     I  I I với mọi   i  I  Điều này chứng tỏ  b i / i  I  là hệ độc lập tuyến tính  ฀   Định lí 2.5.2 Giả sử R vành Khi môđun R - môđun tự tự Chứng minh :  Phép chứng minh có sử dụng hai bổ đề sau :  (a) Mọi tập hợp  E  đều có thể trang bị một thứ tự tốt (tức là mọi tập con  khác rỗng của  E  đều có phần tử tối tiểu).  (b) Nguyên lí quy nạp siêu hạn : Giả sử  E  là tập hợp sắp thứ tự tốt và    là  một tính chất đối với các phần tử của  E  sao cho               '' y  x,y  có tính chất    x  có tính chất   ''   Khi đó mọi phần tử của  E  có tính chất          Giả sử  F   là  R -  môđun tự  do với cơ sở  u i / i  I  Khi đó  F ฀ R ( I )  Bởi  vậy ta chứng minh định lí cho  F ฀ R ( I )  với cơ sở chính tắc  e i / i  I   Đàm Thị Thu Dung K35C – Toán 38    GVHD: Đỗ Văn Kiên Khóa luận tốt nghiệp Phạm trù mơđun         Giả sử  M  là môđun con của  F  Ta sắp  I  thành tập sắp thứ tự tốt và gọi  A i  là môđun con sinh bởi tập  e j / j  i  Gọi  M i  A i  M  và phép chiếu                                   p i : R( I )  R , (x j )  x i    p i (M i )   là  iđêan  của  vành  R   Do  giả  thiết  về  R   iđêan  này  là  iđêan  chính,  chẳng hạn                                  p i (M i )  a i R         Khi  đó tồn  tại  b i  M i   sao  cho  p i (b i )  a i   Nếu  a i    ta  chọn  b i    và  được một họ   b i / i  I   Bây giờ ta lần lượt chứng minh theo các bước sau  Bước 1.  M i  sinh bởi các  b j , j  i      Giả sử  M k  sinh bởi các  b j , j  k  và điều này xảy ra với mọi  k  i  Lấy phần  tử tùy ý  x  M i  Khi đó  p i (x)  a i r  và do đó                                       p i (x  b i r)  p i (x)  p i (b i r)         Thành phần thứ  i  của phần tử  x  b i r  bằng 0 nên  x  b i r  M k  với  k  i   Theo giả thiết quy nạp,  x  b i r  biểu thị tuyến tính qua các  b j ,  j  k  và do đó  x   biểu  thị  tuyến  tính  qua  các  b j , j  i   Điều  này  chứng  tỏ  M i   sinh  bởi  các  b j , j  i    Bước 2.  M  sinh bởi mọi  b j , j  I       Lấy phần tử tùy ý  x  M , khi đó  x  e i r1  e i r2   e i rm   m với  giả  thiết    i1  i2   i m   Như  vậy  x  A i   và  do  đó  x  M i   Khi  đó  x   m m biểu thị tuyến tính qua các  b j , j  i m   Bước Hệ  b j / b j  0, j  I  là độc lập tuyến tính.      Giả sử ngược lại ta có  Đàm Thị Thu Dung K35C – Tốn 39    GVHD: Đỗ Văn Kiên Khóa luận tốt nghiệp Phạm trù môđun    b i r1  b i r2   b i rm  0, rm  0,   m       với  i1  i2   i m  Xét phép chiếu  p i  ta có   m m                       p i   b i ri   a i rm   ra  rm   hoặc  a i   Điều này vơ lí.   j1  m j m m    Vậy hệ  b j / b j  0  lập thành một cơ sở của  M    Hệ 2.5.1 Mọi nhóm nhóm aben tự aben tự 2.6 Bài tập Bài tập 2.6.1 Chứng tỏ rằng  Zm  Zn ฀ Zmn  nếu và chỉ nếu  m, n  nguyên tố cùng nhau.  Bài tập 2.6.2 Giả sử  K  và  L  là hai môđun con của môđun  M  Chứng tỏ rằng các dãy sau  là khớp     K  L  K  LK  L  0    M / (K  L)  M / K  M / L  M / (K  L)    Bài tập 2.6.3 x  Giả sử  p  là số nguyên tố và   Q p   n / x  Z vµ n  N     p     Chứng  minh  rằng :  Q / Z   Q p / Z   trong  đó     là  tập  hợp  tất  cả  các  số   nguyên tố  p    Bài tập 2.6.4 Chứng  minh  rằng  môđun  con  A   của  môđun  M   là  hạng  tử  trực  tiếp  nếu  môđun  M / A  là tự do.  Bài tập 2.6.5 Đàm Thị Thu Dung K35C – Toán 40    GVHD: Đỗ Văn Kiên Khóa luận tốt nghiệp Phạm trù mơđun    Giả sử  R  là một miền nguyên. Phần tử  a  của môđun  M  được gọi là xoắn nếu  tồn tại   r  R  sao cho  ar   Môđun  M  được gọi là không xoắn nếu chỉ  có   là  phần  tử xoắn. Chứng  minh rằng  mọi  mơđun tự  do  R  đều  là không  xoắn.    Đàm Thị Thu Dung K35C – Tốn 41    GVHD: Đỗ Văn Kiên Khóa luận tốt nghiệp Phạm trù môđun    CHƯƠNG 3: BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài tập 3.1.  Cho  M  là  R - môđun.  N  là môđun con của  M  ;  M / N  và  N  là các   R - môđun hữu hạn sinh. Chứng minh rằng  M  là  R - môđun hữu hạn sinh.  Giải :    Do  N  hữu hạn sinh nên tồn tại  x1 , x , , x n  N  thảo mãn :                N i  Rx i , với mọi  i  1,n  và  N  N1  N   N n      Với mọi  a  M  thì  a  M / N  Do đó tồn tại  rn 1 , ,rm  sao cho :                  a  rn 1 x n 1   rm x m  rn 1x n 1   rm x m       Suy ra  a  (rn 1x n 1   rm x m )  N      Do đó tồn tại  b  N , giả sử  b  r1x1   rn x n  để             a  (rn 1x n 1   rm x m )  r1x1   rn x n      Suy ra  a  r1x1   rn x n  (rn 1x n 1   rm x m )  hay  a  Rx1   Rx m   m   Đặt  N i  Rx i , i=n  1, m  thì ta có  m  N1   N m   N i    i 1 m m i 1 i 1 Suy ra  M   N i  Do đó  M   N i  hay  M  là  R - môđun hữu hạn sinh.  Bài tập 3.2.  Cho  U  là tập con của  R - môđun  F   U, F  thỏa mãn : mọi ánh xạ  f : U  Y ,  Y   là  R -  môđun,  đều  mở  rộng  thành  một  đồng  cấu  duy  nhất   : F  Y   Chứng minh rằng  F  là môđun tự do với cơ sở  U   Giải :  Ta chứng minh  U  là hệ sinh của  F  và  U  độc lập tuyến tính.     +  U  là hệ sinh của  F  Thật vậy :        Gọi  X  là môđun con của  F  sinh bởi  U ,  X  (U)   Khi đó ánh xạ  i : U  X  là đơn cấu chính tắc được mở rộng duy nhất thành  Đàm Thị Thu Dung K35C – Tốn 42    GVHD: Đỗ Văn Kiên Khóa luận tốt nghiệp Phạm trù môđun                                u i  u i    đồng cấu  g : F  X    Xét đơn cấu chính tắc  h : X  F                                               x  x    Khi đó    hg : F  F  là mở rộng của  i    Mặt khác  id F : F  F  là mở rộng của  i    Nên  hg  id F  hay  h  là tồn cấu.  Do đó :  h(X)  X  F  tức  U  là hệ sinh của  F       +  U  độc lập tuyến tính. Thật vậy :         Giả sử  U  bi / i  I   Xét mơđun tự do với cơ sở chính tắc  ei / i  I   Khi đó mọi ánh xạ  f : U  R I  được mở rộng duy nhất thành đồng cấu           : F  R I   Giả sử   bi x i  0, x i   hầu hết trừ một số hữu hạn  x i  thì   iI             bi x i     (bi )x i   ei x i   x i   tức  U  độc lập tuyến tính.   iI  iI iI Vậy  F  là môđun tự do với cơ sở  U    Bài tập 3.3 Cho  M là  R - môđun,  A là môđun con của  M  Chứng minh rằng :  A  là hạng  tử trực tiếp của  M  nếu  M / A  là môđun tự do.  Giải : +) Do  M / A  là mơđun tự do nên  M / A  có một cơ sở là  U  u i / i  I  với  u i  x  A ,  x i  M, i  I    +) Với mọi  x  M  ta có :  x  A  M / A , tồn tại duy nhất  ri  I, i  I  sao cho                x  A   ri x i   ri (x i  A)   ri x i  A  Tức là  x   ri x i  A    iI iI iI Đàm Thị Thu Dung K35C – Toán 43    iI GVHD: Đỗ Văn Kiên Khóa luận tốt nghiệp Phạm trù mơđun    Từ đó suy ra tồn tại  a  A  sao cho  x   ri x i  a  hay  x   ri x i  a   iI Đặt  B  (x i , i  I)  iI  r ' x / r '  R  là môđun con của  M   iI i i i Ta thấy  B   vì  x i  B, với mọi  i  I    x i  b  a, b  B, a  A    Do đó  M  A  B (*)    Ta chứng minh  A  B  0    y  A Với mọi  y  A  B  thì    nên  y  A  A   y  B Với  y  B , tồm tại   i  R (i  I)  sao cho  y   i x i    iI   thì  y  A   i x i  A  mà  y  A  A  nên  iI  x iI i i  A    i (x i  A)  A   i   Từ đó suy ra  y   hay  A  B  0    iI Vậy  M  A  B  hay  A  là hạng tử trực tiếp của  M   Đàm Thị Thu Dung K35C – Toán 44    GVHD: Đỗ Văn Kiên Khóa luận tốt nghiệp Phạm trù mơđun    KẾT LUẬN       Đề  tài  khơng  chỉ  có  ý  nghĩa  về  mặt  lí  thuyết  mà  cịn  có ý  nghĩa  về  mặt  thực tiễn. Nó cung cấp một phần lý thuyết quan trọng về mơđun đó là phạm  trù  mơđun.  Qua  đó,  chúng  ta  có  những  ứng  dụng  của  Đại  số  hiện  đại  vào  phương trình đạo hàm riêng, hình học đại số …        Tuy nhiên, do thời gian có hạn và trình độ của em cịn hạn chế nên đề tài  này khơng thể tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong được sự đóng góp ý  kiến  của  các  thầy,  cơ  giáo  cùng  các  bạn  sinh  viên  để  đề  tài  này  ngày  càng  được hoàn thiện hơn.       Một lần nữa  em  xin chân thành cảm ơn  sự giúp đỡ của  các thầy  cơ  giáo  trong tổ Đại số đặc biệt là thầy giáo Đỗ Văn Kiên - người đã tận tình giúp đỡ  em trong việc hồn thành khóa luận này.                              Đàm Thị Thu Dung K35C – Toán 45    GVHD: Đỗ Văn Kiên Khóa luận tốt nghiệp Phạm trù môđun    DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO   1) Nguyễn Tự Cường (2007), Giáo trình Đại số hiện đại, NXB ĐHQGHN.  2) Nguyễn Hữu Việt Hưng (1988), Đại số đại cương, NXB GD.  3) Nguyễn Tiến Quang, Nguyễn Duy Thuận (2001), Cơ sở lí thuyết vành và  mơđun, NXB GD.  4) SZE-TSENHU (1975), Nhập mơn đại số đồng điều.  5) Nguyễn Thị Hằng (2008), Một số lớp mơđun đặc biệt, ĐHSPHN2  6) Trần Thị Phương Thùy (2004), Dãy khớp, ĐHSPHN2.       Đàm Thị Thu Dung K35C – Toán 46    GVHD: Đỗ Văn Kiên ... bản  về  phạm? ? trù? ? môđun,   đồng  cấu  môđun,  dãy khớp và? ?môđun? ?tự do.  +) Phạm vi: Nội dung kiến thức trong? ?phạm? ?vi của đại số? ?môđun.   Nhiệm vụ nghiên cứu      Tìm hiểu lí thuyết về? ?phạm? ?trù? ?mơđun. ... Z -? ?môđun? ?                              Z  Z  Z4  Z2    Đàm Thị Thu Dung K35C – Toán 16    GVHD: Đỗ Văn Kiên Khóa luận tốt nghiệp Phạm trù mơđun    CHƯƠNG : PHẠM TRÙ MƠĐUN 2.1 Phạm trù mơđun... Đỗ Văn Kiên Khóa luận tốt nghiệp Phạm trù mơđun    e) Lớp các R- mơđun kí hiệu  R Mod (hay Mod)  lập thành một? ?phạm? ?trù? ?với  các vật là các? ?môđun? ?và các cấu xạ là các đồng cấu? ?môđun? ?gọi là? ?phạm? ?