Một số phương pháp giải các bài toán vận dụng của chủ đề hình học không gian

MỤC LỤC

I MỞ ĐẦU 2

1.1 Lí do chọn đề tài 2

1.2 Mục đích nghiên cứu 2

1.3 Đối tượng nghiên cứu 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu 3

II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CỦA CHỦ ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 3

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 3

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 4

2.3 Một số phương pháp giải bài toán hình học không gian ở mức độ vận dụng và vận dụng cao 4

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 13

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG

CỦA CHỦ ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

I MỞ ĐẦU1.1 Lí do chọn đề tài

Trong chương trình môn Toán THPT, chủ đề Hình học không gian chiếmmột khối lượng lớn kiến thức và được bố trí ở lớp 11 và lớp 12 Phần lớn họcsinh gặp khó khăn khi học phần này Thực tế giảng dạy tại trường THPT TốngDuy Tân, tôi nhận thấy rằng, nếu có thể chuyển bài toán Hình học không giansang bài toán tọa độ trong không gian thì nhiều em học sinh lại có thể làm tốtcác bài toán này Nhiều em học sinh cũng chưa có kĩ năng đưa khối đa diệnđang xét về khối đa diện quen thuộc, do đó rất lúng túng khi tìm lời giải.

Câu hỏi đặt ra là: Làm sao có thể giúp học sinh yêu thích học phần hìnhhọc không gian, giúp các em giải được các bài toán hình học không gian? Câu

trả lời đó là: Chuyển được bài toán hình học không gian (mang nặng định tính)về bài toán định lượng Nghĩa là, thay vì chứng minh các mối quan hệ trongkhông gian, ta đưa về bài toán tính toán Phương pháp tọa độ hóa bài toán hìnhhọc không gian giúp chúng ta làm được điều này Một phương pháp nữa có thểgiúp các em giải được các bài toán hình học không gian là kĩ năng quy về cáchình đa diện quen thuộc, hoặc đưa về bài toán hình học phẳng Các em có thể sửdụng các kiến thức hình học phẳng để giải bài toán hình học không gian, và nhưvậy sẽ giảm bớt sự trừu tượng của hình học không gian cho các em.

Từ những lí do đó, tôi lựa chọn đề tài SKKN: “Một số phương pháp giảicác bài toán vận dụng của chủ đề hình học không gian” Đề tài SKKN này là

một góp ý, trao đổi của tác giả với các đồng nghiệp để nâng cao chất lượng dạyhọc chủ để hình học không gian.

1.2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của đề tài là đưa ra những phương pháp giúp các emhọc sinh lớp 12, các em học sinh chuẩn bị tham gia kì thi THPT Quốc Gia ápdụng vào các bài tập hình học không gian cụ thể Đồng thời thông qua đó nângcao khả năng tư duy, sáng tạo của học sinh

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là các nội dung kiến thức và kĩ năng chủđề hình học không gian; phương pháp tọa độ trong không gian; véc-tơ và cácphép toán véc-tơ trong không gian.

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu về chủ đề hình học không

gian; phương pháp tọa độ trong không gian; véc-tơ và các phép toán véc-tơ.

Nghiên cứu thực tiễn: Khảo sát năng lực của học sinh khi học và giải các

bài toán thuộc chủ đề hình học không gian; những khó khăn mà học sinh thườngmắc phải trong việc lựa chọn phương pháp giải toán cụ thể.

Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nghiệm trên những đối tượng học

sinh cụ thể nhằm đánh giá hiệu quả của đề tài.

II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CỦACHỦ ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

2.1.1 Chủ đề hình học không gian trong chương trình môn Toán THPT

Chủ đề hình học không gian được phân phối ở chương trình môn toán lớp11 và 12 Cụ thể như sau:

Trong chương trình môn Toán 11: Chủ đề hình học không gian được học

ở hai chương (Chương 2: Quan hệ song song trong không gian; Chương 3: Quanhệ vuông góc trong không gian).

Trong chương trình môn Toán 12: Chủ đề hình học không gian được tiếp

nối chương trình môn Toán 11 và được học ở hai chương (Chương 1: Khối đadiện và thể tích của chúng; Chương 2: Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón).

2.1.2 Một số nội dung kiến thức được sử dụng trong sáng kiến kinh nghiệm

a) Phương pháp tọa độ trong không gian

 Tọa độ của véc-tơ và của điểm;

 Công thức tọa độ của tích vô hướng của hai véc-tơ;  Tích có hướng của hai véc-tơ;

 Phương trình mặt phẳng; phương trình đường thẳng; phương trình mặtcầu;

 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng; khoảng cách từ mộtđiểm đến một mặt phẳng.

b) Tỉ số thể tích

Cho hình chóp S ABC , trên các tia SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm A

, B, C Khi đó, ta có ..

.

S A B CS ABC

     

c) Một số công thức trong hình học phẳng: định lí cô-sin trong tam giác; định lí

sin trong tam giác; …

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Thực tế giảng dạy, tôi nhận thấy, đa phần học sinh rất ngại học hình, đặcbiệt phần hình học không gian Các em cho rằng, phần hình học không gian rấttrừu tượng và nhiều bài toán không tìm ra hướng giải Mong muốn của các em làcó thể chuyển các bài toán hình học nặng về định tính sang bài toán định lượng.Phương pháp tọa độ hóa bài toán hình học không gian có thể giúp các em họcsinh giải bài toán hình học không gian một cách dễ dàng hơn Tất nhiên, khôngphải bài toán nào cũng có thể tọa độ hóa được, nhưng đây cũng là một hướng tưduy tìm lời giải cho bài toán rất có ích cho học sinh.

Một trong những khó khăn của học sinh trong việc học hình học khônggian là chưa biết quy lạ về quen Công thức thể tích khối tứ diện đều ABCD cácem đều biết, như khi ta thay đổi kích thước các cạnh AB, AC, AD thì nhiềuem lại không tính được thể tích khối này.

Một dạng bài tập nữa gây khó cho học sinh là bài toán tìm đường đi ngắnnhất khi đi quanh khối chóp; khối tròn xoay Bài toán này sẽ trở nên đơn giảnkhi học sinh biết kĩ thuật trải hình.

Phương pháp tọa độ hóa bài toán hình học không gian; qui về các khối đadiện quen thuộc và phương pháp trải hình cũng đã có một số tài liệu đề cập đếnnhưng chưa thành hệ thống Thực tế đó đòi hỏi cần hệ thống lại các phươngpháp này để giúp học sinh dễ dàng tiếp thu và vận dụng hiệu quả vào học tập, đócũng là mục tiêu của SKKN này

2.3 Một số phương pháp giải bài toán hình học không gian ở mức độ vậndụng và vận dụng cao

2.3.1 Phương pháp 1: Tọa độ hóa bài toán hình học không gian

Ví dụ 1 Cho hình chóp S ABC có SA vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M làtrung điểm của BC và H là trung điểm của AM Biết HB HC , HBC   ;30góc giữa mặt phẳng SHC và mặt phẳng HBC bằng  60 Tính côsin củagóc giữa đường thẳng BC và mặt phẳng SHC ?

Phân tích: Khi giải bài toán này, học sinh gặp khó khăn khi giải phải dựng được

góc giữa hai mặt phẳng và dựng góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Chúng tađể ý rằng, từ giả thiết ta thấy tam giácABC cân đỉnh A và SA vuông góc vớimặt phẳng đáy nên ta có thể tọa độ hóa để giải bài toán này.

Lời giảiChọn C

Từ M là trung điểm của BC và H là trung điểm của AM , HB HC suy ra

AM BC, hay tam giác ABC cân đỉnh A.

Ta có A0;0;0 , ; 3;02 3

a a

, ; 3;02 3

a a

; 0; 3;06

 

Ví dụ 2 Cho lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy là tam giác ABC vuông cân tại

A, cạnh BC a 6 Góc giữa mặt phẳng AB C và mặt phẳng ' BCC B  bằng0

60 Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC A B C   ?

A

aV 

Lời giảiChọn D.

Gọi chiều cao của hình lăng trụ là h.

Đặt hệ trục tọa độ Axyz như hình vẽ Khi đó A0;0;0 , B a 3;0;0,0; 3;0

Vậy thể tích của khối lăng trụ ABC A B C    là 3 3 3.2

aV 

Ví dụ 3 Cho hình lập phương ABCD A B C D     có cạnh bằng a Gọi M , N, P

lần lượt là trung điểm của CD, CB, A B  Tính khoảng cách từ A đến mp

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Ta có A0;0;0 , ; ;02

aM a 

 , ; ;02

aN a 

 , 0; ;2

aP a

; ;02 2

a aMN  

ax y z   

aad A MNP

2.3.2 Phương pháp 2: Quy về các hình đa diện quen thuộc

Ví dụ 4 Cho khối chóp S ABC có ASB BSC CSA  60 ; SA a , SB2a,4

SC  a Tính thể tích S ABC theo a.

A

3 23

V  Từ giả thiết ASB BSC CSA  60 ta có thể quy bàitoán về tính thể tích của khối tứ diện đều, sau đó sử dụng công thức tỉ số thể tíchta tính được thể tích của khối chóp S ABC .

Lời giảiChọn B.

Trên cạnh SB ta lấy điểm B sao cho SB a,trên cạnh SC ta lấy điểm C' sao cho SC a.

S AB C

Mặt khác: ..

S AB CS ABC

2.3.3 Phương pháp 3: Phương pháp trải hình

Ví dụ 5 Người ta cần trang trí một kim tự tháp hình chóp tứ giác đều S ABCD.cạnh bên bằng 200m, góc ASB   bằng đường gấp khúc dây đèn led vòng15quanh kim tự tháp AEFGHIJKLS Trong đó điểm L cố định và LS 40m Hỏikhi đó cần dung ít nhất bao nhiêu mét dây đèn led để trang trí?

B'

Ta sử dụng phương pháp trải đa diện

Cắt hình chóp theo cạnh bên SA rồi trải ra mặt phẳng hai lần, ta có hình vẽ sau

Từ đó suy ra chiều dài dây đèn led ngắn nhất là bằng AL LS

S

Từ giả thiết về hình chóp đều S ABCD ta có ASL 120 Ta có

222 2 cos 2002 402 2.200.40.cos120 49600

Nên AL  49600 40 31

Vậy, chiều dài dây đèn led cần ít nhất là 40 31 40 mét.

Ví dụ 6 Để chào mừng 20 năm thành lập thành phố A, Ban tổ chức quyết địnhtrang trí cho cổng chào có hai hình trụ Các kỹ thuật viên đưa ra phương án quấnxoắn từ chân cột lên đỉnh cột đúng 20 vòng đèn Led cho mỗi cột, biết bán kínhhình trụ cổng là 30 cm và chiều cao cổng là 5 m Tính chiều dài dây đèn Ledtối thiểu để trang trí hai cột cổng.

A 24 m B 20 m C 30 m D 26 m

Lời giảiChọn D.

Cắt hình trụ theo đường sinh của nó rồi trải liên tiếp trên mặt phẳng 20 lần tađược hình chữ nhật ABCD có AB5 m và BC 20.2r 20.2 0,3 12 m  .

Độ dài dây đèn Led ngắn nhất trang trí 1 cột là

Bài 3 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Tam giác

SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABCD Gọi  M

là trung điểm của SD Khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và SC là

Bài 4.Cho hình lập phương ABCD A B C D     có cạnh bằng a Một đường thẳng

d đi qua đỉnh D và tâm I của mặt bên BCC B  Hai điểm M, N thay đổi lần lượt

thuộc các mặt phẳng BCC B  và  ABCD sao cho trung điểm K của MN thuộc

đường thẳng d (tham khảo hình vẽ).

Giá trị bé nhất của độ dài đoạn thẳng MN là ?

Bài 6 Bên cạnh con đường trước khi vào

thành phố người ta xây một ngọn tháp đènlộng lẫy Ngọn tháp hình tứ diện đều

S ABCD cạnh bên SA 600 mét,

ASC   Do có sự cố đường dây điện

tại điểm Q (là trung điểm của SA) bịhỏng, người ta tạo ra một con đường từ A

đến Q gồm bốn đoạn thẳng AM , MN,

NP, PQ (hĩnh vẽ) Để tiết kiệm kinh phí,kỹ sư đã nghiên cứu và có được chiều dàicon đường từ A đến Q ngắn nhất Tính tỉ

số kAMMN

NP PQ

SKKN cũng được các thầy cô bộ môn toán trường THPT Tống Duy Tângiảng dạy các tiết dạy tự chọn toán lớp 12, dạy bồi dưỡng học sinh khá giỏi vànhận được phản hồi tốt SKKN được các thầy cô sử dụng làm tài liệu giảng dạyhữu ích

3 Kết luận, kiến nghị

3.1 Kết luận

Những phương pháp giải bài toán hình học không gian được trình bàytrong SKKN này giúp học sinh có những cách tiếp cận với bài toán hình họckhông gian một cách dễ dàng hơn Nội dung SKKN là tài liệu tham khảo tốtcho học sinh ôn thi THPT Quốc Gia, là tài liệu tham khảo phục vụ cho công tácgiảng dạy đối với giáo viên.

3.2 Kiến nghị

Xuất phát từ tâm nguyện của một giáo viên đang từng ngày giảng dạy cho học sinh, tôi mongmuốn nếu đề tài của tôi được đánh giá tốt thì cần được phổ biến một cách rộng rãi để tài liệu đến taynhững giáo viên và học sinh yêu thích môn toán.

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNGĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm2018

Tôi xin cam đoan đây là SKKN củamình viết, không sao chép nội dung của

người khác.

ĐỖ ĐƯỜNG HIẾU

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên): Hình học 11 nâng cao, Nhà xuất bản Giáodục Việt Nam, 2012 (Tái bản lần thứ sáu).

2 Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên): Hình học 11, Nhà xuất bản Giáo dục ViệtNam, 2008 (Tái bản lần thứ hai).

3 Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên): Hình học 12 nâng cao, Nhà xuất bản Giáodục Việt Nam, 2012 (Tái bản lần thứ sáu).

4 Các Đề thi thử THPT Quốc gia năm 2018 của các trường THPT, các SởGiáo dục và Đào tạo trên cả nước.

DANH MỤC

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINHNGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC

CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Đỗ Đường Hiếu

Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường THPT Tống Duy Tân

Cấp đánh giáxếp loại

(Ngành GD cấphuyện/tỉnh;

Kết quảđánh giáxếp loại

(A, B,hoặc C)

Năm họcđánh giáxếp loại

1.Hướng dẫn học sinh giải bàitoán hình học giải tíchkhông gian bằng kĩ thuậttham số hóa

Ngành GD cấp

2 Hướng dẫn học sinh giảiphương trình, bất phươngtrình bậc hai chứa tham sốvà thỏa mãn điều kiện phụ

Ngành GD cấp

3 Xây dựng hệ thống bài tậpdạy học chủ đề ứng dụnghình học của tích phân theođịnh hướng phát triển nănglực

Ngành GD cấp